matematica 7 numerica - sitios de las cátedras facultad de ci
Post on 20-Jul-2022
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Universidad Nacional de Tucumán
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y TECNOLOGIA
7
MAGISTER EN
METODOS
NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES
EN INGENIERIA
MATEMATICA
NUMERICA
OBJETIVOS
Aprender a usar Matlab para resolverproblemas que involucren interpolación y ajustepor mínimos cuadrados
Familiarizarse con los métodos numéricos deajuste de curvas por regresión de mínimoscuadrados
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
Tema 7Regresión de Datos
Teoría de la aproximación. Regresión por mínimoscuadrados discretos: aproximación a una recta,aproximación polinomial, funciones generales,criterios de ajuste. Regresión lineal múltiple.Regresión no lineal de datos. Mínimos CuadradosContinuos. Polinomios ortogonales. Funciones deMatlab
TEMAS
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
Tema 7Regresión de Datos
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA Por definición, la Función
de interpolación ajustaexactamente los datos.
INTERPOLACIÓN vs. REGRESIÓN
La Regresión, es apropiada cuando se manejan datos obtenidos con errores experimentales importantes.
x0
f(x0)
En regresión, se busca la curva que “más se aproxime”a los datos (menor error)
x0
f(x0)error
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
Teorema de Weierstrass
TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN
Esto garantiza que cualquier función continuaen un intervalo cerrado pueda ser aproximadaen ese intervalo por un polinomio
Si f(x) es una función real definida en elintervalo [a,b]
Entonces para todo real > 0, existe unpolinomio Pn(x) definido en [a,b] tal que:
b][a,x ε(x)Pf(x) n
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN DE DATOSEl pr
oblema
es
CÓM
O M
INIM
IZAR
EL E
RROR.
)
n
1i
i10i
n
1i
i xaa(ye
Con la suma de errores
n
1i
i10i
n
1i
i xaaye
Con la suma de valores absolutos de errores
Con el máximo error en valor absoluto
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN DE DATOS
La solución es minimizar la suma de los cuadrados de
los errores.
Esto conduce a la solución de Mínimos Cuadrados.
i
2
ir eS
El problema es cómo minimizar el error
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN DE DATOS
REGRESION LINEAL SIMPLE
Dados los puntos:
P1
P2P3
P4
P5
P6
P7
y=a0+a1x )y,(x),y,(x),y,(x),y,(x nnii2211
i10i xa a y )(calc
i10ii xa a y = e
n
1=i
2
i10i
n
1=i
2
ir xa a y = e = S Encontrar los valores de a0 y a1 que hacen mínimo Sr
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN DE DATOS
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
0
1)( xaay2
a 2
a
xaaya
= a
S
n
1=i
i10i
n
1=i 0
n
1=i
2
0
n
1=i
2
i10i
00
r
n
1=i
i1
n
1=i
i0 y a x a n
0
)x( xaay2
a2
a
xaaya
= a
S
n
1=i
ii10i
n
1=i 1
n
1=i
2
1
n
1=i
2
i10i
11
r
n
1=i
ii1
n
1=i
2
i0
n
1=i
i yx a x a x
Condición necesaria, el gradiente de Sr igual a cero
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
n
1=i
ii1
n
1=i
2
i0
n
1=i
i yx a x a x
n
1=i
i1
n
1=i
i0 y a x a n
Sistema
2n
1=i
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
n
1=i
i
n
1=i
ii
1
2n
1=i
i
n
1=i
2
i
n
1=i
ii
n
1=i
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
0
xn
1x
yxn
1yx
a
xn
1x
yxxn
1xy
n
1
a
Solución Explícita
ERROR
Desviación estándar de la estimación:
2n
Ss r
y/x
2
i
2
ci
2
i
t
rt2
)y(y
)y(y)y(y
S
SSR
Coeficiente de determinación:
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
ANÁLISIS DEL ERROR
La Regresión permite asignar parte de la variabilidad total de los datos a la función ajustada.
2
2
c
2
t
rt2
)y(y
)y(y)y(y
S
SSR
variabilidad total
variabilidad respecto de la
función
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
Sy/x
Sy
Sy: Variabilidad respecto de la media
Sy/x: Variabilidad respecto de la función lineal de
regresión
2n
SS
1n
SS
ry/x
ty
ANÁLISIS DEL ERROR
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
La precondición para emplear Regresión
Lineal es que exista RELACIÓN LINEALentre variables (!!!)
¿Y si no es así?
LINEALIZAR
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Ejemplo: Adsorción en carbón
0
50
100
150
200
250
300
350
0 100 200 300 400 500 600
C
q
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
ncKq
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
X=Log(c)
Y=
Lo
g(q
)
cnlog Klog qlog 101010
logK = 1.8733, K = 101.6733 = 74.696, n = 0.2289
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
Ejemplo: Adsorción en carbón
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Lineal)
)y,(x),y,(x),y,(x),y,(x nnii2211 Datos
i10i xa a y Lineal
2
i2i10i xa xa a y Cuadrática
3
i3
2
i2i10i xa xa xa a y Cúbica
General m
im
3
i3
2
i2i10i xa xa xa xa a y
Se deben encontrar los valores de a0 , a1, a2, … am
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Lineal)
Residuos (errores):
Condiciones Necesarias:Las derivadas de Sr respecto de cada ai igualadas a cero
)xa xa xa xa (a y = em
im
3
i3
2
i2i10ii
Suma de Residuos (errores):
n
1=i
2m
m
3
3
2
210
n
1=i
2
ir )]xa xa xa x a (a [y = e = S
n
1i
2m
im
2
i2i10ir )]xaxaxa(a[yS min
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Lineal)
Considerando la condición necesaria para la existencia de un mínimo, gradiente igual a cero, resulta:
n
1=i
i
m
i
n
1=i
i
2
i
n
1=i
ii
n
1=i
i
m
2
1
0
n
1=i
2m
i
n
1=i
2m
i
n
1=i
1m
i
n
1=i
m
i
n
1=i
2m
i
n
1=i
4
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
1m
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
n
1=i
m
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
yx
yx
yx
y
a
a
a
a
xxxx
xxxx
xxxx
xxxn
Matriz del Sistema, Simétrica Ecuaciones Normales
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Lineal)
n
1=i
i
m
i
n
1=i
i
2
i
n
1=i
ii
n
1=i
i
m
2
1
0
n
1=i
2m
i
n
1=i
2m
i
n
1=i
1m
i
n
1=i
m
i
n
1=i
2m
i
n
1=i
4
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
1m
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
n
1=i
m
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
yx
yx
yx
y
a
a
a
a
xxxx
xxxx
xxxx
xxxn
Regresión Lineal Simple
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Lineal)
n
1=i
i
m
i
n
1=i
i
2
i
n
1=i
ii
n
1=i
i
m
2
1
0
n
1=i
2m
i
n
1=i
2m
i
n
1=i
1m
i
n
1=i
m
i
n
1=i
2m
i
n
1=i
4
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
1m
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
n
1=i
m
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
yx
yx
yx
y
a
a
a
a
xxxx
xxxx
xxxx
xxxn
Regresión Cuadrática
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Ejemplo)
x 0 1.0 1.5 2.3 2.5 4.0 5.1 6.0 6.5 7.0 8.1 9.0
y 0.2 0.8 2.5 2.5 3.5 4.3 3.0 5.0 3.5 2.4 1.3 2.0
x 9.3 11.0 11.3 12.1 13.1 14.0 15.5 16.0 17.5 17.8 19.0 20.0
y -0.3 -1.3 -3.0 -4.0 -4.9 -4.0 -5.2 -3.0 -3.5 -1.6 -1.4 -0.1
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
x
f(x)
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Ejemplo)
n
1=i
i
3
i
n
1=i
i
2
i
n
1=i
ii
n
1=i
i
3
2
1
0
n
1=i
6
i
n
1=i
5
i
n
1=i
4
i
n
1=i
3
i
n
1=i
5
i
n
1=i
4
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
4
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
yx
yx
yx
y
a
a
a
a
xxxx
xxxx
xxxx
xxxn
9943.36
6037.2
316.9
1.30
a
a
a
a
8223518116.12780147.7752835.246342.8
12780147.7752835.246342.83060.2
752835.246342.83060.2229.6
46342.83060.2229.624
3
2
1
0
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Ejemplo)
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 5 10 15 20 25
x
f(x)
0.0121
0.3532
2.3051
0.3593
a
a
a
a
3
2
1
0
y = - 0.359 + 2.305x - 0.353x2 + 0.012x3
Ecuación de Regresión
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Análisis del Error)
CRITERIOS PARA SELECCIONAR EL ORDEN DEL POLINOMIO DE REGRESIÓN
1)(mn
Ss r
y/x
Desviación Estándar del Error mínima
Coeficiente de Determinación de regresión más
próximo a la unidad
n
1i
2m
im
2
i2i10ir )]xaxaxa(a[yS
2
i
2
ci
2
i
t
rt2
)y(y
)y(y)y(y
S
SSR
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Análisis del Error)
n
1i
2m
im
2
i2i10ir )]xaxaxa(a[yS
El grado óptimo delpolinomio de ajuste deMínimos Cuadradosresultará de la mínimaDesviación Estándar
1 2 3 4 m. . .
Sy/x
m
m óptimo
1)(mn
Ss r
y/x
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN POLINOMIAL (Análisis del Error)
n
1=i
i
m
i
n
1=i
i
2
i
n
1=i
ii
n
1=i
i
m
2
1
0
n
1=i
2m
i
n
1=i
2m
i
n
1=i
1m
i
n
1=i
m
i
n
1=i
2m
i
n
1=i
4
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
1m
i
n
1=i
3
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
n
1=i
m
i
n
1=i
2
i
n
1=i
i
yx
yx
yx
y
a
a
a
a
xxxx
xxxx
xxxx
xxxn
El aumento del orden del polinomio, incrementa tambiénel mal condicionamiento del sistema lineal para elcálculo de los coeficientes a. Surge una relación decompromiso entre precisión (orden m) y erroresnuméricos en el cómputo de los coeficientes.
Aumenta el Númerode Condición con elincremento del orden
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL (Generalización)
(x)fa(x)fa(x)fay mm2211
Para generalizar, (incluye RLS y polinomial), se toma:
Donde las fi(x) son las Funciones Base
Ejemplos:
1i
i x(x)f
1i
ix
1(x)f
1i
i (logx)(x)f
T
x πi 2sen(x)fi
Regresión polinomial
Polinomio de Fourier
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL (Generalización)
(x)fa(x)fa(x)fay mm2211
Si el número de datos es n.
)(xf )(xf )(xf
)(xf )(xf )(xf
)(xf )(xf )(xf
Z
nmn2n1
2m2221
1m1211
]y y [y{y} n21
T
]a a [a{a} m21
T
n
1i
2m
1j
ijjir ])(xfa[yS min
]e e [e{e} n21
T
ea[Z]{y}
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL (Generalización)
(x)fa(x)fa(x)fay mm2211
0a
S
0a
S
0a
S
m
r
2
r
1
r
Condición necesaria, el gradiente de Sr igual a
cero
{y}[Z] {a} [Z][Z] TT
Ecuaciones Normales
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL (Generalización)
(x)fa(x)fa(x)fay mm2211
Paso 1: Construir [Z] e {y}.
Paso 2: Conformar el
sistema de ecuaciones
Paso 3: Resolver el sistema lineal para encontrar
los coeficientes, es decir el vector {a}.
Algoritmo:
{y}[Z] {a} [Z][Z] TT
Paso 4: Evaluar
- Desviación Estándar
- Coeficiente de
determinación
mn
Ss r
xy
/
2
2
2
)(
)(
1
11
yy
yy
mn
nR
i
Cii
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
22110 xaxaay
Dadas variables independientes x1,x2 y la correspondiente variable dependiente y el problema de Regresión Lineal Múltiple consiste en encontrar la mejor relación lineal que ajuste los datos.
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
Dado un conjunto de N: variable independientes y con variables indepen-dientes ; u, v, & w
Encontrar la mejor función lineal que aproxime los datos
La minimización de la suma de los errores cuadráticos resulta en 4 Ecs. Para 4 incógnitas a, b, c & d.
1 1 1 1 2 2 2 2
2
1
, , , ; , , , ;........,
, , , ;
( )
N N N N
N
r i i i i
i
y u v w y u v w
y u v w
y a bu cv dw
S y a bu cv dw
0d
S ,0
c
S,0
b
S,0
a
S rrrr
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
donde
R
Ecu
acion
es
Nor
males
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN NO LINEAL
, n1,2,i)y,(xP ii Datos:
Curva (no lineal): )a,,a,a;f(xy m21i
calc
i
De modo que hay que encontrar los ai para que el funcional
n
1i
2calc
ii
n
1i
i yyeSr
im21ii e)a,,a,a;f(xy
La limitación ahora es que la aplicación de lacondición necesarias no conduce a un sistema lineal yla búsqueda de {a} debe hacerse por un procedimientonumérico (método de Gauss-Newton)
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN NO LINEAL
Se parte de valores iniciales:
(k)
i
1)(k
ii aaΔa
m
m
(k)
i2
2
(k)
i1
1
(k)
i(k)
i
1)(k
i Δaa
)f(xΔa
a
)f(xΔa
a
)f(x)f(x)f(x
(k)
im
m
(k)
i2
2
(k)
i1
1
(k)
i(k)
ii eΔaa
)f(xΔa
a
)f(xΔa
a
)f(x)f(xy
][(0)
m
(0)
2
(0)
1
(0)a,...,a,a{a}
)a,...,a,a;f(x)f(x(k)
m
(k)
2
(k)
1i
(k)
i
La función evaluada con los valores del vector {a} en la etapa k de iteración es:
Usando una aproximación de Taylor de primer orden:
Donde
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN NO LINEAL
m
(k)
nn
2
(k)
nn
1
(k)
nn
m
(k)
22
2
(k)
22
1
(k)
22
m
(k)
11
2
(k)
11
1
(k)
11
a
)(xf
a
)(xf
a
)(xf
a
)(xf
a
)(xf
a
)(xf
a
)(xf
a
)(xf
a
)(xf
[Jz]
eΔa[Jz]{d}
(k)
nn
(k)
22
(k)
11
)f(xy
)f(xy
)f(xy
{d}
T(k)
m
(k)
2
(k)
1
(k)e, ,e ,e{e}
Las ecuaciones anteriores se pueden poner en forma matricial:
Con
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN NO LINEAL
n
1i
2
ir )(eS min
{d}[Jz] Δa [Jz][Jz] TT ¨
A efectos de ir disminuyendo progresivamente Sr, en cada iteración k, se calculan los a resolviendo el sistema lineal:
Y se calculan los nuevos a, más próximos al óptimo con:
(k)
i
(k)
i
1)(k
i Δaaa
Estos valores sirven para una nueva iteración.
Con este procedimiento, en cada etapa se va disminuyendo Sr, aproximándose al óptimo:
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN NO LINEAL(Algoritmo)
{d}[Jz] a}{ [Jz][Jz] TT
Paso 3: Para todos los datos evaluar f(xi)
Paso 4: Para todos los datos evaluarf(xi;a1,a2,…,am)/ak
Paso 1: k=1
Paso 5: definir [Jz] and {d}
Paso 6: Calcular {a} resolviendo
Paso 7: Actualizar {a} con
Paso 8: Evaluar la norma Δa
Paso 9: Si cumple con las condiciones de precisión, entonces parar de lo contrario hacer k=k+1 y volver a 3
Paso 2: asumir valores iniciales para a a(0)
(k)
i
(k)
i
1)(k
i Δaaa
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN NO LINEAL -Ejemplo
)cos( 21 xaeyxa
Los datos de la gráfica
deberán ser ajustados a la función:
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN NO LINEAL -Ejemplo
)sin(
)cos(
)cos(
xaxea
f
xaxea
f
xaexf
xa
xa
xa
2
2
2
1
2
1
1
1
)sin()cos(
)sin()cos(
)sin()cos(
n
xa
n
xa
xaxa
xaxa
nnxaxexaxe
xaxexaxe
xaxexaxe
a
f
a
f
a
f
a
f
a
f
a
f
nn
n
n
22
2222
1212
21
2
2
1
2
2
1
1
1
11
121
111
Jz
)cos(
)cos(
)cos(
n
xa
n
xa
xa
xaey
xaey
xaey
d
n
2
222
121
1
21
11
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN NO LINEAL -Ejemplo
{d}[Jz] Δa [Jz][Jz]TT
El proceso de iteración que involucra resolver en cada etapa el sistema
It a1 a2 Delta a1 Delta a2
1 2.1977 5.0646 0.1977 2.06462 1.0264 3.9349 -1.1713 -1.12963 1.1757 4.3656 0.1494 0.43074 1.1009 4.4054 -0.0748 0.03985 1.1035 4.3969 0.0026 -0.00856 1.1030 4.3973 -0.0005 0.00037 1.1030 4.3972 0.0000 0.0000
).cos(.
x39724exfx10301
a1(0) = 2 a2
(0) = 3
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN NO LINEAL -Ejemplo
).cos(.
x39724exfx10301
a1 = 1.1030 a2 = 4.3972
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL Y NO LINEAL(Comparación)
Regresión Lineal
Solución exacta – Sistema de ecuaciones lineales
{y}[Z] {a} [Z][Z] TT
Regresión No Lineal
Proceso de iteración – Sistema de ecuaciones no lineales.Realmente es una optimización de un funcional no lineal.
{d}[Jz] a}{ [Jz][Jz] TT
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL Y NO LINEAL(Un ejemplo)
La cinética enzimática se puede describir en muchos casos empleando la ecuación de Michaelis-Menten.
1
2
,x
f xx
θ
La velocidadde reacciónestá dada eneste caso porla ecuación(modelo):
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL Y NO LINEAL(Un ejemplo)
1
2
,x
f xx
θModelo no linealde cinética.
2 2
1 1 1
1 1 1
,
x
f x x x
θModelo linealizadode cinética.
1 2,f y y βNueva estructura lineal de la ecuación.
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL Y NO LINEAL(Un ejemplo)
Parámetros1 = 0.0051072
2 = 0.00024722
Regresión lineal del modelo linealizado
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL Y NO LINEAL(Un ejemplo)
Retornando a los datos originales
Con los parámetros de la ecuacion de Michaelis-Menten1 = 195.8
2 = 0.048407
El algoritmo de optimización (Método de Gauss-Newton) lleva al proceso iterativo que implicaresolver el sistema lineal
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL Y NO LINEAL(Un ejemplo)
La Regresión no lineal, realmente significa que losparámetros se obtienen minimizando el funcional(no-lineal):
2
1
( ) ,n
i i
i
S y f
θ x θ
{d}[Jz] a}{ [Jz][Jz] TT
en forma reiterada hasta encontrar {a}
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL Y NO LINEAL(Un ejemplo)
Curvas de Nivel para el funcional S(θ)
Mínimo
Solución para el sistema linealizado
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
REGRESIÓN LINEAL Y NO LINEAL(Un ejemplo)
Regresión no lineal
Regresión lineal(desde el sistema
linealizado)
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
MÍNIMOS CUADRADOS CONTINUOS
La aproximación usada hasta ahora fue CuadradosMínimos Discretos.
Considerar el caso de ajustar la función f(x) a un polinomio Pn(x) en el intervalo [a,b].
Podría pensarse en un funcional distinto y plantear la minimización de una función continua de discrepancia:
dxxfxPE n
b
a
2
Y suponiendo que:
2
210 xaxaaxPn
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
MÍNIMOS CUADRADOS CONTINUOS
Tomando derivadas respecto de los coeficientes a:
Si por ejemplo
0 2i
b
ai
dx
da
xdPxfxP
da
dE nn
xxexf 2)(
La integral del Error será:
12
2 2
0 1 2
0
1
2 2
0 1 2
0 0
1 1 1 1
2 2
0 1 2
0 0 0 0
2 1 0
x
x
x
E x a a x a x xe dx
dE xa a x a x xe dx
da
a dx a x dx a x dx xe dx
Y la condición de mínimo para a0
resulta:
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
MÍNIMOS CUADRADOS CONTINUOS
Separando en términos, integrando los correspondientes
a los coeficientes del polinomio se tiene,
para la primera condición:
1
0 0
0
1
11
0
1
2 22
0
2
3
a dx a
aa x dx
aa x dx
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
MÍNIMOS CUADRADOS CONTINUOSSiguiendo con las otras derivadas, el sistema lineal para el cálculo de los coeficientes será:
Y el vector de términos independientes:
1
0
23
1
0
22
1
0
2
2
1
0
5
1
4
1
3
14
1
3
1
2
13
1
2
11
dxex
dxex
dxxe
a
a
a
x
x
x
38
1
14
1
14
1
2
2
2
1
0
23
1
0
22
1
0
2
e
e
e
dxex
dxex
dxxe
x
x
x
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
MÍNIMOS CUADRADOS CONTINUOS
El polinomio de mínimos cuadrados continuos resulta ser:
21642.95806.23328.0)( xxxPn
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
MÍNIMOS CUADRADOS CONTINUOS
Hay otras funciones para representar funciones continuas,entre las que se pueden destacar:
Polinomios de Legrendre
Polinomios de Chebychev
Funciones con senos y cosenos (funciones de Fourier)
En general se trata de funciones ortogonales,escaladas en distintos intervalos que tienen lapropiedad:
j i if 0
j i if # )( ji
b
a
dxxPxPxw
La función de peso w(x)define el tipo de polinomio
MA
GIS
TE
R E
N M
ET
OD
OS
N
UM
ER
IC
OS
Y
CO
MP
UTA
CIO
NA
LE
S E
N IN
GE
NIE
RIA
FUNCIONES DE MATLAB
polyfit Realiza la regresión polinómica de datos
Sintaxisp = polyfit(x,y,n)[p,S] = polyfit(x,y,n)
polyvalEvalúa una función polinómica
Sintaxisy = polyval(p,x)
top related