penyelesaian persamaan lane-emden dengan metode … · astrofisika (krivec and mandelzweig, 2001),...
Post on 04-Nov-2020
17 Views
Preview:
TRANSCRIPT
i
PENYELESAIAN PERSAMAAN LANE-EMDEN DENGAN METODE
NUMERIK
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Yion Risary Langa
NIM: 153114032
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
SOLUTION TO THE LANE-EMDEN EQUATION USING NUMERICAL
METHODS
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
in Mathematics
By:
Yion Risary Langa
NIM: 153114032
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF
MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
MOTTO
Bahagialah!!!
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
Tuhan Yang Maha Esa, Ayah, Yian, Yein, dan keluargaku, serta almamaterku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRAK
Pemanfaatan metode numerik saat ini sudah semakin meluas, salah satunya
dalam menyelesaikan persoalan matematika, terkhusus masalah nilai awal.
Perkembangan metode numerik ini juga memunculkan banyak metode yang lebih
spesifik yang dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah nilai awal.
Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai
awal adalah metode Euler, metode Euler termodifikasi, metode Runge-Kutta, dan
metode Milne. Metode-metode tersebut diterapkan untuk menyelesaikan masalah
nilai awal, yaitu persamaan Lane-Emden.
Berdasarkan hasil perhitungan dengan metode-metode tersebut diperoleh
kesimpulan bahwa metode Runge-Kutta, memiliki hasil yang baik karena galat
yang diperoleh lebih kecil dibandingkan metode Euler, dan Euler termodifikasi.
Metode Milne menghasilkan galat yang lebih kecil dibandingkan metode Runge-
Kutta, tetapi membutuhkan beberapa syarat.
Kata Kunci: metode numerik, masalah nilai awal, persamaan Lane-Emden.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
ABSTRACT
The use of numerical methods is now increasingly widespread, one of which
is in solving mathematical problems, especially initial value problems. The
development of numerical methods also gave rise to many specific methods that
could be used to solve initial value problems.
Some methods that can be used to solve initial value problems are the Euler
method, the modified Euler method, the Runge-Kutta method, and the Milne
method. These methods are applied to solve the initial value problem, namely the
Lane-Emden equation.
Based on the results of calculations with these methods it can be concluded
that the Runge-Kutta method has good results because the errors obtained are
smaller than the Euler method, and the modified Euler. The Milne method produces
smaller error than the Runge-Kutta method, but it requires several conditions.
Keywords: numerical method, initial value problem, Lane-Emden equation.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, oleh karena kasih setiaNya
yang dicurahkan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat selesai. Skripsi ini ditulis
dengan tujuan memenuhi syarat agar dapat memperoleh gelar Sarjana Sains pada
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata
Dharma.
Penulis mengerti dan menyadari bahwa banyak pihak yang telah membantu
dalam menghadapi kesulitan dan hambatan saat menulis skripsi ini. Oleh karena
itu, pada kesempatan kali ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
skripsi yang telah sabar membimbing penulis selama mengerjakan skripsi,
meskipun di tengah kesibukan tetapi beliau tetap menyempatkan waktu untuk
membimbing penulis, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, serta Dosen
Pembimbing Akademik Prodi Matematika angkatan 2015.
2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika yang telah
memotivasi penulis dan memberikan saran dalam menghadapi masalah
kehidupan.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak
Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si. dan Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,
selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah berbagi senyum, semangat,
canda, tawa dan memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses
perkuliahan.
4. Staf karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah berjasa bagi penulis
selama perkuliahan.
5. Ayah, Yian, Yein dan segenap keluarga yang selalu mendukung penulis selama
mengerjakan skripsi.
6. Teman-teman Prodi Matematika Angkatan 2015 dan teman-teman baik yang
mendukung penulis dalam mengerjakan skripsi: Laura, Sasmbi (sasbi…la la la
la la la la la 3x…sasbi), Edi, Lyawati Saja, Devi, Lusi, Rika dan teman-teman
angkatan 2019.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv
LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................. v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI................................. vi
MOTTO ................................................................................................................ vii
HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... viii
ABSTRAK ............................................................................................................. ix
ABSTRACT ............................................................................................................. x
KATA PENGANTAR ........................................................................................... xi
DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1
A. Latar belakang .............................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 2
C. Batasan Masalah........................................................................................... 3
D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 3
E. Metode Penulisan ......................................................................................... 3
F. Manfaat Penulisan ........................................................................................ 3
G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 3
BAB II LANDASAN TEORI .................................................................................. 6
A. Fungsi Rekursif ............................................................................................ 6
B. Integral ......................................................................................................... 6
C. Deret ............................................................................................................. 9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
D. Norma Vektor dan Matriks ........................................................................ 10
E. Fungsi Lipschitz ......................................................................................... 11
F. Turunan Fungsi Dua Variabel .................................................................... 12
BAB III METODE EULER, EULER TERMODIFIKASI, RUNGE-KUTTA, DAN
MILNE ..................................................................................................... 15
A. Metode Euler .............................................................................................. 15
B. Metode Euler Termodifikasi ...................................................................... 21
C. Metode Runge-Kutta .................................................................................. 26
D. Metode Milne ............................................................................................. 55
E. Penyelesaian Numeris Sistem PDB Orde Satu .......................................... 66
BAB IV ANALISIS KONVERGENSI METODE EULER DAN METODE
RUNGE-KUTTA ................................................................................... 100
A. Analisis Konvergensi Metode Euler ........................................................ 100
B. Analisis Konvergensi Metode Runge-Kutta ............................................ 105
BAB V PENUTUP ............................................................................................... 108
A. Kesimpulan .............................................................................................. 108
B. Saran ........................................................................................................ 108
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 109
LAMPIRAN ......................................................................................................... 110
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan
persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan
biasa. Solusi yang diperoleh ialah solusi pendekatan yang memiliki selisih dengan
solusi eksak. Selisih ini disebut galat atau error.
Metode numerik biasanya di terapkan untuk menghitung suatu persoalan
matematis yang tidak dapat diselesaikan secara analitik, yaitu:
• Menyelesaikan persamaan non linear
• Menyelesaikan persamaan simultan
• Menyelesaikan turunan dan integral
• Interpolasi dan regresi
• Menyelesaikan persamaan diferensial
dan lain-lain. Akhir-akhir ini, banyak perhatian yang difokuskan pada masalah nilai
awal dalam persamaan diferensial biasa orde dua. Banyak masalah dalam fisika
matematika dan astrofisika dapat dimodelkan sebagai model yang disebut tipe
persamaan Lane-Emden (Chandrasekhar, 1967; Davis, 1962; Richardson, 1921):
{𝑦′′ +
2
𝑥𝑦′ + 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥)
𝑦(0) = 𝑎, 𝑦′(0) = 𝑏,
dimana a dan b adalah konstanta, 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah fungsi kontinu, dan 𝑔(𝑥) ∈
𝐶[0,∞]. Ketika 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐾(𝑦), 𝑔(𝑥) = 0, persamaan di atas dapat diturunkan
menjadi persamaan Lane-Emden klasik, yang digunakan untuk memodelkan
beberapa fenomena dalam fisika matematika dan astrofisika seperti teori struktur
bintang, perilaku termal awan gas bulat, bola gas isothermal, dan teori arus temionik
(Chandrasekhar, 1967; Davis, 1962; Richardson, 1921).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Persamaan Lane-Emden mempunyai applikasi yang penting dalam berbagai
bidang keilmuan dan dunia teknik. Karena itu, variasi bentuk 𝑓(𝑥, 𝑦) dan 𝑔(𝑥) telah
diselidiki oleh banyak peneliti (yaitu, Chowdhury dan Hashim, 2007; Shawagfeh,
1993; Wazwaz, 2001). Diskusi model-model ini dan struktur fisik solusi dapat
ditemukan dalam literatur. Solusi numerik persamaan Lane-Emden, serta jenis
masalah nilai awal linier dan nonlinier lainnya dalam mekanika kuantum dan
astrofisika (Krivec and Mandelzweig, 2001), secara numerik menantang karena
perilaku singularitas pada titik asal 𝑥 = 0. Tetapi solusi analitik lebih dibutuhkan
untuk memahami fisik dengan lebih baik. Banyak metode analitik yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan persamaan Lane-Emden (He, 2003; Liao, 2003;
Yildirim dan Ozis, 2007). Metode-metode ini didasarkan pada solusi deret atau
teknik perturbasi (Bender et al., 1989; Mandelzweig dan Tabakin, 2001; Ramos,
2005; 2008). Bagaimanapun juga, area konvergensi dari hasil yang sesuai sangatlah
kecil. Untuk menyelesaikan PDB diatas, penulis menggunakan empat metode, yaitu
metode Euler, metode Euler termodifikasi, metode Runge-Kutta, dan metode
Milne.
Selanjutnya, penulis akan membandingkan hasil dari keempat metode diatas
untuk melihat seberapa baik metode numerik tersebut dalam menyelesaikan
masalah nilai awal.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, penulis mengadakan
penelitian terhadap masalah-masalah berikut:
1. Bagaimana cara menggunakan metode-metode di atas untuk menyelesaikan
suatu PDB?
2. Bagaimana hasil perhitungan yang diperoleh dengan menggunakan metode
numerik?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
C. Batasan Masalah
Dalam tugas akhir ini, penulis akan membatasi penulisan agar lebih terarah
dan tidak menyimpang dari masalah yang akan dibahas yaitu:
1. Metode yang dibahas hanya untuk menyelesaikan masalah nilai awal
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑦(𝑥0) = 𝑦0.
2. Analisis konvergensi hanya untuk metode Euler dan metode Runge-Kutta.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan tugas akhir ini untuk mengetahui seberapa baik metode di atas
untuk menyelesaikan suatu masalah nilai awal yang telah dipaparkan.
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah
studi pustaka dari buku-buku dan jurnal-jurnal, serta praktek simulasi numeris
menggunakan perangkat lunak MATLAB.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tugas akhir ini.
2. Pembaca dapat mengetahui kelebihan metode numerik yang telah disebutkan
dalam menyelesaikan suatu masalah nilai awal.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Fungsi rekursif
B. Integral
C. Deret
D. Norma vektor dan matriks
E. Fungsi Lipschitz
F. Turunan fungsi dua variabel
BAB III METODE EULER, EULER TERMODIFIKASI, RUNGE-KUTTA, DAN
MILNE
A. Metode Euler
B. Metode Euler termodifikasi
C. Metode Runge-Kutta
D. Metode Milne
BAB IV ANALISIS KONVERGENSI METODE EULER DAN METODE
RUNGE-KUTTA
A. Analisis konvergensi metode Euler
B. Analisis konvergensi metode Runge-Kutta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
LAMPIRAN
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Fungsi Rekursif
Fungsi rekursif (kodesemu) adalah fungsi yang memanggil dirinya sendiri. Rekursi
dapat menyelesaikan masalah-masalah kelas besar. Masalah dalam kelas ini tidak
dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik membagi dimana masalah
diuraikan menjadi masalah dari jenis yang sama seperti masalah aslinya. Setiap
submasalah pada gilirannya diuraikan lebih lanjut sampai proses menghasilkan
submasalah yang dapat diselesaikan dengan cara yang mudah. Akhirnya, solusi dari
submasalah tersebut dikombinasikan untuk mendapatkan solusi dari masalah
aslinya.
Jika 𝑛 ≥ 1, 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)⋯2.1, dan 0! = 1. Dengan melihat bahwa 𝑛 ≥ 2, 𝑛
faktorial dapat ditulis dalam bentuk dirinya sendiri sebab jika memisahkan 𝑛, sisa
dari perkalian itu dapat disederhanakan menjadi (𝑛 − 1)!, yaitu
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)⋯2.1 = 𝑛(𝑛 − 1)!.
Sebagai contoh,
5! = 5.4.3.2.1 = 5.4!.
Persamaan
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)!,
dimana benar bahkan ketika 𝑛 = 1, menunjukkan bagaimana menguraikan masalah
asli (menghitung 𝑛!) menjadi submasalah yang semakin sederhana (menghitung
(𝑛 − 1)!, mengitung (𝑛 − 2)!,…) sampai proses mencapai masalah langsung dari
menghitung 0!. Solusi dari submasalah kemudian dapat dikombinasikan dengan
perkalian untuk menyelesaikan masalah asli.
B. Integral
Integral Tentu
Teorema 2.1 (Teorema Fundamental Kalkulus)
Andaikan 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏].
I. Jika 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑥
𝑎𝑑𝑡, maka 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
II. ∫ 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑥)]𝑎
𝑏, dimana 𝐹 adalah sebarang antiderivatif
dari 𝑓, yaitu 𝐹′ = 𝑓.
Bukti
I. Bukti ada pada buku Stewart, James. (2003). Calculus early transcendentals
(Fifth Edition). Belmont: Thomson Brooks/Cole. Halaman 342.
II. Misalkan 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑥
𝑎𝑑𝑡, dari (1) diketahui bahwa 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥), yaitu g
adalah sebarang antiderivatif dari 𝑓. Jika 𝐹 adalah sebarang antiderivatif dari
𝑓 pada [𝑎, 𝑏], maka 𝐹 dan 𝑔 berbeda oleh konstanta :
𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝐶, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 (2.11)
Tetapi 𝐹 dan 𝑔 keduanya kontinu pada [𝑎, 𝑏]. Jadi, dengan mengambil limit
pada (2.11) yaitu saat (𝑥 → 𝑎+ dan 𝑥 → 𝑏−) dapat dilihat bahwa itu juga
berlaku ketika 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏. Jika nilai 𝑥 = 𝑎 dimasukkan ke 𝑔(𝑥),
diperoleh
𝑔(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑎
𝑎
𝑑𝑡 = 0.
Dengan menggunakan (2.11) untuk 𝑥 = 𝑏 dan 𝑥 = 𝑎, diperoleh
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = [𝑔(𝑏) + 𝑐] − [𝑔(𝑎) + 𝑐]
= 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) = 𝑔(𝑏) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑏
𝑎𝑑𝑡.
Teorema Fundamental Kalkulus II dapat juga ditulis
∫ 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)]𝑎𝑏 , 𝐹′ = 𝑓.
Contoh 2.1
Hitunglah integral
∫ 𝑒𝑥3
1
𝑑𝑥.
Jawab
Fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 kontinu pada ℝ, dan diketahui bahwa antiderivatif dari 𝑓 ialah
𝐹(𝑥) = 𝑒𝑥, dengan menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus II, diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
∫ 𝑒𝑥3
1
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥]13 = 𝑒3 − 𝑒
Integral Tak Tentu
Teorema Fundamental Kalkulus I dan II membentuk hubungan antara antiderivatif
dan integral tentu. Dibutuhkan notasi yang sederhana agar dapat mengerjakannya
dengan mudah. Karena relasi yang diberikan oleh teorema fundamental kalkulus
antara antiderivatif dan integral, notasi ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 secara tradisional digunakan
untuk antiderivatif dari 𝑓 dan disebut integral tak tentu. Jadi,
∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)
artinya
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Sebagai contoh
∫𝑥2 𝑑𝑥 =𝑥3
3+ 𝐶
sebab
𝑑
𝑑𝑥(𝑥3
3+ 𝐶) = 𝑥2.
Beberapa rumus integral tak tentu sebagai berikut
∫𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∫𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶
∫𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶 (𝑛 ≠ −1)
∫𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Contoh 2.2
Selesaikanlah integral berikut
∫𝑥4 𝑑𝑥.
Jawab
Dengan menggunakan rumus integral tak tentu diatas, untuk 𝑛 = 4,
∫𝑥4 𝑑𝑥 =𝑥4+1
4 + 1=𝑥5
5.
C. Deret
Barisan
Barisan dapat dianggap sebagai daftar angka dalam urutan yang pasti:
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … , 𝑎𝑛, …
𝑎1 disebut sebagai suku pertama, 𝑎2 suku kedua, dan secara umum 𝑎𝑛 suku ke-n.
Barisan {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … } juga dinotasikan sebagai
{𝑎𝑛} atau {𝑎𝑛}𝑛=1∞ .
Beberapa contoh barisan sebagai berikut.
a. {𝑛
𝑛+1}𝑛=1
∞
𝑎𝑛 =𝑛
𝑛+1 {
1
2,2
3,3
4,4
5, ⋯ ,
𝑛
𝑛+1, ⋯ }
b. {(−1)𝑛(𝑛+1)
3𝑛} 𝑎𝑛 =
(−1)𝑛(𝑛+1)
3𝑛 {−
2
3,3
9, −
4
27,5
81, ⋯ ,
(−1)𝑛(𝑛+1)
3𝑛, ⋯ }
Deret
Deret ialah jumlahan dari suku-suku suatu barisan, yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯
untuk singkatnya dinotasikan
∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
.
Jumlahan parsial suku ke-n, dinotasikan 𝑠𝑛 dengan
𝑠𝑛 =∑𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛.
Deret Geometri
Deret geometri
∑𝑎𝑟𝑛−1∞
𝑛=1
= 𝑎 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯
jumlahan parsial deret geometri yaitu
𝑠𝑛 =𝑎(1 − 𝑟𝑛)
1 − 𝑟=𝑎(𝑟𝑛 − 1)
𝑟 − 1.
Deret Taylor
Deret Taylor fungsi 𝑓 di 𝑎 (atau di persekitaran 𝑎) yaitu
𝑓(𝑥) = ∑𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑓(𝑎) +𝑓′(𝑎)
1!(𝑥 − 𝑎) +
𝑓′′(𝑎)
2!(𝑥 − 𝑎)2 +
𝑓′′′(𝑎)
3!(𝑥 − 𝑎)3 +⋯.
D. Norma Vektor dan Matriks
Norma vektor digunakan untuk mengukur ukuran sebuah vektor, didefinisikan dua
norma yang berbeda:
‖𝑥‖∞ = maksimum1≤𝑖≤𝑛
|𝑥𝑖| 𝑥 ∈ 𝑅𝑛
‖𝑥‖2 = √𝑥12 +⋯+ 𝑥𝑛2 𝑥 ∈ 𝑅
𝑛
Untuk 𝐶[𝑎, 𝑏], didefinisikan
‖𝑓‖∞ = maksimum𝑎≤𝑥≤𝑏
|𝑓(𝑥)| 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]
Norma dapat juga diperkenalkan untuk matriks. Untuk matriks berukuran 𝑛 × 𝑛
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
⋯𝑎1𝑛𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
]
didefinisikan
‖𝐴‖∞ = maksimum1≤𝑖≤𝑛
∑|𝑎𝑖𝑗|
𝑛
𝑗=1
E. Fungsi Lipschitz
Misalkan 𝑓 ∶ 𝐴 → ℝ. Jika terdapat konstanta 𝐾 > 0 sehingga berlaku
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑢)| ≤ 𝐾|𝑥 − 𝑢| (2.12)
untuk setiap 𝑥, 𝑢 ∈ 𝐴 maka 𝑓 disebut sebagai fungsi Lipschitz pada A.
Untuk 𝑥 ≠ 𝑢, (2.12) dapat ditulis sebagai
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑢)
𝑥 − 𝑢| ≤ 𝐾.
Ini menunjukkan bahwa secara geometris, fungsi Lipschitz berupa fungsi dengan
gradien garis secant, yaitu garis lurus yang melalui dua titik sebarang pada kurva
(𝑥, 𝑓(𝑥)) dan (𝑢, 𝑓(𝑢)) terbatas oleh sebuah konstanta 𝐾.
Contoh 2.3
Buktikan fungsi 𝑓(𝑥) ≔ 𝑥2, 𝑥 ∈ [0, 𝑏] merupakan fungsi Lipschitz pada interval
𝐼 ≔ [0. 𝑏].
Jawab
Misalkan 𝑥, 𝑢 ∈ [0, 𝑏]. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh
|𝑥 + 𝑢| ≤ |𝑥| + |𝑢| ≤ 𝑏 + 𝑏 = 2𝑏.
Akan ditentukan konstanta Lipschitz 𝐾 sebagai berikut
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑢)| = |𝑥2 − 𝑢2| = |𝑥 + 𝑢||𝑥 − 𝑢| ≤ 2𝑏|𝑥 − 𝑢|.
Ambil 𝐾 ≔ 2𝑏, terbukti 𝑓 fungsi Lipschitz.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
F. Turunan Fungsi Dua Variabel
Definisi turunan parsial fungsi dua variabel
Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), maka turunan pertama 𝑓 terhadap 𝑥 dan 𝑦 adalah 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦
didefinisikan sebagai berikut
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = limΔ𝑥→0
𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
Δ𝑥
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = limΔ𝑦→0
𝑓(𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
Δ𝑦
asalkan nilai limitnya ada.
Definisi ini menyatakan bahwa jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), maka untuk menemukan 𝑓𝑥, 𝑦
dipandang sebagai konstanta dan diturunkan terhadap 𝑥. Dengan cara yang sama,
menemukan 𝑓𝑦, 𝑥 dipandang sebagai konstanta dan diturunkan terhadap 𝑦.
Notasi untuk turunan pertama
Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), turunan pertama 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 dinotasikan
𝜕
𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑧𝑥 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
dan
𝜕
𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑧𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
Turunan pertama yang dievaluasi pada titik (𝑎, 𝑏) dinotasikan
𝜕𝑧
𝜕𝑥|(𝑎,𝑏)
= 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) dan 𝜕𝑧
𝜕𝑦|(𝑎,𝑏)
= 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)
Turunan parsial orde yang lebih tinggi
Turunan untuk orde yang lebih tinggi dinotasikan sebagai urutan dimana turunan
tersebut terjadi. Fungsi 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) mempunyai turunan pasial kedua sebagai
berikut
1) Turunan kedua terhadap 𝑥:
𝜕
𝜕𝑥(𝜕𝑓
𝜕𝑥) =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2= 𝑓𝑥𝑥.
2) Turunan kedua terhadap 𝑦:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
𝜕
𝜕𝑦(𝜕𝑓
𝜕𝑦) =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2= 𝑓𝑦𝑦.
3) Turunan pertama terhadap 𝑥 kemudian diturunkan terhadap 𝑦:
𝜕
𝜕𝑦(𝜕𝑓
𝜕𝑥) =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥= 𝑓𝑥𝑦.
4) Turunan pertama terhadap 𝑦 kemudian diturunkan terhadap 𝑥:
𝜕
𝜕𝑥(𝜕𝑓
𝜕𝑦) =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝑓𝑦𝑥.
Kasus ketiga dan keempat disebut sebagai turunan parsial campuran.
Teorema 2.2
Jika 𝑓 adalah fungsi dari 𝑥 dan 𝑦, serta 𝑓𝑥𝑦 dan 𝑓𝑦𝑥 kontinu pada selang terbuka 𝑅,
maka untuk setiap (𝑥, 𝑦) di 𝑅,
𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦).
Bukti:
Bukti ada pada buku Shifrin, Theodore. (2005). Multivariable Mathematics:Linear
Algebra, Multivariable Calculus, and Manifolds. Danvers: Wiley. Halaman 121.
Definisi dari Turunan Total
Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), Δ𝑥 dan Δ𝑦 adalah penjumlah positif dari 𝑥 dan 𝑦, maka turunan
dari variabel bebas 𝑥 dan 𝑦 adalah
𝑑𝑥 = Δ𝑥 dan 𝑑𝑦 = Δ𝑦
Turunan total dari 𝑧 adalah
𝑑𝑧 =𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦.
Aturan Rantai
Teorema 2.3
Misalkan 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦), dimana 𝑓 adalah fungsi terdiferensial dari 𝑥 dan 𝑦. Jika 𝑥 =
𝑔(𝑡) dan 𝑦 = ℎ(𝑡), dimana 𝑔 dan ℎ adalah fungsi yang terdiferensial dari 𝑡, maka
𝑤 terdiferensial terhadap 𝑡, dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
𝑑𝑤
𝑑𝑡=𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡+𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡.
Turunan fungsi yang didefinisikan secara implisit, dapat diperoleh dengan
menerapkan Teorema 2.3. Misalkan
𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))
turunan parsialnya ialah
𝑑𝑤
𝑑𝑥=𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥+𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑𝑥.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
BAB III
METODE EULER, EULER TERMODIFIKASI, RUNGE-KUTTA, DAN
MILNE
1. Metode Euler
Metode Euler sangat sederhana tetapi jarang digunakan. Namun, pemahaman
akan hal itu membuka jalan untuk memahami metode yang lebih praktis (tetapi juga
lebih rumit).
Misalkan 𝑦 menyatakan solusi eksak dari masalah nilai awal yang terdiri dari
persamaan diferensial
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦)
(3.1)
Dan dengan nilai awal
𝑦(𝑥0) = 𝑦0. (3.2)
Misalkan h menyatakan penjumlah positif di x dan 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ, maka
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥 = 𝑦(𝑥)|𝑥0𝑥1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦(𝑥0).
Karena 𝑦0 menyatakan nilai 𝑦(𝑥0) dari solusi eksak y saat 𝑥 = 𝑥0, diperoleh
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦0
𝑦(𝑥1) = 𝑦0 +∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥. (3.3)
Jika diasumsikan 𝑓(𝑥, 𝑦) perlahan-lahan berubah pada interval 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥1, maka
nilai 𝑓(𝑥, 𝑦) pada (3.3) dapat diaproksimasi dengan nilai 𝑓(𝑥0, 𝑦0) di titik ujung
kiri 𝑥0 sedemikian sehingga,
𝑦(𝑥1) ≈ 𝑦0 +∫ 𝑓(𝑥0, 𝑦0)𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥.
Tetapi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
∫ 𝑓(𝑥0, 𝑦0)𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0)(𝑥)|𝑥0𝑥1 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0)(𝑥1 − 𝑥0)𝑑𝑥 = ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0).
Jadi
𝑦(𝑥1) ≈ 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0).
Demikian pendekatan nilai 𝑦1 dari y pada 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ yang diperoleh dengan
persamaan
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0). (3.4)
Telah diperoleh 𝑦1 dengan persamaan (3.4), proses dilanjutkan dengan cara yang
sama untuk memperoleh 𝑦2 dengan persamaan 𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1), 𝑦3 dengan
persamaan 𝑦3 = 𝑦2 + ℎ𝑓(𝑥2, 𝑦2), 𝑦4 dengan persamaan 𝑦4 = 𝑦3 + ℎ𝑓(𝑥3, 𝑦3), dan
begitu seterusnya. Secara umum, nilai 𝑦𝑛+1 diperoleh dengan persamaan
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛). (3.5)
Sebelum mengilustrasikan metode ini, diberikan penafsiran geometri yang
dapat membantu. Grafik dari solusi eksak y adalah kurva C di bidang xy (lihat
Gambar 1). Misalkan P menyatakan titik awal (𝑥0, 𝑦0) dan T merupakan garis
tangen C di P. Misalkan Q adalah titik perpotongan garis 𝑥 = 𝑥1 dengan C dan N
merupakan titik perpotongan garis 𝑥 = 𝑥1 dengan T. Nilai eksak y di 𝑥1 ialah LQ.
Nilai pendekatan 𝑦1 ialah LN,
𝐿𝑁 = 𝐿𝑀 +𝑀𝑁 = 𝑦0 +𝑀𝑁 = 𝑦0 + 𝑃𝑀 tan 𝜃 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0).
Galat dalam pendekatan nilai eksak y di 𝑥1 dengan 𝑦1 ialah NQ. Gambar
memperlihatkan bahwa jika h cukup kecil, maka galat NQ juga kecil dan karenanya
nilai pendekatan akan lebih baik. Jika h tidak sangat kecil, maka galat nilai
pendekatan pada umumnya tidak kecil dan metode ini akan menyebabkan hasil
yang tidak akurat. Jika h sangat kecil, maka perhitungan akan lebih lama dan
metode ini pun melelahkan serta kerja yang memakan waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Gambar 1. Ilustrasi metode Euler secara geometri.
Contoh 1
Gunakan metode Euler untuk masalah nilai awal
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 + 𝑦,
(3.6)
𝑦(0) = 1. (3.7)
Manfaatkan metode ini untuk memperkirakan nilai y di 𝑥 = 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0
dengan (1) ℎ = 0,2, dan (2) ℎ = 0,1. Nyatakan hasil dengan tiga angka setelah titik
desimal. Bandingkan hasil dengan nilai eksak.
Jawab.
(1) Menggunakan persamaan (3.5) dengan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 dan ℎ = 0,2. Dari
nilai awal (3.7), diperoleh 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 1. Perhitungan sebagai berikut.
(a) 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ = 0,2, 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓(0,1) = 1,000,
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 1 + 0,2(1,000) = 1,200.
(b) 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 0,4, 𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 𝑓(0,2, 1,200) = 1,600,
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 1,200 + 0,2(1,600) = 1,520.
(c) 𝑥3 = 𝑥2 + ℎ = 0,6, 𝑓(𝑥2, 𝑦2) = 𝑓(0,4, 1,520) = 2,320,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
𝑦3 = 𝑦2 + ℎ𝑓(𝑥2, 𝑦2) = 1,520 + 0,2(2,320) = 1,984.
(d) 𝑥4 = 𝑥3 + ℎ = 0,8, 𝑓(𝑥3, 𝑦3) = 𝑓(0,6, 1,984) = 3,184,
𝑦4 = 𝑦3 + ℎ𝑓(𝑥3, 𝑦3) = 1,984 + 0,2(3,184) = 2,621.
(e) 𝑥5 = 𝑥4 + ℎ = 1,0, 𝑓(𝑥4, 𝑦4) = 𝑓(0,8, 2,621) = 4,221,
𝑦5 = 𝑦4 + ℎ𝑓(𝑥4, 𝑦4) = 2,621 + 0,2(4,221) = 3,465.
Hasil ini sesuai dengan berbagai nilai 𝑥𝑛 yang dikumpulkan dalam Tabel 1.
(2) Menggunakan persamaan (3.5) dengan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 dan ℎ = 0,1. Dari
nilai awal (3.7), diperoleh 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 1. Perhitungan sebagai berikut.
(a) 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ = 0,1, 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓(0,1) = 1,000,
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 1 + 0,1(1,000) = 1,100.
(b) 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 0,2, 𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 𝑓(0,1, 1,100) = 1,300,
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 1,100 + 0,1(1,300) = 1,230.
(c) 𝑥3 = 𝑥2 + ℎ = 0,3, 𝑓(𝑥2, 𝑦2) = 𝑓(0,2, 1,230) = 1,630,
𝑦3 = 𝑦2 + ℎ𝑓(𝑥2, 𝑦2) = 1,230 + 0,1(1,630) = 1,393.
(d) 𝑥4 = 𝑥3 + ℎ = 0,4, 𝑓(𝑥3, 𝑦3) = 𝑓(0,3, 1,393) = 1,993,
𝑦4 = 𝑦3 + ℎ𝑓(𝑥3, 𝑦3) = 1,393 + 0,1(1,993) = 1,592.
(e) 𝑥5 = 𝑥4 + ℎ = 0,5, 𝑓(𝑥4, 𝑦4) = 𝑓(0,4, 1,592) = 2,392,
𝑦5 = 𝑦4 + ℎ𝑓(𝑥4, 𝑦4) = 1,592 + 0,1(2,392) = 1,831.
(f) 𝑥6 = 𝑥5 + ℎ = 0,6, 𝑓(𝑥5, 𝑦5) = 𝑓(0,5, 1,831) = 2,831,
𝑦6 = 𝑦5 + ℎ𝑓(𝑥5, 𝑦5) = 1,831 + 0,1(2,831) = 2,114.
(g) 𝑥7 = 𝑥6 + ℎ = 0,7, 𝑓(𝑥6, 𝑦6) = 𝑓(0,6, 2,114) = 3,314,
𝑦7 = 𝑦6 + ℎ𝑓(𝑥6, 𝑦6) = 2,114 + 0,1(3,314) = 2,445.
(h) 𝑥8 = 𝑥7 + ℎ = 0,8, 𝑓(𝑥7, 𝑦7) = 𝑓(0,7, 2,445) = 3,845
𝑦8 = 𝑦7 + ℎ𝑓(𝑥7, 𝑦7) = 2,445 + 0,1(3,845) = 2,830.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
(i) 𝑥9 = 𝑥8 + ℎ = 0,9, 𝑓(𝑥8, 𝑦8) = 𝑓(0,8, 2,830) = 4,430,
𝑦9 = 𝑦8 + ℎ𝑓(𝑥8, 𝑦8) = 2,830 + 0,1(4,430) = 3,273.
(j) 𝑥10 = 𝑥9 + ℎ = 0,9, 𝑓(𝑥9, 𝑦9) = 𝑓(0,9, 3,273) = 5,073,
𝑦10 = 𝑦9 + ℎ𝑓(𝑥9, 𝑦9) = 3,273 + 0,1(5,073) = 3,780.
Hasil dikumpulkan pada Tabel 1 kolom ke-3. Nilai eksak y terdapat pada kolom 4
Tabel 1. Galat yang dihitung dari kedua nilai pendekatan di 𝑥 =
0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0 diurutkan dalam tabel 2.
Tabel 1. Perbandingan solusi metode Euler untuk ℎ = 0,1 dan ℎ = 0,2
𝑥𝑛 𝑦𝑛, ℎ = 0,2 𝑦𝑛, ℎ = 0,1 𝑦
0,0 1,000 1,000 1,000
0,1 --- 1,100 1,116
0,2 1,200 1,230 1,264
0,3 --- 1,393 1,450
0,4 1,520 1,592 1,675
0,5 --- 1,831 1,946
0,6 1,984 2,114 2,266
0,7 --- 2,445 2,641
0,8 2,621 2,830 3,076
0,9 --- 3,273 3,579
1,0 3,465 3,780 4,155
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Gambar 2. Grafik solusi contoh 1 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Tabel 2. Perbandingan galat metode Euler untuk ℎ = 0,1 dan ℎ = 0,2
𝑥𝑛 Galat (ℎ = 0,2) Galat (ℎ = 0,1)
0,2 0,064 0,034
0,4 0,155 0,083
0,6 0,282 0,152
0,8 0,455 0,246
1,0 0,690 0375
Tabel ini mengilustrasikan dua fakta penting tentang metode Euler. Pertama, untuk
nilai tetap h, galat semakin membesar saat perhitungan dilanjutkan pada rentang
yang lebih besar dan lebih jauh dari titik awal. Kedua, untuk nilai tetap 𝑥𝑛, galat
lebih kecil jika nilai h juga kecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
2. Metode Euler Termodifikasi
Pada metode Euler (sesi 1) telah diamati bahwa nilai 𝑦(𝑥1) dari solusi eksak y
pada masalah nilai awal
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦),
(3.1)
𝑦(𝑥0) = 𝑦0, (3.2)
di 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ dinyatakan sebagai berikut
𝑦(𝑥1) = 𝑦0 +∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑥1
𝑥0
𝑑𝑥. (3.3)
Pada metode Euler 𝑓(𝑥, 𝑦) dalam (3.3) diaproksimasi dengan menghitung nilai
𝑓(𝑥0, 𝑦0) di titik ujung kiri interval 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥1 dan dari sini diperoleh nilai
pendekatan
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) (3.4)
untuk 𝑦 di 𝑥1. Tampaknya masuk akal bahwa nilai yang lebih akurat akan diperoleh
jika nilai 𝑓(𝑥, 𝑦) diaproksimasi dengan rata-rata nilai pada ujung kiri dan kanan
dari 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥1, bukan hanya dengan nilai pada ujung kiri 𝑥0. Pada dasarnya, ini
adalah hal yang akan dilakukan dalam metode Euler termodifikasi.
Langkah dalam mengaproksimasi 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan rata-rata dari nilainya di 𝑥0
dan 𝑥1, perlu diketahui nilai 𝑓[𝑥1, 𝑦(𝑥1)] di 𝑥1. Namun, nilai 𝑦(𝑥1) dari y di 𝑥1
tidak diketahui. Dengan demikian, harus ditemukan aproksimasi pertama 𝑦1(1)
untuk 𝑦(𝑥1) dengan menggunakan metode Euler dasar (sesi1). Diambil
𝑦1(1) = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) (3.8)
sebagai aproksimasi pertama nilai y di 𝑥1. Kemudian, 𝑓[𝑥1, 𝑦(𝑥1)] diaproksimasi
dengan 𝑓(𝑥1, 𝑦1(1)), menggunakan nilai 𝑦1
(1) pada (3.8). Dari sini diperoleh
𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓(𝑥1, 𝑦1(1))
2,
(3.9)
yang nilainya di sekitar nilai rata-rata dari 𝑓(𝑥, 𝑦) pada titik ujung 𝑥0 dan 𝑥1.
Selanjutnya, 𝑓(𝑥0, 𝑦0) pada (3.8) diganti dengan (3.9) dan diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
𝑦1(2) = 𝑦0 +
𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓(𝑥1, 𝑦1(1))
2ℎ
(3.10)
sebagai aproksimasi kedua nilai y di 𝑥1.
Sekarang, menggunakan aproksimasi kedua 𝑦1(2)
untuk mendapatkan aproksimasi
kedua 𝑓(𝑥1, 𝑦1(2)) untuk nilai 𝑓(𝑥, 𝑦) di 𝑥1. Dari sini dilanjutkan untuk mendapat
𝑦1(3) = 𝑦0 +
𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓(𝑥1, 𝑦1(2))
2ℎ
(3.11)
Sebagai aproksimasi ketiga nilai y di 𝑥1. Cara ini dilanjutkan untuk memperoleh
barisan aproksimasi
𝑦1(1), 𝑦1
(2), 𝑦1(3), …
menuju nilai solusi eksak y di 𝑥1. Perhitungan dilanjutkan sampai ditemukan dua
anggota berurutan dalam barisan yang memiliki nilai yang sama dengan jumlah
angka setelah titik desimal. Diambil nilai bersama dari dua anggota tersebut sebagai
pendekatan nilai solusi y di 𝑥1, dan dinotasikan 𝑦1.
Mengaproksimasi y di 𝑥1 menggunakan 𝑦1 telah selesai, selanjutnya
mengaproksimasi y di 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ. Caranya persis seperti langkah yang telah
dilakukan untuk mendapatkan nilai 𝑦1.
Demikian berturut-turut
𝑦2(1) = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1),
𝑦2(2) = 𝑦1 +
𝑓(𝑥1, 𝑦1) + 𝑓(𝑥2, 𝑦2(1))
2ℎ,
(3.12)
𝑦2(3) = 𝑦1 +
𝑓(𝑥1, 𝑦1) + 𝑓(𝑥2, 𝑦2(2))
2ℎ,
⋮
sampai dua anggota yang berturut-turut dari barisan mempunyai nilai yang sama,
dari sana diperoleh aproksimasi 𝑦2 untuk nilai y di 𝑥2.
Proses dilanjutkan dengan cara yang sama untuk memperoleh nilai aproksimasi 𝑦3,
𝑦4 dan begitu seterusnya. Inilah yang disebut sebagai metode Euler termodifikasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Apabila diambil nilai 𝑦1 = 𝑦1(2), 𝑦2 = 𝑦2
(2), . . . , 𝑦𝑛 = 𝑦𝑛
(2), maka ini disebut sebagai
metode Heun.
Contoh 2
Gunakan metode Euler termodifikasi untuk masalah nilai awal
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 + 𝑦,
(3.6)
𝑦(0) = 1. (3.7)
Manfaatkan metode ini untuk memperkirakan nilai y di = 0,2, 𝑥 = 0,4, 𝑥 = 0,6,
𝑥 = 0,8, dan 𝑥 = 1 dengan ℎ = 0,2. Nyatakan hasil dengan tiga angka setelah titik
desimal. Bandingkan hasilnya dengan hasil yang diperoleh menggunakan metode
Euler dasar dengan ℎ = 0,1 dan dengan nilai eksak (Contoh 1, Tabel 1).
Jawab.
Diketahui 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦, 𝑥0 = 0, dan 𝑦0 = 1 dengan ℎ = 0,2. Dimulai dengan
mengaproksimasi nilai dari 𝑦 di 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ = 0,2. Aproksimasi pertama nilai 𝑦1(1)
didapat menggunakan persamaan (3.8). Karena 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓(0,1) = 1,000
diperoleh
𝑦1(1) = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 1,000 + 0,2(1,000) = 1,200.
Menggunakan persamaan (3.10) untuk menemukan nilai aproksimasi kedua 𝑦1(2)
.
Karena 𝑓(𝑥1, 𝑦1(1)) = 𝑓(0,2, 1,200) = 1,600, diperoleh
𝑦1(2) = 𝑦0 +
𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓(𝑥1, 𝑦1(1))
2ℎ = 1,000 +
1,000 + 1,600
2(0,2) = 1,260.
Selanjutnya, memanfaatkan persamaan (3.11) untuk menemukan nilai aproksimasi
ketiga 𝑦1(3)
. Karena 𝑓(𝑥1, 𝑦1(2)) = 𝑓(0,2, 1,260) = 1,660, diperoleh
𝑦1(3) = 𝑦0 +
𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓(𝑥1, 𝑦1(2))
2ℎ = 1,000 +
1,000 + 1,660
2(0,2) = 1,266.
Dengan cara yang sama, diperoleh aproksimasi keempat dan kelima 𝑦1(4)
dan 𝑦1(5)
masing-masing
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
𝑦1(4) = 𝑦0 +
𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓(𝑥1, 𝑦1(3))
2ℎ = 1,000 +
1,000 + 1,666
2(0,2) = 1,267
dan
𝑦1(5) = 𝑦0 +
𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓(𝑥1, 𝑦1(4))
2ℎ = 1,000 +
1,000 + 1,667
2(0,2) = 1,267.
Karena nilai aproksimasi 𝑦1(4)
dan 𝑦1(5)
adalah sama pada tiga angka setelah titik
desimal, diambil nilai bersama ini sebagai aproksimasi 𝑦1 sebagai solusi y di 𝑥1 =
0,2, diperoleh
𝑦1 = 1,267 (3.13)
Selanjutnya memperkirakan nilai y di 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ = 0,4. Memanfaatkan
persamaan (3.12), dengan 𝑦1 = 1,267, ditemukan secara berurutan
𝑦2(1) = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 1,267 + 0,2(1,667) = 1,600,
𝑦2(2) = 𝑦1 +
𝑓(𝑥1, 𝑦1) + 𝑓(𝑥2, 𝑦2(1))
2ℎ = 1,267 +
1,667 + 2,400
2(0,2) = 1,674,
𝑦2(3) = 𝑦1 +
𝑓(𝑥1, 𝑦1) + 𝑓(𝑥2, 𝑦2(2))
2ℎ = 1,267 +
1,667 + 2,474
2(0,2) = 1,681,
𝑦2(4) = 𝑦1 +
𝑓(𝑥1, 𝑦1) + 𝑓(𝑥2, 𝑦2(3))
2ℎ = 1,267 +
1,667 + 2,481
2(0,2) = 1,682,
𝑦2(5) = 𝑦1 +
𝑓(𝑥1, 𝑦1) + 𝑓(𝑥2, 𝑦2(4))
2ℎ = 1,267 +
1,667 + 2,482
2(0,2) = 1,682.
Karena nilai aproksimasi 𝑦2(4)
dan 𝑦2(5)
adalah sama dengan jumlah desimal yang
dibutuhkan, diambil nilai bersama ini sebagai aproksimasi 𝑦2 ke nilai solusi y di
𝑥2 = 0,4, diperoleh
𝑦2 = 1,682. (3.14)
Dengan menggunakan program MATLAB, diperoleh nilai aproksimasi di 𝑥 = 0,6,
𝑥 = 0,8, dan 𝑥 = 1 berturut-turut sebagai berikut
𝑦3 = 2,278
𝑦4 = 3,095
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
𝑦5 = 4,183.
Hasil numeris ini dengan metode Euler termodifikasi akan ditunjukkan dalam
gambar 3.
Gambar 3. Grafik solusi contoh 2 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Hasil (3.13) dan (3.14) dibandingkan dengan hasil yang diperoleh menggunakan
metode Euler dasar dengan ℎ = 0,1 dan dengan nilai eksak. Untuk itu, berbagai
hasil dan galat yang sesuai diurutkan dalam Tabel 3.
Kelebihan utama metode Euler termodifikasi daripada metode Euler dasar segera
terlihat dalam Tabel 3.
Tabel 3. Perbandingan solusi metode Euler dan Euler termodifikasi
𝑥𝑛
Nilai
eksak y
Euler
ℎ = 0,1
Euler termodifikasi
ℎ = 0,2
Aproksimasi 𝑦𝑛 Galat Aproksimasi 𝑦𝑛 Galat
0,2 1,264 1,230 0,034 1,267 0,003
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
𝑥𝑛
Nilai
eksak y
Euler
ℎ = 0,1
Euler termodifikasi
ℎ = 0,2
Aproksimasi 𝑦𝑛 Galat Aproksimasi 𝑦𝑛 Galat
0,4 1,675 1,592 0,083 1,682 0,007
Nilai galat di titik 𝑥𝑛+1 diperoleh dengan cara
𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡𝑥𝑛+1 = |𝑦𝑛+1𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 − 𝑦𝑛+1𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛|
Metode Euler termodifikasi lebih akurat dibandingkan dengan metode Euler dasar.
Di 𝑥 = 0,4 galat menggunakan metode Euler termodifikasi dengan ℎ = 0,2 adalah
0,007. Galat 0,083 yang sesuai dengan menggunakan metode Euler dasar dan ℎ =
0,1 hampir dua belas kali lebih besar, meskipun faktanya nilai h yang lebih kecil
digunakan dalam kasus ini. Tentu saja pada setiap langkah metode Euler
termodifikasi melibatkan perhitungan yang lebih panjang dan lebih rumit daripada
metode Euler dasar. Dapat dicatat, bagaimanapun, bahwa metode Euler dasar akan
membutuhkan banyak langkah individual untuk memberikan hasil seakurat yang
dapat diberikan oleh metode Euler termodifikasi dalam satu langkah.
3. Metode Runge-Kutta
Sekarang pertimbangkan yang disebut metode Runge-Kutta untuk
memperkirakan nilai dari solusi pada masalah nilai awal
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦),
(2.1)
𝑦(𝑥0) = 𝑦0, (3.2)
pada 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ, 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ, dan seterusnya. Metode ini memberikan hasil-hasil
yang sangat akurat tanpa perlu menggunakan nilai h yang sangat kecil.
Untuk memperkirakan nilai solusi dari masalah nilai awal dalam pertimbangan di
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ dengan metode Runge-Kutta, dilanjutkan dengan cara berikut.
Dihitung secara berurutan nilai-nilai 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, 𝑘4 dan 𝐾0 yang didefinisikan
dengan persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0),
𝑘2 = ℎ𝑓 (𝑥0 +
ℎ
2, 𝑦0 +
𝑘12),
𝑘3 = ℎ𝑓 (𝑥0 +
ℎ
2, 𝑦0 +
𝑘22),
(3.15)
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦0 + 𝑘3),
dan
𝐾0 =1
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4).
Lalu ditentukan
𝑦1 = 𝑦0 +𝐾0 (3.16)
dan jadikan ini sebagai perkiraan nilai dari solusi eksak di 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ.
Setelah menentukan 𝑦1, dilanjutkan untuk memperkirakan solusi di 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ
dengan cara yang sama. Menggunakan 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ dan 𝑦1 yang telah ditentukan
pada (3.16), perhitungan secara berurutan nilai-nilai 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, 𝑘4 dan 𝐾1 yang
didefinisikan dengan persamaan
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1),
𝑘2 = ℎ𝑓 (𝑥1 +
ℎ
2, 𝑦1 +
𝑘12),
𝑘3 = ℎ𝑓 (𝑥1 +
ℎ
2, 𝑦1 +
𝑘22),
(3.17)
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥1 + ℎ, 𝑦1 + 𝑘3),
dan
𝐾1 =1
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4).
Lalu ditentukan
𝑦2 = 𝑦1 + 𝐾1 (3.18)
dan jadikan ini sebagai perkiraan nilai dari solusi eksak di 𝑥2 = 𝑥1 + ℎ.
Perhitungan dilanjutkan untuk memperkirakan nilai dari solusi eksak pada titik
𝑥3 = 𝑥2 + ℎ, 𝑥4 = 𝑥3 + ℎ, dan begitu seterusnya, dengan cara yang sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Misalkan 𝑦𝑛 dinyatakan sebagai nilai solusi di 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ, perhitungan secara
berurutan nilai-nilai 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, 𝑘4 dan 𝐾𝑛 yang didefinisikan dengan persamaan
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛),
𝑘2 = ℎ𝑓 (𝑥𝑛 +
ℎ
2, 𝑦𝑛 +
𝑘12),
𝑘3 = ℎ𝑓 (𝑥𝑛 +
ℎ
2, 𝑦𝑛 +
𝑘22),
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑘3),
dan
𝐾𝑛 =1
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4).
Lalu diatur
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝐾𝑛
dan jadikan ini sebagai perkiraan nilai dari solusi eksak di 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ.
Penurunan Metode Runge-Kutta
a. Metode Deret Taylor
Misalkan 𝑦𝑛+1 = 𝑦(𝑥𝑛+1), 𝑛 = 0,1,2, … , 𝑛
adalah aproksimasi nilai 𝑦 di titik 𝑥𝑛+1. Aproksimasi ini diperoleh dengan
menguraikan 𝑦𝑛+1 disekitar 𝑥𝑛 dengan menggunakan deret Taylor sebagai berikut
𝑦(𝑥𝑛+1) = 𝑦(𝑥𝑛) +
(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)
1!𝑦′(𝑥𝑛) +
(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)2
2!𝑦′′(𝑥𝑛)
+⋯+(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)
𝑛
𝑛!𝑦(𝑛)(𝑥𝑛)
atau
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑦
′(𝑥𝑛) +ℎ2
2𝑦′′(𝑥𝑛) + ⋯+
ℎ𝑛
𝑛!𝑦(𝑛)(𝑥𝑛). (3.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
b. Ekspansi suatu Fungsi dengan Deret Taylor
Ekspansi deret Taylor dari suatu fungsi adalah cara untuk menemukan nilai
suatu fungsi yang dekat dengan titik yang diketahui, yaitu titik dimana nilai
fungsinya diketahui. Fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai jumlahan beberapa
suku dari deret yang konvergen. Dalam beberapa kasus (jika fungsinya adalah
polinomial), deret Taylor dapat memberikan nilai eksak fungsi tersebut. Dalam
banyak kasus, bagaimanapun juga, diperlukan jumlahan takhingga suku untuk
mendapatkan nilai eksak. Jika hanya menggunakan beberapa suku, nilai fungsi
yang diperoleh dari deret Taylor adalah suatu nilai pendekatan. Ekspansi suatu
fungsi dengan deret Taylor digunakan lebih luas dalam metode numerik.
Rumus Taylor untuk ekspansi fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) disekitar titik (𝑥0, 𝑦0) diberikan
sebagai berikut :
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) +
1
1![(𝑥 − 𝑥0)
𝜕𝑓
𝜕𝑥|𝑥0,𝑦0
+ (𝑦 − 𝑦0)𝜕𝑓
𝜕𝑦|𝑥0,𝑦0
]
+1
2![(𝑥 − 𝑥0)
2𝜕2𝑓
𝜕𝑥2|𝑥0,𝑦0
+ 2(𝑥 − 𝑥0)(𝑦 − 𝑦0)𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦|𝑥0,𝑦0
+(𝑦 − 𝑦0)
2𝜕2𝑓
𝜕𝑦2|𝑥0,𝑦0
] + ⋯+1
𝑛!
(3.20)
[∑
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!(𝑥 − 𝑥0)
𝑘(𝑦 − 𝑦0)𝑛−𝑘
𝜕𝑛𝑓
𝜕𝑥𝑘𝜕𝑦𝑛−𝑘|𝑥0,𝑦0
𝑛
𝑘=0
]
c. Metode Runge-Kutta
Bentuk umum metode Runge-Kutta orde-n ialah sebagai berikut
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑘𝑟
dengan 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑟 adalah konstanta, dan
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞1,1𝑘1)
𝑘3 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞2,1𝑘1 + 𝑞2,2𝑘2)
⋮
𝑘𝑟 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝𝑟−1ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞𝑟−1,1𝑘1 + 𝑞𝑟−1,2𝑘2 +⋯+ 𝑞𝑟−1,𝑟−1𝑘𝑟−1)
nilai 𝑎𝑖, 𝑝𝑖, 𝑞𝑖,𝑗 dengan 𝑖 = 𝑗 = 1,2, … , 𝑟 dipilih sedemikian sehingga
meminimumkan galat di setiap langkah.
Untuk 𝑟 = 4 diperoleh bentuk umum metode Runge-Kutta orde-4, yaitu
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘2 + 𝑎3𝑘3 + 𝑎4𝑘4 (3.21)
dengan
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞1,1𝑘1)
(3.22) 𝑘3 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞2,1𝑘1 + 𝑞2,2𝑘2)
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝3ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞3,1𝑘1 + 𝑞3,2𝑘2 + 𝑞3,3𝑘3).
atau (3.22) dapat ditulis
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1)
𝑘3 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝3ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3).
Akan dicari nilai konstanta 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, 𝑞4, 𝑞5, dan 𝑞6 untuk
memperoleh bentuk khusus dari metode Runge-Kutta orde-4.
Pertama-tama mencari nilai 𝑘2 dengan cara mengekspansi 𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1)
di sekitar 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) sesuai persamaan (3.20) untuk 𝑛 = 3, diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1) = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) + [(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ − 𝑥𝑛)𝜕𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝜕𝑥+
(𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1 − 𝑦𝑛)𝜕𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝜕𝑦] +
1
2[(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ − 𝑥𝑛)
2𝜕2𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝜕𝑥2+
2(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ − 𝑥𝑛)(𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1 − 𝑦𝑛)𝜕2(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝜕𝑥𝜕𝑦+
(𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1 − 𝑦𝑛)2𝜕2𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝜕𝑦2] +
1
6[(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ − 𝑥𝑛)
3𝜕3𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝜕𝑥3+
3(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ − 𝑥𝑛)2(𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1 − 𝑦𝑛)
𝜕3(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝜕𝑥2𝜕𝑦+
3(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ − 𝑥𝑛)(𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1 − 𝑦𝑛)2𝜕3(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝜕𝑥𝜕𝑦2+
(𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1 − 𝑦𝑛)3𝜕3𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝜕𝑦3].
Substitusi,
𝑓 = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛), 𝑓𝑥𝑘𝑦𝑛−𝑘 =𝜕𝑛𝑓
𝜕𝑥𝑘𝜕𝑦𝑛−𝑘,
𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1) = 𝑓 + [𝑝1ℎ𝑓𝑥 + 𝑞1𝑘1𝑓𝑦] +1
2[(𝑝1ℎ)
2𝑓𝑥𝑥 +
2(𝑝1ℎ)(𝑞1𝑘1)𝑓𝑥𝑦 + (𝑞1𝑘1)2𝑓𝑦𝑦] +
1
6[(𝑝1ℎ)
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3(𝑝1ℎ)2(𝑞1𝑘1)𝑓𝑥𝑥𝑦 +
3(𝑝1ℎ)(𝑞1𝑘1)2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞1𝑘1)
3𝑓𝑦𝑦𝑦]
= 𝑓 + [𝑝1ℎ𝑓𝑥 + ℎ𝑞1𝑓𝑓𝑦] +1
2[ℎ2𝑝1
2𝑓𝑥𝑥 + 2ℎ2𝑝1𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑦 + ℎ
2𝑞12𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
1
6[ℎ3𝑝1
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3ℎ3𝑝1
2𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3ℎ3𝑝1𝑞1
2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + ℎ3𝑞1
3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
= 𝑓 + ℎ[𝑝1𝑓𝑥 + 𝑞1𝑓𝑓𝑦] +ℎ2
2[𝑝1
2𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝1𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑦 + 𝑞12𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ3
6[𝑝1
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝12𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝1𝑞1
2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + 𝑞13𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦]
𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝1ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞1𝑘1)
= ℎ𝑓 + ℎ2[𝑝1𝑓𝑥 + 𝑞1𝑓𝑓𝑦] +ℎ3
2[𝑝1
2𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝1𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑦 + 𝑞12𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ4
6[𝑝1
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝12𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝1𝑞1
2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + 𝑞13𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦].
Selanjutnya mencari nilai 𝑘3 dan 𝑘4 dengan cara yang sama. Ekspansi 𝑓(𝑥𝑛 +
𝑝2ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2) di sekitar 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) untuk 𝑛 = 3 ialah sebagai berikut
𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2) = 𝑓 + [𝑝2ℎ𝑓𝑥 + (𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)𝑓𝑦] +
1
2[(𝑝2ℎ)
2𝑓𝑥𝑥 + 2(𝑝2ℎ)(𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)𝑓𝑥𝑦 + (𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)2𝑓𝑦𝑦] +
1
6[(𝑝2ℎ)
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3(𝑝2ℎ)2(𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3(𝑝2ℎ)(𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)
2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
(𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)3𝑓𝑦𝑦𝑦].
Substitusi 𝑘1 dan 𝑘2, diperoleh
𝑝2ℎ𝑓𝑥 + (𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)𝑓𝑦 = 𝑝2ℎ𝑓𝑥 + {𝑞2ℎ𝑓 + 𝑞3(ℎ𝑓 + ℎ2[𝑝1𝑓𝑥 + 𝑞1𝑓𝑓𝑦] +
ℎ3
2[𝑝1
2𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝1𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑦 + 𝑞12𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ4
6[𝑝1
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝12𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 +
3𝑝1𝑞12𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + 𝑞1
3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦])}𝑓𝑦
= ℎ𝑝2𝑓𝑥 + ℎ𝑞2𝑓𝑓𝑦 + ℎ𝑞3𝑓𝑓𝑦 + ℎ2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦 + ℎ
2𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦 +
ℎ3
2𝑞3𝑝1
2𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦 + ℎ3𝑞3𝑝1𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦 +
ℎ3
2𝑞3𝑞1
2𝑓2𝑓𝑦𝑦𝑓𝑦 +⋯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
= ℎ[𝑝2𝑓𝑥 + (𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦] + ℎ2[𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦 + 𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦] +
ℎ3 [1
2𝑞3𝑝1
2𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦 + 𝑞3𝑝1𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦 +1
2𝑞3𝑞1
2𝑓2𝑓𝑦𝑦𝑓𝑦] + ⋯.
(𝑝2ℎ)2𝑓𝑥𝑥 + 2(𝑝2ℎ)(𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)𝑓𝑥𝑦 + (𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)
2𝑓𝑦𝑦
= 𝑝22ℎ2𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝2ℎ{𝑞2ℎ𝑓 + 𝑞3(ℎ𝑓 + ℎ
2[𝑝1𝑓𝑥 + 𝑞1𝑓𝑓𝑦] + ⋯ )}𝑓𝑥𝑦 +
(𝑞2ℎ𝑓 + 𝑞3[ℎ𝑓 + ⋯ ])2𝑓𝑦𝑦
= 𝑝22ℎ2𝑓𝑥𝑥 + (2ℎ
2𝑝2𝑞2𝑓 + 2𝑝2ℎ[𝑞3ℎ𝑓 + ℎ2𝑞3𝑝1𝑓𝑥 + ℎ
2𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦 +⋯ ])𝑓𝑥𝑦 +
(𝑞2ℎ𝑓 + 𝑞3ℎ𝑓 +⋯)2𝑓𝑦𝑦
= 𝑝22ℎ2𝑓𝑥𝑥 + 2ℎ
2𝑝2𝑞2𝑓𝑓𝑥𝑦 + 2ℎ2𝑝2𝑞3𝑓𝑓𝑥𝑦 + 2ℎ
3𝑝2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 +
2ℎ3𝑝2𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + ℎ2𝑞2
2𝑓2𝑓𝑦𝑦 + 2ℎ2𝑞2𝑞3𝑓
2𝑓𝑦𝑦 + ℎ2𝑞3
2𝑓2𝑓𝑦𝑦 +⋯
= ℎ2[𝑝22𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝2𝑞2𝑓𝑓𝑥𝑦 + 2𝑝2𝑞3𝑓𝑓𝑥𝑦 + 𝑞2
2𝑓2𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞2𝑞3𝑓2𝑓𝑦𝑦 +
𝑞32𝑓2𝑓𝑦𝑦] + ℎ
3[2𝑝2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + 2𝑝2𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦] + ⋯.
(𝑝2ℎ)3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3(𝑝2ℎ)
2(𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3(𝑝2ℎ)(𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
(𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)3𝑓𝑦𝑦𝑦
= 𝑝23ℎ3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝2
2ℎ2(𝑞2ℎ𝑓 + 𝑞3[ℎ𝑓 + ⋯ ])𝑓𝑥𝑥𝑦 +
3𝑝2ℎ(𝑞2ℎ𝑓 + 𝑞3[ℎ𝑓 + ⋯ ])2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞2ℎ𝑓 + 𝑞3[ℎ𝑓 + ⋯ ])3𝑓𝑦𝑦𝑦
= 𝑝23ℎ3𝑓𝑥𝑥𝑥 + (3𝑝2
2ℎ2𝑞2ℎ𝑓 + 3𝑝22ℎ2𝑞3ℎ𝑓 +⋯)𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝2ℎ(𝑞2
2ℎ2𝑓2 +
2ℎ2𝑞2𝑞3𝑓2 + 𝑞3
2ℎ2𝑓2 +⋯)𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞23ℎ3𝑓3 + 3𝑞2
2ℎ2𝑓2𝑞3ℎ𝑓 +
3𝑞2ℎ𝑓𝑞32ℎ2𝑓2 + 𝑞3
3ℎ3𝑓3 +⋯)𝑓𝑦𝑦𝑦
= 𝑝23ℎ3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝2
2ℎ3𝑞2𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝22ℎ3𝑞3𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝2ℎ
3𝑞22𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
6𝑝2ℎ3𝑞2𝑞3𝑓
2𝑓𝑥𝑦𝑦 + 3𝑝2ℎ3𝑞3
2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + 𝑞23ℎ3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦 + 3𝑞2
2ℎ3𝑞3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦 +
3ℎ3𝑞2𝑞32𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦 + 𝑞3
3ℎ3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦 +⋯
= ℎ3[𝑝23𝑓𝑥𝑥𝑥 + (3𝑝2
2𝑞2 + 3𝑝22𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 +(3𝑝2𝑞2
2 + 6𝑝2𝑞2𝑞3 + 3𝑝2𝑞32)
𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞23 + 3𝑞2
2𝑞3 + 3𝑞2𝑞32 + 𝑞3
3)𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦] + ⋯
= ℎ3[𝑝23𝑓𝑥𝑥𝑥 + (3𝑝2
2𝑞2 + 3𝑝22𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 +3𝑝2(𝑞2 + 𝑞3)
2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
(𝑞2 + 𝑞3)3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦] + ⋯.
𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)
= 𝑓 + ℎ[𝑝2𝑓𝑥 + (𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦] + ℎ2[𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦 + 𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦] +
ℎ3 [1
2𝑞3𝑝1
2𝑓𝑦𝑓𝑥𝑥 + 𝑞3𝑝1𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 +1
2𝑞3𝑞1
2𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦] +ℎ2
2[𝑝2
2𝑓𝑥𝑥 +
(2𝑝2𝑞2 + 2𝑝2𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑦 + (𝑞2 + 𝑞3)2𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ3
2[2𝑝2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 +
2𝑝2𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦] +ℎ3
6[𝑝2
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + (3𝑝22𝑞2 + 3𝑝2
2𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 +
3𝑝2(𝑞2 + 𝑞3)2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞2 + 𝑞3)
3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦]
= 𝑓 + ℎ[𝑝2𝑓𝑥 + (𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦] +ℎ2
2[2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦 + 2𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑝2
2𝑓𝑥𝑥 +
(2𝑝2𝑞2 + 2𝑝2𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑦 + (𝑞2 + 𝑞3)2𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ3
6[3𝑞3𝑝1
2𝑓𝑦𝑓𝑥𝑥 +
6𝑝2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + (6𝑞3𝑝1𝑞1 + 6𝑝2𝑞3𝑞1) 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 3𝑞3𝑞12𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 𝑝2
3𝑓𝑥𝑥𝑥 +
(3𝑝22𝑞2 + 3𝑝2
2𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝2(𝑞2 + 𝑞3)2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞2 + 𝑞3)
3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦]
𝑘3 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝2ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞2𝑘1 + 𝑞3𝑘2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
= ℎ𝑓 + ℎ2[𝑝2𝑓𝑥 + (𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦] +ℎ3
2[2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦 + 2𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑝2
2𝑓𝑥𝑥 +
(2𝑝2𝑞2 + 2𝑝2𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑦 + (𝑞2 + 𝑞3)2𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ4
6[3𝑞3𝑝1
2𝑓𝑦𝑓𝑥𝑥 +
6𝑝2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + (6𝑞3𝑝1𝑞1 + 6𝑝2𝑞3𝑞1) 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 3𝑞3𝑞12𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 𝑝2
3𝑓𝑥𝑥𝑥 +
(3𝑝22𝑞2 + 3𝑝2
2𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝2(𝑞2 + 𝑞3)2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞2 + 𝑞3)
3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦].
Ekspansi 𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝3ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3) di sekitar 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) ialah sebagai
berikut :
𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝3ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3) = 𝑓 + [𝑝3ℎ𝑓𝑥 + (𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 +
𝑞6𝑘3)𝑓𝑦] +1
2[(𝑝3ℎ)
2𝑓𝑥𝑥 + 2(𝑝3ℎ)(𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)𝑓𝑥𝑦 +
(𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)2𝑓𝑦𝑦] +
1
6[(𝑝3ℎ)
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3(𝑝3ℎ)2(𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)
𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3(𝑝3ℎ)(𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)
3𝑓𝑦𝑦𝑦].
Substitusi 𝑘1, 𝑘2 dan 𝑘3, diperoleh
𝑝3ℎ𝑓𝑥 + (𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)𝑓𝑦 = 𝑝3ℎ𝑓𝑥 + {𝑞4ℎ𝑓 + 𝑞5(ℎ𝑓 +ℎ2[𝑝1𝑓𝑥 +
𝑞1𝑓𝑓𝑦] +ℎ3
2[𝑝1
2𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝1𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑦 + 𝑞12𝑓2𝑓𝑦𝑦] + ⋯ ) + 𝑞6(ℎ𝑓 + ℎ
2[𝑝2𝑓𝑥 +
(𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦] +ℎ3
2[2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦 + 2𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑝2
2𝑓𝑥𝑥 +(2𝑝2𝑞2 + 2𝑝2𝑞3)
𝑓𝑓𝑥𝑦 + (𝑞2 + 𝑞3)2𝑓2𝑓𝑦𝑦] + ⋯ )}𝑓𝑦
= 𝑝3ℎ𝑓𝑥 + 𝑞4ℎ𝑓𝑓𝑦 + 𝑞5ℎ𝑓𝑓𝑦 + 𝑞5ℎ2𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦 + 𝑞5ℎ
2𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦 +
𝑞5ℎ31
2𝑝12𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦 + 𝑞5ℎ
3𝑝1𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦 + 𝑞5ℎ31
2𝑞12𝑓2𝑓𝑦𝑦𝑓𝑦 + 𝑞6ℎ𝑓𝑓𝑦 +
𝑞6ℎ2𝑝2𝑓𝑥𝑓𝑦 + 𝑞6ℎ
2(𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑞6ℎ3𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑞6ℎ
3𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦 +
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
𝑞6ℎ31
2𝑝2
2𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦 + 𝑞6ℎ3(𝑝2𝑞2 + 𝑝2𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦 + 𝑞6ℎ
31
2(𝑞2 + 𝑞3)
2𝑓2𝑓𝑦𝑦𝑓𝑦 +⋯
= ℎ[𝑝3𝑓𝑥 + (𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)]𝑓𝑓𝑦 + ℎ2[(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑦 + (𝑞5𝑞1 +
𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦] + ℎ3 [1
2(𝑞5𝑝1
2 + 𝑞6𝑝22)𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦 + (𝑞5𝑝1𝑞1 +
𝑞6(𝑝2𝑞2 + 𝑝2𝑞3))𝑓𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦 +1
2(𝑞5𝑞1
2 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)2)𝑓2𝑓𝑦𝑦𝑓𝑦 +
𝑞6𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑞6𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦] + ⋯.
(𝑝3ℎ)2𝑓𝑥𝑥 + 2(𝑝3ℎ)(𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)𝑓𝑥𝑦 + (𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)
2𝑓𝑦𝑦
= 𝑝32ℎ2𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝3ℎ𝑞4ℎ𝑓𝑓𝑥𝑦 + 2𝑝3ℎ𝑞5(ℎ𝑓 + ℎ
2[𝑝1𝑓𝑥 + 𝑞1𝑓𝑓𝑦])𝑓𝑥𝑦 +
2𝑝3ℎ𝑞6(ℎ𝑓 + ℎ2[𝑝2𝑓𝑥 + (𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦])𝑓𝑥𝑦 + (𝑞4ℎ𝑓)
2𝑓𝑦𝑦 +
(𝑞5(ℎ𝑓 + ℎ2[𝑝1𝑓𝑥 + 𝑞1𝑓𝑓𝑦] + ⋯ ))
2
𝑓𝑦𝑦 +
(𝑞6(ℎ𝑓 + ℎ2[𝑝2𝑓𝑥 + (𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦] + ⋯ ))
2
𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞4𝑞5ℎ𝑓(ℎ𝑓 +
ℎ2[𝑝1𝑓𝑥 + 𝑞1𝑓𝑓𝑦] + ⋯ )𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞5𝑞6(ℎ𝑓 + ℎ2[𝑝1𝑓𝑥 + 𝑞1𝑓𝑓𝑦] + ⋯ )
(ℎ𝑓 + ℎ2[𝑝2𝑓𝑥 + (𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦] + ⋯ )𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞4𝑞6ℎ𝑓(ℎ𝑓 +
ℎ2[𝑝2𝑓𝑥 + (𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦] + ⋯ )𝑓𝑦𝑦
= 𝑝32ℎ2𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝3ℎ𝑞4ℎ𝑓𝑓𝑥𝑦 + 2𝑝3ℎ𝑞5ℎ𝑓𝑓𝑥𝑦 + 2𝑝3ℎ𝑞5ℎ
2𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 +
2𝑝3ℎ𝑞5ℎ2𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 2𝑝3ℎ𝑞6ℎ𝑓𝑓𝑥𝑦 + 2𝑝3ℎ𝑞6ℎ
2𝑝2𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + 2𝑝3ℎ𝑞6ℎ2
(𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 𝑞42ℎ2𝑓2𝑓𝑦𝑦 + 𝑞5
2ℎ2𝑓2𝑓𝑦𝑦 + 𝑞522ℎ3𝑝1𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 +
𝑞522ℎ3𝑞1𝑓
2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 𝑞62ℎ2𝑓2𝑓𝑦𝑦 + 𝑞6
22ℎ3𝑝2𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 𝑞622ℎ3(𝑞2 + 𝑞3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞4𝑞5ℎ2𝑓2𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞4𝑞5ℎ𝑓ℎ
2𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞4𝑞5ℎ𝑓ℎ2𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 +
2𝑞5𝑞6ℎ2𝑓2𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞5𝑞6ℎ𝑓ℎ
2𝑝2𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞5𝑞6ℎ𝑓ℎ2(𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 +
2𝑞5𝑞6ℎ𝑓ℎ2𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞5𝑞6ℎ𝑓ℎ
2𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞4𝑞6ℎ2𝑓2𝑓𝑦𝑦 +
2𝑞4𝑞6ℎ𝑓ℎ2𝑝2𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 2𝑞4𝑞6ℎ𝑓ℎ
2(𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 +⋯
= ℎ2𝑝32𝑓𝑥𝑥 + ℎ
22𝑝3𝑞4𝑓𝑓𝑥𝑦 + ℎ22𝑝3𝑞5𝑓𝑓𝑥𝑦 + ℎ
32𝑝3𝑞5𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 +
ℎ32𝑝3𝑞5𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + ℎ22𝑝3𝑞6𝑓𝑓𝑥𝑦 + ℎ
32𝑝3𝑞6𝑝2𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + ℎ32𝑝3𝑞6
(𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + ℎ2𝑞4
2𝑓2𝑓𝑦𝑦 + ℎ2𝑞5
2𝑓2𝑓𝑦𝑦 + ℎ32𝑞5
2𝑝1𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 +
ℎ32𝑞52𝑞1𝑓
2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + ℎ2𝑞6
2𝑓2𝑓𝑦𝑦 + ℎ32𝑞6
2𝑝2𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + ℎ32𝑞6
2(𝑞2 + 𝑞3)
𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + ℎ22𝑞4𝑞5𝑓
2𝑓𝑦𝑦 + ℎ32𝑞4𝑞5𝑝1𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + ℎ
32𝑞4𝑞5𝑞1𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 +
ℎ22𝑞5𝑞6𝑓2𝑓𝑦𝑦 + ℎ
32𝑞5𝑞6𝑝2𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + ℎ32𝑞5𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)𝑓
2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 +
ℎ32𝑞5𝑞6𝑝1𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + ℎ32𝑞5𝑞6𝑞1𝑓
2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + ℎ22𝑞4𝑞6𝑓
2𝑓𝑦𝑦 +
ℎ32𝑞4𝑞6𝑝2𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + ℎ32𝑞4𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)𝑓
2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 +⋯
= ℎ2[𝑝32𝑓𝑥𝑥 + 2(𝑝3𝑞4 + 𝑝3𝑞5 + 𝑝3𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑦 + (𝑞4
2 + 𝑞52 + 𝑞6
2 +
2(𝑞4𝑞5 + 𝑞5𝑞6 + 𝑞4𝑞6)𝑓2𝑓𝑦𝑦] + ℎ
3[2(𝑝3𝑞5𝑝1 + 𝑝3𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 +
2(𝑝3𝑞5𝑞1 + 𝑝3𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 2(𝑞52𝑝1 + 𝑞6
2𝑝2 + 𝑞4𝑞5𝑝1 +
𝑞5𝑞6𝑝2 + 𝑞5𝑞6𝑝1 + 𝑞4𝑞6𝑝2)𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 2(𝑞5𝑞1(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6) +
𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6))𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 +⋯
= ℎ2[𝑝32𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑦 + (𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)
2𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ3[2𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + 2𝑝3(𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 +
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
2(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 2(𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))
(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦] + ⋯.
(𝑝3ℎ)3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3(𝑝3ℎ)
2(𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3(𝑝3ℎ)
(𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)
3𝑓𝑦𝑦𝑦
= (𝑝3ℎ)3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3(𝑝3ℎ)
2(𝑞4ℎ𝑓 + 𝑞5[ℎ𝑓 + ⋯ ] + 𝑞6[ℎ𝑓 + ⋯ ])𝑓𝑥𝑥𝑦 +
3(𝑝3ℎ)(𝑞4ℎ𝑓 + 𝑞5[ℎ𝑓 + ⋯ ] + 𝑞6[ℎ𝑓 + ⋯ ])2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
(𝑞4ℎ𝑓 + 𝑞5[ℎ𝑓 + ⋯ ] + 𝑞6[ℎ𝑓 + ⋯ ])3𝑓𝑦𝑦𝑦
= 𝑝33ℎ3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3ℎ
3𝑝32(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3ℎ
3𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
ℎ3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦 +⋯
= ℎ3[𝑝33𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝3
2(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦] + ⋯.
𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝3ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)
= 𝑓 + {ℎ[𝑝3𝑓𝑥 + (𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑦] + ℎ2[(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑦 + (𝑞5𝑞1 +
𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦] + ℎ3 [1
2(𝑞5𝑝1
2 + 𝑞6𝑝22)𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦 + (𝑞5𝑝1𝑞1 +
𝑞6(𝑝2𝑞2 + 𝑝2𝑞3))𝑓𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦 +1
2(𝑞5𝑞1
2 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)2)𝑓2𝑓𝑦𝑦𝑓𝑦 +
𝑞6𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑞6𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦]} + {ℎ2
2[𝑝3
2𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑦 +
(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)2𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ3
2[2𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 +
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
2𝑝3(𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 2(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 +
2(𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦]} + {
ℎ3
6[𝑝3
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝32(𝑞4 +
𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)
3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦]}
= 𝑓 + ℎ[𝑝3𝑓𝑥 + (𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑦] +ℎ2
2[2(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑦 + 2(𝑞5𝑞1 +
𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑝32𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑦 + (𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)
2𝑓2
𝑓𝑦𝑦] +ℎ3
6[3(𝑞5𝑝1
2 + 𝑞6𝑝22)𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦 + 6(𝑞5𝑝1𝑞1 + 𝑞6(𝑝2𝑞2 + 𝑝2𝑞3))𝑓𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦 +
3(𝑞5𝑞12 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)
2)𝑓2𝑓𝑦𝑦𝑓𝑦 + 6𝑞6𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑦 + 6𝑞6𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦 +
6𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + 6𝑝3(𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 6(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)
(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 6(𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 +
𝑝33𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝3
2(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦.
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 𝑝3ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑞4𝑘1 + 𝑞5𝑘2 + 𝑞6𝑘3)
= ℎ𝑓 + ℎ2[𝑝3𝑓𝑥 + (𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑦] +ℎ3
2[2(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑦 + 2(𝑞5𝑞1 +
𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑝32𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑦 + (𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)
2𝑓2
𝑓𝑦𝑦] +ℎ4
6[3(𝑞5𝑝1
2 + 𝑞6𝑝22)𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦 + 6(𝑞5𝑝1𝑞1 + 𝑞6𝑝2(𝑞2 + 𝑞3) + 𝑝3𝑞5𝑞1 +
𝑝3𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 3(𝑞5𝑞12 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)
2 + 2((𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))
(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6))𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 6𝑞6𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑦 + 6𝑞6𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦 +
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
6𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + 6(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 +
𝑝33𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝3
2(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦.
Dengan demikian nilai 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 dan 𝑘4 telah diperoleh. Selanjutnya, substitusi
nilai 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 dan 𝑘4 di atas ke persamaan (3.21), sehingga metode Runge-Kutta
orde-4 menjadi
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑎1𝑘1 + 𝑎2𝑘2 + 𝑎3𝑘3 + 𝑎4𝑘4 (3.23)
= 𝑦𝑛 + 𝑎1ℎ𝑓 + 𝑎2 {ℎ𝑓 + ℎ2[𝑝1𝑓𝑥 + 𝑞1𝑓𝑓𝑦] +
ℎ3
2[𝑝1
2𝑓𝑥𝑥 +2𝑝1𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑦 +
𝑞12𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ4
6[𝑝1
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝12𝑞1𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝1𝑞1
2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
𝑞13𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦]} + 𝑎3 {ℎ𝑓 + ℎ
2[𝑝2𝑓𝑥 + (𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑦] +ℎ3
2[2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦 +
2𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑝22𝑓𝑥𝑥 + 2𝑝2(𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑦 + (𝑞2 + 𝑞3)
2𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ4
6[3𝑞3𝑝1
2𝑓𝑦𝑓𝑥𝑥 + 6𝑝2𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + (6𝑞3𝑝1𝑞1 + 6𝑝2𝑞3𝑞1) 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 +
3𝑞3𝑞12𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 𝑝2
3𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝22(𝑞2 + 𝑞3)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝2(𝑞2 + 𝑞3)
2
𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑞2 + 𝑞3)3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦] + 𝑎4{ℎ𝑓 + ℎ
2[𝑝3𝑓𝑥 + (𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑦] +
ℎ3
2[2(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑦 + 2(𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑝3
2𝑓𝑥𝑥 +
2𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑦 + (𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)2𝑓2𝑓𝑦𝑦] +
ℎ4
6[3(𝑞5𝑝1
2 +
𝑞6𝑝22)𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦 + 6(𝑞5𝑝1𝑞1 + 𝑞6𝑝2(𝑞2 + 𝑞3) + 𝑝3𝑞5𝑞1 + 𝑝3𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))
𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 3(𝑞5𝑞12 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)
2 + 2((𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))
(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6))𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 6𝑞6𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑦 + 6𝑞6𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦 +
6𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + 6(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 +
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
𝑝33𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑝3
2(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)2𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 +
(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)3𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦]}
= 𝑦𝑛 + (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4)ℎ𝑓 + ℎ2[(𝑎2𝑝1 + 𝑎3𝑝2 + 𝑎4𝑝3)𝑓𝑥 +
(𝑎2𝑞1 + 𝑎3(𝑞2 + 𝑞3) + 𝑎4(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6))𝑓𝑓𝑦] +ℎ3
2[(𝑎2𝑝1
2 + 𝑎3𝑝22 +
𝑎4𝑝32)𝑓𝑥𝑥 + (2𝑎2𝑝1𝑞1 + 2𝑎3𝑝2(𝑞2 + 𝑞3) + 2𝑎4𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6))𝑓𝑓𝑥𝑦 +
(𝑎2𝑞12 + 𝑎3(𝑞2 + 𝑞3)
2 + 𝑎4(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)2)𝑓2𝑓𝑦𝑦 + (2𝑎3𝑞3𝑝1 +
2𝑎4(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2))𝑓𝑥𝑓𝑦 + 2(𝑎3𝑞3𝑞1 + 𝑎4(𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)))𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦] +
ℎ4
6[(𝑎2𝑝1
3 + 𝑎3𝑝23 + 𝑎4𝑝3
3)𝑓𝑥𝑥𝑥 + (3𝑎2𝑝12𝑞1 + 3𝑎3𝑝2
2(𝑞2 + 𝑞3) +
3𝑎4𝑝32(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6))𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + (3𝑎2𝑝1𝑞1
2 + 3𝑎3𝑝2(𝑞2 + 𝑞3)2 +
3𝑎4𝑝3(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)2)𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + (𝑎2𝑞1
3 + 𝑎3(𝑞2 + 𝑞3)3 +
𝑎4(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)3)𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦 + (3𝑎3𝑞3𝑝1
2 + 3𝑎4(𝑞5𝑝12 + 𝑞6𝑝2
2))𝑓𝑦𝑓𝑥𝑥 +
(6𝑎3𝑝2𝑞3𝑝1 + 6𝑎4𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2))𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + (6𝑎3𝑞3𝑞1(𝑝1 + 𝑝2) +
6𝑎4(𝑞5𝑝1𝑞1 + 𝑞6𝑝2(𝑞2 + 𝑞3) + 𝑝3𝑞5𝑞1 + 𝑝3𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)) ) 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 +
(3𝑎3𝑞3𝑞12 + 3𝑎4 (𝑞5𝑞1
2 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3)2 + 2((𝑞5𝑞1 + 𝑞6(𝑞2 + 𝑞3))
(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6))𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 6𝑎4𝑞6𝑞3𝑝1𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑦 + 6𝑎4𝑞6𝑞3𝑞1𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦 +
6𝑎4(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6)𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦].
Dengan menggunakan persamaan (3.19), metode deret Taylor orde-4 dapat
dinyatakan sebagai berikut :
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑦′(𝑥𝑛) +
ℎ2
2𝑦′′(𝑥𝑛) +
ℎ3
6𝑦′′′(𝑥𝑛) +
ℎ4
24𝑦(4)(𝑥𝑛). (3.24)
Dipandang suatu masalah nilai awal
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦),
𝑦(𝑥0) = 𝑦0
akan dicari nilai 𝑦′′, 𝑦′′′, dan 𝑦(4) pada (3.24).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
𝑦′′ = 𝑓′(𝑥, 𝑦) =𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓𝑥 + 𝑓𝑓𝑦.
𝑦′′′ = 𝑓′′(𝑥, 𝑦) =𝑑
𝑑𝑥𝑓′(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓′(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+𝜕𝑓′(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝜕
𝜕𝑥[𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥] +
𝜕
𝜕𝑦[𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥]𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+
[𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦]𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑦𝑥𝑓 + 𝑓𝑦𝑓𝑥 + [𝑓𝑥𝑦 + 𝑓𝑦𝑦𝑓 + 𝑓𝑦𝑓𝑦]𝑓
= 𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑥𝑦𝑓 + 𝑓𝑦𝑓𝑥 + 𝑓𝑓𝑥𝑦 + 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑓 + 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦
= 𝑓𝑥𝑥 + 2𝑓𝑓𝑥𝑦 + 𝑓𝑥𝑓𝑦 + 𝑓2𝑓𝑦𝑦 + 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦.
𝑦(4) = 𝑓′′′(𝑥,𝑦) =𝑑
𝑑𝑥𝑓′′(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓′′(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+𝜕𝑓′′(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝜕
𝜕𝑥[𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+
[𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦]𝑑𝑦
𝑑𝑥] +
𝜕
𝜕𝑦[𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+
[𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦]𝑑𝑦
𝑑𝑥]𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝜕
𝜕𝑥[𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦(𝑑𝑦
𝑑𝑥)2
+ (𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦)2 𝑑𝑦
𝑑𝑥] +
𝜕
𝜕𝑦[𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+
𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦(𝑑𝑦
𝑑𝑥)2
+ (𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦)2 𝑑𝑦
𝑑𝑥]𝑑𝑦
𝑑𝑥
=𝜕3𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑥+𝜕3𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑥+𝜕3𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+
𝜕3𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑥(𝑑𝑦
𝑑𝑥)2
+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦2𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+ 2
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+
(𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦)2 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+ [𝜕3𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑦+𝜕3𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦+
𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥+𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦+𝜕3𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+
𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦+𝜕3𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦𝜕𝑦(𝑑𝑦
𝑑𝑥)2
+𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦2𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦+
2𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ (
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦)2 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦]𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓𝑥𝑥𝑥 + 𝑓𝑦𝑥𝑥𝑓 + 𝑓𝑦𝑥𝑓𝑥 + 𝑓𝑦𝑥𝑓𝑥 + 𝑓𝑦𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑥𝑦𝑥𝑓 + 𝑓𝑥𝑦𝑓𝑥 + 𝑓𝑦𝑦𝑥𝑓2 +
2𝑓𝑦𝑦𝑓𝑥𝑓 + 2𝑓𝑦𝑥𝑓𝑦𝑓 + 𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑥 + [𝑓𝑥𝑥𝑦 + 𝑓𝑦𝑥𝑦𝑓 + 𝑓𝑦𝑥𝑓𝑦 + 𝑓𝑦𝑦𝑓𝑥 + 𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 +
𝑓𝑥𝑦𝑦𝑓 + 𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦 + 𝑓𝑦𝑦𝑦𝑓2 + 𝑓𝑦𝑦2𝑓𝑓𝑦 + 2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦𝑓 + 𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦]𝑓
= 𝑓𝑥𝑥𝑥 + 𝑓𝑥𝑥𝑦𝑓 + 𝑓𝑥𝑦𝑓𝑥 + 𝑓𝑥𝑦𝑓𝑥 + 𝑓𝑦𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑥𝑦𝑥𝑓 + 𝑓𝑦𝑥𝑓𝑥 + 𝑓𝑥𝑦𝑦𝑓2 +
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
2𝑓𝑦𝑦𝑓𝑥𝑓 + 2𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦𝑓 + 𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑥 + 𝑓𝑓𝑦𝑥𝑥 + 𝑓2𝑓𝑦𝑥𝑦 + 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑥 +
𝑓2𝑓𝑦𝑦𝑥 + 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑥 + 𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦 + 2𝑓
2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 2𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦
= 𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 5𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦 + 3𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + 4𝑓
2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 +
𝑓3𝑓𝑦𝑦𝑦 + 3𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + 𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑓𝑦𝑓𝑥𝑥.
Dengan substitusi 𝑦′′, 𝑦′′′ dan 𝑦(4) ke persamaan (3.24), diperoleh
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓 +ℎ2
2[𝑓𝑥 + 𝑓𝑓𝑦] +
ℎ3
6[𝑓𝑥𝑥 + 2𝑓𝑓𝑥𝑦 + 𝑓𝑥𝑓𝑦 + 𝑓
2𝑓𝑦𝑦 +
𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦] +ℎ4
24[𝑓𝑥𝑥𝑥 + 3𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦 + 3𝑓𝑓𝑥𝑓𝑦𝑦 + 5𝑓𝑓𝑦𝑓𝑥𝑦 + 𝑓𝑓𝑦𝑓𝑦𝑓𝑦 +
(3.25)
3𝑓2𝑓𝑥𝑦𝑦 + 4𝑓2𝑓𝑦𝑓𝑦𝑦 + 𝑓
3𝑓𝑦𝑦𝑦 + 3𝑓𝑥𝑓𝑥𝑦 + 𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑦 + 𝑓𝑦𝑓𝑥𝑥]
Selanjutnya menyamakan koefisien dari (3.23) dan (3.25) didapat
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 1
𝑎2𝑝1 + 𝑎3𝑝2 + 𝑎4𝑝3 =1
2
𝑎2𝑞1 + 𝑎3(𝑞2 + 𝑞3) + 𝑎4(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6) =1
2
}𝑝1 = 𝑞1 𝑝2 = 𝑞2 + 𝑞3 𝑝3 = 𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6
𝑎2𝑞1 + 𝑎3(𝑞2 + 𝑞3) + 𝑎4(𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6) =1
2
1
2(𝑎2𝑝1
2 + 𝑎3𝑝22 + 𝑎4𝑝3
2) =1
6⟺ 𝑎2𝑝1
2 + 𝑎3𝑝22 + 𝑎4𝑝3
2 =1
3
1
6(𝑎2𝑝1
3 + 𝑎3𝑝23 + 𝑎4𝑝3
3) =1
24⟺ 𝑎2𝑝1
3 + 𝑎3𝑝23 + 𝑎4𝑝3
3 =1
4
1
2(2𝑎3𝑞3𝑝1 + 2𝑎4(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)) =
1
6⟺ 𝑎3𝑞3𝑝1 + 𝑎4(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =
1
6
(𝑎3𝑝2𝑞3𝑝1 + 𝑎4𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2)) =3
24⟺ 𝑎3𝑝2𝑞3𝑝1 + 𝑎4𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =
1
8
3
6(𝑎3𝑞3𝑝1
2 + 𝑎4(𝑞5𝑝12 + 𝑞6𝑝2
2)) =1
24⟺ 𝑎3𝑞3𝑝1
2 + 𝑎4(𝑞5𝑝12 + 𝑞6𝑝2
2) =1
12
1
6(6𝑎4𝑞6𝑞3𝑝1) =
1
24⟺ 𝑎4𝑞6𝑞3𝑝1 =
1
24
atau ditulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
{
𝑝1 = 𝑞1 𝑝2 = 𝑞2 + 𝑞3 𝑝3 = 𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 1
𝑎2𝑝1 + 𝑎3𝑝2 + 𝑎4𝑝3 =1
2
𝑎2𝑝12 + 𝑎3𝑝2
2 + 𝑎4𝑝32 =
1
3
𝑎2𝑝13 + 𝑎3𝑝2
3 + 𝑎4𝑝33 =
1
4
𝑎3𝑞3𝑝1 + 𝑎4(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =1
6
𝑎3𝑝2𝑞3𝑝1 + 𝑎4𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =1
8
𝑎3𝑞3𝑝12 + 𝑎4(𝑞5𝑝1
2 + 𝑞6𝑝22) =
1
12
𝑎4𝑞6𝑞3𝑝1 =1
24
Sistem persamaan diatas terdiri dari 11 persamaan dengan 13 variabel yang tidak
diketahui. Diberikan dua kondisi tambahan untuk dapat menyelesaikan sistem.
Pilihan yang paling sering digunakan dan yang sangat membantu yaitu :
𝑝1 =1
2 dan 𝑞2 = 0.
Dengan demikian, diperoleh
𝑞1 =
1
2
(3.26)
𝑝2 = 𝑞3 (3.27)
𝑎4𝑞6𝑞3𝑝1 =124
𝑎4 =1
24𝑞6𝑞3𝑝1
(3.28)
𝑎3𝑞3𝑝1
2 + 𝑎4(𝑞5𝑝12 + 𝑞6𝑝2
2) =1
12
𝑎4 =
112 − 𝑎3𝑞3𝑝1
2
𝑞5𝑝12 + 𝑞6𝑝22
(3.29)
𝑎3𝑞3𝑝1 + 𝑎4(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =
1
6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
𝑎4 =
16 − 𝑎3𝑞3𝑝1
𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2
(3.30)
dari (3.28) dan (3.29), didapat
𝑞5𝑝12 + 𝑞6𝑝2
2
24𝑞6𝑞3𝑝1=1 − 12𝑎3𝑞3𝑝1
2
1214 𝑞5 + 𝑞6𝑝2
2
12𝑞3𝑞6=1 − 3𝑎3𝑞3
1214 𝑞5 + 𝑞6𝑝2
2
𝑞3𝑞6= 1 − 3𝑎3𝑞3
14 𝑞5 + 𝑞6𝑝2
2 = 𝑞3𝑞6 − 3𝑎3𝑞3𝑞3𝑞6
14 𝑞5 + 𝑞6𝑝2
2 = 𝑞3𝑞6 − 3𝑎3𝑞32𝑞6
14 𝑞5 = 𝑞3𝑞6 − 3𝑎3𝑞3
2𝑞6 − 𝑝22𝑞6
14 𝑞5 = 𝑝2𝑞6 − 3𝑎3𝑝22𝑞6 − 𝑝22𝑞6
14 𝑞5 = 𝑝2𝑞6 − 𝑝2
2𝑞6(3𝑎3 + 1)
𝑞5 = 4(𝑝2𝑞6 − 𝑝22𝑞6(3𝑎3 + 1))
𝑞5 = 4𝑞6𝑝2(1 − 𝑝2(3𝑎3 + 1)).
(3.31)
Dari (3.28) dan (3.30), didapat
𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝224𝑞6𝑞3𝑝1
=1 − 6𝑎3𝑞3𝑝1
612 𝑞5 + 𝑞6𝑝212𝑞6𝑞3
=1 − 3𝑎3𝑞3
612 𝑞5 + 𝑞6𝑝22𝑞6𝑞3
= 1 − 3𝑎3𝑞3
12 𝑞5 + 𝑞6𝑝2 = 2𝑞6𝑞3 − 6𝑞6𝑞32𝑎3
12 𝑞5 + 𝑞6𝑝2 = 2𝑞6𝑝2 − 6𝑞6𝑝2
2𝑎3
12 𝑞5 = 2𝑞6𝑝2 − 6𝑞6𝑝2
2𝑎3 − 𝑞6𝑝2
12 𝑞5 = 𝑞6𝑝2 − 6𝑞6𝑝22𝑎3
𝑞5 = 2(𝑞6𝑝2 − 6𝑞6𝑝22𝑎3)
𝑞5 = 2𝑞6𝑝2(1 − 6𝑝2𝑎3)
(3.32)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
dari persamaan (3.31) dan (3.32), diperoleh
4𝑞6𝑝2(1 − 𝑝2(3𝑎3 + 1)) = 2𝑞6𝑝2(1 − 6𝑝2𝑎3)
2(1 − 𝑝2(3𝑎3 + 1)) = 1 − 6𝑝2𝑎32 − 2𝑝2(3𝑎3 + 1) = 1 − 6𝑝2𝑎31 − 6𝑝2𝑎3 − 2𝑝2 = −6𝑝2𝑎3
1 − 2𝑝2 = 0
𝑝2 =12
𝑞3 =12
substitusi 𝑝2 ke (3.32), diperoleh
𝑞5 = 2𝑞6𝑝2(1 − 6𝑝2𝑎3)
= 2𝑞612 (1 − 6
12𝑎3)
= 𝑞6(1 − 3𝑎3).
(3.33)
Substitusi 𝑝1, 𝑝2, dan 𝑞3 ke 𝑎3𝑞3𝑝1 + 𝑎4(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =1
6, diperoleh
𝑎3𝑞3𝑝1 + 𝑎4(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =16
𝑎31212 + 𝑎4 (𝑞5
12 + 𝑞6
12) =
16
𝑎34 +
𝑎42(𝑞5 + 𝑞6) =
16
𝑎3 + 2𝑎4(𝑞5 + 𝑞6) =23
(3.34)
Substitusi 𝑝1 dan 𝑞3 ke (3.28), diperoleh
𝑎4 =1
24𝑞6𝑞3𝑝1
𝑎4 =1
24𝑞61212
𝑎4 =1
24𝑞614
𝑎4 =16𝑞6
.
(3.35)
Dari 𝑎2𝑝1 + 𝑎3𝑝2 + 𝑎4𝑝3 =1
2 dan 𝑎2𝑝1
2 + 𝑎3𝑝22 + 𝑎4𝑝3
2 =1
3, diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
{𝑎212 + 𝑎3
12 + 𝑎4𝑝3 =
12
𝑎214 + 𝑎3
14 + 𝑎4𝑝3
2 =13
{
12(𝑎2 + 𝑎3) + 𝑎4𝑝3 =
12
14(𝑎2 + 𝑎3) + 𝑎4𝑝32 =
13
{
12(𝑎2 + 𝑎3) + 𝑎4𝑝3 =
12
12(𝑎2 + 𝑎3) + 2𝑎4𝑝32 =
23
2𝑎4𝑝32 − 𝑎4𝑝3 =16
𝑎4(2𝑝32 − 𝑝3) =16 ,
(3.36)
dari 𝑎2𝑝12 + 𝑎3𝑝2
2 + 𝑎4𝑝32 =
1
3 dan 𝑎2𝑝1
3 + 𝑎3𝑝23 + 𝑎4𝑝3
3 =1
4 , diperoleh
{𝑎214 + 𝑎3
14 + 𝑎4𝑝3
2 =13
𝑎218+ 𝑎3
18+ 𝑎4𝑝3
3 =14
{
14(𝑎2 + 𝑎3) + 𝑎4𝑝32 =
13
18(𝑎2 + 𝑎3) + 𝑎4𝑝33 =
14
{
14(𝑎2 + 𝑎3) + 𝑎4𝑝32 =
13
14(𝑎2 + 𝑎3) + 2𝑎4𝑝33 =
12
𝑎4(2𝑝33 − 𝑝32) =16 .
(3.37)
Dari (3.36) dan (3.37), diperoleh
𝑎4(2𝑝32 − 𝑝3) = 𝑎4(2𝑝3
3 − 𝑝32)
2𝑝32 − 𝑝3 = 2𝑝33 − 𝑝32
𝑝3(2𝑝3 − 1) = 𝑝32(2𝑝3 − 1)
𝑝3 = 𝑝32
𝑝32 − 𝑝3 = 0
𝑝3(𝑝3 − 1) = 0𝑝3 = 0 ∨ 𝑝3 = 1
karena 𝑝3 = 0 tidak memenuhi persamaan (3.36) dan (3.37), maka dipilih
𝑝3 = 1. (3.38)
Substitusi nilai 𝑝3 ke persamaan (3.37), didapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
𝑎4(2𝑝33 − 𝑝3
2) =16
𝑎4(2.1 − 1) =16
𝑎4 =16 .
(3.39)
Substitusi nilai 𝑎4 ke persamaan (3.35), diperoleh
𝑎4 =16𝑞6
𝑞6 =16𝑎4
𝑞6 =1
616
𝑞6 = 1.
(3.40)
Dengan mensubstitusi nilai 𝑝1, 𝑝2, 𝑞3, 𝑞6, dan 𝑎4 yang telah diperoleh ke persamaan
𝑎3𝑞3𝑝1 + 𝑎4(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =1
6 dan 𝑎3𝑝2𝑞3𝑝1 + 𝑎4𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =
1
8, didapat
{𝑎3𝑞3𝑝1 + 𝑎4(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =
16
𝑎3𝑝2𝑞3𝑝1 + 𝑎4𝑝3(𝑞5𝑝1 + 𝑞6𝑝2) =18
{𝑎31212 +
16 (𝑞5
12 + 1
12) =
16
𝑎3121212 +
161 (𝑞5
12 + 1
12) =
18
{
𝑎34 +
16 (𝑞52 +
12) =
16
𝑎38 +
16 (𝑞52 +
12) =
18
{
𝑎34+𝑞512+112
=16
𝑎38 +
𝑞512 +
112 =
18
{
𝑎34 +
𝑞512 =
112
𝑎38 +
𝑞512 =
124
𝑎34 −
𝑎38 =
112 −
124
𝑎3 =23 −
13
𝑎3 =13 .
(3.41)
Substitusi nilai 𝑎3 dan 𝑞6 ke persamaan (3.33) diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
𝑞5 = 𝑞6(1 − 3𝑎3)
𝑞5 = 1(1 − 313)
𝑞5 = 1 − 1𝑞5 = 0.
(3.42)
Substitusi nilai 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑎3 dan 𝑎4 ke 𝑎2𝑝12 + 𝑎3𝑝2
2 + 𝑎4𝑝32 =
1
3, diperoleh
𝑎214 +
1314 +
161 =
13
𝑎2 +13 +
23 =
43
𝑎2 + 1 =43
𝑎2 =13 .
(3.43)
Substitusi nilai 𝑎2, 𝑎3, dan 𝑎4 ke persamaan 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 1, diperoleh
𝑎1 +13 +
13 +
16 = 1
𝑎1 +56= 1
𝑎1 =16 .
(3.44)
Substitusi 𝑝3, 𝑞5 dan 𝑞6 ke persamaan 𝑝3 = 𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6, diperoleh
𝑝3 = 𝑞4 + 𝑞5 + 𝑞6𝑞4 = 𝑝3 − 𝑞5 − 𝑞6𝑞4 = 1 − 0 − 1
𝑞4 = 0.
(3.45)
Dengan demikian, telah diperoleh nilai-nilai dari variabel pada sistem persamaan
diatas, yaitu
𝑎1 =16
𝑎2 =13
𝑎3 =13
𝑎4 =16
𝑝1 =12
𝑝2 =12
𝑝3 = 1
𝑞1 =12
𝑞2 = 0
𝑞3 =12
𝑞4 = 0𝑞5 = 0𝑞6 = 1
Selanjutnya substitusi nilai-nilai diatas ke persamaan (3.21) dan (3.22), diperoleh
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +1
6𝑘1 +
1
3𝑘2 +
1
3𝑘3 +
1
6𝑘4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
dengan
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 +1
2ℎ, 𝑦𝑛 +
1
2𝑘1)
𝑘3 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 +1
2ℎ, 𝑦𝑛 + 0𝑘1 +
1
2𝑘2)
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + 1ℎ, 𝑦𝑛 + 0𝑘1 + 0𝑘2 + 1𝑘3).
Dengan demikian, metode Runge-Kutta orde-4 dapat dinyatakan sebagai berikut
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +1
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
dengan
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)
𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 +ℎ
2, 𝑦𝑛 +
𝑘12)
𝑘3 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 +ℎ
2, 𝑦𝑛 +
𝑘22)
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑘3).
Contoh 3
Terapkan metode Runge-Kutta untuk masalah nilai awal
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 + 𝑦,
(3.6)
𝑦(0) = 1. (3.7)
Manfaatkan metode ini untuk memperkirakan nilai y di = 0,2, 𝑥 = 0,4, 𝑥 = 0,6,
𝑥 = 0,8, dan 𝑥 = 1 dengan ℎ = 0,2. Nyatakan perhitungan di setiap langkah
dengan lima angka setelah titik desimal, dan bulatkan hasil akhir dari setiap langkah
dengan empat angka setelah titik desimal. Bandingkan dengan nilai eksak.
Jawab.
Diketahui 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦, 𝑥0 = 0, dan 𝑦0 = 1 dengan ℎ = 0,2. Dimulai dari
menghitung 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, 𝑘4 dan 𝐾0 yang didefinisikan pada (3.15) secara berurutan,
pertama diperoleh
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 0,2𝑓(0, 1) = 0,2(1) = 0,20000.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
kemudian
𝑥0 +ℎ
2= 0 +
1
2(0,2) = 0,1
dan
𝑦0 +𝑘12= 1,00000 +
1
2(0,20000) = 1,10000,
didapat
𝑘2 = ℎ𝑓 (𝑥0 +ℎ
2, 𝑦0 +
𝑘12) = 0,2𝑓(0,1, 1,10000) = 0,2(1,30000) = 0,26000.
Selanjutnya, karena
𝑦0 +𝑘22= 1,00000 +
1
2(0,26000) = 1,13000,
didapat
𝑘3 = ℎ𝑓 (𝑥0 +ℎ
2, 𝑦0 +
𝑘22) = 0,2𝑓(0,1, 1,13000) = 0,2(1,33000) = 0,26600.
karena 𝑥0 + ℎ = 0,2 dan 𝑦0 + 𝑘3 = 1,00000 + 0,26600 = 1,26600, maka
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦0 + 𝑘3) = 0,2𝑓(0,2, 1,26600) = 0,2(1,66600) = 0,33320.
Akhirnya, diperoleh
𝐾0 =1
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
=1
6(0,20000 + 0,52000 + 0,53200 + 0,33320
= 0,26420.
Dengan persamaan (3.16) nilai aproksimasi dari solusi di 𝑥1 = 0,2 adalah
𝑦1 = 𝑦0 + 𝐾0 = 1 + 0,2642 = 1,2642. (3.46)
Dengan menggunakan 𝑦1 yang diberikan pada (3.46), dihitung secara berurutan
𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, 𝑘4 dan 𝐾1 yang didefinisikan pada (3.17). Pertama ditemukan
𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 0,2𝑓(0,2, 1,2642 ) = 0,2(1,6642) = 0,33284.
Kemudian karena
𝑥1 +ℎ
2= 0,2 +
1
2(0,2) = 0,3
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
𝑦1 +𝑘12= 1,26420 +
1
2(0,33284) = 1,43062,
didapat
𝑘2 = ℎ𝑓 (𝑥1 +ℎ
2, 𝑦1 +
𝑘12) = 0,2𝑓(0,3, 1,43062) = 0,2(2,03062) = 0,40612.
Selanjutnya, karena
𝑦1 +𝑘22= 1,26420 +
1
2(0,40612) = 1,46726,
didapat
𝑘3 = ℎ𝑓 (𝑥1 +ℎ
2, 𝑦1 +
𝑘22) = 0,2𝑓(0,3, 1,46726) = 0,2(1, 2,06726) = 0,41345
dan karena 𝑥1 + ℎ = 0,4 dan 𝑦1 + 𝑘3 = 1,26420 + 0,41345 = 1,67765, maka
𝑘4 = ℎ𝑓(𝑥1 + ℎ, 𝑦1 + 𝑘3) = 0,2𝑓(0,4, 1,67765) = 0,2(2,47765) = 0,49553.
Akhirnya, diperoleh
𝐾1 =1
6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
=1
6(0,33284 + 0,81224 + 0,82690 + 0,49553
= 0,41125.
Dengan membulatkan 𝐾1 dan dari persamaan (3.18) nilai aproksimasi y di 𝑥2 =
0,4 adalah
𝑦2 = 𝑦1 +𝐾1 = 1,2642 + 0,4112 = 1,6754. (3.47)
Dengan menggunakan program MATLAB, diperoleh nilai aproksimasi di 𝑥 = 0,6,
𝑥 = 0,8, dan 𝑥 = 1 berturut-turut sebagai berikut
𝑦3 = 2.2663
𝑦4 = 3.0766
𝑦5 = 4.1548.
Hasil numeris ini dengan metode Runge-Kutta akan ditunjukkan dalam gambar 4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Gambar 4. Grafik solusi contoh 3 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Apabila gambar 4 diperbesar akan tampak seperti berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Gambar 5. Gambar 4 yang diperbesar.
Membulatkan sampai empat angka setelah titik desimal, nilai eksak di 𝑥 = 0,2 dan
𝑥 = 0,4 masing-masing adalah 1,2642 dan 1,6754. Nilai aproksimasi di 𝑥 = 0,2
yang diberikan pada (3.46) benar untuk empat angka setelah titik desimal, dan nilai
aproksimasi di 𝑥 = 0,4 yang diberikan pada (3.47) juga benar untuk empat angka
setelah titik desimal.
Keakuratan yang luar biasa dari metode Runge-Kutta dalam masalah ini jelas
terlihat. Bahkan, jika metode ini digunakan untuk mencari nilai aproksimasi y di
𝑥 = 0,4 dengan ℎ = 0,4 (yaitu, hanya dalam satu langkah), diperoleh nilai 1,6752,
yang selisihnya hanya 0,0002 dari nilai eksak.
4. Metode Milne
Metode Euler, metode Euler termodifikasi, dan metode Runge-Kutta adalah
metode-metode awal untuk solusi numerik dari suatu masalah nilai awal. Seperti
yang sudah ditunjukkan, metode awal adalah suatu metode yang dapat digunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
untuk memulai solusi. Sebaliknya, metode continuing adalah metode yang tidak
bisa digunakan untuk memulai solusi tetapi dapat digunakan untuk melanjutkannya,
setelah diawali dengan cukup baik. Pada bagian ini, dipertimbangkan secara singkat
metode continuing yang bermanfaat, disebut metode Milne. Metode Milne dapat
digunakan untuk memperkirakan nilai solusi dari masalah nilai awal
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦),
(3.1)
𝑦(𝑥0) = 𝑦0, (3.2)
di 𝑥𝑛+1 = 𝑥0 + (𝑛 + 1)ℎ, asalkan nilai pada empat titik sebelumnya 𝑥𝑛−3, 𝑥𝑛−2,
𝑥𝑛−1, dan 𝑥𝑛 telah ditentukan. Diasumsikan bahwa keempat nilai tersebut sudah
ditemukan, masing-masing yaitu 𝑦𝑛−3, 𝑦𝑛−2, 𝑦𝑛−1, dan 𝑦𝑛. Kemudian persamaan
(3.1) dapat digunakan untuk menentukan 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ di 𝑥𝑛−2, 𝑥𝑛−1, dan 𝑥𝑛, yaitu
𝑦𝑛−2′ = 𝑓(𝑥𝑛−2, 𝑦𝑛−2), 𝑦𝑛−1
′ = 𝑓(𝑥𝑛−1, 𝑦𝑛−1), dan 𝑦𝑛′ = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛). Berbagai
angka ini ditentukan, metode Milne dilanjutkan sebagai berikut:
Pertama-tama tentukan nilai 𝑦𝑛+1(1)
yang diberikan dalam persamaan
𝑦𝑛+1𝑃 = 𝑦𝑛−3 +
4ℎ
3(2𝑦𝑛
′ − 𝑦𝑛−1′ + 2𝑦𝑛−2
′ ). (3.48)
Dengan demikian ditentukan nilai 𝑦𝑛+1𝑃 , selanjutnya menentukan nilai 𝑦𝑛+1
′𝑃 yang
diberikan dalam persamaan
𝑦𝑛+1′𝑃 = 𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1
𝑃 ). (3.49)
Aknirnya, nilai 𝑦𝑛+1′𝑃 telah ditentukan, selanjutnya menentukan nilai 𝑦𝑛+1
𝐶 yang
diberikan dalam persamaan
𝑦𝑛+1𝐶 = 𝑦𝑛−1 +
ℎ
3(𝑦𝑛+1
′𝑃 + 4𝑦𝑛′ + 𝑦𝑛−1
′ ). (3.50)
Jika nilai 𝑦𝑛+1𝑃 yang ditentukan dari persamaan (3.48) dan nilai 𝑦𝑛+1
𝐶 yang
ditentukan dari persamaan (3.50) adalah sama dengan jumlah desimal yang diminta,
maka diambil nilai umum ini menjadi nilai aproksimasi dari solusi di 𝑥𝑛+1 dan
dinotasikan dengan 𝑦𝑛+1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Jika nilai-nilai 𝑦𝑛+1𝑃 dan 𝑦𝑛+1
𝐶 tidak sama dengan jumlah desimal yang diminta dan
semua perhitungan-pehitungan sudah diperiksa dan tampaknya benar, maka
dilanjutkan dengan proses berikut. Hitung nilai
𝐸 =|𝑦𝑛+1𝐶 − 𝑦𝑛+1
𝑃 |
29,
yang merupakan bagian utama dari kesalahan dalam persamaan (3.50). Jika E dapat
diabaikan sehubungan dengan jumlah desimal yang dibutuhkan, maka dapat
diambil nilai 𝑦𝑛+1𝐶 yang diperoleh dari persamaan (3.50) sebagai nilai aproksimasi
dari solusi di 𝑥𝑛+1 dan dinotasikan sebagai 𝑦𝑛+1. Di sisi lain, jika E sangat besar
bahwa itu tidak dapat diabaikan sehubungan dengan jumlah desimal yang
dibutuhkan, maka nilai h yang digunakan terlalu besar dan harus diganti dengan
nilai h yang lebih kecil. Dengan mengamati bahwa sekali nilai-nilai 𝑦0, 𝑦1, 𝑦2, dan
𝑦3 telah ditentukan, metode Milne dengan 𝑛 = 3 bisa digunakan untuk menentukan
𝑦4. Ketika 𝑦4 telah ditentukan dengan persamaan, metode Milne dengan 𝑛 = 4 bisa
digunakan untuk menentukan 𝑦5. Kemudian dilanjutkan dengan cara yang sama,
dapat dihitung nilai 𝑦6, 𝑦7, . . .. Tetapi harus diketahui nilai 𝑦0, 𝑦1, 𝑦2, dan 𝑦3 untuk
memulai metode Milne. Tentu 𝑦0 diberikan persis dengan kondisi awal, dan dapat
dicari 𝑦1, 𝑦2, dan 𝑦3 menggunakan salah satu metode awal yang sudah dijelaskan
sebelumnya (contohnya, metode Runge-Kutta).
Penurunan Metode Milne
a) Rumus interpolasi maju Newton’s Gregory
Rumus interpolasi ini sangat berguna untuk menginterpolasi nilai-nilai 𝑓(𝑥)
didekat awal dari himpunan nilai-nilai yang diberikan. Rumus ini dinyatakan
sebagai berikut
𝑓(𝑎 + ℎ𝑢) = 𝑓(𝑎) + 𝑢Δ𝑓(𝑎) +𝑢(𝑢 − 1)
2!Δ2𝑓(𝑎) + ⋯+
(3.51)
𝑢(𝑢 − 1)(𝑢 − 2)⋯𝑢(𝑢 − 𝑛 + 1)
𝑛!Δ𝑛𝑓(𝑎).
ℎ disebut sebagai interval selisih dan 𝑢 = (𝑥 − 𝑎) ℎ⁄ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
b) Metode Milne
Metode milne adalah metode yang sederhana dan cukup akurat untuk
menyelesaikan PDB secara numerik. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial
𝑦′ = 𝑓′(𝑥, 𝑦) dengan metode ini, pertama-tama nilai dari 𝑦𝑛+1 diaproksimasi
dengan rumus prediktor di 𝑥𝑛+1 kemudian memperbaiki nilai dari 𝑦𝑛+1 ini dengan
menggunakan rumus korektor. Rumus ini akan diturunkan dari rumus interpolasi
newton.
c) Penurunan Rumus Prediktor Milne
Diketahui bahwa rumus interpolasi maju Newton dalam 𝑦′ dan 𝑢 untuk 𝑛 = 4
diberikan sebagai berikut :
𝑦′ = 𝑦0′ + 𝑢Δ𝑦0
′ +𝑢(𝑢 − 1)
2!Δ2𝑦0
′ +𝑢(𝑢 − 1)(𝑢 − 2)
3!Δ3𝑦0
′ +
(3.52)
𝑢(𝑢 − 1)(𝑢 − 2)(𝑢 − 3)
4!Δ4𝑦0
′ +⋯
𝑦′ = 𝑦0′ + 𝑢Δ𝑦0
′ +𝑢2 − 𝑢
2Δ2𝑦0
′ +𝑢3 − 3𝑢2 + 2𝑢
6Δ3𝑦0
′ +
𝑢4 − 6𝑢3 + 11𝑢2 − 6𝑢
24Δ4𝑦0
′ +⋯
𝑢 =𝑥 − 𝑥0ℎ
⟺ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑢ℎ ⟺ 𝑑𝑥 = ℎ𝑑𝑢.
Selanjutnya, mengintegralkan (3.52) pada interval 𝑥 = 𝑥0 sampai 𝑥 = 𝑥0 + 4ℎ
yaitu 𝑢 = 0 sampai 𝑢 = 4, diperoleh
∫ 𝑦′
𝑥0+4ℎ
𝑥0
𝑑𝑥 = ℎ∫[𝑦0′ + 𝑢Δ𝑦0
′ +𝑢2 − 𝑢
2Δ2𝑦0
′ +𝑢3 − 3𝑢2 + 2𝑢
6
4
0
Δ3𝑦0′ +
𝑢4 − 6𝑢3 + 11𝑢2 − 6𝑢
24Δ4𝑦0
′ +⋯]𝑑𝑢
𝑦]𝑥0𝑥0+4ℎ = ℎ [𝑢𝑦0
′ +𝑢2
2Δ𝑦0
′ +1
2(𝑢3
3−𝑢2
2) Δ2𝑦0
′ +1
6
(𝑢4
4− 𝑢3 + 𝑢2)Δ3𝑦0
′ +1
24(𝑢5
5−3
2𝑢4 +
11
3𝑢3 − 3𝑢2)Δ4𝑦0
′ +⋯]0
4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
𝑦(𝑥0 + 4ℎ) − 𝑦(𝑥0) = ℎ [(4𝑦0′ +
16
2Δ𝑦0
′ +1
2(64
3−16
2)Δ2𝑦0
′ +1
6
(256
4− 64 + 16)Δ3𝑦0
′ + (1024
120−768
48+704
72− 2)Δ4𝑦0
′ +⋯) − 0]
𝑦(𝑥0 + 4ℎ) − 𝑦(𝑥0) = ℎ [4𝑦0′ +
16
2Δ𝑦0
′ + (64
6−16
4)Δ2𝑦0
′ +
(256
24−48
6)Δ3𝑦0
′ + (1024
120−768
48+704
72− 2)Δ4𝑦0
′ +⋯]
𝑦4 − 𝑦0 = ℎ [4𝑦0′ + 8Δ𝑦0
′ +20
3Δ2𝑦0
′ +8
3Δ3𝑦0
′ +28
90Δ4𝑦0
′ +⋯] (3.53)
Setelah mengabaikan Δ5 dan orde yang lebih tinggi, serta substitusi Δ ≡ Ε − 1, dari
persamaan (3.53) diperoleh
𝑦4 − 𝑦0 = ℎ [4𝑦0′ + 8(Ε − 1)𝑦0
′ +20
3(Ε − 1)2𝑦0
′ +8
3(Ε − 1)3𝑦0
′ +
28
90Δ4𝑦0
′]
𝑦4 = 𝑦0 + ℎ [4𝑦0′ + 8(Ε − 1)𝑦0
′ +20
3(Ε − 1)2𝑦0
′ +8
3(Ε − 1)3𝑦0
′ +
28
90Δ4𝑦0
′]
= 𝑦0 + ℎ [4𝑦0′ + 8(Ε − 1)𝑦0
′ +20
3(Ε2 − 2Ε + 1)𝑦0
′ +8
3(Ε3 − 3Ε2
+
+3Ε − 1)𝑦0′ +
28
90Δ4𝑦0
′]
= 𝑦0 + ℎ [4𝑦0′ + 8Ε𝑦0
′ − 8𝑦0′ +
20
3Ε2𝑦0
′ −40
3Ε𝑦0
′ +20
3𝑦0
′ +
8
3Ε3𝑦0
′ − 8Ε2𝑦0′ + 8Ε𝑦0
′ −8
3𝑦0
′ +28
90Δ4𝑦0
′]
= 𝑦0 + ℎ [(4 − 8 +20
3−8
3) 𝑦0
′ + (8 −40
3+ 8)Ε𝑦0
′ +
(20
3− 8)Ε2𝑦0
′ +8
3Ε3𝑦0
′ +28
90Δ4𝑦0
′]
= 𝑦0 + ℎ [(0)𝑦0′ +
8
3Ε𝑦0
′ −4
3Ε2𝑦0
′ +8
3Ε3𝑦0
′ +28
90Δ4𝑦0
′]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
= 𝑦0 + ℎ [8
3Ε𝑦0
′ −4
3Ε2𝑦0
′ +8
3Ε3𝑦0
′ +28
90Δ4𝑦0
′]
= 𝑦0 + ℎ [4
3(2Ε𝑦0
′ − Ε2𝑦0′ + 2Ε3𝑦0
′) +28
90Δ4𝑦0
′]
Ε𝑦0′ = 𝑦1
′, Ε2𝑦0′ = 𝑦2
′, Ε3𝑦0′ = 𝑦3
′
𝑦4 = 𝑦0 +4ℎ
3[2𝑦1
′ − 𝑦2′ + 2𝑦3
′] +28
90ℎΔ4𝑦0
′ (3.54)
d) Penurunan Rumus Korektor Milne
Untuk menentukan rumus korektor, persamaan (3.52) diintegralkan pada interval
𝑥 = [𝑥0, 𝑥0 + 2ℎ] atau 𝑢 = [0,2], diperoleh
∫ 𝑦′
𝑥0+2ℎ
𝑥0
𝑑𝑥 = ℎ∫[𝑦0′ + 𝑢Δ𝑦0
′ +𝑢2 − 𝑢
2Δ2𝑦0
′ +𝑢3 − 3𝑢2 + 2𝑢
6
2
0
Δ3𝑦0′ +
𝑢4 − 6𝑢3 + 11𝑢2 − 6𝑢
24Δ4𝑦0
′ +⋯]𝑑𝑢
𝑦]𝑥0𝑥0+2ℎ = ℎ [𝑢𝑦0
′ +𝑢2
2Δ𝑦0
′ +1
2(𝑢3
3−𝑢2
2) Δ2𝑦0
′ +
1
6(𝑢4
4− 𝑢3 + 𝑢2)Δ3𝑦0
′ +1
24(𝑢5
5−3
2𝑢4 +
11
3𝑢3 − 3𝑢2)Δ4𝑦0
′
+⋯]0
2
𝑦(𝑥0 + 2ℎ) − 𝑦(𝑥0) = ℎ [(2𝑦0′ +
4
2Δ𝑦0
′ +1
2(8
3−4
2)Δ2𝑦0
′ +1
6
(16
4− 8 + 4)Δ3𝑦0
′ + (32
120−48
48+88
72−1
2)Δ4𝑦0
′ +⋯) − 0]
𝑦(𝑥0 + 2ℎ) − 𝑦(𝑥0) = ℎ [2𝑦0′ + 2Δ𝑦0
′ + (8
6−4
4)Δ2𝑦0
′ +
1
6(0)Δ3𝑦0
′ + (−1
90)Δ4𝑦0
′ +⋯]
𝑦2 − 𝑦0 = ℎ [2𝑦0′ + 2Δ𝑦0
′ +1
3Δ2𝑦0
′ −1
90Δ4𝑦0
′ +⋯]
𝑦2 = 𝑦0 + ℎ [2𝑦0′ + 2Δ𝑦0
′ +1
3Δ2𝑦0
′ −1
90Δ4𝑦0
′ +⋯] (3.55)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Setelah mengabaikan Δ5 dan orde yang lebih tinggi, serta substitusi Δ ≡ Ε − 1, dari
persamaan (3.55) diperoleh rumus korektor Milne sebagai berikut :
𝑦2 = 𝑦0 + ℎ [2𝑦0′ + 2(Ε − 1)𝑦0
′ +1
3(Ε − 1)2𝑦0
′ −1
90Δ4𝑦0
′]
= 𝑦0 + ℎ [2𝑦0′ + 2(Ε − 1)𝑦0
′ +1
3(Ε2 − 2Ε + 1)𝑦0
′ −1
90Δ4𝑦0
′]
= 𝑦0 + ℎ [2𝑦0′ + 2Ε𝑦0
′ − 2𝑦0′ +
1
3Ε2𝑦0
′ −2
3Ε𝑦0
′ +1
3𝑦0
′
−1
90Δ4𝑦0
′]
= 𝑦0 + ℎ [(2 − 2 +1
3) 𝑦0
′ + (2 −2
3)Ε𝑦0
′ +1
3Ε2𝑦0
′ −1
90Δ4𝑦0
′]
= 𝑦0 + ℎ [1
3𝑦0
′ +4
3Ε𝑦0
′ +1
3Ε2𝑦0
′ −1
90Δ4𝑦0
′]
Ε𝑦0′ = 𝑦1
′, Ε2𝑦0′ = 𝑦2
′
= 𝑦0 + ℎ [1
3𝑦0
′ +4
3𝑦1′ +
1
3𝑦2
′ −1
90Δ4𝑦0
′]
= 𝑦0 +ℎ
3[𝑦0
′ + 4𝑦1′ + 𝑦2
′] −1
90ℎΔ4𝑦0
′ (3.56)
e) Rumus Prediktor-Korektor Milne yang Diperumum
Rumus prediktor-korektor Milne dari persamaan (3.54) dan (3.56) :
𝑦𝑛+1𝑃 = 𝑦𝑛−3 +
4ℎ
3[2𝑦𝑛
′ − 𝑦𝑛−1′ + 2𝑦𝑛−2
′] (3.57)
𝑦𝑛+1𝐶 = 𝑦𝑛−1 +
ℎ
3[𝑦𝑛+1
′ + 4𝑦𝑛′ + 𝑦𝑛−1
′] (3.58)
Indeks P dan C menunjukkan nilai prediksi dan koreksi 𝑦𝑛+1 masing-masing di 𝑥 =
𝑥𝑛+1.
Galat
Δ4𝑦′ dihilangkan pada rumus diatas, sedangkan mereka menunjukkan bagian utama
dari kesalahan nilai 𝑦𝑛+1 yang dihitung dari (3.57) dan (3.58). Perlu dicatat bahwa
kesalahan yang terjadi pada perhitungan (3.57) dan (3.58) adalah tanda yang
berlawanan dengan magnitudo yang sangat kecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Karena 28
90ℎΔ4𝑦′ dan −
1
90ℎΔ4𝑦′ diambil sebagai bagian utama dari kesalahan
perhitungan, dapat ditulis :
[𝑦𝑛+1]𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 = 𝑦𝑛+1
𝑃 +28
90ℎΔ4𝑦′
(3.59)
[𝑦𝑛+1]𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 = 𝑦𝑛+1
𝐶 −1
90ℎΔ4𝑦′
(3.60)
substitusi (3.59) ke (3.60), diperoleh
𝑦𝑛+1𝑃 +
28
90ℎΔ4𝑦′ = 𝑦𝑛+1
𝐶 −1
90ℎΔ4𝑦′
𝑦𝑛+1𝑃 − 𝑦𝑛+1
𝐶 = −1
90ℎΔ4𝑦′ −
28
90ℎΔ4𝑦′
𝑦𝑛+1𝑃 − 𝑦𝑛+1
𝐶 = −29
90ℎΔ4𝑦′
𝑦𝑛+1𝑃 − 𝑦𝑛+1
𝐶 = 29 (−1
90ℎΔ4𝑦′) = 29Ε𝑇 .
Ε𝑇 adalah notasi untuk bagian utama dari kesalahan pada persamaan (3.58). Dari
sini diperoleh
29Ε𝑇 = 𝑦𝑛+1𝑃 − 𝑦𝑛+1
𝐶
Ε𝑇 =
1
29(𝑦𝑛+1
𝑃 − 𝑦𝑛+1𝐶 )
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa kesalahan perhitungan dalam (3.60)
adalah 1
29 dari selisih antara prediksi dan koreksi nilai 𝑦 di 𝑥 = 𝑥𝑛+1.
Contoh 4
Terapkan metode Milne untuk memperkirakan nilai y di 𝑥 = 0,8 dan 𝑥 = 1 dari
masalah nilai awal
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 + 𝑦,
(3.6)
𝑦(0) = 1. (3.7)
Diasumsikan bahwa nilai di 𝑥 = 0,2, 𝑥 = 0,4, dan 𝑥 = 0,6 masing-masing 1,264,
1,675 dan 2,266.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Jawab.
Dengan menerapkan persamaan (3.48), (3.49), dan (3.50) diperoleh
𝑥0 = 0, 𝑦0 = 1,000,
𝑥1 = 0,2, 𝑦1 = 1,264,
𝑥2 = 0,4, 𝑦2 = 1,675,
𝑥3 = 0,6, 𝑦3 = 2,266,
dan 𝑥4 = 0,8. Dengan menggunakan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦, didapat
𝑦1′ = 𝑓(𝑥1, 𝑦1) = 𝑓(0,2, 1,264) = 1.664,
𝑦2′ = 𝑓(𝑥2, 𝑦2) = 𝑓(0,4, 1,675) = 2,475,
𝑦3′ = 𝑓(𝑥3, 𝑦3) = 𝑓(0,6, 2,266) = 3,466.
Selanjutnya, dengan memanfaatkan persamaan (3.48) dengan 𝑛 = 3 dan ℎ = 0,2
untuk menentukan 𝑦4′ , diperoleh
𝑦4(1) = 𝑦0 +
4(0,2)
3(2𝑦3
′ − 𝑦2′ + 2𝑦1
′)
= 1,000 +0,8
3(6,932 − 2,475 + 3,328) = 3,076.
Lalu, untuk menentukan 𝑦4′(1)
dengan 𝑛 = 3 dan ℎ = 0,2 digunakan persamaan
(3.49), didapat
𝑦4′(1) = 𝑓(𝑥4, 𝑦4
(1)) = 𝑓(0,8, 3,076) = 4,676.
Langkah akhir, yaitu menentukan 𝑦4(2)
, menggunakan persamaan (3.50) dengan
𝑛 = 3 dan ℎ = 0,2, didapat
𝑦4(2) = 𝑦2 +
0,2
3(𝑦4
′(1)+ 4𝑦3
′ + 𝑦2′)
= 1,675 +0,2
3(4,676 + 13,864 + 2,475) = 3,076.
Karena nilai 𝑦4(1)
dan 𝑦4(2)
sesuai dengan empat angka setelah titik desimal, diambil
nilai bersama sebagai nilai aproksimasi di 𝑥4 = 0,4 dan dinotasikan 𝑦4, yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
𝑦4 = 3,076.
Dengan menggunakan program MATLAB didapat
𝑦5 = 4,155
dengan pembulatan.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam gambar 6.
Gambar 6. Grafik solusi contoh 4 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Apabila gambar 6 diperbesar akan tampak seperti berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Gambar 7. Gambar 6 yang diperbesar.
Tabel keseluruhan galat dari tiap-tiap metode dengan pembulatan tujuh angka
setelah titik desimal akan ditunjukkan dalam tabel 4.
Tabel 4. Tabel perbandingan galat keempat metode
x Galat Euler Galat EM Galat RK Galat Milne
0,2 0,0642083 0,0027917 0,0000083 ---
0,4 0,1554741 0,0065259 0,0000259 ---
0,6 0,2823564 0,0116436 0,0000564 ---
0,8 0,4556228 0,0183772 0,0000228 0,0000106
1 0,6898455 0,0281545 0,0000455 0,0000163
Rata-rata galat 0,3295014 0,0134986 0,0000318 0,0000149
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
5. Penyelesaian Numeris Sistem PDB Orde Satu
Bentuk normal dalam kasus umum sistem n persamaan diferensial orde satu dalam
n fungsi yang tidak diketahui 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 adalah
𝑑𝑥1𝑑𝑡
= 𝑎11(𝑡)𝑥1 + 𝑎12(𝑡)𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 + 𝐹1(𝑡),
𝑑𝑥2𝑑𝑡
= 𝑎21(𝑡)𝑥1 + 𝑎22(𝑡)𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 + 𝐹2(𝑡),
⋮ (3.61)
𝑑𝑥𝑛𝑑𝑡
= 𝑎𝑛1(𝑡)𝑥1 + 𝑎𝑛2(𝑡)𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 + 𝐹𝑛(𝑡).
Suatu PDB orde n dapat diubah menjadi sistem atas n PDB orde satu. Diberikan
suatu PDB orde n yang dinormalisasi (koefisien turunan tertinggi adalah satu)
𝑑𝑛𝑥
𝑑𝑡𝑛+ 𝑎1(𝑡)
𝑑𝑛−1
𝑑𝑡𝑛−1+⋯+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 𝑎𝑛(𝑡)𝑥 = 𝐹(𝑡)
(3.62)
dalam satu fungsi x yang tidak diketahui. Misalkan
𝑥1 = 𝑥, 𝑥2 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡, 𝑥3 =
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2, ⋯ , 𝑥𝑛−1 =
𝑑𝑛−2𝑥
𝑑𝑡𝑛−2, 𝑥𝑛 =
𝑑𝑛−1𝑥
𝑑𝑡𝑛−1.
(3.63)
Dari persamaan (25) dan (26), diperoleh
𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑥1𝑑𝑡
,𝑑2𝑥
𝑑𝑡2=𝑑𝑥2𝑑𝑡
, , ⋯ ,𝑑𝑛−1𝑥
𝑑𝑡𝑛−1=𝑑𝑥𝑛−1𝑑𝑡
,𝑑𝑛𝑥
𝑑𝑡𝑛=𝑑𝑥𝑛𝑑𝑡.
(3.64)
Kemudian menggunakan (3.63) dan (3.64), PDB orde n pada (3.62) dapat diubah
menjadi
𝑑𝑥1𝑑𝑡
= 𝑥2,
𝑑𝑥2𝑑𝑡
= 𝑥3,
⋮ (3.65)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
𝑑𝑥𝑛−1𝑑𝑡
= 𝑥𝑛,
𝑑𝑥𝑛𝑑𝑡
= −𝑎𝑛(𝑡)𝑥1 − 𝑎𝑛−1(𝑡)𝑥2 −⋯− 𝑎1(𝑡)𝑥𝑛 + 𝐹(𝑡),
yang merupakan kasus khusus dari sistem PDB orde satu (3.61) dari n persamaan
dalam n fungsi yang tidak diketahui. Dengan demikian dapat dilihat bahwa satu
PDB orde n (3.62) dalam satu fungsi yang tidak diketahui memang terkait erat
dengan sistem n PDB orde satu dalam n fungsi yang tidak diketahui.
Contoh 5
Dipandang suatu PDB orde 2
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 𝑥 = 0.
(3.66)
a) Buatlah sistem PDB orde satu yang ekivalen dengan PDB orde 2 tersebut.
b) Buatlah skema metode Euler untuk menyelesaikan sistem PDB orde 1 hasil (a).
c) Diketahui saat 𝑡 = 0, 𝑥(0) = 1 dan 𝑑𝑥(0)
𝑑𝑡= 0. Apabila diambil ∆𝑡 = 0,1
tentukanlah nilai x pada saat 𝑡 = 1 berdasarkan metode Euler.
Jawab.
a) Dengan menggunaan (3.63) dan (3.64), misalkan
𝑢 = 𝑥 ⟹ 𝑢′ = 𝑥′ = 𝑣
𝑣 = 𝑥′ ⟹ 𝑣′ = 𝑥′′ = −𝑢.
Persamaan (3.66) dapat diubah menjadi
{𝑢′ = 𝑣 𝑣′ = −𝑢.
b) Dengan menggunakan metode Euler pada (3.4) diperoleh
𝑢′ = 𝑣 ⟶ 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + ∆𝑡𝑓(𝑡𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
𝑓(𝑡, 𝑢, 𝑣) = 𝑣
𝑓(𝑡𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛) = 𝑣𝑛
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + ∆𝑡(𝑣𝑛)
𝑣′ = −𝑢 ⟶ 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + ∆𝑡𝑓(𝑡𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛)
𝑓(𝑡, 𝑢, 𝑣) = −𝑢
𝑓(𝑡𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛) = −𝑢𝑛
𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + ∆𝑡(−𝑢𝑛)
𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 − ∆𝑡(𝑢𝑛)
c) Dengan menggunakan ∆𝑡 = 0,1, serta saat 𝑡 = 𝑡0 = 0
𝑥(𝑡0) = 𝑥(0) = 𝑥0 = 𝑢0 = 1, dan
𝑑𝑥(𝑡0)
𝑑𝑡= 𝑥′(𝑡0) = 𝑥′0 = 𝑣0 = 0
didapat
𝑡1 = 0,1 𝑢1 = 𝑢0 + ∆𝑡(𝑣0) 𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ∆𝑡
𝑢1 = 1 + 0,1(0) = 1
𝑣1 = 𝑣0 − ∆𝑡(𝑢0)
𝑣1 = 0 − 0,1(1) = −0,1
𝑡2 = 0,2 𝑢2 = 𝑢1 + ∆𝑡(𝑣1)
𝑢2 = 1 + 0,1(−0,1) = 0,99
𝑣2 = 𝑣1 − ∆𝑡(𝑢1)
𝑣2 = −0,1 − 0,1(1) = −0,2
𝑡3 = 0,3 𝑢3 = 𝑢2 + ∆𝑡(𝑣2)
𝑢3 = 0,99 + 0,1(−0,2) = 0,97
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
𝑣3 = 𝑣2 − ∆𝑡(𝑢2)
𝑣3 = −0,2 − 0,1(0,99) = −0,299
𝑡4 = 0,4 𝑢4 = 𝑢3 + ∆𝑡(𝑣3)
𝑢4 = 0,97 + 0,1(−0,299) = 0,9401
𝑣4 = 𝑣3 − ∆𝑡(𝑢3)
𝑣4 = −0,299 − 0,1(0,97) = −0,396
𝑡5 = 0,5 𝑢5 = 𝑢4 + ∆𝑡(𝑣4)
𝑢5 = 0,9401 + 0,1(−0,396) = 0,9005
𝑣5 = 𝑣4 − ∆𝑡(𝑢4)
𝑣5 = −0,396 − 0,1(0,9401) = −0,49001
𝑡6 = 0,6 𝑢6 = 𝑢4 + ∆𝑡(𝑣5)
𝑢6 = 0,9005 + 0,1(−0,49001) = 0,851499
𝑣6 = 𝑢5 − ∆𝑡(𝑢5)
𝑣6 = −0,49001 − 0,1(0,9005) = −0,58006
𝑡7 = 0,7 𝑢7 = 𝑢6 + ∆𝑡(𝑣6)
𝑢7 = 0,851499 + 0,1(−0,58006) = 0,793493
𝑣7 = 𝑣6 − ∆𝑡(𝑢6)
𝑣7 = −0,58006 − 0,1(0,851499) = −0,6652099
𝑡8 = 0,8 𝑢8 = 𝑢7 + ∆𝑡(𝑣7)
𝑢8 = 0,793493 + 0,1(−0,6652099) = 0,72697201
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
𝑣8 = 𝑣8 − ∆𝑡(𝑢7)
𝑣8 = −6652099 − 0,1(0,793493) = −0,7445592
𝑡9 = 0,9 𝑢9 = 𝑢8 + ∆𝑡(𝑣8)
𝑢9 = 0,72697201 + 0,1(−0,7445592) = 0,65251609
𝑣9 = 𝑣8 − ∆𝑡(𝑢8)
𝑣9 = −0,7445592 − 0,1(0,72697201) = −0,817256401
𝑡10 = 1 𝑢10 = 𝑢9 + ∆𝑡(𝑣9)
𝑢10 = 0,65251609 + 0,1(−0,817256401) = 0,5707904499
𝑣10 = 𝑣9 − ∆𝑡(𝑢9)
𝑣10 = −0,817256401 − 0,1(0,65251609) = −0,88250801.
Jadi, nilai x saat 𝑡 = 1
𝑢10 = 𝑥10 = 𝑥(𝑡10) = 𝑥(1) = 0,5707904499,
berdasarkan metode Euler.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 8.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Gambar 8. Grafik solusi contoh 5 untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.
Contoh 6
Dipandang suatu persamaan Lane-Emden
𝑦′′ +
2
𝑥𝑦′ + 𝑦 = 6 + 12𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3.
(3.67)
Solusi eksak terdapat dalam artikel jurnal Ghorbani, Asghar., Bakherad, Mojtaba.
(2017). New Astronomy. A Variational Iteration for Solving Nonlinear Lane-
Emden Problems, 54, 1-6. Halaman 4.
a) Buatlah sistem PDB orde satu yang ekivalen dengan PDB orde 2 tersebut.
b) Buatlah skema metode Euler untuk menyelesaikan sistem PDB orde 1 hasil
(a).
c) Diketahui saat 𝑥 = 10−14, 𝑦(10−14) = 0, 𝑑𝑦(10−6)
𝑑𝑥= 0. Apabila diambil
∆𝑥 = 0,1 tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1, berdasarkan metode Euler.
d) Dengan menggunakan data pada c), tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1,
berdasarkan metode Euler termodifikasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
e) Dengan menggunakan data pada c), tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1,
berdasarkan metode Runge-Kutta.
f) Dengan menggunakan data pada c), tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1,
berdasarkan metode Milne.
Jawab.
a) Dengan menggunaan (3.63) dan (3.64), misalkan
𝑢 = 𝑦 ⟹ 𝑢′ = 𝑦′ = 𝑣
𝑣 = 𝑦′ ⟹ 𝑣′ = 𝑦′′ = 𝑔(𝑥) −
2
𝑥𝑣 − 𝑢
dengan 𝑔(𝑥) = 6 + 12𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3.
Persamaan (3.67) dapat diubah menjadi
{𝑢′ = 𝑣
𝑣′ = 𝑔(𝑥) −2
𝑥𝑣 − 𝑢.
b) Dengan menggunakan metode Euler pada (3.4) diperoleh
𝑢′ = 𝑣 ⟶ 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + ∆𝑥𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛)
𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑣) = 𝑣
𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛) = 𝑣𝑛
𝑢𝑛+1 = 𝑦0𝑛 + ∆𝑥. 𝑣𝑛
𝑣′ = 𝑔(𝑥) −2
𝑥𝑣 − 𝑢
⟶ 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + ∆𝑥𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛)
𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑣) = 𝑔(𝑥) −2
𝑥𝑣 − 𝑢 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + ∆𝑥 (𝑔(𝑥𝑛) −
2
𝑥𝑛𝑣𝑛 − 𝑢𝑛).
𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛) = 𝑔(𝑥𝑛) −2
𝑥𝑛𝑣𝑛 − 𝑢𝑛
c) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦0
′ = 𝑣0 = 0,
untuk 𝑛 = 1,2, … ,10, didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 0,000000000000000 0,600000000000012
0,2 0,060000000000001 0,121100000000120
0,3 0,072110000000013 0,838800000000018
0,4 0,155990000000015 1,244089000000036
0,5 0,280398900000019 1,708845500000046
0,6 0,451283450000023 2,234767410000053
0,7 0,674760191000029 2,822316595000060
0,8 0,956991850500035 3,471764405900066
0,9 1,304168291090041 4,183324119375072
1,0 1,722500703027549 4,957179708182744
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = 1,722500703027549,
berdasarkan metode Euler.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 9.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Gambar 9. Grafik solusi contoh 6c untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
d) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦1 = 𝑣0 = 0,
untuk 𝑛 = 1,2, … ,10, didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 0,016 0,330
0,2 0,058 0,519
0,3 0,127 0,869
0,4 0,234 1,279
0,5 0,385 1,749
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
0,6 0,586 2,278
0,7 0,843 2,868
0,8 1,162 3,518
0,9 1,549 4,228
1,0 2,010 4,997
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = 2,101
berdasarkan metode Euler termodifikasi.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 10.
Gambar 10. Grafik solusi contoh 6d untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
e) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦1 = 𝑣0 = 0,
Untuk 𝑛 = 1,2, … ,10, didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 0,029974999999993 0,040720614583471
0,2 0,058386711360243 0,467420916804704
0,3 0,123838167165262 0,846084133357232
0,4 0,229000403622708 1,266145352184465
0,5 0,378858949842613 1,740801325540365
0,6 0,579066955330552 2,273336110373615
0,7 0,835475593734289 2,864874011968745
0,8 1,154010728297731 3,515883703899696
0,9 1,540631420065184 4,226588561311602
1,0 2,001313301988292 4,997105917687338
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = 2,001313301988292,
berdasarkan metode Runge-Kutta.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 11.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Gambar 11. Grafik solusi contoh 6e untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Apabila gambar 11 diperbesar akan tampak seperti berikut
Gambar 12. Gambar 11 yang diperbesar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
f) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦1 = 𝑣0 = 0,
didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 0,011 0,23
0,2 0,048 0,52
0,3 0,117 0,87
0,4 0,224 1,28
0,5 0,375 1,75
0,6 0,576 2,28
0,7 0,833 2,87
0,8 1,152 3,52
0,9 1,539 4,23
1,0 2 5
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = 2,
berdasarkan metode Milne.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 13.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Gambar 13. Grafik solusi contoh 6f untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Apabila gambar 13 diperbesar akan tampak seperti berikut
Gambar 14. Gambar 13 yang diperbesar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Tabel keseluruhan galat dari tiap-tiap metode dalam menyelesaikan contoh 6
dengan pembulatan akan ditunjukkan dalam tabel 5.
Tabel 5. Perbandingan galat tiap-tiap metode
x Galat Euler Galat EM Galat RK Galat Milne
0,1 0,011 0,005 0,018975 ---
0,2 0,12 0,01 0,0103867 ---
0,3 0,4489 0,01 0,00684 ---
0,4 0.06801 0,01 0,005 7. 10−15
0,5 0.0946011 0,01 0,003859 10−15
0,6 0.1247165 0,01 0,003067 8. 10−15
0,7 0.1582398 0,01 0,0025 12. 10−15
0,8 0,1950081 0,01 0,002011 9. 10−15
0,9 0.2348317 0,01 0,00163 12. 10−15
1 0.2774993 0,01 0,001313 10−15
Rata-rata galat 0.1220797 0.0095 0,0056 7,14. 10−15
Contoh 7
Dipandang suatu persamaan Lane-Emden
𝑦′′ +
2
𝑥𝑦′ + 𝑦3 = 6 + 𝑥6.
(3.68)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Solusi eksak terdapat dalam artikel jurnal Ghorbani, Asghar., Bakherad, Mojtaba.
(2017). New Astronomy. A Variational Iteration for Solving Nonlinear Lane-
Emden Problems, 54, 1-6. Halaman 4.
a) Buatlah sistem PDB orde satu yang ekivalen dengan PDB orde 2 tersebut.
b) Buatlah skema metode Euler untuk menyelesaikan sistem PDB orde 1 hasil
(a).
c) Diketahui saat 𝑥 = 10−14, 𝑦(10−14) = 0, 𝑑𝑦(10−14)
𝑑𝑥= 0. Apabila diambil
∆𝑥 = 0,1 tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1, berdasarkan metode Euler.
d) Dengan menggunakan data pada c), tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1,
berdasarkan metode Euler termodifikasi.
e) Dengan menggunakan data pada c), tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1,
berdasarkan metode Runge-Kutta.
f) Dengan menggunakan data pada c), tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1,
berdasarkan metode Milne.
Jawab.
a) Dengan menggunaan (3.63) dan (3.64), misalkan
𝑢 = 𝑦 ⟹ 𝑢′ = 𝑦′ = 𝑣
𝑣 = 𝑦′ ⟹ 𝑣′ = 𝑦′′ = 𝑔(𝑥) −
2
𝑥𝑣 − 𝑢3
dengan 𝑔(𝑥) = 6 + 𝑥6.
Persamaan (3.68) dapat diubah menjadi
{𝑢′ = 𝑣
𝑣′ = 𝑔(𝑥) −2
𝑥𝑣 − 𝑢3.
b) Dengan menggunakan metode Euler pada (3.4) diperoleh
𝑢′ = 𝑣 ⟶ 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + ∆𝑥𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑣) = 𝑣
𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛) = 𝑣𝑛
𝑢𝑛+1 = 𝑦0𝑛 + ∆𝑥. 𝑣𝑛
𝑣′ = 𝑔(𝑥) −2
𝑥𝑣 − 𝑢3
⟶ 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + ∆𝑥𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛)
𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑣) = 𝑔(𝑥) −2
𝑥𝑣 − 𝑢3 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + ∆𝑥 (𝑔(𝑥𝑛) −
2
𝑥𝑛𝑣𝑛 − 𝑢𝑛
3).
𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛) = 𝑔(𝑥𝑛) −2
𝑥𝑛𝑣𝑛 − 𝑢𝑛
3
c) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 0 0,600000000000000
0,2 0,060000000000000 0,000000100000120
0,3 0,060000010000012 0,599984800000000
0,4 0,119998490000012 0,800046233322547
0,5 0,200003113332267 1,000259923184401
0,6 0,300029105650707 1,200918416550080
0,7 0,420120947305715 1,402577091771247
0,8 0,560378656482839 1,606190477461857
0,9 0,720997704229025 1,813260010001102
1,0 0,902323705229135 2,025977263041600
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = 0,902323705229135,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
berdasarkan metode Euler.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 15.
Gambar 15. Grafik solusi contoh 7c untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
d) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦′0 = 𝑣0 = 0,
untuk 𝑛 = 1,2, … ,10, didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 0 0,598
0,2 0,05 0,4
0,3 0,1 0,6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,4 0,17 0,8
0,5 0,26 1
0,6 0,37 1,2
0,7 0,5 1,4
0,8 0,65 1,599
0,9 0,82 1,798
1,0 1,01 1,996
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = 1,01
berdasarkan metode Euler termodifikasi.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 16.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Gambar 16. Grafik solusi contoh 7d untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
e) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦′0 = 𝑣0 = 0,
untuk 𝑛 = 1,2, … ,10, didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 0,029999994374992 0,000000467187637
0,2 0,051110950984503 0,344442850291539
0,3 0,097443727682165 0,575175412060414
0,4 0,165584904502309 0,786001077841481
0,5 0,254463249479452 0,990986345384822
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
0,6 0,363707495902799 1,193642876388274
0,7 0,493154528980049 1,395167490864330
0,8 0,642719092729008 1,596051190278346
0,9 0,812349803570670 1,796521515483055
1,0 1,002011755198405 1,996696358733157
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = 1,002011755198405,
berdasarkan metode Runge-Kutta.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 17.
Gambar 17. Grafik solusi contoh 6e untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Apabila gambar 17 diperbesar akan tampak seperti berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Gambar 18. Gambar 17 yang diperbesar.
f) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦′0 = 𝑣0 = 0,
untuk 𝑛 = 1,2, … ,10, didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 0,01 0,2
0,2 0,04 0,4
0,3 0,09 0,6
0,4 0,16 0,8
0,5 0,25 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,6 0,36 1,2
0,7 0,49 1,4
0,8 0,64 1,6
0,9 0,81 1,8
1,0 1 2
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = 1,
berdasarkan metode Milne.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 19.
Gambar 19. Grafik solusi contoh 6f untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Apabila gambar 19 diperbesar akan tampak seperti berikut
Gambar 20. Gambar 19 yang diperbesar.
Tabel keseluruhan galat dari tiap-tiap metode dalam menyelesaikan contoh 7
dengan pembulatan akan ditunjukkan dalam tabel 6.
Tabel 6. Perbandingan galat dari semua metode
x Galat Euler Galat EM Galat RK Galat Milne
0,1 0,01 0,01 0,019 ---
0,2 0,02 0,01 0,011 ---
0,3 0,03 0,01 0,0074 ---
0,4 0,0400015 0,01 0,0055 4. 10−15
0,5 0,0499969 0,01 0,0044 7. 10−15
0,6 0,0599709 0,01 0,00371 5. 10−15
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
0,7 0,0698791 0,01 0,0031 8. 10−15
0,8 0,0796213 0,01 0,00272 6. 10−15
0,9 0,0890023 0,01 0,00235 9. 10−15
1 0,0976763 0,01 0,002 7. 10−15
Rata-rata galat 0,0546148 0,01 0,0062 6,57. 10−15
Contoh 8
Dipandang suatu persamaan Lane-Emden
𝑦′′ +
2
𝑥𝑦′ + 𝑒𝑦 = 0.
(3.69)
g) Buatlah sistem PDB orde satu yang ekivalen dengan PDB orde 2 tersebut.
h) Buatlah skema metode Euler untuk menyelesaikan sistem PDB orde 1 hasil
(a).
i) Diketahui saat 𝑥 = 10−14, 𝑦(10−14) = 0, 𝑑𝑦(10−14)
𝑑𝑥= 0. Apabila diambil
∆𝑥 = 0,1 tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1, berdasarkan metode Euler.
j) Dengan menggunakan data pada c), tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1,
berdasarkan metode Euler termodifikasi.
k) Dengan menggunakan data pada c), tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1,
berdasarkan metode Runge-Kutta.
l) Dengan menggunakan data pada c), tentukanlah nilai y pada saat 𝑥 = 1,
berdasarkan metode Milne.
Jawab.
g) Dengan menggunaan (3.63) dan (3.64), misalkan
𝑢 = 𝑦 ⟹ 𝑢′ = 𝑦′ = 𝑣
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
𝑣 = 𝑦′ ⟹ 𝑣′ = 𝑦′′ = −
2
𝑥𝑣 − 𝑒𝑢
Persamaan (3.69) dapat diubah menjadi
{𝑢′ = 𝑣
𝑣′ = −2
𝑥𝑣 − 𝑒𝑢.
h) Dengan menggunakan metode Euler pada (3.4) diperoleh
𝑢′ = 𝑣 ⟶ 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + ∆𝑥𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛)
𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑣) = 𝑣
𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛) = 𝑣𝑛
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + ∆𝑥. 𝑣𝑛
𝑣′ = −2
𝑥𝑣 − 𝑢
⟶ 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + ∆𝑥𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛)
𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑣) = −2
𝑥𝑣 − 𝑒𝑢 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + ∆𝑥 (−
2
𝑥𝑛𝑣𝑛 − 𝑒
𝑢𝑛).
𝑓(𝑥𝑛, 𝑢𝑛, 𝑣𝑛) = −2
𝑥𝑛𝑣𝑛 − 𝑒
𝑢𝑛
i) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦0
′ = 𝑣0 = 0,
untuk 𝑛 = 1,2, … ,10, didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 0,000000000000000 -0,100000000000000
0,2 -0,010000000000000 -0,000000000000020
0,3 -0,010000000000002 -0,099004983374917
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,4 -0,019900498337494 -0,132006644499891
0,5 -0,033101162787483 -0,164032943205624
0,6 -0,049504457108045 -0,195163834487579
0,7 -0,069020840556803 -0,225279314621040
0,8 -0,091548772018907 -0,254244519081206
0,9 -0,116973223927028 -0,281935070288864
1,0 -0,145166730955914 -0,308243733754931
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = −0,145166730955914,
berdasarkan metode Euler.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 21.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Gambar 21. Grafik solusi contoh 8c untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
j) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦1 = 𝑣0 = 0,
untuk 𝑛 = 1,2, … ,10, didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 -0,002 -0,050
0,2 -0,008 -0,066
0,3 -0,016 -0,099
0,4 -0,028 -0,131
0,5 -0,043 -0,162
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
0,6 -0,061 -0,192
0,7 -0,082 -0,221
0,8 -0,106 -0,249
0,9 -0,132 -0,276
1,0 -0,161 -0,302
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = −0,161
berdasarkan metode Euler termodifikasi.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 22.
Gambar 22. Grafik solusi contoh 8d untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
k) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦1 = 𝑣0 = 0,
Untuk 𝑛 = 1,2, … ,10, didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 -0,004995838537328 -0,000083542014347
0,2 -0,008496413494712 -0,057075620285349
0,3 -0,016154192604233 -0,094843013237095
0,4 -0,027353186626673 -0,128753844799533
0,5 -0,041850137999062 -0,160949089682569
0,6 -0,059500271785090 -0,191844827744179
0,7 -0,080177705673915 -0,221492611756135
0,8 -0,103755731289006 -0,249846016440262
0,9 -0,130101443462020 -0,276834361668492
1,0 -0,159074795843705 -0,302388053601250
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = −0,159074795843705,
berdasarkan metode Runge-Kutta.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 23.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
Gambar 23. Grafik solusi contoh 8e untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
l) Dengan menggunakan ∆𝑥 = 0,1, serta saat 𝑥 = 𝑥0 = 10−14
𝑦(𝑥0) = 𝑦(10−14) = 𝑦0 = 𝑢0 = 0, dan
𝑑𝑦(𝑥0)
𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥0) = 𝑦1 = 𝑣0 = 0,
didapat
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,1 -0,004995838537328 -0,000083542014347
0,2 -0,008496413494712 -0,057075620285349
0,3 -0,016154192604233 -0,094843013237095
0,4 -0,033130384142276 -0,100313406810703
0,5 -0,039011615064232 -0,175603946053917
0,6 -0,065151343584646 -0,164039365335304
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 𝑢𝑛 𝑦𝑛′ = 𝑣𝑛
0,7 -0,076354529311822 -0,240077218879780
0,8 -0,108682844188122 -0,223486057539180
0,9 -0,125414496769737 -0,298032657102850
1,0 -0,163926839692309 -0,275835089328094
dengan menggunakan program MATLAB.
Jadi, nilai y saat 𝑥 = 1
𝑢10 = 𝑦10 = 𝑦(𝑥10) = 𝑦(1) = −0,163926839692309,
berdasarkan metode Milne.
Hasil numeris ini ditunjukkan dalam Gambar 24.
Gambar 24. Grafik solusi contoh 8f untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
Apabila gambar 24 diperbesar akan tampak seperti berikut
Gambar 25. Gambar 24 yang diperbesar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
BAB IV
ANALISIS KONVERGENSI DARI METODE EULER DAN RUNGE-
KUTTA
A. Analisis Konvergensi Metode Euler
Pada setiap langkah dari metode Euler, terdapat galat perhitungan, seperti yang
terlihat pada gambar 1. Akan dianalisis efek kumulatif galat metode ini. Galat pada
tiap langkah disebut dengan lokal eror, kumulatif galat disebut dengan global eror.
Analisis dimulai dengan lema yang cukup membantu dalam analisis metode beda
hingga.
Lemma 1
Untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ,
1 + 𝑥 ≤ 𝑒𝑥 (4.1)
Dan untuk 𝑥 ≥ −1,𝑚 ≥ 0
0 ≤ (1 + 𝑥)𝑚 ≤ 𝑒𝑚𝑥. (4.2)
Bukti
Dengan menggunakan teorema Taylor,
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2𝑒𝜉
dengan 𝜉 diantara 0 dan 𝑥. Karena sisa diatas selalu positif, (4.1) terbukti.
Untuk 𝑥 ≥ −1,𝑚 ≥ 0
−1 ≤ 𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
0 ≤ 1 + 𝑥
0 ≤ (1 + 𝑥)𝑚 (4.3)
1 + 𝑥 ≤ 𝑒𝑥
(1 + 𝑥)𝑚 ≤ 𝑒𝑚𝑥 (4.4)
dari (4.3) dan (4.4), diperoleh
0 ≤ (1 + 𝑥)𝑚 ≤ 𝑒𝑚𝑥
dengan demikian (4.2) terbukti.
Untuk sisa subbab ini, diasumsikan bahwa fungsi 𝑓(𝑥, 𝑧) memenuhi kondisi
Lipschitz kuat berikut :
|𝑓(𝑥, 𝑦1) − 𝑓(𝑥, 𝑦2)| ≤ 𝐾|𝑦1 − 𝑦2|, −∞ < 𝑦1, 𝑦2 < ∞, 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (4.5)
untuk 𝐾 ≥ 0.
Teorema 4.1
Diasumsikan solusi 𝑌(𝑥) pada persamaan diferensial 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑦(𝑥0) = 𝑦0
memiliki turunan kedua yang terbatas pada [𝑥0, 𝑏]. Maka solusi
{𝑦ℎ(𝑥𝑛)|𝑥0 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑏} yang diperoleh dengan metode Euler memenuhi
max𝑥0≤𝑥𝑛≤𝑏
|𝑌(𝑥𝑛) − 𝑦ℎ(𝑥𝑛)| ≤ 𝑒(𝑏−𝑥0)𝐾|𝑒0| + [𝑒(𝑏−𝑥0)𝐾 − 1
𝐾] 𝜏(ℎ)
(4.6)
dimana
𝜏(ℎ) =
ℎ
2‖𝑌′′‖∞
(4.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
dan 𝑒0 = 𝑌0 − 𝑦ℎ(𝑥0). Subscript ℎ pada solusi pendekatan 𝑦ℎ(𝑥) digunakan untuk
mencatat secara eksplisit ketergantungan 𝑦 pada ℎ; biasanya ditekan, meskipun
secara implisit dipahami.
Sebagai tambahan, jika
|𝑌0 − 𝑦ℎ(𝑥0)| ≤ 𝑐1 ℎ → 0 (4.8)
untuk 𝑐1 ≥ 0 (misalnya, jika 𝑌0 = 𝑦0 untuk setiap ℎ), maka ada konstanta 𝐵 ≥ 0
untuk itu
max𝑥0≤𝑥𝑛≤𝑏
|𝑌(𝑥𝑛) − 𝑦ℎ(𝑥𝑛)| ≤ 𝐵ℎ (4.9)
Bukti
Misalkan 𝑒𝑛 = 𝑌(𝑥𝑛) − 𝑦(𝑥𝑛), 𝑛 ≥ 0, dan dengan definisi 𝑁(ℎ) pada awal sesi.
Didefinisikan
𝜏(ℎ) =ℎ
2𝑌′′(𝜉𝑛) 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁(ℎ)
berdasarkan galat pemotongan pada metode euler, didapat
max0≤𝑛≤𝑁(ℎ)
|𝜏𝑛| ≤ 𝜏(ℎ)
Menggunakan (4.7) pada metode Euler didapat
𝑌𝑛+1 = 𝑌𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑌𝑛) + ℎ𝜏𝑛 (4.10)
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁(ℎ). (4.11)
Dengan mengurangkan (4.11) dari (4.10), diperoleh
𝑒𝑛+1 = 𝑒𝑛 + ℎ[𝑓(𝑥𝑛, 𝑌𝑛) − 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)] + ℎ𝜏𝑛 (4.12)
dan ambil batas pada (4.5),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
|𝑒𝑛+1| ≤ |𝑒𝑛| + ℎ𝐾|𝑌𝑛 − 𝑦𝑛| + ℎ|𝜏𝑛|
|𝑒𝑛+1| ≤ (1 + ℎ𝐾)|𝑒𝑛| + ℎ𝜏(ℎ). (4.13)
Menerapkan (4.13) secara rekursif untuk memperoleh
|𝑒𝑛| ≤ (1 + ℎ𝐾)𝑛|𝑒0| + [1 + (1 + ℎ𝐾) +⋯+ (1 + ℎ𝐾)𝑛−1]ℎ𝜏(ℎ)
dengan menggunakan rumus deret geometri,
1 + 𝑟 +⋯+ (𝑟)𝑛−1 =𝑟𝑛−1
𝑟 − 1 𝑟 ≠ 1
didapat
|𝑒𝑛| ≤ (1 + ℎ𝐾)𝑛|𝑒0| + [
(1 + ℎ𝐾)𝑛 − 1
𝐾] 𝜏(ℎ).
(4.14)
Menggunakan lemma 1
(1 + ℎ𝐾)𝑛 ≤ 𝑒𝑛ℎ𝐾 = 𝑒(𝑥𝑛−𝑥0)𝐾 ≤ 𝑒(𝑏−𝑥0)𝐾
dan ini dengan (4.14) menunjukkan kebenaran hasil utama (4.6).
Sisa hasil pada (4.9) adalah akibat wajar dari (4.6), dengan konstanta 𝐵 yaitu
𝐵 = 𝑐1𝑒
(𝑏−𝑥0)𝐾 + [𝑒(𝑏−𝑥0)𝐾 − 1
𝐾]‖𝑌′′‖∞2
(4.15)
Ini melengkapi pembuktian.
Hasil pada (4.9) menunjukkan bahwa galat harus berkurang paling sedikit setengah
ketika ukuran kecil ℎ dibagi dua. Untuk sekarang, suatu contoh sederhana akan di
kerjakan secara detail.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
Contoh 4.1
Dipandang persamaan diferensial 𝑦′ = 𝑦, 𝑦(0) = 1. Solusi eksak 𝑌(𝑥) = 𝑒𝑥.
Dengan metode Euler diperoleh
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑦𝑛 = (1 + ℎ)𝑦𝑛 𝑦0 = 1.
Secara induktif,
𝑦𝑛+1 = (1 + ℎ)𝑛 = [(1 + ℎ)1 ℎ⁄ ]𝑛ℎ≡ 𝑐(ℎ)𝑥𝑛
untuk setiap 𝑐(ℎ), dengan 0 < ℎ < 1,
𝑐(ℎ) = (1 + ℎ)1 ℎ⁄ = 𝑒1ℎln (1+ℎ) = 𝑒1−(ℎ 2⁄ )+(ℎ2 3⁄ )−(ℎ3 4⁄ )+⋯ < 𝑒.
Karena itu, 𝑐(ℎ)𝑥𝑛 meningkat kurang cepat daripada 𝑒𝑥𝑛; jadi
max0≤𝑥≤1
|𝑒𝑥 − 𝑐(ℎ)𝑥| = 𝑒 − 𝑐(ℎ).
Menggunakan rumus diatas,
𝑒 − 𝑐(ℎ) = 𝑒{1 − 𝑒−(ℎ 2⁄ )+(ℎ2 3⁄ )−(ℎ3 4⁄ )+⋯}
= 𝑒 {1 − (1 −ℎ2 +
1124 ℎ
2 +⋯)}
= 𝑒 {ℎ2 −
1124ℎ
2 +⋯}
Dan didapat estimasi galat asimtotik
𝑒 − 𝑐(ℎ) ≈ℎ
2𝑒.
Meringkas untuk 𝑦′ = 𝑦, 𝑦(0) = 1,
max0≤𝑥≤1
|𝑌(𝑥𝑛) − 𝑦𝑛| ≈𝑒
2ℎ (4.16)
Ini menunjukkan bahwa (4.9) benar secara kualitatif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
Menarik untuk diperhatikan bahwa batas pada (4.9) lebih buruk daripada batas pada
(4.16), dan ini adalah kasus dimana (4.9) harus memberikan yang terbaik.
Konstanta Lipschitz 𝐾 = 1, dan batas galat ialah
max0≤𝑥𝑛≤1
|𝑒𝑥𝑛 − 𝑦𝑛| ≤ (𝑒 − 1)𝑒
2ℎ.
B. Analisis Konvergensi Metode Runge-Kutta
Semua metode Runge-Kutta dapat ditulis dalam bentuk
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝐹(𝑥𝑛, 𝑦𝑛, ℎ; 𝑓) 𝑛 ≥ 0 (4.17)
Secara intuitif, yang diinginkan ialah
𝐹(𝑥𝑛, 𝑦𝑛, ℎ; 𝑓) ≈ 𝑌′(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑌(𝑥))
untuk semua nilai ℎ yang kecil. Didefinisikan galat pemotongan (4.17) sebagai
berikut :
𝑇𝑛+1(𝑌) = 𝑌(𝑥𝑛+1) − 𝑌(𝑥𝑛) − ℎ𝐹(𝑥𝑛, 𝑦𝑛, ℎ; 𝑓) 𝑛 ≥ 0 (4.18)
dan didefinisikan 𝜏𝑛+1(𝑌) secara implisit
𝑇𝑛+1(𝑌) = ℎ𝜏𝑛+1(𝑌)
Dengan menata ulang (4.18), diperoleh
𝑌(𝑥𝑛+1) = 𝑌(𝑥𝑛) + ℎ𝐹(𝑥𝑛, 𝑌(𝑥𝑛), ℎ; 𝑓) + ℎ𝜏𝑛+1(𝑌) 𝑛 ≥ 0 (4.19)
Untuk memperoleh konvergensi dari bentuk umum metode Runge-Kutta, harus
dipastikan bahwa 𝜏𝑛+1(𝑌) → 0 saat ℎ → 0. Setelah itu
𝜏𝑛+1(𝑌) =𝑌(𝑥𝑛+1) − 𝑌(𝑥𝑛)
ℎ− 𝐹(𝑥𝑛, 𝑌(𝑥𝑛), ℎ; 𝑓)
dengan mengharuskan bahwa
𝐹(𝑥𝑛, 𝑌(𝑥𝑛), ℎ; 𝑓) → 𝑌′(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑌(𝑥)) saat ℎ → 0
lebih tepatnya, didefinisikan
𝛿(ℎ) = Maximum𝑥0≤𝑥≤𝑏−∞≤𝑦≤∞
|𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐹(𝑥, 𝑦, ℎ; 𝑓)|
dan diasumsikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
𝛿(ℎ) → 0 saat ℎ → 0 (4.20)
kadang ini disebut sebagai keadaan konsisten untuk metode Runge-Kutta.
Dibutuhkan juga kondisi Lipschitz pada 𝐹:
|𝐹(𝑥, 𝑦, ℎ; 𝑓) − 𝐹(𝑥, 𝑧, ℎ; 𝑓)| ≤ 𝐿|𝑦 − 𝑧| (4.21)
Untuk setiap 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, −∞ ≤ 𝑦, 𝑧 ≤ ∞, dan semua ukuran kecil ℎ > 0. Kondisi
ini biasanya dibuktikan dengan menggunakan (4.5) pada 𝑓(𝑥, 𝑦), dengan
𝐹(𝑥, 𝑦, ℎ; 𝑓) = 𝑓 (𝑥 +1
2ℎ, 𝑦 +
1
2ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)),
|𝐹(𝑥, 𝑦, ℎ; 𝑓) − 𝐹(𝑥, 𝑧, ℎ; 𝑓)| = 𝑓 (𝑥 +1
2ℎ, 𝑦 +
1
2ℎ𝑓(𝑥, 𝑦)) −
𝑓 (𝑥 +1
2ℎ, 𝑧 +
1
2ℎ𝑓(𝑥, 𝑧))
≤ 𝐾 |𝑦 − 𝑧 +ℎ
2[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑧)]|
≤ 𝐾 (1 +ℎ
2𝐾) |𝑦 − 𝑧|
pilih 𝐿 = 𝐾 (1 +ℎ
2𝐾) untuk ℎ ≤ 1.
Teorema 4.2
Diasumsikan bahwa metode Runge-Kutta memenuhi kondisi Lipschitz (4.21).
Maka untuk masalah nilai awal 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, dengan solusi {𝑦𝑛}
memenuhi
max𝑥0≤𝑥𝑛≤𝑏
|𝑌(𝑥𝑛) − 𝑦𝑛| ≤ 𝑒(𝑏−𝑥0)𝐿|𝑌0 − 𝑦0| + [𝑒(𝑏−𝑥0)𝐿 − 1
𝐿] 𝜏(ℎ)
(4.22)
dimana
𝜏(ℎ) ≡ max𝑥0≤𝑥𝑛≤𝑏
|𝜏𝑛+1(𝑌)|. (4.23)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
Jika keadaan konsisten pada (4.20) juga dipenuhi, maka solusi numerik {𝑦𝑛}
konvergen ke 𝑌(𝑥).
Bukti
Dengan mengurangkan (4.17) dari (4.19) diperoleh
𝑒𝑛+1 = 𝑒𝑛 + ℎ[𝐹(𝑥𝑛, 𝑌𝑛, ℎ; 𝑓) − 𝐹(𝑥𝑛, 𝑦𝑛, ℎ; 𝑓)] + ℎ𝜏𝑛+1(𝑌) (4.24)
dimana 𝑒𝑛 = 𝑌(𝑥𝑛) − 𝑦𝑛. Menerapkan (4.21) dan menggunakan (4.23) untuk
memperoleh
|𝑒𝑛+1| ≤ (1 + ℎ𝐿)|𝑒𝑛| + ℎ𝜏(ℎ) 𝑥0 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑏.
Seperti bukti pada metode Euler (4.13)-(4.15), ini akan mengarah ke (4.22).
Dalam banyak kasus, dapat diketahui dengan perhitungan langsung bahwa 𝜏(ℎ) →
0 saat ℎ → 0, dan dalam kasus tersebut konvergensi {𝑦𝑛} ke 𝑌(𝑥) terbukti. Tetapi
yang harus kita ketahui ialah bahwa (4.20) terpenuhi, seperti yang terlihat seperti
berikut
ℎ𝜏𝑛+1(𝑌) = 𝑌(𝑥𝑛+1) − 𝑌(𝑥𝑛) − 𝐹(𝑥𝑛, 𝑌(𝑥𝑛), ℎ; 𝑓)
= ℎ𝑌′(𝑥𝑛) +ℎ2
2 𝑌′′(𝜉𝑛) − 𝐹(𝑥𝑛, 𝑌(𝑥𝑛), ℎ; 𝑓)
ℎ|𝜏𝑛+1(𝑌)| ≤ ℎ𝛿(ℎ) +ℎ2
2 𝑌′′(𝜉𝑛)
𝜏(ℎ) ≤ 𝛿(ℎ) +ℎ2‖𝑌′′‖∞
jadi, 𝜏(ℎ) → 0 saat ℎ → 0.
Sebagai penutup bab IV ini, penulis telah memberikan analisis konvergensi metode
Euler dan metode Runge-Kutta. Karena keterbatasan waktu, penulis tidak
memberikan analisis konvergensi metode Euler termodifikasi dan metode Milne.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil perhitungan dari beberapa metode yang digunakan oleh
penulis untuk menyelesaikan masalah nilai awal, dapat ditarik beberapa
kesimpulan:
➢ Metode Milne memberikan hasil yang sangat baik, dengan nilai galat yang
sangat kecil. Tetapi, khusus untuk masalah yang dapat diselesaikan secara
analitik.
➢ Metode Euler termodifikasi memberikan hasil yang cukup baik, dengan nilai
galat yang terbilang kecil. Tetapi, metode ini membutuhkan perhitungan yang
lama dan dalam pembuatan program lebih rumit dibanding metode lainnya.
➢ Metode Runge-Kutta memberikan hasil yang lebih baik daripada metode Euler
termodifikasi. Selain itu, pembuatan programnya juga sederhana.
➢ Metode Euler memberikan hasil yang kurang akurat, dengan nilai galat yang
lebih besar dari metode lainnya. Tetapi, metode ini memiliki program yang
paling sederhana dibanding metode lainnya.
Dalam mengerjakan suatu masalah nilai awal, sebaiknya gunakan metode
Runge-Kutta.
B. Saran
Analisis konvergensi metode Euler termodifikasi dan metode Milne terbuka
untuk diteliti.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
DAFTAR PUSTAKA
Atkinson, K.E. (1978). An Introduction to Numerical Analysis. New York: John
Wiley & Sons.
Atkinson, K.E, Han, Weimin. (2004). Elementary Numerical Analysis (Third
Edition). Danvers: Wiley
Gerald, C.F, Wheatley, P.O. (1994). Applied Numerical Analysis (Fifth Edition).
Amsterdam: Addison-Wesley Publishing Company.
Ghorbani, Asghar., Bakherad, Mojtaba. (2017). New Astronomy. A Variational
Iteration for Solving Nonlinear Lane-Emden Problems, 54, 1-6.
Gilat, A., Subramaniam, V. (2014). Numerical Methods for Engineers and
Scientists: An Introduction with Applications Using MATLAB (Third
Edition). Danvers: Wiley.
Hernadi, Julan. (2015). Analisis Real Elementer dengan Ilustrasi Grafis dan
Numeris. Jakarta: Erlangga.
Hoffman, J.D. (1992). Numerical Methods for Engineers and Scientists. Madrid:
McGraw-Hill, Inc.
Plybon, B.F. (1992). An Introduction to Applied Numerical Analysis. Boston:
PWS-KENT Publishing Company.
Ross, S.L. (1980). Introduction to Ordinary Differential Equations. Toronto: John
Wiley & Sons.
Shifrin, Theodore. (2005). Multivariable Mathematics:Linear Algebra,
Multivariable Calculus, and Manifolds. Danvers: Wiley.
Stewart, James. (2003). Calculus Early Transcendentals (Fifth Edition). Belmont:
Thomson Brooks/Cole.
Uddin, Mahtab. (2009). Study on different numerical methods for solving
differential equations. Thesis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
LAMPIRAN
Berikut adalah lampiran script MATLAB yang digunakan pada skripsi ini.
Lampiran 1 : script untuk contoh 1,2,3 dan 4
Contoh 1:
%x2=[0:0.2:1]'; %y2=[1 1.200 1.520 1.984 2.621 3.465]';
%x1=[0:0.1:1]'; %y1=[1 1.100 1.230 1.393 1.592 1.831 2.114 2.445 2.830 3.273
3.780]';
%y_eksak1=[1.000 1.116 1.264 1.450 1.675 1.946 2.266 2.641 3.076
3.579 4.155]'; %y_eksak2=[y_eksak1(1:2:11)]'; %plot(x1,y1,'--') %hold on %plot(x2,y2,'-*') %hold on %plot(x1,y_eksak1,'k-') %hold on %plot(x2,y_eksak2) %legend('Euler h=0.1','Euler h=0.2','Eksak')
%%Penyelesaian y’=2x+y dengan metode euler
format long xn=[]; x(1)=0; u(1)=1; %xn=[xn;x(1)]; delta_x=0.2; e(1)=(-2)*(x(1)+1)+3*exp(x(1)); eksak=[]; un=[]; %eksak=[eksak;e(1)]; for j=1:5 x(j+1)=x(j)+delta_x; u(j+1)=u(j)+delta_x*(2*x(j)+u(j)); e(j+1)=(-2)*(x(j+1)+1)+3*exp(x(j+1)); un=[un;u(j+1)]; xn=[xn;x(j+1)]; eksak=[eksak;e(j+1)]; end
galat=[round(abs(un-eksak),7)]; [xn un eksak galat]
gatot=sum(galat)/j
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
plot(xn,un,'-^') %hold on
Contoh 2:
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian y’=2x+y dengan metode euler termodifikasi
format long x(1)=0; delta_x=0.2; u(1)=1; tabel0=[]; e(1)=(-2)*(x(1)+1)+3*exp(x(1)); xn=[]; %xn=[xn;x(1)] un=[]; %un=[un;u(1)] eksak=[]; %eksak=[eksak;e(1)] for j=1:5 f(j)=2*x(j)+u(j); ut=u(j)+delta_x*f(j); tabel0=[tabel0;u(j);ut]; for i=1:100 x(j+1)=x(j)+delta_x; y(i)=ut; F(i)=(2*x(j+1))+y(i); U(i) = u(j) + (delta_x/2) *(f(j)+F(i)); ut=U(i); tabel0=[tabel0;round(U(i),3)]; if tabel0(end)==tabel0(end-1) break end end u(j+1)=tabel0(end); e(j+1)=(-2)*(x(j+1)+1)+3*exp(x(j+1)); eksak=[eksak;e(j+1)]; xn=[xn;x(j+1)]; un=[un;u(j+1)]; end galat=[round(abs(un-eksak),7)]; [xn un eksak galat] gatot=sum(galat)/j plot(xn,un, '-o') hold on %plot(xn,eksak,'k-')
Contoh 3:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian y’=2x+y dengan metode runge-kutta
format long x(1)=0; delta_x=0.2; u(1)=1; e(1)=(-2)*(x(1)+1)+3*exp(x(1)); xn=[]; %xn=[xn;x(1)] un=[]; %un=[un;u(1)] eksak1=[]; %eksak=[eksak;e(1)]
for i=1:5 k1=delta_x*(2*x(i)+u(i));
k2=delta_x*(2*(x(i)+delta_x/2)+(u(i)+k1/2));
k3=delta_x*(2*(x(i)+delta_x/2)+(u(i)+k2/2));
k4=delta_x*(2*(x(i)+delta_x)+(u(i)+k3));
k0=(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
u(i+1)=u(i)+k0; x(i+1)=x(i)+delta_x; xn=[xn;x(i+1)]; un=[un;round(u(i+1),4)]; e(i+1)=(-2)*(x(i+1)+1)+3*exp(x(i+1)); eksak1=[eksak1;e(i+1)]; end galat=[round(abs(un-eksak1),7)]; [xn un eksak1 galat] gatot=sum(galat)/i plot(xn,un,':') hold on %plot(xn,eksak1,'k-')
Contoh 4:
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian y’=2x+y dengan metode milne
format long x(1)=0; x(2)=0.2;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
x(3)=0.4; x(4)=0.6; delta_x=0.2; u(1)=1; u(2)=1.264208; u(3)=1.675474; u(4)=2.266356;
xn=[]; xn=[xn;x(2);x(3);x(4)]; un=[]; un=[un;u(2);u(3);u(4)]; eksak=[];
for i=1:2; y1=2*x(i+1)+u(i+1); y2=2*x(i+2)+u(i+2); y3=2*x(i+3)+u(i+3); x(i+4)=x(i+3)+delta_x; v=u(i)+((4*delta_x)/3)*(2*y3-y2+2*y1); z=2*(x(i+4))+v; w=u(i+2)+(delta_x/3)*(z+4*y3+y2); if (round(v,4)==round(w,4))||(abs((v-w)/29)<0.01) u(i+4)=w; else disp('nilai h harus diganti'); end e(i+4)=(-2)*(x(i+4)+1)+3*exp(x(i+4)); eksak=[eksak;e(i+4)]; xn=[xn;x(i+4)]; un=[un;u(i+4)]; end galat=[abs(un(4:5)-eksak)]; [xn un] gatot=sum(galat)/i plot(xn,un,'--') hold on %plot(xn,eksak,'k-')
Lampiran 2 : script untuk contoh 5
clc clear close all
%%Penyelesaian x"+x=0 dengan metode euler
format long t_awal=0; t_akhir=1; delta_t=0.1; m=(t_akhir-t_awal)/delta_t; t(1)=0; x0(1)=1;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
x1(1)=0; tabel0=[]; tabel1=[]; tn=[]; tabel0=[tabel0;x0(1)]; tabel1=[tabel1;x1(1)]; tn=[tn;t(1)]; e(1)=cos(t(1)); eksak=[]; eksak=[eksak;e(1)]; for i=1:m t(i+1)=t(i)+delta_t; x0(i+1)=x0(i)+delta_t*x1(i); x1(i+1)=x1(i)-delta_t*x0(i); tabel0=[tabel0;x0(i+1)]; tabel1=[tabel1;x1(i+1)]; tn=[tn;t(i+1)]; e(i+1)=cos(t(i+1)); eksak=[eksak;e(i+1)]; end disp(' tn x0n x1n
Eksak Galat') disp(' ---------------------------------------------------------
----------------------------------------') galat=abs(tabel0-eksak); tabel=[tn tabel0 tabel1 eksak galat]; disp(tabel) gatot=sum(galat)/i disp(['jadi nilai x saat t = ',num2str(t(i+1)),' adalah
',num2str(x0(i+1))]) plot(tn,tabel0,'--') hold on plot(tn,eksak,'k-')
Lampiran 3 : script untuk contoh 6
Metode Euler
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+y=6+12x+x^2+x^3 dengan metode euler
format long x(1)=10^(-14); delta_x=0.1; y0(1)=0; y1(1)=0; tabel0=[]; tabel1=[]; xn=[];
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
for i=1:10 x(i+1)=x(i)+delta_x; g(i)=6+12*x(i)+x(i)^2+x(i)^3; y0(i+1)=y0(i)+delta_x*y1(i); y1(i+1)=y1(i)+delta_x*(g(i)-(2/x(i))*y1(i)-y0(i)); tabel0=[tabel0;y0(i+1)]; tabel1=[tabel1;y1(i+1)]; xn=[xn;x(i+1)]; end eksak=[xn.^2+xn.^3]; galat=abs(eksak-tabel0); disp(' xn un vn
Eksak galat') disp(' ---------------------------------------------------------
----------------------------------------') disp(' ') tabel=[xn tabel0 tabel1 eksak galat]; disp(tabel) gatot=sum(galat)/i %disp(['jadi nilai y saat x = ',num2str(x(i+1)),' adalah
',num2str(y0(i+1))]) plot(xn,tabel0,'-^') hold on plot(xn,eksak,'k-')
Metode Euler Termodifikasi
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+y=6+12x+x^2+x^3 dengan metode Euler
termodofikasi
format long x(1)=10^(-14); delta_x=0.1; u(1)=0; v(1)=0; tabel0=[]; tabel1=[]; xn=[]; un=[]; vn=[]; for j=1:10 ut=u(j)+delta_x*v(j); g(j)=6+12*x(j)+x(j)^2+x(j)^3; h(j)=g(j)-(2/x(j))*v(j)-u(j); vt=v(j)+delta_x*h(j); tabel0=[tabel0;u(j);ut]; tabel1=[tabel1;v(j);vt];
for i=1:3500
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
utd(i)=ut; vtd(i)=vt; x(j+1)=x(j)+delta_x; U(i)= u(j) + (delta_x/2) *(v(j) + vtd(i)); V(i)= v(j) + (delta_x/2) *(h(j) +
(6+12*x(j+1)+x(j+1)^2+x(j+1)^3)-(2/x(j+1))*vtd(i)-utd(i)); ut=U(i); vt=V(i); tabel0=[tabel0;round(U(i),3)]; tabel1=[tabel1;round(V(i),3)]; if tabel0(end)==tabel0(end-1) && tabel1(end)==tabel1(end-
1) break end end u(j+1)=tabel0(end); v(j+1)=tabel1(end); xn=[xn;x(j+1)]; un=[un;u(j+1)]; vn=[vn;v(j+1)]; end eksak=[xn.^2+xn.^3]; galat=abs(eksak-un); disp(' xn un vn
Eksak Galat') disp('') disp(' ---------------------------------------------------------
----------------------------------------') tabel=[xn un vn eksak galat]; disp(tabel) gatot=sum(galat)/j plot(xn,un,'--') hold on plot(xn,eksak,'k-')
Metode Runge-Kutta
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+y=6+12x+x^2+x^3 dengan metode Runge-
Kutta
format long x(1)=10^(-14); delta_x=0.1; u(1)=0; v(1)=0;
xn=[]; un=[]; vn=[];
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
for i=1:10 f1=v(i); k1=delta_x*f1; h1=(6+12*x(i)+x(i)^2+x(i)^3)-(2/x(i))*v(i)-u(i); q1=delta_x*h1;
f2=v(i)+(q1/2); k2=delta_x*f2; h2=(6+12*(x(i)+(delta_x/2))+(x(i)+(delta_x/2))^2+(x(i)+(delta_x/2)
)^3)-(2/(x(i)+(delta_x/2)))*(v(i)+(q1/2))-(u(i)+(k1/2)); q2=delta_x*h2;
f3=v(i)+(q2/2); k3=delta_x*f3; h3=(6+12*(x(i)+(delta_x/2))+(x(i)+(delta_x/2))^2+(x(i)+(delta_x/2)
)^3)-(2/(x(i)+(delta_x/2)))*(v(i)+(q2/2))-(u(i)+(k2/2)); q3=delta_x*h3;
f4=v(i)+q3; k4=delta_x*f4; h4=(6+12*(x(i)+delta_x)+(x(i)+delta_x)^2+(x(i)+delta_x)^3)-
(2/(x(i)+delta_x))*(v(i)+q3)-(u(i)+k3); q4=delta_x*h4;
k0=(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); q0=(1/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
x(i+1)=x(i)+delta_x; u(i+1)=u(i)+k0; v(i+1)=v(i)+q0; xn=[xn;x(i+1)]; un=[un;u(i+1)]; vn=[vn;v(i+1)]; end eksak=[xn.^2+xn.^3]; galat=abs(eksak-un); disp(' xn un vn
Eksak Galat') disp('') disp(' ---------------------------------------------------------
----------------------------------------') tabel=[xn un vn eksak galat]; disp(tabel) gatot=sum(galat)/i plot(xn,un,'-o') hold on %plot(xn,eksak,'k-')
Metode Milne
%clc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
%clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+y=6+12x+x^2+x^3 dengan metode Milne
format long delta_x=0.1; x(1)=10^(-14); x(2)=x(1)+delta_x; x(3)=x(2)+delta_x; x(4)=x(3)+delta_x;
u(1)=0; u(2)=0.011; u(3)=0.048; u(4)=0.117;
v(1)=0; v(2)=0.23; v(3)=0.52; v(4)=0.87;
tabel0=[]; tabel1=[]; xn=[]; xn=[xn;x(2);x(3);x(4)]; un=[]; un=[un;u(2);u(3);u(4)]; vn=[]; vn=[vn;v(2);v(3);v(4)];
for i=1:7 u1(i+1)=v(i+1); u1(i+2)=v(i+2); u1(i+3)=v(i+3);
v1(i+1)=(6+12*x(i+1)+x(i+1)^2+x(i+1)^3)-(2/x(i+1))*v(i+1)-u(i+1); v1(i+2)=(6+12*x(i+2)+x(i+2)^2+x(i+2)^3)-(2/x(i+2))*v(i+2)-u(i+2); v1(i+3)=(6+12*x(i+3)+x(i+3)^2+x(i+3)^3)-(2/x(i+3))*v(i+3)-u(i+3);
x(i+4)=x(i+3)+delta_x;
U1=u(i)+((4*delta_x)/3)*(2*u1(i+3)-u1(i+2)+2*u1(i+1)); V1=v(i)+((4*delta_x)/3)*(2*v1(i+3)-v1(i+2)+2*v1(i+1));
z1=V1; z2=(6+12*x(i+4)+x(i+4)^2+x(i+4)^3)-(2/x(i+4))*V1-U1;
U2=u(i+2)+(delta_x/3)*(z1+4*u1(i+3)+u1(i+2)); V2=v(i+2)+(delta_x/3)*(z2+4*v1(i+3)+v1(i+2)); if ((round(U1,4)==round(U2,4))||(abs((U1-U2)/29)<0.01)) &&
((round(V1,4)==round(V2,4))||(abs((V1-V2)/29)<0.01)) u(i+4)=U2;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
v(i+4)=V2; else disp('nilai DELTA_X harus diganti dengan nilai yang lebih
kecil '); break end xn=[xn;x(i+4)]; un=[un;u(i+4)]; vn=[vn;v(i+4)]; end
eksak=[xn.^2+xn.^3]; galat=abs(eksak-un); disp(' xn un vn
Eksak Galat') disp(' ') disp(' ---------------------------------------------------------
----------------------------------------') tabel=[xn un vn eksak galat]; disp(tabel) gatot=sum(galat(4:10))/i plot(xn,un,':') hold on plot(xn,eksak,'k-')
Lampiran 4 : script untuk contoh 7
Metode Euler
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+y^3=6+x^6 dengan metode euler
format long x(1)=10^(-14); delta_x=0.1; u(1)=0; v(1)=0; un=[]; vn=[]; xn=[]; for i=1:10 x(i+1)=x(i)+delta_x; g(i)=6+x(i)^6; u(i+1)=u(i)+delta_x*v(i); v(i+1)=v(i)+delta_x*(g(i)-(2/x(i))*v(i)-u(i)^3); un=[un;u(i+1)]; vn=[vn;v(i+1)]; xn=[xn;x(i+1)]; end eksak=[xn.^2];
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
galat=abs(eksak-un); disp(' xn un vn
Eksak galat') disp(' ---------------------------------------------------------
----------------------------------------') disp(' ') tabel=[xn un vn eksak galat]; disp(tabel) gatot=sum(galat)/i %disp(['jadi nilai y saat x = ',num2str(x(i+1)),' adalah
',num2str(y0(i+1))]) plot(xn,un,'-^') hold on %plot(xn,eksak,'k-')
Metode Euler Termodifikasi
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+y^3=6+x^6 dengan metode Euler
termodofikasi
format long x(1)=10^(-14); delta_x=0.1; u(1)=0; v(1)=0; tabel0=[]; tabel1=[]; xn=[]; un=[]; vn=[]; for j=1:10 ut=u(j)+delta_x*v(j); g(j)=6+x(j)^6; h(j)=g(j)-(2/x(j))*v(j)-u(j)^3; vt=v(j)+delta_x*h(j); tabel0=[tabel0;u(j);ut]; tabel1=[tabel1;v(j);vt];
for i=1:3500 utd(i)=ut; vtd(i)=vt; x(j+1)=x(j)+delta_x; U(i)= u(j) + (delta_x/2) *(v(j) + vtd(i)); V(i)= v(j) + (delta_x/2) *(h(j) + (6+x(j+1)^6)-
(2/x(j+1))*vtd(i)-utd(i)^3); ut=U(i); vt=V(i); tabel0=[tabel0;round(U(i),3)]; tabel1=[tabel1;round(V(i),3)];
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
if tabel0(end)==tabel0(end-1) && tabel1(end)==tabel1(end-
1) break end end u(j+1)=tabel0(end); v(j+1)=tabel1(end); xn=[xn;x(j+1)]; un=[un;u(j+1)]; vn=[vn;v(j+1)]; end eksak=[xn.^2]; galat=abs(eksak-un); disp(' xn un vn
Eksak Galat') disp('') disp(' ---------------------------------------------------------
----------------------------------------') tabel=[xn un vn eksak galat]; disp(tabel) gatot=sum(galat)/j plot(xn,un,'--') hold on %plot(xn,eksak,'k-')
Metode Runge-Kutta
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+y^3=6+x^6 dengan metode Runge-Kutta
format long x(1)=10^(-14); delta_x=0.1; u(1)=0; v(1)=0;
xn=[]; un=[]; vn=[]; for i=1:10 f1=v(i); k1=delta_x*f1; h1=(6+x(i)^6)-(2/x(i))*v(i)-u(i)^3; q1=delta_x*h1;
f2=v(i)+(q1/2); k2=delta_x*f2;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
h2=(6+(x(i)+(delta_x/2))^6)-(2/(x(i)+(delta_x/2)))*(v(i)+q1/2)-
(u(i)+(k1/2))^3; q2=delta_x*h2;
f3=v(i)+(q2/2); k3=delta_x*f3; h3=(6+(x(i)+(delta_x/2))^6)-(2/(x(i)+(delta_x/2)))*(v(i)+q2/2)-
(u(i)+(k2/2))^3; q3=delta_x*h3;
f4=v(i)+q3; k4=delta_x*f4; h4=(6+(x(i)+delta_x)^6)-(2/(x(i)+delta_x))*(v(i)+q3)-(u(i)+k3)^3; q4=delta_x*h4;
k0=(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); q0=(1/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
x(i+1)=x(i)+delta_x; u(i+1)=u(i)+k0; v(i+1)=v(i)+q0; xn=[xn;x(i+1)]; un=[un;u(i+1)]; vn=[vn;v(i+1)]; end eksak=[xn.^2]; galat=abs(eksak-un); disp(' xn un vn
Eksak Galat') disp('') disp(' ---------------------------------------------------------
----------------------------------------') tabel=[xn un vn eksak galat]; disp(tabel) gatot=sum(galat)/i plot(xn,un,'-o') hold on %plot(xn,eksak,'k-')
Metode Milne
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+y^3=6+x^6 dengan metode Milne
format long delta_x=0.1; x(1)=10^(-14); x(2)=x(1)+delta_x;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
x(3)=x(2)+delta_x; x(4)=x(3)+delta_x;
u(1)=0; u(2)=0.01; u(3)=0.04; u(4)=0.09;
v(1)=0; v(2)=0.2; v(3)=0.4; v(4)=0.6;
xn=[]; xn=[xn;x(2);x(3);x(4)]; un=[]; un=[un;u(2);u(3);u(4)]; vn=[]; vn=[vn;v(2);v(3);v(4)];
for i=1:7 u1(i+1)=v(i+1); u1(i+2)=v(i+2); u1(i+3)=v(i+3);
v1(i+1)=(6+x(i+1)^6)-(2/x(i+1))*v(i+1)-u(i+1)^3; v1(i+2)=(6+x(i+2)^6)-(2/x(i+2))*v(i+2)-u(i+2)^3; v1(i+3)=(6+x(i+3)^6)-(2/x(i+3))*v(i+3)-u(i+3)^3;
x(i+4)=x(i+3)+delta_x;
U1=u(i)+((4*delta_x)/3)*(2*u1(i+3)-u1(i+2)+2*u1(i+1)); V1=v(i)+((4*delta_x)/3)*(2*v1(i+3)-v1(i+2)+2*v1(i+1));
z1=V1; z2=(6+x(i+4)^6)-(2/x(i+4))*V1-U1^3;
U2=u(i+2)+(delta_x/3)*(z1+4*u1(i+3)+u1(i+2)); V2=v(i+2)+(delta_x/3)*(z2+4*v1(i+3)+v1(i+2)); if ((round(U1,4)==round(U2,4))||(abs((U1-U2)/29)<0.01)) &&
((round(V1,4)==round(V2,4))||(abs((V1-V2)/29)<0.01)) u(i+4)=U2; v(i+4)=V2; else disp('nilai DELTA_X harus diganti dengan nilai yang lebih
kecil '); end xn=[xn;x(i+4)]; un=[un;u(i+4)]; vn=[vn;v(i+4)]; end
eksak=[xn.^2]; galat=abs(eksak-un);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
disp(' xn un vn
Eksak Galat') disp(' ') disp(' ---------------------------------------------------------
----------------------------------------') tabel=[xn un vn eksak galat]; disp(tabel) gatot=sum(galat(4:10))/i plot(xn,un,':') hold on plot(xn,eksak,'k-')
Lampiran 5 : script untuk contoh 8
Metode Euler
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+e^y=0 dengan metode euler
format long x(1)=10^(-14); delta_x=0.1; u(1)=0; v(1)=0; un=[]; vn=[]; xn=[]; for i=1:10 x(i+1)=x(i)+delta_x; u(i+1)=u(i)+delta_x*v(i); v(i+1)=v(i)+delta_x*(-(2/x(i))*v(i)-exp(u(i))); un=[un;u(i+1)]; vn=[vn;v(i+1)]; xn=[xn;x(i+1)]; end [xn un vn] plot(xn,un,'-o') hold on
Metode Euler Termodifikasi
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+e^y=0 dengan metode Euler termodofikasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
format long x(1)=10^(-14); delta_x=0.1; u(1)=0; v(1)=0; tabel0=[]; tabel1=[]; xn=[]; un=[]; vn=[]; for j=1:10 ut=u(j)+delta_x*v(j); h(j)=-(2/x(j))*v(j)-exp(u(j)); vt=v(j)+delta_x*h(j); tabel0=[tabel0;u(j);ut]; tabel1=[tabel1;v(j);vt];
for i=1:5000 utd(i)=ut; vtd(i)=vt; x(j+1)=x(j)+delta_x; U(i)= u(j) + (delta_x/2) *(v(j) + vtd(i)); V(i)= v(j) + (delta_x/2) *(h(j) + (-(2/x(j+1))*vtd(i)-
exp(utd(i)))); ut=U(i); vt=V(i); tabel0=[tabel0;round(U(i),3)]; tabel1=[tabel1;round(V(i),3)]; if tabel0(end)==tabel0(end-1) && tabel1(end)==tabel1(end-
1) break end end u(j+1)=tabel0(end); v(j+1)=tabel1(end); xn=[xn;x(j+1)]; un=[un;u(j+1)]; vn=[vn;v(j+1)]; end [xn un vn] plot(xn,un,'-^') hold on
Metode Runge-Kutta
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+e^y=0 dengan metode Runge-Kutta
format long x(1)=10^(-14);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
delta_x=0.1; u(1)=0; v(1)=0;
xn=[]; un=[]; vn=[]; for i=1:10 f1=v(i); k1=delta_x*f1; h1=-(2/x(i))*v(i)-exp(u(i)); q1=delta_x*h1;
f2=v(i)+(q1/2); k2=delta_x*f2; h2=-(2/(x(i)+(delta_x/2)))*(v(i)+q1/2)-exp((u(i)+(k1/2))); q2=delta_x*h2;
f3=v(i)+(q2/2); k3=delta_x*f3; h3=-(2/(x(i)+(delta_x/2)))*(v(i)+q2/2)-exp((u(i)+(k2/2))); q3=delta_x*h3;
f4=v(i)+q3; k4=delta_x*f4; h4=-(2/(x(i)+delta_x))*(v(i)+q3)-exp((u(i)+k3)); q4=delta_x*h4;
k0=(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); q0=(1/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
x(i+1)=x(i)+delta_x; u(i+1)=u(i)+k0; v(i+1)=v(i)+q0; xn=[xn;x(i+1)]; un=[un;u(i+1)]; vn=[vn;v(i+1)]; end [xn un vn] plot(xn,un,'k-') hold on
Metode Milne
%clc %clear %close all
%%Penyelesaian persamaan Lane-Emden %%Penyelesaian y"+(2/x)y'+e^y=0 dengan metode Milne
format long delta_x=0.1; x(1)=10^(-14);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
x(2)=x(1)+delta_x; x(3)=x(2)+delta_x; x(4)=x(3)+delta_x;
u(1)=0; u(2)=-0.004995838537328; u(3)=-0.008496413494712; u(4)=-0.016154192604233;
v(1)=0; v(2)=-0.000083542014347; v(3)=-0.057075620285349; v(4)=-0.094843013237095;
xn=[]; xn=[xn;x(2);x(3);x(4)]; un=[]; un=[un;u(2);u(3);u(4)]; vn=[]; vn=[vn;v(2);v(3);v(4)];
for i=1:7 u1(i+1)=v(i+1); u1(i+2)=v(i+2); u1(i+3)=v(i+3);
v1(i+1)=-(2/x(i+1))*v(i+1)-exp(u(i+1)); v1(i+2)=-(2/x(i+2))*v(i+2)-exp(u(i+2)); v1(i+3)=-(2/x(i+3))*v(i+3)-exp(u(i+3));
x(i+4)=x(i+3)+delta_x;
U1=u(i)+((4*delta_x)/3)*(2*u1(i+3)-u1(i+2)+2*u1(i+1)); V1=v(i)+((4*delta_x)/3)*(2*v1(i+3)-v1(i+2)+2*v1(i+1));
z1=V1; z2=-(2/x(i+4))*V1-exp(U1);
U2=u(i+2)+(delta_x/3)*(z1+4*u1(i+3)+u1(i+2)); V2=v(i+2)+(delta_x/3)*(z2+4*v1(i+3)+v1(i+2)); if ((round(U1,4)==round(U2,4))||(abs((U1-U2)/29)<0.05)) &&
((round(V1,4)==round(V2,4))||(abs((V1-V2)/29)<0.05)) u(i+4)=U2; v(i+4)=V2; else disp('nilai DELTA_X harus diganti dengan nilai yang lebih
kecil '); break end xn=[xn;x(i+4)]; un=[un;u(i+4)]; vn=[vn;v(i+4)]; end [xn un vn] plot(xn,un,'--')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
top related