probabilidade - rodrigo farias
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5/12/2018 Probabilidade - Rodrigo Farias - slidepdf.com
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A história da teoria das
probabilidades, teve início noséculo XVI com os jogos decartas, dados e de roleta.
Esta teoria foi usada porMendel em seus estudos
Rodr igo Far ias
Hoje, está intimamente
relacionada com a estatística,que tem aplicações comdiversos ramos do
conhecimento.
Probabilidade
Rodrigo
drigo_digo_007@yahoo.com.brdrigo_farias1994@hotmail.com
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pe de e seus es udos
ElementosExperimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguaiscondições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja,imprevisíveis. Quando se fala de tempo e possibilidadesde ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de
experimento aleatório.Espaço Amostral (U)É o conjunto de todos os resultados possíveis de umexperimento aleatório.Evento (E)
É qualquer subconjunto de um espaço amostral. E U⊂i a s
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E = {c} e E = {k}
1) Lança-se uma moeda e lê-se a figura da facevoltada para cima.Pede-se:
a) O espaço amostral;
a) O número de elementos do espaço
amostral;a) O número de elementos dos eventos.
U ={cara, coroa}
n(U)=2
n(E )=1 e n(E ) = 11 2
1 2
RodrigoFaria
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2) Lança-se um dado e lê-se o número voltadopara cima.Pede-se:
a) O espaço amostral.
a) Calcule o número de elementos do
espaço amostrala) Determine o evento: Ocorrência de um
número maior que quatro.
a) Determine o evento: Ocorrência de umnúmero par.
U={1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(U)=6
E ={5, 6}1
2E ={2, 4, 6}
RodrigoFaria
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Experimento composto
Quando temos dois ou mais experimentos realizadossimultaneamente, dizemos que o experimento écomposto.Nesse caso, o número de elementos do espaço amostral édado pelo produto dos números de elementos dos
espaços amostrais de cada experimento.Um exemplo disso são dois dados quando lançadosimultaneamente.
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(U )= 6
1= {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(U )= 61
2 2Logo: n(U)= n(U ) . n(U )21ortanto, n(U) = 6.6 = 36 elementos
Dado 1 Dado 21 1
2 13 14 8. .. .. .
RodrigoFaria
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3) Ao lançar uma moeda e um dado,simultaneamente, calcule o número deelementos de U.
Moeda
={c, k} → n(U) = 2
Dado
U ={1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(U)
n(U) = 6.2
moeda dado
n(U) = 12 elementos
RodrigoFaria
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4) Obtenha o espaço amostral dolançamento simultâneo de três moedas.
Moeda 1
Moeda 2
Moeda 3
{c, k}
{c, k}
{c, k}
2.2.2=8
U= {(c, c,c);(c, c, k);
(c, k, c);(k, c, c);(c, k, k);(k, c, k);
(k, k, c); RodrigoFaria
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Probabilidade de umevento
Um espaço amostral (U), equiprovável (com elementosque tem a mesma chance de ocorrer).
Probabilidade de um evento em um espaço
equiprovável
P(E) =n(E)n(U)
0≤p(E)≤10%
100%
Ex.: Jogandouma moeda,qual a
probabilidadede ocorrercara?n(U)=2 n(E)=1
12
RodrigoFaria
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nçando-se um dado, qual é a probabilidadecorrer uma face igual a 5?
correr uma face maior que 4?
16
2
6
=:2
:21
3
≈16,6%
≈33,3%
RodrigoFaria
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Probabilid
adeExercícios
Complementares
RodrigoF
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o d r i
g o F a r i
a1
a) Um rei; c) Uma carta de ouros
b) Um valete de paus; d) Uma carta que não
seja de ouros.
131352
452
6) De um baralho tira-se uma ou maiscartas qual a probabilidade de que a cartaseja:
152 3952
BaralhoContém 52 Cartas;Dividida em 4 Grupos (Naipes): Copas, Paus,Ouro e espada.Cada grupo contém 13 Cartas sendo do Ás à
10, Valete (J), Dama (Q), Rei (K).
=:4
:4= 1
4:13
:13
= 34
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36
7) (Puc-rio 2005) Dois dados não viciadossão jogados simultaneamente. Qual aprobabilidade da soma ser 7 nessa jogada?
Dado 1 Dado 2
123
654
123
654
U=6.6=36
6 possibilidades
6 =:6
:6 1
6
RodrigoFaria
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o d r i
g o F a r i
aer om o n u o e separar o xo
para fins de reciclagem, uma instituição colocouem suas dependências cinco lixeiras, de acordocom o tipo de resíduo a que se destinam: vidro,plástico, metal, papel e lixo orgânico.
Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma
delas uma embalagem plástica e, ao mesmotempo, em outra, uma garrafa de vidro.A probabilidade de que ele tenha usadocorretamente pelo menos uma lixeira é igual a:a) 25% b) 30% c) 35% d) 40% e) 45%
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o d r i
g o F a r i
aA probabilidade de que eletenha usado corretamentepelo menos uma lixeira é
igual a:a) 25% b) 30% c) 35% d)40% e) 45%
Sem olhar para as lixeiras, João joga em umadelas uma embalagem plástica e, ao mesmotempo, em outra, uma garrafa de vidro.
1° Possibilidade
2° Possibilidade
3° Possibilidade
Acertar – Plástico; Errar – Vidro.
Acertar – Vidro; Errar – Plástico.
Acertar – Vidro; Acertar – Plásti
15
34
. = 320
15 34. = 320
15
14
. = 120
Ptotal=P+P+P1 2 3= 320 320 120++ = 720= 0,35
35% - Letra C
ê
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o d r i
g o F a r i
a9) (UPE – 2005)Um juiz de futebol tem trêscartões no bolso. Um é todo amarelo, outro étodo vermelho e o terceiro tem uma face
vermelha e a outra amarela. Em um determinadolance, o juiz retira, aleatoriamente, um cartão dobolso e mostra ao jogador. Qual a probabilidadede a face que o juiz vê ser amarela e de a outra
face, mostrada ao jogador, ser vermelha?
A)1/3B)2/3C)1/6
D)5/6
Frente Verso
1° Cartão
2° Cartão3° Cartão
VermelhoVermelho
Amarelo Amarelo
Vermelho Amarelo
d i d l j i i
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o d r i
g o F a r i
aEm um determinado lance, o juiz retira,aleatoriamente, um cartão do bolso e mostraao jogador. Qual a probabilidade de a face que o
juiz vê ser amarela e de a outra face, mostradaao jogador, ser vermelha?
Frente Verso
1° Cartão
2° Cartão
3° Cartão
VermelhoVermelho
Amarelo Amarelo
Vermelho Amarelo
Exp.1: Puxar o cartãocerto. 1
3Exp. 2: O juiz ver amarelo e o
jogador ver vermelho.12
13
12
. = 16 R. Letra C
10) U d 50 é l ifi d d
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o d r i
g o F a r i
a10) Um grupo de 50 moças é classificado deacordo com a cor dos cabelos, e dos olhos decada moça, segundo a tabela:
Cabelo OlhosAzuis Castanhos
Loira 17 9
Morena 4 14
Ruiva 3 3
a) Se você marca um encontro com uma dessasgarotas, escolhidas ao acaso, qual a
probabilidade de ela ser:.a) Loira;a.b) Morena de olhos azuis;a.c) Morena outer olhos azuis?2650
450 38
501925=
:2
:2
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o d r i
g o F a r i
aCabelo Olhos
Azuis Castanhos
Loira 17 9
Morena 4 14
Ruiva 3 3
b) Está chovendo quando você encontra a garota.Seus cabelos estão completamente cobertos, mas
você percebe que ela tem olhos castanhos. Qualé a probabilidade de que ela seja morena?1426
11) D t t l d 100 l d ti
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o d r i
g o F a r i
a11) De um total de 100 alunos que se destinam ao cursode Matemática, Física e Química sabe-se que:I. 30 destinam-se a matemática e , destes, 20 são do
sexo masculino.II. O total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais
10 destinam-se a Química.III. Existem 10 moças que se destinam ao curso de
Química.
Nessas condições, sorteando-se um aluno ao acaso dogrupo total e sabendo e sabendo que é do sexo feminino,qual é a probabilidade de que ele se destine ao curso dematemática?
H M
MFQ
20
1030
10
20
10
5010
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R e v i
s a n d o
E x e r c
í c i o s
c o m p
l e m e n
t a r e s
Rodrigo Fariat l d i t b
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o d r i
g o F a r i
aar um espaço amostral para cada experimento abaa) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra
PROBABILIDADE;
a) Uma urna contém bolas Vermelhas, brancas e azuis.Uma bola é extraída e observada sua cor;
a) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 2 brancas. Duas
bolas são extraídas, sem reposição, e observada suascores na seqüência que foram extraídas;
a) Um casal planeja ter 3 filhos. Observa-se a seqüência desexos dos 3 filhos;
a) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados,observa-se os números das faces de cima;
a) A uma pessoa (Não nascida em ano bissexto) éperguntado a data de seu aniversário (mas não o ano
U= {P, R, O, B, A, I, L, D, E}
U= {V, B, A}
= {V, V}, {V, B}, {B, V}, {B, B}
U= {M, M, M}; {F, M, M}; {M, F, M}; {M, M, F}; {M,F, F}; {F, M, F}; {F, F, M}; {F, F, F}
e) Dois dados um verde e um vermelho são lançados
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ae) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados,
observa-se os números das faces de cima;
§(1, 1)§(1, 2)§(1, 3)§(1, 4)§(1, 5)§(1, 6)§(2; 1)§(2; 2)§(2; 3)§(2; 4)§(2; 5)§(2; 6)§(3; 1)§(3; 2)
f) A uma pessoa (Não nascida em ano bissexto) éperguntado a data de seu aniversário (mas não o anodo nascimento). Observa-se esta data:
{1, 2, 3, 4, 5, ..., 364, 365}
13) U té 30 b l d d 1
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a13) Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a30. Uma bolinha é escolhida e observada onúmero. Descreva o evento:
a) O número obtido é par;b) O número obtido é ímpar;
c) O número obtido é primo;
d) O número obtido é maior que 16;
e) O número obtido é múltiplo de 2 e de 5;
f) O número é múltiplo de 3 ou de 8;
g) O número não é múltiplo de 6.
h) O número é menor que 1.
1530
1530
U={11, 13, 17, 19, 23, 29}630
:6
:6=15
1430
e) O número obtido é múltiplo de 2 e de 5;
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o d r i
g o F a r i
ae) O número obtido é múltiplo de 2 e de 5;
f) O número é múltiplo de 3 ou de 8;
g) O número não é múltiplo de 6.
h) O número é menor que 1.
{2, 4, 6, 8, 10, 12...}{5, 10, 15, 20, 25, 30}5= {10, 20, 30}
Comuns
15+6-3=18
18
303, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}8, 16, 24}
{24} 10+3-1=12
{6, 12, 18, 24, 30}
0-6=24
24
30
12
30
E= {Ø}
14) De um grupo de 200 pessoas 160 tem fator
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o d r i
g o F a r i
a14) De um grupo de 200 pessoas, 160 tem fatorRh +, 100 tem sangue tipo O e 80 tem fator Rh +e sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for
selecionada ao acaso, qual a probabilidade de:a) Seu sangue ter fator Rh+?b) Seu sangue não ser tipo O?c) Seu sangue ter fator Rh+ou ser do tipo O?
20
20
Rh+T i p o O
160R. a)
200
=4
5
=80%
R. b)
8080
20
Rh+T i p o O
8080 20
100200=
12
R. c) Rh+
160200+
Tipo O
100200
Rh+ e Tipo O
- 80200=200180= 910=50%
90%
15) Um colégio de 1000 alunos Destes:
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o d r i
g o F a r i
a15) Um colégio de 1000 alunos. Destes:200 estudam matemática180 estudam física
200 estudam química20 estudam matemática, física e química50 estudam matemática e física50 estudam física e química
70 somente química.Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual aprobabilidade de:
a) Ele estudar só matemática?b) Ele estudar só física?c) Ele estudar matemática e química?
Um colégio de 1000 alunos F
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o d r i
g o F a r i
aUm colégio de 1000 alunos.Destes:200 estudam matemática180 estudam física
200 estudam química20 estudam matemática,física e química50 estudam matemática efísica50 estudam física e química70 somente química.
20
MF
Q
30
30
100
70
80
70
a) Ele estudar só matemática?
a)
Ele estudar só física?a) Ele estudar matemática e
química?
701000
1001000
1001000
16) Em um grupo de 500 estudantes 80 estudam
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16) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudamengenharia, 150 estudam economia e 10estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é
escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que:a) Ele estude economia e engenharia?b) Ele estude somente engenharia?c) Ele estude somente economia?
d) Ele não estude engenharia nem economia?e) Ele estude engenharia ou economia?
A t i v
i d a
d e P a r a C
a s a
17) Em uma urna existem 6 bolinhas numeradas
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a17) Em uma urna existem 6 bolinhas numeradasde 1 a 6. Uma a uma elas são extraídas, semreposição. Qual a probabilidade de que a
seqüência de números observados sejacrescente?
234561
16 15 14 31 12 11. . . .. =7201
18) Um lote com 60 lâmpadas sendo 50 boas e
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o d r i
g o F a r i
a18) Um lote com 60 lâmpadas, sendo 50 boas e10 defeituosas. 5 lâmpadas são escolhidas aoacaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:a)
Todas serem boas?a) Todas serem defeituosas?
a) 2 serem Boas e 3 defeituosas?a) Pelo menos uma ser defeituosa?
0 Lâmpadas50 Boas
10 Def.
5060
4959
4858
4757
4656. .. . =
1060
959
858
757
656
. .. . =
Todas serem boas? Rodrigo
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Todas serem boas?
C50, 5C60, 5
=
50!
5!(60-5)!
5!(50-5)!50560
5
= 60! =50.49.48.47.46.45!
5!45!60.59.58.57.56.55!
5!55!odas serem defeituosas?10!
5!(60-5)!
5!(10-5)!105
605
= 60! =10.9.8.7.6.5!
5!5!60.59.58.57.56.55!
5!55!serem Boas e 3 defeituosas?
50!
5!(60-5)!
2!(50-2)!502
605
= 60!
103.
. 10!3!(10-3)!
elo menos uma ser defeituosa? 505
605
1-
Rodrigo
19) De um lote de 200 peças sendo 180 boas eRodrigo
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19) De um lote de 200 peças sendo 180 boas e20 defeituosas, 10 peças selecionadas ao acaso,sem reposição. Qual a probabilidade de:
a) As 10 peças serem boas?
a) As 10 peças serem defeituosas?
a) 5 peças serem boas e 5 serem defeituosas?
A
t i v i d a
d e P a r a C
a s a
Rodrigo
20) Um número é sorteado ao acaso entre os 100
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o d r i
g o F a r i
a20) Um número é sorteado ao acaso entre os 100inteiros de 1 a 100.a) Qual a probabilidade do número ser par?
a) Qual a probabilidade do número ser par, dadoque ele é ≤ 50?
a) Qual a probabilidade do número ser divisívelpor 5, dado que é par?
a) Ser múltiplo de 9?
50100
25100
10100
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99}11100
ma moeda é lançada 3 vezes Qual a probabilidade
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o d r i
g o F a r i
ama moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade
servarmos 3 coroas?
servarmos exatamente uma coroa?servarmos pelo menos uma cara?
servarmos nenhuma coroa?servarmos no máximo 2 caras?
12 12 12. . =18
servarmos exatamente uma coroa?
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g o F a r i
aservarmos exatamente uma coroa?
spaço Amostral:2.2.2=8
luções possíveis:
, C, K , K, C, C, C
C = Cara e K = Coroa
38
bservarmos pelo menos uma cara?luções possíveis:
§ C, K, K § K, C, K §
K, K, C§ C, C, K § C, K, C§ K, C, C§
C, C, C
1 cara 2 cara
3 cara
bservarmos nenhuma coroa?
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abservarmos nenhuma coroa?
18
bservarmos no máximo 2 caras?K, K, K
C, K, K
K, C, K K, K, C
C, C, K
C, K, CK, C, C
Nenhuma
1
2
78
22) O mês de outubro tem 31 dias Numa certa
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o d r i
g o F a r i
a22) O mês de outubro tem 31 dias. Numa certalocalidade, chove 5 dias no mês de outubro. Quala probabilidade de não chover nos dias 1° e 2° de
outubro?
31 Dias
Chove:5 dias
Não chove:26 dias
1° Dia126
2° Dia125
. = 1650
23) Em um jogo dois apostadores decidiram
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o d r i
g o F a r i
a23) Em um jogo, dois apostadores decidiramjogar uma moeda honesta 3 vezes seguidas. Sehouver maior número de “caras” nesses 3
lançamentos, vencerá o primeiro jogador e, casocontrário, vencerá o segundo jogador. Sabendoque, em um dos lançamentos, houve “cara”, aschances do segundo jogador ter vencido são de:a)
1/2b) 1/4c) 3/7d) 4/7
e) 1/3
3° a) 1/2
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o d r i
g o F a r i
a2°3°
1°
c
k
ck
c
k
c
k
k
ck
c
k
c
§(k, k, k)§(k, k, c)§(k, c, k)§(k, c, c)§(c, k, k)§(c, k, c)§(c, c, k)§(c, c, c)
3
7
a) 1/2b) 1/4c) 3/7d)
4/7e) 1/3
24) (ENEM – 2011) Rafael mora no Centro de uma
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a24) (ENEM 2011) Rafael mora no Centro de umacidade e decidiu se mudar, por recomendaçõesmédicas, para uma das regiões: Rural, Comercial,
Residencial Urbano ou Residencial suburbano. Aprincipal recomendação médica foi com astemperaturas das “ilhas de calor” da região, quedeveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas
são apresentadas no gráfico:
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g o F a r i
a
a)
a) b)
a)
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outrasregiões para morar, a probabilidade de eleescolher uma região que seja adequada àsrecomendações médicas é:
1 3
31 2
5 5
5
4
4
25)(ENEM – 2011) Todo o país passa pela
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a25)(ENEM 2011) Todo o país passa pelaprimeira fase de campanha de vacinação contra agripe suína (H1N1). Segundo um médico
infectologista do Instituto Emílio Ribas, de SãoPaulo, a imunização “deve mudar”, no país, ahistória da epidemia. Com a vacina, de acordocom ele, o Brasil tem a chance de barrar uma
tendência do crescimento da doença, que jámatou 17 mil no mundo. A tabela apresentadados específicos de um único posto devacinação.
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d r i g o F
a r i a
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoaatendida nesse posto de vacinação, aprobabilidade de ela ser portadora de doençacrônica é:
200
22Portadores de
doençascrônicas
22200
:2
= 11100
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