pau mcsii castilla-la mancha junio 2010
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Solución al 1-A
BAXBXABAXXBAXAXXAXBAXX 1)3()3(32323
Cuando exista la inversa de 3+A la ecuación tiene solución. En el caso particular pedido:
51
15
24
1
51
15
51
15
12
123
1
. Luego hay inversa y por tanto solución:
012
111
149
543
51
151
X
Solución al 2-A
Cuando la derivada es positiva la función es creciente, cuando negativa decreciente. Si la derivada
primera es nula y en ese punto la segunda es positiva, la función tiene un mínimo y si es negativa un
máximo.
absoluta máxima altura 5, instante elen Altura 22)5(
vuelodel Comienzo cero. instante elen Altura 2)0(
m 2 segundos 3 los2)A (3,en relativo Mínimo 06)3(''
(1,6)f(1)) (1,en relativo Máximo 06)1(''126)(''
decrece. 3) , (1En crece.5) , (3y )1,0(En )3)(1(39123)(' 2
mf
mf
f
fxxf
xxxxxf
Solución al 3-A
Tipo Básico Lujo
Número Y X
Precio unidad 300 1000
Restricciones 0<=Y<=50
y>=2x
x>=10
x e y enteros
Coste 300y+1000x<=28000 Maximizar y+x
La región factible es la sombreada. El número de ordenadores básicos que debemos fabricar es 35 y el
de ordenadores de lujo 17. Con ello no agotamos el presupuesto, nos sobran 500 €
Para encontrar este punto desplazamos la recta y+x=k sin que se salga de la región factible
(aumentamos k). Cuando k=52 está dentro. Cuando k=53 está fuera
Solución al 4-A
Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:
1·· 2/2/n
zxn
zxP , donde 1- es el nivel de confianza (0,97 en nuestro
caso). x la media de la muestra, ahora 40; la desviación típica, ahora 10; n el tamaño de la muestra,
36.
)985,0015,01( que ya17,2015,02/03,097,01 2/z .Ver tabla
Luego el intervalo pedido es:
62,43,38,366
1017,240,
6
1017,240·,· 2/2/
nzx
nzx
Podemos asegurar, con un nivel de confianza del 97 % que la duración media de uno cualquiera de
esos componentes electrónicos estará entre 36,38 y 43,62 horas.
Si quisiéramos un intervalo de confianza más estrecho manteniendo el nivel de confianza deberíamos
aumentar el tamaño de la muestra, porque el radio del intervalo es menor cuanto mayor sea n, ya que
n figura en el denominador.
Cuando sea más grande (el nivel de confianza más pequeño) también disminuye el intervalo, porque
2/z es más pequeño
Solución al 1-B
El planteamiento y resolución del sistema sería como sigue (tenemos en cuenta que en toda división,
el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto):
6
19196
1724
1
1724
1726
17
172
3
yyry
ry
ry
ryry
ryx
ryx
ryx
3
35
6
3217
6
13
6
1917;
6
131
6
19xr . La pega es que las soluciones no son números
enteros y en la definición de fracción el numerador y denominador son números enteros.
Solución al 2-B
La función se compone de tres trozos de parábolas sencillas. Su gráfica es como sigue:
A la vista de la gráfica, podemos asegurar que no es continua en -1 y tampoco en 1.
En -1 el límite por la izquierda es 1 y el límite por la derecha 3. En 1 el límite por la izquierda es 3 y el
límite por la derecha 1. No coinciden los límites luego no es continua
En cuanto a extremos relativos, tiene un mínimo en x=0 que vale 2, ya que en un entorno de 0 vale
más de 2 a ambos lados. También tiene un máximo absoluto en x=1 que vale 3 y un mínimo absoluto
en x=-1 que vale 1 (para calcular el valor en x=-1 se emplea el primer tramo)
Solución al 3-B
Llamemos P al suceso “elegir un paquete pequeño” y G al suceso “elegir un paquete grande”.
Entonces, el suceso R “que se rompa un paquete” es )()( RGRPR . Como los sucesos
)()( RGyRP son incompatibles )()()( RGpRPpRp . Si tenemos en cuenta la
probabilidad condicionada y los datos:
016,010000
160
100
40·
100
1
100
60·
100
2)()/()()·/()()()( GpGRpPpPRpRGpRPpRp
El 1,6% de los paquetes se romperán.
También nos piden )/( RGp .
Volvemos a la probabilidad condicionada 25,04
1
160
40
)(
)()/(
Rp
RGpRGp .
La probabilidad de que no se rompa un paquete pequeño es 1 menos la de que sí se rompa:
98,0100
98
100
21)/(1)/( PRpPRp .
Si queremos saber la probabilidad de que enviando dos no se rompa ninguno, se trata de sucesos
repetidos y la probabilidad es el producto: 0,982 = 0,9604
Solución al 4-B
Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:
1·· 2/2/n
zxn
zxP , donde 1- es el nivel de confianza (0,978 en nuestro
caso). x la media de la muestra, ahora 7,5; la desviación típica, ahora 1; n el tamaño de la muestra,
100.
)989,0011,01( que ya29,2011,02/022,0978,01 2/z .
Ver tabla de la normal tipificada más arriba.
Luego el intervalo pedido es:
729,7,271,710
129,25,7,
10
129,25,7·,· 2/2/
nzx
nzx
Podemos asegurar, con un nivel de confianza del 97,8 % que la puntuación media estará entre 7,271 y
7,729.
Si los vecinos encuestados hubiesen sido elegidos en el horario 10 a 14 el intervalo no sería válido
porque la elección no es aleatoria en el tiempo. Esta forma de hacer la encuesta excluiría a cierto tipo
de vecinos y no representaría bien a la comunidad vecinal.
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