metodo degli spostamenti - unipa.it · metodo degli spostamenti 13 o pantano -lermo 1 2.2.4 esempi...
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METODO DEGLI SPOSTAMENTI C
ors
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An
ton
io P
an
tan
o -
Un
iver
sità
degli
stu
di
di
Pa
lerm
o
2.2.3 Introduzione delle condizioni al contorno e soluzione Per trovare gli spostamenti incogniti dei nodi bisogna introdurre nella relazione
matriciale di equilibrio le condizioni al contorno, espresse come forze e/o
spostamenti ai nodi e quindi risolvere il sistema di equazioni utilizzando, per
strutture a molti elementi, un metodo per la soluzione di grandi sistemi di
equazioni. Considerati i procedimenti seguiti per la determinazione delle
equazioni di equilibrio dell'elemento e della struttura, la soluzione che si ottiene
è equilibrata e congruente.
Le relazioni per il calcolo degli spostamenti incogniti possono ottenersi
partizionando la matrice [K] ed i vettori {F} e {d} in modo da separare i carichi
applicati ai nodi liberi Fl (noti) da quelli applicati ai nodi vincolati Fv (incogniti)
e gli spostamenti dei nodi liberi dl (incogniti) da quelli vincolati dv (noti):
(2.11)
La matrice di rigidezza risulta così formulata per mezzo di sottomatrici relative
ai due sistemi di forze ed ai due sistemi di spostamenti.
F
F
K K
K K
d
d
l
v
ll lv
vl vv
l
v
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An
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Un
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di
di
Pa
lerm
o
Dalla (2.11) può scriversi:
che consente di ricavare gli spostamenti incogniti dei nodi liberi:
Noti gli spostamenti, possono calcolarsi le reazioni vincolari dall'altra relazione
matriciale ricavabile dalla (2.11):
e le deformazioni e le tensioni.
F K d K dl ll l lv v
vlvl
1
lll dKFKd
F K d K dv vl l vv v
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o
2.2.4 Esempi 2.2.4.1 Soluzione di una struttura a due aste a tre gradi di libertà
Sia dato il sistema a 3 g.d.l. di figura 2.12 per il quale, con riferimento alla fig.
2.8, valgono le condizioni:
d1=? d2=? d3=0
F1=1000 F2=0 F3=X
Scomponendo il sistema nei due elementi che lo compongono, secondo lo
schema di fig. 2.9 modificato nella numerazione come in figura 2.13, e
ricordando la 2.4, si possono scrivere le equazioni di equilibrio degli elementi:
Figura 2.13
A =2; l =102 2
2
A =1; l =10
1
1 1
231
1000Figura 2.12
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stu
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Pa
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Osservando che, per esempio, è (punto 2.2.2):
si può scrivere la relazione matriciale di equilibrio della struttura:
che, dopo l'introduzione delle condizioni al contorno, diventa:
)1(
2
1
)1(2
1
)1(
2
1
12
q
q
11
11
10
E
Q
Q
)2(
2
1
)2(3
2
)2(
2
1
2 3
q
q
11
11
5
E
Q
Q
10E3
5E
10EkkK
10EkK
)2(
22
)1(
1122
)1(
2211
3
2
1
3
2
1
d
d
d
220
231
011
10
E
F
F
F
0
d
d
220
231
011
10
E
X
0
1000
2
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Da questa si può scrivere:
Dalla prima relazione si ricavano due equazioni nelle due incognite e , dalle
quali si calcolano:
Dalla seconda si ottiene: X = -1000
Le deformazioni e le tensioni nelle aste valgono pertanto:
σ1=Eε1=1000 σ2=Eε2=500
2
1
d
d
31
11
10
E
0
1000 X d E ( )0 2 0102
E15000d1 E
5000d 2
E
500
l
dd
l
l
)l(
E
1000
l
dd
l
l
)l(
2
32
2
)2(
1
)2(
2
2
22
1
21
1
)1(
1
)1(
2
1
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stu
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Pa
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Si osservi che i gradi di libertà non vincolati sono stati numerati prima di quello
vincolato. Tale modo di numerare può contribuire a ridurre lo sforzo
computazionale perché consente di assemblare e processare soltanto la porzione
della matrice di rigidezza necessaria per trovare gli spostamenti: nell’esempio
solo quattro dei nove coefficienti di rigidezza sono richiesti per la soluzione.
Inoltre può servire per assegnare una numerazione dei nodi liberi che consenta la
migliore progressione al fine di ridurre l’ampiezza della larghezza di banda, con
l’obiettivo ultimo di minimizzare lo sforzo di calcolo nella soluzione del sistema
di equazioni conformemente a quanto detto in 2.2.2.
E’ opportuno notare che la relazione di equilibrio (2.13) è indipendente dalle
condizioni al contorno, che intervengono nella trattazione del problema soltanto
al momento della partizione della matrice di rigidezza.
Inoltre la matrice di rigidezza della (2.13) è singolare e, quindi, non invertibile.
Allora tale relazione non consente di ricavare direttamente gli spostamenti dei
nodi perché non si può risolvere il sistema di equazioni: questo corrisponde al
fatto che non si sono ancora definiti i vincoli, per cui la struttura è libera di
muoversi di un moto rigido arbitrario. Soltanto la definizione di appropriati
vincoli consente di trasformare la matrice, privandola delle righe e delle colonne
corrispondenti ad essi, in una con determinante positivo (definita positiva),
invertibile, cioè nella matrice partizionata [Kll] della (2.12) e, quindi, da un punto
di vista fisico, consente di eliminare la labilità della struttura.
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2.2.4.2 Risoluzione in forma matriciale dell'esempio del punto 2.1
La struttura di fig. 2.1 si può schematizzare come in fig. 2.14 nella quale F1=P,
F2=0 ed F3,….,F8 coincidono con le reazioni dei vincoli esterni X2,…,Y4.
Ipotizzando E ed A uguali per le tre aste, dalla (2.6) possono scriversi le matrici
di rigidezza delle tre aste:
- elemento 1:
Figura 2.14
1 2 5 6
1
1
2
5
6
1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
kEA
l
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di
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o
- Elemento 1:
- elemento 2:
- elemento 3:
Figura 2.14
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
l2
2EAk
4
3
2
1
2
4321
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
l2
2EAk
8
7
2
1
3
8721
1 2 5 6
1
1
2
5
6
1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
kEA
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Un
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di
di
Pa
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o
Assemblando si ottiene la matrice 8x8:
Si può scrivere infine, introducendo i vettori carichi e spostamenti ai nodi:
42
420000
42
42
42
420000
42
42
00000000
00010001
00004
24
24
24
2
00004
24
24
24
2
42
4200
42
42
220
42
4201
42
420
221
l
EAK
0
0
0
0
0
0
d
d
K
Y
X
Y
X
Y
X
0
P
2
1
4
4
3
3
2
2
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Partizionando la matrice [K] ed isolando i termini relativi agli spostamenti
incogniti si ottiene:
che permette di calcolare:
che coincide col valore calcolabile con l'espressione trovata in 2.1:
Non si riporta per brevità il calcolo delle reazioni vincolari e delle tensioni nelle
aste.
P EA
l
d
d0
1 22 0
0 22
1
2
EA
l5858.0
221
P
EA
ld1
d2 0
d
l
EA
P l
EA1 21 2 45
0 5858
cos
.
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2.3 PROCEDIMENTO GENERALE DI ANALISI
Riassumendo, la soluzione di una struttura reticolare mediante la formulazione
matriciale di equilibrio può essere ottenuta con il seguente procedimento:
1) derivazione delle equazioni di equilibrio dei singoli elementi:
{Q} = [k]{q}
nella quale {Q} è il vettore delle forze nodali (forze normali e di taglio,
momenti flettenti e torcenti), {q} è il vettore degli spostamenti nodali e
[k] è la matrice di rigidezza dell'elemento;
2) assemblaggio degli elementi nella struttura completa e derivazione delle
equazioni di equilibrio ai nodi:
{F} = [K]{d}
nella quale {F}e {d} sono rispettivamente il vettore delle forze esterne
agenti nei nodi ed il vettore degli spostamenti nodali; [K] è la matrice di
rigidezza della struttura;
3) introduzione delle condizioni al contorno e soluzione:
vlvl
1
lll dKFKd
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o
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