problemas aritméticos

IntroducciónLos problemas aritméticos están presentes en los currículos escolares debido a las siguientes razones:

-En nuestra vida cotidiana encontramos situaciones en donde tenemos que aplicar modelos matemáticos para resolverlas.

-La resolución de problemas es un medio de aprendizaje y refuerzo de contenidos, considerada como el mejor método para aprender matemáticas.

-La resolución de problemas requiere un alto grado de comprensión, de razonamiento y de memoria, así como la integración de destrezas cognitivas.

Introducción

Para la mayor parte de los alumnos, éste va a ser el único contacto que en su vida futura tendrán con los

conocimientos futuros.

Se han de trabajar todas las categorías y tipos de problemas respetando las secuencias de progresión en conocimientos y conceptos, para que el rendimiento de los alumnos mejore de forma positiva en el ámbito de la

resolución de problemas aritméticos.

IntroducciónLos problemas se clasifican según el número de operaciones que se necesitan para resolverlos, pero no tiene porqué, puestos que pueden haber problemas en donde solamente se tengan que hacer una sola operación pero que el planteamiento del enunciado sea más complejo de entender.

Ej: Yo tengo 8 cromos. Si tengo 5 más que tú, ¿cuántos tienes tú?Ej: Tenía 12 cromos, jugando gané 7 cromos y luego perdí 4. ¿Cuántos cromos me quedan?

El primer problema es de una sola operación, pero más confuso porque la palabra “más” en dicho enunciado indica que se ha de restar, cuando normalmente al ver

esa expresión nos viene la palabra “sumar”. En el segundo, aunque sean dos operaciones, los verbos se entienden a qué operación pertenece con seguridad y

por eso es más fácil que el primero.

Introducción

TIPOS DE PROBLEMAS

CONSISTENTES INCONSISTENTES

Los datos y preguntas se presentan en el orden que corresponde a la operación requerida para su solución.

Los datos y preguntas se presentan en el orden

inverso al que corresponde a la operación requerida

para su solución.

IntroducciónPROBLEMAS CONSISTENTES

Ej: Tengo 12 caramelos y regalo 4 a mi hermano. ¿Cuántos caramelos me quedan?En este caso, vemos como primero nos dan la cantidad inicial, luego la transformación y nos pregunta por la cantidad final tras las transformación. Es decir, el problema se

presenta en el orden que corresponde a la operación aritmética ( es una resta y poco a poco se van sucediendo las acciones que conlleva a dicha resta ).

Estos problemas sirven para que los alumnos ejerciten las operaciones aritméticas y se familiaricen con la tarea. La pregunta del problema siempre va al final del texto y se pregunta por la cantidad final, como hemos podido comprobar en el ejemplo.

IntroducciónPROBLEMAS INCONSISTENTES

Ej: ¿Cuántas canicas tenía cuando empecé a jugar, si gané 5 y ahora tengo 12?

En este caso, vemos como se pregunta por la cantidad inicial. Se les da la transformación y la cantidad final, pero vemos que no sigue el orden de cómo deben

hacerse las operaciones, puesto que el dato principal para poder operar ( 12 ) se da al final y el de la transformación al principio, lo cual puede provocar confusiones.

Estos problemas sirven para desarrollar las estrategias de resolución y suele preguntarse sobre un dato que se formula al comienzo o en medio del enunciado o que aparezca un concepto verbal con significado contrario a la operación requerida, como el ejemplo que pusimos de “más” cuando en realidad pedía una operación de restar.

IntroducciónOTROS

EJEMPLOS

¿Cuánto dinero le falta a Juan, que tiene 12 euros, para tener la misma cantidad que Andrés, que tiene 18 euros?

Andrés tiene 18 euros. Le da 12 a Juan. ¿Cuánto dinero le queda a Andrés?

Este es un problema INCONSISTENTE, ya que el dato que representa la cantidad inicial a tomar se encuentra al final del problema y la que representa la cantidad

final se encuentra al principio del problema.

Este es un problema CONSISTENTE, ya que los datos vienen ordenados de cantidad inicial a la transformación de forma secuenciada, no vienen

desordenados, sino que paso por paso se van dando los datos diciendo lo que se opera con ellos.

IntroducciónSe deben trabajar de forma equitativa todas las categorías y tipos de problemas. Por desgracia, muchos libros de texto no lo hacen así.

En este trabajo hemos puesto nombre y apellidos a cada problema y seguidamente lo hemos clasificado atendiendo a la categoría, al tipo y a la adecuación del nivel de dificultad, pasando a analizar el material didáctico a utilizar en el aula.

IntroducciónCRITERIOS USADOS PARA EL ANÁLISIS

-Identificación de la categoría y tipo de problema.

-La secuenciación de acuerdo a la lógica interna de la Aritmética.

-Estar bien secuenciados de acuerdo con el desarrollo evolutivo del niño y con el nivel académico ( curso-ciclo y edad ).

-Conocer los prerrequisitos, las ayudas, la didáctica y el variado uso del vocabulario matemático.

IntroducciónCRITERIOS USADOS PARA EL ANÁLISIS

-Coincidir con el estilo de procesamiento mental que hace el alumno de la información (secuencial-simultáneo), aunque en la resolución de problemas es necesaria la integración de ambos procesos.

-Trabajar la variabilidad perceptiva o pensamiento divergente para favorecer la flexibilidad mental del niño.

IntroducciónFINALIDADES DEL ANÁLISIS

PREVENTIVA

CORRECTIVA

OPTIMIZADORA

Evitar las dificultades que puedan aparecer mediante el desarrollo de un repertorio de habilidades bien secuenciadas

Propuesta de recursos para solucionar dificultades concretas en la resolución de problemas: clasificación, secuenciación,...

Adaptarse al ritmo de aprendizaje de los alumnos, trabajando las categorías y tipos de forma contextual, sistemática y coherente a lo largo de la etapa de Educación Primaria, respetando el nivel de dificultad correspondiente

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

¿CÓMO SE HA REALIZADO?

J.Luis LuceñoY Jaime Martínez

Lozano

EstructuraAditiva

EstructuraMultiplicativa

Cambio

Combinación

Comparación

Igualación

Razón

Escalares

Combinación

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

¿CÓMO SE HA REALIZADO?

-Categoría y tipo

-Nivel de dificultad por edades, ciclo y curso académico

-Enunciado modelo

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE CAMBIO

Se trata de problemas en los que se parte de una cantidad y hacemos con ella una transformación de

adición o de sustracción de una cantidad que es de la misma naturaleza

TIPOS

UNIÓN

SEPARACIÓN

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE CAMBIO

1ºCiclo: Se aumenta una cantidad inicial conocida y se pregunta la cantidad final que ha salido

UNIÓN

2ºCiclo: Se conoce la cantidad inicial y la cantidad final mayor que la inicial y se pregunta el aumento que ha realizado la cantidad inicial para llegar a la cantidad final

3ºCiclo: Se conoce la cantidad final y el aumento y se pregunta cuál era la cantidad inicial antes de habérsele realizado el susodicho aumento.

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE CAMBIO

UNIÓN

1ºCiclo: Antonio tenía en su hucha 8 euros. Después de su comunión, metió otros 12 euros. ¿Cuánto dinero tiene ahora en la hucha?Como vemos, tenemos una cantidad inicial (8) y un aumento (12). Nos piden la cantidad final tras dicho aumento, que consiste en la suma de la inicial con la transformación.

EJEMPLOS

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE CAMBIO

UNIÓN

2ºCiclo: Andrés tenía 14 tazos. Después de jugar ha reunido 18. ¿Cuántos ha ganado?Como vemos, se nos da la cantidad inicial (14) y la cantidad final (18) y tenemos que hallar el aumento, que se consigue mediante la diferencia entre la cantidad final y la cantidad inicial.

EJEMPLOS

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE CAMBIO

UNIÓN

3ºCiclo: Jugando he ganado 7 canicas, y ahora tengo 11. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?Como vemos, se nos da la transformación (7) y la cantidad final (11). Tenemos que hallar la cantidad inicial mediante la diferencia entre la cantidad final y la transformación.

EJEMPLOS

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE CAMBIO

1ºCiclo: Se conoce una cantidad inicial a la que se le disminuye su valor y nos interesa saber la cantidad final que hemos obtenido tras dicha disminución.

SEPARACIÓN

2ºCiclo: Se conoce una cantidad inicial a la que se le ha disminuido su valor pero no sabemos cómo, solamente conocemos de este proceso la cantidad final que ha salido.

3ºCiclo: Se conoce una cantidad final y la disminución que se ha realizado para llegar a dicha cantidad final, pero no conocemos la cantidad inicial del suceso.

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE CAMBIOSEPARACIÓN

1ºCiclo: Antonio tenía en su hucha 8 euros. En su cumpleaños se ha gastado 5 euros. ¿Cuánto dinero tiene ahora en la hucha?Como vemos, se da la cantidad inicial (8) y la transformación realizada a dicha cantidad (5) y nos piden lo que nos queda ( la final ), que se obtiene mediante la diferencia entre la cantidad inicial y la transformación.

EJEMPLOS

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE CAMBIOSEPARACIÓN

2ºCiclo: Andrés tenía 14 tazos. Después de jugar le quedan sólo 8 tazos. ¿Cuántos ha perdido?Como vemos, nos dan la cantidad inicial (14) y la cantidad final del suceso (8) y queremos saber la transformación realizada entre ambas cantidades. Se obtiene mediante la diferencia entre la cantidad inicial y la cantidad final.

EJEMPLOS

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE CAMBIOSEPARACIÓN

3ºCiclo: Jugando he perdido 7 canicas, y ahora me quedan 4. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?Como vemos, sabemos la cantidad final del suceso (4) y la transformación (7) pero queremos saber qué teníamos al principio del suceso. Para obtenerlo, se obtiene mediante la suma de la cantidad final con la transformación.

EJEMPLOS

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMBINACIÓN

Se trata de problemas en los que se tienen dos cantidades, las cuales se diferencian en alguna característica, y se quiere saber la cantidad total que se obtiene o teniendo la total y una de las cantidades y se

quiere saber la otra cantidad.

TIPOS

CO1

CO2

1ºciclo

2-3ºciclo

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ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMBINACIÓN

CO 1: Dos partes se unen para formar un todo.Es un problema de sumar. Se emplea tantoen el 1º ciclo de primaria como en el 2ºciclode primaria.

A

B

?

EJEMPLOS

CO 1: “Luisa tiene 12 bombones rellenos y 5 normales. ¿Cuántos bombones tiene Luisaen total?”

12

5

?

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMBINACIÓN

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMBINACIÓNCO 2: Conocidos el todo y una de las partes se pregunta por la otra. Es un problema inverso al anterior. Es un problema conmutativo y derestar. Se emplea tanto en el 1º como en el 2ºciclo de primaria.

A

?B

CO 2: “Luisa tiene 12 bombones contando los rellenos y los normales. Si tiene 10 rellenos,¿cuántos bombones normales tiene Luisa?”

EJEMPLOS

1712

?

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMBINACIÓN

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓN

Se trata de aquellos problemas en los que se comparan dos cantidades. Los datos del problema son dichas cantidades y la

diferencia que existe entre ellas.

TIPOS

CM1

CM2CM3

CM4

CM5

CM6

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ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓN

CM 1: Se expresan dos cantidades y se preguntala diferencia en el sentido del que más tiene.Es un problema de restar. Se trabaja fundamentalmente en 2º ciclo.

AB

¿+?

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS

CM 1: “Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5.¿Cuántos euros más que Raquel tieneCarlos?”

85

¿+?

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓN

BA

¿-?

CM 2: Se expresan dos cantidades y se preguntala diferencia en el sentido del que menostiene. Es un problema de restar. Se trabaja fundamentalmente en 2º ciclo.

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS

CM 2: “Marcos tiene 37 euros. Raquel tiene 12.¿Cuántos euros menos que Marcos tieneRaquel?”

1237

¿-?

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓN

CM 3: Situación en la que se quiere averiguar la la cantidad comparada conociendo la referente y la diferencia en más de ésta.Es un problema de sumar.Se emplea fundamentalmente en 2º ciclo.

?A

x +

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS

CM 3: “Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5euros más que él.¿Cuánto dinero tieneRaquel?”

?8

5 +

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓNCM 4: Situación en la que se quiere averiguar la la cantidad comparada conociendo la referente y la diferencia en más de ésta. Es un problema de restar.Se emplea fundamentalmente en 2º ciclo.

?A

x -

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS

CM 4: “Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5euros menos que él.¿Cuánto dinero tieneRaquel?”

?8

5 -

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓN

CM 5: Situación en la que se quiere averiguar lacantidad referente conociendo la comparaday la diferencia en más de ésta. Es unproblema de restar.Se empleafundamentalmente en 2º y 3º ciclo.

A?

x +

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS

CM 5: “Marcos tiene 17 euros, y tiene 5 euros más que Raquel.¿Cuánto dinero tieneMarcos?”

17 ?

5 +

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓNCM 6: Situación en la que se quiere averiguar lacantidad referente conociendo la comparaday la diferencia en menos de ésta. Es unproblema de sumar.Se empleafundamentalmente en 2º y 3º ciclo.

A?

x -

CM 6: “Marcos tiene 17 euros, y tiene 5 euros menos que Raquel.¿Cuánto dinero tieneRaquel?”

17?

5 -

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE COMPARACIÓNEJEMPLOS

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

Comprende los problemas que contienen dos cantidades diferentes, sobre una de

las cuales se actúa aumentándola o disminuyéndola hasta hacerla igual a la

otra.

- Cantidad a igualar - Cantidad referente

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

Cuenta con seis tipos de problemas derivados de si se pregunta por:

• La cantidad a igualar• La cantidad referente

• La cantidad de igualación

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

Plantea una situación en la que se conocen las cantidades a igualar y la referente, y se pregunta cuánto hay que añadir

(igualación) a la primera para alcanzar la segunda. Es un problema de restar.

IGUALACIÓN 1

Ejemplo: Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5 euros. ¿Cuántos euros le tienen que dar a Raquel para que

tenga los mismos que Marcos?.

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semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

IGUALACIÓN 2

Plantea una situación en que se conocen las cantidades a igualar y la referente, y se pregunta cuánto hay que detraer (igualación) a la

primera para alcanzar la segunda.Es un problema de restar.

Ejemplo: Marcos tiene 8 euros. Raquel tiene 5 euros. ¿Cuántos euros tiene que perder Marcos para tener igual

que Raquel?.

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

IGUALACIÓN 3

Plantea una situación en la que se conoce la cantidad referente y la igualación (añadiendo) que debe sufrir la cantidad a igualar, que es

la que se desconoce.Es un problema de restar muy difícil.

Ejemplo: Juan tiene 17 euros. Si Rebeca ganara 6 euros, tendría los mismos que Juan. ¿Cuántos euros tiene

Rebeca?

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

IGUALACIÓN 4

Plantea una situación en la que se conoce la cantidad referente y la igualación (detrayendo o quitando) que debe sufrir la cantidad a

igualar, la cual se desconoce. Es un problema de sumar muy difícil.

Ejemplo: Juan tiene 17 euros. Si Rebeca perdiera 6 euros tendría los mismos que Juan. ¿Cuántos euros tiene

Rebeca?.

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

IGUALACIÓN 5

Plantea una situación en la que se conoce la cantidad a igualar y la igualación (añadiendo o en más), debiendo averiguar la cantidad

que sirve de referente.Es un problema de sumar.

Ejemplo: Marcos tiene 8 euros. Si le dieran 5 euros más tendría los mismos que tiene Rafael. ¿ Cuántos euros tiene

Rafael?.

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE IGUALACIÓN

IGUALACIÓN 6

Plantea una situación en la que se conoce la cantidad a igualar y la igualación (quitando o en menos), debiendo averiguar la cantidad

que sirve de referente. Es un problema de restar.

Ejemplo: Marcos tiene 8 euros. Si perdiera 5 euros más tendría los mismos que Rafael. ¿Cuántos tiene Rafael?.

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA ADITIVA

PROBLEMAS DE IGUALACIÓNNIVEL ACADÉMICO

IG1Ciclo II

9-10 años

IG2Ciclo II

9-10 años

IG3Ciclo II

9-10 años

IG4Ciclo II

9-10 años

IG5Ciclo II-III9-11 años

IG6Ciclo II-III9-11 años

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

Los problemas con esta estructura requieren tener en cuenta:

-La naturaleza del multiplicador-La distinción entre cantidades intensivas y

extensivas-Y las combinaciones entre los elementos

que las componen.

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

Es una unidad flexible, es decir, hay que determinarla en cada situación problemática.

También se entiende como un mecanismo que permite economizar tiempo y esfuerzo

sustituyendo varias sumas por una sola operación.

MULTIPLICADOR

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

MULTIPLICADORcaracterísticas

* El multiplicador puede ser el número que indica cuántas veces se repite una cantidad de la misma naturaleza.

Ejemplo: Si un número de naranjas se repite una determinada serie de veces el resultado sigue siendo

naranjas,no existe transformación del referente.

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

MULTIPLICADORcaracterísticas

* Puede indicar una cantidad de diferente naturaleza a la representada por el multiplicando.

Ejemplo: Si queremos saber el precio de 30 kg de naranjas a 2 euros

el kg, el resultado ya no son naranjas sino euros, cambia el referente.

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

MULTIPLICADORcaracterísticas

* Puede representar una proporción/razón que seestablece entre dos cantidades.* En el producto cartesiano combinamos las canti-dades del multiplicando y el multiplicador para obtener una tercera (producto) diferente.

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

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ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

Cantidades extensivas e intensivasCantidades extensivasAquellas que tienen una

extensión y pertenecen al mundo real.Pueden ser:

Continuas (longitud, peso) o discontinuas

(naranjas, dinero, caramelos,… )

Cantidades intensivasAquellas que se forman por

combinación o razón de cantidades extensivas.-Discontinuas/discretas

(bombones por caja)-Discontinuas/continuas (índice de natalidad)-Continuas/continuas (kilómetros por hora)

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

LAS COMBINACIONES: PRODUCTO CARTESIANO

La multiplicación es una operación que permite resolver las combinaciones que se pueden establecer entre los

elementos de dos conjuntos.Ejemplo: Se contratan 4 autobuses para realizar una

excursión. Cada autobús transporta 60 pasajeros. ¿Cuántos pasajeros viajan en los cuatro autobuses?

A partir de una multiplicación dada se originan dos posibles divisiones en función de la cantidad que se tome por divisor:

ParticiónCuotación

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

División partitivaAquella en la que el

dividendo (pasajeros) y el divisor (autobuses)

son de distinta naturaleza.

Ejemplo: Se reparten por igual 240 pasajeros entre 4

autobuses ¿cuántos pasajeros viajan en cada uno?

División cuotativa o por agrupamiento

Aquella en la que el dividendo (pasajeros) y el divisor

(pasajeros por autobús) son de la misma naturaleza.

Ejemplo: Se reparte por igual 240 pasajeros entre varios

autobuses. Si cada autobús transporta 60 pasajeros ¿cuántos autobuses se

necesitan?

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

Multiplicación Razón 1 Ciclo I-II 7-8 años

Dada una cantidad de determinada naturaleza (multiplicando) y el “número de

veces” que se repite (multiplicador-razón 1), se pregunta por la cantidad resultante

(producto), que es de la misma naturaleza que el multiplicando.

Ejemplo: Agustín lleva al contenedor 8 envases vacíos de vidrio, va cuatro veces en el día, y siempre que va lleva el mismo número de envases, ¿cuántos envases ha llevado

en total durante el día?

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

Multiplicación Razón 2 Ciclo I-II 7-8 años

Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (multiplicando y multiplicador), se

pregunta por la cantidad resultante (producto) que es de la misma naturaleza.

Ejemplo: Hay 4 montones de manzanas, cada montón tiene 32 manzanas. ¿Cuántas manzanas hay en total en los 4

montones?

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

Multiplicación Razón 3 Ciclo I-II 7-8 años

Dada una cantidad de naturaleza “A” (multiplicando) y otra de naturaleza “B”

(multiplicador-razón 3), se pregunta por la cantidad resultante (producto) de la misma

naturaleza que el multiplicando.

Ejemplo: Jaime compra 5 cuentos. Cada cuento cuesta 3 euros. ¿cuántos euros pagó?

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

División Partición / Razón Ciclo I-II 7-8 años

Dada una cantidad de naturaleza “A” (dividendo) y otra de naturaleza “B” (divisor),

se pregunta por la cantidad resultante (cociente) de la misma naturaleza que el

dividendo.

Ejemplo: Una colección consta de 96 cromos. Su álbum tiene 12 páginas. En todas ellas se pega el mismo número de cromos. ¿Cuántos cromos se pegan en cada página?.

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

División Cuotación / Razón Ciclo I-II 7-8años

Dadas dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor), se pregunta

por la cantidad resultante (cociente) de distinta naturaleza que las anteriores.

Ejemplo: Una colección consta de 96 cromos. Si en cada página del álbum pegamos 8 cromos. ¿Cuántas páginas

tendrá el álbum?.

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA ESCALAR

• 1- Comparación: Utilizan los términos “veces más”, “veces menos”, “doble”, “triple”, etc.

• 2- Formula: Son los que dependen de una fórmula. Por ejemplo los que ligan velocidad, tiempo y espacio recorrido.

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN

• Multiplicación comparación en más• Ej: Juan tiene 8 euros. Luisa tiene cuatro veces más

dinero que él.¿Cuánto dinero tiene Luisa?• Como podemos observar es un problemas de

proporción en más.• Nivel académico: Ciclo II – III (9 y 11 años)

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN

• División/partitiva comparación en más• Ej: Luisa tiene 32 euros, que es cuatro veces

más que el dinero que tiene Juan.¿Cuántos euros tiene Juan?

• Para resolver este problemas tiene que darse cuenta de la división en comparación de más.

• Nivel académico: Ciclo II – III

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN

• División Cuotitiva o por agrupamiento/ Comparación en más

• Ej: Begoña tiene 32 euros. Paco tiene 8 euros. ¿cuántas veces más dinero tiene Begoña que

Paco?• Estos problemas se resuelven con una división

Cuotitiva• Nivel académico: Ciclo II – III

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN

• Multiplicación comparación en menos• Ej: Aurelio tiene 8 euros. Tiene tres veces menos

dinero que Ana. ¿Cuántos dinero tiene Ana?• Este problema es complicado por su vocabulario

porque puede confundir al niño y se confunda de tipo de operación si multiplicación o división

• Nivel académico: Ciclo III

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN

• División partitiva/ Comparación en menos• Ej: Andrés tiene 36 euros. Marta tiene cuatro veces menos dinero que Andrés. ¿ cuántos euros tiene Marta?

• Este problema debe resolverse con una división partitiva como su nombre indica.

• Nivel académico: Ciclo III

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE COMPARACIÓN

• División Cuotitiva o por agrupamiento/ comparación en menos

• Ej: Pepa tiene 45 euros. Félix tiene 9 euros ¿Cuántas veces menos dinero tiene Félix que Pepa?

• Para resolver este problema utilizaremos una división cuotitiva, porque el dividendo y divisor son de la misma

naturaleza.• Nivel académico: Ciclo III aunque se puede iniciar a

finales de II ciclo.

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE FÓRMULA

• Multiplicación Formula • Ej: Un señor recorre 45 km en una hora. ¿ cuántos km.

Recorrerá en 3 horas? • Equivale a un problema de razón por parte de niño

• NIVEL ACADÉMICO: Tercer ciclo

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE FÓRMULA

• División cuotitiva o por agrupamiento Fórmula• Ej: Si caminas a una velocidad de 5 km por hora.

¿cuántas horas tardarás en recorrer 25km?• Equivale a problema de división de razón

• NIVEL ACADÉMICO: Tercer ciclo

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semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA ESCALARPROBLEMAS DE FÓRMULA

• División Partitiva Fórmula• Ej; ¿A que velocidad irá un coche, si en 5 horas recorre

650?• Utilización de división partición, utilizando concepto de

espacio tiempo• NIVEL ACADÉMICO: Tercer ciclo

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA DE COMBINACIÓN O PRODUCTO CARTESIANO

• Estos problemas implican la combinación de dos cantidades determinadas para formar una tercera cantidad

• Son problemas muy difíciles para los niños.• Utilizan cantidades simétricas, y ambas juegan el

mismo papel.

• Multiplicación Combinación o producto cartesiano • Ej: En un baile hay 3 chicos y 2 chicas. ¿Cuántas

parejas distintas se pueden formar?• Se pueden confundir entre la operación de

multiplicación o suma.• NIVEL CICLO: Tercer ciclo

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA DE COMBINACIÓN O PRODUCTO CARTESIANO

Clasificación, orden y secuenciación de las categorías y los tipos de problemas en función de su estructura

semántica

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

CATEGORÍA DE COMBINACIÓN O PRODUCTO CARTESIANO

• División Combinación o producto cartesiano 2• Ej: En un baile hay 3 chicos y algunas chicas. Se

pueden formar 6 parejas distintas entre ellos. ¿cuántas chicas hay en el baile?

• Problema de dividir con cantidades intercambiables que puede crear muchos problemas para resolverlo al niño.

Dificultades que se derivan de la práctica escolar

• No ubicar al alumno en la situación problema.

• Se presentan de forma muy variada, son monótonos y redundantes, la presencia de ellos a veces es casi nula. Se centran en la operación.

• Olvido de representaciones lingüísticas y gráficas del mismo.

• Nivel de dificultad no es adecuado.

Dificultades Implícitas que se derivan de la tarea de resolver

problemas• Estrategias para el enunciado.• Situación de la pregunta en el

texto• Tamaño de los números.• Tipos de nº: naturales,

fraccionarios, decimales…• Tipo de operación:+, -, x, /• Números de operaciones.

Ayudas para la resolución de un problema

• Reenunciación oral o escrita se pretende explicitar la estructura del problema ya sea de:

Cambio Combinación Comparación

Problemas de combinación

• Presentación normalPaco y Aurelio tienen 9 caramelos entre los dos. Paco tiene 3 caramelos. ¿ Cuántos tiene Aurelio?• Presentación reescritaPaco y Aurelio tienen 9 caramelos entre los dos. 3 de estos caramelos pertenecen a Paco. El resto pertenece a Aurelio. ¿Cuántos tiene Aurelio?

Problemas de cambio

• Presentación normalAntonio gana 5 tazos en una partida. Ahora tienen 8 tazos. ¿ Cuántos tazos tenía al principio?• Presentación reescritaAl principio, Antonio tenía algunos tazos. Después gana 5 tazos. Al final tiene 8 tazos.¿ Cuántos tenía al principio?* ( empleo de expresiones temporales).

Problemas de comparación

• Presentación normalRosa tiene 8 pinturas. Ella tiene 8 más que Laura. ¿Cuántas pinturas tiene Laura?• Presentación reescritaRosa tiene más pinturas que Laura. Rosa tiene 8 pinturas. Ella tiene 5 más que Laura. ¿Cuántas pinturas tiene Laura?

Ayudas para la resolución de un problema

• Representación lingüística del problema consiste articular el enunciado en función de lo que se conoce (datos) y de lo que no se conoce (pregunta).

Problema

• Antonio tenía algunos tazos, después gana 5 tazos en una partida y al final tiene 8 tazos. ¿Cuántos tazos tenia al principio?

• LO QUE SÉAl principio Antonio tenía algunos tazos, después gana 5, y al final tiene 8.• LO QUE NO SÉ

¿Cuántos tazos tenía al principio?

Ayudas para la resolución de un problema

• Representación figurativa. Se pretende que el alumno dibuje gráficamente el problemas mediante figuras geométricas y de este modo también aprende a discriminar las categorías de problemas

PROBLEMAS DE COMBINACIÓN

PARTE

PARTE

TODO

PROBLEMAS DE COMPARACIÓN

MAYOR

MENOR DIFERENCIA

IINICIO TRANSFORMACIÓN FINAL

PROBLEMAS DE CAMBIO

Pasos para trabajar sistemáticamente

• Familiarización con las figuras• Dramatización del significado• Dibujos• Presentación como situación problemática• Elementos simbólicos y números• Oral y escrito• Adecuado nivel de dificultad

JUSTIFICACIÓN DE LAS AYUDAS

• Representación del enunciado• Descubrir donde comete los errores, esto

marca la necesidad del alumno y lo que debe hacer el profesor

• Diversidad de los alumnos• Desarrollo del conocimiento conceptual

CONCLUSIONES

FINALES

Conclusiones

¿Qué se trabaja?• Problemas de combinación, cambio, etc. En

cuadernillos rubio, Santillana, SM y Anaya.( son consistentes).

¿Qué no se trabaja?• Problemas inconsistentes• Dificultad del problema

FIN

Bibliografía

Bibliografía

Bibliografía