pd cap 05 ec diferencia 15 ii

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA)

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA

E.A.P. INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES

Flavio Nireo Carrillo Gomero

fcarrillog@unmsm.edu.pe

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE TELECOMUNICACIONES

CONTENIDO

ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES. Métodos de Solución

REPRESENTACION CON DIAGRAMA DE BLOQUES.

PROBLEMAS

ECUACIONES EN DIFERENCIAS

LINEALES CON

COEFICIENTES CONSTANTES.

ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON

COEFICIENTES CONSTANTES

SLDIT

x[n] y[n]

0 0

[ ] [ ]N M

k

k m

m

y n x nk ma b

0 1 2[ ] [ 1] [ 2] ..... [ ]ka y n a y n a y n a y n k

0 1 2[ ] [ 1] [ 2] ..... [ ]kb x n b x n b x n b x n m

Ecuación en Diferencias

Condiciones iniciales: y(−1), y(−2), y(−3), . . . , y(-N).

Requiere: (1) factor de escala, (2) suma, (3) elementos de retardo.

SOLUCION DE LAS

ECUACIONES EN DIFERENCIAS

LINEALES CON

COEFICIENTES CONSTANTES.

SOLUCION DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS

LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

0 0

[ ] [ ]N M

k m

k m

a y n k b x n m

0 1 2[ ] [ 1] [ 2] ..... [ ]ka y n a y n a y n a y n k

0 1 2[ ] [ 1] [ 2] ..... [ ]kb x n b x n b x n b x n m

SOLUCION GENERAL • SOLUCION PARTICULAR [ ]py n

• SOLUCION ECUACION HOMOGENEA [ ]hy n

[[ ]] [ ] hpy nn yy n

Ecuación en Diferencias

METODO DIRECTO

El objetivo es determinar y[n] para n≥ 0, para una determinada entrada

x[n] para n≥ 0 y un conjunto de condiciones iniciales.

Suponiendo x[n]=0, se obtiene la ecuación de diferencias homogénea:

0

[ ] 0N

k h

k

a y n k

Asumiendo que la solución es exponencial:

yh[n]=λn

SOLUCION HOMOGENEA

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

……

Sustituyendo la solución tentativa, se obtiene la siguiente ecuación polinómica:

λn-N(λN+a1 λN-1 + a2 λ

N-2+………..+ aN-1 λn + aN )=0

Polinomio característico

Si las raíces son distintas, la solución general para la ecuación de diferencias homogénea es:

yh[n]=C1 λn+C2 λ

n +……………+CN λ nN

Donde C1, C2, …………CN son los coeficientes de ponderación.

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

…… SOLUCION PARTICULAR:

yp[n] es cualquier solución que cumple con lo siguiente:

Para solucionar, se supone para yp[n] una forma que depende de la forma

de x[n].

0

0 0

[ ] [ ] , 1N M

k p m

k m

a y n k b x n m a

A (constante) K

A Mn KMn

A nM K0 nM + K1 n

M-1 + ………..+ KM

An nM An (K0 nM +K1 n

M-1 + ……….. + KM)

AcosΩ0n

AsenΩ0n K1 AcosΩ0n + K2 AsenΩ0n

FORMA GENERAL DE SOLUCION PARA DIFERENTES SEÑALES DE ENTRADA

Señal de entrada Solución Particular

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

EJEMPLO I

Sea la siguiente ecuación de diferencias de un sistema discreto:

[ ] [ 1] [ ]y n ay n x n

[ ] [ 1] 0h hy n ay n

[ ] , nx n b b a Para: a) b) [ ] [ ], nx n b u n b a

Solución:

Caso a)

Solución Homogénea:

[ ] n

hy n A

1 0n nA aA

1(1 ) 0na 0

a

n

h Aany ][

Ensayando una solución

Sustituyendo

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

………….. Solución Particular:

[ ] n

py n Bb

n

p bab

bny

][

Ensayando una solución del mismo tipo que

Sustituyendo en la ecuación de diferencias

1n n nBb aBb b

bB

b a

Solución General: nn Aabab

bny

][

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

…… Caso b)

Solución Particular:

Ensayando la solución particular de la misma forma de la entrada:

Sustituyendo en la ecuación de diferencias:

La Solución

No satisface, para n=0 y por lo tanto no es solución para todo n.

bB

b a

Buscar otra solución particular, ensayando:

Reemplazando:

yp[n] =Bbnu[n]

Bbnu[n]- aBbn-1u[n-1]= bnu[n]

yp[n]=Bbnu[n]+Canu[n]

Bbnu[n]-aBbn-1u[n-1]+ (Canu[n]- aCan-1u[n-1])= bnu[n]

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

…… La igualdad se cumple para cualquier valor de n<0 debido a los

términos u[n].

Para n>0, el término en amarillo es nulo por que coincide con la

solución homogénea.

Luego para n>0 : ab

bB

La Solución General:

[ ] [ ] [ ]n n nb ay n b u n a u n Aa

b a a b

La ecuación en n=0, se reduce a: 1CB

ba

aBC

1

La Solución Homogénea: no hace falta por que no depende de la secuencia de entrada y esta ha sido determinada en el caso anterior

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

EJEMPLO II

Determinar la ecuación de diferencias del sistema de cálculo de la media

acumulativa de una señal x[n] en el intervalo 0 ≤ k ≤ n.

El cálculo de la media acummulada está definida por:

0

1[ ] [ ] 0,1,....

1

n

k

y n x k nn

Solución:

Se observa que el cálculo de y[n] requiere almacenamiento de todas las

muestras de x[k] en el intervalo de cálculo, osea para 0 ≤ k ≤ n.

Utilizando y[n-1] y reordenando y[n] obtenemos:

1

0

( 1) [ ] [ ] [ ] [ 1] [ ]n

k

n y n x k x n ny n x n

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

…… Osea la media acumulada se puede calcular en forma recursiva

multiplicando el valor anterior de la salida y[n-1] por n/(n+1), multiplicando

la entrada actual x[n] por 1/(n+1) y sumando los dos productos:

1[ ] [ 1] [ ]

1 1

ny n y n x n

n n

RETARDO DE UNA

MUESTRA

ATENUADOR

1/(n+1)

ATENUADOR

n

x[n] y[n] +

+

Diagrama de bloques de la forma recursiva del sistema cálculo de la media acumulada :

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

SOLUCION UTILIZANDO MATLAB

EJEMPLO III

Sea la siguiente ecuación de diferencias de un sistema discreto:

1[ ] [ 1] [ ], 0

2y n y n x n CI

[ ]x n nPara: a) b) [ ] cos8

x n n

Solución:

Caso a)

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

En forma analítica:

1

[ ]2

n

y n u n

……

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

% Ecuaciones en Diferencias lineales con coeficientes constantes

% Función FILTER

% Y = FILTER(B,A,X)

% Filtra los datos del vector X con los datos del filtro descritos por %

% los vectores A and B para crear los datos filtrados Y.

% La implementación de la ecuación en diferencia estandar:

%

% a(1)*y(n)+a(2)*y(n-1)+ ... +a(na+1)*y(n-na) =

% =b(1)*x(n)+b(2)*x(n-1)+ ... +b(nb+1)*x(n-nb)

%

% Si a(1) no es igual a 1, FILTER normaliza los coeficientes del filtro

% através de a(1).

%

% [Y,Zf] = FILTER(B,A,X,Ci)

%

% Da acceso a las condiciones iniciales y finales, Ci y Cf, de los

%retardos.

% Ci es un vector de longitud MAX(LENGTH(A),LENGTH(B))-1, o un arreglo

% de dimensiones de tamaño MAX(LENGTH(A),LENGTH(B))-1 y con el resto de

% las dimensiones que correspondan a X.

%

……

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

clear all;close all;clc;clf;

n=0:63;

% ------------------------------------------------

% y[n] - 0.5y[n-1] = x[n]

% -------------------------------------------------

A=[1 -0.5];

B=[1];

% Secuencia de entrada impulso unitario

x=[1 zeros(1,(length(n)-1))];

%

figure(1),

stem(n, x, 'b');grid;

xlabel('n');ylabel('x[n]');

% Condiciones iniciales

y1=0;

Ci=[y1];

% Aplicación de la función filter

y=filter(B, A, x, Ci);

% Gráfica de la señal de salida

figure(2),

stem(n,y,'r');grid;

xlabel('n'); ylabel('y[n]');

……

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

0 10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

x[n

]

0 10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ny[n

]

……

Sea la siguiente ecuación de diferencias de un sistema discreto:

1[ ] [ 1] [ ], 0

2y n y n x n CI

[ ]x n nPara: a) b) [ ] cos8

x n n

Solución:

Caso b)

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

En forma analítica:

1

[ ] 1.75cos 0.34172 8

n

y n n u n

……

Ecuación en Diferencias Solución de las Ecuaciones en Diferencias

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X= 16

Y= 1

n

x[n

]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

X= 17

Y= 1.7488

n

y[n

]

REPRESENTACIÓN EN

DIAGRAMA DE BLOQUES.

REPRESENTACION EN DIAGRAMA DE BLOQUES

Las ecuaciones en diferencias de los sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo pueden ser representados mediante un diagramas de bloques.

La ecuación en diferencias generalizada de los SDLIT:

Proporciona un algoritmo programable en un computador para calcular la respuesta de un sistema a una excitación dada.

0 0

[ ] [ ]N M

k m

k m

a y n k b x n m

Las operaciones requeridas para este cálculo son susceptibles de ser organizadas en combinaciones diferentes.

Ecuación en Diferencias Representación en Diagrama de Bloques

ELEMENTOS SIMBÓLICOS BÁSICOS

Z-1 x[n] y[n]=x[n-1]

x[n] a

y[n]=ax[n]

x1[n]

x2[n]

y[n]= x1[n]+ x2[n]

Ecuación en Diferencias Representación en Diagrama de Bloques

EJEMPLO III

(a) Diagrama de bloques de un sistema no recurrente:

Z-1

x[n] b0

b1

y[n]

x[n] y[n]

-a1

b0

Z-1

y[n]= b0 x[n]+b1 x[n-1]

(b) Diagrama de bloques de un sistema recurrente:

y[n]= b0 x[n]-a1 y[n-1]

Ecuación en Diferencias Representación en Diagrama de Bloques

ESTRUCTURA DE TIPO I

x[n] y[n] b0

Z-1

b1

Z-1

b2

Z-1

bp

bp-1

Z-1

-a1

Z-1

-a2

Z-1

-ap

-ap-1

0 1

[ ] [ ] [ ]P P

k k

k k

y n b x n k a y n k

Ecuación en Diferencias Representación en Diagrama de Bloques

ESTRUCTURA DE TIPO II

x[n] y[n] b0

Z-1

b1

Z-1

b2

Z-1

bp

bp-1

-a1

-a2

-ap

-ap-1

0 1

[ ] [ ] [ ]P P

k k

k k

y n b x n k a y n k

Ecuación en Diferencias Representación en Diagrama de Bloques

PROBLEMAS

PROBLEMAS

1.- Un sistema es descrito por la siguiente ecuación de diferencia:

y[n] + y[n - 2] = x[n] + 2x[n - 2]

(a) Encontrar la respuesta natural del sistema.

(b) Hallar la respuesta forzada cuando el sistema es excitada por x[n] = u[n]

2.- Determine la solución general de la ecuación de diferencias siguiente:

y[n] - y[n - 1] + 1/4 y[n - 2] = 2x[n - 1]

3.- Considerando que el sistema en estudio inicialmente se encuentra en reposo y descrito por la ecuación:

y[n] – (1/2)y[n - 1] = x[n]

Asumiendo que x[n] = δ[n], ¿cuál es el valor de y[0]?, ¿qué ecuación es satisfecha por h[n] para n ≥ 1, y con que condición auxiliar?. Resolver esta ecuación para obtener una expresión de forma cerrada para h[n].

4.- Determine la respuesta impulsional de los siguientes sistemas SLDIT causales descritos por las siguientes ecuaciones:

(a) y[n] – y[n - 2] = x[n]

(b) y[n] – y[n - 2] = x[n] + 2x[n - 1]

Ecuación en Diferencias Problemas

…….. 5.- Un crédito de s/. 100,000 será cancelada en cuotas mensuales iguales de k nuevos

soles. El interés mensual acordado con el banco se cargará a una tasa anual del 12% sobre lo no cancelado aún; por ejemplo, después del primer mes, la deuda total es igual a:

El problema es determinar el valor de k tal que después de un tiempo específico el crédito sea totalmente cancelado, dejando un balance neto de cero.

(a) Para resolver el problema, considerar que y[n] represente la deuda no cancelada justo después del enésimo pago mensual. Asumir que la cantidad principal se presta en el mes 0 y los pagos mensuales se inician en el mes 1. Demuestre que y[n] satisface la ecuación de diferencias pagada el justo después del enésimo pago mensual:

y[n] - αy[n - 1] = - k , para n ≥ 1

con la condición inicial: y[0] = S/.100,000

donde α es una constante que debe ser determinada.

(b) Resolver la ecuación de diferencias de (a) para determinar :

y[n] para n ≥ 0

(c ) Si el crédito debe ser pagado en 30 años, después de 360 pagos mensuales de k nuevos soles, calcule el valor apropiado de k .

(d) ¿Cuál es el pago total hecho al banco después del periodo de 30 años?

0.12/ .100,000 /100,000 / .101,000

12S S S

Ecuación en Diferencias Problemas

BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA

[1] A. V. Oppenheim, y R.W.Schafer, Capítulo 2: Señales y Sistemas en Tiempo Discreto, TRATAMIENTO DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO, 2.ª Edición, Editorial Prentice Hall, pp. 35-41, 2000.

[2] J. G. Proakis, y D. G. Manolakis, Capítulo 1: Introducción, TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES, 3.ª Edición, Editorial Prentice Hall, pp. 95-118, 2000.

Ecuación en Diferencias

Fin del Capítulo V

Ecuación en Diferencias