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Seite 1, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Stand: Mai 2019
Prof. Dr. Sigurd Bauerecker, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie,Gaußstraße 17, Ruf 0531/391-5336, s.bauerecker@tu-bs.de, https://www.tu-braunschweig.de/pci/research/bauerecker/lehre oder Googeln: „Bauerecker + Lehre“
Sommer-Semester 2019:4 h Vorlesung, Mo 8:00 – 9:30, PK2.1 ; Di 11:30 – 13:00, PK2.1
Mathematische Methoden der Chemie II(BSc Chemie, Biotechnologie)
Vorlesung SoSe 2019
Seite 2, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Klausuren
Klausuren sind 3stündig (außer bei Biotechnologie, dort 4stündig). Es sind keine Hilfsmittel (Ta-Rechner, Handies, …) zur Bearbeitung der Klausur erlaubt, außer Kugelschreiber und von uns gestelltes Papier.
Termine Bachelor Chemie Lemi CuV Biotechnologie (Bachelor) u. Pharmaingenieurwesen (Master)
HörsääleGrößen: www.ibr.cs.tu-bs.de/kb/rooms.html
05.02.1815:30 – 19:30
1. Klausur Mathe 1 1. Klausur Mathe 1
1. Klausur Mathe 1
Halle BI (140 Plätze)
Mi 14.03.188:00 – 13:00
2. Modulabschluss-klausur (nur Mathe 2);
2. Klausur Mathe 1
2. Klausur Mathe 1
2. Modulabschlussklausur Mathe 1 + Mathe 2, 4 h
Bi84.1 (69 Plätze)Bienroder Weg 84SN 19.1 (64 Plätze), SN 20.2 (35 Plätze)
Mo 16.07.1813:30 – 17:30
2. Klausur Mathe 1 2. KlausurMathe 1
2 . KlausurMathe 1
ZI24.1, ZI24.2
Mo 27.08.188:00 – 13:00
1. Modulabschluss-klausur (nur Mathe 2);Einzige Mathe 2 Klausur
1. u. einzigeKlausurMathe 2
1. Modulabschlussklausur Mathe 1 + Mathe 2, 4 h
AM, PK15.1, (Zi24.1)
12.02.198:00 – 12:00
1. Klausur Mathe 1 1. Klausur Mathe 1
1. Klausur Mathe 1
Eintracht-Stadion?
15.03.198:00 – 13:00
2. Modulabschluss-klausur (nur Mathe 2)
2. Modulabschlussklausur Mathe 1 + Mathe 2, 4 h
Halle Bi (140 Plätze), Bi84.2 (69 Pl.),SN23.1, SN22.1
Mo 22.07.1912:00 – 16:00
2. Klausur Mathe 1 2. KlausurMathe 1
2. KlausurMathe 1
ZI24.3
Mo 02.09.19 8:00 – 12:00
1. Modulabschluss-klausur (nur Mathe 2);
1. u. einzigeKlausurMathe 2
1. Modulabschlussklausur Mathe 1 + Mathe 2, 4 h
Zi24.2 (80 Plätze), Zi24.3 (108 Plätze)
Seite 3, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Gruppeneinteilung Tutorien Mathe 2, SS 2019
Dienstag, 9:45 - 11:15 Uhr (Chemie, Lebensmittelchemie)
Kurs/Gruppe 1 HR 30.2 Laurens ThielenKurs/Gruppe 2 HR 4304.101 Tobias BergmannKurs/Gruppe 3 Container 3 (30 Personen) Pascal SuckowKurs/Gruppe 4 Container 4 (25 Personen)
Freitag, 13:15 – 14:45 Uhr (Biotechnologie, CuV?)
Kurs/Gruppe 1 RR58.3 Ekaterina KorotenkoKurs/Gruppe 2 RR58.4 Anna ZellerKurs/Gruppe 3 RR58.1 Liudmilla Seidel
Zusatz-Tutorium: Di, 18:30 – 20:00 Uhr,
HR 30.023F Yannic Steenback
Seite 4, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Folienzusammenstellung zur Vorlesung
Die folgende Zusammenstellung von einzelnen Themen und Übersichten ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Sie deckt auch Teilbereiche nicht vollständig ab und mag Fehler enthalten. So freue ich mich über jeden Hinweis.
• Eigeninitiative!
• Übungen noch wichtiger als Vorlesung!
• Zusatztutorium, wenn nötig!
• Lernen für Klausur und Übungen in (kleinen) Gruppen.
• Anschaffung von Lehrbüchern, z.B. Zachmann und Netz
Empfehlungen
Seite 5, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Literatur & LehrmaterialGrundlegend für Vorlesung: A. Jüngel, H. G. Zachmann: Mathematik für Chemiker. VCH, 7. Auflage, 2014, 737 S. G. Brunner, R. Brück: Mathematik für Chemiker. Springer, 3. Auflage, 2013, 373 S. M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker. Steinkopff, 3. Auflage, 1995, 456 S.L. Papula: Mathematik für Ingenieure u. Naturwissenschaftler Bd. 1. Vieweg+Teubner, 13. Aufl., 2011, 850 S., online herunterladbar im Unibereich, 5 MB! → http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-8285-1Nützlich, um Funktionsgraphen zu zeichnen: rechneronline.de/funktionsgraphenWeitere: H.-D. Försterling: Mathematik für Naturwissenschaftler. Vieweg, 1975/2012, 296 S. B. Frank, W. Schulz, W. Tietz: Wissensspeicher Mathematik (Lernmaterialien). Volk und Wissen, 1998, 368 S.E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley and Sons, 2010, 1280 S.K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Bd. 1, Differential- und Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung, Springer, 6. Auflage, 2003, 548 S. W. Pavel, R. Winkler: Mathematik für Naturwissenschaftler. Pearson Studium, 2007, 592 S.S. Singh: Fermats letzer Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. DTV, 12. Auflage, 2007, 368 S. T. Sonar: Die Geschichte des Prioritätsstreits zwischen Leibnitz und Newton. Springer Spektrum, 2015, 596 S. E. Steinre: The Chemistry Maths Book. Oxford University Press, 2nd Edition, 2008, 680 S.
Tabellenwerke: I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Europa-Lehrmittel, 9. Auflage, 2013, 1280 S., auch alsE. Zeidler (Hrsg.): Springer-Taschenbuch der Mathematik. Springer Vieweg, 3. Aufl. 2012, 1310 S., onlineherunterladbar im Unibereich, 11 MB → http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-2359-5J. Rast, H. Netz: Formeln der Mathematik. Hanser Fachbuch, 7. Auflage, 1992Netzseite Bauerecker: Teil der Vorlesung in Form von Folien, wird im Verlauf des WS ergänzt.
Stand: SS 2019
Seite 6, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Mathematische Methoden der Chemie I
• Zahlen (2 h)• Funktionen (4 h)• Differentialrechnung von Fktn. einerVeränderlichen (12 h)
• Integralrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)
• Folgen und Reihen (4 h)• Differentialrechnung von Fktn. mehrererVeränderlicher (6 h)
• Integralrechnung von Fktn. mehrererVeränderlicher (4 h)
∑ = 44 h = 11 Wochen
Mathematische Methoden der Chemie II
• Vektoralgebra und -geometrie (6 h)• Vektoranalysis (4 h)• Matrizen, Determinanten (6 h)• Differentialgleichungen (8 h)• Wahrscheinlichkeitsrechnung (4 h)• Kryptologie (Kryptographie, Kryptoanalyse, Blockchain) (4 h?)• Koordinatentransformationen (2 h?)• Einführung in Mathematica (2 h?)• Funktionentheorie?• Gruppentheorie?∑ = 40 h = 10 Wochen
Inhaltsübersicht der Vorlesungen
Seite 7, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Griechisches Alphabet
Seite 8, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Beispiel: Median und Durchschnitt„Oder warum Grundkenntnisse der Mathematik helfen, die Welt besser zu verstehen“.
Quelle: F.A.Z./EZB, http://www.faz.net/aktuell/wirtschaft/wirtschaftspolitik/armut-und-reichtum/ezb-umfrage-deutsche-sind-die-aermsten-im-euroraum-12142944.html
(Hier zur Beurteilung der Frage, ob D ein reiches Land ist oder nicht). Ergebnis: Median ist wesentlich besseres Kriterium zur Beurteilung des Wohlstands als Durchschnitt. D ist leider ein relativ armes Land bezüglich Vermögen.
Seite 9, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Vektoralgebra und -geometrie
1. VektorenPhysikalische Größen lassen sich meistens mit 1 Zahl (Skalar), oft mit 3 Zahlen (Vektor) und manchmal mit 9 Zahlen (Tensor) beschreiben. Verwendung des Einheitensystems wird vorausgesetzt (SI-Einheiten).
Skalar (Tensor 0ter Stufe), 1 Zahl, z.B. Masse, Temperatur, Zeit, Volumen, …
Vektor (Tensor 1ter Stufe), 3 Zahlen für Komponenten der Raumrichtungen, Angabe Wert und Richtung, z.B. Geschwindigkeit, Kraft, …
Tensor, 9 Zahlen (3 x 3 Matrix), beschreibt Beziehung zw. zwei Vektorgrößen, z.B. Trägheitsmoment (Winkelgeschwindigkeit → Drehimpuls), Polarisierbarkeit (el. Feld → Polarisation)
Seite 10, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Definitionen zu Vektoren
Freier Vektor Ursprung unwichtig, unspezifiziertGebundener Vektor Ursprung wichtig, spezifiziertBetrag (Pfeillänge) | a | = aGleichheit a = bNullvektor 0 Vektor mit Länge nullVektor in Gegenrichtng zu a – a = (–1) · aLinear abhängig, kollinear Vektoren stehen in gleicher oder entgegengesetzter Richtung Linear unabhängig zwei (drei) Vektoren spannen Ebene (Raum) auf
Vektor aDarstellung als Pfeil
a
Endpunkt, Kopf
Länge, BetragAnfangspunkt, Ursprung
Seite 11, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
3. Basisvektoren
Zwei (drei) linear unabhängige Vektoren a, b (und c) spannen eine Ebene (einen Raum) auf. Jeder Vektor A (V), der in der Ebene (im Raum) liegt, lässt sich aus a, b (und c) eindeutig zusammensetzen:
A = x·a + y·b V = x·a + y·b + z·c x, y, z sind geeignete Skalare
a
b
x·a
y·bA ist Diagonale des Parallelogramms mit den Seiten x·a, y·b.
B ist Diagonale des Parallelepipeds mit den Seiten x·a, y·b, z·c.a, b, c heißen Basisvektoren.
Wichtige Basisvektoren sind die Einheitsvektoren i, j, k, mit Betrag von jeweils eins, entlang der positiven x, y, z – Achsen im rechtshändigen Koordinatensystem (Schraube mit Rechtsgewinde x → y ↑ z). Sie stehen senkrecht aufeinander, sind orthogonal.
Seite 12, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
4. Das Skalarprodukt (Inneres Produkt)
Wegen cos(0) = cos (-0) = 1 gilt: A · B = B · A Kommutativgesetz(t ·A) · B = t · (A · B) AssoziativgesetzA · (B + C) = A · B + A · C Distributivgesetz
Für A ⊥ B gilt wegen θ = π/2: A·B = 0Für A B gilt wegen θ = 0: A·B = |A|·|B|= t·(A·A) = t·|A|2, wegen B = t ·A
⇒ Für Einheitsvektoren gilt:i · i = j · j = k · k = 1 wegen Betrag jeweils 1 und cos(0) = 1i · j = i · k = j · k = 0 weil senkrecht zu einander
Definition: A · B = |A|·|B|· cos θ Skalarprodukt⇒ A · B ist ein Skalar.
A
B
θ
Seite 13, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
5. Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Wegen sin θ = – sin (– θ) giltA x B = – B x A Kommutativgesetz gilt nicht!(t ·A) x B = t · (A x B) Assoziativgesetz und A x (B + C) = A x B + A x C Distributivgesetz gelten (ohne Beweis)
Für Einheitsvektoren gilt:i x i = j x j = k x k = 0 (Nullvektor, weil sin 0 = 0) i x j = – j x i = k j x k = – k x j = ik x i = – i x k = j
Zweite Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: A x B = C Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ,ist der Vektor, der senkrecht auf der von A, B aufgespannten Ebene steht. A, B, C bilden rechtshändiges System, mit| C | = | A x B | = | A | · | B | · sin θ| C | ist die durch A und B aufgespannte Parallelogrammfläche.
| C |
A
C
B
θ
Seite 14, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Verhalten bei Inversion (Spiegelung) des ...
… Koordinatensystems ( x → - x, y → -y, z → -z ):
Polare Vektoren, ändern ihr Vorzeichen, z.B. Geschwindigkeit, Kraft,
Axiale Vektoren sind Vektoren, die aus einem Vektorprodukt entstehen. Sie ändern ihr Vorzeichen nicht. Z.B.
Das Skalarprodukt läßt sich in höherdimensionalen Räumen definieren.
Das Vektorprodukt läßt sich nur im 3dimensionalen Raum definieren!
222
111
222
111
zyxzyx
zyxzyx
kjikjic =
−−−−−−=
−−=
−
→
−11
11
11
Seite 15, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Ableitung von Vektoren
R ist eine Vektorfunktion, wenn für jedes t (Skalar) ein Vektor R(t) definiert ist. Z.B.: t Zeit,R Ortsvektor (Koordinatensatz) eines Teilchens.
Vektorfunktion in kartesischen Komponenten:
Ist R(t) stetig, so sind es auch alle Komponenten. Die Ableitung von R(t) nach t wird wie beigewöhnlichen Funktionen definiert:
tttt
dtd
t ∆−∆+
=→∆
)()(lim0
RRR
kjikjiR zyxdtdz
dtdy
dtdx
dtd ′+′+′=++=In Komponenten:
Ableitungen der Produkte:
auschen!nicht vert ,)(
Funktion skalare ,)(
baba)b(abababa
aaa
′×+×′=′×
′⋅+⋅′=′⋅
′+′=′⋅ λλλλ
kjiR ⋅+⋅+⋅= )()()()( tztytxt
Seite 16, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
7. Ebene im Raum
Der ortsgebundene Vektor R mit Ursprung im Koordinatenursprung zielt mit seinem Endpunkt auf den Punkt (x, y, z) im Raum. Vektor und Punkt sind hier als gleich anzusehen. ⇒ Vektoren können in der Geometrie verwendet werden.
0)( =⋅− ARR 0Ebenengleichung:
B
(x, y, z)
·R0
A
R
Wir betrachten eine Ebene im Raum, diedurch den Punkt R0 geht und senkrecht zuVektor A steht. Wenn R in der Ebene liegt, dann ist (R – R0) ⊥ A. Es folgt die
Seite 17, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Tangentialebene und Normalenvektor
Eine Fläche im Raum sei durch u(x, y, z) = c = konst gegeben (andere Form ist z = f(x, y)). Eine Kurve K mit x = x(t), y = y(t), z = z(t) liege in dieser Fläche. Dann gilt u[x(t), y(t), z(t)] = c für alle t. Wir bilden die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel an einem festen Punkt R0 = x0 · i + y0 · j + z0 · k :
0=⋅∂∂
+⋅∂∂
+⋅∂∂
=dtdz
zu
dtdy
yu
dtdx
xu
dtdu
R0Dies ist ein Skalarprodukt:
).,,(Punkt im
und )()()()(mit 0)(
000 zyxzu
yu
xu
tztytxtt
kjin
kjiRRn
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
⋅′+⋅′+⋅′=′=′⋅
R' (t) ist Tangente an Kurve K ⇒ n steht senkrecht auf R' (t). Dies gilt für jede Kurve K in derFläche ⇒ n steht senkrecht (normal) auf der Fläche, ist Normalenvektor ⇒ Die Tangentialebene in R0 ist senkrecht (normal) zu n und hat die Gleichung: 0)( =⋅− nRR 0
K K'
n Normalen-vektor
Flächeu(x, y, z) = c
Tangentialebene
R'(t) istTangente an K
Seite 18, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Vektorfelder
Zur Beschreibung eines Vektorfeldes brauchen wir 3 Gleichungen (Funktionen), für jede
Komponente des Vektors eine:
a(x, y, z) entsprechen ax(x, y, z), ay(x, y, z), az(x, y, z)
Beispiele für Vektorfelder Jedem Raumpunkt (x, y, z) ist zugeordnet
a) Strömende Flüssigkeitb) Elektrisches Feld
eine Geschwindigkeit v(x, y, z)eine elektrische Feldstärke E(x, y, z)
Grafische Darstellung eines Vektorfeldes: jedem Raumpunkt wird ein Vektor(pfeil) mit
Richtung und Betrag zugeordnet.
Bsp.: Strömende Flüssigkeit in Rohr
Wir interessieren und für die zeitlichen und räumlichen Änderungen 3dimensionaler
Vektorfelder, also für die Differenzial- und Integralrechnung dieser Felder. Skalare
Felder werden einbezogen.
x
z
y
Seite 19, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Veranschaulichung des Gradienten
Bsp.: dreidimensionales Temperaturfeld in einem Körper
Die Temperatur im Körper ändert sich kontinuierlich. Die Punkte gleicher Temperatur bilden Niveauflächen mit T = konst. Für sehr kleine ∆r in einer solchen Fläche ist daher ∆T = ∆r · grad T = 0. I.a. sind jedoch ∆T, ∆r, grad T ≠ 0 und damit das Skalarprodukt ∆r · grad T ≠ 0 ⇒ grad T steht senkrecht auf ∆r und auf den Niveauflächen gleicher Temperatur! grad T gibt also die Richtung stärkster T-Änderung an.
Bsp. „Herdplatte“, 2dimensionales Temperaturfeld, T nimmt nach außen hin ab.
Im eindimensionalen Fall ist der Gradient mit der Ableitung identisch (natürlich nicht im zwei- und dreidimensionalen Fall).
jiyf
xfyxfgrad
∂∂
+∂∂
=),(
Zweidimensionaler Fall:Niveaulinie mit gleicher Temperatur
Seite 20, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Konservatives Vektorfeld
Definition: Ein Vektorfeld K(x, y, z), das als Gradient K = grad U, mit Kx = ∂U/∂x, Ky = ∂U/∂y, Kz = ∂U/∂z, eines skalaren Feldes U(x, y, z) geschrieben werden kann, heißt konservativ (oder Potentialfeld) oder Gradientenfeld. Andernfalls heißt das Vektorfeld nichtkonservativ oder turbulent. Das skalare Feld U heißt Potential oder Potentialfunktion.
dU=dzzU+dy
yU+dx
xU=drK
∂∂
∂∂
∂∂
⋅Dann ist K · dr ein totales Differential von U:
Längs eines geschlossenen Weges wird keine Arbeit geleistet:
Dann ist das Integral W unabhängig vom Weg und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab:
[ ] ),,(),,( AAAC
B
ABBB
BA zyxUzyxUUdUdW ∫ ∫ −===⋅= rK
∫ ⋅ 0=drK
ya=
za
xa=
za
xa
=ya zyzxyx
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂ , ,
Ein Vektorfeld a(x, y, z) ist dann und nur dann konservativ, wenn in einem einfachzusammenhängenden Bereich gilt:
Seite 21, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
4. Divergenz und Satz von Gauß
Wir betrachten die Diffusion eines Stoffes A in einen Stoff B. Die Konzentrationsverteilung von A zur Zeit t sei durch c(x,y,z,t) gegeben. Jedem Raumpunkt wird ein Stofftransportvektor (Flussdichtevektor, Stromdichtevektor) j(x,y,z,t) zugeordnet, der angibt, welche Menge des Stoffes A bei (x,y,z) in welcher Richtung je Flächen- und Zeiteinheit hindurchfließt.
Seite 22, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
B. 3dimensionaler Fall – Divergenz
Wir verallgemeinern vom Stab auf beliebigen Körper und betrachten die Konzentrationsänderung in einem quader-förmigen Volumenelement mit Achsen parallel zu den Koordinatenachsen (Komponenten Jx, Jy, Jz des Stoffstrom-dichtevektors J(x, y, z, t) seien ungleich null). Der Stoff A ströme durch alle 6 Flächen des Würfels ein und aus.
Stoffstrom durch die y-z-Fläche, linke Seite (herein): Jx(x, y, z, t)·∆y·∆z Stoffstrom durch die y-z-Fläche, rechte Seite (heraus): Jx(x+ ∆x, y, z, t)·∆y·∆z
x, y, zEckpunkt
x, y, z + ∆z
Jx(x,y,z,t) Jx(x+ ∆x,y,z,t)
∆x
∆z
∆y
Entsprechende Ströme durch x-z- und x-y-Flächen. ⇒ Die Konzentrationsänderung ∂c/∂t ergibt sich aus den hereingeströmten Nettostoffmengen nach Division durch das Volumen ∆x·∆y·∆z
„Divergenz von J“ ist skalares Feld. J kann als allgemeines Vektorfeld angesehen werden. Wenn J den Fluss einer Größe angibt, so beschreibt - divJ die Konzentrationsänderungen dieser Größe.
ztzyxJtzzyxJ
ytzyxJtzyyxJ
xtzyxJtzyxxJ
tc zzyyxx
∆−∆+
−∆
−∆+−
∆−∆+
−=∂∂ ),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(
Für ∆x, ∆y, ∆z → 0 ⇒ JdivzJ
yJ
xJ
tc zyx −=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−=∂∂
kjiJJzyxz
JyJ
xJdiv zyx
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇= mit ,
„Quelle“
Seite 23, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Gaußscher Integralsatz (Divergenztheorem)
dFdxdydzFV
naa ∫∫∫∫∫ ⋅=⋅div
ndF = dydz·i + dzdx·j + dxdy·k ist der Vektor senkrecht zum Flächenstückchen dF mit Richtungsenkrecht zur Fläche. Seine Komponenten dydz, dzdx, dxdy sind die Projektionen des Flächen-stückchens auf die yz-, xz-, und xy-Ebenen.
Anschauliche Deutung:
Wegen div a = – ∂c/∂t, steht auf der linken Seite die Abnahme der Stoffmenge im Volumen V. Auf der rechten Seite steht die insgesamt durch die Oberfläche F des Volumens abgeflosseneMenge. Beide müssen gleich sein.
oder in Komponenten geschrieben:
∫∫∫∫∫ ++=⋅
∂∂
+∂∂
+∂∂
FV
dxdyadzdxadydzadxdydzza
ya
xa )( 321
321
Anwendung a:
Volumenintegrale (Dreifachintegrale) können in geeigneten Fällen in Oberflächenintegrale umgewandelt werden und umgekehrt. Das eine lässt sich meist leichter lösen als das andere.
wird in Vorlesung SS 2019 nicht behandelt!
Seite 24, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
6. Rotation und Satz von Stokes
Die Divergenz ist definiert als Skalarprodukt von Nabla-Operator und Vektor.Die Rotation ist definiert als Vektorprodukt von Nabla-Operator und Vektor:
Integralsatz von Stokes: Wir betrachten eine „glatte“ Fläche F in einem Vektorfeld a(x, y, z), die von einer glatten Kurve C umschlossen ist. Dann gilt:
mit n als Einheitsnormale auf dF. Also ist das Kurvenintegral links gleich dem Flächenintegralder Normalkomponente der Rotation von a über der Fläche F. Falls rot a = 0 für die ganze Fläche gilt, so verschwindet auch das Kurvenintegral links und a·dr muß ein totales Differenzial sein (siehe oben).
zyx
xyzxyz
aaazyx
ya
xa
xa
za
za
ya
∂∂∂∂∂∂=
∂∂
−∂
∂+
∂∂
−∂∂
+
∂
∂−
∂∂
=×∇= ///rot kji
kjiaa
∫ ∫∫∫ ⋅⋅=++=×∇=⋅C F
zyxC
dFdzadyadxad naara )rot ()(
wird in Vorlesung SS 2019 nicht behandelt!
Seite 25, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Geschwindigkeitsfeld rotierende Scheibe
v = ω × r
hier ω < 0
Seite 26, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
1. Matrizen
Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen (Objekten), die m Zeilen und n Spaltenenthalten:
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
............
...
...
21
22221
11211
A
Matrixsymbolfettgedruckt
auch eckige Klammernmöglich
ist m × n - Matrix
Matrix-Element a22, allgemein: aij
Zeilen-index
Spalten-index
{ }ija ist weitere Schreibweise für eine Matrix. Die geschweifte Klammerdrückt aus, daß alle Matrixelemente gemeint sind.
Seite 27, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
c) Multiplikation. Ist nur möglich, wenn Spaltenzahl der ersten gleich Reihenzahl der zweitenMatrix ist!
Schema: Man nimmt die 1. Spalte von B, dreht diese gegen den Uhrzeigersinn um 90°, legtsie auf die 1. Zeile von A, multipliziert aufeinanderliegende Matrixelemente und addiert die Produkte, erhält so c11 von C. Dann legt man die gedrehte 1. Spalte von B auf die 2. Zeilevon A und wiederholt die Prozedur, bis die 1. Spalte von C aufgebaut ist. Entsprechendbaut man mit den anderen Spalten von B und den Zeilen von A die anderen Spalten von C auf.
2. Rechenregeln für Matrizen I
a) Gleichheit. Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn sie die gleiche Zahl von Spalten undReihen haben und wenn alle Matrixelemente gleich sind: aij = bij
=
++++++
=
+
232221
131211
232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
cccccc
babababababa
bbbbbb
aaaaaa
∑ ⋅⋅k
kjikij ba=c= enteMatrixelem diefür heißt CBA
b) Addition (Subtraktion). Ist nur möglich, wenn A und B die gleiche Zahl von Spalten und Reihen haben. Die entsprechenden Matrixelemente werden addiert: cij = aij + bij
Seite 28, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
f) Orthogonale und unitäre Matrizen.
Also: eine adjungierte Matrix ist gleich der inversen Matrix.
Rechenregeln für Matrizen II
d) Inverse Matrix. Die Division zweier Matrizen gibt es nicht. A-1 ist inverse (reziproke, Kehrmatrix) Matrix zur quadratischen Matrix A, wenn A-1⋅A = A⋅ A-1 = E (Einheitsmatrix). Wenn die inverse Matrix existiert, heißt A nichtsingulär (regulär), sonst singulär. Bestimmung der inversen Matrix kommt später (nicht durch Bilden der reziproken Matrixelemente!)Multiplikation mit Einheitsmatrix lässt jede Matrix unverändert: E⋅A = A⋅E = A
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=⋅
mnmm
n
acacac
acacacc
...............
...
21
11211
A
e) Multiplikation mit Skalar c. Jedes Matrixelement wird mit c multipliziert:
Eine n × n-Matrix heißt wenn Matrixelemente Folgerung
orthogonalunitär
AT⋅A = A⋅ AT = EA+⋅A = A⋅ A+ = E
reellkomplex
AT = A-1
A+ = A-1
Seite 29, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Berechnung Determinante n-ter Ordnung
wird nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz gelöst:
Man erzeugt aus Determinanten n-ter Ordnung n Unterdeterminanten (n-1)-terOrdnung Mjk durch jeweiliges Streichen einer Zeile und einer Spalte aus der ursprünglichen Determinante. Diese werden mit dem Kofaktordes jeweiligen Zeilen/Spalten-Kreuzes multipliziert und addiert:
mnm2m1
2n2221
1n1211
...............
...
...
aaa
aaaaaa
=A
)1( n, ..., 2, 1,,
)1(...)1()1(
)1(...)1()1(
22
211
1
22
211
1
kj
nkkn
nkkk
kkk
k
jnnj
jnjj
jjj
j
kj
MaMaMa
MaMaMa
+
+++
+++
−=
⋅−⋅++⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅−⋅++⋅−⋅+⋅−⋅=A
kjjka +−⋅ )1(
liefert alternierendes Vorzeichen („Schachbrettmuster“).
Seite 30, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
4. Rechenregeln für Determinanten
1. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man Zeilen und Spalten miteinander vertauscht (Spiegelung, Stürzen) ⇒ Eine Matrix und ihre Transponierte besitzen die gleiche Determinante, sämtliche für Zeilen abgeleitete Sätze gelten auch für Spalten.
2. Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten) miteinander, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
3. Eine Determinante mit zwei gleichen Zeilen (Spalten) hat den Wert Null.
4. Wenn alle Elemente einer Zeile (Spalte) gleich Null sind, so hat die Determinante den Wert Null. (Beweis: Entwicklung der Determinante).
5. Eine Determinante wird mit einem Faktor m multipliziert, indem man alle Elemente einer Zeile mit diesem Faktor multipliziert.
6. Das Produkt zweier Determinaten wird analog zum Produkt zweier Matrizen gebildet.
7. Die Summe zweier Determinaten kann nicht analog zur Summe zweier Matrizen gebildet werden. Allerdings kann man eine Determinante in die Summe zweier Determinanten aufspalten, indem man die Elemente einer einzigen Zeile jeweils in zwei Summanden aufspaltet und anschließend zwei Determinanten bildet, die die übrigen Zeilen unverändert übernehmen.
8. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man zu den Elementen einer Zeile die mit dem Faktor m multiplizerten Elemente einer anderen Zeile addiert.
Beispiele siehe Vorlesung.
Seite 31, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
5. Rang einer Matrix und lineare Abhängigkeit
Der Rang r einer Matrix M ist die Ordnung der größten nichtverschwindenden Unterdeterminante oder der Determinante |M| selber.
kann.erden gebildet wnicht Ordnunghöherer teDeterminan eine undgilt
05621
teDeterminan ihre z.B. weil2, Rangden hat 456321
:1 Beispiel ≠
gilt. 011-02-
rminate Unterdetedie z.B. unddet verschwinOrdnung 3.
teDeterminan einzige ihre z.B. weil2, Rangden hat 520411302
:2 Beispiel
≠
−−
Die Zeilen einer m × n Matrix A sind linear abhängig, wenn es m Zahlen λ1, λ2, …, λ m gibt, die nicht alle Null sind und die folgenden n Gleichungen erfüllen:Andernfalls sind die Zeilen linear unabhängig voneinander.
Entsprechendes gilt für die Spalten:
∑m
=kikk m,,=i,=aλ
1 ...1,2 0
∑n
=iiki n,,=k,=aμ
1 ...1,2 0
Seite 32, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Lineares Gleichungssystem
Definition eines linearen Gleichungssystems mit m linearen (nur Exponent 1) Gleichungen für n Unbekannte (m muß nicht gleich n sein) x1, x2, …, xn: ...
.........
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
abgekürzt:
=
mnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
.........
..................
2
1
2
1
21
22221
11211
Die Koeffizienten aij und die Absolutglieder bi sind konstant und müssen bekannt sein. Ein homogenesGleichungssystem liegt vor, wenn alle bi = 0, andernfalls ein inhomogenes. Das Gleichungssystem lässt sich elegant als Matrix-Gleichung schreiben (Probe durch Ausmultiplizieren):
bxA =⋅
Die Matrix A heißt Koeffizientenmatrix (m × n Matrix), der Vektor x heißt Lösungsvektor (n × 1 Matrix). Die Theorie der linearen Gleichungen zielt darauf, a) festzustellen, ob Lösungen existieren und b) diese Lösungen gegebenenfalls zu bestimmen.
Die Existenz von Lösungen festzustellen ist nicht trivial!
Seite 33, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Cramersche Regel
Für inhomogene n × n Gleichungssysteme, gegeben durch
deren Determinante der Koeffizientenmatrix A nicht verschwindet, lassen sich die Komponenten des Lösungsvektors x wie folgt schreiben
Hierbei wird in der Determinante der Koeffizientenmatrix |A| jeweils die k-te Spalte durch die Elemente des Vektors b ersetzt. Das Verfahren ist nur empfehlenswert für n ≤ 3, weil die Berechnung von Determinanten höherer Ordnung sehr aufwendig ist. Man formt daher das Gleichungssystem erst so um, dass eine A eine Dreiecks-Form erhält.
AA
Ax
k
nnnn
n
n
k
aba
abaaba
=⋅=
...............
......
......1
1
2221
1111
bxA =⋅
k-te Spalte durch b ersetzt liefert |Ak|
Seite 34, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Lösbarkeit inhomogener Gleichungssysteme
Der folgende Satz beschreibt die Anzahl der Lösungen, wenn ein allgemeines inhomogenes Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten vorliegt:
Die Matrix A wird durch Hinzufügen der Elemente des Vektors b zur Matrix Ab erweitert:
r sei der Rang von A, R sei der Rang von Ab.(Wiederholung: der Rang einer Matrix gibt die Anzahl der linear unabhängigen Reihen oder Spalten der Matrix und damit die Zahl unabhängiger Gleichungen an). Dann gilt R = r oder R = r + 1.
=
mmnm
n
n
baa
baabaa
...............
...
...
1
2221
1111
bA
bxA =⋅
• Das Gleichungssystem besitzt Lösungen, wenn R = r ist (notwendig und hinreichend!)
• Ist außerdem die Zahl der Unbekannten n = r, so gibt es für jede Unbekannte genau eine Lösung.
• Gilt jedoch n > r, so kann man die Werte für n – r Unbekannte beliebig vorgeben und dann dierestlichen r Unbekannten aus den vorgegebenen Werten eindeutig bestimmen. Man erhält eine (n – r)-fach unendliche Lösungsmannigfaltigkeit.
Seite 35, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Lösbarkeit homogener Gleichungssysteme
Homogene Gleichungssystememit n Gleichungen haben die Gestalt:
0xA =⋅
a) Daher besitzt das Gleichungssystem immer Lösungen.
b) Für R = r = n ist x1 = x2 = … = xn = 0 die einzige Lösung, die triviale Lösung. Sie ist uninteressant.
c) Für R = r < n existieren nichttriviale Lösungen, die eine (n – r)-fache unendliche Lösungsmannigfaltigkeit bilden. Diese ist interessant.
d) Ist xi eine Lösung des homogenen Systems, so ist auch λ · xi eine Lösung.
e) Sind x1, x2, … Lösungen des Gleichungssystems, so ist auch die Linearkombinationλ1·x1 + λ2·x2 +, … Lösung.
f) Die allgemeine Lösung ist also: , wobei i alle linear unabhängigen
Lösungen durchläuft. Den n – r freien Konstanten werden bestimmte Werte zugewiesen.
=in
i
i
x
x...
1
xEine Lösung bezeichnen wir mit
Der Rang r einer Matrix A ist immer gleich dem Rang R der erweiterten Matrix: R = r, weil sich der Rang einer Matrix durch Hinzufügen einer Spalte Nullen nicht ändert.
∑i
iiλ= xx
Seite 36, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Inverse Matrix
Vorbemerkung. Das Gleichungssystem A·x = b lässt sich durch Multiplikation der MatrixA mit ihrer Inversen A-1 (von links) lösen: x = A-1·b. Also muss „nur“ die inverse Matrix A-1
ermittelt werden (|A|≠ 0).
⋅=−
332313
322212
3121111 1
ααααααααα
AA
Immer gilt:
Inverse Matrix:(Satz ist erweiterbar auf n × n Matrizen.)
( ) A von minanteUnterdeter1 ⋅−= +kjjkαMit den Kofaktoren:
Beachte „transponierte“ Indices!
EAAAA =⋅=⋅ −1-1 E Einheitsmatrix
Inverse2 × 2 Matrix:
=
−
−⋅=−
2221
1211
1121
12221 mit ,1aaaa
aaaa
AA
A
Seite 37, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
2. Eigenwertgleichung
Eigenwertprobleme sind von großer Bedeutung in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Hierbei ist eine gegebene n × n Matrix A mit dem Eigenvektor x (Spaltenvektor) und dem Eigenwert λ (reelle Zahl) verknüpft. Eigenvektor und Eigenwert sind gesucht.
xAx ⋅= λEigenwertgleichung: Andere Schreibweise:
x ist offensichtlich Lösung eines homogenen Gleichungssystems. Die triviale Lösung (Rang r = n) interessiert nicht. Bedingung für die Existenz einer nichttrivialen Lösung ist also r < n, d.h. die Determinante von (A – λE) muss verschwinden:
0xEA =⋅− )( λ
22112112
222112211
2,1
2112221122112
2221
1211
4)(
2
0)(
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aa
−++
±+
=
=−++−=−
−=−
λ
λλλ
λλEA
Im allgemeinen erhält man ein Polynom n-ten Grades in λ, das nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n (nicht unbedingt verschiedene) Nullstellen hat. Diese können komplexwertig sein. Eine beliebige n × n Matrix A hat also maximal n verschiedene Eigenwerte λk. Die Eigenwertgleichung hat mindestens eine nichttriviale Lösung xk.
Seite 38, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Eigenschaften v. Eigenvektoren u. Eigenwerten
Eigenwertgleichung A x = λ·x, A ist n × n Matrix, x Eigenvektor, λ komplexer (reeller) EigenwertSpektrum von A: Gesamtheit der Eigenwerte λ1, λ2, …, λnSpektraler Radius: Größter Betrag | λj| aus der Reihe der n Eigenwerte.
a) Die Spur (= Summe der Diagonalelemente) der Matrix A ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte. Sie hat eine ähnliche Bedeutung wie die Determinante, die das Produkt der Eigenwerte von A ist.
b) Die inverse Matrix A-1 hat die Eigenwerte 1/λ1, 1/λ2, …, 1/λn und dieselben Eigenvektorenx1, x2, …, xn wie A (1, 2, … hier Indices!).
c) Die Matrix Am , (Exponent m = 1, 2, …) hat die Eigenwerte λ1m, λ2
m, …, λnm und dieselben
Eigenvektoren x1, x2, …, xn wie A.
d) Ist A eine Dreiecksmatrix (obere oder untere), so sind die Diagonalelemente die Eigenwerte von A. (Beweis: Bildung der Determinante von A – λE).
e) Die Eigenwerte einer hermiteschen (symmetrischen) Matrix, für die A+ = A (AT = A) gilt, sind rein reell.
f) Die Eigenwerte einer schief-hermiteschen (schief-symmetrischen) Matrix, für die A+ = –A(AT = –A) gilt, sind rein imaginär.
g) Die Eigenwerte einer unitären (orthogonalen) Matrix, für die A+ A= E (AT A = E) gilt, haben den Betrag 1.
Seite 39, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Vektortransformation in festem KS (ist formal der Koordinatentransformation gleich, wird mit gleicher Drehmatrix B beschrieben:
Koordinatentransformation in drei DimensionenEin Koordinatensystem KS sei gegen ein anderes KS´ beliebig verdreht (ohne Verzerrung), bei gemeinsamen Ursprung. Dann spricht man von einer orthogonalen Transformation und es gelten die folgenden Beziehungen zwischen den Basisvektoren beider Systeme:
ii'
jj'
kk'
ZuordnungAchsenrichtung x y z Einheitsvektor i j k Index-Nummer 1 2 3
9 Richtungskosinus βmn sind die Kosinus der Winkel zwi-schen einem Basisvektor des gestrichenen u. einem Basis-vektor des ungestrichenen Systems. Bsp.: β13 = cos(∠i'k)
6 Orthogona-litätsrelationen gelten zwischen ihnen:
000
111
332332223121
331332123111
231322122111
233
232
231
223
222
221
213
212
211
=++
=++
=++
=++
=++
=++
ββββββ
ββββββ
ββββββ
βββ
βββ
βββ
Hintransformation RücktransformationBasisvektoren
Orthogonale Transformationsmatrix B (B-1=BT)
Koordinatentransformation allgemeiner Vektor a
kjikkjijkjii
333231
232221
131211
βββββββββ
++=′++=′++=′
kjikkjijkjii
′+′+′=
′+′+′=
′+′+′=
332313
322212
312111
βββββββββ
=
333231
232221
131211
βββββββββ
B
=
332313
322212
312111
βββββββββ
TB
dBd ⋅=′
aBa T ′⋅=
dBd T ′⋅=
aBa ⋅=′
wird in Vorlesung SS 2019 nicht behandelt!
Seite 40, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Diagonalisierung einer Matrix
Eine n × n Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix D ist, d.h., wenn eine invertierbare Matrix B existiert, so dass D = BAB-1 Diagonalgestalt hat.
Satz a:Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom det(A – λE).
Satz b: Ist A diagonalisierbar, so ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix D, bei der auf der Diagonalen die Eigenwerte von A stehen.
Satz c:Eine n × n Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. Diese bilden als Spaltenvektoren die n × n Matrix X = B-1
Falls A symmetrisch ist, lassen sich immer n zueinander orthogonale (linear unabhängige) Eigenvektoren finden. Damit können symmetrische Matrizen immer auf Diagonalform gebracht werden. Dagegen haben orthogonale („Dreh-“) Matrizen teilweise komplexe Eigenwerte.
Vorgehen: Man bildet das charakteristische Polynom und bestimmt die Eigenwerte und Eigenvektoren. Sind letztere linear unabhängig, ist D bestimmt:
−−
nλλ
λλ
...00.........0...00...0
3
2
1
=AXX=BAB=D 11
wird in Vorlesung SS 2019 nicht behandelt!
Seite 41, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Hauptachsentransformation
Welche Kurve ist der folgenden allgemeinen Gleichung (z.B. für Kegelschnitte) zugeordnet?
1
1)(
12
2
1
2212
121121
22222112
2111
=⋅⋅
=
=⋅++⋅
xAxT
xx
aaaa
xx
xaxxaxa
Matrizenform
Wir drehen das KS mit der orthogonalen Matrix B so, dass A in die Diagonalmatrix D (und xin x') transformiert wird. Die λ1, λ2 sind Eigenwerte von A, siehe oben:
⇒ A ist symmetrisch
( )
1''
10
01
00
222
211
2
1
2
121
2
1
=⋅+⋅⇒
=
′′
′′
=⋅⋅′
=⋅⋅=′= −
xx
xx
xx
λλ
λλ
λλ
xDx
BABAD
T
1
Neue Form der Gleichung
Die zu den Eigenwerten gehörenden normierten Eigenvektoren bilden die Spalten der Matrix B-1, siehe oben. Durch Invertierung von B-1 erhält mandie Drehmatrix B und daraus den Drehwinkel ϕ.
−
=ϕϕϕϕ
cossinsincos
B
Eigenwerte bestimmen Kurvenform:λ1, λ 2 > 0 Ellipseλ1· λ2 < 0 Hyperbelλ1 oder λ2 = 0 Geradenpaar
1
2
Die Umwandlung von 1 in 2 heißt Hauptachsentransformation.
wird in Vorlesung SS 2019 nicht behandelt!
Seite 42, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Anwendungen von Differenzialgleichungen
Weitere Beispiele:
Gewöhnliche Dgln- Physikalische Reaktionen (z.B. radioaktiver
Zerfall)- Chemische Reaktionen
Partielle Dgln- Wärmeleitung, Diffusion, Viskosität
(Transport-Gl.)- Schwingungen und Wellen (Wellen-Gl.) - Elektrodynamik (Maxwellsche Gln.)- Kontinuitäts- und Strömungs-Gl.
(Laplace-, Poisson-, Euler-Gl.)- Fluidmechanik (Navier-Stokes-Gl.)- Quantenmechanik (Schrödinger-Gl.)
Weitaus mehr Probleme aus Physik, Chemie, Biologie, Technik, …, lassen sich mit partiellenals mit gewöhnlichen Dgln beschreiben!
Quelle: E. Kreyszig
Seite 43, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Systeme v. gewöhnlichen Differenzialgleichungen
,0),...,,,...,,,...,,(...
,0),...,,,...,,,...,,(,0),...,,,...,,,...,,(
)()(22
)(11
)()(22
)(112
)()(22
)(111
=
=
=
nmm
nnm
nmm
nn
nmm
nn
yyyyyyxF
yyyyyyxFyyyyyyxF
m Bedingungsgleichungen der Form
führen auf ein System von m gekoppelten Differenzialgleichungen zur Bestimm m (entsprechend oft differenzierbaren) Funktionen: y1= y1(x), y2(x), …, ym= ym(x).
Beispiel: Differenzialgleichungssystem:
Lösung 1:
Lösung 2:
axayaxy cos ,sin 21 ⋅==
axayaxy sin ,cos 21 ⋅=−=
0 0
12
12
=′−=⋅+′
yyyay
Folgerung: Ein System von Dgln kann durch mehrere verschiedene Funktionensysteme gelöst werden.
Seite 44, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
2. Gewöhnliche DGLn erster Ordnung
Existenz von Lösungen
F(x, y, y′) = 0 sei eine gewöhnliche Dgl 1. Ordnung, die sich eindeutig nach y′ auflösen lässt: y′ = f(x, y)
Diese Glg ordnet jedem Punkt der x-y-Ebene eine Steigung zu. Die Gesamtheit dieser Linienelemente (Punkt plus Steigung) heißt Richtungsfeld der Dgl. Lösungen der Dglsind zusammenhängende Kurven, die ausschließlich aus Linienelementen bestehen, z.B. L1 oder L2. Kurve K besteht nicht aus Linienelementen und ist keine Lsg.
Das Richtungsfeld lässt unendlich viele verschiedene Lsgnzu. Mit der Forderung (Anfangsbedingung), dass die Lösungskurve durch einen bestimmten Punkt P gehen soll,reduziert man die Lsgn auf eine einzige.
Die Situation ist nicht so klar bei Dgln, die sich nicht nachy′ auflösen lassen (implizite Darstellungen).
Richtungsfeld der Dgl y′ = – ky.Hier ist die Steigung nur von yabhängig.
Linienelement
Seite 45, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Lösungsverfahren für inhomogene lineare Dgln:1. Man bestimmt das allgemeine Integral yh der homogenen Dgl (z.B. durch Trennung der Variablen). 2. Man bestimmt irgendwie ein partikuläres Integral y0 der inhomogenen Dgl(z.B. durch Raten oder durch Variation der Konstanten). 3. Man addiert beide und erhält die allgemeinen Lösung: y = yh + y0
Alternative:Kennt man zwei unabhängige partikuläre Integrale y1 und y2 der inhomogenen Glg, so ist die allgemeine Lösung: y = y1 + C·(y2 – y1) C beliebige Konstante.
Homogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = 0 Inhomogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = g(x) g(x) heißt Störterm
Lösung der inhomogenen linearen DGL
Wichtiger Satz:Das allgemeine Integral einer inhomogenen linearen Dgl ist gleich der Summe aus dem allgemeinen Integral der zugehörigen homogenen Dglund einem partikulären Integral der inhomogenen Dgl.
Seite 46, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Exakte Differenzialgleichung
liefern g(y) und h(x) durch Vergleich
Eine nichtlineare Dgl mit einer der äquivalenten Formen
heißt exakt, wenn gilt:
0),(),( 0),(),( ),(),(
=′⋅+⇔=+⇔−=′ yyxQyxPdyyxQdxyxPyxQyxPy
xy QPxQ
yP
=⇔∂∂
=∂∂
∫
∫∫∫+=
+=+==
)(
)()(
xhQdy
ygPdxQdyPdx dzFCC
Ist die Dgl nicht exakt, so kann ev. ein sog. Integrie-render Faktor µ(x, y) so bestimmt werden, dass gilt:
Dann sind die Lösungen y = f(x) bestimmbar aus:
)()(xQ
yP
∂∂
=∂
∂ µµ
konstQdyPdxFC
=+= ∫ )( µµ
Dann kann man die obige mittlere Form als totales (exaktes) Differenzial dz = 0 auffassen, m F = z(x, y) = konst als konstanter Stammfunktion, mit Fx = P, Fy = Q. F wird über das Kurvenintegral berechnet (siehe wegunabhängiges Kurvenintegral) undliefert eine Bestimmungsgleichung für die Lösungen y = f(x):
Seite 47, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Gewöhnliche lineare DGL n-ter Ordnung
Form: y(n) + a1(x)·y(n-1) + … + an-1(x)·y′ + an(x)·y = b(x)Dgl ist homogen, wenn b(x) = 0, sonst inhomogen
Sätze:
1. Diese Dgl besitzt genau n (linear unabhängige) Lösungen y1(x), y2(x), …, yn(x), wenn die Wronski-Determinante ungleich Null ist. Sie bilden das fundamentale Lösungssystem.
0
...............
...
...
)1()1(2
)1(1
21
21
≠′′′
−−− nn
nn
n
n
yyy
yyyyyy
2. Das allgemeine Integral y(x) der homogenen Dgl erhält man durch Linearkombination demit beliebigen Konstanten multiplizierten n Fktn des fundamentalen Lösungssystems(Superpositionsprinzip): y(x) = C1·y1(x) + C2·y2(x) + … + Cn·yn(x)
3. Das allgemeine Integral der inhomogenen Dgl erhält man aus dem allgemeinen Integral homogenen Dgl plus einem partikulären Integral (z.B. durch Variation der Konstantenbestimmbar) der inhomogenen Dgl.
4. Die Dgl besitzt eine eindeutige Lösung, wenn man n + 1 Zahlen x0, y0, y0′, …, y0(n-1)
angibt und verlangt, dass für x = x0 die n Bedingungen y = y0, y′ = y0′, y′′ = y0′′, …, y(n-1) = y0(n-1)
erfüllt sein sollen.
Wronski-Determinante
Seite 48, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
DGL: Gedämpfte freie Schwingung
x
t
x
t
Kräftegleichgewicht ⇒ Dgl:
Lösungs-ansatz:
teAx ⋅⋅= λ
222/1 ωλ −±−= KK
Charakter.Gleichung:
tt eAxeAx ⋅⋅ ⋅⋅=′′⋅⋅=′ λλ λλ 2 ,
Lösungen:
)(
)(
)(
2222
2222
2222
21
21
21
tKtKKt
tKtKKt
tKtKKt
etAeAex
eAeAex
eAeAex
ωω
ωω
ωω
−−−−
−−−−
−−−−
⋅⋅+⋅=
⋅+⋅=
⋅+⋅= λ1/2 reell, K2 > ω2, gedämpfte Schwingun
λ1/2 komplex, K2 < ω2, Kriechfall
λ1/2 reell, K2 = ω2, aperiodischer Grenzfal
02 0 2 =⋅+′⋅+′′⇔=⋅+′⋅+′′⋅ xxKxxDxbxm ωTrägheitskraft m·x′′ Reibungskraft – b·x′ Federkraft – D·xAbklingkoeffizient K = b/2mKreisfrequenz ω = (D/m)1/2
Konstanten A, A1, A2
Gedämpfte Schwingung Kriechfall
Aperiodischer Grenzfall
Einsetzen in Dgl ⇒
Einhül-lende
Sinus-Schwingung (→ Eulerformel)
Seite 49, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
DGL: Erzwungene Schwingung
Ansatz part.Integral:
ti kex ωα ⋅=
2222220
220 2tan ,)2()( ,
2 k
kkk
i
kk
KKrer
KKi
Kωω
ωϕωωωωωω
α ϕ
−=+−=⋅=
+−= −
ti keKxxKx ωω ⋅=⋅+′⋅+′′ 022
Anregende Kraft F0 = K0·mAnregende Beschleunigung K0Anregende Kreisfrequenz ωkAbklingkoeffizient K = c·mDämpfungskonstante c = bEigenkreisfrequenz System ωAmplitudenverstärkung C*Konstanten α, A1, A2
x mit Ableitungen in Dgl einsetzen,komplexen Nenner in Polarko-ordinaten darstellen :
Inhomo-gene Dgl:
AllgemeineLösung:
)cos()2()(
)(2222
021
2222
ϕωωωω
ωω −⋅+−
+⋅+⋅= −−−− tK
KeAeAex k
kk
tKtKKt
Lösung homogene Dgl + partikuläres Integral
C*Einschwingvorgang
ωk/ω
Resonanz bei ωk → ωbesonders bei K → 0!
ϕ
ωk/ω
Phasenverschiebung ϕzw. System u. Anregung
Seite 50, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Permutationen
Eine Anordnung von n unterscheidbaren Elementen einer Menge in einer bestimmtenReihenfolge heißt Permutation dieser Elemente. Eine entsprechende Anordnung von r ≤ n dieser Elemente heißt r-Permutation (oder auch Variation).
Satz a: Die Anzahl der r-Permutationen von n Objekten ist:
Bsp: Es gibt P(n,r) verschiedene Möglichkeiten beim Ziehen von r Kugeln ohne Zurücklegen aus einer Urne mit n Kugeln. Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es nach dem fundamentalen Abzählprinzip n·n· …n = nr Möglichkeiten.
n!=))(nn(n=n)P(n,r)!(n
n!=)+r(n))(nn(n=r)P(n,
12...321
1...21
⋅⋅−−−
−−−Es gibt also n! Permutationen von n verschiedenen Objekten. ⇒
Satz b: Die Anzahl der Permutationen von n Objekten (Permutationen mit Wiederholung), von denen je n1, je n2, … und je nr gleich sind, ist:
Bsp.: Mit den 5 Buchstaben des Wortes DADDY kann man 5! = 120 verschiedene Worte bilden, sofern man die drei D‘s unterscheidet (D1,D2,D3). Die 120 Worte lassen sich in einer 6 × 20 Matrix anordnen, wobei immer nur die 6 = 3·2·1 = 3! Worte in einer Zeile stehen, die sich nur durch die Indices der D‘s unterscheiden. Ohne Unterscheidung bleiben also nur 5! / 3! = 120 / 6 = 20 Möglichkeiten über.
!!!!
21 rnnnn
⋅⋅⋅
Seite 51, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Binomischer Satz
321234
34
,1
,10
...21)1(...)1(
)!(!!
...210
)(0
2211
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
⋅⋅⋅+−⋅⋅−
=−
=
=
++
+
+
=+ ∑
=
−−−
nn
nnn
kknnn
knkn
kn
bakn
bnn
ban
ban
an
ban
k
knknnnnn
Binomialkoeffizienten
bilden das
n = 0 1 n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1u.s.w.
Pascalsche Dreieckn! = 1 · 2 · ... · n „n Fakultät“
Der Satz kommt aus der Kombinatorik.Die Binomialkoeffizienten im PascalschenDreieck liefern im Grenzfall n → ∞ die Normalverteilung (siehe auch GaltonschesBrett).
Seite 52, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II
Wahrscheinlichkeitstheorie
Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat sich aus dem Studium von Glücksspielen entwickelt. Sie wird mittlerweile „seriös“ in der Thermodynamik, Quantentheorie, Messwertanalyse, Biologie, Versicherungsmathematik, u.s.w., eingesetzt. Sie befasst sich mit den Gesetzmäßigkeiten von zufälligen Ereignissen.
Bsp. Würfeln: Ereignisraum S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Elementarereignis „Würfeln einer Vier“ {4}, Ereignisse A „ungerade Zahl“, B „gerade Zahl“, C „Primzahl“: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C= {2, 3, 5},A ∩ C = {3, 5} „ungerade Primzahl“, A ∩ B = ∅ „gerade und ungerade Zahl“.
Ereignisraum (Stichprobenraum): Menge S aller möglichen Ergebnisse eines Experiments. Elementarereignis: Ein nicht als Summe anderer Ereignisse darstellbares Ereignis (Ergebnis) a. Ereignis: Menge von Elementarereignissen. Unmögliches Ereignis: Leere Menge ∅. Sicheres Ereignis: Menge S. Verknüpfung von Ereignissen zu neuen Ereignissen: a) A ∪ B „A oder B treten ein“ b) A ∩ B „A und B treten ein“c) Ac ist Komplement von A, „A tritt nicht ein“d) A und B heißen disjunkt oder unvereinbar, wenn sie sich ausschließen, also ist A ∩ B = ∅ ein unmögliches Ereignis. Partition: Menge von unvereinbaren Ereignissen A1, A2, …, An, deren Vereinigung S ergibt.
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Wahrscheinlichkeitsraum u. Laplace-Experiment
S = {a1, a2, …, an} sei eine Menge (Ereignisraum) von n Elementarereignissen ai. Wenn man jedem aieine Wahrscheinlichkeit P(ai) zuordnet, so erhält man einen Wahrscheinlichkeitsraum falls gilt:
a) P(ai) ≥ 0 für alle P(ai) b) P(ai) + P(a2) + … + P(an) = 1.
Bsp.: Wir werfen 3 Münzen gleichzeitig und beobachten, wie oft Zahl erscheint (4 Möglichkeiten). Ereignisraum: S = {0, 1, 2, 3} Wahrscheinlichkeitsraum: P(0) = 1/8, P(1) = 3/8, P(2) = 3/8, P(3) = 1/8A = {1, 2, 3} = {„mindestens einmal Zahl erscheint“} ⇒ P(A) = 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8
Falls jedes der n Elementarereignisse ai im Ereignisraum die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt, spricht man von einem Laplace-Experiment (Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum). Ein Ereignis A mit genau r Elementen besitzt dann die Wahrscheinlichkeit P(A) = r / n.
Bsp.: Karte zufällig aus Kartenspiel mit 52 Karten ziehen. Ereignisse: A = {„Karte ist Karo“}, B = {„Karte ist ein Bild“} P(A) = Zahl der Karo / Zahl der Karten = 13 / 52, P(B) = Zahl der Bilder / 52 = 12 / 52,P(A ∩ B) = Zahl der Karo-Bilder / Zahl der Karten = 3 / 52.
K K K 1K K ZK Z K 3Z K KK Z ZZ K Z 3Z Z KZ Z Z 1
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Ereignisbaum
Mit einem Ereignisbaum kann man die Wahrscheinlichkeiten einer Folge von Experimenten (Zufallsprozess) gut darstellen.
Beispiel: Wir haben 3 Kartons mit folgendem Inhalt: Karton I enthält 6 gute und 4 defekte Lampen. Karton II enthält 5 gute und 1 defekte Lampe.Karton III enthält 5 gute und 3 defekte Lampen.
Wir bestimmen zufällig einen Karton und wählen zufällig daraus eine Lampe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass diese defekt ist?Wir führen eine Folge von zwei Experimenten aus: a) Zufallsauswahl eines Kartons; b) Zufallsauswahl einer Glühlampe (defekt = D, nicht defekt = N). Der folgende Ereignisbaum beschreibt diesen Prozess. An jedem Ast stehen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
I
II
III
D
D
D
N
N
N
1/3
1/3
1/3
2/5
3/51/6
5/63/8
5/8
1/3 · 2/5 = 2/15
1/3 · 3/5 = 3/15
1/3 · 5/6 = 5/18
1/3 · 5/8 = 5/24
1/3 · 3/8 = 3/24
1/3 · 1/6 = 1/18
Wir haben jeweils drei sich ausschließende Möglichkei-ten, eine gute/defekte Glühlampe zu wählen. Daher werden die einzelnen Wahr-scheinlichkeiten addiert:
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Zufallsvariable und Verteilungsfunktion
In den Naturwissenschaften betrachtet man oft Verteilungen von Messdaten. Z.B. wiederholt man eine Messung mehrfach und ordnet die Messwerte der Größe nach Intervallen zu. In ähnlicher Weise beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen (Werten) eines Experiments. Dabei kann die Wahrscheinlichkeit des zufälligen Auftretens eines Ereignisses (Wertes a) sinnvollerweise durch die Verknüpfung mit einer so genannte Zufallsvariablen X exakt ausgedrückt werden: P(X = a). Mit X kann auch die Wahrscheinlichkeit ausgedrückt werden, dass zufällig ein Ereignis (Wert) aus einem Intervall I auftritt: P(X ∈ I).
Definition Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X: F(x) = P(X ≤ x). F gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass X irgendeinen Wert ≤ x annimmt. F kann abzählbar (diskrete Verteilung) oder kontinuierlich (z.B. Messwerte) sein.
Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreter Verteilung: Hieraus erhalten wir die Verteilungsfunktion:
0 x
f(x)
0 x
F(x)
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1Bsp: X sei Augenzahl bei Würfelexperiment, X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Mittelwert, Varianz und Standardabweichungeiner Zufallsvariable X und ihrer Verteilung.
Mittelwert µ(Erwartungswert)
Varianz σ2
Standardabweichung σ
Verteilung
kontinuierlichdiskret
∑j
jj xfx )( ∫+∞
∞−
dxxfx )(
)()( 2j
jj xfx∑ − µ ∫
+∞
∞−
− dxxfx )()( 2µ
(σ ist positive Wurzel aus σ2)
GeometrischeEntsprechung
x-Koordinate desSchwerpunkts der Verteilung
x-Koordinate desTrägheitsmomentsder Verteilung um die Schwerpunktsachse
Oft ist eine Transformation von X wichtig, der Form X* = a + bX. Dann transformieren sich µ und σ2 zu µ * = a + bµ und σ*2 = b2 σ2
Für die standardisierte Zufallsvariable Z gilt µ = 0 und σ = 1
σµ−
=XZ
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Poissonverteilung
)210( , ..., , x = ex!μ=f(x) μ
x−
Bei der Binomialverteilung ist der Mittelwert µ = np. Für kleine p und große n geht diese Verteilung in die Poissonverteilung über (ohne Beweis):
mit der Varianz σ2 = µ
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Schraube ist p = 0,01. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 100 Schrauben mehr als 2 defekte Schrauben enthalten (Ereignis A)?
Lösung: Berechnung des Gegenteils „nicht mehr als 2 defekte Schrauben“ (Ereignis B). Die Anzahl der Experimente ist n = 100. Damit ist p relativ klein und n relativ groß, so dass die Poisson-Verteilung eine Approximation der Binomialverteilung darstellt, mit µ = pn = 1.
P(B) = f(0) + f(1) + f(2) = e-1 ( 1 + 1 + ½) = 91,97 %.
P(A) = 1 – P(B) = 8,03 % (oder 7,94 % mit der Binomialverteilung berechnet).
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) der Poisson-verteilung für verschiedene Werte von µ.
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