metodos aproximados para resolver sistema de un grado de libertad

METODOS APROXIMADOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD PROBLEMA N°1

DATOS:

m 0.849 t*S2/cm

k 16.16 t/cm

PERIODO FUNDAMENTAL

T 1.44 Seg.

tp 0.360 Seg.

tp 0.720 Seg.

tp 1.439 Seg.

condiciones iniciales

x(0) 0 cm

v(0) 0 m/seg.

x(0) 2 cm

v(0) 40 m/seg.

Amplitud:

A 83.261

Se toma como Δt = T/10

1. Método basado en la interpolación de la excitación.

Tabla de coeficientes para calcular:

Condiciones:

x(0) 0 cm

v(0) 0 m/seg.

a) Para un periodo Tp = 0.36 seg.

COEFICIENTES

A 0.813

B 0.131

C 0.008

D 0.004

A' -2.485

B' 0.756

C' 0.073

D' 0.080

ti Pi C×Pi D×Pi+1 Bůi ůi Aui ui

0.00 0.00 0.00 0.31 0.00 0.00 0.00 0.00

0.14 79.15 0.61 0.19 0.83 6.36 0.25 0.31

0.29 49.12 0.38 0.00 1.80 13.79 1.53 1.88

0.43 0.00 0.00 0.00 1.22 9.36 3.01 3.71

0.58 0.00 0.00 0.00 -0.28 -2.13 3.44 4.23

0.72 0.00 0.00 0.31 -1.58 -12.13 2.57 3.17

0.86 78.98 0.60 0.19 -1.40 -10.69 1.06 1.30

1.01 49.56 0.38 0.00 -0.20 -1.54 0.37 0.46

1.15 0.00 0.00 0.00 0.17 1.33 0.45 0.55

1.30 0.00 0.00 0.00 -0.05 -0.37 0.51 0.62

1.44 0.00 0.00 0.00 -0.24 -1.83 0.37 0.46

b) Para un periodo Tp = 0.72 seg.

COEFICIENTES

A 0.813

B 0.131

C 0.008

D 0.004

A' -2.485

B' 0.756

C' 0.073

D' 0.080

Ecuaciones de recurrencia:

SOLUCION NUMERICA USANDO INTERPOLACION DE LA EXITACION

ti Pi C×Pi D×Pi+1 Bůi ůi Aui ui

0.00 0.00 0.00 0.19 0.00 0.00 0.00 0.00

0.14 48.90 0.37 0.31 0.51 3.93 0.16 0.19

0.29 79.15 0.61 0.31 1.62 12.44 1.10 1.35

0.43 79.24 0.61 0.19 2.38 18.22 2.96 3.64

0.58 49.12 0.38 0.00 1.89 14.49 4.99 6.14

0.72 0.28 0.00 0.00 -0.09 -0.66 5.90 7.26

0.86 0.00 0.00 0.00 -2.42 -18.52 4.73 5.82

1.01 0.00 0.00 0.00 -3.71 -28.46 1.88 2.31

1.15 0.00 0.00 0.00 -3.56 -27.27 -1.49 -1.83

1.30 0.00 0.00 0.00 -2.10 -16.07 -4.11 -5.05

1.44 0.00 0.00 0.00 0.05 0.40 -5.04 -6.20

c) Para un periodo Tp = 1.439 seg.

COEFICIENTES

A 0.813

B 0.131

C 0.008

D 0.004

A' -2.485

B' 0.756

C' 0.073

D' 0.080

Ecuaciones de recurrencia:

SOLUCION NUMERICA USANDO INTERPOLACION DE LA EXITACION

ti Pi C×Pi D×Pi+1 Bůi ůi Aui ui

0.00 0.00 0.00 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00

0.14 25.72 0.20 0.19 0.27 2.07 0.08 0.10

0.29 48.92 0.37 0.26 0.93 7.13 0.60 0.74

0.43 67.34 0.52 0.31 1.64 12.55 1.77 2.17

0.58 79.17 0.61 0.33 2.01 15.40 3.44 4.23

0.72 83.26 0.64 0.31 1.78 13.64 5.19 6.38

0.86 79.20 0.61 0.26 0.90 6.93 6.44 7.92

1.01 67.40 0.52 0.19 -0.42 -3.20 6.68 8.21

1.15 49.00 0.37 0.10 -1.82 -13.95 5.67 6.97

1.30 25.81 0.20 0.00 -2.90 -22.19 3.51 4.32

1.44 0.09 0.00 0.00 -3.34 -25.61 0.66 0.82

Condiciones:

x(0) 2 cm

v(0) 40 cm/seg.

a) Para un periodo Tp = 0.36 seg.

COEFICIENTES

A 0.813

B 0.131

C 0.008

D 0.004

A' -2.485

B' 0.756

C' 0.073

D' 0.080

ti Pi C×Pi D×Pi+1 Bůi ůi Aui ui

0.00 0.00 0.00 0.31 0.52 4.00 1.63 2.00

0.14 79.15 0.61 0.19 0.58 4.42 2.00 2.46

0.29 49.12 0.38 0.00 0.91 6.99 2.74 3.37

0.43 0.00 0.00 0.00 0.07 0.50 3.28 4.03

0.58 0.00 0.00 0.00 -1.26 -9.64 2.72 3.34

0.72 0.00 0.00 0.31 -2.04 -15.59 1.19 1.46

0.86 78.98 0.60 0.19 -1.18 -9.08 -0.44 -0.54

1.01 49.56 0.38 0.00 0.55 4.25 -0.67 -0.82

1.15 0.00 0.00 0.00 1.16 8.90 0.22 0.27

1.30 0.00 0.00 0.00 0.79 6.07 1.12 1.38

1.44 0.00 0.00 0.00 0.15 1.17 1.55 1.91

b) Para un periodo Tp = 0.72 seg.

COEFICIENTES

A 0.813

B 0.131

C 0.008

D 0.004

A' -2.485

B' 0.756

C' 0.073

D' 0.080

ti Pi C×Pi D×Pi+1 Bůi ůi Aui ui

0.00 0.00 0.00 0.19 0.52 4.00 1.63 2.00

0.14 48.90 0.37 0.31 0.26 1.98 1.90 2.34

0.29 79.15 0.61 0.31 0.74 5.63 2.31 2.85

0.43 79.24 0.61 0.19 1.22 9.36 3.23 3.97

0.58 49.12 0.38 0.00 0.91 6.99 4.27 5.25

0.72 0.28 0.00 0.00 -0.54 -4.12 4.52 5.55

0.86 0.00 0.00 0.00 -2.21 -16.90 3.24 3.98

1.01 0.00 0.00 0.00 -2.96 -22.67 0.84 1.03

1.15 0.00 0.00 0.00 -2.57 -19.71 -1.72 -2.12

1.30 0.00 0.00 0.00 -1.26 -9.63 -3.49 -4.30

1.44 0.00 0.00 0.00 0.44 3.39 -3.86 -4.75

c) Para un periodo Tp = 1.439 seg.

COEFICIENTES

A 0.813

B 0.131

C 0.008

D 0.004

A' -2.485

B' 0.756

C' 0.073

D' 0.080

ti Pi C×Pi D×Pi+1 Bůi ůi Aui ui

0.00 0.00 0.00 0.10 0.52 4.00 1.63 2.00

0.14 25.72 0.20 0.19 0.02 0.12 1.83 2.25

0.29 48.92 0.37 0.26 0.04 0.32 1.82 2.23

0.43 67.34 0.52 0.31 0.48 3.70 2.03 2.50

0.58 79.17 0.61 0.33 1.03 7.90 2.71 3.34

0.72 83.26 0.64 0.31 1.33 10.18 3.80 4.68

0.86 79.20 0.61 0.26 1.12 8.55 4.94 6.08

1.01 67.40 0.52 0.19 0.34 2.59 5.63 6.93

1.15 49.00 0.37 0.10 -0.83 -6.38 5.43 6.68

1.30 25.81 0.20 0.00 -2.06 -15.75 4.13 5.08

1.44 0.09 0.00 0.00 -2.95 -22.62 1.84 2.27

2. Método basado en la Diferencia Central

Condiciones iniciales:

x(0) 0 cm

v(0) 0 cm/seg.

a) Para un periodo Tp = 0.36 seg.

CALCULOS INICALES:

ϋ0 0.00 cm/s2

u -1 0.00 cm

ǩ 42.26

a 39.69

b -65.79

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60

ui

ti

ti vs ui

ti Pi ui-1 ui ṕ ui+1

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.14 79.17 0.00 0.00 79.17 1.87

0.29 49.03 0.00 1.87 172.28 4.08

0.43 0.00 1.87 4.08 193.84 4.59

0.58 0.00 4.08 4.59 139.97 3.31

0.72 0.00 4.59 3.31 35.86 0.85

0.86 79.08 3.31 0.85 3.46 0.08

1.01 49.26 0.85 0.08 20.97 0.50

1.15 0.00 0.08 0.50 29.39 0.70

1.30 0.00 0.50 0.70 26.07 0.62

1.44 0.00 0.70 0.62 12.98 0.31

b) Para un periodo Tp = 0.72 seg.

CALCULOS INICALES:

ϋ0 0.00 cm/s2

u -1 0.00 cm

ǩ 42.26

a 39.69

b -65.79

ti Pi ui-1 ui ṕ ui+1

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.14 48.92 0.00 0.00 48.92 1.16

0.29 79.17 0.00 1.16 155.32 3.68

0.43 79.21 1.16 3.68 275.06 6.51

0.58 49.03 3.68 6.51 331.37 7.84

0.72 0.14 6.51 7.84 257.68 6.10

0.86 0.00 7.84 6.10 89.95 2.13

1.01 0.00 6.10 2.13 -101.96 -2.41

1.15 0.00 2.13 -2.41 -243.21 -5.75

1.30 0.00 -2.41 -5.75 -282.85 -6.69

1.44 0.00 -5.75 -6.69 -211.93 -5.01

c) Para un periodo Tp = 1.439 seg.

CALCULOS INICALES:

ϋ0 0.00 cm/s2

u -1 0.00 cm

ǩ 42.26

a 39.69

b -65.79

ti Pi ui-1 ui ṕ ui+1

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.14 25.73 0.00 0.00 25.73 0.61

0.29 48.95 0.00 0.61 89.01 2.11

0.43 67.37 0.61 2.11 181.76 4.30

0.58 79.19 2.11 4.30 278.55 6.59

0.72 83.26 4.30 6.59 346.20 8.19

0.86 79.18 6.59 8.19 356.53 8.44

1.01 67.34 8.19 8.44 297.25 7.03

1.15 48.91 8.44 7.03 176.82 4.18

1.30 25.70 7.03 4.18 21.81 0.52

1.44 0.00 4.18 0.52 -132.10 -3.13

Condiciones iniciales:

x(0) 2 cm

v(0) 4 cm/seg.

a) Para un periodo Tp = 0.36 seg.

CALCULOS INICALES:

ϋ0 -39.83 cm/s2

u -1 1.01 cm

ǩ 42.26

a 39.69

b -65.79

ti Pi ui-1 ui ṕ ui+1

0.00 0.00 1.01 2.00 91.42 2.16

0.14 79.17 2.00 2.16 142.11 3.36

0.29 49.03 2.16 3.36 184.40 4.36

0.43 0.00 3.36 4.36 153.61 3.63

0.58 0.00 4.36 3.63 65.96 1.56

0.72 0.00 3.63 1.56 -41.58 -0.98

0.86 79.08 1.56 -0.98 -47.59 -1.13

1.01 49.26 -0.98 -1.13 14.22 0.34

1.15 0.00 -1.13 0.34 66.84 1.58

1.30 0.00 0.34 1.58 90.69 2.15

1.44 0.00 1.58 2.15 78.41 1.86

b) Para un periodo Tp = 0.72 seg.

CALCULOS INICALES:

ϋ0 -39.83 cm/s2

u -1 1.01 cm

ǩ 42.26

a 39.69

b -65.79

ti Pi ui-1 ui ṕ ui+1

0.00 0.00 1.01 2.00 91.42 2.16

0.14 48.92 2.00 2.16 111.86 2.65

0.29 79.17 2.16 2.65 167.45 3.96

0.43 79.21 2.65 3.96 234.84 5.56

0.58 49.03 3.96 5.56 257.36 6.09

0.72 0.14 5.56 6.09 180.24 4.26

0.86 0.00 6.09 4.26 38.90 0.92

1.01 0.00 4.26 0.92 -108.71 -2.57

1.15 0.00 0.92 -2.57 -205.76 -4.87

1.30 0.00 -2.57 -4.87 -218.23 -5.16

1.44 0.00 -4.87 -5.16 -146.49 -3.47

c) Para un periodo Tp = 1.439 seg.

CALCULOS INICALES:

ϋ0 -39.83 cm/s2

u -1 1.01 cm

ǩ 42.26

a 39.69

b -65.79

ti Pi ui-1 ui ṕ ui+1

0.00 0.00 1.01 2.00 91.42 2.16

0.14 25.73 2.00 2.16 88.68 2.10

0.29 48.95 2.16 2.10 101.13 2.39

0.43 67.37 2.10 2.39 141.53 3.35

0.58 79.19 2.39 3.35 204.54 4.84

0.72 83.26 3.35 4.84 268.76 6.36

0.86 79.18 4.84 6.36 305.48 7.23

1.01 67.34 6.36 7.23 290.50 6.87

1.15 48.91 7.23 6.87 214.27 5.07

1.30 25.70 6.87 5.07 86.44 2.05

1.44 0.00 5.07 2.05 -66.66 -1.58

3. comparación entre método de interpolación vs diferencia central

Condiciones iniciales:

x(0) 0 cm

v(0) 0 cm/seg.

a) Para un periodo Tp = 0.36 seg.

b) Para un periodo Tp = 0.76 seg.

c) Para un periodo Tp = 1.439 seg.

Condiciones iniciales:

x(0) 2 cm

v(0) 4 cm/seg.

a) Para un periodo Tp = 0.36 seg.

b) Para un periodo Tp = 0.72 seg.

c) Para un periodo Tp = 1.439 seg.