matematika 2

Valószínűségszámítás

EseményalgebraMj.: A valószínűségszámítás olyan jelenségekkel

foglalkozik, amelyek lényegében azonos körülmények között tetszőleges számban megismételhetők, de kimenetelüket a rögzített lényeges körülményeken kívül sok más, önmagában kis hatású, tényező befolyásolja. E hatások következtében többféle eredmény jöhet létre. Az ilyen típusú jelenségeket, illetve megfigyelésüket nevezzük kísérletnek.

Def.: Egy kísérlet lehetséges kimeneteleit eseményeknek nevezzük.

Jel.: Az abc nagybetűi. Pl.: A, B, C

Def.: Azok az események, amelyek egy kísérlet végrehajtása során csak egyféle módon következhetnek be az elemi események.

Def.: Azok az események, amelyek egy kísérlet végrehajtása során többféle módon is bekövetkezhetnek az összetett események.

Def.: Egy kísérlettel kapcsolatos összes elemi események halmazát nevezzük eseménytérnek.

Jel.: ΩDef.: Azt az eseményt , amely a kísérlet

végrehajtása során sohasem következik be lehetetlen eseménynek nevezzük.

Jel.: vagy

Def.: Azt az eseményt , amely a kísérlet végrehajtása során mindig bekövetkezik biztos eseménynek nevezzük.

Jel.: ΩDef.: Ha minden olyan esetben, amikor az A

esemény bekövetkezik, akkor a B esemény is bekövetkezik, akkor azt mondjuk, hogy A maga után vonja B-t.

Jel.: ADef.: Két eseményt azonosnak tekintünk, ha

egy kísérlet végrehajtása során vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem, azaz Aés BA.

Jel.: A = B

Pl.: Kísérlet: Egy szabályos dobókockával dobok.

Az elemi események: A1 1-et dobok

A2 2-t dobok

A3 3-at dobok

A4 4-et dobok

A5 5-öt dobok

A6 6-ot dobok

Ω= A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 ; A6

Összetett események: P páros számot dobokT prímszámot dobok

A2 P

A2 T

Biztos esemény: 7-nél kisebb számot dobok Lehetetlen esemény: 10-et dobok

Műveletek eseményekkelDef.: Adott A és B események összegén azt az

eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, ha az A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik.

Jel.: A+BTul.:Kommutatív: A + B = B + AAsszociatív: (A + B) + C = A + (B + C)Pl.: P+T= Páros vagy prím számot dobok

AA

Ω

A B

Def.: Adott A és B események szorzatán azt az eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, ha az A és B esemény is bekövetkezik.

Jel.: A∙BTul.:Kommutatív: A ∙ B = B ∙ AAsszociatív: (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)P ∙ T= Páros és prím számot, tehát 2-t dobok.Def.: Az A és B események kizárják egymást, ha

szorzatuk a lehetetlen esemény.Pl.: A1 és A2

AA

ΩA B

AA

Ω A B

További tulajdonságokA + A = A A ∙ A = AA + = A A ∙ = A + Ω = Ω A ∙ Ω = A

A ∙ ( B + C) = A ∙ B + A∙ Cdisztributív

A + ( B ∙ C) = (A + B) ∙ (A +C)

Def.: Azt az eseményt, ami pontosan akkor következik be ha az A esemény nem következik be az A esemény ellentett eseményének más szóval komplementerének nevezzük.

Jel.: ĀMj.: A definícióból következik, hogy egy A

esemény komplementerének a komplementere az A esemény, illetve a biztos esemény komplementere a lehetetlen esemény és fordítva.

ΩA

TulajdonságokA + A = Ω A ∙ A =

A = AΩ = Ω =

De Morgan azonosságok

A + B = A ∙ B A ∙ B = A + B

Def.: A és B esemény különbségén azt az eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, ha A bekövetkezik, de B nem.

Jel.: A \ BPl.: P\T= páros számot dobok, amely nem prím

Tul.: A \ B = A ∙ B

ΩA B

Eseményalgebra axiómarendszereAlapfogalmak: esemény, bekövetkezikA:=A; B; C; ….. ; ΩA Az események olyan halmaza, amely

bármely két elem összegét, szorzatát, és bármely elem komplementerét tartalmazza.

Van két kitüntetett eleme a biztos és a lehetetlen esemény

Teljesül a következő 14 axióma

1. A + B = B + A 2. A ∙ B = B ∙ A 3. (A + B) + C = A + (B + C )4. (A ∙ B) ∙ C = A ∙

(B ∙ C ) 5. A + A = A 6. A ∙ A = A7. A + A = Ω 8. A ∙ A = 9. A + Ω = Ω 10. A ∙ Ω = A11. A + = A 12. A ∙ =

13. (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C14. (A ∙ B) + C = (A + C) ∙ (B + C)

Az (A; + ; ∙ ; ) álló struktúrát Boole-algebrának nevezzük.

Statisztikus valószínűségKísérlet: Dobjunk fel egy szabályos pénzérmét 35-szörTfh. a dobássorozat a következő: F; I; I; F; F; I; I; F; I; I; F; F; I; I; F; I; I; I; F; F; I; F; I; I; F; F; F; F; I; F; F; F; F; I; IDef.: Egy kísérlet többszöri végrehajtása során egy esemény bekövetkezési gyakoriságának és a kísérletek számának a hányadosa az adott kísérlet relatív gyakorisága. k/nVizsgáljuk az előbbi példában a fejdobások relatív gyakoriságának változását!

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

13

14

15

16

17

k/n

1 ½ 1/3

2/4

3/ 5

3/6

3/7

4/8

4/9

4/10

5/ 11

6/ 12

6/ 13

6/ 14

7/ 15

7/ 16

7/ 17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

7/ 18

8/ 19

9/20

9/21

10/ 22

10/ 23

10/ 24

11/25

12/26

13/27

14/28

14/29

15/30

16/31

17/32

17/33

17/34

17/35

Megfigyelés: a kísérletet egyre többször elvégezve a relatív gyakoriság stabilitást mutat, egyre kisebb mértékben ingadozik egy szám körül. Def.: Azt a számot, ami körül egy véletlen esemény relatív gyakorisága ingadozik, az adott esemény statisztikus valószínűségének nevezzük. A szabályos érme feldobásakor a fejdobás statisztikus valószínűsége ½.

Teljes eseményrendszer Def.: Legyen A1, A2, A3,………An egy kísérlet

lehetséges kimenetele. Az A1, A2, A3, ……… An teljes eseményrendszert alkot ha:

Egyik esemény sem lehetetlen esemény, azaz Ai≠ i 1; 2; 3…..n

Bármely két esemény szorzata a lehetetlen esemény azaz Ai ∙Aj= i≠j i,j 1; 2; 3…..n esetén

Az események összege a biztos esemény azaz A1 + A2 + A3 +………+ An = Ω

Pl.: A kockadobással kapcsolatban említett A1, A2,…A6 események teljes eseményrendszert alkotnak.

A valószínűség axiómái0 P(A) 1P() = 0 P(Ω) = 1Ha A B= ∙ , akkor P( A + B )= P( A )+P( B )Ha A1, A2, A3,….An,… páronként kizárják

egymást, akkorP(A1+A2+A3+..+An…)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+….+P(An)…

KövetkezményekHa az A esemény maga után vonja a B eseményt

azaz AB, akkor P(A) P(B).Pl.: P(A2) P(T)

Mj.: A továbbiakban is a kockadobásnál bevezetett eseményeket jelöli Ai, P, T.

Legyen A és B egy kísérlet két eseménye, akkor P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).Pl.: P(T+P)=P(T)+P(T)-P(TP)

Legyen A B és C egy kísérlet három eseménye, akkor

P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C)– P(AB) – P(AC) – P(BC) +P(ABC).

Ha A1; A2……..An teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A1) + P(A2) + ……..+P(An)=1Pl.: P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + P(A5) + P(A6)=1

Valamely kísérlet A eseményére és A ellentett eseményére fennáll az alábbi összefüggés.P(A) +P(A)=1Pl.: P(T)+P(T)=1

A valószínűség kombinatorikus kiszámítási módja

Def.: Ha az A1, A2, A3,………An egy teljes eseményrendszer, továbbá bármelyik esemény bekövetkezése egyformán valószínű, akkor klasszikus valószínűségi mezőről beszélünk.

Tétel: Ha az A1, A2, A3,………An klasszikus valószínűségi mező és A= A1+A2+…Ak, ahol k n akkor P(A)=k/n.Tehát n az összes elemi esemény (összes eset) száma k pedig az A esemény bekövetkezése szempontjából kedvező esetek száma.

Pl.: T=A2+A3+A5 P(T)=3/6

Pl. Dobjunk fel egy szabályos pénzérmét kétszer! Írjuk fel az eseményteret! Ω=FF; FI; IF; IIA=Mindkét dobás fej. P(A)=B=Az egyik dobás fej, a másik írás.P(B)= = A=Van a dobások között írás. (Nem igaz, hogy mindkét dobás fej.)P(A)= vagy P(A)=1- P(A) = 1- =

Geometriai valószínűségDef.: Ha egy kísérlettel kapcsolatos események egy

geometriai alakzat részhalmazainak feleltethetők meg oly módon, hogy az egyes események valószínűsége az eseményekhez rendelt részhalmazok geometriai mértékével arányos, akkor az események valószínűségei geometriai valószínűségi mezőt alkotnak, a valószínűségeket geometriai valószínűségeknek nevezzük.Legyen A egy ilyen kísérlettel kapcsolatos esemény. A kísérlettel kapcsolatos teljes geometriai alakzat mértéke legyen M, az a eseménynek megfelelő részalakzat mértéke m, ekkor az A esemény valószínűségének kiszámítási módja: P(A)= .

Pl.: Egy pontszerű testet véletlenszerűen ejtsünk rá egy négyzet alakú lemezre. Mennyi a valószínűsége, hogy a test a négyzetbe írható körlapra esik.

r=

a

P(A)= =

a

r

Feltételes valószínűségDef.: Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos

két esemény, ahol a B esemény valószínűsége nem 0, vagyis P(B)≠0.

Az A eseménynek a B feltétel melletti P(A|B) feltételes valószínűsége szemléletesen az A esemény bekövetkezésének a bekövetkezését jelenti, feltéve, hogy a B esemény bekövetkezett.

P(A|B)=

Példa: Egy kétgyermekes család esetén, tudjuk, hogy az egyik gyerek lány. Mennyi a valószínűsége, hogy van fiú a családban?A= Van fiú a családban.B=Az egyik gyermek lány a családban.Ω=ff; fl; lf; ll

P(A|B)= = =

Mj.: A feladat megoldható az eseménytér szűkítésével is.Ω=ff; fl; lf; ll P(A|B)=

P(A|B)= vagy P(B|A)=

Az egyenletet átrendezve kapjuk, hogy két esemény szorzatának valószínűsége:

P(AB)=P(A|B)P(B), illetve P(AB)=P(A)∙P(B|A)

Legyenek A1; A2;….An tetszőleges események, ezek szorzatának valószínűsége:P(A1∙ A2∙…. ∙ An )=P(A1)∙P(A2|A1)∙………P(An-1|A1….An-2)∙P(An|A1….An-1)

Pl.: Legyen egy dobozban 6 fehér és 8 piros golyó! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy visszatevés nélkül egymás után húzva két golyót, az első golyó fehér a második golyó piros!

A=Az első kihúzott golyó fehér. B=A második kihúzott golyó piros.

P(AB)=P(A) ∙P(B|A)=

Pl.: Legyen egy dobozban 6 fehér, 3 zöld és 8 piros golyó! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy visszatevés nélkül egymás után húzva három golyót, az első golyó fehér a második zöld a harmadik piros színű!A=Az első kihúzott golyó fehér. B=A második kihúzott golyó zöld. C=A harmadik kihúzott golyó piros.

P(ABC)=P(A)∙P(B|A)∙P(C|AB)=

Teljes valószínűség tételeTétel: Ha B1; B2; …… Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi)≠0 (i= 1…n), akkor tetszőleges A esemény valószínűségére érvényes az alábbi összefüggés.P(A)=P(A|B1)∙P(B1)+P(A|B2)∙P(B2)+…………P(A|Bn)∙P(Bn)=

=

Szemléltetve:

B

Ω

A|B1

A|B2A|B3

B1 B2 B3

Példa: Egy üzemben 3 gépsor termel azonos árut. Az első gépsor a teljes mennyiség 30, a második 25 a harmadik 45 százalékát termeli. Az első gépsoron gyártott áru 8, a másodikon gyártott áru 6 a harmadikon gyártott 9 százaléka selejt. Az összes áruból véletlenszerűen választunk egyet. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott áru selejt?Jelölje Bi azt az eseményt, hogy a kiválasztott tételt az i. gépsor gyártotta. A jelölje, hogy a kiválasztott áru selejtes.P(B1)=0,3 P(B2)=0,25 P(B3)=0,45

P(A|B1)=0,08 P(A|B2)=0,06 P(A|B3)=0,09 P(A)=?

P(A)=P(A|B1)∙P(B1)+P(A|B2)∙P(B2)+P(A|B3)∙P(B3)=

= 0,3 ∙ 0,08 + 0,25 ∙ 0,06 + 0,45 ∙ 0,09 = 0,0795

Bayes formula Tfh. P(A)≠0 és P(B)≠0. A feltételes valószínűség definíciója alapján.

P(A|B)= illetve P(B|A)= .

Az első összefüggésből P(AB)=P(A|B)∙P(B). Ezt behelyettesítve a második összefüggésbe kapjuk a Bayes formulát.

P(B|A)=

Bayes tételTétel: Ha B1; B2; …… Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi)≠0 (i= 1…n), és A tetszőleges esemény, melyre P(A) ≠0, akkor

P(Bi|A)=

P(Bi|A)=

Biz.: A Bayes formula nevezőjébe helyettesítsük be a teljes valószínűség tételénél kapott összefüggést.

*

Példa: Az előző példa folytatása. Ha az összes áruból kiválasztunk egyet, ami selejtnek bizonyul, mennyi a valószínűsége, hogy a 2. gépsor gyártotta?P(B2|A)=?P(B1)=0,3 P(B2)=0,25P(B3)=0,45

P(A|B1)=0,08 P(A|B2)=0,06 P(A|B3)=0,09

P(A)=P(A|B1)∙P(B1)+P(A|B2)∙P(B2)+P(A|B3)∙P(B3)=

= 0,3 ∙ 0,08 + 0,25 ∙ 0,06 + 0,45 ∙ 0,09 = 0,0795

P(B2|A)= = = 0,15

Események függetlensége

Mj. A és B esemény független, ha P(A|B)=P(A). Amennyiben P(B)=0, ez az értelmezés nem lehetséges. Az előbbi okok miatt az A és B események függetlenségét az alábbi módon definiáljuk.

Def.: Az A és B események függetlenek, ha P(A∙B)=P(A)∙P(B).

Pl.: Legyen egy dobozban 6 fehér és 8 piros golyó! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy visszatevéssel egymás után húzva két golyót, az első golyó fehér a második golyó piros!

A=Az első kihúzott golyó fehér. B=A második kihúzott golyó piros.

P(AB)=P(A) ∙P(B)=