navodila za izdelavo diplomskega dela - core
Post on 14-Nov-2021
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO
Andrej Gril
VERIFIKACIJA RAZLIČNIH MODELOV
STAVB ZA ANALIZO NIHAJNIH ČASOV
GLEDE NA ŠTEVILO ETAŽ
Diplomsko delo
Maribor, maj 2013
I
Diplomsko delo visokošolskega študijskega programa
VERIFIKACIJA RAZLIČNIH MODELOV STAVB ZA ANALIZO NIHAJNIH
ČASOV GLEDE NA ŠTEVILO ETAŽ
Študent: Andrej GRIL
Vpisna številka: 93564394
Študijski program: Gradbeništvo, visokošolski
Smer: Operativno-konstrukcijska
Mentor: izr.prof.dr.Matjaž SKRINAR
Maribor, maj 2013
II
III
ZAHVALA
Zahvaljujem se mentorju dr. Matjažu Skrinarju
za pomoč in vodenje pri opravljanju
diplomskega dela.
Posebna zahvala velja staršem, ki so mi
omogočili študij.
IV
VERIFIKACIJA RAZLIČNIH MODELOV STAVB ZA ANALIZO NIHAJNIH
ČASOV GLEDE NA ŠTEVILO ETAŽ
Ključne besede: gradbeništvo, diplomsko delo, potresna analiza, okvirna konstrukcija,
nihajni čas
UDK: 624.131.55(043.2)
Povzetek
Pri potresni analizi konstrukcij se lahko uporabljajo različni modeli in metode, s
katerimi lahko analiziramo obnašanje konstrukcije. Glede na stopnjo pravilnosti
konstrukcije je tudi predpisana izbira računskega modela in metode, ki se uporabita za
izvedbo potresne analize. Namen diplomskega dela je bilo opazovanje obnašanja
različnih ravninskih modelov konstrukcij glede na število etaž konstrukcije. Zato smo v
diplomskem delu uporabili konstrukcijo iz strokovnega članka, za katero smo izračunali
pomike in nihajne čase. Glede na to, da je konstrukcija tlorisno pravilna in po višini
tudi smo lahko uporabili dva modela po Buchholdtu, dve metodi iz Slovenski standard
SIST EN 1998-1 in računalniški program Tower 7. V zaključku smo izvedli primerjavo
dobljenih pomikov in nihajnih časov, ter na osnovi izračunanih vrednosti podali
komentarje posameznih modelov.
V
VERIFICATION OF DIFFERENT STRUCTURAL MODELS FOR
EIGENPERIODS ANALYSIS REGARDING THE NUMBER OF
STOREYS
Key words: civil engineering, graduate work, seismic analysis, frame system
constraction, vibration period
UDK: 624.131.55(043.2)
Abstract
In the seismic analysis of structures, various models and methods can be used in order
to analyse the behaviour of the structure. Selection of the calculation model and the
methods used for the seismic analysis are prescribed according to the degree of
accuracy of the structure. The aim of the thesis was observation of the behaviour of
different models of planar structures depending on the number of floors of the structure.
Therefore, for my thesis I used the structure from a technical article, for which I
calculated the displacements and swing era. Since the ground plan and the height are
correct, I could use the two models by Buchholdt, two methods of Slovenian standard
SIST EN 1998-1 and the computer program Tower 7. In conclusion, the resulting
displacement and swing times were compared and individual models were commented
on the basis of the calculated values.
VI
VSEBINA
1 UVOD ...................................................................................................................... 1
1.1 SPLOŠNO O PODROČJU DIPLOMSKEGA DELA ....................................................... 1
1.2 NAMEN IN CILJ DIPLOMSKE NALOGE .................................................................. 2
1.3 SPLOŠNO O POTRESU .......................................................................................... 2
1.4 DOLOČITEV POTRESNEGA VPLIVA PO RAZLIČNIH MODELIH IN METODAH ........... 4
2 OPIS OBRAVNAVANE KONSTRUKCIJE ....................................................... 7
3 IZRAČUN POMIKOV IN NIHAJNIH ČASOV KONSTRUKCIJE: ............ 10
3.1 TLORISNA PRAVILNOST ZA PRITLIČNO ETAŽO .................................................. 10
3.2 IZRAČUN KONSTRUKCIJE Z ENO ETAŽO .............................................. 14
3.3 IZRAČUN KONSTRUKCIJE Z DVEMA ETAŽAMA: ................................ 22
3.4 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S TREMI ETAŽAMI: ................................... 32
3.5 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S ŠTIRIMI ETAŽAMI: ................................ 43
3.6 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S PETIMI ETAŽAMI: ................................... 54
4 PRIMERJAVA POMIKOV IN NIHAJNIH ČASOV KONSTRUKCIJ......... 67
4.1 DISKUSIJA REZULTATOV ......................................................................... 71
5 ZAKLJUČEK ....................................................................................................... 73
6 LITERATURA ..................................................................................................... 74
7 PRILOGE .............................................................................................................. 75
7.1 KAZALO SLIK ................................................................................................... 75
7.2 KAZALO TABEL ................................................................................................ 76
7.3 NASLOV ŠTUDENTA ......................................................................................... 76
7.4 KRATEK ŽIVLJENJEPIS...................................................................................... 77
VII
UPORABLJENI SIMBOLI
B - širina
E - elastični modul kostrukcije
Fb - potresna sila
H - višina
I - vztrajnostni moment
In - vstrajnostni moment stebra nosilca
Is - vstrajnostni moment stebra nosilca
L - dolžina
M - magnituda žariščne cone
Metaže - masa etaže
Pi - horizontalna sila
i - redukcijski faktor etaže
T - nihajni čas
- kinetična energija mas
- potencialna energija
a - širina profila HOP
- pospešek tal
b - višina profila HOP
- hitrost longitudinalnih valov
- hitrosti transverzalnih valov
di - vodoravni pomik
eox - razdalja med središčem togosti in masnim središčem
VIII
- zemeljskim pospešek
h - višina konstrukcije
ki - togost
ls - vztrajnostni polmer mase
- masa posamezne etaže
ri - polmer
rx - kvadratni koren razmerja med torzijsko in translacijsko togostjo
t - debelina profila HOP
- center togosti v x-smeri
xi - pomik
- masno središče v x-smeri
- center togosti v y-smeri
- masno središče v y-smeri
- vitkost
- lastna frekvenca
- krožna frekvenca
IX
UPORABLJENE KRATICE
CAD - Computer Aided Design
EN - evropski standard
SIST - Slovenski inštitut za standardizacijo
RF - Redukcijski faktor
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 1
1 UVOD
1.1 Splošno o področju diplomskega dela
Potresne sile spadajo med vplive, za katere ni mogoče jasno napovedati, ali bodo delovale
na konstrukcijo v obdobju, v katerem bo služila svojemu namenu. Kljub temu jih ne
smemo zanemariti in jih zaradi morebitnega uničujočega učinka potresov upoštevamo pri
projektiranju.
Vpliv potresnih sil je praviloma bistveno večji v vodoravni smeri kot v navpični smeri, kar
še poudari zahtevo po upoštevanju potresnih vplivov pri projektiranju. V horizontalni
smeri je namreč nosilnost gradbenih konstrukcij na nepotresno obtežbo, ki deluje v
vodoravni smeri, običajno bistveno manjša kot nosilnost, potrebna za zagotovitev
prevzema potresnih sil. Tako bi, če pri projektiranju konstrukcij delovanja potresnih sil ne
bi upoštevali, prevzeli tveganje, da se bodo gradbeni objekti med potresom močno
poškodovali ali celo porušili.
Velikost potresnih sil na konstrukcijo je odvisna od različnih parametrov, med ostalim tudi
od potresne aktivnosti območja, kjer se bo objekt nahajal. S pravilno zasnovo objekta pri
projektiranju lahko bistveno prispevamo k temu, da lažje ocenimo njegovo obnašanje med
delovanjem potresnega vpliva in s tem zmanjšamo negativne vplive potresa na
konstrukcijo. Da se zagotovi kar najbolj direktni prenos potresne obtežbe, se priporoča, da
so konstrukcije tako po svoji tlorisni zasnovi kot po višini kar se da pravilne. Glede na
stopnjo pravilnosti konstrukcije je tudi predpisana natančnost (uporaba računske metode),
ki je potrebna za analizo potresne odpornosti. Bolj kot je konstrukcija pravilna in
enostavna, bolj jasen in direkten je prenos potresne obtežbe po konstrukciji, in
enostavnejša sta lahko računska model kot tudi računska metoda za analizo konstrukcije.
Ker je mogoče v strokovni literaturi zaslediti različne poenostavljene modele, je smiselno
ugotoviti, kako uspešni so posamezni modeli.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 2
1.2 Namen in cilj diplomske naloge
Namen diplomske naloge je opazovanje obnašanja različnih ravninskih modelov
konstrukcij s primerjavo njihove uporabnosti v analizi osnovne periode konstrukcije. Zato
bomo opazovali različne konstrukcije, ki se bodo razlikovale v številu etaž. V ta namen
smo iz strokovnega članka »A quick method for estimating the lateral stiffness of building
systems«, objavljenega v reviji The Structural Design of Tall Buldings 8, 247 – 260
(1999), povzeli jekleno konstrukcijo, ki predstavlja osnovo za modele, analizarne v
diplomskem delu.
Za vse opazovane konstrukcije bomo izračunali nihajne čase, kot tudi pomike na vrhu
zaradi sil teže, apliciranih horizontalno. Vsaka konstrukcija bo modelirana z dvema
poenostavljenima modeloma (osnovnim in modificiranim) po Buchholdu. Analizo bomo
izvedli tudi z modelom, dobljenim z metodo končnih elementov, za kar bomo uporabili
program Tower 7 demo. Za izračun primerjalnih parametrov bomo dodatno uporabili
enačbi iz Slovenskega standarda SIST EN 1998-1.
Začetno konstrukcijo bo predstavljala enoetažna konstrukcija, nato pa se bo število etaž
postopoma dvigovalo do pet, kar bo vodilo do konstrukcije iz članka. Cilj teh izračunov je
prikaz kvalitete uporabljenih modelov za analizo obnašanja konstrukcije glede na število
etaž. Kot primerjalna parametra bomo uporabili prvo periodo in vertikalni pomik zgornje
etaže, torej parametra, ki omogočata izračun potresnega vpliva.
1.3 Splošno o potresu
Potresno obtežbo predstavlja horizontalno in vertikalno gibanje površine tal, katerega
posledice so vztrajnostne sile , ki se pojavljajo v masah konstrukcije. Potres lahko nastane
zaradi več vzrokov:
- trka dveh tektonskih plošč,
- premikov magme,
- udora in podora,
- človeških aktivnosti.
Najmočnejši so potresi zaradi tektonskih premikov, zato so potresno najbolj izpostavljena
področja v bližini tektonskih prelomnic. Medsebojni pomiki med tektonskima ploščama so
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 3
lahko horizontalni ali vertikalni. Mesto trka, ki je izvor valovanja, imenujemo žarišče ali
hipocenter potresa, vertikalno projekcijo na zemeljsko površino pa epicenter.
Od žarišča se valovanje širi prostorsko radialno nazven. Iz teorije valovanja vemo, da v
prostoru obstajajo longitudinalni valovi, kjer delci materije nihajo v smeri širjenja motnje,
in transverzalni valovi, kjer delci nihajo pravokotno glede na smer širjenja motnje. Kjer je
hitrost longitudinalnih valov √
večja od hitrosti transverzalnih valov √
,
longituinalno valovanje imenujemo tudi primarno, transverzalno pa sekundarno valovanje.
Zemeljsko površino tako najprej dosežejo longitudinalni valovi, ki jih na prosti površini tal
zaznamo kot vertikano nihanje, nekoliko pozneje pa še transverzalni valovi, ki jih zaznamo
kot horizontalno nihanje. Na moč potresa zelo vpliva globina žarišča (H), ki predstavlja
razdaljo med hipocentrom in epicentrom. Glede na globino potrese v splošnem delimo na
- plitve ),
- globoke ).
Nevarnejši so seveda plitvi potresi, saj je za objekte merodajna energija, ki se sprosti na
zemljski površini, torej v epicentru. Globoki potresi nas običajno niti ne zanimajo.
Razdaljo od epicentra do obravnavane lokacije konstrukcije imenujemo epicentralna
razdalja.
Moč potresa označujemo z magnitudo žariščne cone v obliki končne sproščene energije z
enačbo:
(1)
kjer sta,
M magnituda žariščne cone
E količina sproščene energije
Enačbo (1) je leta 1935 definiral Richter, zato jo imenujemo tudi Richterjeva skala. Zaradi
dejstva, da je moč potresa v tem primeru odvisna le od količine sproščene energije, še
danes velja za najprimernejšo lestvico vrednotenja potresa. Ker je v obliki desetiškega
logaritma, je njena vrednost od 1 (najmanjša moč potresa) do 10 (največja moč potresa). Iz
enačbe (1) je ravidno, da na primer 32-kratno povečanje sproščene energije poveča
magnitudo potresa za 1 stopnjo.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 4
1.4 Določitev potresnega vpliva po različnih modelih in metodah
Potresno obtežbo predstavljajo sile, ki se pojavljajo v masah objekta zaradi dinamičnega
gibanja tal, torej pospeška tal (Slika 1). Ker ima vsaka konstrukcija nešteto
kontiniurno razporejenih masnih točk, je toliko tudi prostostnih stopenj in vztrajnostnih sil,
ki delujejo na objekt. Kot bistvene običajno upoštevamo le horizontalne prostostne stopnje
etaž, kjer so skoncentrirane največje mase objekta, in kjer posledično na objekt delujejo
največje horizontalne vztrajnostne sile . Kot poenostavljen matematični model tako
lahko uporabimo kar model s koncentriranimi masami v etažah in pripadajočimi
vztrajnostnimi silami (Slika 1).
Slika 1: Poenostavljena porazdelitev potresnih sil na večetažnem objektu
Po poznanih zakonih fizike bi lahko rezultantno vztrajnostno silo na objekt (Sliki 1)
izračunali kar v obliki:
)
) (1.1)
kjer sta:
masa posamezne etaže
pospešek tal,
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 5
ki pa velja le za idealno togo telo in ne upošteva nekaterih bistvenih parametrov, ki lahko
vplivajo na dinamično obnašanje objekta (duktilnost, elastičnost, vpliv zemljine,…), ki jih
je pri potresni analizi objekta vsekakor potrebno upoštevati. V splošnem tako za potresno
analizo objektov obstaja več računskih modelov in metod, ki se precej razlikujejo tako po
svoji zahtevnosti in natančnosti.
Med modeli, ki jih je mogoče dovolj natančno analizirati brez uporabe računalnika, smo
izbrali modificirani strižni model z upoštevanjem redukcijskega faktorja (RF) po
Buchholdu, in sicer RF za etažo kot celoto in modificirano različico z RF za vsak steber
posebej. V takšnih primerih je potrebno najprej izračunati togosti strižnega modela, ki jih
pomnožimo z redukcijskim faktorjem (RF), ki je funkcija togosti stebrov in nosilcev etaže.
Tako dobimo enačbo za redukcijski faktor:
∑(
)
∑(
)
∑(
)
(1.2)
kjer so:
redukcijski faktor etaže
E elastični modul kostrukcije
I vstrajnostni moment stebra oz. nosilca
L dolžina stebra oz. nosilca
Faktorji v enačbi (1.2) so odvisni, od razmerja upogibnih togosti srebrov, [(
)
] in
upogibnih togosti nosilcev [(
)
] v različnih etažah, ter od dimenzij elementov
okvirja konstrukcije. Orginalni redukcijski faktor zajame vse nosilce in stebre obravnavane
etaže. Mogoče pa ga je uporabiti tudi modificirano za vsak steber etaže posebej.
Ne glede na izbiro računskega modela je mogoče uporabiti različne metode za analizo
dinamičnega obnašanja konstrukcije:
Nelinearna analiza časovnega odziva,
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 6
pri kateri se časovni potek odziva konstrukcije določi z direktno numerično integracijo
diferencialnih enačb gibanja. V praksi se uporablja za najzahtevnejše objekte (jedrske
centrale, termoelektrarne, zelo visoke stavbe...)
Linearna analiza frekvenčnega odziva,
ki se lahko uporabi le za linearno analizo konstrukcije, temelji na Laplaceovi
transformaciji. Metoda je nekoliko enostavnejša od nelinearne analize časovnega odziva,
saj odpade časovna odvisnost problema. V praksi se ponavadi uporablja le za posebno
zahtevne konstrukcije.
Modalna analiza s spektri odziva,
ta metoda se uporablja za stavbe, ki ne izpolnujejo osnovnih pogojev glede pravilnosti po
višini ter posledično ni dovoljena uporaba poenostavljene modalne analiz.
Poenostavljena modalna analiza,
ki predstavlja še dodatno poenostavitev modalne analize s spektri odziva, in jo kot
najenostavnejšo predpisuje tudi EN 1998-1:2004. Metodo, uporabljeno v SIST EN 1998-
1:2006 imenujemo tudi » Metoda z vodoravnimi silami«. Metoda je izmed vseh omejenih
daleč najenostavnejša in edina, pri katerem lahko problem rešimo tudi »prostoročno«
(angl. »on hand calculation method«). Seveda jo posledično lahko uporabimo le za
relativno enostavne oziroma »pravilne konstrukcije«. EN 1998-1:2004 jo dovoljuje za
stavbe, ki morajo zadostiti zahtevam glede pravilnosti konstrukcije po višini in tlorisu.
Poleg naštetih metod standard EN 1998-1:2004 podaja tudi enostavna izraza za izračun
prvega nihajnega časa.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 7
2 OPIS OBRAVNAVANE KONSTRUKCIJE
Kot osnovo za analizo v diplomskem delu smo izbrali jekleno konstrukcijo iz strokovnega
članka A Quick Method for Estamating the Lateral Stiffness of Building Systems, iz revije
The Structural Design of Tall Buldings 8, 247 – 260 (1999). Za to konstrukcijo smo se
odločili, ker so v članku izračunani pomiki in nihajni časi, katere bomo lahko uporabili za
primerjavo.
Slika 2: Model konstrukcije
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 8
Kot je razvidno v sliki 2, je model konstrukcije enoladijski okvir, ki ima 5 etaž in 8 polno
vpetih podpor. Ker je konstrukcija jeklena, je modul elastičnosti
. Masa
posamezne etaže, povzeta po literaturi, je 43 ton. Dimenzije okvirja so v metrih in so
razvidne na sliki 3, kjer so prikazane tudi vrednosti vztrajnostnih momentov posameznih
elementov konstrukcije. V referenčnem članku so uporabljene vrednosti očitno
idealizirane, saj nam ni uspelo najti ustreznih profilov, ki bi vodili do enakih vrednosti.
Zato smo, da bi se izvedla realnejša analiza poiskali jeklene profile, ki imajo približno
enake vztrajnostne momente. Izbrani prerezi HOP so prikazani v tabeli 1.
Slika 3: Prikaz žičnega modela konstrukcije in vztrajnostnih momentov iz članka
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 9
Tabela 1: Izbrani HOP - profili
Vztrajnostni momenti v
članku na konstrukciji
Izbrani HOP - profili
Dimenzije [a/b/t] vztrajnostni moment
I=400 cm4 16x10x5 cm I=406.59 cm
4
I=600 cm4 16x12x5 cm I=617.25 cm
4
I=700 cm4 16x12x6 cm I=718.25 cm
4
I=800 cm4 14x12x8 cm I=797.33 cm
4
I=900 cm4 16x12x8 cm I=896.55 cm
4
I=1000 cm4 16x14x6 cm I=1028.23 cm
4
I=1200 cm4 22x14x5 cm I=1153.43 cm
4
I=1300 cm4 16x14x8 cm I=1291.63 cm
4
I=1400 cm4 22x14x6 cm I=1351.65 cm
4
I=1600 cm4 25x15x5 cm I=1507.91 cm
4
I=1800 cm4 25x15x6 cm I=1765.98 cm
4
I=1850 cm4 25x15x6 cm I=1765.98 cm
4
I=2000 cm4 22x14x10 cm I=2028.66 cm
4
I=2400 cm4 22x14x12.5 cm I=2375.66 cm
4
I=2800 cm4 26x18x6 cm I=2759.78 cm
4
I=3250 cm4 30x18x10 cm I=3170.50 cm
4
I=3900 cm4 30x20x6 cm I=3961.98 cm
4
Slika 4: Prerez profila HOP
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 10
3 IZRAČUN POMIKOV IN NIHAJNIH ČASOV KONSTRUKCIJE:
3.1 Tlorisna pravilnost za pritlično etažo
Merila za tlorisno pravilnost konstrukcije so odločilna pri izbiri računskega modela. Če je
konstrukcija tlorisno pravilna, lahko izberemo dva neodvisna ravninska modela, v
nasprotnem primeru pa smo primorani izbrati prostorski računski model.
Po EN 1998-1:2004 velja, da je stavba tlorisno pravilna, če velja:
tlorisna razporeditev nosilnih elementov je glede na dve pravokotni smeri
simetrična glede na togosti in mase,
obod vsake etaže naj tvori poligonalno konveksno linijo – v tlorisu stavbe naj torej
ne obstajajo vdolbine, če pa že, naj njihova površina naj ne bo večja od 5% etažne
površine,
izpolnjeno mora biti, da je tlorisna vitkost stavbe λ = Lmax / Lmin ≤ 4.0, kjer sta Lmax
večja tlorisna dimenzija stavbe in Lmin manjša tlorisna dimenzija, merjeni v
pravokotni smeri,
ekscentričnost konstrukcije eo mora v vsaki etaži glede na torzijski polmer etaže r
ustrezati pogoju:
eox ≤ 0.30 ∙ rx
rx ≥ ls
eox…..razdalja med središčem togosti in masnim središčem, merjena v smeri x, ki
je pravokotna na smer analize
rx…..kvadratni koren razmerja med torzijsko in translacijsko togostjo v smeri y
( torzijski polmer )
ls…..vztrajnostni polmer mase etaže (koncentrirane v višini stropa) v vodoravni
ravnini,
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 11
pri več etažnih stavbah je možna le približna definicija središča togosti in
torzijskega polmera, zato velja poenostavljena definicija za opredelitev tlorisne
pravilnosti; vsi elementi, ki prenašajo horizontalno obtežbo (jedra, stene, okvirji)
naj potekajo neprekinjeno od temeljev do vrha stavbe.
Izračun vitkosti:
Izračun centra togosti:
X – koordinata je na polovici širine konstrukcije;
Y – koordinato pa izračunamo;
Izračun masnega središča:
X – koordinata
Y – koordinata
Razdalja med središčem togosti (c.t.) in masnim središčem (m.s.) – ekscentričnost:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 12
X – koordinata;
Y – koordinata;
( ker ni ekscentričnosti)
Slika 5: Prikaz središča togosti in masnega središča
Vztrajnostni polmer mase etaže ls (poenostavljen račun):
√
√
Izračun vztrajnostnega polmera r za obe smeri pritlične etaže:
∑ [ ) )
) ) )
) )
) )]
∑
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 13
Za x-smer velja:
∑ ) )
∑
Za y-smer velja:
∑ ) )
∑
Vidimo, da sta obe smeri vrednosti torzijskega polmera r enaki:
∑
∑
in
∑
∑
√
1. Pogoj (SIST EN 1998-1:2006, enačba 4.1a, str.42)
2. Pogoj (SIST EN 1998-1:2006, enačba 4.1b, str.42)
Vsi pogoji so izpolnjeni, torej konstrukcija je tlorisno pravilna kar je razvidno iz pogoja 1.
in pogoja 2. ter vitkosti.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 14
3.2 IZRAČUN KONSTRUKCIJE Z ENO ETAŽO
Najprej bomo izračunali nihajne čase in pomik samo za eno etažo. Za izračune bomo
uporabili različne metode: dve metodi iz EC8, strižni model in dva modela po Buchholdu.
Podatki, ki jih smo jih uporabili:
Masa etaže je 43 ton (upoštevali smo maso prečk in stebrov)
Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za prečke: I=1153.43 cm4, I=2375.66
cm4, I=3961.98 cm
4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 7.
Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za stebre: I=1028.23 cm4,
I=2028.66cm4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 7.
L1=2 m , L2=4 m , L3=6.5 m , H1=3.5 m
Slika 6: Model konstrukcije ene etaže
Slika 7: Žični model ene etaže
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 15
Nihajni čas:
Osnovni nihajni čas ravninskih modelov stavbe je mogoče izračunati s pomočjo približnih
izrazov, ki temeljijo na metodah dinamike konstrukcij. Za stavbe do 40m višine je mogoče
približno vrednost prvega nihajnega časa v sekundah izračunati po enačbi:
EC 8, enačba (4.6), stran 48
= 0.085, ( za prostorske jeklene momentne okvirje)
, je višina stavbe v metrih
Nihajni čas – alternativno:
Alternativno je mogoče nihajni čas oceniti v sekundah z enačbo:
EC 8, enačba (4.9), stran 49
√
d, vodoravni pomik na vrhu stavbe v metrih zaradi sile teže, ki deluje vodoravno
Za izračun po zgornji enačbi je potrebno poznati pomik d zaradi sil teže, apliciranih
horizontalno.
Mase apliciramo na konstrukcijo kot horizontalno silo:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 16
Etažne plošče so neskončno toge v svoji ravnini, kar pomeni, da privzamemo, da se stebri
pri stikih s ploščami ne zasučejo.
Izračun togosti:
∑
Totalni pomik:
Tako lahko sedaj uporabimo enačbo (EC 8 (4.9), str. 49) in izračunamo prvi nihajni čas:
√ √
Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za etažo kot celoto ("po Buchholdtu"):
V prejšnem izračunu je bil uporabljen strižni model, ki je sicer dovolj enostaven, vendar ne
dovolj natančen, saj upošteva neskončno toge prečke. Predpostavka neskončno togih
prečk, ki je utemeljevana z upogibno togostjo plošč, vodi do "pretoge" konstrukcije in
posledično prenizkih vrednosti za prvi nihajni čas . Zato so bili razviti različni pristopi,
kako računski model približati realnejšemu stanju brez izvedbe natančne analize (npr. z
metodo končnih elementov). Eden izmed pristopov je zmanjšanje togosti stebrov s
pomočjo redukcijskega faktorja, ki so ga obravnavali različni avtorji. Čeprav se redukcijski
faktorji različnih avtorjev medsebojno razlikujejo, vsi izhajajo iz istih osnov, kjer na
osnovi razmerja upogibnih togosti
(Flexural stiffness) nosilcev in stebrov etaže
empirično izračunamo vrednost, s katero pomnožimo strižno togost stebra. V naših
analizah smo upoštevali osnovni in modificirani redukcijski faktor po Buchholdtu.
Osnovni faktor kot ga je podal Buchholdt, se uporabi hkrati za vse elemente etaže, medtem
ko se njegova modificirana oblika individualno uporabi za vsak steber etaže.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 17
Reducirana togost stebra je:
RF, redukcijski faktor za prvo etažo kot celoto
∑
∑
∑
Če je konstrukcija iz istega materiala, kot v našem primeru, je razvidno, da redukcijski
faktor ni odvisen od elastičnega modula (E), zato se enačba poenostavi:
(
)
(
)
(
)
Togost stebra je:
Skupna togost prve etaže je tako:
)
)
Totalni pomik prve etaže:
Prva krožna frekvenca in lastna frekvenca konstrukcije pa sta:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 18
√
√
Prvi nihajni čas:
Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za vsak steber posebej ( "modificiran
model po Buchholdtu" ):
Reducirana togost stebra je:
RF, redukcijski faktor prve etaže za vsak steber posebej
Steber 1:
Steber 2:
(
)
(
)
Steber 3:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 19
(
)
(
)
Steber 4:
Togost stebra je:
Sedaj lahko izračunamo "reducirane togosti stebrov":
Skupna reducirana togost vseh stebrov prve etaže je:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 20
∑
)
)
Totalni pomik prve etaže:
Krožna frekvenca in lastna frekvenca konstrukcije pa sta:
√
√
Nihajni čas:
Izračun nihajnega časa in pomika s pomočjo programa Tower 7:
Program Tower 7 je izdelalo podjetje Radimpex Software, ustanovljeno leta 1989, ki se od
takrat izključno ukvarja z razvojem programske opreme na področju gradbeništva. Tower 7
je grafični program za splošno analizo vplivov v ravninskih in prostorskih konstrukcijah.
Program je zmožen statične analize v skladu s teorijo 1. reda in 2. reda ter dinamične
analize konstrukcij, bodisi iz betona, lesa ali jekla. Program nam tudi omogoča izračun
stabilnosti konstrukcij (določitev kritičnih sil in uklonskih dolžin). Za to diplomsko nalogo
smo uporabili brezplačno demo različico programa Tower 7. Verzija ima enako
funkcionalnost kot profesionalna različica, saj omogoča - statične analize (teorije 1. reda in
2. reda), analize stabilnosti, modalna analiza in seizmična analiza. Demo verzija pa je
omejena na konstrukcije z največ 300 vozlišči, hkrati pa dimenzioniranja betona, jekla in
lesa ni mogoče izvesti.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 21
Izračun s podprogramom modalna analiza
V sliki 8 je prikazan izračun nihajnega časa s podprogramom modalna analiza, v kateri
je razvidno, da je osnovni nihajni čas .
Slika 8: Prikaz nihajnega časa enoetažne stavbe s programom Tower 7
Izračun pomikov s programom Tower 7
Maso etaže smo pomnožili z zemeljskim pospeškom (
), nato smo te sile
aplicirali horizontalno na konstrukcijo in izračunali pomik. V sliki 9 je prikazan pomik
konstrukcije, zaradi sil, apliciranih vodoravno, enote na sliki so v milimetrih. Tako je
maximalni pomik konstrukcije z eno etažo
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 22
Slika 9: Prikaz pomika enoetažne stavbe s programom Tower 7
Tabela 2: Izračun pomika enoetažne stavbe s programom Tower 7
Število
nadstropja
Tower 7
1. 0.09342 m
Za izračun nihajnega časa smo uporabili EC8, enačba (4.9), stran 49.
√
3.3 IZRAČUN KONSTRUKCIJE Z DVEMA ETAŽAMA:
Enako kot za konstrukcij z eno etažo bomo izračunali nihajne čase in pomik še za
konstrukcijo z dvema etažema, pri tem bomo uporabili enake modele in metode.
Podatki o konstrukciji:
Masa etaže je 43 ton (upoštevali smo maso prečk in stebrov)
Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za prečke: I=1153.43 cm4, I=2375.66
cm4, I=3961.98 cm
4, I=1028.23 cm
4, I=2028.66 cm
4, I=3170.50 cm
4. Njihove
pozicije so razvidne iz slike 11.
Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za stebre: I=1028.23 cm4, I=2028.66
cm4, I=896.55 cm
4 , I=1765.98 cm
4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 11.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 23
L1=2 m , L2=4 m , L3=6.5 m , H1=3.5 m , H2=3 m
Slika 10: Model konstrukcije z dvema etažama
Slika 11: Žični model konstrukcije z dvema etažama
Nihajni čas:
EC 8, enačba (4.6), stran 48
= 0.085, ( za prostorske jeklene momentne okvirje)
, je višina stavbe v metrih
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 24
Nihajni čas - alternativno:
EC 8, enačba (4.9), stran 49
√
d, vodoravni pomik na vrhu stavbe v metrih zaradi sile teže, ki deluje vodoravno
Mase apliciramo na konstrukcijo kot horizontalno silo:
Račun togosti druge etaže:
∑
Pomik prve etaže:
Pomik druge etaže:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 25
Tako lahko sedaj uporabimo enačbo (EC 8 (4.9), str. 49) in izračunamo nihajni čas:
√ √
Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za etažo kot celoto ("po Buchholdtu"):
Reducirana togost stebra je:
RF, redukcijski faktor za drugo etažo kot celoto
∑
∑
∑
Če je konstrukcija iz istega materiala, kot v našem primeru, je razvidno, da redukcijski
faktor ni odvisen od elastičnega modula (E), zato se enačba poenostavi:
(
)
(
)
(
)
Togost stebrov v drugi etaži :
Skupna togost druge etaže je tako:
)
)
Pomik prve etaže:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 26
Pomik druge etaže:
Vektor pomilov:
{
}
Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije:
Posamezni pomik se zapiše v obliki:
), max.potencialna energija v skrajni legi
), max.kinetična energija v skrajni legi
Kinetična energija mas:
[
]
[ ) ) ]
Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž):
( ) ) )
))
( ) ) ) ))
Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič )
in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo
in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 27
Nihajni čas:
Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za vsak steber posebej ( "modificiran
model po Buchholdtu" ):
Reducirana togost stebrov za drugo etažo je:
RF, redukcijski faktor druge etaže za vsak steber posebej
Steber 1:
Steber 2:
(
)
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 28
(
)
Steber 3:
(
)
(
)
Steber 4:
Togost stebrov v drugi etaži :
Sedaj lahko izračunamo "reducirane togosti stebrov":
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 29
Skupna reducirana togost vseh stebrov druge etaže je:
∑
)
(
)
Pomik prve etaže:
Pomik druge etaže:
Vektor pomilov:
{
}
Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije:
Posamezni pomik se zapiše v obliki:
), max.potencialna energija v skrajni legi
), max.kinetična energija v skrajni legi
Kinetična energija mas:
[
]
[ ) ) ]
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 30
Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž):
( ) ) )
))
( ) )
) ))
Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič )
in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo
in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Nihajni čas:
Izračun nihajnega časa in pomika s pomočjo programa Tower 7:
Izračun s podprogramom modalna analiza
V sliki 12 je prikazan izračun nihajnega časa s podprogramom modalna analiza, v kateri je
razvidno da je osnovni nihajni čas .
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 31
Slika 12: Prikaz nihajnega časa dvoetažne stavbe s programom Tower 7
Izračun pomikov s programom Tower 7
V sliki 13 je prikazan pomik konstrukcije zaradi sil, apliciranih vodoravno, enote na sliki
so v milimetrih. Tako je maximalni pomik konstrukcije z dvema etažema
Slika 13: Prikaz pomika dvoetažne stavbe s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 32
Tabela 3: Izračun pomika dvoetažne stavbe s programom Tower 7
Število
nadstropja
Tower 7
1. 0.18126 m
2. 0.25212 m
Za izračun nihajnega časa smo uporabili EC8, enačba (4.9), stran 49.
√
3.4 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S TREMI ETAŽAMI:
Podatki o konstrukciji:
Masa vsake etaže je 43 ton (upoštevali smo maso prečk in stebrov)
Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za prečke: I=2759.78 cm4, I=1765.98
cm4, I=797.33 cm
4 , I=1153.43 cm
4, I=2375.66 cm
4, I=3961.98 cm
4, I=1028.23
cm4, I=2028.66 cm
4, I=3170.50 cm
4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 15.
Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za stebre: I=797.33 cm4, I=1351.65 cm
4,
I=1028.23 cm4, I=2028.66 cm
4, I=896.55 cm
4 , I=1765.98 cm
4, I=1507.91 cm
4.
Njihove pozicije so razvidne iz slike 15.
L1=2 m , L2=4 m , L3=6.5 m , H1=3.5 m , H2=3 m , H3=3 m
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 33
Slika 14: Model konstrukcije s tremi etažami
Slika 15: Žični model konstrukcije s tremi etažami
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 34
Nihajni čas:
EC 8, enačba (4.6), stran 48
= 0.085, ( za prostorske jeklene momentne okvirje)
, je višina stavbe v metrih
Nihanji čas – alternativno:
EC 8, enačba (4.9), stran 49
√
d, vodoravni pomik na vrhu stavbe v metrih zaradi sile teže, ki deluje vodoravno
Mase pritličja apliciramo na konstrukcijo kot horizontalno silo:
Račun togosti tretje etaže:
∑
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 35
Totalni pomik etaž:
Tako lahko sedaj uporabimo enačbo (EC 8 (4.9), str. 49) in izračunamo nihajni čas:
√ √
Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za etažo kot celoto ( "po Buchholdtu" ):
Reducirana togost stebrov za tretjo etažo je:
RF, redukcijski faktor za tretjo etažo kot celoto
∑
∑
∑
Če je konstrukcija iz istega materiala, kot v našem primeru, je razvidno, da redukcijski
faktor ni odvisen od elastičnega modula (E), zato se enačba poenostavi:
(
)
(
)
(
)
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 36
Togost stebrov v tretji etaži :
Skupna togost tretje etaže je tako:
)
)
Totalni pomik etaž:
Vektor pomilov:
{
}
Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije:
Posamezni pomik se zapiše v obliki:
), max.potencialna energija v skrajni legi
), max.kinetična energija v skrajni legi
Kinetična energija mas:
[
]
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 37
[ ) )
) ] =
Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž):
( ) ) )
) ) ))
( ) )
) ) ) )) =
Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič )
in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo
in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Nihajni čas:
Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za vsak steber posebej ( "modificiran
model po Buchholdtu" ):
Reducirana togost stebrov za tretjo etažo je:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 38
RF, redukcijski faktor tretje etaže za vsak steber posebej
Steber 1:
Steber 2:
(
)
(
)
Steber 3:
(
)
(
)
Steber 4:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 39
Togost stebrov v tretji etaži :
Sedaj lahko izračunamo "reducirane togosti stebrov":
Skupna reducirana togost vseh stebrov tretje etaže je:
∑
)
)
Totalni pomik etaž:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 40
Vektor pomilov:
{
}
Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije:
Posamezni pomik se zapiše v obliki:
), max.potencialna energija v skrajni legi
), max.kinetična energija v skrajni legi
Kinetična energija mas:
[
]
[ ) )
) ] =
Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž):
( ) ) )
) ) ))
( ) ) ) )
) ))
Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič )
in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 41
in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Nihajni čas:
Izračun nihajnega časa in pomika s pomočjo programa Tower 7:
Izračun s podprogramom modalna analiza
V sliki 16 je prikazan izračun nihajnega časa s podprogramom modalna analiza, v kateri je
razvidno, da je osnovni nihajni čas .
Slika 16: Prikaz nihajnega časa trietažne stavbe s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 42
Izračun pomikov s programom Tower 7
V sliki 17 je prikazan pomik konstrukcije, zaradi sil, apliciranih vodoravno, enote na
sliki so v milimetrih. Tako je maximalni pomik konstrukcije s tremi etažami
Slika 17: Prikaz pomika trietažne stavbe s programom Tower 7
Tabela 4: Izračun pomika trietažne stavbe s programom Tower 7
Število nadstropja Tower 7
1. 0.248423 m
2. 0.38956 m
3. 0.47606 m
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 43
Za izračun nihajnega časa smo uporabili EC8, enačba (4.9), stran 49.
√
3.5 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S ŠTIRIMI ETAŽAMI:
Podatki o konstrukciji:
Masa vsake etaže je 43 ton (upoštevali smo maso prečk in stebrov)
Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za prečke: I=2759.78 cm4, I=1765.98
cm4, I=797.33 cm
4 , I=1153.43 cm
4, I=2375.66 cm
4, I=3961.98 cm
4, I=1028.23
cm4, I=2028.66 cm
4, I=718.25 cm
4, I=3170.50 cm
4. Njihove pozicije so razvidne iz
slike 19.
Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za stebre: I=718.25 cm4, I=797.33 cm
4,
I=1351.65 cm4, I=1028.23 cm
4, I=2028.66 cm
4, I=896.55 cm
4 , I=1765.98 cm
4.
Njihove pozicije so razvidne iz slike 19.
L1=2 m , L2=4 m , L3=6.5 m , H1=3.5 m , H2=3 m , H3=3 m , H4=3 m
Slika 18: Model konstrukcije s štirimi etažami
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 44
Slika 19: Žični model konstrukcije s štirimi etažami
Nihajni čas:
EC 8, enačba (4.6), stran 48
= 0.085, ( za prostorske jeklene momentne okvirje)
, je višina stavbe v metrih
Nihanji čas – alternativno:
EC 8, enačba (4.9), stran 49
√
d, vodoravni pomik na vrhu stavbe v metrih zaradi sile teže, ki deluje vodoravno
Mase pritličja apliciramo na konstrukcijo kot horizontalno silo:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 45
Izračun togosti četrte etaže je:
∑
Totalni pomik pritličja:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 46
Tako lahko sedaj uporabimo enačbo (EC 8 (4.9), str. 49) in izračunamo nihajni čas:
√ √
Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za etažo kot celoto ( "po Buchholdtu" ):
Reducirana togost stebra četrte etaže je:
RF, redukcijski faktor za četrto etažo kot celoto
∑
∑
∑
Če je konstrukcija iz istega materiala, kot v našem primeru, je razvidno, da redukcijski
faktor ni odvisen od elastičnega modula (E), zato se enačba poenostavi:
(
)
(
)
(
)
Togost stebrov v četrti etaži :
Skupna togost četrte etaže je tako:
)
)
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 47
Totalni pomik etaž:
Vektor pomilov:
{
}
Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije:
Posamezni pomik se zapiše v obliki:
), max.potencialna energija v skrajni legi
), max.kinetična energija v skrajni legi
Kinetična energija mas:
[
]
[ ) )
) ) ]=
Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž):
( ) ) )
) ) )
) ))
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 48
( ) ) )
) )
) ))
Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič )
in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo
in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Nihajni čas:
Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za vsak steber posebej ( "modificiran
model po Buchholdtu" ):
Reducirana togost stebrov za četrto etažo je:
RF, redukcijski faktor četrte etaže za vsak steber posebej
Steber 1:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 49
Steber 2:
(
)
(
)
Steber 3:
(
)
(
)
Steber 4:
Togost stebrov v 3 etaži :
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 50
Sedaj lahko izračunamo "reducirane togosti stebrov":
Skupna reducirana togost vseh stebrov četrte etaže je:
∑
)
)
Totalni pomik etaž:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 51
Vektor pomilov:
{
}
Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije:
Posamezni pomik se zapiše v obliki:
), max.potencialna energija v skrajni legi
), max.kinetična energija v skrajni legi
Kinetična energija mas:
[
]
[ ) )
) ) ] =
Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž):
( ) ) )
) ) )
) ))
( ) )
) ) ) )
) )) =
Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič )
in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo
in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 52
Nihajni čas:
Izračun nihajnega časa in pomika s pomočjo programa Tower 7:
Izračun s podprogramom modalna analiza
V sliki 20 je prikazan izračun nihajnega časa s podprogramom modalna analiza, v kateri je
razvidno da je osnovni nihajni čas
Slika 20: Prikaz nihajnega časa štirietažne stavbe s programom Tower 7
Izračun pomikov s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 53
V sliki 21 je prikazan pomik konstrukcije, zaradi sil, apliciranih vodoravno, enote na sliki
so v milimetrih. Tako je maximalni pomik konstrukcije z štirimi etažami
.
Slika 21: Prikaz pomikov štirietažne stavbe s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 54
Tabela 5: Izračun pomika štirietažne stavbe s programom Tower 7
Število nadstropja Tower 7
1. 0.31485 m
2. 0.52743 m
3. 0.66848 m
4. 0.76332 m
Za izračun nihajnega časa smo uporabili EC8, enačba (4.9), stran 49.
√
3.6 IZRAČUN KONSTRUKCIJE S PETIMI ETAŽAMI:
Podatki o konstrukciji:
Masa vsake etaže je 43 ton (upoštevali smo maso prečk in stebrov)
Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za prečke: I=2759.78 cm4, I=1765.98
cm4, I=797.33 cm
4 , I=1153.43 cm
4, I=2375.66 cm
4, I=3961.98 cm
4, I=1028.23
cm4, I=2028.66 cm
4, I=3170.50 cm
4. Njihove pozicije so razvidne iz slike 23.
Vztrajnostni momenti, ki smo jih uporabili za stebre: I=797.33 cm4, I=1351.65 cm
4,
I=1028.23 cm4, I=2028.66 cm
4, I=896.55 cm
4 , I=1765.98 cm
4. Njihove pozicije so
razvidne iz slike 23.
L1=2 m , L2=4 m , L3=6.5 m , H1=3.5 m , H2=3 m , H3=3 m , H4=3 m , H5=3 m
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 55
Slika 22: Model konstrukcije s petimi etažami
Slika 23: Žični model konstrukcije s petimi etažami
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 56
Nihajni čas:
EC 8, enačba (4.6), stran 48
= 0.085, ( za prostorske jeklene momentne okvirje)
, je višina stavbe v metrih
Nihanji čas – alternativno:
EC 8, enačba (4.9), stran 49
√
d, vodoravni pomik na vrhu stavbe v metrih zaradi sile teže, ki deluje vodoravno
Mase pritličja apliciramo na konstrukcijo kot horizontalno silo:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 57
Račun togosti posameznih etaž:
∑
Totalni pomik pritličja:
Tako lahko sedaj uporabimo enačbo (EC 8 (4.9), str. 49) in izračunamo nihajni čas:
√ √
Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za etažo kot celoto ( "po Buchholdtu" ):
Reducirana togost stebra pete etaže je:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 58
RF, redukcijski faktor pete etaže kot celoto
∑
∑
∑
Če je konstrukcija iz istega materiala, kot v našem primeru, je razvidno, da redukcijski
faktor ni odvisen od elastičnega modula (E), zato se enačba poenostavi:
(
)
(
)
(
)
Togost stebrov v peti etaži :
Skupna togost pete etaže je tako:
)
)
Totalni pomik etaž:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 59
Vektor pomilov:
{
}
Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije:
Posamezni pomik se zapiše v obliki:
), max.potencialna energija v skrajni legi
), max.kinetična energija v skrajni legi
Kinetična energija mas:
[
]
[ ) )
) ) ) ]=
Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž):
( ) ) )
) ) )
) ) )
))
( ) ) ) )
)
) ) )
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 60
Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič )
in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo
in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Nihajni čas:
Izračun z upoštevanjem elastičnih prečk, RF za vsak steber posebej ( "modificiran
model po Buchholdtu" ):
Reducirana togost stebrov za peto etažo je:
RF, redukcijski faktor pete etaže za vsak steber posebej
Steber 1:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 61
Steber 2:
(
)
(
)
Steber 3:
(
)
(
)
Steber 4:
Togost stebrov v peti etaži :
Sedaj lahko izračunamo "reducirane togosti stebrov":
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 62
Skupna reducirana togost vseh stebrov je:
∑
)
)
Totalni pomik etaž:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 63
Vektor pomilov:
{
}
Nihaji čas smo izračunali s pomočjo zakona o ohranitvi mehanske energije:
Posamezni pomik se zapiše v obliki:
), max.potencialna energija v skrajni legi
), max.kinetična energija v skrajni legi
Kinetična energija mas:
[
]
[ ) )
) ) ) ]=
Potencialna energija stebrov (s pomočjo relativnih pomikov etaž):
( ) ) )
) ) )
) ) )
))
( ) )
) ) )
) ) )
Ko je potencialna energija maksimalna ) je kinetična energija enaka nič )
in obratno kinetična energija maksimalna je potencialna enaka nič, dobimo enačbo
in tako lahko izračunamo krožno frekvenco:
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 64
Nihajni čas:
Izračun nihajnega časa in pomika s pomočjo programa Tower 7:
Izračun s podprogramom modalna analiza
V sliki 24 je prikazan izračun nihajnega časa s podprogramom modalna analiza, v kateri je
razvidno da je osnovni nihajni čas
Slika 24: Prikaz nihajnega časa petetažne stavbe s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 65
Izračun pomikov s programom Tower 7
V sliki 25 je prikazan pomik konstrukcije, zaradi sil, apliciranih vodoravno, enote na sliki
so v milimetrih. Tako je maximalni pomik konstrukcije z petimi etažemi
Slika 25: Prikaz pomika petetažne stavbe s programom Tower 7
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 66
Tabela 6: Izračun pomika petetažne stavbe z programom Tower 7
Število nadstropja Tower 7
1. 0.44823 m
2. 0.71285 m
3. 0.93984 m
4. 1.0423 m
5. 1.12028 m
Za izračun nihajnega časa smo uporabili EC8, enačba (4.9), stran 49.
√
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 67
4 PRIMERJAVA POMIKOV IN NIHAJNIH ČASOV
KONSTRUKCIJ
V tem poglavju bomo izvedli primerjavo dobljenih nihanjih časov in pomikov, ki smo jih
izračunali v tretjem poglavju. Kot primerjalna parametra bomo uporabili prvo periodo in
vertikalni pomik zgornje etaže. Za izračun nihajnih časov, ki so prikazani v tabeli 7, in
izračun pomikov, prikazani v tabeli 8, smo uporabili različne modele in metode:
Enačbo 4.6, str.48 iz slovenskega standarda SIST EN 1998-1
Ta enačba nam omogoča približni izračun nihajnega časa, brez pripadajoče
inženirske analize, le v nekaj sekundah, tako, da lahko hitro ocenimo kakšen je
nihajni čas konstrukcije.
Enačbo 4.9, str. 49 iz slovenskega standarda SIST EN 1998-1
Enačba nam omogoča, da lahko nihajni čas izračunamo tako, da upoštevamo
vodoravni pomik na vrhu konstrukcije, ta pomik pa smo dobili tako da smo sile
teže aplicirali vodoravno na posamezno etažo. Nihajni čas pa smo izračunali z
izrazom, podanim v standardu.
Z upoštevanjem modela RF "po Buchholdtu" za etažo kot celoto in z
modificiranim modelom "po Buchholdtu" za vsak steber posebaj
Osnovni strižni model smo nadgradili z redukcijskimi faktorji, nato pa smo
izračunali vodoravne pomike etaž zaradi sil teže, apliciranih vodoravno. Za izračun
osnovnega nihajnega časa smo uporabili zakon o ohranitvi mehanske energije.
S pomočjo programa Tower 7
V programu Tower 7 smo pripravili realni model konstrukcije in zanj izvedli
modalno analizo z uporabo obstoječega podprograma. Model smo dodatno
obremenili še s silami teže apliciranimi vodoravno in s pomočjo pomika zgornje
etaže ter enačbe (4.9) iz EC8 izračunali še približek prve periode.
Če primerjamo nihajne čase iz tabele 7, je iz posameznih modelov in metod razvidno, da
nihajni čas narašča z višino, torej več kot je etaž, večji je nihajni čas. To je tudi pričakovan
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 68
rezultat, saj togost konstrukcije z višino upada, tabela 10. Podobno je razvidno iz tabele 8,
kjer so podani pomiki etaž. Očitno je, da pomik narašča z višino konstrukcije. V tabeli 7
smo prikazali še relativne napake vseh modelov in metod, kot referenčno vrednost smo
uporabili izračun dinamične analize s programom Tower 7.
Tabela 7: Nihajni časi in relativne napake etaž
Št.
etaž
Nihajni
čas
EC8,
enačba
4.6,str.48
Strižni
model
EC8,
enačba
4.9, str.49
RF – po
Buchholdu
za etažo
kot celoto
RF –
modificiran
model po
Buchholdu za
vsak steber
posebej
Program
Tower 7
EC8,
enačba
4.9, str.49
Program
Tower 7,
Dinamična
analiza
prvi nihajni čas konstrukcij
1.
2.
3.
4.
5.
Št.
etaž
relativne napake vseh modelov in metod
Ref.
vrednost Napaka
[%]
Napaka
[%]
Napaka
[%]
Napaka [%] Napaka
[%]
1. 41.18 8.990 -11.000 -2.629 -13.609
2. 42.14 2.686 -11.556 -2.935 -18.238
3. 43.60 -0.722 -12.784 -4.015 -19.888
4. 45.15 -3.459 -17.068 -5. 771 -20.725
5. 51.11 -5.796 -19.539 -7.761 -23.126
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 69
Tabela 8: Pomik po etažah
Število
etaž
Strižni model
EC8,enačba 4.9,
str.49
RF – po
Buchholdu, za
etažo kot celoto
RF – modificiran
model po
Buchholdu, za
vsak steber posebej
Program
Tower 7
1.
2.
3.
4.
5.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 70
Tabela 9: Relativne napake pomikov po etažah
Število
etaž
Strižni model
EC8,enačba 4.9,
str.49
RF – po
Buchholdu, za
etažo kot celoto
RF – modificiran
model po
Buchholdu, za
vsak steber posebej
Program
Tower 7
Napaka [%] Napaka [%] Napaka [%] Ref. vrednost
1.
2.
3.
4.
5.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 71
Kot zanimivost smo še prikazali togosti posameznih etaž. Kot je razvidno iz tabele 10,
togosti pri vseh modelih in metodah z višino konstrukcije padajo, kar je posledica
zmanjševanja prečnih prerezov stebrov z višino objekta.
Tabela 10: Togosti posameznih etaž
Število
etaž
Strižni model
EC8, enačba 4.9,
str.49
RF – po Buchholdu,
za etažo kot celoto
RF – modificiran model po
Buchholdu, za vsak steber
posebej
1.
2.
3.
4.
5.
4.1 DISKUSIJA REZULTATOV
Izmed različnih metod analize smo najprej uporabili metodi, kot jih navaja slovenski
standard SIST EN 1998-1. Podani sta z enačbama (4.6) in (4.9). Izmed vseh uporabljenih
modelov in metod do rezultatov najhitreje vodi enačba (4.6), vendar ima hkrati tudi
največji odstotek odstopanja, kar do 50 odstotkov. Ta razlika je posledica tega, da se v
enačbi uporabi samo višina konstrukcije, ne pa tudi mehanski podatki, kar je premalo
parametrov za bolj natančen izračun. Pri enačbi (4.9), ki smo jo aplicirali na strižnem
modelu, je bilo izboljšanje rezultatov očitno. Uporabili smo še dva modela z redukcijskimi
faktorji po Buchholdtu, in sicer za etažo kot celoto in modificiran model za vsak steber
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 72
posebej; približek nihajnega časa pa smo dobili z uporabo izreka o ohranitvi mehanske
energije.
Pri vseh uporabljenih modelih in metodah je razvidno, da se z naraščanjem števila etaž
relativna napaka nihajnega časa povečuje, torej z višino stavbe natančnost izračunov
upada.
Kot je razvidno iz tabele 7, se model z redukcijskih faktorjem za vsak steber posebej
najbolj približa referenčnim vrednostim (dobljenimi z dinamično analizo s programom
Tower 7) oz. je napaka glede na nihajni čas najmanjša. Kot najbolj kakovostna »peš«
metoda za izračun nihajnega časa se je tako izkazala kombinacija modificiranega modela
po Buchholdtu za vsak steber posebej in izreka o ohranitvi mehanske energije, ki je tudi
računsko obsežnejša. V skladu s pričakovanji pa se je kot najmanj kakovostna izkazala
najhitrejša (in najenostavnejša) metoda z uporabo enačbe 4.6 iz slovenskega standarda
SIST EN 1998-1. Iz tabele 7 je še razvidno, da so napake, dobljene pri analizi z
redukcijskim faktorjem etaže ter programom, kjer je bila konstrukcija obremenjena z
horizontalnimi silami, dokaj podobne.
Prav tako, kot smo izvedli primerjavo nihajnih časov (tabela 7), smo izvedli primerjavo
izračunanih pomikov, tabela 8, kjer smo za referenčno vrednost uporabili vrednosti
pomikov iz računalniškega programa Tower 7. Relativne napake pomikov smo prikazali v
tabeli 9. Najmanjši pomiki so (pričakovano) sledili iz strižnega modela, medtem ko smo
največje pomike dobili z modificiranim modelom po Buchholdtu za vsak steber posebej. Iz
tabel 8 in 9 je razvidno tudi, da pa najmanjša odstopanja pomikov glede na referenčne
vrednosti nastopajo pri uporabi redukcijskega faktorja za etažo kot celoto. Ker pa tak
model ne vodi do najboljših približkov nihajnih časov, lahko iz tega zaključimo, da
najboljše ujemanje pomikov še ne pomeni avtomatično najboljšega približka nihajnega
časa, saj kvaliteta pomikov očitno ni pokazatelj kvalitete izračuna nihajnega časa.
Iz tabel 7-9 je razvidno, da z dodajanjem etaž znotraj posameznega modela ne prihaja do
večjih sprememb napak. Pri izračunu nihajnih časov odstotek napake enolično narašča s
številom etaž (z izjemo strižnega modela). Pri izračunu pomikov se za konstrukcije z eno,
dvema, tremi in štirimi etažami odstotek napake običajno povečuje z etažo, medtem ko pri
pet etažni stavbi napaka celo upade.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 73
5 ZAKLJUČEK
Cilj diplomskega dela je bilo opazovanje spreminjanja kvalitete rezultatov različnih
uporabljenih modelov in metod za analizo obnašanja konstrukcij s poudarkom na izračunu
prvega nihajnega časa. Seveda so najboljše orodje za izračun nihajnih časov računalniški
programi, ki pa zaradi obsežnosti vhodnih podatkov in pogosto nepreglednostjo
»omogočajo« napako pri modeliranju, ki pa ni očitna iz dobljenih rezultatov. Zato imajo
svojo vlogo tako imenovane »peš« metode, s katerimi lahko relativno hitro in enostavno z
inženirsko natančnostjo preverimo s programom dobljene rezultate.
V diplomskem delu smo zato z različnimi modeli in metodami analizirali konstrukcije, ki
so se razlikovale po številu etaž. Na koncu smo izvedli primerjavo prvih nihajnih časov in
pomikov, ki jih je prav tako mogoče uporabiti za izračun nihajnih časov. Kot referenčne
vrednosti smo uporabili vrednosti, izračunane z dinamično analizo v programu Tower 7, ki
omogoča izračun rezultatov, ki se najbolj približajo realnim vrednostim. Izkazalo se je, da:
- kvaliteta uporabljenega računskega modela vodi do ustrezno kvalitetnih rezultatov zgolj
ob uporabi kvalitetnega orodja za analizo računskega modela (uporaba enačbe (4.9) in
pomikov, izračunanih s programom Tower 7 se ni izkazala kot posebej uspešna),
- kvaliteta pomikov ni pokazatelj kvalitete izračuna nihajnega časa (horizontalni pomiki,
izračunani s programom Tower 7, niso vodili do najboljših nihajnih časov),
- je kombinacija modificiranega modela po Buchholdtu z uporabo redukcijskega faktorja
za vsak steber posebej in izreka o ohranitvi mehanske energije, ki je tudi računsko
obsežnejša, vodila do najmanjšega odstopanja.
Čeprav je torej jasno, da so za analizo odziva konstrukcij (nihajni čas, pomikov)
računalniški programi najboljše orodje, je diplomsko delo pokazalo, da lahko tudi z
enostavnimi modeli in metodami dobimo rezultate, s katerimi lahko dovolj kvalitetno
ocenimo korektnost v računalniškim programu opisane konstrukcije.
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 74
6 LITERATURA
Slovenski inštitut za standardizacijo, Evrokod 8: Projektiranje potresnoodpornih
konstrukcij – 1.del: Splošna pravila, potresni vplivi in pravila za stavbe, SIST EN
1998-1:2005 (sl), 2005.
Slovenski inštitut za standardizacijo, Evrokod 8: Projektiranje potresnoodpornih
konstrukcij – 1.del: Splošna pravila, potresni vplivi in pravila za stavbe –
Nacionalni dodatek, SIST EN 1998-1:2006/A101 (sl), 2006.
Beg D.,Pogačnik A., Priročnik za projektiranje gradbenih konstrukcij po evrokod
standardih, Inžinirska zbornica Slovenije, Ljubljana, 2009.
Hans Anton Buchholdt, Structural dynamics for engineers, Thomas Telford, 1997
Miha Tomaževič, Potresno odporne zidane stavbe, Ljubljana, december 2009
Janez Duhovnik, Statika liniskih konstrukcij I, Ljubljana 2005
Mahmood Hosseini and Mohammad Raza Imagh-E-Naiini, A Quick Method for
Estimating The Lateral Stiffness of Building Systems, The Structural Design of
Tall Buildings 8, 247-260, 1999
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 75
7 PRILOGE
7.1 Kazalo slik
Slika 1: Poenostavljena porazdelitev potresnih sil na večetažnem objektu .......................... 4
Slika 2: Model konstrukcije .................................................................................................. 7
Slika 3: Prikaz žičnega modela konstrukcije in vztrajnostnih momentov iz članka .............. 8
Slika 4: Prerez profila HOP .................................................................................................. 9
Slika 5: Prikaz središča togosti in masnega središča.......................................................... 12
Slika 6: Model konstrukcije ene etaže ................................................................................. 14
Slika 7: Žični model ene etaže ............................................................................................. 14
Slika 8: Prikaz nihajnega časa enoetažne stavbe s programom Tower 7 ........................... 21
Slika 9: Prikaz pomika enoetažne stavbe s programom Tower 7 ........................................ 22
Slika 10: Model konstrukcije z dvema etažama ................................................................... 23
Slika 11: Žični model konstrukcije z dvema etažama .......................................................... 23
Slika 12: Prikaz nihajnega časa dvoetažne stavbe s programom Tower 7 ......................... 31
Slika 13: Prikaz pomika dvoetažne stavbe s programom Tower 7 ...................................... 31
Slika 14: Model konstrukcije s tremi etažami ...................................................................... 33
Slika 15: Žični model konstrukcije s tremi etažami ............................................................. 33
Slika 16: Prikaz nihajnega časa trietažne stavbe s programom Tower 7 ........................... 41
Slika 17: Prikaz pomika trietažne stavbe s programom Tower 7 ........................................ 42
Slika 18: Model konstrukcije s štirimi etažami .................................................................... 43
Slika 19: Žični model konstrukcije s štirimi etažami ........................................................... 44
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 76
Slika 20: Prikaz nihajnega časa štirietažne stavbe s programom Tower 7 ........................ 52
Slika 21: Prikaz pomikov štirietažne stavbe s programom Tower 7 ................................... 53
Slika 22: Model konstrukcije s petimi etažami .................................................................... 55
Slika 23: Žični model konstrukcije s petimi etažami ........................................................... 55
Slika 24: Prikaz nihajnega časa petetažne stavbe s programom Tower 7 .......................... 64
Slika 25: Prikaz pomika petetažne stavbe s programom Tower 7 ...................................... 65
7.2 Kazalo tabel
Tabela 1: Izbrani HOP - profili ............................................................................................ 9
Tabela 2: Izračun pomika enoetažne stavbe s programom Tower 7 ................................... 22
Tabela 3: Izračun pomika dvoetažne stavbe s programom Tower 7 ................................... 32
Tabela 4: Izračun pomika trietažne stavbe s programom Tower 7 ..................................... 42
Tabela 5: Izračun pomika štirietažne stavbe s programom Tower 7 .................................. 54
Tabela 6: Izračun pomika petetažne stavbe z programom Tower 7 ................................... 66
Tabela 7: Nihajni časi in relativne napake etaž .................................................................. 68
Tabela 8: Pomik po etažah .................................................................................................. 69
Tabela 9: Relativne napake pomikov po etažah .................................................................. 70
Tabela 10: Togosti posameznih etaž ................................................................................... 71
7.3 Naslov študenta
Andrej Gril
Spodnja Gorica 61
2327 Rače
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 77
Slovenija
Tel.: 031 690 698
e-mail: gril.andrej@gmail.com
7.4 Kratek življenjepis
Rojen: Maribor, 27.4.1984
Šolanje: 1991-1993 osnovna šola Draga Kobala, Tolstojeva ulica 3, 2000 Maribor
1993-1999 osnovna šola Rače, Grajski trg 1, 2327 Rače
1999-2004 Srednja gradbena šola in gimnazija Maribor, Smetanova 35,
2000 Maribor
2004-2013 Fakulteta za gradbeništvo, Univerza v Mariboru, Smetanova
17, 2000 Maribor
Verifikacija različnih modelov stavb za analizo nihajnih časov glede na število etaž Stran 78
top related