morphologie et dynamique des galaxies m2 « astrophysique et milieux dilués »

septembre 2010 Master 2 AMD - Galaxies

Morphologie et dynamique des galaxies

M2 « Astrophysique et Milieux Dilués »

Hervé Beust

Laboratoire d’Astrophysique de Grenoble

1. Zoologie des galaxies2. Gravitation et dynamique planétaire3. Dynamique stellaire 4. Dynamique galactique

1. Zoologie des galaxies• Historique de la notion de galaxie• Classification des galaxies• Photométrie des galaxies• Répartition des galaxies dans l’Univers • Le contenu des galaxies• Cycle de fonctionnement d’une galaxie• Principaux résultats pour les divers types de galaxies

2. Gravitation et dynamique planétaire

3. Dynamique stellaire4. Dynamique galactique

Historique de la notion de galaxie• 1610 : Galilée résout la voie lactée en étoiles.• Fin XVIIIe siècle : Idée d’un système stellaire aplati centré sur le

Soleil (Herschel).• 1784 – 1854 – 1888 (Lord Ross – Dreyer – Messier) : Catalogues

d’objets diffus (mélangé) Nébuleuses spirales ??• 1915 : Shapley compte les amas globulaires Le Soleil n’est pas au

centre (à 15 kpc).• 1916 : Pease découvre la rotation de la Galaxie.• 1923 : Hubble identifie des Céphéides dans M31 d = 300 kpc (670 en fait) C’est un système extragalactique L’étude des galaxies peut commencer

• 1926 : Classification de Hubble, révisée ensuite par De Vaucouleurs

Classification des galaxies

• 13% Elliptiques (de E0 à E7)

• 22% Lenticulaires (S0,spirales sans bras)

• 61% Spirales (barrées et non barrées)(Sa-c, Sba-c)

• 4% Irrégulières

Classification

Galaxie elliptique : M87

La galaxie sombrero (M104) : Lenticulaire

Galaxie irrégulière : NGC 4449

Galaxie irrégulière : NGC 6822

Galaxie irrégulière : M82

Galaxies spirales

M100 et NGC2997 : spirales

NGC 1987 et NGC1300 : spirales barrées

Morphologie des galaxies

• Elliptiques : vues sous la forme d’une image elliptique d’axes a et b. On pose q=b/a. – Si ce sont des ellipsoïdes de révolution d’axes a0 et b0

(q0=b0/a0), inclinés de i par rapport au plan du ciel alors

– Si i ≈ 0, alors q ≈ 1 q0. Statistiquement on ne trouve pas assez de q ≈ 1. Les galaxies elliptiques sont plutôt des objets non-axisymétriques, des ellipsoïdes à 3 axes inégaux a,b,c.

Morphologie des galaxies• Lenticulaires :

– Axisymétriques. Intermédiaires entre elliptiques et spirales; – Gros bulbe par rapport au disque;– Pas de bras.

• Spirales : Systèmes axisymétriques à 3 sous-systèmes distincts: – Au centre : le bulbe ≈ galaxie elliptique.– Autour : le disque = zone active,

contient les bras spiraux et le gaz.– Tout autour : le halo, beaucoup moins

dense mais peut-être massif.– Bras spiraux = ondes de densité…

• Irrégulières : plusieurs sous-classes– Irrégulières magellaniques = Petites galaxies (109 – 1010 M) : Bulbe + barre +

petit disque– Galaxies bleues compactes : très petites (108 M) ≈ grosses régions H II

Magnitudes des galaxies• Magnitudes apparente et absolue : définition comme pour les étoiles:

• Les magnitudes absolues des galaxies varient entre −22 et −18• Loi de distribution empirique de Schechter (1976)

• MAIS, la distribution varie suivant lestypes : – α ≈ −1.7 pour les types tardifs

(Irrégulières) : plus de petites galaxies– α ≈ −0.7 pour les types précoces

(Elliptiques) : pic dus aux bulbes

AdAdMm

25Mpc)(log55pc)(log5

log5.20

MMMM d10exp10ln104.0d)(

dexpd)(

** 4.014.0*

Photométrie des galaxies (I)

• Elliptiques et bulbes des spirales– Hubble (1920) :

– De Vaucouleurs (~1950) :• Notion d’isophote = ligne de niveau de brillance superficielle

• Rayon isophotal : r = √ A/π si A est l’aire enfermée par l’isophote I

• Loi en r1/4 :

– Il y a aussi les lois de King (galaxies tronquées) et de Nuker (plusieurs paramètres)

20)(ar

= détermination de la brillance superficielle (magnitude par seconde carrée)

en divers points de l’image

lumièrela de moitiéla contenant Isophote

130.3)(

log4/1

rrrrKrI 12)(

Photométrie des galaxies (II)

• Disques des spirales et des lenticulaires :– Freeman (1970) :

– Sersic (1968, généralisation de la loi en r1/4) :

– Pour n=4, on retrouve la loi en r1/4; pour n=1, on a une loi exponentielle

– Il n’y a pas une simple transition de n=4 à n=1 du bulbe au disque d’une galaxie. S’y ajoute souvent une composante de type lentille.

/0 /mag3.065.21avece)( 0 IIrI rr

Répartition des galaxies dans l’Univers

• Les galaxies ne sont pas des systèmes isolés. Elles se rassemblent en « associations » :– Paires = deux galaxies en interaction proche.

Taille typique : 0. 1 Mpc Exemple : Nuages de Magellan / Galaxie

– Groupes = quelques dizaines de galaxies liées gravitationnellement. Taille typique : 1 – 2 Mpc. 85% des galaxies sont dans des groupes. Exemple : Le groupe local

– Amas = quelques milliers de galaxies. Amas réguliers et irréguliers. Taille typique : 10 Mpc. Exemple : Virgo, Coma

– Superamas = associations de groupes et d’amas. Taille typique ⋍ 100 Mpc. Exemple : Le Superamas local– Hypergalaxie = regroupement plan des superamas proches (≲ 200 Mpc). Encore sujet à débat.

Le voisinage solaire

Le voisinage solaire (2)

Le voisinage solaire (3)

La Galaxie

La Galaxie vue de dessus

Les galaxies liées à la nôtre

Le groupe local

Les groupes de galaxies proches

Les groupes de galaxies proches (2)

Le superamas local

Les superamas voisins

Le contenu des galaxies : contenu stellaire

On distingue Population I et Population II

• Population I :– Etoiles jeunes

– Etoiles bleues abondantes (type O, B) qui dominent la luminosité

– Métallicité élevée

Dans les bras des Spirales et les Irrégulières

• Population II :– Etoiles vieilles

– Luminosité dominée par les géantes / supergéantes rouges (type M)

– Faible métallicité

Dans les amas globulaires, les Elliptiques et le bulbes des Spirales

Composition chimique : métallicité

• Z = métallicité = témoin des conditions de formation de l’étoile

• Population I = Z élevé (⋍ Soleil)• Population II = Z faible (⋍ 0.001)• Etoile jeune : Z élevé• Etoile âgée : Z faible

Etoile de masse M

X = mH / M Soleil = 0.695 + Y = mHe / M Soleil = 0.285 + Z = mReste / M Soleil = 0.0169--------------------X + Y + Z = 1

Hydrogène

Hélium

Autres éléments

Le contenu des galaxies : milieu interstellaire– Dans les Elliptiques : moins de 0.1% de la masse

– Dans les Spirales : 5 à 10% de la masse

– Dans les Irrégulières : Plus de 30%

• On y trouve:– Du gaz : Atomique Neutre (H I) Ionisé (H II) Moléculaire (H2)

Plusieurs types Associé aux Nuages Moléculaires de nuages Etoiles chaudes (O,B) géants (GMC)

– Des poussières (⋍10% de la masse)• Pour l’observer :

– Poussières : Extinction

– H I : Raie à 21 cm (radio)

– H II : Difficile, pas de raies ⟹ Raie Hα de H I (6562 Å) + O II (9727 Å)– H2 : Pas directement (molécule symétrique), mais via la molécule CO dans

le millimétrique (molécule abondante, grande résolution, pas d’extinction)

Les poussières dans le milieu interstellaire

• Comment les voir ?– Indirectement : trous dans la Voile lactée– Directement : Nébuleuses par réflexion (diffusion de la lumière d’une étoile

chaude par les poussières)

• Effet principal : Extinction A⋍0.8 Mag / kpc– En réalité, A dépend de la longueur d’onde A = 〔 f(λ)+1 〕 AV– Résultat principal : A ∝ 1/λ S’explique par la nature

diélectrique des grains 0.1 – 10μm– Mais bosse à 2200 Å ?? Grains de graphite 0.02 μm ouC60 Fullerène ?– Conséquences : rougissement

+ difficulté d’observation à courte longueur d’onde

Le contenu des galaxies : Trous noirs supermassifs

• Il y a probablement au centre de chaque galaxie un trou noir supermassif de plusieurs millions de masses solaires.

• On distingue deux cas : 1. Galaxie non active : Le trou noir n’intervient que par sa masse⟹ Détecter des mouvements orbitaux au plus proche du centre2. Galaxie active : Le trou noir accrète de la matière ⟹ LuminositéOn estime la masse en disant

Ce qui permet d’estimer M en mesurant L. On trouve 106 – 1010 M⨀

Cycle de fonctionnement d’une galaxie

• Mais le Z est inhomogène : il décroît d’un facteur 3-4 du centre du disque vers les bords

• On ne connaît pas d’étoile avec Z = 0.

Etoiles Gaz interstellaire

Résidus non lumineuxGaz intergalactique ?

Formation

Conséquence

Le Z augmente dans la galaxie

Pop II

Résultats concernant les principaux types de galaxies

• Elliptiques:– Peu d’activité – quasiment pas de gaz interstellaire (pas assez….)

– Population II de grande métallicité

Ce sont des galaxies très évoluées

• Lenticulaires:– Contenu stellaire ⋍ Elliptiques– Peu d’activité (pas de régions H II)

– Pas de formation stellaire

– Plus de gaz que dans les Elliptiques

Pourquoi la formation stellaire s’y est-elle arrêtée ? Fonction de l’environnement ?

Résultats concernant les principaux types de galaxies (II)

• Spirales:– Bulbe et disque très différents

– Bulbe pris isolément galaxie Elliptique ⋍: Population II, pas de gaz plus vieux

– Disque = système beaucoup plus jeune : gaz interstellaire (5-10%), Population I, activité de formation stellaire, régions H II ( étoiles chaudes, donc ⟹jeunes) Système en évolution

– Le H I s’étend plus loin que les étoiles.

– La distribution est parfois dissymétrique

– Le H I est lié aux bras spiraux (contraste de densité 3-5). Le gaz est plus affecté par la structure spirale que les étoiles

– Le H II est lié à H I et présente parfois une région annulaire

Résultats concernant les principaux types de galaxies (III)

• Irrégulières:– Beaucoup de gaz : 30%

– Etoiles de faible métallicité Ce sont des galaxies peu évoluées

– Beaucoup d’étoiles jeunes, avec formation stellaire très (trop ?) active

• Exemple : galaxies bleues compactes– Elles ressemblent à de grandes régions H II

– On y trouve surtout des étoiles chaudes et massives (types O-B)

– Très fort taux de formation stellaire

Au point qu’à ce rythme , tout le gaz risque d’être consommé rapidement… Episode de flambée de formation stellaire ? Pourquoi ?

1. Zoologie des galaxies2. Gravitation et dynamique planétaire

• L’interaction de gravitation• Le problème des deux corps et les lois de Kepler• Le problème Képlérien perturbé et les théories planétaires• Les résonances

3. Dynamique stellaire4. Dynamique galactique

mars 2011 Licence 3 - Gravitation 42

L’interaction de gravitation

• La force de gravitation est la plus faible des forces fondamentales.• Mais c’est la seule qui est toujours attractive et qui agit à grande distance ( r-2) C’est elle qui régit les interactions à grande distance dans l’Univers– Les forces électromagnétiques sont écrantées à grand distance par la neutralité;– Les forces nucléaires n’agissent qu’à très courte distance ( e-r)

• Elle vérifie le principe d’équivalence : Elle est proportionnelle à la masse masse grave = masse inerte– Vérifié expérimentalement à mieux que 10-17 près

• G = Constante de la gravitation = 6.6732 x 10-11 m3 s-2 kg-1

• Force petite, à longue portée, toujours attractive, inexacte

La gravitation universelle (Newton 1687)

• Deux corps ponctuels de masses m1 et m2 s’attirent en raison inverse de leur distance r : m1 m2

• G = Constante de la gravitation = 6.6732 x 10-11 m3 s-2 kg-1

• Force petite, à longue portée, toujours attractive, inexacte– Théorie plus exacte : Relativité Générale (Einstein 1916)

2112 r

12F 21F

Le potentiel gravitationnel

• La force de gravitation dérive d’une énergie potentielle

• On place l’origine du repère à la masse 1, on raisonne en coordonnées sphériques (r,θ,φ). La force F1→2 s’écrit :

• Le potentiel gravitationnel créé par m1, c’est Ep/m2

GmrU 1)(

Théorème de Gauss

• Une distribution continue de matière de mass volumique crée le potentiel

• Cette équation peut s’inverser pour donner l’équation de Poisson

• Théorème de Gauss : Le flux du champ gravitationnel à travers une surface fermée est égal à 4G la masse à l’intérieur

• Se démontre avec Ostrogradsky :

rGrgrU 4

GMrrGrrgSrgVVS

4d4dd 33

Potentiel d’un corps étendu

• Pour un corps étendu de symétrie sphérique, le champ g(r) est nécessairement radial dirigé vers le centre.

• C’est la même expression que pour un corps ponctuel !

• Si le corps n’a pas la symétrie sphérique, on développe le potentiel en harmoniques sphériques

GMrgrSrgS

Potentiel d’un corps étendu

• Développement en harmoniques sphériques :

• Les Pn sont les Polynômes et fonctions de Legendre.

• Les Jn, cn,p et sn,p sont des coefficients numériques. Pour la Terre :

J2 = 1,082625103 (aplatissement polaire)

J3 = 2,534106 c2,2 = 1,571106 s2,2 = 0,903106

J4 = 1,623106 c3,1 = 2,190106 s3,1 = 0,272106

2 1,, sincoscoscos1

e pspcPPJr

nn ssn

snsP 1

2/2)(2

mars 2011 Licence 3 - Gravitation

Le problème des N corps= Trouver le mouvement de N points matériels d’attirant mutuellement

selon la loi de Newton

• N petit (≲100): Mécanique Céleste : On décrit le mouvement de chaque point.

• N grand: Dynamique stellaire : On ne s’intéresse qu’aux propriétés statistiques du système.

• Equation de base:

– Tout est là : Système différentiel d’ordre 6N

– On ne connaît de solution exacte que pour N=2 ⟹ lois de Képler– Pour N>2, on a quelques intégrales premières globales : 10 constantes

• Centre de gravité : • Moment cinétique• Energie

ijjiiiNiii

rrmGmrmrm

13..1),(

BtArmrm i

Le problème des 2 corps C’est le seul pour lequel on connaît une solution exacte

• Equations pour les deux corps

• • On fait la différence• C’est le problème Képlérien :

• La résolution du problème relatif est équivalente à celle d’un point matériel attiré par un centre massif de masse m1+m2. La résolution de ce problème conduit aux Lois de Képler.

• Il y a plusieurs méthodes de résolution : Formules de Binet, intégrales premières, etc…

mGmrmu

2111 ,

21direction la dans unitairevecteur ,21 urrr

mmGrrr

Les lois de Képler

• Elles découlent de la loi de la gravitation universelle, et régissent le mouvement relatif de deux corps qui s’attirent selon la loi de Newton

• Elles ont été découvertes expérimentalement par Képler avant la formulation de la gravitation universelle par Newton.

• Elles décrivent le mouvement des planètes avec une assez bonne approximation.

Les lois de Képler : loi 1• Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil

occupe un des foyers.

Les lois de Képler : loi 2 (loi des aires)• Le rayon vecteur qui joint le Soleil à la planète

balaie des aires égales en des temps égaux

Cette loi est équivalente à la conservation du moment cinétique

constanted

Les lois de Képler : loi 3• Les carrés périodes orbitales des planètes sont

proportionnels aux cubes des demi-grands axes

Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton

a (UA) 0.387 0.723 1.000 1.523 5.203 9.539 19.191 30.061 39.529

T (ans) 0.241 0.615 1.000 1.881 11.86 29.46 84.01 164.79 247.7

T2 / a3 1.0001 1.0001 1.0000 1.0001 0.9991 0.9998 0.9985 0.9997 0.9933

GMmMGa

2 444 constante

Résolution résumée du problème des 2 corpsPar les intégrales premières

• Energie :

• Moment cinétique : • Conséquence • Dans le plan C = r2(dθ/dt) Loi des aires (Loi de Kepler n°2)• Une autre intégrale première (Laplace) :

• On tire :

• Ensuite on appelle• C’est l’équation polaire de la trajectoire, une conique rapportée à un de ses

foyers, d’excentricité e. (Loi de Kepler n°1)

Cte221

d rrCrrt

CCrr plan est mouvement Le,

CpEuEe

Résolution résumée du problème des 2 corps• On montre aussi que

• On a donc trois cas :– h<0 e<1 : La trajectoire est une ellipse. Les deux objets sont liés gravitationnellement. Le mouvement est périodique.– h=0 e=1 : La trajectoire est une parabole, parcourue une fois. La vitesse relative est nulle à l’infini– h>0 e>1 : La trajectoire est une hyperbole, parcourue une fois. La vitesse relative est non nulle à l’infini.

• Dans le cas elliptique, on introduit a = p/(1-e2)=-/2h, le demi-grand axe.• On introduit le moyen mouvement

• On montre que la période du mouvement est T = 2/n, ce qui se traduit par la troisième loi de Kepler

• On tire :

• Ensuite on appelle

• C’est l’équation polaire de la trajectoire, une conique rapportée à un de ses foyers.

eEuCrp2

3222an

Formulaire Képlerien (elliptique)• On se place dans le repère propre

• On introduit – L’anomalie vraie = angle polaire

– L’anomalie excentrique u

– L’anomalie moyenne M = n(t-tp)

• Lien M u :

uearYuer

euarXu

ueuttnM

sin1sincos1sin

coscosd

sin1sin

coscos

Képler deEquation

Les éléments d’orbite

a = demi-grand axe

e = excentricité

i = inclinaison Longitude du

nœud ascendant Argument du

périastre

tp = Temps de passage au périastre

Le demi-grand axe et l’excentricité ne suffisent pas pour décrire entièrement l’orbite d’un astre. Il faut des angles pour préciser la position de l’ellipse dans l’espace

Excentricités et inclinaisons• Dans le Système Solaire, les excentricités et les

inclinaisons des planètes sont petites : Le système est ~ plan et tourne rond !

Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton

e 0.2056 0.0068 0.0167 0.0933 0.048 0.056 0.046 0.010 0.2488

i (degrés) 7.00 3.39 0 1.85 1.31 2.49 0.77 1.77 17.15

Le mouvement Képlérien perturbé• Dans de nombreuses situations, les corps célestes ont un mouvement

proche d’un mouvement Képlérien.

• Par exemple, les planètes du système solaire suivraient des orbites Képlériennes pures si elles ne subissaient que l’attraction du Soleil.

• En réalité, elles subissent en outre l’attraction de toutes les autres planètes. L’attraction solaire est dominante on peut encore décrire les mouvements à l’aide d’orbites Képlériennes qui vont lentement se modifier

• Dans le cas général, un mouvement Képlerien perturbé obéira à une équation du type

• On appelle mouvement Képlérien osculateur l’orbite Képlérienne que suivrait le corps si la perturbation disparaissait.

23avec

Equations de Gauss et de Lagrange• On peut transformer les équations du mouvement pour en déduire des

équations de variation des éléments orbitaux en fonction de . Ce sont les équations de Gauss.

uPeavPvrt

vPeavPert

vPevPat

Equations de Lagrange• Si la pertubation dérive d’un potentiel U, on peut transformer ces

équations en Equations de Lagrange

• Ces équations sont équivalentes aux équations de Gauss, pour le cas où la perturbation dérive d’un potentiel…

cossin1d

Variations séculaires : moyennes, développements

• Souvent, les équations de perturbation ne sont pas solubles telles quelles. On est amené à faire des approximations : moyennes et développements.

• Généralement, on s’ intéresse à l’effet à long terme de la perturbation. C’est justifié par la caractère perturbé du mouvement Képlérien. Le temps caractéristique de la perturbation est ≫ période orbitale.

• Or, la perturbation varie sur l’échelle de temps de l’orbite on va la remplacer par sa moyenne sur l’orbite. On écrit une série de Fourier

MMUttUP

kMGLUkMGLU

GLUGLMU

sin,,,,cos,,,,

,,,,,,,,,

Théories planétaires• Une théorie planétaire est un modèle du mouvement des planètes dans un

système planétaire (solaire ou non) autour d’une étoile.• C’est un cas particulier du problème à N corps où un des corps (le

« Soleil », numéroté 0, a une masse nettement plus grande que tous les autres. Les autres seront les « planètes ».

• On va supposer que toutes les planètes suivent des orbites Képlériennes perturbées autour du Soleil. On raisonne en variables héliocentriques rk = rayon vecteur Soleil – Planète k

• Equations du mouvement des planètes

• Point de départ : On développe les Uk,i en coefficients de Laplce

• Il n’y a pas a de théorie exacte, mais plusieurs typesde théories (à variations séculaires, générales…) de précision et complexité variables.

rrGmUUr

Théorie de Laplace-Lagrange• C’est la théorie linéaire la plus simple.

• Principe : On développe les Uk,i en puissances des excentricités et inclinaisons en s’arrêtant à l’ordre 2, et on moyenne le résultat sur tous les mouvements orbitaux Les demi-grands axes ak sont constants.

• On raisonne en éléments de Poincaré, pour chaque planète k

kkkkkkkkkk

kkkkkkkkk

ieLpieLq

eLpeLq

amMGLpMq

coscos112sincos112

cos112sin112

kjikk q

Théorie de Laplace-Lagrange• Résultat :

1. Pour i<k :

2. Pour i>k :

,2,2,2,222/3

ikikiikkk

ppqqpqpqa

,2,2,2,222/3

ikikiikki

ppqqpqpqa

nnnn p

Théorie de Laplace-Lagrange• Equations du mouvement :

où E et J sont des matrices nn.

• Résolution :

On diagonalise E2 et J2. Chaque composante a une solution sinusoïdale. En repassant dans la base initiale, la solution est une combinaison linéaire de solutions sinusoïdales

iiikkii

tsBtptsBtq

tgAtptgAtq

cossin

Théorie de Laplace-Lagrange• A et B sont les vecteurs propres, les ,,, sont des constantes d’intégration.

• Les gi’s et les si’s sont les valeurs propres des matrices E et J. Elles ont la dimension d’une fréquence. Ce sont les fréquences fondamentales de précession des orbites du systèmes planétaire.

• Les gi’s sont tous posifis, et les si’s sont tous négatifs, sauf un qui est nul (invariance par rotation).

• Dans le système solaire :

Indice i gi (/an) Période (ans) si (/an) Période(ans)

1 5.85909 221195 5.200748 249195

2 7.459556 173737 6.570095 197257

3 17.398552 74489 18.74556 69136

4 18.052003 71793 17.63585 73487

5 3.711292 349205 0 --

6 22.284414 58157 25.73827 50353

7 2.701372 479756 2.903761 446318

8 0.633134 2046960 0.823444 1913226

Exemple : évolution de l’excentricité de l’orbite terrestre

• L’excentricité de la Terre fluctue entre 0 et 0.06

• Ceci a un impact sur le climat terrestre

• Imprévisible sur une échelle de ~1 milliard d’années Chaos !

Résonances

• De manière générale, on parle de résonance dans un système dynamique lorsqu’un angle caractéristique cesse de précesser et se met à osciller autour d’une position d’équilibre.

• En mécanique céleste, on distingue 4 types de résonances1. La résonance de Kozai : arrêt de la précession de l’argument

du périastre .

2. Les résonances de moyen mouvement : important et fréquent

3. Les résonances séculaires : plus compliqué

4. Les résonances spin-orbite : liées aux effets de marée

Les résonances de moyen mouvement• Une résonance de moyen mouvement correspond à une

commensurabilité (=un rapport rationnel simple) entre les moyens mouvements (=les périodes orbitales) de deux corps dans une système planétaire

• C’est assez fréquent dans le Système Solaire:– Planètes

• 5 périodes de Jupiter = 2.013 périodes de Saturne• 3 périodes de Neptune = 1.99 périodes de Pluton

– Satellites de Jupiter• 2 périodes de Io = 1 période d’Europe• 2 périodes d’Europe = 1 période de Ganymède

– Satellites de Saturne• 2 périodes de Mimas = 1 période de Téthys• 2 périodes d’Encelade = 1 période de Dioné• 4 périodes de Titan = 3 périodes d’Hypérion

Résonances de moyen mouvement (II)

• Ces coïncidences ne doivent rien au hasard. Il s’agit de résonances autoentretenues.

• Certaines résonancesconcentrent des objets. Exemple:résonance 2:3 avecNeptune(Plutinos)

Résonances de moyen mouvement (III)

Résonancesavec Jupiter

Une coupe de la ceinture d’astéroïdes : Lacunes de Kirkwood

1. Zoologie des galaxies2. Gravitation et dynamique planétaire3. Dynamique stellaire

• Introduction – Problème des N corps• Théorème du Viriel – Temps dynamique• Hydrodynamique stellaire, Equation de Boltzmann• Théorème de Jeans, mélange dynamique• Systèmes à symétrie sphérique• Instabilité de Jeans• Relaxation

4. Dynamique galactique

Dynamique stellaire : Le problème des N corps

= Etude du comportement dynamique d’un groupe d’objets célestes où la force dominante est la gravitation

• Ca s’applique à :– Des amas d’étoiles

– Des galaxies

– Des amas de galaxies

• Ca ne s’applique pas à : – Le système Solaire

– Les systèmes d’étoiles multiples Mécanique Céleste

• Cadre des approximations : – On ne prend que les étoiles (Galaxie = milieu interstellaire 10%)

– La gravitation est due uniquement aux étoiles du système (= autogravitant)

– Etoiles = points matériels massifs (tailles ≪ distances relatives)– Pas de collisions Problème des N corps

Le théorème du Viriel scalaire= « Equilibre statistique » entre dispersion de vitesse et attraction gravitationnelle

• Hypothèse : • Signification : Le système garde en gros les mêmes dimensions ⟹ 2T+V=0moyenneen 0J

iii rrmV

.Viriel

VTrrmrmJ

scoordonnée de axes / inertied' moments

Le théorème du Viriel scalaire (II)

• Dans le cas du problème des N corps

• Une autre façon de le voir : Ω est une fonction homogène de degré -1 des coordonnées. Relation d’Euler:• Au bout du compte

• Conséquence : E = T+Ω ⟹ T=-E et Ω=2E ⟹ E<0 (système lié)

e)potentiell (Energie

Nji ij

i ijij

rrfrfrrmV

Conséquence du théorème du Viriel

• Vitesse moyenne des étoiles– v ̅ = vitesse moyenne des étoiles– m ̅= masse moyenne des étoiles

• Si M = Nm ̅, alors 2T+Ω = 0 ⟹ r

vmNrmT

Nji ij

médianrayon r

Conséquence du théorème du Viriel

• Temps dynamique = temps moyen pour traverser le système = Echelle de temps minimale d’évolution du système.

– Amas d’étoiles : td 10⋍ 6 ans

– Galaxie : td 10⋍ 7 ans

– Amas de galaxies : td 10⋍ 8 - 109 ans

td âge du système≪

Hydrodynamique stellaire

• Espace des phases– A l’instant t, l’étoile i est caractérisée par ses vecteurs position et vitesse

– C’est un point dans un espace à 6 dimension appelé Espace des phases

• Fonction de distribution– C’est la densité dans l’espace des phases :

– Applications: densité / potentiel

rrvrtvr

d mepetit voluun dans vitessede

3d mepetit voluun dans position de t à étoilesd' Massedd,,

tvr ,,

3,2,1,3,2,1, ,,,,, iiiiiiii vvvvxxxr

vtvrtr 3d,,,

trGtrU

Equation de Poisson

☞ C’est une densité lissée !

Hydrodynamique stellaire• Equation de Bolzmann C’est l’équation d’évolution de

– Dans l’espace réel, on a

– Dans l’espace des phases, la matière se conserve ⟹ Equation de continuité– C’est quoi ? C’est le flux de Ψ…

tvr ,,

321321

0 :Boltzmann donc0Or

,,,,,3..1

Uvvvfi

t vrii iii

),,( tvr

),( tr ),( trU

Dérivées de Ψ

Intégration Poisson Boltzmann

Equations de JeansEquations de Jeans = Moments de l’équation de Boltzmann

≡ Equations de l’hydrodynamique

• Première équation :

⟹ = Equation de continuité

vvvvvx

i iiiv

ii ii ii

3333Boltzmann

Equations de Jeans

• Deuxième équation

: vitessede Dispersion

sinon 0 j,i si 10

3333Boltzmann

jijijjiiij

ji ijij

ii ijijj

vvvvvvvv

Equations de Jeans

• On retrouve l’équation d’Euler. Le terme s’apparente à un gradient de pression . C’est vrai si le tenseur est isotrope.

= Tenseur des contraintes

• Les xi se calculent comme les racines de Pn et les i vérifient :

Continuité

Intégrales premières• Pour une étoile donnée, une intégrale première, c’est toute fonction

qui reste constante le long de son mouvement

• I1,…,In sont indépendantes ⇔ ∄ g(I1,…,In ) = 0• I conservative ⇔ I ne dépend pas du temps : • I non isolante ⇔ L’hypersurface « I = cte » est partout dense dans

l’espace des phases• ☞ Si le potentiel est stationnaire on connaît déjà l’énergie

• Il ne peut pas y avoir plus de 5 intégrales premières conservatives, indépendantes et isolantes (question de dimension de l’espace des phases)

cte),,( tvrI

),( vrI

1 rUvI

Intégrales premières• Exemple : Le pendule de Foucault

• Intégrales premières

ISOLANTEaussi Energie

ISOLANTEEnergie

Conclusion :I3 n’est pas isolante !

Théorème de Jeans• est une intégrale première conservative :

⟹ I est une solution de l’équation de Boltzmann ! Et si I1,…Ik le sont, toute fonction g(I1,…Ik ) le sera aussi.

• Inversement, en régime stationnaire vérifie DΨ/Dt=0⟹ C’est une intégrale première, conservative en régime stationnaire !• En régime stationnaire, la fonction de distribution est une fonction arbitraire des intégrales premières indépendantes et conservativesMieux :• En régime stationnaire, la fonction de distribution n’est fonction que des

intégrales premières indépendantes, conservatives, isolantes. Il y en a 5 au maximum

• Si les orbites sont régulières et les fréquences incommensurables, Ψ n’est fonction que de 3 intégrale (Théorème de Jeans fort)

),( vrI

IUIvtI vr

),( vr

Mélange dynamique• En général, l’état du système est stationnaire :

• Pour atteindre cet état, il faut un temps tm appelé temps de mélange dynamique.

• On trouve (résultat numérique) : tm ≈ 30 td• Dans tous les cas, td est très inférieur à l’âge du système

⟹ L’état stationnaire a largement le temps de s’établir.

Systèmes à symétrie sphérique

)(221 rUvE

• Ce sont des systèmes où le potentiel a la symétrie sphérique.En coordonnées sphériques (r,θ,φ), on a U(r).

• Combien y a-t-il d’intégrales premières ?– On a déjà l’énergie

– La force est centrale

⟹ est constant• Théorème de Jeans fort ⟹ • Mais la fonction de distribution doit avoir la symétrie sphérique

⟹ Ψ(E, L)• On a souvent Ψ(E). Si Ψ (E), alors

Si Ψ(E, L)

),( LE

222 vvvr

• Si Ψ(E), on définit

avec Ψ(ε)>0 si ε>0, 0 sinon.Equation de Poisson : Δϕ = -4πGρ

• On injecte dans l’équation de Poisson

• Si on connaît Ψ, on tire ρ et ϕ en résolvant l’équation.

relative Energie

relatif Potentiel2

222132

d2164d

• Inversement, connaissant ρ, peut-on tirer Ψ ?

Ceci est une équation intégrale d’Abel. Elle s’inverse en

Formule d’Eddington (1916)

• On injecte dans l’équation de Poisson

• Si on connaît Ψ, on tire ρ et ϕ en résolvant l’équation.

Systèmes à symétrie sphérique: exemples • Exemple 1 : Polytropes et modèle de Plummer

On calcule la densité et on obtient ρ = cn ϕn (cn constante)

Poisson ⟹On pose :Equation de Lane-EmdenPour n=5, la solution est

C’est le modèle de Plummer, représentation moyennement correcte d’un amas globulaire.

sinon0

0 si23

rrrMmFc

Systèmes à symétrie sphérique: exemples • Exemple 2 : Sphère isotherme

Une solution, c’est

r0 = Rayon de King. On a ρ(0)=∞ ! Sphère isotherme singulière. Pour avoir ρ(0) il faut prendre les autres solutions de l’équation. De toutes façons on a M(∞)=∞ ! Amélioration : Sphère isotherme tronquée de King On trouve ρ=0 pour r≥rt On appelle concentration

222 /0

sinon0

0 si1e2

2/2/32

L’instabilité de Jeans

• C’est l’instabilité d’une sphère autogravitante face à l’effondrement gravitationnel

• On considère une sphère initialement en équilibre avec un potentiel U0 uniforme, et une densité ρ0 uniforme.C’est impossible ! ΔU0=4πGρ0≠0 ! ⟹ U0 pas uniforme !

• Jeans l’a quand même appliqué en supposant que ça vaut pour la surdensité par rapport à ρ0. En fait, notre sphère fait partie d’un système à plus grande échelle.

I – Instabilité de Jeans dans un fluide • On écrit les équations de l’hydrodynamique et l’équation de Poisson

• On dit ρ = ρ0+ρ1 avec ρ1≪ρ0 , et ainsi de suite pour les autres variables.

Equation de continuité linéarisée

enégligeabl

101010

I – Instabilité de Jeans dans un fluide • On linéarise les autres équations

• On y rajoute une équation d’état : hypothèse perturbation adiabatique P ∝ ργ• Vitesse du son • On élimine P1 :

Equation de continuité linéarisée

PUUvvvvvvt

• On dérive l’équation de continuité et on remplace :

• Equation de Poisson ⟹ • On cherche une solution ondulatoire : (+ symétrie sphérique)

• On pose

04 011

Equation d’évolutionde ρ1

trkiCtr

exp,1 0

k s Equation de dispersionk ⇿ ω

Nombre d’onde et longueur d’onde de Jeans

• L’équation de dispersion devient

• Si λ < λJ ⇔ k > kJ, on a ω2>0, donc ω réel est oscillant ⟹ oscillations ⇔ stabilité

• Si λ > λJ ⇔ k < kJ, on a ω2<0, donc ω imaginaire pur est exponentiel réel ⟹ divergence ⇔ instabilité !!

• Masse de Jeans = masse d’une sphère de diamètre λJ

• Si cs2 = γkT/μ,

• Cette masse est susceptible de s’effondrer sous son propre poids (perturbation ∼ λJ)• Exemple : Nuage moléculaire H2, n=2000 cm-3, T=7K ⟹MJ≃11 M

• On pose

Si λ > λJ , le système s’effondre

II – Instabilité de Jeans dans un système stellaire

• Il faut repartir des équations de Bolzmann et de Poisson linéarisées

• Problème: Que vaut ?? Oui, mais U0 uniforme ⟹• On cherche

100111

vr Uvt

trkivtrkiUU aa

exp,exp 11

Equation de dispersionk ⇿ ω

• Si on veut aller plus loin, il faut faire une hypothèse sur Ψ0 Distribution de Maxwell⇾

• On reporte, en supposant

• Avec ça devient

• La limite stabilité/instabilité se trouve en ω=0 .Pour ω=0 , on trouve

• On doit avoir des solutions stables pour k>kJ

et des solutions instables pour k<kJ .

2222 2/2/322

2/2/32

Oxk //

• Dans l’instabilité : ω=iγ

• On trace la relation de dispersion normalisée

• En fait, il n’ya pas de solutions oscillantes pour le système d’étoiles (amortissment de Landau).

kkkk t

vvJ de

2kerf1

Relaxation• En régime stationnaire, le théorème de Jeans dit

• En réalité, il n’y a pas de régime rigoureusement stationnaire

• Pourquoi ?– Parce qu’en considérant un potentiel lissé, on fait une approximation

– C’est principalement lorsque deux étoiles sont « proches » l’une de l’autre que les écarts au potentiel lissé comptent.

– Ce sont les rencontres qui font évoluer l’état stationnaire. Ce phénomène est appelé relaxation à deux corps.

• Temps de relaxation = temps au bout duquel l’état stationnaire est sigificativement modifié

• Avec les rencontres

constantes,,,,avec,,,,, 5432154321 IIIIIIIIII

variableslentement ,,,,avec,,,,,, 5432154321 IIIIItIIIII

Calcul du temps de relaxation

• On s’intéresse aux rencontres. Leur effet principal est une déviation des étoiles

infinil' à vitesse

impactd' paramètre

KéplérienMouvement

2122221

vvbvbrL

mmGrrrr

• On aboutit finalement à

• N = nombre d’étoiles

• Hypothèses

• D0 = Distance moyenne séparant deux étoiles voisines

Les déflexion sont très petites ! La relaxation est un phénomène mineur…

22 d21

Mmmm c

121 3/2

• Hypothèses– 1 étoile test a une vitesse v ̅ – Les autres sont (en moyenne) immobiles– Chaque rencontre est caractérisée

par sont paramètre d’impact b etun angle θ

– ⟹ Pour une rencontre, on a le changement de vitesse

• tr = Temps qu’il faut pour changer significativement la vitesse dans une direction perpendiculaire (y ou z) au mouvement

– Nombre d’étoiles rencontrées pendant Δt, entre b et b+db, θ+dθ : – Changement de vitesse moyen au bout de Δt– ⟨Δvy =0⟩ (algébriquement nul), mais (⟨ Δvy)2 ≠0⟩

• Le changement de gradient dans un déplacement infinitésimal vaut

• Une fois qu’on a minimisé le long de u, si on recommence le long de v, il faut que le gradient reste perpendiculaire à u.

• Les directions u et v sont alors dites conjuguées.

ddd bbtvm

• tr = Temps au bout duquel (⟨ Δvy)2 ⟩ ≈ v ̅2

• tr ≫ td La relaxation est un phénomène lent !

• Amas ouvert : tr 10∼ 7 ans ; Amas globulaire : tr 10∼ 9 ansGalaxie elliptique : tr 5∼ ×1014 ans ; Galaxie spirale : tr 10∼ 13 ans (plus court en réalité à cause du gaz)

• La relaxation fait « oublier » les conditions initiales.

grand) et 4

ln2ln4 2

Relaxation violente

• La relaxation peut être due (momentanément ou non) à autre chose que les rencontres à deux corps → en général ça raccourcit (beaucoup) tr

• La relaxation violente correspond à– Un système hors équilibre– Une accélération violente de la relaxation et de l’évolution physico-

chimique– tr ∼ quelques td

• Exemple : galaxies elliptiques

• Si l’état est stationnaire E est une constante !• Si l’évolution est hors équilibre, E est non conservée

⟹ Relaxation violente !

Evasion : temps de vie• Ψ n’est pas stable au cours du temps…

• Existe-t-il une état « superstationnaire » invariant par rapport aux rencontres ?

• Le seul état possible c’est la distribution de Maxwell

• MAIS, une étoile qui atteint une vitesse trop grande (> vitesse d’évasion) s’évade du système…⟹ On n’atteint JAMAIS la distribution de Maxwell, car les étoiles s’évadent⟹ Le temps de vie du système peut être fini !

Evasion : temps de vie• Taux d’évasion :

– = Energie potentielle moyenne par étoile– = Energie potentielle pour un couple d’étoiles

• Une étoile qui s’évade juste (v = ve) a une énergie nulle

• L’énergie est constante; ∼ E = cte, Ω = cte, T = cte Le système se contracte

vvUvm ee 2221

Maxwell

Perte d’étoiles v≥ve

Reconstitution par relaxation0074.0dt

2/72 NtNr r

0 rrvv

1. Zoologie des galaxies2. Dynamique stellaire 3. Dynamique galactique

• Systèmes axisymétriques. Troisième intégrale• La rotation différentielle de la Galaxie• Approximation d’ordre 1 : mouvement épicyclique• Modèles de potentiels galactiques • Structure spirales des galaxies• Orbites des étoiles : Résonances de Lindblad• Barres

Dynamique galactique• Une galaxie est un système stellaire de symétrie axiale (en première

approximation) . En coordonnées cylindriques ⨉ ⨉→ Dans la réalité, le gaz rend les choses plus compliquées…• Intégrales premières

– Etat stationnaire ⟹ U(r,z,tu)– Il y en a forcément d’autres, sinon on a isotropie

– Théorème de Jeans fort : Sauf cas particulier, il y a au maximum une autre intégrale isolante I3, mais pas plus

– Problème : Existe-t-il une troisième intégrale ou n’y a-t-il que I1 et I2 ?– En fait I3 est nécessaire, mais historiquement, on a cru le contraire…

),,(;),,( zrzrU

),(221

1 zrUvEI

cte22 rvrLI z

Une troisième intégrale ?• Supposons que l’on ait seulement I1 et I2…

• vr et vz ont le même rôle ⟹ ⟨vr2⟩ = ⟨vz2⟩Or, dans le voisinage solaire, ⟨vr2⟩ ≈ 2⟨vz2⟩⟹ I3 existe nécessairement

• Mais que vaut I3 ? Quelle est sa signification physique ?

zrzzrzzz

zrrzrrzr

vvvvrvvvvzrUvvLEv

rvvvvzrULE

ddd,,d,

222221322

Approximation de Oort - Lindblad• On suppose z petit (on reste près du plan galactique) :

• Alors est conservée.

• Ce n’est qu’une approximation. Sinon on devrait avoir ⟨vr vz⟩ = 0Ce n’est pas le cas dans le voisinage solaire pour les étoiles à grande vitesse. Donc…

zUrUzz

UrUzrU

zUvI z 22

zUvrvvvvzrU zzr 22

21 ,,,

La rotation de la Galaxie• La rotation de la Galaxie est différentielle

= toutes les étoiles ne tournent pas avec la même vitesse angulaire. On a v(r) = rω(r), T(r)=2π/ω(r) ω(r) est une fonction décroissante de r. Soleil : T⊙ = 2.5×108 ans

• Détermination au voisinage du Soleil– On cherche à déterminer ω⊙ et (dω/dr)⊙ – La position d’une étoile voisine par

rapport au Soleil: distance d et angle l – On peut connaître observationnellement

d, l et ses dérivées.

sinsin222

1-1-21

kpcs km 312

kpcs km 5.114dr

rAConstantes de Oort (1927)

La courbe de rotation de la Galaxie• Plus loin, on utilise la raie à 21 cm.• Résultat :

• Limites : On a supposé que les orbites sont circulaires : C’est faux !• On peut en théorie en déduire le potentiel U(r) dans le plan galactique

(mouvement à l’ordre 0) Mais c’est très imprécis

• Rappel: Potentiel Képlérien

Jamais observé dans aucune galaxie !

Rotation solide

Rotation différentielle

Ordre 1 : mouvements épicycliques

• On considère une étoile sur une orbite circulaire perturbée.

ξ,η,z ≪ r0 car U(r,z)

• On développe, on ne garde que les termes du 1er ordre : pas de • On développe aussi le potentiel en fonction des dérivées partielles

Ordre 1 : mouvements épicycliques

• On tient compte des symétries du potentiel par rapport au plan galactique, et de la solution à l’ordre 0:

(2) (3)

• L’ équation (3) est indépendante des deux autres ⟹ Le mouvement en z est indépendant ⟹ Il y aura bien une troisième intégrale.

)0,()0,(

)0,( 000

,0,0 rr

zrrzrrzrr

cos)()3(r

Uttztz

• On pose Fréquence épicyclique

• Il y a trois fréquences fondamentales : κ0, ωz, ω0• Dans le voisinage solaire :

κ0 ≈ 32 km s-1kpc-1 ; ωz ≈ 72 km s-1kpc-1 , ω0 ≈ 25 km s-1kpc-1

0,00,2

Mouvements épicycliques : solution

1. Supposons a=0. Le mouvement en (ξ,η) se fait sur une ellipse à la fréquence κ0

2. Si c=0, ξ=cte, dη/dt=cte Mouvement circulaire à ⟹ r ≠ r0. 3. Dans le cas général a ≠ 0, c ≠ 0, on peut toujours se ramener au cas 1. en changeant

r0.4. En plus, on a mouvement oscillatoire en z. Au total, l’orbite emplit tout un volume

cylindrique. On a 3 intégralesisolantes et 2 non-isolantes.

5. Sauf si κ0, ωz, ω0 sont dans un rapportrationnel simple (résonances)

Trajectoire ⟹

Mouvements épicycliques : cas particuliers

1. Potentiel Képlérien

Toutes les intégrales sont isolantes L’orbite est fixée !⟹

2. Rotation solide :

3. Rotation plate :

Dans la pratique, on est toujours entreles cas 1 et 2 ⟹A cela se rajoute toujours la relaxation sousL’effet aléatoire des rencontres.

0 20cte

cte)( 00220

Modèles de galaxies• Idée: Se donner des modèles mathématiques

(paramétriques) ad-hoc de potentiels/densités de galaxies et les ajuster aux observations.

• Buts : Pouvoir estimer les masses, et explorer numériquement la dynamique.

• Condition imposée : Avoir une troisième intégrale I3 par construction

• Modèles classiques : Brandt, Kuzmin, Miyamoto-Nagai

• Modèles modernes : Potentiels de Stäckel.

Potentiels de Stäckel• Coordonnées sphéroïdales axisymétriques

• Potentiel de Stäckel:

• Il y a une troisième intégrale

avec,,

quand~avec

zvcaLLI zyx22

212222

On tire ρ(λ,ν)de l’équation de Poisson

Potentiels de Stäckel• Exemple : Potentiel de Kuzmin-Kutuzov

• Dans le plan galactique (z = 0 ⇔ ν = c2) , cela donne

Courbe de rotation →

Structure spirale des galaxies• 61% des galaxies sont spirales

• Notre Galaxie a une structure spirale

• En général, on observe deux bras spiraux, mais il y a des irrégularités

• Les étoiles jeunes sont dans les bras → lien clair avec la formation stellaire.

• Les bras sont peu enroulés, alors que les galaxies ont connu ~50 rotations depuis leur formation.⟹ Les bras sont des structures immatérielles, où les étoiles ne font que passer

• Ce sont des ondes de densité. Quelle est leur origine ?

Ondes de densité cinématiques(Kalnajs 1975)

Ondes spirales• L’onde spirale est une perturbation non-axisymétrique du potentiel

stationnaire axisymétrique

• Perturbation spirale :

• Si U1*(r)=A(r) e-iϕ(r) ,

• à t donné, les points où la phase est égale à C c’est

• à t+dt pour avoir le même C, il faut • ⟹ La spirale tourne à

0110 ;,,,,, UUzrUzrUzrU

krfkCmtr

mtirUzrU exp,, *11

Amplitude complexe Constante Entier = nombre de bras

mtrrAzrU cos,,1

Spirale à m bras !

ttt dd

Ondes spirales : suite

• On pose :

k(r) >0 concave (trailing) k(r)<0 convexe (leading)

• |k(r)| grand ⇔ onde très enroulée; |k(r)| petit ⇔ onde peu enroulée;

• k(r) est très affecté au voisinage de certains r particuliers correspondant à des résonances

Vecteur d’onde et longueur d’onde

Mouvement des étoiles dans un champ spiral

• On part du potentiel perturbé

• On considère une étoile dans le plan (z = 0), sur une orbite circulaire perturbée, et on écrit les équation du mouvement

• On aboutit à un système similaire à celui des mouvements épicycliques, mais il reste les dérivées de U1 par rapport à θ .

r-rr,avec

0110 ;,,,, UUrUzrUzrU

timrUrU sexp, *11

000000

• On élimine tous les termes d’ordre 2 (U1 est d’ordre 1). Il reste

• On injecte la forme spirale de U1 avec θ ≈ ωt

• Solution :

(petites) forcées nsOscillatio

)(épicycleslibres nsOscillatio

0 expee 00 timm

Conséquence : Résonances de Lindblad• Problèmes si– Ωs = ω0 : Résonance de Corotation

– κ02‒m2(Ωs ‒ ω0)2 = 0 : Résonances de Lindblad :

Résonance interne (ILR)

Résonance externe (OLR)

Corotation

Un modèle linéaire de structure spirale

• On ne va considérer (pour l’instant) que le gaz

• On va considérer un disque mince.

• On écrit les équations de l’hydrodynamique et l ’équation de Poisson

• On dit qu’il existe une solution non spirale de mouvement circulaire ω0(r), et que le mouvement réel est une perturbation.

errrwerurvrr

• Le disque est mince : ρ→σ=∫ρ dz• La pression ? On dit a0 = vitesse d’agitation• σ(r,θ,t) = σ0(r)+σ1(r,θ,t) ; U(r,θ,t) = U0(r)+U1(r,θ,t) • → On tire les équations décrivant les variations de u, w, σ1, U1• En coordonnées cylindriques, on obtient

+ Poisson ΔU = 4πGσ δ(z)• Ensuite, on linéarise : σ = σ0+σ1, etc…. On ne retient que les termes

du permier ordre

• Il reste

• On peut réécrire la troisième équation :

• On considère maintenant des perturbations spirales :

mtirUU

mtirww

mtiruu

• Et on injecte dans les équations

avec k vecteur d’onde , et

ν = 0 ⇔ Corotation ; ν = -1 ⇔ OLR; ν = 1 ⇔ ILR.

x = tanα, avec α angle d’ouverture la spirale ν représente le rapport entre la fréquence des oscillations forcées m(Ωs‒ω0) et la fréquence naturelle d’oscillation κ0

ikxuwi

Approximation WKB1. Tight winding : x ≪ 1 ⇔ La spirale est bien enroulée

(α=6.3° dans la Galaxie)⟹ On va négliger les termes en x

2. Négliger les dérivées spatiales : Il y a des termes de la forme

On dit ⇔ Pas de variations radiales brusques

Tight winding ⟹On va donc négliger toutes les dérivées par rapport à r

⟹ Il reste un système linéaire

FikFkF

Résolution : relation de dispersion• Résolution du système

(3 équations, 4 inconnues)

• Equation de Poisson

• Simplification : on dit σ1 ≈ cte jusqu’à et 0 au-delà .Que peut valoir R ? Typiquement R~|1/k|

• La combinaison des 4 équations fournit la relation de dispersion

GGRUrGRrU

Equation de dispersion : discussion

• On pose . La relation de dispersion devient

• C’est une équation du 2ème degré en |k|/k0 ! • La limite de stabilité est donnée par ω = 0 ⇔ ν = 0. Pour tout k,

on doit avoir ω2 > 0 jusqu’à m = 0.• Stabilité ⇔ Q ≥ 1 ⇔ • La pression (ou la turbulence) doit être suffisamment importante pour

s’opposer à l’effondrement gravitationnel…

0014 0

Equation de dispersion : disque stellaire

• Dans le cas d’un disque stellaire, il faut repartir de l’équation de Boltzmann ou des équations de Jeans.

• On introduit une dispersion de vitesse σv qui joue un rôle équivalent à a0.

• La difficulté vient de la combinaison des mouvements épicycliques et des perturbations spirales.

• On aboutit à une nouvelle équation de dispersion:

avec Facteur de réduction

2dsinssine

( k0 et ν définis comme précédemment)

Stabilité : Critère de Toomre

• On a stabilité si ω2>0 ∀ m ≥ 0. Critère• de Toomre

• Ce critère de stabilité est très proche de celui du disque de gaz

• Dans notre Galaxie : Q ≈ 1.3• Quand il y a stabilité, on écrit les solutions l’équation de dispersion k = f(ν) pour

le disque de gaz

Ondes courtes Ondes longues

• En fait, on a ±kl et ±kc ⟹ Ondes trailing ET leading

k v 0,0120

F 0358.3 0

Solutions de l’équation de dispersion• Dans le cas du disque

stellaire, on trouve aussi des ondes longues et des ondes courtes.

• Pour une valeur de Q donnée, il est possible que dans certains domaines de ν il n’y ait pasde solution en k ⟹ ondesévanescentes.

• Pour le disque stellaire, les ondes n’existent pour un Q donné que dans un domaine 0 ≤ |νm| ≤ |ν| ≤ 1 ⟹ L’onde ne peut pas exister partout dans la galaxie !

• Dans le cas du disque de gaz kc dépend essentiellement de a0, pas kl. Les ondes courtes sont des ondes ~sonores qui sont sujettes à l’amortissement de Landau dans un disque stellaire.

Solutions de l’équation de dispersion• Dans le cas stellaire, les ondes spirales

n’existent que pour

donc entre les résonances de Lindblad,et pour Q > 1, à l’exclusion aussi d’une zone autour de la corotation

• La région d’existence des ondes est d’autant plus grande que m est petit.

• Cela favorise les modes à m petit, donc m = 2 (1er mode symétrique)

• Dans le cas Q ≫ 1 (⇔ L’autogravité est négligeable), l’onde ne peut exister que si ν ≈ ±1 . ⇔ l’onde stationnaire ne peut se développer que s’il y a résonance entre la fréquence forcée et la fréquence naturelle.Exemple : Potentiel Képlérien ⟹ Les ondes sont quasi inexistantes !

• A chaque itération, on teste un saut aléatoire de la solution, qui induit une variation de χ2 : Δχ2.– Si Δχ2<0, on applique le saut;– Si Δχ2>0, on l’applique avec la probabilité e-Δχ2/T(n)

• Cette technique peut permettre de sortir d’un minimum local.

Evolution des paquets d’ondes

• La vitesse de groupe (= vitesse de déplacement d’un paquet d’ondes) s’écrit vg=dω/dk (vitesse de phase c=ω/k )

Pente sur les courbes

Un paquet d’ondes évolue toujours dans le sens des k croissants.

Evolution des paquets d’ondes (2)

• A : Onde courte, leading, se déplaçant vers la corotation

• C : Réflexion contre la corotation, puis onde longue leading

• E : Réflexion contre l’ILR (OLR), puis onde leading, longue d’abord (F), puis courte

et disparition par amortissement de Landau.

Remarque : En E , WKB est douteux…

Amplification swing• Tout paquet d’ondes doit passer par la séquence

court leading → long leading → long trailing → court trailing

• Les simulations numériques montrent que l’amplitude de l’onde augmente considérablement quand l’onde passe de leading à trailing.

• Ce phénomène non-linéaire est appelé amplification swing. Il n’est pas prévu dans le cadre de l’approximation WKB

• Il trouve son origine dans une coïncidence entre la vitesse d’une étoile dans son mouvement épicyclique et la vitesse de déroulement du bras.

• Ce phénomène est d’autant plus important que Q est proche de 1 (≲ 1.5)⟹ L’existence de ce phénomène explique qualitativement pourquoi toutes les spirales observées sont trailing : Leur amplitude est plus grande !

Barres• Les barres sont des exemples de structures triaxiales, plates.

• Ce ne sont pas des ondes de densité en mouvement. Les étoiles qui sont dans la barre y restent.

• Elles se forment comme des ondes stationnaires par interférences entre ondes leading et trailing.

• Quelle est leur origine ? Dans certaines galaxies, il est possible qu’il n’y ait pas de résonance interne de Lindblad.

Potentiel de Kuzmin-Kutuzov c/a=1/2

Barres (2)• Ca se produit typiquement quand Ωs est

grand. Dans ce cas, un paquet d’ondesdevenant trailing ne peut pas se réfléchir contre l’ILR

Il se propage jusqu’au centre ! ⟹• Ensuite, il ressort sous la forme d’une

onde leading de même amplitude se propageant vers l’extérieur

• Interférence :(m = 2)

• Θ et t sont découplés = Onde stationnaire = BARRE !

2coscos)(2

2cos2cos1

trrAtrrAU

Barres (3)• Problème : L’onde leading réfléchie sur ce centre va recommencer un

nouveau cycle leading → trailing→ Et recommencer à se propager jusqu’au centre

• Mais à chaque tour, l’amplification swing modifie l’amplitude de l’onde ⟹ Instabilité ! (de barre)

• Dans la pratique, la barre croît de l’intérieur vers l’extérieur sans dépasser la corotation

• La barre attire des étoiles de ω0 de plus en plus petit ⟹ Le champ spiral ralentit ⟺ Ωs diminue⟹ Une résonance interne de Lindblad apparaît⟹ Le processus de croissance de la barre est stoppé⟹ La barre se stabilise

• Dans une galaxie avec une forte ILR, on ne forme pas de barre.

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