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134 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano
1.2 55 72 55 10 63 72 8 10 9 0,8 0,9P X P U P U P U
0,9 0,8 0,9 1 0,8 0,9 1 0,8 0,604
544900604,0 pessoas
1.3 80 10 63 80 10 17 1,7P X P U P U P U
1 0,9554 0,0446
409000446,0 pessoas
Atividade 2 95) Trabalho de pesquisa
202) 1. Exemplos de fenómenos aleatórios: saber o número da lotaria do Natal, saber o vencedor do
campeonato do mundo de futebol, saber o sexo do próximo membro da família. Exemplos de fenómenos determinísticos: contar o número de dias do mês de janeiro, contar o número de dias da semana, colocar a mão no lume.
2. A, B e G 3.1 1 2 3 1 2 1, , , , , B B B A A V
3.2 «Sair uma bola branca, azul ou vermelha» 3.3 «Sair uma bola amarela» 3.4 «Sair uma bola vermelha» 4.1 , , , , , , , N E N N E E E N
E (N, E) E (E, E) N E N (N, N) N (E, N)
4.2 «Sair a face nacional em ambas as moedas» 4.3 , , , A N E E N
, , , , , B E E E N N E
, , , , , C N E E N N N
5.1 CBA A ocorre e B e C não ocorrem.
5.2 CBACBACBA Ocorre A ou B ou C.
5.3 CBA Definição de interseção de acontecimentos. 5.4 CBA Definição de reunião de acontecimentos.
5.5 CBACBACBA Os dois acontecimentos que ocorrem podem ser A e B, A e C ou B e C.
Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 135
5.6 CBACBACBACBACBACBADois acontecimentos ocorrerem é, no máximo, ocorrerem um ou dois acontecimentos.
5.7 CBA Nenhum acontecimento ocorrer é não ocorrer A, nem B, nem C.
6.1 1, 2, 3 , 1, 3, 2 , 2, 1, 3 , 2, 3, 1 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1
6.2 2, 1, 3 , 2, 3, 1A
2, 3, 1 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1B 6.2.1 (2, 3, 1)A B
6.2.2 2, 1, 3 , 2, 3, 1 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1A B
6.2.3 (2, 1, 3)A B
6.2.4 1, 2, 3 , 1, 3, 2 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1 2, 3, 1 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1A B 1, 2, 3 , 1, 3, 2 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1 , 2, 3, 1
6.2.5 (3, 1, 2), (3, 2, 1),B A
6.2.6 2, 1, 3 , 2, 3, 1 , 3, 1, 2 , 3, 2, 1 1, 2, 3 , 1, 3, 2A B A B
6.2.7 AA B A B A A A B
7.
703040 205070 interseção
8.1 P («sair ás vermelho») %5201
402
8.2 P («sair dama de ouros») %5,2401
8.3 «Sair carta vermelha» Como existem 20 cartas vermelhas,
P («sair carta vermelha») %5021
4020
C C Total
P 20 20 40
P 10 50 60
Total 30 70 100
136 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano
9. Sejam os acontecimentos: P: «incluir pão» e L: «incluir leite»
41
%9%45
PLP
PLPLP
9.1
P P Total
L 9% 36% 45%
L 30% 25% 55%
Total 39% 61% 100%
%39PP
9.2 Considerando os acontecimentos: A: «ser rapariga» e B: «ser rapaz» Sabe-se que:
%60AP
Logo, %40BP
%5,37| BPLP
Queremos determinar: PLAP
15,04,0375,0375,0 BPLPBPLPBP
BPLP
Sabe-se que:
%25PLP
Logo, 101%10PLAP
10. O número total de votantes foi: 13 442 8723 6033 1120 1258 30 576 Se a abstenção foi de 36%, então 30 576 corresponde a 64%.
Ou seja, o número total de inscritos é: 30 576 47 7750,64
A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter votado no partido A é: 13 442 28%47 775
P
Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 137
11. Escolhendo ao acaso, um a seguir ao outro, a probabilidade de ambos serem jogadores de râguebi é dada por:
%8,6730190
731191P
12. O número de casos possíveis é: 623 O número de casos favoráveis é 4. F1 F2 C ; F2 F1 C ; C F1 F2 ; C F2 F1
Logo, 32P
13. 10 10 26 26 10 10 6 760 000
14.1 41010101010 Existem dez algarismos para cada um dos quatro dígitos. 14.2 _ _ _ _
111010 Para ser capicua, o primeiro dígito tem de ser igual ao último e o segundo igual ao penúltimo. Assim, existem 100111010 códigos que são capicuas.
14.3 Se os números são diferentes, temos: 504078910 códigos diferentes
14.4 0 _ _ 0 1010
Para o primeiro e para o último dígito, só temos uma hipótese. Para os restantes dígitos, temos dez hipóteses para cada um.
15.1 Existem quatro damas no baralho. Como as cartas são retiradas sucessivamente e sem
reposição, existem 1234 maneiras 15.2 Existem quatro naipes diferentes com 13 cartas cada.
2028341313 15.3 62412134 15.4 Rc _ ou _Rc
511 151 102 16.1 _ _ _ _ _
12502525555 4 16.2 1 _ _ _ 5 125555 16.3 12012345
17.1.1 45 44 198( 15,3) 50 49 245P comprimento
138 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano
17.1.2 989
4950545P
17.2 10081
50504545P
1009
5050545P
18.1.1 %91,592221222217191720P
18.1.2 %96,522212222
1720171P
18.2.1 %1061,522182219222022212222
156120172055171 4P
18.2.2 %03,022182219222022212222
17191720169170171P
19.1 Se retirarmos do monte A, a probabilidade de serem as duas de copas será:
566
72
83P
Se retirarmos do monte B, a probabilidade de serem as duas de copas será:
5620
74
85P
Então, a probabilidade pedida é dada por:
5613
5620
21
566
21P
19.2 Se retirarmos do monte A:
28152
73
85P
Se retirarmos do monte B:
28152
75
83P
Logo, 2815
2815
21
2815
21P
20.1 R R ou A A ou V V
2511
51
51
51
51
53
53P
20.2 V _ A primeira tem de ser vermelha e segunda pode ser de qualquer cor.
51
55
51P
20.3 A R ou R A
2562
53
51P
Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 139
21.
21.1 %5040002000P
21.2 2000 1000 3000 6000 3 60%10 000 10 000 5
P
21.3 %4010004000P
22.1 83
16,006,0|
RhPRhOPRhOP
22.2 4639
46,039,0|
APARhPARhP
23. Seja:
A: «autoavaliaram-se com nível 1» B: «autoavaliaram-se com nível superior a 1» C: «ser português»
Sabe-se que: %20| ACP e %5| BCP
Pretende-se calcular CAP | :
02,01,02,02,0 ACPACPAP
ACP
045,09,005,005,0 BCPBCPBP
BCP
Número de portugueses que declararam não saber nada: 0,02 15 800 316
Número de portugueses que se autoavaliaram com nível superior a 1: 0,045 15 800 711
Assim, podemos concluir que existem 1027711316 portugueses na amostra. A probabilidade pedida é:
%311027316| CAP
140 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano
24. Consideremos os acontecimentos: A: «o atleta beber água no posto A» D: «o atleta beber água no posto D» Sabe-se que:
109| ADP e
53ADP
Pretende-se calcular P(A):
32
10953
109
109| APAP
APADPADP
25. Consideremos os acontecimentos: A: «ser rapariga» L: «ser loira» C: «ter cabelo castanho» T: «ter cabelo preto» Sabe-se que:
%60AP , %25| ALP , %50| ACP e %25| ATP
%40AP , %5,12| ALP , %50| ACP e %5,37| ATP
25.1 | |P L P L A P L A P L A P A P L A P A
0,25 0,6 0,125 0,4 0,2 20%
25.2 %505,04,0375,06,025,0
6,025,0||ATPATP
APATPTP
TAPTAP
26. Consideremos os acontecimentos:
T: «o período de capitalização é 3 meses» S: «o período de capitalização é 6 meses» R: «obter rendimento» Sabe-se que:
%76| TRP e %92| SRP
52TP e
53SP
Pretende-se calcular RTP | :
304,05276,076,076,0| TRPTRP
TPTRPTRP
552,05392,092,092,0| SRPSRP
SPSRPSRP
10738
5392,0
5276,0
304,0304,0|SRPTRPRP
RTPRTP
Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 141
27. Consideremos os acontecimentos: A: «ser da fábrica Alfa» B: «ser da fábrica Beta» N: «destinar-se ao mercado nacional» Sabe-se que:
31| ANP e
41| BNP
Pretende-se calcular :| NAP
74
415,0
315,0
315,0
|NBPNAP
NAPNP
NAPNAP
28.1 Sabe-se que:
05,0AP ; 7,0BP e 25,0CP
3,0| AVP ; 4,0| BVP e 5,0| CVP
Tem-se que:
| 0,3 0,3 0,3 0,05 0,015P V A
P V A P V A P V AP A
28,07,04,04,04,0| BVPBVPBP
BVPBVP
125,05,025,05,05,0| CVPCVPCP
CVPAVP
Podemos agora preencher a tabela:
A B C Total
V 0,015 0,28 0,125 0,42
V 0,035 0,42 0,125 0,58
Total 0,05 0,70 0,25 1
28.2 Sabe-se que:
0,72P B e 0,28P C
| |0,4 0,72 0,5 0,28 0,428 42,8%
P V P V B P V C P V B P B P V C P C
142 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano
29. Consideremos os acontecimentos: A: «ser da caixa A» B: «ser da caixa B» D: «ter defeito» Sabe-se que:
7| 20P D A e 4 1| 12 3P D B
29.1 Consideremos os acontecimentos: DA: «tirar lápis com defeito da caixa A» DB: «tirar lápis com defeito da caixa B» DA e DB são acontecimentos independentes, logo:
B BA A7 4 720 12 60
P D D P D P D
29.2 B B B BA A A A7 8 13 4 920 12 20 12 20
P D D D D P D P D P D P D
30.1 9514
197
208P
30.2
MB
MB
MB , , MB MB MB
MB , , MB MB MB
MB
MB , , MB MB MB
MB
MB
MB
MB , , MB MB MB
MB
MB MB
MB
Pelo menos dois estarem muito bons é equivalente a dizer que apenas dois estão MB ou estão os três MB.
MB MB MB 8 7 12 320 19 18
MB MB MB 8 7 620 19 18
Então, 8 7 12 8 7 6 98320 19 18 20 19 18 285P
Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 143
31. Para verificar se H e D são independentes, temos de averiguar a veracidade de:
DPHPDHP
68750
55561310351232250DHP
1145478
55561310351232250255411518HP
22937
3435555
55561310351232250305DP
478 37 17 6861145 229 262 205
P H P D
Então, DPHPDHP , logo, podemos concluir que os acontecimentos H e D não
são independentes.
32. Consideremos os acontecimentos: A: «ter a doença A» B: «ter a doença B» C: «ter a doença C» D: «sair curado» Sabe-se que:
%20AP ; %30BP ; %50CP ; %10| ADP ; %70| BDP
e %50| CDP
32.1 %70| BDP
32.2 | | |P D P D A P A P D B P B P D C P C
0,1 0,2 0,7 0,3 0,5 0,5 0, 48 48%
32.3 | 0,5 0,5 25| 52%0,48 0,48 48
P D C P CP C DP C D P D
33. Consideremos os acontecimentos:
A: «ser da máquina A» B: «ser da máquina B» C: «ser da máquina C» D: «ser defeituosa» Sabe-se que:
%15AP , %5| ADP , %45BP , %3| BDP e %10| CDP
%1,6061,045,015,011,045,003,015,005,0||| CPCDPBPBDPAPADP
CDPBDPADPDP
144 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano
34. Consideremos os acontecimentos: A: «ser do parque A» B: «ser do parque B» C: «ser do parque C» D: «produzir cerâmica» Sabe-se que:
%10| ADP , %40| BDP e %25| CDP
%2525,03125,0
314,0
311,0
||| CPCDPBPBDPAPADPDP
35.1 Consideremos a tabela com os resultados possíveis da soma das pontuações das faces dos
dados: Dado 1
1 2 3 4 5 6
Dado
2
1 2 3 4
6 7
2 3 4
6 7 8
3 4
6 7 8 9
4
6 7 8 9
5 6 7 8 9
11
6 7 8 9
11 12
A probabilidade de a soma das faces dos dados ser um múltiplo de 5 é 367 .
Logo, a probabilidade de a Vanda vir a selecionar o primeiro livro para ler da estante que só
tem romances de ficção científica é 367 .
35.2 X pode tomar os seguintes valores: X = 0 Não são selecionados livros policiais. X = 1 É selecionado um livro policial. X = 2 São selecionados dois livros policiais.
20 19 38035 34 119
P X (A, A)
15 20 20 15 60135 34 35 34 119
P X (P, A) ou (A, P)
15 14 21235 34 119
P X (P, P)
5
5
5
5 10
10
10
Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 145
Tabela de distribuição de probabilidades:
ix 0 1 2
iP X = x 38
119 60
119 21
119
36. Consideremos os acontecimentos:
A: «ver a publicidade» B: «comprar o perfume»
Tem-se que: %75AP , %45BP e %20BAP
36.1 Com os dados, podemos preencher a tabela:
A A Total
B 40% 5% 45%
B 35% 20% 55%
Total 75% 25% 100%
Queremos calcular 5%P B A
36.2 0,4 8| 0,75 15P B A
P B AP A
37.1 Consideremos os acontecimentos:
R: «utilizaram o transporte rodoviário» A: «utilizaram o transporte aéreo»
Sabe-se que: %87RP e %45AP
1324587 , logo, 32% utilizaram ambos os meios de transporte. Então, a probabilidade pedida é:
%68%13%55RAPARP
146 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano
37.2 Além dos acontecimentos A e R considerados na alínea anterior, consideremos também: Z: «entregues dentro do prazo»
Sabe-se que: %78RP , %8,77ZP e %80| RZP
Pretende-se calcular ZAP | :
R
Z 624,08,078,0 RZPRZP
Z 156,02,078,0 ZRPZRP
A
Z aAZP 22,0
Z aAZP 122,0
Então, 7,022,0624,0778,0 aaAZPRZPZP
Queremos calcular ZAP | :
0,22 0,7| 20%0,778P A Z
P A Z P Z
37.3 %80RP
Em dois dos três serviços, utilizou-se o transporte rodoviário, logo: R R ou ou Ou seja:
%4,38384,02,08,08,03P
38.1 0,2 0,3 0,4 4 1 4 1 0,2 0,3 0,4 4 0,1P X P X P X
38.2 8204,0 Oito alunos leram três livros nas férias.
38.3 2 3 4 0,4 0,1 0,5 50%P X P X P X
39. Sabe-se que 1 0,995P X Ou seja:
45,00995120,0425,0 bb
005,01120,045,0425,0 aa 40. X pode tomar os seguintes valores:
X = 0 Não há bolas amarelas, ou seja, são todas vermelhas. X = 1 Existe uma bola amarela e três vermelhas. X = 2 Existem duas bolas amarelas e duas vermelhas. X = 3 Existem três bolas amarelas e uma vermelha. X = 4 Todas as bolas são amarelas.
Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 147
4 3 2 1 24 1010 9 8 7 5040 210
P X
6 4 3 2 41 410 9 8 7 35
P X AVVV
6 5 4 3 32 610 9 8 7 7
P X AVAV, AAVV, AVVA, VAAV, VAVA, VVAA
6 5 4 4 83 410 9 8 7 21
P X AAAV
6 5 4 3 1410 9 8 7 14
P X AAAA
ix 0 1 2 3 4
iP X = x 2101
354
73
218
141
41. X pode tomar os valores 0, 1, 2, 3 e 4.
Considerando que a probabiliadde de ter um filho rapaz é 21 , tem-se que:
1 1 1 1 10 2 2 2 2 16P X Serem todas raparigas
1 1 1 1 11 42 2 2 2 4P X Um rapaz
41 32 62 8P X Dois rapazes
41 13 42 4P X Três rapazes
41 14 2 16P X
ix 0 1 2 3 4
iP X = x 161
41
83
41
161
42. X pode tomar os valores 0, 1 e 2.
150 1490 0,56200 199
P X
50 150 150 501 0,38200 199 200 199
P X
50 492 0,06200 199
P X
148 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano
ix 0 1 2
iP X = x 0,56 0,38 0,06
43.1 X pode tomar os valores 0, 1 e 2. 103
P X A primeira bola é azul.
2 1 113 2 3
P X A primeira bola é verde e a segunda é azul.
2 1 12 13 2 3
P X A primeira bola e a segunda são verdes.
ix 0 1 2
iP X = x31
31
31
43.2 1312
311
310
2 2 21 1 1 1 1 2var 0 1 1 1 2 1 03 3 3 3 3 3
X
44.1 284188
188
1 bbbbbb
188210841
8102
83
82
833
41
825
8123
82
8121
41
aaaaaaa
aaaa
44.2 Consideremos a tabela para 1a e 2b
ix –2 –1 2 4
iP 83
41
81
41
2 2 2 23 1 1 1 1 1 1 1var 2 1 2 4 6,1888 4 4 4 8 4 4 4
X
44.3.1 14 25%4
P X
44.3.2 11 3 2 12,5%8
P X P X
*No início da tabela, devemos considerar "a-1" em vez de "a-2" (engano)
Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 149
45. Modelo de Poisson com 5 45.1 Como E X , então, o número esperado de camiões a chegar, por dia, ao armazém é 5.
45.2.1 2
5 52 0,0842!P X e
45.2.2
0 2 3 4 55 5 5 5 5 5
2 3 4 55
5 1 5 1 0 1 2 3 4 55 5 5 5 5 51 0! 1! 2! 3! 4! 5!
5 5 5 51 1 5 0,382! 3! 4! 5!
P X P X P X P X P X P X P X P X
e e e e e e
e
45.2.3 5 357
Trata-se de uma variável aleatória: 7Y X O modelo a utilizar é:
35 35!k
P Y k e k Logo:
3035 3530 0,0530!P Y e
46.1 Sabe-se que 2E X
Como estamos perante um modelo de Poisson, tem-se que: 2 0
2 21 1 1 1 0 1 0,860!P X P X P X e
46.2 3
2 23 0,183!P X e
46.3 4 1 4 1 0 1 2 3 4P X P X P X P X P X P X P X
0 2 3 42 2 2 2 22 2 2 21 2
0! 2! 3! 4!e e e e e
2 4 8 161 1 2 0,0532! 3! 4!
e
46.4 7Y X , logo, o modelo será:
14 14!k
P Y k e k
28 1 28 1 0,9997 0,0003P Y P Y
47. Entrar apenas à terceira tentativa significa que não entrou nas duas primeiras. Em cada
tentativa, a probabilidade de entrar é 0,8, sendo que a probabilidade de não entrar é 0,2. Então,
a probabilidade pedida é dada por: 23 0,2 0,8 0,032P X
150 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano
48.1 002,0%2,0pO primeiro televisor a apresentar uma deficiência de fabrico ser o quinto significa que os quatro primeiros não tinham nenhuma deficiência. Então:
45 1 0,002 0,002 0,002P X
48.2 1E X p
Logo: 1 5000,002E X E X
Portanto, o número médio de televisores a inspecionar até aparecer o primeiro com alguma anomalia é 500.
49. %2p 30nSeja X a variável: «ser defeituoso»
49.1.1 0 3030!0 0,02 0,98 0,550!30!P X
49.1.2 2930!1 1 1 1 0 1 1 0,55 0,02 0,98 0,1229!
P X P X P X P X
49.1.3 3 0,9971 99,71%P X calculadora
49.2 5 3,5%P X
53035,098,002,0!5!5
! 55 nnn n
50.1 1 50 25,52E X E X
50.2.1 9 0 80 9 0,1850 1 49P X
50.2.2 30 030 1 30 1 0 30 1 0,6150 1P X P X P X
50.2.3 44 2121 44 0,4750 1P X
51. [0, 4]
51.1 0 4 22E X
O número médio de horas de estudo por dia é 2 horas.
51.2 0,5 00 0,5 0,1254P X
51.3 5 0 15 1 5 1 0 5 1 4 4P X P X P X Impossível
Logo, a probabilidade é zero.
51.4 3,5 22 3,5 0,3754 0P X
9/49=0.18
P=(50-30)/(50-1)=0.41
P=(45-20)/(50-1) = 0.51
Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano 151
52. 1,0
52.1 1 100,1E X
52.2.1 0 0,44 1 4 1 0 4 1 0,67P X P X P X e e
52.2.2 0,6 0,96 9 0,14P X e e
53. 1E X
Logo: 111
53.1 0 3,53,5 0 3,5 0,97P X P X e e
53.2 0 22 1 2 1 0 2 1 0,135P X P X P X e e 54. 600 50 54.1 Usando a calculadora, obtemos:
530 680 0,8644P X
Logo, existem 0,8644 4000 3458 indivíduos, aproximadamente.
54.2 480 0,0082P X
740 1 740 1 0,997445 0,0026P X P X
55.1 2var 625 mmX Logo: var 25X
400 0,1P X , 25N
400400 25 400 25X U U
254001
25400 UPUP
Logo: 400 4000,9 0,9 368 mm
25 25P U
55.2 369 0,484P X
38728000484,0 56.1 Sabe-se que 21 e 4 .
Se o André sair de casa às 8h01, só chegará atrasado se a duração da viagem for superior a 29 minutos.
100% 2 229 2 2
100% 95,45% 2,275%2
P XP X P X
A probabilidade de o André chegar atrasado é de 2,28%.
152 Editável e fotocopiável © Texto | MACS 11.o ano
56.2 A probabilidade de o pai do André usar o percurso alternativo é dada por: 100%
25 2100% 68,27% 15,865%2
P XP X P X
Representando por A o acontecimento «usar o percurso alternativo», temos os seguintes casos:
, ou Logo, a probabilidade de, em três dias consecutivos, o pai do André usar o percurso alternativo em apenas dois é dada por:
06353,0315865,0115865,015865,0P
Ou seja, a probabilidade é de 6%.
57. Pretende-se determinar 14,1 18,2P X .
Como esta probabilidade é equivalente a 2P X , a probabilidade pedida é
%59,132
27,6845,95P
58. 95,45%2 50% 2,275%2P X
A probabilidade de o gasto em portagens, num determinado dia, ser superior a 2 é de 2,275%.
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