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P A M E L A C A B A L L E R O #A L E X I A B E R N A R D O #

A L E J A N D R A G O N Z Á L E Z # 1 2

CÓNICAS

TIPOS DE CÓNICAS

• Existen cuatro tipos de cónicas, según el ángulo del plano que intersecta con el cono y su base:

• Circunferencia: es la intersección del cono con un plano paralelo a la base.

• Elipse: intersección del cono con un plano oblicuo a la base y que no la corta en ningún momento.

• Parábola: es la intersección del cono con un plano paralelo a su generatriz y que corta a la base.

• Hipérbola: es la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo es menor al de la generatriz del cono.

CIRCUNFERENCIA

• La circunferencia es una figura geométrica cuyos puntos están a una distancia constante, llamada radio, del centro.

• La superficie plana comprendida dentro de una circunferencia es el círculo.

CIRCUNFERENCIA

Las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2

Ecuación analítica de la circunferencia:

ELIPSE

• La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias es constante.

• Es decir, para todo punto P de la elipse, la suma de las distancia es constante.

• Una elipse se puede definir también como la intersección entre un cono recto y un plano oblicuo que no pase por su base.

elipse

Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a.   Aplicando Pitágoras tenemos que:  

Ecuación analítica de la elipse:

PARÁBOLA

• La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco y de una recta denominada directriz.

• El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que será más o menos abierta según la distancia entre F y la directriz).

PARÁBOLA

Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c,por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ

HIPÉRBOLA

• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos es constante.

• El valor de esa constante es la distancia entre los vértices de la hipérbola.

HIPÉRBOLA

Ecuación analítica de la hipérbola: nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (–c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x.  Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a

REFERENCIAS

• http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/conicas/• http://kambry.es/Apuntes%20Web/Paginas%20we

b%20de%20Matematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Conicas.htm• Geometría analítica,Lehamann,editorial Limusa