metode elemen hingga - contoh

UNIVERSITAS INDONESIA

METODE ELEMEN HINGGA

PROBLEM PLANE STRESS – PERBAIKAN UTS

WISNU PRATAMA PUTRA

0806329691

FAKULTAS TEKNIK

PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL

DEPOK

APRIL 2013

PROBLEM PLANE STRESS (Q4)

Properti material :

E : 2,1 x 105 kN/m2

υ = 0,18

h = 0,1 m

Pertanyaan :

1. Hitung displacement di setiap nodal elemen.

2. Hitung tegangan di semua nodal dan di pusat elemen.

3. Hitung tegangan utama di pusat elemen.

4. Gambarkan lingkaran Mohr di pusat elemen.

Jawab :

MATRIKS KEKAKUAN

Dengan kondisi simetris yang dialami 3 buah elemen Q4 tersebut, kita bisa menganalisa hanya

satu elemen saja (ambil elemen 8-5-6-7) :

Pembebanan dengan gambar diatas memberikan bentuk terdeformasi seperti berikut :

Kondisi simetris : u8, v8, u5, v5 = 0

Kondisi simetris lain : tidak digunakan.

Matriks Hooke Plane Stress [Hσ] :

Hσ =

1 υ2[

1 υ 0

υ 1 0

0 01 2υ

2

] = [217031 83 39065 73 0

39065 73 217031 83 0

0 0 88983 05

]

Koordinat riil dan koordinat referensi :

Nilai koordinat :

Nodal X y

8 0 0

5 4 0

6 3 1.73

7 1 1.73

Elemen Q4 – Fungsi Geometri

= ∑ i i an = ∑ i i

i=1,4i=1,4

Fungsi bentuk

= i , i=1,4 en an i= 1

4 1

1 1

1 atau dapat ditulis juga :

= 1

4 1 1

= 1

4 1 1

= 1

4 1 1

= 1

4 1 1

Matriks [J] (Jacobian) yang ada menjadi :

[ ]= [ 11 12 21 22

] = 1

4[ 21(1- ) 34 1

21(1- )

34 1

41(1- ) 32 1 41(1- )

32 1

] dan matriks regangan-peralihan

[ m]= [

1, 0 2, 0 3, 0 4, 0

0 1, 0 2, 0 3, 0 4,

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,

], dimana :

( i, i,

)= [ 11 12 21 22

] 1

( i,

i, )

Sehingga :

[ m, , ]= [

j11 i, j

12 i, 0

0 j21 i, j

22 i,

j21 i, j

22 i, j

11 i, j

12 i,

]

Untuk mendapatkan matriks kekakuan, diperlukan integrasi numerik terhadap 4 titik Gauss.

Titik-titik yang bersangkutan ialah

Titik 1 : ( , ) = (-1/√3 , -1/√3

Titik 2 : ( , ) = (-1/√3 , -1/√3

Nodal ξ η

8 -1 -1

5 1 -1

6 1 1

7 -1 1

Titik 3 : ( , ) = (-1/√3 , -1/√3

Titik 4 : ( , ) = (-1/√3 , -1/√3

Dan [k] = ∑ [ m]T [Hσ] [ m] h et [ ]

- Titik 1 (ξ , η) = (-1/√3 , -1/√3)

Hσ =

1 υ2[

1 υ 0

υ 1 0

0 01 2υ

2

]= [217031 83 39065 73 0

39065 73 217031 83 0

0 0 88983 05

]

[ ]= [1 79 0

0 29 0 87]

[ m]= [ 0 22 0 0 22 0 0 06 0 0 06 0

0 0 38 0 0 2 0 0 1 0 0 48

0 38 0 22 0 2 0 22 0 1 0 06 0 48 0 06

]

[k] = [Bm]T [Hσ] [ m] h et [ ]

Matriks kekakuan yang sudah direduksi dengan menggunakan kondisi batas (u8, v8, u5, v5

= 0) ialah :

[k1] = [

261 62 119 89 552 66 86 5

400 06 350 22 1585 97

3227 81 -556 61

s m 7634 67

]

- Titik 2 (ξ , η) = (-1/√3 , -1/√3)

Hσ =

1 υ2[

1 υ 0

υ 1 0

0 01 2υ

2

]= [217031 83 39065 73 0

39065 73 217031 83 0

0 0 88983 05

]

[ ]= [1 79 0

0 29 0 87]

[ m]= [ 0 22 0 0 22 0 0 06 0 0 06 0

0 0 2 0 0 38 0 0 48 0 0 1

0 2 0 22 0 38 0 22 0 48 0 06 0 1 0 06

]

[k] = [Bm]T [Hσ] [ m] h et [ ]

Matriks kekakuan yang sudah direduksi dengan menggunakan kondisi batas (u8, v8, u5, v5

= 0) ialah :

[ ] =

[ 3227 81 556 61 552 66 -350 22

7634 67 -86 5 1585 97

261 62 -119 89

s m 400 06 ]

- Titik 3 (ξ , η) = (-1/√3 , -1/√3)

Hσ =

1 υ2[

1 υ 0

υ 1 0

0 01 2υ

2

]= [217031 83 39065 73 0

39065 73 217031 83 0

0 0 88983 05

]

[ ]= [1 21 0

0 29 0 87]

[ m]= [ 0 09 0 0 09 0 0 33 0 0 33 0

0 0 15 0 0 43 0 0 56 0 0 1 0 15 0 09 0 43 0 09 0 56 0 33 0 1 0 33

]

[k] = [Bm]T [Hσ] [ m] h det [J]

Matriks kekakuan yang sudah direduksi dengan menggunakan kondisi batas (u8, v8, u5, v5

= 0) ialah :

[ ] =

[ 5380 66 2465 71 -2341 75 -1695 46

8227 99 -711 24 -816

2414 48 -59 01

s m 993 38 ]

- Titik 4 (ξ , η) = (-1/√3 , -1/√3)

Hσ =

1 υ2[

1 υ 0

υ 1 0

0 01 2υ

2

]= [217031 83 39065 73 0

39065 73 217031 83 0

0 0 88983 05

]

[ ]= [1 21 0

0 29 0 87]

[ m]= [ 0 09 0 0 09 0 0 33 0 0 33 0

0 0 43 0 0 15 0 0 01 0 0 56

0 43 0 09 0 15 0 09 0 01 0 33 0 56 0 33

]

[k] = [Bm]T [Hσ] [ m] h et [ ]

Matriks kekakuan yang sudah direduksi dengan menggunakan kondisi batas (u8, v8, u5, v5

= 0) ialah :

[ ] =

[ 2414 48 59 01 -2341 75 711 24

993 38 1695 96 -816

5380 66 -2465 71

s m 8277 99 ]

Matriks kekakuan total elemen menjadi :

[k] = [k1] [k2] [k3] [k4]

[ktotal]= [

11284 57 3201 22 3578 18 1247 93

3201 22 17256 11 1247 93 1539 95

3578 18 1247 93 11284 57 3201 22

1247 93 1539 95 3201 22 17256 11

]

PERSAMAAN KEKAKUAN ELEMEN

{fn} = [k] {un} – {fn}BNE

=

[ 6=0

6=30

7=0

7=30]

[ 6

6

7

7]

=

[ 11284 57 3201 22 -3578 18 -1247 93

3201 22 17256 11 1247 93 1539 95

-3578 18 1247 93 11284 57 -3201 22

-1247 93 1539 95 -3201 22 17256 11]

[

u6v6u7v7

] -

[ 6=0

6=30

7=0

7=30]

[

u6v6u7v7

]= [

2 13

16 2

2 13

16 2

] 10 4 m

Akibat kondisi simetris, berarti peralihan tiap titik dapat dihitung sebagai berikut :

u6 = u9 = u3 = -2.13 x 10-4

m

u7 = u1 = u4 = 2.13 x 10-4

m

v6 = v9 = v3 = 16.2 x 10-4

m

v7 = v1 = v4 = 16.2 x 10-4

m

PERHITUNGAN TEGANGAN

[σ] = [Hσ] [ε]

[σ] = [Hσ] [ m] un}

- Titik 8 (ξ , η) = (-1 , -1)

[

σ

σ

]= [

217031 83 39065 73 0

39065 73 217031 83 0

0 0 88983 05

] [0 0 0 0

0 0 0 0 58

0 0 0 58 0

] [

-2 13

16 2

2 13

16 2

] 10-4 m

[

σ

σ

]= [

36 5

202 77

10 93

] k /m2

- Titik 5 (ξ , η) = (1 , -1)

[

σ

σ

]= [

217031 83 39065 73 0

39065 73 217031 83 0

0 0 88983 05

] [0 0 0 0

0 0 58 0 0

0 58 0 0 0

] [

2 13

16 2

2 13

16 2

] 10 4 m

[

σ

σ

]= [

36 5

202 77

10 93

] k /m2

- Titik 6 (ξ , η) = (1 , 1)

[

σ

σ

]= [

217031 83 39065 73 0

39065 73 217031 83 0

0 0 88983 05

] [

0 5 0 -0 5 0

0 0 87 0 -0 29

0 87 0 5 -0 29 -0 5

] [

-2 13

16 2

2 13

16 2

] 10-4 m

[

σ

σ

]= [

-9 66

194 46

-21 85

] k /m2

- Titik 7 (ξ , η) = (-1 , 1)

[

σ

σ

]= [

217031 83 39065 73 0

39065 73 217031 83 0

0 0 88983 05

] [

0 5 0 -0 5 0

0 -0 29 0 0 87

-0 29 0 5 0 87 -0 5

] [

-2 13

16 2

2 13

16 2

] 10-4 m

[

σ

σ

]= [

-9 66

194 46

21 85

] k /m2

- Pusat elemen (ξ , η) = (0 , 0)

[

σ

σ

]= [

217031 83 39065 73 0

39065 73 217031 83 0

0 0 88983 05

] [0 17 0 -0 17 0

0 0 29 0 0 29

0 29 0 17 0 29 -0 17

] [

-2 13

16 2

2 13

16 2

] 10-4 m

[

σ

σ

]= [

21 11

200

0

] k /m2

Karena kondisi simetris, nilai-nilai tegangan di semua nodal dapat dicari :

σ6 = σ9 = σ3} = [-9 66

194 46

-21 85

]

σ7 = σ1 = σ4} = [-9 66

194 46

21 85

]

σ8 = σ5 = σ2} = [36 5

202 77

10 93

]

TEGANGAN UTAMA DI PUSAT ELEMEN

[σ1

σ2] =

[ σ σ

2 √

σ σ

2

2

σ σ

2 √

σ σ

2

2

]

[σ1

σ2]=

[ 21 11 200

2 √

21 11 200

2

2

0

21 11 200

2 √

21 11 200

2

2

0]

= [200

21 11] pa

max = σ1 – σ2) / 2 = 89.445 kN / m2

tan 2θ = xy / σx – σy = 0

LINGKARAN MOHR DI PUSAT ELEMEN

PENGECEKAN DENGAN SAP 2000

Berikut merupakan pengecekan problem plane stress dengan bantuan software SAP

2000 v.15.0.1. Permodelan dan hasil analisa yang dilakukan dapat dilihat pada gambar

berikut :

Properti Material Elemen

Properti Elemen Plane

Faktor Modifikasi Kekakuan (default)

Permodelan Geometri Elemen

Bentuk Terdeformasi Elemen

Permodelan BNE

DISPLACEMENT

Perbedaan SAP dan Perhitungan Manual

Peralihan Manual (mm) SAP (mm) % diff

u6 -0.213 -0.21266 0.15962

v6 1.62 1.61818 0.11235

u7 0.213 0.21266 0.15962

v7 1.62 1.61818 0.11235

u9 -0.213 -0.21265 0.16432

v9 1.62 1.61824 0.10864

u1 0.213 0.21269 0.14554

v1 1.62 1.61824 0.10864

u3 -0.213 -0.21269 0.14554

v3 1.62 1.61824 -0.10864

u4 0.213 0.21265 -0.16432

v4 1.62 1.61826 -0.10741

Perbedaan tegangan :

TABLE: Element Stresses - Area Planes -

SAP Perhitungan Manual % diff

Area Joint S11 S22 S12 S11 S22 S12 S11 S22 S12

Text Text KN/m2 KN/m

2 KN/m

2 KN/m

2 KN/m

2 KN/m

2 KN/m

2 KN/m

2 KN/m

2

8-5-

6-7

8 40.05 203.41 10.09 36.5 202.77 10.93 9.73 0.32 7.69

5 40.05 203.41 -10.09 36.5 202.22 -10.93 9.73 0.59 7.69

6 -2.56 195.74 -20.17 -9.66 194.46 -21.85 73.50 0.66 7.69

7 -2.56 195.74 20.17 -9.66 194.46 21.85 73.50 0.66 7.69

2-8-

9-1

2 40.05 203.41 10.09 36.5 202.77 10.93 9.73 0.32 7.69

8 40.05 203.41 -10.09 36.5 202.22 -10.93 9.73 0.59 7.69

9 -2.56 195.75 -20.17 -9.66 194.46 -21.85 73.50 0.66 7.69

1 -2.56 195.74 20.17 -9.66 194.46 21.85 73.50 0.66 7.69

5-2-

3-4

5 40.05 203.41 10.09 36.5 202.77 10.93 9.73 0.32 7.69

2 40.05 203.41 -10.09 36.5 202.22 -10.93 9.73 0.59 7.69

3 -2.56 195.74 -20.17 -9.66 194.46 -21.85 73.50 0.66 7.69

4 -2.56 195.75 20.17 -9.66 194.46 21.85 73.50 0.66 7.69

Kontur tegangan

σx

σy

τxy