primer parcial matematicas especiales
Post on 07-Jul-2018
219 Views
Preview:
TRANSCRIPT
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 1/12
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CAL-DAS
MATEMATICAS ESPECIALESPRIMER PARCIALYeison Moreno Parra 20122073014Henry Erick Perez 20122073068
1). Pruebe por induccion matematica que para cualquiera numerosde z yw complejos y cualquie enteropositivo n:
(z + w)n =nP
k=0
n
k
znkwk.
Haciendo n=0 se obtiene:
(z + w)0 =P0
k=0 (0k)z0k
wk
(z + w)0 =P0
k=0 (1)z0k
wk= (1)(z0
w0) = 1
cuando n=1(z + w)1 =
10
z10w0+
11
z11w1
10
= 1!
(10)!0!= 111
= 1!
(11)!1!= 1
(z + w)1 = 1 z 1 + 1 1 w = z + w
Haciendo n=n+1
(z + w)n+1
=Pn+1
k=0 (n+1k )z
n+1
k
wk
(z + w)n+1 = (z + w)(z + w)n= (z + w)(zn+:::+
n
k1
znk+1w)
(z + w)n+1 = zn+1+(
n
1
+
n
0
)z
nw + ::: + (
nk
+
nk1
)z
n+1kwk+:::+
Obteniendo como resultado por el metodo de induccion:(z + w)n+1 =
Pn+1k=0 (n+1
k )zn+1k
wk
cuando n=2(z + w)2 =
20
z20w0+
21
z21w1+
22
z22w2
20
= 2!
(20)!0!= 121
= 2!
(21)!1!= 222
= 2!
(22)!2!= 1
(z + w)2 = 1 z21 + 2 zw + 1 1 w2= z2+2zw + ww
cuando n=s(z + w)s =
s
0
zs0w0+
s
1
zs1w1+
s
2
zs2w2+:::::+
sk
zskwk
s0
= s!
(s0)!0!= 1s1
= s!
(s1)!1!= s(s1)!
1
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 2/12
s2
= s!
(s2)!2!= s
2(s1)!
s
k= s!
(sk)!k!= 1
(z + w)s
= zs+ s(s1)!zs1w1+ s
2(s1)!zs2w2+::::: + zskwk
cuando n=s+1(z + w)s+1 = (z + w)(z + w)s
(z + w)(z + w)s= (z + w) (sP
k=0
sk
zskwk) = z(
sPk=0
sk
zskwk) + w(
sPk=0
sk
zskwk)
al multiplicar se obtienesP
k=0
sk
zs+1kwk+
sPk=0
sk
zskwk+1
s
0
zs+1w0 +
sPk=1
sk
zs+1kwk
+
sP
k=0
sk
zskwk+1 +
ss
z0ws+1
s+10
zs+1w0 + s
Pk=1
sk
zs+1kwk
+h
s+1s+1
i
s+10
zs+1w0 +
sPk=1
sk
zs+1kwk
+h
(s+1)!((s+1)(s+1))!(s+1)!
i
s+10
zs+1w0 +
sPk=1
sk
zs+1kwk
+1
entoncessP
k=1
s
k1
zsk+1wk+11+
ss
ws+1
sPk=1
s
k1
zs+1kwk+
s+1s+1
ws+1
y sumando los dos terminos
s+10
zs+1w0+ s
Pk=1
sk
zs+1kwk+ s
Pk=1
s
k1
zs+1kwk+
s+1s+1
ws+1
s+10
zs+1+
sPk=1
hsk
+
sk1
izs+1kwk+
s+1s+1
ws+1
s+10
zs+1+
sPk=1
s+1
k
zs+1kwk+
s+1s+1
ws+1
s+1Pk=1
s+1
k
zs+1kwk
se comprueba el teorema de newton
2)a) veri…car si los siguientes conjuntos:1.El grupo de las funciones derivables f que verigri…can que: f 00(t)
2f 0(t) + tf (t) = 0
2.El de las reales continuas (en un punto en un intervalo) talesque: f (x0) = 1:
2
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 3/12
Tienen estructura de espacio vectorial, con las operaciones usualesde
suma de funciones y escalar por función.Respuesta 1:
f; g 2 V ! (f + g) 2 V
(f + g)ll
(t) 2(f + g)l+t(f + g)(t)
f ll(t) + gll(t) 2
f l(t) + gl(t)
+t [f (t) + g(t)]
f ll(t) 2f l(t) + tf (t) + gll(t) 2gl(t) + tg(t)
como f (t); g(t) 2 V; entonces
f ll(t) 2f l(t) + tf (t) = 0
gll
(t) 2g
l
(t) + tg(t) = 0entonces;f ll(t) 2f
l(t) + tf (t) + gll(t) 2g
l(t) + tg(t) = 0 + 0 = 0
2R; f 2 V; (f )(t) 2 V
(f ll(t) 2f l(t) + tf (t))
f ll(t) 2f l(t) + tf (t)
como f 2 V entoncesf ll(t) 2f
l(t) + tf (t) = 0
(f ll(t) 2f l(t) + tf (t)) = 0 = 0 para todo 2R
entonces
f ll(t) 2f l(t) + tf (t) = 0 para todo 2R
Así entonces: este es un espacio vectorial.respuesta 2:
W = ff 2 G[a;b]/f (x0) = 1; x0 2 [a; b]gf; g 2 W dado x0 entonces f (x0) = 1 g(x0) = 1(f + g)(x0) = f (x0) + g(x0) = 1 + 1 = 2 6= 1
Luego f + g =2 W por tanto no es espacio vectorial.
b)1)f ; g 2 w=f (0) 6= 0; g(0) 6= 0
f + g 2 w
(f + g)ll(t) 2(f + g)l+t(f + g)(t)
3
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 4/12
f ll(t) + gll
(t) 2
f l(t) + gl(t)
+t [f (t) + g(t)]
f ll(t)
2f l(t) + tf (t) + g
ll(t)
2g
l(t) + tg(t)
f ll(t) 2f l(t) + tf (0) + g
ll(t) 2gl(t) + tg(0)
como tf (0) 6= 0; g(0) 6= 0
f ll(t) 2f l(t) 6= 0 = tf (0)
gll(t) 2gl(t) 6= 0 = tg(0)
tf (0) + tf (0) = 0
tg(0) + tg(0) = 0
entonces 0+0=0
ahora 2R; f 2 W; (f )(t) 2 W
como f
2 W entonces
f ll(0) 2f l
(0) + tf (0) = 0f (0) 6= 0
tf (0) = f ”(0) + 2f 0(0)(f ll(0) 2f l(0) f ”(0) + 2f 0(0))f ll(0) 2f l(0) f ”(0) + 2f 0(0) = 00 = 0 para todo 2R
Asi entonces W es un sub espacio vectorial de V
2)f; g 2 W ! (f + g) 2 W; f (t0) = 1
(f + g)ll(t) 2(f + g)l+t(f + g)(t)f ll(t) + g
ll(t) 2
f l(t) + gl(t)
+t [f (t) + g(t)]f ll(t) 2f l(t) + tf (t) + gll(t) 2gl(t) + tg(t)
como f (t0); g(t0) 2 W; entonces
f ll(t0) 2f l(t0) + tf (t0) + g
ll(t0) 2gl(t0) + tg(t0)
0 0 + t + 0 0 + t = 0
t = 0
Si tenemos f ll(t) 2f l(t) + 0 = 0Entonces f ll(t) 2f l(t) 6= f ll(t) 2f l(t) + tf (t)por tanto W no es un subespacio vextorial de V.3).
demostrar que si v y w son vectores de un espacio real V conproducto interior, entonces:a) j < v;w > j jjvjjjjwjjExtienda el resultado cuando el espacio vectorial es el de las fun-
ciones reales continuas en [a,b], dar un ejemplo.
4
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 5/12
b) demostrar que si v y w son vectores de un espacio vectorialcomplejo V con producto interior, entonces:
< v; w >=14 jjv + wjj21
4 jjv wjj2+ i4 jjv + iwjj2 i
4 jjv iwjj2solución:a). si u y v son vectores en Rn; entoncesju vj jjujjjjvjj (1)si u=0, entonces jjujj=0 y u v =0, de modo que se cumple (1).
Ahora supongamos que u es distinto de cero. Sea r un escalar yconsideremos el vector ru+v. de acuerdo con el teorema que estableceque jjwjj2 = w w:
0 (ru + v) (ru + v) = r2
u u + 2ru v + v v
= ar2 + 2br + cdonde a = u u; b = u v y c = v vAhora p(r) = ar2 + 2br + c es un polinomio cuadrático en r (cuya
gra…ca es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0) que es nonegativo para todos los valores de r. Esto signi…ca que el polinomiono tiene raíces reales, o si las tiene, son iguales. [si p(r) tuviera dosraíces distintas r1 y r2: seria negativo para algún valor de r entre r1 yr2 ]
recordando que las raíces de p(r) están dadas por la fórmula cuadráticacomo
0.0.1 2b+p 4b24ac2a
y 2bp 4b24ac2a
(a6= 0 pues u6= 0). Ambas raíces son iguales o no existen raíces realessi
4b24ac 0
lo cual signi…ca queb2 ac
al sacar las raices cuadradas de ambos lados y observar que p
a =p u u = jjujj; p
c = p
v v = jjvjj;y tomando la raíz positiva de
p b2 =
p (u v)2 = j < u; v > j; debido a
que b esta elevado al cuadrado siempre sera positivo el resultado espor esto que se pone en valor absoluto.
ejemplo: considere los vectores u=(1,0,0,1), v=(0,1,1,0) y w=(3,0,0,3).Entonces
uv = 0 y v w = 0lo cual implica que tanto u y v como v y w son ortogonales. Ten-
emosuw = 6; jjujj = p 2; jjwjj = p 18; u w = jjujjjjwjjel coseno del ángulo entre u y w es 1. En consecuencia, concluimos
que u y v tienen la misma dirección.ejemplo: si u y v son , uv = 13 por lo tanto, juvj = 13 jjujjjjvjj =p
18p
30
5
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 6/12
utilizaremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz para de…nir el an-gulo entre dos vectores distintos de cero en R n:
Si u y v son vectores distintos de cero la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que uv
jjujjjjvjj
1 o 1 uvjjujjjjvjj 1
al examinar la parte de la gra…ca de y=cos para 0 vemosque para cualquier numero r en el intervalo [-1,1], existe un uniconúmero real tal que cos = r: Esto implica que hay un único númeroreal tal que
cos = uvjjujjjjvjj ; 0
el ángulo es el angulo entre u y v.en el caso de R3;podemos aplicar la ley de los cosenos para estable-
cer que el coseno del angulo entre u y v esta dado por la anteriorformula. Sin embargo, para Rn; n > 3; tenemos que de…nirlo como la
formula anterior.b).si V es un espacio vectorial C, entonces jjv + wjj2 = jjvjj2 + 2 < v;w >
+jjwjj2 y jjv wjj2 = jjvjj2 2 < v;w > +jjwjj2se tiene que14 jjv + wjj21
4 jjv wjj2=12< v; w > 1
2
< v; w > = < v; w >
14jjv + wjj21
4jjv wjj2= Re < v; w >
Por otro lado,jjv + iwjj2 = jjvjj2 + 2Re < v;iw > +jjiwjj2 = jjvjj2 + 2Im <v;w > +jjwjj2
y de manera similar jjv iwjj2 = jjvjj2 2 Im < v; w > +jjwjj2; lo queimplica que
i4 jjv + iwjj2 i
4 jjv iwjj2= i2< v; w > i
2
< v; w > = < v; w >
i
4 jjv + iw
jj2
i
4 jjv
iwjj2= i Im < v; w >
obteniendo que < v;w >= Re < v; w > +iIm < v; w > lo que tambienpuede escribirse como < v;w >= 1
4 jjv + wjj2 14 jjv wjj2 + i
4 jjv + iwjj2 i4 jjv iwjj2
4.a)demostrar el proceso de ortogonalizacion de gram-schmidtsea V un espacio vetorial con producto interno.Todo subespacio W
con una base tiene al menos una base ortogonal y una base ortonor-mal.
Si B = fv1;v2;v3;:::;vkg es cualquier base de V entonces 0 = fu1;u2; u3;:::;ukges una base ortogonal donde:
u1= v1
u2= v2 hv2u1ihu1u1i
u3= v3 hv3u1ihu1u1iu1 hv3u2i
hu2u2iu2
6
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 7/12
::
uk= vk hvku1ihu1u1iu1 hvku2ihu2u2iu2:::: hvkuk1ihuk1uk1iuk1
Gen fv1;v2;v3;:::vkg = Gen fu1; u2;u3; :::ukg ; i = 1;:::; k
el vector es ortogonal al normalizarlo se obtiene 00
00=n
u1
ku1k ; u2
ku2k ; u3
ku3k ;::: ukkukko
donde kukk = 2p hvk;vki
b) Dado el espacio vectorial elospolinomios reales de grado menor
o igual a n:Pn:Sea el producto interior < f ; g > = R b
a W (x)f (x)g(x)dx
con W (x) > 0W
x 2 [a; b]Aplique elproceso de Gram-Schmidt a la base:f1; x ; x2; x3; x4g par
construir una base ortogonal de P4 subespacio de P n; cuando a=1, b=1W (x) = 2
p 1 x2
U 1 = 1 U 2 = x U 3 = x2 U 4 = x3 U 5 = x4
V 1 = U 1 = 1
V 2 = U 2 proy(U 2)v1 = x < x; 1>
<1;1> = x
R 11
x 2p
1x2dxR 11
2p 1x2dx
= xR 11
x 2p
1 x2dx = 0R 11
2p
1 x2dx = 12
V 3 = U 3 proy(U 3)v1 proy(U 3)v2 = x2 <x2 ; 1><1;1>
<x2; x><x;x>
x
= x2 R 11 x
2 2p 1x
2
dxR 11
2p 1x2dx R
11 x
3 2p 1x
2
dtR 11
x2 2p 1x2dx x = x2
1
8 12 = x214R 1
1x2 2
p 1 x2dx = 1
8R 11 x3 2
p 1 x2dx = 0
V4= U4proy(U4)v1proy(U4)v2proy(U4)v3= x3 <x3 ; 1><1;1>
<x3; x><x;x>
t <x3; x2 14 >
<x2 14 ;x2 1
4 >(x
214
= x3R 11
x3 2p 1x2dx
R 11
2p 1x2dx
R 11
x3 2p 1x2dx
R 11
x2 2p 1x2dx
xR 11
x3 (x2 14 )
2p 1x2dx
R 11
(x2 14 )(x2 1
4 ) 2p
1x2dx(x
214) = x
3 116
18
x = x31
2xR 11 x3 2
p 1 x2dx = 1
16R 11 x3(x
214) 2
p 1 x2dx = 0
V5= U5proy(U5)v1proy(U5)v2proy(U5)v3proy(U5)v4= x4
<x4 ; 1>
<1;1> <x4; x>
<x;x> t h <x4
<x2
= x4R 11
x4 2p 1x2dx
R 11
2p 1x2dx
R 11
x4 2p 1x2dx
R 11
x2 2p 1x2dx
xR 11
x4 (x2 14 )
2p 1x2dx
R 11
(x2 14 )(x2 1
4 ) 2p
1x2dx(x
214
)R 11
x4 (x3 12 x) 2
p 1x2dx
R 11
(x3 12 x)(x3 1
2 x) 2p 1xR 1
1 x4 2p
1 x2dx = R 11 x4(x
312x) 2
p 1 t2dt = 0
7
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 8/12
Base Ortogonal(1) = f1; x ; x2 1
4 ; x3 12x; x4 1xg
Se demuestra que hay ortogonalidad:R 11
x 2p
1 x2dx = 0R 11 x(x
214) 2
p 1 x2dx = 0R 1
1 (x
312x)(x
214) 2
p 1 x2dx = 0R 1
1 (x
41x)(x31
2x)(x21
4) 2p
1 x2dx = 0
Ahora volveremos aun mas …na la base para que sea ortonormallpara eso hallamos la magnitud de cada vi.
jV 1j = 2
q R 11
2p
1 x2dx=q
12
jV 2j =q R 1
1(x)(x) 2
p 1 x2dx=
q 18
jV 3j =q R 1
1(x2 1
4)(x2 14) 2
p 1 x2dx=
q 132
jV 4j =q R 1
1(x3 1
2x)(x3 1
2x) 2
p 1 x2dx=
q 1128
jV 5j =q R 1
1(x4 1x)(x4 1x) 2
p 1 x2dx=
q 1512
Base Ortonormal:(2) = f V 1
jV 1j ; V 2jV 2j ; V 3
jV 3j ; V 4jV 4j ; V 5
jV 5jg(2) =
f
p 2p
;p 8p
x;p 32p
(x2
14 );
p 128p
(x3
12 t);
p 512p
(x4
1x)
g5) Sea V elespacio vectorial de las funciones continuas C [; ]:Dado
el producto interior < f;g >=R
f (t)g(t)dt
w = Genn
1p 2
; 1p
cos t; 1p
sin t; :::; 1p
cos nt; 1p
sin nto
= Tn [; ]
Subespacio de C [; ] formado por todos los poligonios trigono-metricos de grado n
a) encuentrelamejor aproximacion para f (t) = t2 en [; ]poligoniostrigonometricos de grado 5 y 6.
Muestre gra…camente el error en la aproximacion.
f (t) = t2 g(t) = W
Proy(f (t))W = <f (t);W >
<W;W > W =
R
f (t)W
R
W W
W
8
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 9/12
R
t2 1p
2dt
R
1p 2 1p 2 dt 1p 2
=13
p 2
52
1
1p 2
= 132
*
R
t2
sin(t)p
dt
R
sin(t)p
sin(t)p
dt
sin(t)p
= 01sin(t)p
= 0
*
R
t2
cos(t)p
dt
R
cos(t)p
cos(t)p
dt
cos(t)p
= 4p
1cos(t)p
= 4cos t
*
R
t2
sin(2t)p
dt
R
sin(2t)p
sin(2t)p dt
sin(2t)p
= 01sin(2t)p
= 0
*
R
t2
cos(2t)p
dt
R
cos(2t)p
cos(2t)p
dt
cos(2t)p
=p
1cos(2t)p
= cos 2t
*
R
t2
sin(3t)p
dt
R
sin(3t)p
sin(3t)p
dt
sin(3t)p
= 01sin(3t)p
= 0
R
t2
cos(3t)p
dt
R
cos(3t)p
cos(3t)p
dt
cos(3t)p
= 4
9p
1cos(3t)p
= 4
9 cos 3t
*
R
t2
sin(4t)p
dt
R
sin(4t)p
sin(4t)p
dt
sin(4t)
p = 0
1
sin(4t)
p = 0
*
R
t2
cos(4t)p
dt
R
cos(4t)p
cos(4t)p
dt
cos(4t)p
=14
p
1cos(4t)p
= 1
4 cos 4t
*
R
t2
sin(5t)p
dt
R
sin(5t)p
sin(5t)p
dt
sin(5t)p
= 01 = 0
*
R
t2
cos(5t)p
dt
R
cos(5t)p
cos(5t)p
dt
cos(5t)p
= 4
25p
1cos(5t)p
= 4
25 cos5t
*
R t
2 sin(6t)p dt
R
sin(6t)p
sin(6t)p
dt
sin(6t)p
= 0
sin(6t)p
= 0
*
R
t2
cos(6t)p
dt
R
cos(6t)p
cos(6t)p
dt
cos(6t)p
=p
9
1cos(6t)p
= cos(6t)
9
9
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 10/12
luego se suma los resultadso diferentes de 0
132 4 cos t + cos 2t 4
9 cos3t+ 14 cos 4t 4
25 cos5t + cos(6t)9
y por ende esto se igual a F (t) y se haya su sucecion para aproximarla ecuacion a f (t) entre [; ]
t2 = 132 4 cos t + cos 2t 4
9 cos3t+ 1
4 cos 4t 425
cos 5t + cos(6t)9
t2 = 132 4 cos t + cos 2t 4
P50k=2
cos((2k1)t)
(2k1)2
+P50
k=2
cos((2k)t)
k2
=
t2=
0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@
164 cos 16t + 1
81 cos 18t + 1100 cos20t + 1
121 cos 22t + 1144 cos 24t + 1
169 cos 26t + 1196 cos 28t +
21
289 cos 34t + 1324 cos 36t + 1
361 cos38t + 1400 cos 40t + cos 2t 4 cos t + 1
4 cos 4t + 19 cos 6t +
+ 136 cos 12t + 1
49 cos 14t + 1441 cos 42t + 1
484 cos44t + 1529 cos 46t + 1
576 cos 48t + 1625 cos 50t +
+ 1784 cos 56t + 1
841 cos 58t + 1900 cos 60t + 1
961 cos62t + 11024 cos 64t + 1
1089 cos 66t + 11156 c
11296
cos 72t + 11369
cos 74t + 11444
cos 76t + 11521
cos 78t + 11600
cos 80t + 11681
cos 82t + 11764
+ 11936 cos 88t + 1
2025 cos 90t + 12116 cos 92t + 1
2209 cos 94t + 12304 cos 96t + 1
2401 cos98t
4
0BBBBBBBB@
19 cos 3t + 1
25 cos 5t + 149 cos 7t + 1
81 cos 9t + 1121 cos 11t + 1
169 cos 13t + 1225 cos15t +
1361
cos 19t + 1441
cos 21t + 1529
cos 23t + 1625
cos25t + 1729
cos 27t + 1841
cos 29t + 196
11089
cos 33t + 11225
cos 35t + 11369
cos 37t + 11521
cos 39t + 11681
cos 41t + 11849
cos 43t +1
2209 cos 47t + 12401 cos 49t + 1
2601 cos 51t + 12809 cos 53t + 1
3025 cos 55t + 13249 cos 57t +
13721 cos 61t + 1
3969 cos 63t + 14225 cos 65t + 1
4489 cos 67t + 14761 cos 69t + 1
5041 cos 71t +1
5625 cos 75t + 1
5929 cos 77t + 1
6241 cos 79t + 1
6561 cos 81t + 1
6889 cos 83t + 1
7225 cos 85t +
17921
cos 89t + 18281
cos 91t + 18649
cos 93t + 19025
cos 95t + 19409
cos 97t + 19801
co
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
x
y
6)Sea V el espacio vectorial P 3; y el producto interior hf; gi =R 10
f (t)g(t)dt:Sea W el subespacio de P 3 generado por f1; 1 + x; 1 + x + x2ga)Determine una base para W ?
10
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 11/12
u1 = 1; u2 = 1 + x; u3 = 1 + x + x2:
v1 = u1 = 1;
v2= v1 <v1;v2><v1;v1>
v1
< v1; v2 >=R 10 (1 + x)dx = 3
2
< v1; v1>=R 10
(1)dx = 1
v2= v1 <v1;v2><v1;v1>
v1= 1 + x 32
1 1 = x12
v3= v3 <v1;v3><v1;v1>
v1<v2;v3><v2;v2>
v2
< v1; v3>=R 10
(1 + +x + x2)dx = 11
6
< v2; v3 >=R 10
(x 12
)(1 + +x + x2)dx = 16
< v2; v2>=R 10 (x1
2 )(x12)dx = 1
12
v3= v3 <v1;v3><v1;v1>
v1<v2;v3><v2;v2>
v2= 1 + +x + x2 116
1 16112
(x12) = x
2x+16
(1; x12 ; x2x+1
6):b)Pruébese que, en general, dado un subespacio W : (W ?)? = W c)Pruébese que, en general, dado un subespacio W : (W \W ?) = f0gSea x 2 W \ W ?.Como x 2 W ? , para cada w 2 W ,se tieene que
< x; w >= 0:En particula, tomando w = x 2 W se tiene que k x k2=< x; w >= 0, de donde x = 0.
7). Sea W el subespacio de R5generado por:
w1=
2
66664
135
05
3
77775 ; w2=
2
66664
112
23
3
77775 ; w3=
2
66664
014
15
3
77775a).Encuentre una base para W ?:b). Encuentre la dimensión para W ?:
solución
a).
24 1 3 5 0 5 0
1 1 2 2 3 00 1 4 1 5 0
35, Gaussian elimination:
24 1 3 5 0 5 0
0 2 7 2 8 00 0 1
2 0 1 0
35
ahora reduciendo por Gauss-Jordan se tiene que24
1 3 5 0 5 00
2 7
2 8 0
0 0 12 0 1 0
35
se multiplica -1/2 a la segunda …la24 1 3 5 0 5 0
0 1 72 1 4 0
0 0 12 0 1 0
35
11
8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales
http://slidepdf.com/reader/full/primer-parcial-matematicas-especiales 12/12
se multiplica la tercera …la por 2, luego se multiplica la tercera …lapor 7
2 y se le suma a la segunda …la24 1 3 5 0 5 0
0 1 0 1 3 00 0 1 0 2 0
35
se multiplica la segunda …la por 3 y se le suma a la primera …la24 1 0 5 3 14 0
0 1 0 1 3 00 0 1 0 2 0
35
se multiplica la tercera …la por -5 y se le suma a la primera …la24 1 0 0 3 4 0
0 1 0 1 3 00 0 1 0 2 0
35
de manera que se obtienea + 3d + 4e = 0
b + d + 3e = 0
c + 2e = 0
entonces se puede decir quec = s
d = t
e = s2
a = 3t 4( s2
)b = t 3( s
2)con lo que resultaa = 3t + 2s
b = t+32
s
c = s
d = t
e = s2
la base será f(3; 1; 0; 1; 0); (2; 32 ; 1; 0; 12 )g
12
top related