pertemuan 03 - 04 [compatibility mode]

Limit dan FungsiLimit dan FungsiFungsi dan Grafiknya

Operasi pada Fungsi

Pendahuluan LimitPendahuluan Limit

Teorema Limit

Kekontinuan Fungsi

Fungsi dan GrafikSebuah fungsi f adalah suatu aturan yang menghubungkan masing-masing elemen x dalam suatu himpunan A (domain f) secara teliti dengan elemen tunggal f(x) dalam himpunan B (range f).dengan elemen tunggal f(x) dalam himpunan B (range f).

x – variable bebas , f(x) – variable tidak bebas.r A(r)=πr2

Contoh:

t i

x1

x

f(x1) black boxx f(x)input output

aturan, mesin

x2

x3

f(x2)

f(x3)

fungsi

Grafik dari sebuah fungsi: {(x f(x)) | x∈A}

domain A range B = Semua kemungkinan harga

y

y=x2 1

{(x,f(x)) | x∈A}

Semua kemungkinan harga

x0 1

Fungsi Didefinisikan Secara Alj bAljabar

Sebuah fungsi A function diwakili

2

Sebuah fungsi A function diwakili dengan rumus.

2( ) 3 2f x x= + adalah sebuah fungsi.Contoh.

2

( )f h

2(5) 3(5) 2 77f = + =

( )23 2h( )f x h+ ( )3 2x h= + +2 23 6 3 2x xh h= + + +

Jenis Umum Fungsi Aljabar

Linear( )f x mx b= +

Kuadratik

( )f x mx b+

(a tidak 0)

P l i l

2( )f x ax bx c= + +( tid k 0)Polynomial

1( ) n nf x a x a x a−= + + +

(an tidak 0)

1 0( ) ...n nf x a x a x a−= + + +

Jenis Umum Fungsi Aljabar

Exponensial (A, b konstan, b >0)

R ti l (P Q l i l)

( ) xf x Ab=

Rational (P, Q polynomial)

( )( ) P xf ( )( )( )

f xQ x

=

Fungsi Piecewiseg

Beberapa rumus untuk mendefinisikanBeberapa rumus untuk mendefinisikan fungsi tunggal

Gunakan ketika h k

Contoh 2

32 5.5 if 2( )

13 8 2 5 if 2

x xf x

− ≤⎧⎪= ⎨+ >⎪⎩

harga x kurang atau sama dengan 2

13.8 2.5 if 2x x+ >⎪⎩Gunakan ketika harga x lebih besar

Catatan

(1) 32 5.5(1)f = −2(3) 13 8 2 5(4)f = +

= 26.5

= 53 8

harga x lebih besar dari2

(3) 13.8 2.5(4)f = + = 53.8

Fungsi Secara GrafikFungsi Secara GrafikGrafif fungsi kumpulan semua titik (x, f (x)) dimana x dalam domain fdimana x dalam domain f .

Diberikan grafik y = f (x), tentukan f (1).

f (1) = 2f (1) 2 (1, 2)

Grafik Sebuah FungsiGrafik Sebuah FungsiUji Garis Vertikal: Grafik fungsi hanya dapat dil l i k li l h b b i ik ldilalui sekali oleh beberapa garis vertikal.

Fungsi Bukan fungsig g

Dilalui lebih dari sekali.

Membuat Sket Fungsi PiecewiseMembuat Sket Fungsi Piecewise2 if 2 1x x− − ≤ <⎧⎪

2

2 if 2 1( )

+1 if 1 2

x xf x

x x

≤ <⎧⎪= ⎨≤ ≤⎪⎩

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤−=

1,1,1

)(2 xx

xxxf

Sket bagian rumus pada

⎪⎩ >1, xxy

y=x2pdomain

y x

1y=1-x

0 1

Fungsi Trigonometri

Gambar di bawah meringkas definisi fungsi-fungsi sinus, cosinus dancosinus dan

θθiθ sinθcosθ cot

θ cosθsinθ tan ==

sin θ1sc θ c

cos θ1sec θ ==

→

Fungsi SinusFungsi Sinus

Sinus dari bilangan real t koordinat-y titik P seperti diagram, dimana |t| adalah panjang lengan.

y

Pi t

1

x

Psin t

–1 |t|

1 unit 1

–1

Fungsi SinusFungsi Sinus

i (0) 0sin(0) 0π=

⎛ ⎞sin 12π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠( )sin 0

3

π =

⎛ ⎞

2ππ

3sin 12π⎛ ⎞ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2π 3

2π

Priode dan Amplitudo Fungsi-fungsi

Pergrseran vertikalTrigonometri.

( ) ( )2sinf x A x C DBπ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Pergeseran horizontal 4

adalah periode.BB

2

3A C

( )21.5sin 1 24

y xπ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

1D

→→

4⎣ ⎦

-1

0-1 1 2 3 4 5x

F ngsi Sin sFungsi Sinus

( )( ) if A C⎡ ⎤⎣ ⎦( )( ) sinf x A x Cω α⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

A adalah amplitudo (tinggi puncak diatas garis dasar)

C adalah pergeseran vertikal (tinggi dari garis dasar)

P adalah priode (panjang gelombang)

adalah frekuensi sudut 2 /P π ω=

ωadalah pergeseran fasaα

Fungsi Sinusg[ ]( ) 1.5sin 0.5 1.3 1.8f x x= − +Contoh

1 5 adalah amplitudo

[ ]1.5sin 0.5( 2.6) 1.8x= − +1.5 adalah amplitudo

1.8 pergeseran vertikal

adalah priode

0.5 adalah frekuensi sudut

2 / .5 4P π π= =

2.6 adalah fasa

4π

Fungsi KosinusFungsi KosinusKosinus dari sebuah bilangan real t kordinat-x titik Pseperti dalam diagram dimana |t| adalah panjangseperti dalam diagram, dimana |t| adalah panjang lengan.

y

P

1

x

P

1 unit1

–1 |t|

cos t 1

–1

Fungsi KosinusFungsi Kosinus

cos(0) 1

0π=

⎛ ⎞⎜ ⎟

( )

cos 02

cos 1π

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

=2ππ

( )cos 1

3cos 0

π

π

= −

⎛ ⎞ =⎜ ⎟π 3πcos 0

2⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2

F ngsi Kosin sFungsi Kosinus

( )( )f A C⎡ ⎤⎣ ⎦( )( ) cosf x A x Cω α⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

A adalah amplitudo (tinggi puncak diatas garis dasar)

C adalah pergeseran vertikal (tinggi dari garis dasar)

2 /P π ω=ωP adalah priode (panjang gelombang)

adalah frekuensi sudut α adalah pergeseran fasa

Tangen, Cotangen, Secan, g , g , ,CosecanTangen: sintan

cosxxx

=cos x

Cotangen: cos 1cotsin tan

xxx x

= =

Secan:

sin tanx x1sec

cosx

x=

Cosecan:

cos x1csc

ix =

sin x

Indentitas TrigonometrigHubungan antara sinus dan Sinusg

2 2sin cos 1t t+ =

( )( )

cos sin / 2

i / 2

t t π= +

( )sin cos / 2t t π= −

( )cos sin / 2t tπ= −( )( )

cos sin / 2

sin cos / 2

t t

t t

π

π

= −

= −

Trigonometri: f(x) = {sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)}, x dalam radian yx dalam radian

y

y=sin(x)

1

y

y=cos(x)1domain: (−∞,∞)range: [-1,1]periode: 2π (gelombang)

l

x0

y=sin(x)

π/2 π-π/2

x0 π/2 π-π/2nol:

πn untuk sin(x)π/2+πn untuk cos(x)

ββ+

)()()(

xcosxsinxtan =

2sin

2sin2coscos

2cos

2cos2coscos

βαβαβα

βαβαβα

−⋅

+−=−

−⋅

+=+

y

domain: cos(x) ≠ 0 range: (−∞,∞)periode: π 2

cos2

sin2sinsin

22βαβαβα +

⋅−

=+

yy=tan(x)1nol: πn untuk sin(x)

xx sectan1 22 =+

22cos1sin xx

−=

x0 π/2 π-π/2122 =+ xsinxcos2

2cos1cos

2xx

+=

Pendahuluan Limit

Evaluasi Limit Secara NumerikContoh. Diberikan fungsi f (x) = 2x2 – 3,

t j di t h d f tapa yang terjadi terhadap f saat xmendekati 2?

x 2.01 2.001 1.99 1.99

f (x) 5.0802 5.0080... 4.9202 4.9920f (x) 5.0802 5.0080... 4.9202 4.9920…

Saat x mendekati 2, f mendekati 5.

Limit – contoh

( ) 1xf x −=

Limit contoh

x→ 1 ← x

( )1

fx −

x 0.99 0.999 0.9999 1 1.00001 1.0001 1.001f(x) 0.50126 0.50013 0.50001 × 0.499999 0.49999 0.49988

Bilangan pada garis bawah pada tabel menunjukkan bahwa f(x) mendekati 0.5 saat x mendekati 1; jadi,

1lim 0.51

x −=

1 1x x→ −

Limit contohLimit – contohGunakan tabel untuk mengestimasi limit:

1

1lim1x

xx→

−−

Penyelesaian:( ) 1xf x −

=

dan hitung f(x) untuk harga x mendekati 1 dari

( )1

f xx −

dan hitung f(x) untuk harga x mendekati 1 dari kiri dan kanan.

Limit – contoh…Limit contoh…y Celah pada titik (1, 0.5)

konsisten dengan pengamatan

1

konsisten dengan pengamatan bahwa fungsi tidak didefinisikan pada x = 1.

L = 0.5(1, 0.5)

11

xyx−

=−

a = 1x

Fungsi cendrung ke arah L = 0.5 t d k ti 1

( ) 11

xf xx−

=−

saat x mendekati a = 1.

Defenisi secara kasarKita tulis ( ) Lxf

ax=

→lim

… ketika x

yang berarti (sangat kasar)“bilamana x mendekati dan mendekati a, tetapi tidak

menuju a

b x e de d e de a, e p dsama dengan a, f(x) mendekati dan mendekati L.”

f(x) mempunyai

Kita sebut L limit dari f(x) bilamana x mendekati a,

kecendrungan menuju L …

atau lebih sederhana, limit f(x) pada a.

Dengan kata lain,g ,

… f(x) bergerak menuju L.

( ) Lxflim ( ) Lxfax

=→

lim

x menuju a, …

Maka, “limit” Ladalah bilangan… adalah bilangan

dimana f(x) berada ketika x

jmenuju a.

Li it C t hLimit – Contoh Anggap kita mempunyai sebuah fungsiAnggap kita mempunyai sebuah fungsi,

9-)(2xxf =

Karena 1 / 0 tidak didefenisikan maka f (x) tidak

3-)(

xxf =

Karena 1 / 0 tidak didefenisikan, maka f (x) tidak didefenisikan pada x = 3. Untuk itu, jika xmendekati 3, f (x) mendekati 6. Untuk itu,

6)(lim3 →

=xfx

Perhitungan Limit Secara Grafikg

1

2 ( )1

limx

f x→ tidak ada

1 2 3 4

1karena limit kiri dan limit kanan tidak sama!

Pada x=1: ( )lim 0f x = limit kiri( )1x

f−→

( )1

lim 1x

f x+→

= limit kanan

( )1 1f = Harga dari fungsi

( )2

lim 1x

f x→

=2

karena limit kiri dan kanan sama.

1 2 3 4

1

Pada x=2: ( )lim 1f x = limit kiriPada x=2: ( )2

lim 1x

f x−→

=

( )2

lim 1f x+

=

limit kiri

limit kanan( )2x +→

( )2 2f = harga fungsi

( )3

lim 2x

f x→

=2

karena limit kiri dan kanan sama.

1 2 3 4

1

pada x=3: ( )lim 2f x = Limit kiripada x=3: ( )3

lim 2x

f x−→

=

( )3

lim 2f x+

=

Limit kiri

Limit kanan( )3x +→

( )3 2f = Harga fungsi

Contoh. 2lim ( ) x

f x→−

2lim ( ) 6 x

f x→

=6

2x→−

2

Catatan: f (-2) = 1

tidak termasuk -2

Contoh. lim ( )f xContoh.5

( )x

f→

2( )y f x=

5

2

2-2

P b k li i d i i i 5 d l hPembentukan limit dari satu sisi 5 adalah 2 dan sisi yang lain dari 5 adalah –2.

adatidakf(x)x

=→5

lim

P hit Li it C t hAnggap sebuah fungsi

Perhitungan Limit - ContohAnggap sebuah fungsi

1x21x-4)( 2

≥+≤=

jikax jika xxf

Untuk menentukan limit f (x) bila x mendekati 1, kita hitung bahwa

1x2 ≥+ jika x

312)(lim1 →

=+=+

xfx

31-4)(lim 2

1 → -==xf

x

Untuk itu, limit fungsi x adalah 3

P hit Li it C t hAnggap sebuah fungsi

Perhitungan Limit - Contohgg p g

Untuk menentukan limit f (x) ketika x mendekati π / 2, kita hitung

xxf tan)( =

hitung

)(limπ→

∞ xfx

=+

2→x

∞-)(lim-

2π →

=xfx

Untuk itu, limit dari f (x) tidak didefenisikan padax = π / 2

2

x π /

LimitLimitKeberadaan LimitLlimit f(x) mengkin tidak ada1. Jika f(x) menjadi besar tak terhingga dalam besaran (positif

atau negatif) seperti x mendekati bilangan a dari sisi yangatau negatif) seperti x mendekati bilangan a dari sisi yang lain, kita tulis (limit tidak ada)

2. Jika f(x) menjadi besar tak terhingga dalam besaran ( )lim

x af x or

→= ∞ −∞

(positif) dimana x mendekati a dari satu sisi dan besar tak terhingga dalam besaran (negatif) dimana x mendekati adari sisi yang lain maka tidak ada( )lim f xdari sisi yang lain, maka tidak ada.

3. Jika dan L ≠ M, maka tidak ada

( )limx a

f x→

( ) ( )lim and limx a x a

f x L f x M→ →

= =

( )lim f x( )limx a

f x→

Sifat-sifat LimitSifat sifat Limit

[ ] Akxflimkk.f(x) dankklim:konstanta adalah k Jika .)(. ===

Bxg dan AxfAnggapaxax

==→→

)(lim)(lim:

1)

( ) ( ) ( ) ( )2) lim lim limf x g x f x g x A B± ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦

(Limit dari konstanta adalah konstanta itu sendiri)

[ ] ff( )axax

)(→→

1)

( ) ( ) ( ) ( )2) lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x A B→ → →

± = ± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦

(Limit dari jumlah atau pengurangan adalah jumlah atau pengurangan limit)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤( ) ( ) ( ) ( )3) lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x A B→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦(Limit perkalian adalah perkalian limit)

( )( )

( )( )

lim4) lim if 0

limx a

x ax a

f xf x A Bg x g x B

→

→→

= = ≠

(Limit pembagian adalam pembagian limit)

Sifat-sifat LimitSifat sifat LimitBxg dan AxfAnggap

axax==

→→)(lim)(lim:

)()()5 apxplimmakapolynomialadalahp(x)Jika = )()()5 apxplimmaka ,polynomialadalah p(x)Jika ax

=→

[ ] kk

ax

k

axAxfxflim k, real bilanganbeberapa Untuk =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→→)(lim)()6

ax ⎦⎣ →

ax semua untuk g(x)jikaf(x) xglimxflim xxxx

≠==→→

)()()7⎤⎡

Axf

xf

axbbblim 0,b real bilanganbeberapa Untuk ax ==>

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

→

→)(lim

)()8

[ ] 0Ajika Axfxflog

b,1 atau 1b0dimana b real bilanganbeberapa Untuk

bbb >=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

<<<

log)(loglog)(log

)9

[ ] jffg bax

bbax ⎥⎦⎢⎣ →→

g)(gg)(g

ContohContohAnggap .

Gunakan aturan limit untuk menentukan harga4)(3)(lim

2==

→xg dan xf

xGunakan aturan limit untuk menentukan harga

limit tesebut. ( ) ( )1) lim 5f x g x+⎡ ⎤⎣ ⎦( ) ( )

21) lim 5

xf x g x

→+⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

lim 5 lim lim5x x x

f x g x f x g x→ → →

+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦ penjumlahan, #2

( ) ( )2 2

lim 5limx x

f x g x→ →

= +

( )3 5 4= +

konstanta, #1

( )23=

ContohContohAnggap . Gunakan aturan limit untuk menentukan harga limit

4)(3)(lim2

==→

xg dan xfx

Gunakan aturan limit untuk menentukan harga limit tesebut.

( ) 2

2) lif x⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) 2

2limx

f x→

⎡ ⎤⎣ ⎦ pembagian #4( )( )2

2) limlnx g x→

⎣ ⎦ ( )( )

2

2lim lnx

xg x

→

→

⎣ ⎦=

( )2

li f⎡ ⎤

pembagian, #4

E i l #6( )

( )2

2

lim

ln limx

x

f x

g x→

→

⎡ ⎤⎣ ⎦=⎡ ⎤⎣ ⎦

Exponesial, #6

log , #9x→⎣ ⎦

23 9 6.4921ln 4 1.38629

= = ≈

ContohContoh( )( )

3

0lim 3 8

lim 2x

x

x→

−= pembagian, #4

283 3 −

→ xxlim Tentukan

0x ( )0

lim 2x

x→

−

33lim lim8x − konstanta; pengurangan, #2

2−→ x0x

00

0 0lim lim 2

xx

x xx

→→

→ →

=−

; p g g ,

pengurangan, #2

l i l #5 k0 80 2−

=−

polynomial , #5; konstantapolynomial , #5; konstanta

4=

Li it L tihLimit – LatihanTentukan limit dari fungsi di bawah:Tentukan limit dari fungsi di bawah:

851.353 ++x 428

21.451.3

2453lim

1==

−+

=−+

→ xx

x

Jika hasil 0/0 maka faktor yang

00

2242)(,

24lim

22

2=

−−

=−−

→xf

xx

x

mengebabkannya harus dihilangkan dengan cara menguraikan pembilang danmenguraikan pembilang dan penyebut atau aturan Hospital

( )( )2242 + xxx ( )( ) ( ) 42lim2

22lim24lim

222=+=

−−+

=−−

→→→x

xxx

xx

xxx

Kekontinuan Fungsi

K ti it S b h F iKontinuitas Sebuah FungsiSebuah fungsi kontinius pada a jika grafik adalahSebuah fungsi kontinius pada a jika grafik adalah garis kontinius dengan tidak ada “lobang” diantaranyayLimit kiri dari sebuah fungsi f (x) pada a adalah harga f (x) dimana x mendekati a dari kiriLimit kanan dari sebuah fungsi f (x) pada a adalah harga f (x) dimana x mendekati a dari kanan

Kontinuitas Sebuah FungsiKontinuitas Sebuah FungsiSebuah fungsi f kontinu pada titik x = a jika i h l dib h btiga hal dibawah benar:

kandidefinisi afi )().

) lim ( ) ( )iii f x f a= f( )

adaxflim iiax

)()→

) ( ) ( )x a

iii f x f a→ f(a)

a

Banyak teknik dalam calculus memerlukan fungsi y gkontinu. Sebuah fungsi kontinu jika anda dapat mengambar dalam satu gerak tanpa picking up pesil andaanda.

Sebuah fungsi kontinu pada sebuh titik jika limit sama seperti harga fungsi.

Fungsi ini tidak kontinu pada g px=1 dan x=2.

F i k ti d 0 d1

2

Fungsi kontinu pada x=0 dan x=4, karena satu sisi limit sesuai dengan harga fungsi

1 2 3 4

→

g g g

Ketidak kontinuan dapat dihilangkan:p g

(anda dapat mengisi lobang(anda dapat mengisi lobang

Diskontinu yang perlu:

lompat Tak terhingga osilasi→

Contoh:Contoh:

Selidiki kontinuitas dari ⎨⎧ ≤+

=1xjika 3

)(x

xfSelidiki kontinuitas dari ⎩⎨ >

=1xjika x -3

)(xf

Fungsi menunjukkan keanehan di titik x =1

4)3(lim1

=+−→

xx

2)3(lim1

1

=−+→

→

xx

x

Limit x = 1, limit kiri ≠ limit kanan, maka

kandidefenisidapat tidak )(lim xf p)(1

fx→

Fungsi diskontinu untuk x = 1

Menghilangkan ketidak kontinuan:

( )3

2

11

xf xx−

=−

diskontinu pada . 1x =1x

3

21

1lim 1x

xx→

−−

( )( )( )( )

2

1

1 1lim 1 1x

x x xx x→

− + +=+ −

1 1 12

+ +=

32

=

3

2

1 , 1x x⎧ −

≠⎪⎪ Catatan: Ada ketidak kontinuan( )

2 , 11

3 , 12

xxf x

x

≠⎪⎪ −= ⎨⎪ =⎪⎩

Catatan: Ada ketidak kontinuan pada yang tidak dapat dihilangkan.

1x = −

2⎪⎩

Menghilangkan kitidak kontinuan:

345

10

12

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4-3-2-1

3

2

1 , 1x x⎧ −

≠⎪⎪

-54

Catatan: Ada ketidak kontinuan( )

2 , 11

3 , 12

xxf x

x

≠⎪⎪ −= ⎨⎪ =⎪⎩

Catatan: Ada ketidak kontinuan pada yang tidak dapat dihilangkan.

1x = −

2⎪⎩

Beberapa Limit Fungsi yang IstimewaBeberapa Limit Fungsi yang Istimewa

1xlim tg=1xsinlim =

x0→x

( )1lim /1 ex x+

x0 →x

( ) 11lnli x⎟⎞

⎜⎛ + ( )1lim

0 →xe x =+( ) 11lnlim

0→x xx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11lim →x

e x

x

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞± 11lim

0→x

xex

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

11lim0→x

x

ax

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − 0lnlim0 →x

xx =⎠⎝

0lim0 →x

x x =+

Li it L tihLimit – Latihan

Tentukan limit dari fungsi di bawah:Tentukan limit dari fungsi di bawah:

3133sinli33sin3li3sinli xxx 31.3sin

lim3sin3

limsin

lim000

====→→→ xxx xxx

111311633 xtgxxtgxtg211.1.

21

661)

33(lim

21

21

66)

33(lim

63lim

000====

→→→

xxtgx

xtgxtg

xxxtg

xtgxtg

xxx

Limit di Tak TerhinggaLimit di Tak Terhingga

Contoh.2

23 5 1lim x x+ +Contoh. 22 4x x→∞ −

Anggap x mempunyai harga yang besar

x 100 1000 10,000

3

f (x) -0.76256 -0.75125 -0.750125

34

−f mendekati

23 5 1 32

23 5 1 3lim

42 4x

x xx→∞

+ += −

−

Limit di Tak TerhinggaLimit di Tak Terhingga

( ) Lxf =lim

Lf(x) mendekatid

( ) Lxfx ∞→lim

dan mendekati L

f(x)

xx bergerak menjauh ke kanan

Limit di Tak TerhinggaLimit di Tak Terhingga

( ) Lxf =lim

L

( ) Lxfx −∞→lim

f(x)f(x) mendekati

dan mendekati L

x

f( )

xx bergerak menjauh ke kiri

Limit di Tak Terhinggat d a e ggaJika harga dari f(x) mendekati harga tertentu L bila x

k b k kit t licukup besar, maka kita tulis,

)(lim∞→x

L xf =

Secara nyata, kita tahu bahwa x

01lim =

untuk semua bilangan rasional rxr 0lim

∞ →x=

Limit di Tak Terhingga…

U t k l ik li it di t k t hi

Limit di Tak Terhingga…

Untuk menyelesaikan limit di tak terhingga dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi yangpenyebut dengan x pangkat tertinggi yang terjadi

Bila fungsi rasional dengan pangkat pembilang g g p g p gkurang dari pangkat penyebut maka nilai limit fungsi di tak terhingga atau di minus tak t hi d lterhingga sama dengan nol

Li it L tihLimit – Latihan

113

2lim

132lim

3333

333

3

3

=+−

−=

+−−

∞→∞→ xxxx

x

xxx

xx333 xxx

122 − x

21

14

2lim

142lim

2222

=+

−=

+

−∞→∞→

xxx

xx

xx

xxx

xx

Limit Tak Terhingga

f(x) ( ) ∞=xflimmembesar dan

membesar

( ) ∞+→

xfax

lim

f(x)membesar

a xb k d k i d d k ix bergerak mendekati dan mendekati a,

dari kanan a.

Limit Tak Terhingga: Skenario

( ) ∞=xflim

yang lain..( ) −∞=

+→xf

axlim

( ) −∞=xflim ( )−→

fax

( ) ∞=xflim ( )−→

xfax

lim

Limit Tak Terhingga: Skenario yang lain ..

( ) ∞=→

xfax

lim ( ) −∞=→

xfax

lim

3

4

Limit Tak Terhingga:

( ) 1f x = 1

2

gg

( )f xx

=

-10-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Jika penyebut mendekati nol, harga pecahan akan menjadi sangat besar

Asymtut vertikal 4

-3

-2

1lim = ∞

sangat besar.

Jika penyebut positif maka pecahan j itif

pada x=0.-4

0limx x+→

= ∞juga positif.

1lim ∞Jika penyebut negatif maka pecahan0

limx x−→

= −∞Jika penyebut negatif maka pecahan negatif

Contoh

1li 20limx x+→

= ∞

1

Dalam kedua hal ini penyebut positif, maka limit

20

1limx x−→

= ∞sama.

20

1 limx x→

∴ = ∞

Metode Utama Menghitung Limit

Kuantitas tak terdefinisikan mengebabkan persoalan:

10 ∞

Dalam evaluasi persamaan gunakan aturan,2

persoalan: 0 000 , , , ,0 , .0

∞∞∞ − ∞ ∞

∞

∞a

Jika fungsi, dibutuhkan untuk dihitung, definisikan 3

∞=∞∞=∞

=∞

-negatif)(bilangan xpositif bilangan

a ,,0

g , g,dengan persamaan aljabar, ambil harga tertentu pada titik limit, maka harga tertentu ini adalah harga limit.

3

a ga tJika fungsi, dibutuhkan untuk dihitung, tidak dapat dievaluasi pada titik (yaitu harga tidak didefenisikan seperti dalam (1)) maka tulis

4

didefenisikan seperti dalam (1)), maka tulis kembali fungsi kedalam bentuk yang dapat dievaluasi pada titik limit.

Metode Perhitungan Utama

Hilangkan faktor umum dari fungsi rasional

Sering dibutuhkan aturan1 ( ) ( ) 2 2.a b a b a b+ − = −

Hilangkan faktor umum dari fungsi rasional.2( ) ( )2

1

1 11 1 2.1 1 x

x xx xx x →

− +−= = + ⎯⎯⎯⎯→

− −Jika akar kuadrat muncul dalam persamaan , maka kalikan dan bagikan dengan menghubungkan/tafsiran persamaan akar kuadrat.

3

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 21 2

1 21 2 3

x x x xx x

x xx x

+ − + + + −+ − − =

+ + −+( ) ( )1 2 3 0

1 2 1 2 x

x x

x x x x →∞

+ − −= = ⎯⎯⎯⎯→

+ + − + + +

k f k b h4 ( )sin xGunakan fakta bahwa4 ( )

0

sinlim 1.x

xx→

=

Kerjakan Soal di bawah

12

2

3 2lim2x

x xx→

− +−

2

3 2

3 2

1lim3 5 2x

x x xx x x→∞

+ + ++ + +2x

3 2 2lim 1 1x

x x→∞

+ − − 2 2lim 1 1x

x x x x→∞

+ + − − −

( )i 3

4

( )2i

→ + + − − +2 20

2lim2 1 3 1x

xx x x x

( )0

sin 3lim

6x

xx→

5 6

( )( )

2

0

sinlim

sinx

xx x→

( )( )0

sin sinlimx

xx→

7 8

9 10( )( ) ( )→

+

+ + − − +2 20

2sinlim

2sin 1 sin 1x

x x

x x x x

( )tan x

2

lim ex π→ +