matematikarumus lengkap!!!...rumus lengkap!!! dilengkapi: g materi sesuai kisi-kisi ujian terbaru g...
Post on 20-Jun-2020
34 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
kUMPULA
N
Rumus
MatematikaLENGKAP!!!
Dilengkapi:
GMateri Sesu
ai kisi-k
isi ujian
terbaru
GBerdasar
kan KTSP 2016
dan Kurikulum 2013
GContoh soal dan
pembahasan
tiap mater
i
GRumus trik “KLIK”
Download update kumpulan materi dan soal beserta
pembahasan lainnya di idschool.net
2
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
DAFTAR ISI
Bilangan 3Persamaan Linear 9Persamaan Kuadrat 13Perbandingan 18Kesebangunan dan Kekongruenan 23Himpunan 28Relasi dan Fungsi 33Teorema Pythagoras 36Persamaan Garis Lurus 39Garis dan Sudut 46Segitiga 53Segiempat 56Lingkaran 59Bangun Ruang 70Aritmetika Sosial 79Barisan Bilangan 85Statistika dan Peluang 93
3
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± BILANGAN
1. Operasi pada Bilangan BulatOperator pada bilangan bulat meliputi:a. penjumlahan (+)b. pengurangan (−)
c. perkalian (×)d. pembagian (:)
2. Sifat-Sifat Bilangan Bulata. Penjumlahan
- Tertutup: (a + b) = c- Komutatif: (a + b) = (b + a)- Asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c)- Identitas: a + 0 = 0 + a = a
b. PenguranganLawan dari penjumlahan: a – b = a + (−b)
c. Perkalian- Tertutup: a × b = c- Komutatif: a × b = b × a- Asosiatif: a × (b × c) = (a × b) × c- Distributif: a(b ± c) = ab ± ac- Identitas: a ×1=1× a = a
d. Pembagian Lawan perkalian: ÷ = ×
1a b a
b
4
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
3. Operasi Hitung pada Pecahan
a. × +=
m a n ma
n n
b. ±± =
a c a cb b b
c. ±± = ≠
a c ad cb, b,d 0
b d bd
d. × = ≠a c ac
, b,d 0b d bd
e. ÷ = × = ≠a c a d ad
, b,c 0b d b c bc
4. Bilangan Berpangkat
Sifat-sifat operasi pada bilangan pangkat:a. am × an = am + n
b. am ÷ an = am − n
c. (a × b)n = an × bn
d. (am)n = am × n
e. n n
n
a ab b
=
f. nn
1a
a− =
5
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
5. Bentuk Akar
Sifat-sifat operasi bentuk akar:
( )
× × × × =
=
=
=
+ = +
× = ×
× =
nsebanyak n
nm n m
1n n
12
2
1. a a a ... a a
2. a a
3. a a
4. a a
5. n a m a n m a
6. a b a b
7. a b a b
( )
× × × × =
=
=
=
+ = +
× = ×
× =
nsebanyak n
nm n m
1n n
12
2
1. a a a ... a a
2. a a
3. a a
4. a a
5. n a m a n m a
6. a b a b
7. a b a b
KLIK!
a a b ab
bb b b= × =
Contoh:3 3
222
=
6
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Bentuk sederhana dari
2 78 12
3 12 2
3 27
9 81
×
×
adalah ....
A. 27
B. 13
C. 19
D. 127
Pembahasan:
2 2 2 2 77 7 73 3
8 8 8 8 412 12 12
3 1 3 1 3 2 3 22 4
2 2 2 2
2 7 2 14 40 245 38 4 8 8
3 27 3 3 3 3 33 3 3
9 81 3 31
3 3 3 327
+× ×
+× ×
+ − −+ − −
× × ×= = =
×× ×
= = = = =
♪ Jawaban: D
2. SOAL SETARA TINGKAT UN Bilangan yang senilai dengan
7
7 3−
adalah ....
A. ( )7 7 3
4
+
B. ( )7 7 3
2
+
C. ( )7 7 3
10
+
D. ( )7 7 3
4
−
7
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Pembahasan:
( )( )( )( )
7 7 7 3
7 3 7 3 7 3
7 7 3
7 3 7 3
7 7 3
4
+= ×
− − +
+=
− +
+=
♪ Jawaban: A
3. SOAL SETARA TINGKAT UN Dalam kompetisi Matematika, setiap jawaban
benar diberi nilai 4, salah diberi nilai –2, dan tidak dijawab diberi nilai –1. Dari 40 soal yang diberikan, Rini berhasil menjawab benar 30 dan salah 6. Skor yang diperoleh Rini adalah ....
A. 114B. 110C. 108D. 104
Pembahasan: Jawaban Rini: Benar = 30 Salah = 6 Tidak dijawab = 40 – 30 – 6 = 4
8
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Skor Rini ( ) ( ) ( )30 4 6 2 4 1
120 12 4 104
= × + ×− + ×−
= − − =
♪ Jawaban: D
4. Hasil dari 3 12 2 3+ adalah ....
A. 8 15
B. 5 15
C. 8 3
D. 5 3
Pembahasan:
( )( )
3 12 2 3 3 4 3 2 3
3 4 3 2 3
3 2 3 2 3
6 3 2 3
8 3
+ = × +
= × +
= × × +
= +
=
♪ Jawaban: C
9
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± PERSAMAAN LINEAR
1. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Ö Variabel adalah suatu lambang huruf yang merepresentasikan satu atau beberapa bilangan.
Ö Koefisien adalah faktor bilangan dari suku pada bentuk aljabar.
Ö Contoh: persamaan 2x + 5 = 15Keterangan: x = variabel 2 = koefisien 5 dan 15 = konstanta
Ö Ciri-ciri persamaan linear menggunakan tanda operasi =.
Ö Ciri-ciri pertidaksamaan linear menggunakan tanda operasi , , >, atau < ≤ ≥ .
2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Ö Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terdiri dari dua persamaan yang mempunyai dua variabel.
Ö Solusi dari SPLDV memenuhi semua persamaan dalam sebuah sistem tersebut.
10
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Contoh SPLDV:
2x 3y 14x 5y 14+ =
+ =
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2x − 2 = 14!A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
Pembahasan:
2x 2 = 142x = 14 + 22x = 16
16x = 8
2
−
=
♪ Jawaban: A
2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan −8x − 20 ≤ 4 adalah ....
A. x < 3B. x ≤ 3
C. x > 3D. x ≥ 3
11
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Pembahasan:
8x 20 48x 24
24x x 3
8
− − ≤− ≤
≥ → ≥ −−
♪ Jawaban: D
3. SOAL SETARA TINGKAT UN Seorang tukang parkir mendapat uang
sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah ....A. Rp135.000,00 C. Rp110.000,00B. Rp115.000,00 D. Rp100.000,00
Pembahasan:Misalkan: Tarif parkir per mobil = x Tarif parkir per motor = yDiperoleh model matematika:3x + 5y = 17.000 ....(1)4x + 2y = 18.000 ....(2)
12
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Eliminasi x untuk mendapatkan nilai y.
3x 5y 17.000 4 12x 20y 68.0004x 2y 18.000 3 12x 6y 54.000
14y=14.000 y=1.000
−
+ = × + =+ = × + =
Substitusi nilai y = 1.000 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.
3x 5y 17.0003x 5(1.000) 17.000
3x 5.000 17.0003x 17.000 5.0003x 12.000
12.000x 4.000
3
+ =+ =+ =
= −=
= =
Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang diperoleh adalah20 × Rp4.000,00 + 30 × Rp1.000,00= Rp80.000,00 + Rp30.000,00 = Rp110.000,00
♪ Jawaban: C
13
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± PERSAMAAN KUADRAT
1. Bentuk umum
Persamaan kuadrat memiliki variabel dengan pangkat 2 (dua).Bentuk umum persamaan kuadrat:
ax2 + bx + c = 0
KLIK!
∗ a2 + 2ab + b2=(a + b)2
∗ a2 – 2ab +b2 = (a – b)2
∗ a2 – b2 = (a– b)(a + b)
2. Solusi dari suatu nilai persamaan kuadrat
Ö PemfaktoranUntuk nilai a = 1Contoh:Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat x2 – 2x – 3 =0 adalah ....
14
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Penyelesaian:Cari dua bilangan: jika (+) dijumlahkan b, yaitu –2 jika (×) dikalikan a × c, yaitu 1 × –3 = –3Bilangan tersebut adalah –3 dan 1.Sehingga x2 – 2x – 3 = 0 ⇔ (x – 3)(x + 1)= 0diperoleh nilai x – 3 = 0 →x = 3 x + 1 = 0 →x = –1Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3 atau x = –1.
Untuk nilai a ≠ 1Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat 2x2 + x –3 = 0 adalah ....Penyelesaian:Cari dua bilangan: jika (+) dijumlahkan b, yaitu 1 jika (×) dikalikan a × c, yaitu 2 × –3 = –6Bilangan tersebut adalah –2 dan 3.Langkah selanjutnya adalah sebagai berikut.
2
2
2x x 3 0
2x 2x 3x 3 02x(x 1) 3(x 1) 0
(2x 3)(x 1) 0
+ − =
− + − =− + − =
+ − =
15
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
diperoleh nilai 2x 3 0 2x 33
x2
atau x 1 0 x 1
+ = → = −
= −
− = → =
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
3x atau x 1.
2= − =
Ö Melengkapkan kuadrat sempurnaL a n g k a h - l a n g k a h m e nye l e s a i k a n persamaan kuadrat dengan metode melengkapnkan persamaan kuadrat.a. Tempatkan suku yang mengandung
variabel di ruas kiri.b. Tempatkan suku yang mengandung
konstanta di ruas kanan.c. Ubahlah koefisien x² menjadi 1.d. Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat
dari setengah koefisien x.Contoh:Nilai dari x yang memenuhi persamaan x2 – 2x – 3= 0 adalah ....
16
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Penyelesaian:
diperoleh x – 1 = –2 x = –1atau x – 1 = 2 x = 3
2
2
2
2
x 2x 3 0
x 2x 3
x 2x 1 3 1
(x 1) 4
x 1 4x 1 2
− − =
− =
− + = +
− =
− =− = ±
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = –1 atau x = 3.
Ö Rumus abc
2
12
b b 4acx
2a− ± −
=
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN Perhatikan pernyataan berikut!
i. 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3)ii. 2x2 + x – 3 = (2x – 3)(x + 1)iii. x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2)iv. x2 + 4x – 5 = (x – 5)(x + 1)
Pernyataan yang benar adalah ....A. i dan iiB. ii dan iii
C. i dan iiiD. ii dan iv
17
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Pembahasan:i. 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3) BENAR (2x + 3)(2x – 3) = 4x2 – 6x + 6x – 9 = 4x2 – 9ii. 2x2 + x – 3 = (2x – 3)(x + 1) SALAH (2x – 3)(x + 1) = 2x2 + 2x – 3x – 3 = 2x2 – x – 3iii. x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) BENAR (x + 3)(x – 2) = x2 – 2x + 3x – 6 = x2 + x – 6iv. x2 + 4x – 5 = (x – 5)(x + 1) SALAH (x – 5)(x + 1) = x2 + x – 5x – 5 = x2 – 4x – 5 Jadi, pernyataan yang benar adalah i dan iii.
♪ Jawaban: C
18
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± PERBANDINGAN
1. Perbandingan Senilai Ö Dua buah bilangan dikatakan memiliki
p e r b a n d i n g a n s e n i l a i j i k a s a a t perbandingan bilangan pertama naik maka perbandingan bilangan kedua juga naik, dan sebaliknya.
Komponen I Komponen IIa
b
c
d
naik naikturun turun
Ö Rumus umum perbandingan senilai.
= ⇔ =a c
ad bcb d
2. Perbandingan Berbalik Nilai Ö Dua buah bilangan dikatakan memiliki
perbandingan berbalik nilai jika saat perbandingan bilangan pertama turun
19
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
maka perbandingan bilangan kedua naik, dan sebaliknya.
Komponen I Komponen IIa
b
c
d
naik naikturun turun
Ö Rumus umum perbandingan berbalik nilai adalah sebaga berikut.
= ⇔ =a d
ac bdb c
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Seorang peternak sapi membeli 10 karung rumput untuk persediaan makan ternaknya selama 2 hari. Jika suatu hari ia membeli 15 karung rumput, maka persediaan makan untuk ternak akan cukup untuk ... hari.
A. 8 orangB. 6 orang
C. 5 orangD. 3 orang
20
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Pembahasan: Ö Kasus di atas merupakan perbandingan
senilai.
Persediaan rumput (karung) Hari
10 2
15 x
maka,
10 215 x
10x 3030
x 3 hari10
=
=
= =
♪ Jawaban: D
2. SOAL SETARA TINGKAT UN Untuk membangun sebuah gedung
p e r t e m u a n , s e o r a n g p e m b o r o n g memperkirakan dapat menyelesaikan selama 40 hari dengan 30 orang pekerja. Setelah 25 hari, pekerjaan itu terhenti selama 5 hari karena cuaca buruk. Untuk dapat menyelesaikan pekerjaan itu tepat pada waktunya, maka banyaknya pekerja yang harus ditambah adalah ....
A. 15 orangB. 10 orang
C. 8 orangD. 5 orang
21
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Pembahasan: Ö Waktu yang tersisa sesuai rencana
= 40 − 25 = 15 hariJumlah pekerja = 30
Ö Waktu yang tersisa setelah cuaca buruk= 40 − 25 − 5 = 10 hariJumlah pekerja tambahan = x
Hari Jumlah pekerja
15 30
10 30 + x
Ö Kasus pada soal ini merupakan contoh soal perbandingan berbalik nilai.maka
15 30 x10 30
15 30 10(30 x)450 300 10x
+=
× = += +
10x 450 30010x 150
150x 15 peker ja
10
= −=
= =
♪ Jawaban: A
22
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
3. SOAL SETARA TINGKAT UN Pekerjaan membangun sebuah warung
dapat diselesaikan oleh Pak Zulkifli dalam 30 hari , sementara Pak Sahlan dapat menyelesaikannya dalam 20 hari. Jika mereka bekerja bersama, maka waktu yang diperlukan untuk membangun warung tersebut adalah ....
A. 50 hariB. 25 hari
C. 12 hariD. 10 hari
Pembahasan: Misal:t = waktu yang diperlukan keduanya untuk
membangun warung.Maka
= +
+=
=
1 1 1t 30 20
2 3605
60
=
=
60t
512 hari
♪ Jawaban: C
23
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN
1. Kesebangunan Ö Syarat dua bangun datar dikatakan
sebangun. Sudut-sudut yang bersesuaian sama
besar. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.
Ö Rumus-rumus pada kesebangunan:a. Jika segitiga dibagi oleh garis yang
sejajar dengan salah satu sisinya.
a
b d
cp
q
a c p a c p atau
b d q p a b c d q= = = =
− + +
24
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
b. Jika segitiga siku-siku ABC siku-siku di B dan BD AC⊥ .
A
B C
D
2
2
2
BC CD CA
BA AD AC
BD DA DC
= ×
= ×
= ×
c. J ika terdapat garis sejajar yang membagi tinggi trapesium.
a
b d
c
p
x
q
( ) ( )
a cb d
p b q ax
a b
=
× + ×=
+
d. Jika terdapat 2 titik yang membagi diagonal trapesium sama kaki menjadi sama panjang
A B
CD
E F
1EF (AB CD)
2= −
Ket: E dan F berturut-turut adalah titik tengah AC dan BD.
25
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
e. Jika terdapat sebuah garis yang memotong trapesium.
A B
CD
E F
× + ×=
+× + ×
=+
+= = =
DC FB AB CFEF
CF FB12 3x 27 2x
2x 3x36x 54x 90x
18 cm5x 5x2. Kekongruenan
Ö Dua benda atau lebih yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut kongruen.
Ö Dua bangun datar atau lebih dikatakan kongruen (sama dan sebangun) jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Ö Dua segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi salah satu syarat berikut.
a. sisi, sisi, sisi Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
26
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
b. sisi, sudut, sisi Dua sisi yang bersesuaian sama panjang
dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar.
c. sudut, sisi, sudut Satu sisi dan dua sudut yang bersesuaian
pada sisi itu sama besar.
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN “Lebar Sungai”
Andi ingin mengetahui lebar sungai. Di seberang sungai terdapat sebuah pohon. Untuk itu dia menancapkan tongkat sehingga berada pada posisi A, B, C, dan D dengan ukuran seperti pada gambar.
B
CD
A4 m 6 m
8 m
27
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Andi ingin mengukur lebar sungai dari tongkat D sampai pohon. Berapa lebar sungai tersebut?A. 11 m B. 12 m C. 15 m D. 16 m
Pembahasan:
A B
D C
P
6 m4 m
8 m ( )
=
=+
= × +
DP DCAP AB
DP 64 DP 8
8DP 6 4 DP
= +− =
==
8DP 24 6DP8DP 6DP 24
2DP 24DP 12
Lebar sungai = DP = 12 m. ♪ Jawaban: B
28
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± HIMPUNAN
1. Anggota Himpunan Macam-Macam Himpunan
Ö Himpunan Kosong ∅ Yaitu himpunan yang tidak mempunyai
anggota. Ö Himpunan Bagian A B⊂
Himpunan bagian merupakan anggota-anggota yang menyusun suatu him punan.
KLIK!
Banyaknya angota himpunan A = n(A)Banyaknya himpunan bagian A = n(A)2
Contoh: A = {1, 2, 3} n(A) = 3 Maka banyaknya anggota himpunan
adalah 23 = 8, yaitu {(∅), (1), (2), (3), (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3)}.
29
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Himpunan Semesta (S) Himpunan semesta adalah himpunan
y a n g m e m u a t s e m u a a n g g o t a himpunan atau objek yang sedang dibicarakan.
2. Operasi Dua Himpunan
Ö Irisan Himpunan A B∩
A B {x | x A dan x B}∩ = ∈ ∈
A B
S
Ö Gabungan HimpunanA B {x | x A atau x B}∪ = ∈ ∈
A B
S
30
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Komplemen HimpunancA {x | x S dan x A}= ∈ ∉
A
S
A
Ö Pengurangan HimpunancA B A B− = ∩
A B
S
3. Sifat-Sifat Operasi Himpunan
• Komutatif
A B B AA B B A∩ = ∩∪ = ∪
• Asosiatif
( ) ( )( ) ( )A B C A B C
A B C A B C
∩ ∩ = ∩ ∩
∪ ∪ = ∪ ∪
31
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
• Distributif
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
A B C A B A C
A B C A B A C
∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
• DalildeMorgan
( )( )
c c c
c c c
A B A B
A B A B
∩ = ∪
∪ = ∩
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Banyaknya anggota himpunan yang terdiri atas 5 anggota adalah ....A. 8B. 16
C. 32D 64
Pembahasan:Banyaknya anggota himpunan A dapat dihitung menggunakan rumus 2n(A). Jadi banyaknya anggota himpunan yang terdiri atas 5 anggota adalah 25 = 32.
♪ Jawaban: C
2. SOAL SETARA TINGKAT UN Kelas VII-A terdiri dari 31 siswa. 15 siswa
mengikuti kompetisi Matematika, 13 siswa mengikuti kompetisi IPA, dan 7 siswa tidak
32
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
mengikuti kompetisi tersebut. Banyak siswa yang mengikuti kedua kompetisi tersebut adalah ....A. 28 siswaB. 8 siswa
C. 5 siswaD. 4 siswa
Pembahasan: Misalkan: x adalah banyak siswa yang mengikuti kedua kompetisi.
x15−x 13−x
7M I31
Matematika dan IPA = x siswaMatematika = (15 – x) siswaKompetisi IPA = (13 – x) siswaTidak mengikuti kompetisi = 7 siswaBanyaknya semua siswa = 31
15 x + x +13 x + 7 = 3135 x = 31
x = 4
− −−
Jadi banyak siswa yang mengikuti kedua kompetisi ada 4 siswa.
♪ Jawaban: D
33
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± RELASI DAN FUNGSI
1. RELASI Ö Relasi adalah hubungan antara dua
himpunan yang berbeda. Ö Domain, Kodomain, Range
Domain adalah daerah asal atau daerah definisi fungsi tersebut.
Kodomain adalah daerah kawan. Range atau daerah hasil adalah himpunan
bagian dari daerah kawan atau kodomain.
f
x f(x)
Domain Kodomain
Range
2. FUNGSI Ö Pengertian Fungsi (Pemetaan)
Fungsi (pemetaan) dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
34
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
KLIK!
n(A) = pn(B) = qBanyaknya pemetaan dari A ke B = qp
Banyaknya pemetaan dari B ke A = pq
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Diketahui dua himpunan A ={a, b, c, d, e} dan B = {1, 2, 3}. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ....
A. 243B. 125
C. 81D. 25
Pembahasan: p = n(A) = 5 dan q = n(B) = 3Banyak fungsi/pemetaan dari A ke B = qp yaitu 35 = 243.
♪ Jawaban: A
2. SOAL SETARA TINGKAT UN Perhatikan himpunan pasangan berurutan
berikut ini!I. {(1, 3), (2, 3), (3, 3)}II. {(1, 2), (1, 3), (1, 4)}III. {(3, 3), (3, 3), (3, 3)}IV. {(3, 5), (2, 4), (1, 3)}
35
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Himpunan pasangan berurutan yang merupakan fungsi adalah ....A. I dan IIB. I dan IV
C. II dan IIID. II dan IV
Pembahasan: Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.Jadi yang merupakan fungsi adalah I dan IV.
♪ Jawaban: B
36
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± TEOREMA PYTHAGORAS
1. Rumus Teorema Pythagoras
Segitiga ABC siku-siku di A, maka berlaku rumus berikut.
A B
C
c
b a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c
b a c
c a b
= +
= −
= −
2. Tripel Pythagoras Ö Tripel Pythagoras merupakan rangkaian
tiga bilangan bulat positif yang memenuhi teorema Pythagoras.
Ö Jika a dan b bilangan bulat positif dan a>b, maka Tripel Pythagoras dapat dinyatakan dalam 3 urutan bilangan yang memenuhi rumus: 2ab, 2 2a b− , 2 2a b+ .
Ö Contoh bilangan Tripel Phytagoras adalah 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13; dan lain sebagainya.
37
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Rumus mencari Tripel Pythagoras
a b 2ab a2 − b2 a2+b2Tripel
Pythagoras2 1 4 3 5 3, 4, 53 2 12 5 13 5, 12, 134 3 24 7 25 7, 24, 25
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN
Sebuah kapal berlayar sejauh 100 km ke arah barat, kemudian berbelok ke arah selatan sejauh 75 km. Jarak terpendek kapal tersebut dari titik keberangkatan adalah ....A. 75 kmB. 100 km
C. 125 kmD. 175 km
Pembahasan:
Titik berangkatarah barat
Tujuan(arah selatan)
Jarak terpendek
100 km
75 km
38
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
2 2Jarak terpendek 100 75
10.000 5.625
15.625125 km
= +
= +
==
♪ Jawaban: C
39
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± PERSAMAAN GARIS LURUS
1. Bentuk Umum
y = mx + c Keterangan: m = gradien c = konstanta
2. Gradien Garis Ö Gradien garis yang sejajar sumbu x
m = 0y
x Ö Gradien garis yang sejajar sumbu y
m = ∞y
x Ö Garis condong ke kanan
−4
2
y
x
ym
x∆
=∆
2 1m
4 2= =
40
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Garis condong ke kiri
4
2
y
x
ym
x∆
= −∆
4m 2
2= − = −
Ö Garis melalui dua titikMelalui dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)
2 1 1 2
2 1 1 2
y y y ym
x x x x− −
= =− −
Ö Gradien dari suatu persamaan garis lurus
Persamaan garis Gradien
ax + by + c = 0a
mb
= −
by = ax + ca
mb
=
41
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
3. Hubungan Gradien Antara Dua Persamaan Garis Lurus
Kedudukan 2 garis Gradien
Sejajar
g
h
mg = mh
Tegak Lurusg
h
mg × mh = −1
4. Persamaan Garis Lurus Ö Bergradien m dan melalui titik A(x1, y1)
( )1 1y y m x x− = −
Ö Melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2)
1 1
2 1 2 1
y y x xy y x x− −
=− −
42
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN
Sebuah tangga bersandar pada dinding tembok (seperti pada gambar). Kemiringan tangga terhadap dinding tembok adalah ....
Tembok 10 m
6 m
10 m
6 m
Tembok
A. 45
B. 54
C. 43
D. 34
43
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Pembahasan: Tinggi tembok dapat dicari menggunakan Teorema Pythagoras. Tinggi tembok adalah
2 210 6 100 36 64 8 m= − = − = =
Kemiringan tangga terhadap dinding dapat dicari menggunakan prinsip kemiringan garis/gradien.
Jadi kemiringan tangga terhadap dinding tembok adalah
y 8 4m
x 6 3∆
= = =∆
♪ Jawaban: C
2. Persamaan garis yang melalui titik (4, 1) dan tegak lurus dengan garis 4x − y = 16 adalah ....A. x + 4y = 8B. 4x + y = 8C. x − 4y = −8D. 4x − y = −8
Pembahasan:Gradien garis 4x − y = 16 adalah m1 = 4.
44
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Karena garis yang akan dicari tegak lurus dengan garis 4x − y = 16 maka gradien garis yang akan dicari adalah
1 2
2
2
m m 1
4 m 1
1m
4
× = −× = −
= −
Persamaan garis yang tegak lurus dengan 4x − y = 16 dan melalui titik (4, 1) adalah
1 1y y m(x x )
1y 1 (x 4)
44(y 1) (x 4)4y 4 x 4x 4y 8
− = −
− = − −
− = − −− = − ++ =
♪ Jawaban: A
3. Persamaan garis yang melalui titik A (2, 5) dan B (6, 2) adalah .... A. 3x + 4y +26 = 0B. 3x + 4y − 26 = 0C. 4x + 3y − 26 = 0D. 4x − 3y − 26 = 0
45
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Pembahasan: Persamaan garis yang melalui titik A (2, 5)
dan B (6, 2) adalah
1 1
2 1 2 1
x xy yy y x x
5 x 2y2 5 6 2
5 x 2y3 4
4(y 5) 3(x 2)4y 20 3x 6
3x 4y 26 0
− −=
− −
− −=− −− −=−− = − −− = − +
+ − =
♪ Jawaban: B
46
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± GARIS DAN SUDUT
1. Garis Ö Dua Garis Berpotongan
P
Ö Dua Garis Sejajar
Ö Dua Garis Berimpit
Ö Dua Garis Bersilangan
47
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Perbandingan ruas garis
B
A
P
m
n
AP : PB m : nm
AP ABm n
nPB AB
m n
=
= ×+
= ×+
2. Sudut• Dua Garis Sejajar Dipotong Sebuah Garis
A
B1 2
2
3 4
13 4
a. Sehadap (besar sudut sama)
1 1 2 2
3 3 4 4
A B ; A B ;
A B ; A B
∠ =∠ ∠ =∠∠ =∠ ∠ =∠
b. Dalam bersebrangan (besar sudut sama)
3 2 4 1A B ; A B∠ =∠ ∠ =∠
c. Luar bersebrangan (besar sudut sama)
1 4 2 3A B ; A B∠ =∠ ∠ =∠
48
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
d. Bertolak belakang (besar sudut sama)
1 4 2 3
1 4 2 3
A A ; A A ;
B B ; B B
∠ =∠ ∠ =∠∠ =∠ ∠ =∠
e. Dalam sepihak (jumlah kedua sudut 180o)
03 1
04 2
A B 180
A B 180
∠ +∠ =
∠ +∠ =
f. Luar sepihak (jumlah kedua sudut 180o)
01 3
02 4
A B 180
A B 180
∠ +∠ =
∠ +∠ =
• Jenis-Jenis Sudut Ö Sudut Lancip (0O≤ θ< 90O)
A
BO θ
Ö Sudut Siku-Siku ( θ=90O)
A
BO θ
49
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Sudut Tumpul (90O < θ<180O)
A
BO θ
Ö Sudut Lurus (θ= 180O)
ABOθ
Ö Sudut Refleks (180O < θ < 360O)
A
BOθ
• Hubungan Antar Sudut
Ö Sudut Berpelurus (Bersuplemen)
0180α +β =
ABO
αβ
50
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Sudut Berpenyiku (Berkomplemen)
α
β
A
BO
090α +β =
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN Perhatikan gambar berikut!
(3x + 15)O (2x + 10)O
KL
M
N
Besar pelurus sudut KLN adalah ....
A. 31O
B. 72O
C. 85O
D. 155O
51
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Pembahasan: Jumlah sudut yang berpelurus adalah 180O, maka:
O O O
O O
O O
O
OO
(3x 15) (2x 10) 180
5x 25 180
5x 180 25
5x 155
155x 31
5
+ + + =
+ =
= −
=
= =
Besar ∠KLN = 3x + 15O = 3 × 31O + 15O = 108O
Jadi besar ∠MLN = = 180O – 108O = 72O
♪ Jawaban: B
2. SOAL SETARA TINGKAT UN Perhatikan gambar berikut!
(x + 10)O 115O
xO
A
B
C D
Besar BAC∠ adalah ....A. 70,5O
B. 56,25O
C. 52,5O
D. 50,25O
52
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Pembahasan:∠BCA dan ∠BCD saling berpelurus maka ∠BCA + ∠BCD = 180O
∠BCA + 115O = 180O
∠BCA = 180O − 115O = 65O
KLIK!
Jumlah sudut dalam sebuah segitiga selalu 180O.
Sehingga,
(x + 10)O + x + 65O = 180O
2x + 75O = 180O
2x = 180O − 75O
2x = 105O
x = 52,5O
♪ Jawaban: C
53
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± SEGITIGA
1. Keliling dan Luas Segitiga
B A
C
t a b
c
Ö Keliling segitiga ABC = a + b + c Ö Luas segitiga beraturan ABC
1 1L alas tinggi a t
2 2= × × = × ×
Ö Luas segitiga tidak beraturan ABC
( )( )( )L s s a s b s c= − − −
dengan ( )1 1
s keliling a b c2 2
= = + +
54
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
2. Rumus-Rumus pada Segitiga Ö Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180O
A
B
C
0A B C 180∠ +∠ +∠ =
KLIK!
A
B
C1
2
2C A B∠ =∠ +∠
55
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN Perhatikan gambar!
A B
D
E
C
4 cm
4 cm4 cm
5 cmLuas daerah yang diarsir adalah ....A. 15 cm2
B. 30 cm2
C. 45 cm2
D. 75 cm2
Pembahasan:
21L ABC 5 4 10 cm
2∆ = × × =
21L ABE 5 12 30 cm
2∆ = × × =
21L ABD 5 8 20 cm
2∆ = × × =
Jadi, luas yang diarsir adalah
2
L ABE L ABD 2L ABC30 20 2 10
30 cm
= ∆ + ∆ − ∆= + − ×
=
♪ Jawaban: B
56
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± SEGIEMPAT
Rumus Bangun Segiempat
BangunSegiempat Luas Keliling
Jajar Genjang
ta
b L = a × t K = 2 × (a + b)
Belah Ketupat
a a
aa
d1
d2
1 2
1L d d
2= × × K = 4a
PersegiPanjang
p
l L = p × l K = 2 × (p + l)
57
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Persegi
s
s L = s2 K = 4s
Layang-layang
a b
d1
d21 2
1L d d
2= × × K = 2 × (a + b)
Trapesium
t
b
a
cd1
L (a b) t2
= × + × K = a+b+c+d
58
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Nabil memiliki sebidang tanah berbentuk persegi dengan panjang sisi 80 m. Di sekeliling tanah dipagari dengan biaya Rp25.000,00 per meter. Biaya pemagaran seluruhnya adalah ....A. Rp200.000,00B. Rp800.000,00C. Rp2.000.000,00D. Rp8.000.000,00
Pembahasan: K = 4 × 80 m = 320 mBiaya pemagaran seluruhnya adalah320 × Rp25.000,00 = Rp8.000.000,00.
♪ Jawaban: D
59
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± LINGKARAN
1. Unsur-Unsur Lingkaran
A
B
E
C
O
D
I
II
Unsur-unsur Lingkaran:
No Unsur Keterangan
1. O pusat lingkaran
2. AC diameter (d)
3. OA = OC = OB Jari-jari (r)
4. OD Apotema
5.AB Busur AB
6. BC Tali Busur
7. Daerah I Juring lingkaran
8. Daerah II Tembereng
9. AOB Sudut pusat
10. ACB Sudut keliling
60
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
2. Keliling dan Luas Lingkaran Ö Keliling Lingkaran
K = πd atau K = 2πr
Ö Luas Lingkaran
L = πr2 atau 21L d
4= π
Keterangan:
227
π = atau 3,14π =
3. Panjang Busur, Luas Juring, Luas Tembereng, dan Hubungannya
A
BO
Ö Panjang Busur
O
AOBAB K
360∠
= ×
Ö Luas Juring
Luas juring AOB 0
AOBluas lingkaran
360
∠= ×
360O
61
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Luas Tembereng
A
BO
Ltembereng = Ljuring AOB – L∆AOB
Ö Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring
A
BO
D
C
0
panjang busur AB luas juring AOBAOBkeliling lingkaran luas lingkaran360
∠= =
360O
panjang busur AB luas juring AOBAOBCOD panjang busur CD luas juring COD
∠= =
∠
62
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
4. Sudut Pusat dan Sudut Keliling
A
B
O
D
C
Ö Besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
AOB 2 ACB∠ = ×∠
Ö Besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama.
ACB AOB∠ = ×∠
Ö Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama.
∠ADB = ∠ACB
63
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
5. Segi-n beraturan Ö Besar sudut pusat segi n adalah
0360n
Ö Besar tiap-tiap sudut segi n adalah
O OO 360 (n 2) 180
180 atau n n
− ×−
Ö Jumlah sudut segi-n =(180n – 360)O
6. Segiempat Tali Busur Ö Pada segiempat tali busur, jumlah dua
sudut yang berhadapan adalah 180O.
A
B
O
C
D
0
0
A C 180
B D 180
∠ +∠ =
∠ +∠ =
64
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
7. Sudut Antara Dua Tali Busur Ö Perpotongan tali busur di dalam lingkaran
A
BC
D
O
E
( )1Besar AEB CED DOC AOB
2∠ =∠ = ∠ +∠
Ö Perpotongan tali busur di luar lingkaran
A
BC
D
O
E
1Besar CED BEA ( COD AOB)
2∠ =∠ = × ∠ −∠
65
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
8. Garis Singgung Lingkaran Ö Garis Singgung Persekutuan Luar
O
P
A
B
R
r
R – r
Panjang garis singgung persekutuan luar:
( )22AB OP R r= − −
Ö Garis Singgung Persekutuan Dalam
O
P
A
B
R
r
R + r C
Panjang garis singgung persekutuan dalam:
( )22AB OP R r= − +
66
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
9. Lingkaran Dalam & Luar Segitiga Ö Lingkaran Dalam Segitiga
A B
C
a
c
b rO
luas ABCr
1keliling ABC
2
∆=
∆
Ö Lingkaran Luar Segitiga
A
B
C
Or
AB AC BCr
4 Luas ABC× ×
=× ∆
KLIK!
Jika segitiga merupakan segitiga tidak beraturan, maka gunakan rumus di bawah untuk mencari luas segitiga ABC.
( )( )( )Luas ABC s s a s b s c∆ = − − −
dengan
( )1 1s keliling ABC a b c
2 2= ∆ = × + +
67
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN
Pada dua buah lingkaran, panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ....A. 6 cmB. 8 cmC. 9 cmD. 10 cm
Pembahasan:
O
P
A
B
18 c
m
r
18 – r
24 cm
26 cm
68
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
AB OP (R r)
AB OP (R r)
24 26 (18 r)
(18 r) 26 24
676 576(18 r)
(18 r) 10018 r 10
r 18 10 8 cm
= − −
= − −
= − −
− = −
= −−
− =− =
= − =
♪ Jawaban: B
2. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 15 cm. Dalam lingkaran tersebut terdapat tali busur dengan panjang 26 cm. Panjang apotema adalah ....A. 7 cmB. 12 cm
C. 14 cmD. 16 cm
Pembahasan:
A B
O
C15 cm 15 cm
26 cm
AC BC1
AB21
26 cm213 cm
=
=
= ×
=
69
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
2 2
2 2
OC OA AC
15 13
225 169
144 12 cm
= −
= −
= −
= =
Apotema OC12 cm
==
♪ Jawaban: B
70
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± BANGUN RUANG
1. Sisi Datar
a. Kubus
V = s3
A B
CD
E F
GH
Lpermukaan = 6 × s2
sKomponen penyusun kubus:
Nama Jumlah Keterangan
Titik sudut 8 A, B, C, D, E, F, G, H
Rusuk 12AB, BC, CD, DA, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, HE
Sisi 6ABCD, BCGF, DCGH, ADHE, EFGH, ABFE
Diagonal sisi 12AF, EB, BG, FC, CH, DG, AH, DE, AC, BD, EG, FH
Diagonal ruang 4 AG, BH, CE, DF
Bidangdiagonal
4AFGD, BCHE, CDEF, ABGH
71
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
KLIK!
Panjang diagonal sisi pada kubus sisi 2=
Panjang diagonal ruang pada kubus sisi 3=
b. Balok
A B
CD
E F
GH
V = p × l × t Lpermukaan = 2(pl + pt + lt)
pl
t
Komponen penyusun kubus:
Nama Jumlah Keterangan
Titik sudut 8 A, B, C, D, E, F, G, H
Rusuk 12AB, BC, CD, DA, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, HE
Sisi 6ABCD, BCGF, DCGH, ADHE, EFGH, ABFE
Diagonal sisi 12AF, EB, BG, FC, CH, DG, AH, DE, AC, BD, EG, FH
Diagonal ruang 4 AG, BH, CE, DF
Bidang diagonal 4 AFGD, BCHE, CDEF, ABGH
72
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
c. Prisma
Prisma segitga
A
B
C
E
D F
Prisma segi lima
EA B
C
D
F G
H
I
J
Prisma segi empatA B
CD
E F
GH
Ö Rumus volume dan luas permukaan sebuah prisma dipengaruhi bentuk alas prisma tersebut.
V = Lalas × tprisma
Lpermukaan prisma = Lalas × tprisma
73
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
d. LimasT
A B
CD
O
alas limas
1V L t
3= × ×
Lpermukaan = Lalas + Jumlah luas pada sisi tegak
2. Sisi Lengkung
a. Tabung
r
t
V = π× r2× tLpermukaan = 2πr2 + 2πrt
= 2πr (r + t)
74
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
b. KerucutT
tkerucut
r
s
O
21V r t
3= π
Lpermukaan = πr2 + πrs = πr(r + s)
c. Bola
O r
Lpermukaan = 4πr234
V r3
= π
75
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN Perhatikan limas T.ABCD yang alasnya
berbentuk persegi!
T
A B
CD
O Q
Diketahui Keliling alas limas 48 cm dan panjang TQ = 10 cm. Volume limas tersebut adalah ....A. 144 cm3
B. 384 cm3
C. 480 cm3
D. 1.152 cm3
Pembahasan: Ö Menghitung luas alas limas
Alas limas berbentuk persegi dengan keliling 48 cm, maka
alasK 48
4 panjang sisi alas = 4848
panjang sisi alas = 12 cm4
=×
=
Panjang sisi alas limas 12 cm.Luas alas limas = 12 × 12 = 144 cm2
76
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Menghitung tinggi limas
T
A B
CD
OQ
12 cm
10 cm1 1
OQ AB 12 6 cm2 2
= = × =
Tinggi l imas ( TO) (Gunakan Teorema Pythagoras):
2 2
2 2
TO TQ OQ
10 6
100 36
648
= −
= −
= −
== cm
Ö Menghitung volume limas
1Volume limas = Luas alas Tinggi
31
= 144 83384
× ×
× ×
= cm3
♪ Jawaban: B
77
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
2. SOAL SETARA TINGKAT UN Perhatikan gambar berikut!
r
Sebuah bola dimasukkan dalam sebuah tabung sehingga menempati ruang seperti gambar di atas. Luas permukaan bola tersebut adalah 90 cm2. Luas seluruh permukaan tabung adalah ....A. 160 cm2
B. 150 cm2
C. 135 cm2
D. 120 cm2
Pembahasan:Jari-jari bola = jari-jari tabung = rTinggi tabung = 2 kali jari-jari bola = 2rLuas seluruh permukaan bola = 4πr2, maka
2
2
2 2
4 r 90
2 2 r 9090
2 r 45 cm2
π =
× π =
π = =
78
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Luas permukaan tabung 22 r 2 rt= π + πmaka diperoleh:
( )
2tabung
2
2 2
L 2 r 2 rt
2 r 2 r 2r
2 r 4 r45 90135
= π + π
= π + π
= π + π= += cm2
Jadi, luas permukaan tabung adalah 135 cm2.
♪ Jawaban: C
79
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± ARITMETIKA SOSIAL
1. Untung, Rugi, dan Harga beli/jual Ö Harga Jual dan Harga Beli
Jika untung:Harga Jual = harga Beli + untungHarga Beli = Harga Jual – untung
Jika rugi:Harga Jual = harga Beli – RugiHarga Beli = harga Jual + Rugi
Ö UntungUntung = harga jual – harga beli
= ×
untung%untung 100%
harga pembelian
Ö RugiRugi = harga beli – harga jual
= ×
rugi%rugi 100%
harga pembelian
80
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
2. Bunga Tabungan Ö Besar bunga 1 tahun
= ×%bunga1tahun tabungan awal
Ö Besar bunga n bulan
= × ×n
%bunga1tahun tabungan awal12
Ö Besar persentase suku bunga
= ×
besar bunga dalam 1tahun100%
tabungan awal
Ö Besar tabungan akhir
= + × ×
n PTK TA TA
12 100
dengan:TK = besar tabungan akhirTA = besar tabungan awaln = lama menabung (bulan)P = persentase bunga 1 tahun
3. Rabat (diskon), Bruto, Neto, dan Tara
Ö Rabat/diskon adalah potongan harga.
= ×
rabat%rabat(diskon) 100%
harga awal
81
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Bruto adalah berat kotor suatu barang. Ö Neto adalah berat bersih suatu barang. Ö Tara adalah berat kemasan. Ö Hubungan bruto, neto, dan tara.
= += −= −
= ×
Bruto neto taraNeto bruto taraTara bruto neto
tara%Tara 100%
bruto
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN “Toko Pakaian”
Empat toko menjual jenis barang yang sama. Perhatikan tabel harga dan diskon berikut!
Barang HargaDiskon
Toko Rame
Toko Damai
Toko Seneng
Toko Indah
Baju Rp80.000.00 25% 20% 15% 10%Celana Rp100.000,00 10% 15% 20% 25%
Ali akan membeli sebuah baju dan celana di toko yang sama. Di toko manakah Ali berbelanja
82
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
agar diperoleh harga yang paling murah?A. Toko RameB. Toko Damai
C. Toko SenengD. Toko Indah
Pembahasan:
Toko Diskon Baju Diskon Celana Total Diskon
Toko Rame25
80.000100
20.000
×
=
10100.000
10010.000
×
=30.000
Toko Damai20
80.000100
16.000
×
=
15100.000
10015.000
×
=31.000
Toko Seneng15
80.000100
12.000
×
=
20100.000
10020.000
×
=32.000
Toko Indah10
80.000100
8.000
×
=
25100.000
10025.000
×
=33.000
Berdasarkan perhitungan, Toko Indah memberikan diskon paling besar.Jadi, sebaiknya Ali berbelanja di Toko Indah agar memperoleh harga yang paling murah.
♪ Jawaban: D
2. Andi menabung di bank sebesar Rp400.000,00 dengan suku bunga 15% per tahun. Saat
83
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
diambil, besar tabungan Andi menjadi Rp500.000,00. Berapa lama Andi menabung?A. 18 bulanB. 20 bulanC. 22 bulanD. 28 bulan
Pembahasan: Tabungan awal = Rp400.000,00Tabungan akhir = Rp500.000,00Bunga = tabungan akhir – tabungan awal = 500.000 – 400.000 = 100.000
Lamanya Aldi menabung adalah
nBunga(Rp) %bunga 1 tahun tab. awal
12n
100.000 15% 400.00012n
1 15% 41260n
11.200
60n 1.200
n 20
= × ×
= × ×
= × ×
=
==
Jadi, lama Aldi menabung adalah 20 bulan.
♪ Jawaban: B
84
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± BARISAN BILANGAN
1. Pola Barisan Bilangan
Nama Barisan
Bilangan
BarisanBilangan
Pola Bilangan
asli 1, 2, 3, 4, 5, ... n
ganjil 1, 3, 5, 7, ... 2n – 1
genap 2, 4, 6, 8, ... 2n
persegi1, 4, 9, 16, ...
n2
segitiga
1, 3, 6, 10, ...
•• • •
• • • • • •( )+
1n n 1
2
2. Barisan dan Deret Aritmetika
Ö Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai selisih atau beda antara dua suku yang berurutan sama atau tetap.
85
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Contoh h barisan aritmetika: 2, 6, 10, 14, ... (mempunyai beda 4) 3, 11, 19, 27, ... (mempunyai beda 8)
Ö Rumus suku ke-n barisan aritmetika:
( )= + −nU a n 1 b
Ö Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika:
( )
( )( )
= +
= + −
n n
n
nS a U
2atau
nS 2a n 1 b
2
Keterangan:a = suku pertamab = beda = U2 – U1 = U3 – U2 = ... = Un – Un–1
Un = suku ke-n, dengan n = 1, 2, 3, ...Sn = jumlah n suku pertama
3. Barisan dan Deret Geometri Ö Barisan geometri adalah barisan bilangan
yang mempunyai perbandingan atau rasio antara dua suku yang berurutan sama atau tetap.
86
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Rumus suku ke-n barisan geometri:
−= n 1nU ar
Ö Jumlah n suku pertama deret geometri:
( )
( )
−= >
−
−= <
−
n
n
n
n
a r 1S ,untuk r 1
r 1
a 1 rS ,untuk r 1
1 r
Ö Rumus Deret Geometri Tak Hingga
aS , untuk r<1
1 ra
S , untuk r>1r 1
∞
∞
=−
=−
Keterangan:a = suku pertama
r = rasio = −
= = =32 n
1 2 n 1
UU U...
U U U
Un = suku ke-n, dengan n = 1, 2, 3, ...Sn = jumlah n suku pertamaS∞ = jumlah deret tak hingga
87
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN Perhatikan gambar berikut!
(1) (2) (3) (4)
Banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat pola ke-7 adalah ....A. 45B. 63C. 84D. 108
Pembahasan: Pola barisan batang korek api:
+6 +9 +12 +15 +18 +21
+3 +3 +3 +3 +3
3, 9, 18, 30, ... , ... , ...
Pola ke-7 membutuhkan batang korek api sebanyak 30 + 15 + 18 + 21 = 84.
♪ Jawaban: C
88
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
2. Suku ke-3 dan ke-5 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 12 dan 20. Suku ke-9 barisan tersebut adalah ....A. 40B. 44C. 48D. 52
Pembahasan:
3
5
U 12 a 2b 12U 20 a 4b 20
2b 8 b 4
−
= → + == → + =
− = −=
Substitusi nilai b = 4 pada a + 2b = 12 a + 2(4) = 12 → a = 8U9 = 8 + 8(4) = 8 + 32 = 40Jadi, nilai suku ke-9 adalah 40.
♪ Jawaban: A
3. SOAL SETARA TINGKAT UN Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian yang
ukurannya membentuk deret geometri. Jika panjang potongan tali terpendek 4 cm dan panjang potongan tali terpanjang 324 cm, maka panjang tali semula adalah ....A. 328 cmB. 484 cm
89
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
C. 648 cmD. 820 cm
Pembahasan: Barisan tali terpendek sampai terpanjang membentuk barisan geometri berikut.U1, U2, U3, U4, U5 →4, ..., ..., ..., 324
Maka, a = 4 dan U5 = 324
= =
=
=
==
45
4
4
4
U ar 324
4r 324324
r4
r 81r 3
Sehingga barisan geometrinya menjadi 4, 12, 36, 108, 324.Jadi, panjang tali semula adalah 4 + 12 + 36 + 108 + 324 = 484 cm.
♪ Jawaban: B
4. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 20 cm. Bola tersebut memantul setinggi 3
4dari
ketinggian semula. Panjang lintasan bola sampai bola berhenti adalah ....A. 328 cm
90
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
B. 484 cmC. 648 cmD. 820 cm
Pembahasan:
20 c
m15
cm
11,2
5 cm
8,43
75 cm
Pa n j a n g l i nt a s a n b o l a d a p at d i h i t u n g menggunakan rumus deret geometri tak hingga.
aS
1 r20
31
42014
420
180 cm
∞ = −
=−
=
= ×
= ♪ Jawaban: D
91
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± STATISTIKA DAN PELUANG
1. Penyajian Data Ö Tabel
No Berat Badan Frekuensi1 45 kg 62 50 kg 183 55 kg 164 60 kg 10
Jumlah 50
Ö Diagram Batang18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
45 kg 50 kg 55 kg 60 kg
Berat Badan
Bany
akny
a
92
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Diagram Garis181614121086420
Bany
akny
a
45 kg 50 kg 55 kg 60 kg
Berat Badan
Ö Diagram Lingkaran
45 kg12%
60 kg20%
55 kg32%
50 kg36% atau
45 kg43,2°
60 kg72°
55 kg115,2°
50 kg129,6°
2. Ukuran Pemusatan Data Ö Rata-Rata (Mean)
Mean adalah rata-rata yang diperoleh dari jumlah semua data dibagi dengan banyak data.
=jumlah data
Rata-ratabanyaknya data
93
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Atau
=
=
=∑
∑
n
i ii 1
n
ii 1
f x
Rata-rata
f
Ö Median Median (Me) adalah nilai tengah dari
kumpulan data yang telah diurutkan.Banyaknya data ganjil
n 1
2
Me x +=X
Banyaknya data genap
n n1
2 2
x x
Me2
++
=
X X
Ö ModusModus (Mo) adalah data yang paling sering muncul atau data yang memiliki frekuensi terbesar.
94
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
3. Peluang Ö Titik Sampel dan Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.
Titik sampel adalah semua anggota ruang sampel.
Ö Peluang Peluang suatu kejadian adalah perbandingan
antara banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya kejadian yang mungkin.
( ) ( )( )
n AP A
n S=
Keterangan:P(A) = nilai peluang munculnya kejadian An(A) = banyaknya kejadian An(S) = banyak anggota ruang sampel
Jika diketahui Ac adalah kejadian yang bukan merupakan kejadian A, maka:
( ) ( )+ =cP A P A 1
95
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Ö Frekuensi Harapan Frekuensi harapan kejadian A ditulis Fh(A)
dari n kali percobaan dihitung menggunakan
( ) ( )= ×Fh A P A n
Keterangan:Fh(A) = frekuensi harapan AP(A) = nilai peluang munculnya kejadian An = banyak percobaan
♣ CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. SOAL SETARA TINGKAT UN “Pengunjung Perpustakaan”
Ani menemukan sobekan koran yang memuat data pengunjung perpustakaan berupa gambar diagram batang berikut.
Senin Selasa Rabu Kamis Jumat
Bany
akPe
ngun
jung
Hari
50
40
30
20
10
96
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Rata-rata banyaknya pengunjung adalah 41 orang per hari. Informasi yang ada pada koran tersebut menunjukkan data pengunjung perpustakaan selama 5 hari. Ani penasaran ingin tahu tentang banyak pengunjung pada hari Rabu. Tolong bantu Ani, berapa banyak pengunjung pada hari Rabu?A. 55 orangB. 60 orang
C. 65 orangD. 70 orang
Pembahasan: Banyak pengunjung:Senin = 45 orangSelasa = 40 orangRabu = x orang
Kamis = 30 orangJumat = 20 orang
Rata-rata pengunjung selama lima hari = 41 orang, maka
+ + + +=
+=
+ == −=
45 40 x 30 20Rata-rata
5135 x
415
135 x 205x 205 135x 70
♪ Jawaban: D
97
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
2. SOAL SETARA TINGKAT UN Rata-rata tinggi siswa pria 135 cm dan rata-
rata tinggi siswa wanita 140 cm. Jika banyak siswa semuanya 40 orang dan rata-rata tinggi seluruhnya 137 cm, maka banyak siswa pria adalah ....A. 15 orangB. 16 orang
C. 24 orangD. 25 orang
Pembahasan: Misalkan: p = banyak siswa pria w = banyak siswa wanita Maka:
=
+=
++ = +− = −
=
=
jumlah tinggi siswa pria+jumlah tinggi siswa wanita137
banyak siswa pria dan wanita
p w135 140137
p w135p 140w 137p 137w
137p 135p 140w 137w
2p 3w
p 3w 2
Perbandingan siswa pria dan wanita adalah 3 : 2.
Banyak siswa pria adalah × =3
40 24 siswa5
♪ Jawaban: C
98
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
3. SOAL SETARA TINGKAT UN Dua dadu dilemparkan bersamaan satu kali,
peluang munculnya mata dadu berjumlah 10 adalah ....
A. 1
18
B. 1
12
C. 1
10
D. 15
Pembahasan: Titik sampel dari pelemparan dua dadu:
Mata
Dadu1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
99
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
Banyaknya ruang sampel atau n(S) 36=Misalkan A adalah kejadian munculnya jumlah kedua dadu sama dengan 10.Maka: n(A) = 3
n(A) 3 1p(A)
n(S) 36 12= = =P
Jadi, peluang muncul kedua mata dadu
berjumlah 10 adalah 1
12.
♪ Jawaban: B
100
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± Note ± Note
± Note
.................................................................................................
.................................................................................................
.. .............................................................................................
.................................................................................................
...... .........................................................................................
.................................................................................................
.......... .....................................................................................
.................................................................................................
.............. .................................................................................
.................................................................................................
.................. .............................................................................
.................................................................................................
...................... .........................................................................
.................................................................................................
.......................... .....................................................................
.................................................................................................
.............................. .................................................................
.................................................................................................
.................................. .............................................................
.................................................................................................
...................................... .........................................................
101
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± Note ± Note
± Note
.................................................................................................
.................................................................................................
.. .............................................................................................
.................................................................................................
...... .........................................................................................
.................................................................................................
.......... .....................................................................................
.................................................................................................
.............. .................................................................................
.................................................................................................
.................. .............................................................................
.................................................................................................
...................... .........................................................................
.................................................................................................
.......................... .....................................................................
.................................................................................................
.............................. .................................................................
.................................................................................................
.................................. .............................................................
.................................................................................................
...................................... .........................................................
102
Kumpulan Rumus Matematika SMP/MTsidschool.net
Download kumpulan soal dan ringkasan mater lainnnyadi idschool.net
± Note ± Note
± Note
.................................................................................................
.................................................................................................
.. .............................................................................................
.................................................................................................
...... .........................................................................................
.................................................................................................
.......... .....................................................................................
.................................................................................................
.............. .................................................................................
.................................................................................................
.................. .............................................................................
.................................................................................................
...................... .........................................................................
.................................................................................................
.......................... .....................................................................
.................................................................................................
.............................. .................................................................
.................................................................................................
.................................. .............................................................
.................................................................................................
...................................... .........................................................
top related