peluang & aturan bayes - fmipa personal blogs /...
Post on 01-Oct-2018
248 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Peluang & Aturan Bayes
MA 2081 STATISTIKA DASAR
06 SEPTEMBER2012
Utriweni Mukhaiyar
2
EksperimenCiri-ciri eksperimen acak (Statistik):• Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiriCiri-ciri eksperimen acak (Statistik):• Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiriDapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri
maupun orang lain.• Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari
Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendirimaupun orang lain.
• Proporsi keberhasilan dapat diketahui darip phasil-hasil sebelumnya.
• Bisa diukur (diamati).
p phasil-hasil sebelumnya.
• Bisa diukur (diamati).• Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya
galat/error.• Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya
galat/error.
3
Ruang Sampel
Ruang sampel S , yaitu himpunan g p , y pdari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak (statistik)percobaan acak (statistik).
4
Ruang Sampel DiskritA. Diskrit: banyaknya (number) anggota pada
S tsb dapat dihitung/dicacah (countable)S tsb dapat dihitung/dicacah (countable). Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga.
Contoh 1. S pada (percobaan) pemeriksanp (p ) pproduksi sepatu boot di pabrik AAA. Setiap pasang sepatu dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai pasangan sepatu g g g p g prusak atau tidak .
Ruang Sampel Kontinu5
g p
B K ti t d i S t b d l h b iB. Kontinu: anggota dari S tsb adalah bagian dari suatu interval. Contoh 2. S pada percobaan pengukurantinggi pasang maksimum setiap hari disuatu selat (satuan m) misalnya S = {x: 2suatu selat (satuan m), misalnya S {x: 2< x < 4}.Jika kita pilih hari-hari secara acak, makamungkin ditemukan hari hari dengan tinggimungkin ditemukan hari-hari dengan tinggipasang 2,1 m atau 3,5 m atau 2,75 m ataunilai lainnya yang berkisar antara 2 < x < 4.
6
Kejadian (Event)j ( )• Himpunan bagian (subset) dari suatu
ruang sampel Sruang sampel S . • Notasi untuk even (kejadian) umumnya
huruf kapital misal A B dan lain-lainhuruf kapital, misal A, B, dan lain-lain. Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis sebagai barisan misal E E dstsebagai barisan, misal E1, E2, ......dst.
7
Ruang Sampel dan KejadianRuang Sampel dan Kejadian
• Ruang sampel, dinotasikan SRuang sampel, dinotasikan SRuang Sampel Diskrit
S = { , , ... , }Ruang Sampel Kontinu
E t (k j di )
S { , , ... , }
Event (kejadian)
E = { }7
E { , , }
Populasi dan sampel8
Populasi dan sampel
• Pada Contoh 1: Semua pasang sepatu boot• Pada Contoh 1: Semua pasang sepatu boot yang ada di pabrik AAA disebut populasi, sedangkan beberapa pasang sepatu boot
di bil di b t l Ryang diambil disebut sampel. Ruang sampel pada contoh ini adalah semua keadaan pasang sepatu boot yang mungkin, p g p y g g ,yaitu {rusak, tidak rusak} dan termasuk jenis diskrit, karena banyaknya elemen pada S ini dapat dihitung yaitu ada 2 buah n(S) = 2dapat dihitung, yaitu ada 2 buah, n(S) 2.
Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel & Kejadian
9
Kejadian
• Dua lokasi eksplorasi memulai aktifitas pengeboran. Sukses atau tidaknya pengeboran untuk tiap lokasi dilihat apabila ditemukannya minyak setelah satu bulan di lokasi yang bersangkutan. Tentukan ruang y g g gsampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya.
J b R l d l h S Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {SS,ST,TS,TT}, dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal) ( )
Contoh kejadian, mis kejadian E1 dimana dua aktifitaspengeboran tersebut sukses, maka E1 ={SS}; dan E2dimana salah satu lokasi masih belum menemukandimana salah satu lokasi masih belum menemukan minyak, maka E2={ST,TS}.
Contoh 410
• Dilakukan survey dan pencatatan tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah pegununganpegunungan.
Jawab: Misalkan X : tingkat curah hujan g j(mm), ruang sampel S = { x | 0 x 600, x R} dan E2 adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200 mm makahujan lebih dari 200 mm, makaE2 = {x | 200 < x 600, x R}Perhatikan bahwa E2 SPerhatikan bahwa E2 S
G b
11
Gabungan
U i d i ti E d E dit li E E• Union dua peristiwa E1 dan E2 ditulis E1E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E atau di dalam E (termasuk didi dalam E1 atau di dalam E2 (termasuk di dalam keduanya jika ada).
Contoh. Perhatikan Contoh 3.Misal E1 adalah kejadian salah satu lokasi b h il k i k d E d l hberhasil menemukan minyak, dan E2 adalah kejadian tidak ada lokasi yang berhasil. Maka E1 E2 = {ST TS TT}E1 E2 {ST,TS,TT}.
12
Irisan
• Irisan dua peristiwa E1 dan E2, ditulis E1∩E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E1 dan di dalam E2.
Contoh. Perhatikan Contoh 2.Misalkan E1: himpunan tinggi pasangMisalkan E1: himpunan tinggi pasang maksimum lebih dari 2,65 m, dan E2: himpunan tinggi pasang maksimum kurang dari 3,70 m. Maka E1 ∩ E2 = {x | 2,65 < x < 3,70}.
13
Komplemen• Komplemen suatu peristiwa E1, ditulis E1
c, adalah himpunan semua elemen yang tidakadalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam E1.
Contoh. Perhatikan Contoh 4.E c= {0 ≤ x ≤ 200} yaitu himpunan tingkatE2 = {0 ≤ x ≤ 200}, yaitu himpunan tingkat curah hujan 0 sampai dengan 200.
14
Peluang Suatu Kejadiang j• Prinsip dasar : frekuensi relatif• Jika suatu ruang sampel mempunyai n(S )
elemen, dan suatu event E mempunyai n(E) elemen maka probabilitas E adalah:elemen, maka probabilitas E adalah:
( )E( )( )( )
n EP En S
C h
15
Contoh 5• Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling
Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam h i) K t t t h t b t b k j 7 h i d l 1 ihari). Kantor tempat pengusaha tersebut bekerja 7 hari dalam 1 minggu. Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari?
Jawab: n(S) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari maka n(E) = 7 yaitu E =
( ) 7E
kejadian bulan dengan 31 hari, maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des}
( ) 7( )( ) 12
n EP En S
16
Aksioma Peluang1. 0 ≤ P(E) ≤ 1.2 P(S) = 12. P(S) = 1.3. Jika E1 dan E2 adalah dua kejadian yang saling
lepas maka berlaku:lepas,maka berlaku:P(E1E2 ) = P(E1) + P(E2)
4 Jika E E E adalah kejadian yang saling lepas4. Jika E1, E2,…,En adalah kejadian yang saling lepas mutual, maka berlaku :P(E E E ) P(E ) + P(E ) + + P(E )P(E1E2…En) = P(E1) + P(E2) +…+ P(En)
Peluang Bersyarat17
• Peluang bersyarat (conditional probability) dikatakan bersyarat karena eventnya sudah y ydibatasi.
Jika event pembatas itu A dan event yangJika event pembatas itu A dan event yang probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka peluang bersyaratnya adalah:
( )( ) P A BP B A
p g y y
( )( )
P B AP A
Peluang Bersyarat18
g y
• Dalam P(B|A), event A adalah kejadian yang terjadi terlebih dahulu atau yang diamati lebih dulu, baru kemudian B.
Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas makabebas, maka
P(B|A) = P(B)
C t h 6
19
Contoh 6
Warna pasir Jenis pasirHalus Kasar
Hitam 2 3Abu-abu 2 4
Terang (putih, kuning)
1 2
P(Halus Hitam) 2 5 2P(Halus| Hitam) = :P(Hitam) 14 14 5
P(Hitam) 14 14 5
20
Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas
• Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku:
• Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku:bebas (independent) jika berlaku: bebas (independent) jika berlaku:
( ) ( ) ( )P EF P E P F( ) ( ). ( )P EF P E P F
Dua kejadian E dan F dikatakan salingDua kejadian E dan F dikatakan salingDua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku:
Dua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku:
( ) 0P EF
Contoh 7--21
Contoh 7
S• Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai
kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah
kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian
t ilih b h ti T j kk b h E d Fterpilih gambar hati. Tunjukkan bahwa E dan F
saling bebas. Apakah E dan F saling lepas?
--Contoh 722
Contoh 7( ) 1/ 52P EF Jawab:
( ) 4 / 52P E
karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.
( ) 4 / 52P E
karena terdapat 4 As dalam kartu bridge
( ) 13 / 52P F
karena terdapat 13 kartu bergambar hati
4 13 52 1( ). ( ) . ( )52 52 52.52 52
P E P F P EF
Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas.
Peluang Bersyarat23
Banyak kejadian
AB5B1
A B5A B
B4A B2
5A B1
A B3
A B4
SB2 B3
Peluang Bersyaratk k d
24
Banyak kejadian
Aturan Bayes25
Contoh 826
Suatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagaiSuatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di tempatkan di Hotel I 50% di Hotel B dan 30% di Hotel Stempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa,a. Seseorang langganan mendapat kamar yang kamar
mandinya tidak baik.yb. Seseorang yang mendapat kamar mandi yang tidak
baik ditempatkan di Hotel S.
Solusi27
R f i
28
Referensi Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and g y
Statistics, London : Springer, 2005. Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and
Analysis of Data USA: Duxbury Press 1997Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan
Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: P bit ITB 1995Penerbit ITB, 1995.
Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007.
Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.
Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
top related