materi 1 -...
Post on 27-May-2018
277 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Matriks & Ruang Vektor
Materi 1 Sistem Persamaan Linier dan
Matriks (lanjutan)
Start
Matriks & Ruang Vektor
Outline Materi
• Metode Penyelesaian SPL dengan Matriks (Lanjutan)
– Metode Penyelesaian SPL
– Eliminasi Gauss – Jordan
– Operasi Aljabar Matriks
– Transpose Matriks
2
Matriks & Ruang Vektor
Solusi Sistem Persamaan Linier
a. Cara Biasa → Seperti SMA
b. Eliminasi Gauss
c. Eliminasi Gauss - Jordan
a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali): I. x + y = 3 3x + 3y = 9
3x – 5y = 1 3x – 5y = 1
8y = 8 y = 1
3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2
II. y = 3 – x
3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1 8x = 16 x = 2
y = 3 – x y = 1
Matriks & Ruang Vektor
4
b. Eliminasi Gauss
Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi
Linier Augmented Gauss
Merupakan salah satu teknik paling populer
dalam menyelesaikan sistem persamaan
linear dalam bentuk:
CXA
Metode
Eliminasi
Gauss
PRINSIP:
Untuk sistem persamaan yang terdiri
dari 3 persamaan:
x1 dlm pers. (2) dan (3) dieliminasi.
x2 dlm pers. (3) dieliminasi.
TAHAPAN
METODE ELIMINASI
1. Eliminasi Maju:
Menghapus variabel-variabel
2. Substitusi Balik:
Mencari nilai semua variabel
Matriks & Ruang Vektor
Operasi Baris Elementer
• Operasi Baris pada Matriks untuk mendapatkan matriks yang ekivalen
dengan matriks asal
– Mengalikan suatu baris dengan k (k = konstanta yang bukan 0)
– Mempertukarkan baris satu dengan lainnya
– Menjumlahkan suatu baris dengan k x baris lainnya
6
Matriks & Ruang Vektor
1. Forward Elimination
Tujuan Forward Elimination adalah untuk
membentuk matriks koefisien menjadi Upper
Triangular Matrix
7.000
56.18.40
1525
112144
1864
1525
Matriks & Ruang Vektor
Contoh
83125
12312
71352
21232
8325
1232
7352
2232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
ditulis dalam
bentuk matriks
augmented
Matriks & Ruang Vektor
83125
12312
71352
21232
32
162
190
13140
92120
12
112
31
'
14
'
4
'
13
'
3
'
12
'
2
1'
1
5
2
2
2
RRR
RRR
RRR
RR
32
162
190
13140
92120
12
112
31
41599
4500
1973002
912
110
12
112
31
'
14
'
4
'
23
'
3
2'
2
1
'
1
219
4
2
RRR
RRR
RR
RR
1. Forward Elimination
Matriks & Ruang Vektor
12572
12143000
319
37100
291
2110
12
112
31
'
34
'
4
3'
3
2
'
2
1
'
1
45
3
RRR
RR
RR
RR
41599
4500
1973002
912
110
12
112
31
12572
12143000
319
37100
291
2110
12
112
31
1435721000
319
37100
291
2110
12
112
31
121434'
4
3
'
3
2
'
2
1
'
1
RR
RR
RR
RR
1. Forward Elimination
Matriks & Ruang Vektor
2. Back Substitution
4
143572
319
37
29
21
12
12
3
4
4
43
432
4321
x
x
xx
xxx
xxxx
PRINSIP:
Semua variabel pada baris
(persamaan) ke m dihapus kecuali
xm itu sendiri sehingga tidak
diperlukan substitusi balik.
Metode
Gauss
Jordan
14001 a
24010 a
34100 a
Bentuk Akhir:
Matriks & Ruang Vektor
Gauss - Jourdan
39743
22342
15231
6150
8120
15231
'
13
'
3
'
12
'
2
1
'
1
3
2
RRR
RRR
RR
142700
42110
152101
'
23
'
3
2
'
2
'
21
'
1
5
2
3
RRR
RR
RRR
6150
8120
15231
142700
42110
152101
4100
2010
1001
273'
3
'
32
'
2
'
31
'
1
21
21
RR
RRR
RRR
Matriks & Ruang Vektor
14
Operasi Aljabar Matriks
Penjumlahan dua matriks
A + B = (aij + bij)
A – B = (aij – bij)
Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks
adalah mempunyai ordo yang sama
Contoh:
6129
111311
291
476
438
765C
BACMaka
291
476Bdan
438
765ADiketahui
2x3
2x32x32x3
2x32x3
Matriks & Ruang Vektor
Soal Latihan Tentukan penjumlahan Dua Matriks dibawah ini!
Matriks & Ruang Vektor
Matriks & Ruang Vektor
Matriks & Ruang Vektor
Syarat:
Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada matriks kedua.
Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada
matriks kedua
Matriks & Ruang Vektor
Contoh:
1 3
5 0
0
1 2 A
B
2
4
1
2 1 0
= =
A x B =
-4
4
x + x + x = 9
1 3
5 0
2
4
1 3
5 0
2
4
0
1 2
1
2 1 0
-4
4
x + x + x = 16
x + x + x = 3
1 2 3
0 4 5
x x x
x x x
x x x
+
+
+ +
+
+ =
=
=
13
8
14
1
4
0
-4
2
1
1 2 3
0 4 5
0
1
2
0
1
2
Matriks & Ruang Vektor
Matriks & Ruang Vektor
Matriks & Ruang Vektor
Transpose
Definisi:
Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya
adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom
dari A.
4 2 6 7
5 3 -9 7
A = AT = A’ =
4 5
2 3
6 -9
7 7
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……
[AT]ij = [A]ji n x m
Sifat-sifat Transpose Matriks
A AT (AT)T
(AT )T = A 1. Transpose dari A transpose adalah A:
4 2 6 7
5 3 -9 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
= A
Contoh:
Sifat-sifat Transpose Matriks 2. (A+B)T = AT + BT
A+B
(A+B)T
T
BT
B
T
A
T
AT
=
=
+
+
Sifat-sifat Transpose Matriks
3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k
kA
(kA)T = k(A)T
A
T T
k
Sifat-sifat Transpose Matriks
4. (AB)T = BT AT
(AB)T
AB
T T
A B
T
=
AB = BTAT
top related