modelowanie systemów - wiedza eksperymentalna (identyfikacja systemów)
Post on 30-Dec-2015
99 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Modelowanie systemów - wiedza eksperymentalna (identyfikacja systemów)
Marcin BogusiakPaweł Pilewski
Plan wykładu
• Co to jest identyfikacja systemu?
• Wiedza eksperymentalna.
• Określenie klasy modelu.
• Określenie parametrów modelu.
• Modelowanie systemu w oparciu o wiedzę eksperymentalną.
• Wskaźnik jakości.
• Przykład praktyczny.
• Przykład wyznaczenia modelu obiektu.
• Algorytm identyfikacji - przykład.
• Główne problemy, które możemy napotkać.2
Co to jest identyfikacja systemu?
• Identyfikacja systemu - to wyznaczanie modelu matematycznego systemu na podstawie wiedzy o jego zachowaniu (wiedza eksperta, wiedza eksperymentalna)
3
Wiedza eksperymentalna
• Wiedza eksperymentalna - wiedza o obiekcie (systemie) uzyskana na podstawie szeregu przeprowadzonych obserwacji i pomiarów.
4
Określenie klasy modelu
• Wyniki szeregu przeprowadzonych eksperymentów dają możliwość określenia klasy modelu. Na poniższych wykresach prezentowane są przykładowe klasy wielomianowe.
5
Określenie parametru modelu
• Załóżmy, że wybraliśy klasę modeli liniowych, zatem szukamy parametru "α"
• Parametr ten wyznaczamy w oparciu o wiedzę eksperymentalną
6
Określenie parametru modelu - cd
• Typowy oparty jest o metodę najmniejszych kwadratów.
• Jest to jedna z metod pozwalających wyznaczyć parametry modelu, gwarantująca wynik o najmniejszej sumie kwadratów błędów.
• Przyjmijmy wskaźnik modelu: suma różnic kwadratów odległości prognozowanych i obserwowanych wielkości wyjścia dla ustalonych wejść.
7
Określenie parametru modelu - cd
• Zatem z rodziny prostych wybieramy tę prostą o parametrze α*, która ma najlepszy wskaźnik.
• Który wskaźnik jest najlepszy? - ten o najmniejszej wartości Q 8
Modelowanie systemu w opaciuo wiedzę eksperymentalną - SZUKANE• Wybór najlepszego modelu w klasie
• Dobór parametru modelu w taki sposób, aby wskaźnik jakości identyfikacji był najlepszy.
9
Modelowanie systemu w opaciuo wiedzę eksperymentalną - DANE• Wiedza eksperymentalna
• Klasa modelu, np.
• Wskaźnik jakości identyfikacji
10
Wskaźnik jakości
• Porównywanie wartości rzeczywistych (yrz)
z prognozowalnymi wartościami z modelu (ym).
11
Przykład praktyczny - model czasowy
• Wyznaczenie modelu czasowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania
12
Przykład praktyczny - model kosztowy
• Wyznaczenie modelu kosztowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania
13
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Dane: wyniki z przeprowadzonego eksperymentu, klasa modelu i wskaźnik jakości (kryterium).
14
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Na początku rozważmy trzy możliwe parametry.
15
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Otrzymane dla modelu y=1u wyniki zapisujemy w tabeli.
16
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Dla modelu y=2u
17
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Dla modelu y=1,5u
18
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Wniosek jest taki, że z trzech modeli
najlepszy okazał się model
• Jednak jest on najlepszy tylko z trzech rozpatrywanych, a jak wyznaczyć najlepszy model dla całej dziedziny ?
• Idea: - Za pomocą algorytmu identyfikacji.
19
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Dla klasy modeli SISO, liniowych względem parametrów.
• Dane:
20
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.
21
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.
21
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.
21
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.
21
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.
22
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji.
22
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Algorytm identyfikacji /SISO, L.w.P/ dla klasy modeli liniowych względem parametrów.
• Szczególny przypadek dla , czyli modeli liniowych względem parametru i względem wejścia.
23
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Zastosujemy Algorytm Identyfikacji (2) w naszym przykładzie:
• Zatem najlepszy model dla badanego przykładu to:
24
Przykład wyznaczenia modelu obiektu
• Sprawdzamy jaki jest wskaźnik jakości dla najlepszego modelu y=1,35u, aby upewnić się, że jest on lepszy od tych wyliczanych poprzednio.
25
Czy to już jest rozwiązanie optymalne?
• Uzyskany model y=1,35u jest najlepszy, ale dla danej serii pomiarowej i danej klasy modeli.
• Zazwyczaj uwzględnienie dodatkowych pomiarów poprzez dostarczenie dodatkowych informacji o obiekcie umożliwi uzyskanie modelu "lepszego".
•A co z innymi klasami modeli, może dla nich uzyskamy "lepszy" model?
26
Czy to już jest rozwiązanie optymalne?
• Badamy zatem klasę y=αu2 dla tych samych danych i stosując Algorytm Identyfikacji (1) wyznaczmy optymalny parametr.
27
Wyznaczenie wskaźnika dla drugiej badanej klasy modeli
• Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie (y=0,35u2).
• Porównjąc wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" oraz wartość Q(α*)=11 dla najlepszego modelu "kwadratowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy.
28
Rozważamy kolejną klasę modeli
• Badamy klasę i wyznaczmy optymalny parametr
• Następnym krokiem tak, jak w przypadku poprzednich klas jest sprawdzenie wskaźnika jakości.
29
Wyznaczenie wskaźnika dla trzeciej badanej klasy modeli
• Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie ( ).
• Porównując otrzymaną warość Q(α*)=6 oraz wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy.
30
Prognozowanie liczby ludności - Matlab• Środowisko Matlab oferuje wiele gotowych
pakietów służących do modelowania obiektów rzeczywistych
• Na podstawie danych z lat 1990-2000, dotyczących liczby ludności, Matlab tworzy model i prognozuje wskaźnik demograficzny w kolejnych latach
31
Prognozowanie liczby ludności - Matlab• W tym celu Matlab dokonuje aproksymacji danych
wejściowych wielomianem
• Stopień wielomianu można zmieniać, aby aproksymacja najlepiej odzwierciedlała dane wejściowe
• Przykładowo chcemy, otrzymać przewidywaną liczbę ludności w 2010r.
32
Prognozowanie liczby ludności - Matlab• Wynik można zilustrować na wykresie. Model
podaje 312691400 jako przewidywaną liczbę ludności USA w roku 2010
33
Dekompozycja modelu MIMO na MISO• Układ wielowyjściowy można potraktować jako
równoległe połączenia n obiektów jednowyjściowych
34
Dekompozycja modelu MIMO na MISO
• Dzięki takiej dekompozycji możemy kolejno identyfikować poszczególne obiekty jednowyjściowe
• W każdym pojedynczym zadaniu identyfikacji może być wykorzystana ta sama seria pomiarowa (jeśli tylko spełnia ona wspólny dla wszystkich zadań warunek identyfikalności)
35
Główne problemy, które możemy napotkać
• Ważne jest prawidłowe określenie klasy modelu, poprzez wykorzystanie dostępnej wiedzy eksperta i empirycznej.
• Trudne wyznaczenie parametru dla "skomplikowanych" (np. niewielomianowych) klas modeli.
• Właściwy dobór wskaźnika jakości, który służy głównie do interpretacji uzyskanego wyniku.
• Dobór odpowiedniej liczby pomiarów oraz odpowiedni plan eksperymentu (miernictwo).
36
Trudniejsze zagadnienia dla bardziej dociekliwych
• Modele liniowe względem parametrów (m parametrów).
• Modele - ważony wskaźnik jakości, a w konsekwencji algorytm identyfikacji z uwzględnieniem wag.
• Planowanie aktywnych eksperymentów spełniających warunek identyfikowalności.
37
Podsumowanie
• Pojęcia identyfikacja systemów i wiedza eksperymentalna.
• Określenie klasy modelu.
• Określenie parametru modelu.
• Algorytm identyfikacji.
• Przykład przebiegu procesu identyfikacji.38
Literatura
• Leszek Koszałka, Marek Kurzyński "Zbiór zadań i problemów z teorii identyfikacji, eksperymentu i rozpoznawania" Wrocław, Politechnika Wrocławska, 1991
• Pod red. Ewy Bylińskiej "Identyfikacja procesów" Gliwice, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 1997
• Torsten Soderstrom, Petre Stoica "Identyfikacja systemów"Warszawa, Wydawnictwo Naukowe PWN,1997
39
Koniec
Dziękujemy za uwagę
top related