martes 6 de marzo de 2012
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Martes 6 de marzo de 2012
Advanced Quantum TheoryPaul Roman.Addison-Wesley, 1965. ISBN 0201064952
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
Consideremos una base ortonormal y completade un espacio de Hilbert.
La denotaremos como donde es un
parámetro continuo.Como es ortonormal y completa:
ˆd I
10 2 d
Consideremos una base ortonormal y completa de un espacio de Hilbert.
La denotaremos como donde es un parámetro continuo.
Como es ortonormal y completa:
ˆ y d I
ˆ
donde
I d
d d
donde d
*
ˆ
donde
I d
d d
* donde d
d
d d
d
d d
*
d
d d
d
d d
*
donde
donde
d
d
d d
d
*
donde
donde
d
d
d d
*
d
d
d
En la representación de coordenadasx̂ x
0
0 si indefinido si
x
xf x x f x
x x f x
x xf x
x x
f x x x
ˆEn la representación de coordenadas
ˆLos vectores propios de son x x x
x x x
Son ortonormales:
Es un conjunto completo:
ˆ
x x x x
dx x x I
ˆEn la representación de coordenadas
ˆLos vectores propios de son x x x
x x x
Son ortonormales:
Es un conjunto completo:
x x x x dx x x
x x x x dx x x
ˆ
donde
I dx x x dx x x
dx x x dx x x dx x x x
x
x x
En la representación de coordenadas,donde los vectores base (los vectorespropios de las coordenadas) son
el estado está especificado por
x x x
dx x x x x
La componente es la
función de onda de Schrödinger.
x x
En la representación de coordenadas,donde los vectores base (los vectorespropios de las coordenadas) son
el estado está especificado por
x x x
dx x x x x
En la representación de coordenadas
se confunde con el ket simbólico del estado.
x
En la representación de coordenadas,donde los vectores base (los vectorespropios de las coordenadas) son
el estado está especificado por
x x x
dx x x x x
En la representación de coordenadas
se confunde con el ket simbólico del estado.
x
Es confuso que el mismo símbolo
denota al vector del espacio deHilbert y también una componentedel mismo.
x
es un número, es
el valor de en . es el símbolo de todos
los posibles valores funcionales.
x x
x
El mismo símbolo denota al vector del espacio
de Hilbert y también una componente del mismo.
x
En la representación de coordenadasˆ
ˆ
x x xdp p idx
En la representación de coordenadas
ˆ ˆ ; dx x x p p idx
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,
ˆ ˆ,
x p f x xpf x pxf x
d di x f x i xf xdx dxd d dxi x f x i x f x i f xdx dx dx
i f x
x p i
En la representación de coordenadas
ˆ ˆ ; dx x x p p i dx
* *
**
ˆ
ˆ
x
dx x x x dx x x x
dx x x x dx x x x
En la representación de coordenadas
ˆ ˆ ; dx x x p p i dx
*
* *
*
ˆ dp dx x i xdx
di x x i dx x xdx
d xdx i x
dx
ˆ
exp
d pp p i p pdx
ip C xp
En la representación de coordenadas
ˆ ˆ ; dx x x p p i dx
2 23
1/2
ya que
exp exp 2
Por lo tanto,
1 exp
xp 2
2
e
i ip p C xp xp dx C p p
i p
i
x
d
p
exp ip C xp
1/2
Las funciones propias delmomento son, en la
representación de coordenadas,
12
i px
p
p e
Las funciones propias del momento son ortonormalesen el sentido de la delta de Dirac; es decir,
1 exp exp2i ip p xp xp dx p p
exp 2i d
1/21
2
i pxp e
Constituyen también un conjunto completo,ya que satisfacen la condición de cerradura(de completez)
12
i ixp x pe e dp x x
1/21
2
i pxp e
exp 2i d
*
d
d
d
d
1/ 2 1/ 2
1 12 2
i ipx px
x x x
p e p e
x p
p dx p x x
1/ 2 1/ 2
1 12 2
i ipx pxp x e x x dx e
x p
p dx p x x
1/2
12
i pxp x e
1/2
12
i pxp dxe x
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
12
12
12
12
1 22
12
i px
i i ipx px px
i i ipx px px
i ipx p x x
i px
p dxe x
e p e dxe x
dpe p dp e dxe x
dpe p dx x dpe
dpe p dx x x x
dpe
i pxp x
1/2
12
i pxp x e
1/2
12
i pxx dpe p
x p
p dx p x x
1/ 2
La función de onda en larepresentación de momentos es
12
i pxp dxe x
¿Cómo se ven afectados losoperadores cuando hacemosun cambio de representación?
1 2 3
Consideremos una base ortonormal y completade un espacio de Hilbert separable.Esto quiere decir que la base es numerable,y la denotaremos como
, , ,..., ,....
Como es ortonormal y completa:n n
n m
1
ˆ
nm
n nn
I
n n
n n
1 1 1 2
2 1 2 2 2
1 2
n m
m
n n n m
U
n n
1
donde
; con
ˆ
n n n nn
n n n mn m mn m nm
jl j l
a a
U U
A A
*
*
d
d
d
,
Usando la relación de completez (clausura)ˆ
tenemos
I
A
A
A
,
A A
Los elementos de matriz de en una representación se obtienende los de la otra representaciónmediante una doble transformaciónde Fourier.
A
Si en la representación eloperador es diagonal, en larepresentación tendrá laforma de una suma de operadoresde proyección cada uno
con un peso
A
A
,
A A
, ,
,
A A a
a
a a
A a
*
x p
x dp p x p
1/ 2
12
i pxp x e
1/ 2
12
i pxx dpe p
,
1/2
pero1 exp
2
y
x x
p x p p x x x x x p
ip x px
x x x dx x x x x x x x x
,
A A
/ /
/ /
/ /
/
12
12
12
2
i p x i p x
i p x i p x
i p x i p x
i x p p
p x p dx dx e e x x x
dx e e x
ddx e i edp
i d dx edpdi p pdp
,x x
p x p p x x x x x p
dp i pdp
ddp p p i p pdp
di p pdp
dp x p i p pdp
*1/2 1/2
*
*
*
1 1ˆ2 2
12
12
2
i ipx p x
i ipx p x
i ipx p x
i p p x
x dx dpe p x dp e p
dp p dp p dxe xe
ddp p dp p dxe i edp
i ddp p dp p dxedp
* *
1/2
ˆ ˆ
12
i px
x dx x x x dx x x x
x dpe p
*ˆ2
i p p xi dx dp p dp p dxedp
*
*
ˆ
22
x
i ddp p dp p p pdp
di dp p dp p p pdp
exp 2i d
*ˆ dx i dp p dp p p pdp
ˆAsí que finalmente dx i dp
f x x a dx f a
*ˆ dx i dp p pdp
*1/2 1/2
*
*
*
1 1ˆ2 2
2
2
12
i ipx p x
i ip x p x
i ip x px
i p p x
dx i dx dpe p dp e pdx
i ddp p dp p dxe edx
i idp p dp p dxe p e
dp p dp p p dxe
* *
1/2
ˆ ˆ
12
i px
dp dx x p x i dx x xdx
x dpe p
*1ˆ2
i p p xx dp p dp p p dxe
*
*
ˆ
1 22
p
dp p dp p p p p
dp p dp p p p p
exp 2i d
*p̂ dp p dp p p p p
f x x a dx f a
*p̂ dp p p p
ˆAsí que p p
,
La formula
para la tranformación de un operador de la base
a la base muestra que si el conjunto
es discreto, la representación del operador
en dicha base será una mat
A A
A
riz discreta, aunqueen general infinita, aún cuando en la
representación la representación fuera
continua.
1) Sea el operador de coordenadas .
ˆSabemos que ,
es decir, tiene una representación continua.
2) Supongamos ahora que el sistema con elcual estamos tratando tiene un espectro
A r
r r r r r r
deenergía discreto .
Sea la función de onda de Schrödinger
correspondiente al -esimo estado propio dela energía .
n
n
E
r
nn
* 3 *
3
Ya que los estados propios de las coordenadas están representados por las funciones
, entonces tenemos
yn n
n n
r
r r
n r r r r d r r
r n r r r d r r
* 3 3
* 3
Así que
por lo tanton n
n n
n r n r r r r r d r d r
n r n r r r d r
,
* 3 *
3
ˆ
n n
n n
A A
r r r r r r
n r r r r d r r
r n r r r d r r
* 3
De manera similar
n nn p n r r d ri
,
* 3 *
3
n n
n n
A A
n r r r r d r r
r n r r r d r r
* 3
Ya que todo operador está construidoˆ ˆpor y , tenemos de manera general
en la representación de la energía
n n n n
r p
n n r r d r
,
* 3 *
3
n n
n n
A A
n r r r r d r r
r n r r r d r r
* 3
Ya que todo operador está construidoˆ ˆpor y , tenemos de manera general
en la representación de la energía
.n n n n
r p
n n r r d r
,
* 3 *
3
n n
n n
A A
n r r r r d r r
r n r r r d r r
Esta fórmula establece la equivalencia de la mecánica matricialde Heisenberg con la mecánica ondulatoria de Schrödinger.
22 2
2 22 2
2
2
ˆ 1ˆ ˆ2 2
ˆ
ˆ ˆ
12 2
pH m xmH E
dx x p i dxd m x x E xm dx
x dx
2 22 2
2
1/ 4 2
12 2
1 exp22 !
1 0,1,2,...2
n nn
n
d m x Em dx
m m m xx H xn
E n n
, 1 , 1
, 1 , 1
ˆ 12y
ˆ 12
n m n m
n m n m
n x m m mm
mn p m i m m
1/ 4 21 exp
22 !n nn
m m m xx H xn
, 1 , 1ˆ 12donde
ˆ
n m n m
n m
n x m m mm
n x m x x x dx
1/ 4 21 exp
22 !n nn
m m m xx H xn
, 1 , 1ˆ 12donde
ˆ
n m n m
n m
mn p m i m m
dn p m i x x dxdx
1/ 4 21 exp
22 !n nn
m m m xx H xn
0 1 0 0 0
1 0 2 0 0
0 2 0 3 020 0 3 0 4
x
, 1 , 1ˆ 12 n m n mn x m m mm
0 1 0 0 0
1 0 2 0 0
0 2 0 3 020 0 3 0 4
pi
, 1 , 1ˆ 12 n m n mmn p m i m m
, 1 , 1 , 1 , 1
, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1
, 2 , , , 2
,
ˆ ˆ
1 12 2
1 1 1 1 12
1 1 1 1 1 1 12
1 2 12
m
n m n m m l m lm
n m m l n m m l n m m l n m m lm
n l n l n l n l
n l
n x m m p l
mi m m l lm
i m l m l m l m l
i l l l l l l l l
i l l
, 2 , 21n l n ll l
ˆˆxp
, 1 , 1 , 1 , 1
, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1
, 2 , , , 2
,
ˆ ˆ
1 12 2
1 1 1 1 12
1 2 1 1 1 12
1 2 12
m
n m n m m l m lm
n m m l n m m l n m m l n m m lm
n l n l n l n l
n l n
n p m m x l
mi m m l lm
i m l m l m l m l
i l l l l l l l l
i l l
, 2 , 21l n ll l
ˆ ˆpx
, , 2 , 2
, , 2 , 2
1ˆ ˆ 2 1 121ˆ ˆ 2 1 12
n l n l n lm
n l n l n lm
n x m m p l i l l l l
n p m m x l i l l l l
,ˆ ˆ, n ln x p l i
1 0 2 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 2 3 01 0 2 0 0 1 0 2 0 0
2 0 1 0 3 40 2 0 3 0 0 2 0 3 0
0 2 3 0 1 00 0 3 0 4 0 0 3 0 4
0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 2 0 0 1 0
0 2 0 3 0
0 0 3 0 4
1 0 2 0 0
2 0 0 0 1 0 2 3 0
0 2 0 3 0 2 0 1 0 3 4
0 0 3 0 4 0 2 3 0 1 0
1 0 2 0 0 11 0 2 0 00 1 0 2 3 0 1
0 1 0 2 3 012 0 1 0 3 4 22 0 1 0 3 4
0 2 3 0 1 00 2 3 0 1 0
0
11
1
22 ii
Si al instante de efectuar una mediciónel vector de estado del sistema es unode los vectores propios del observablemedido entonces el resultado de lamedición será necesariamente unode los correspondientes valores propios.
En el caso general la medición de unobservable físico no da con certeza unvalor definido. Cualquiera de los posibles valorespropios puede ser obtenido, pero condiferentes probabilidades.
El valor esperado del resultado de lamedición de está dado por la expresión
,,
En el caso general la medición de un observable físico no dacon certeza un valor definido. Cualquiera de los posibles valorespropios puede ser obtenido, pero con diferentes probabilidades.
,,
1) El valor esperado no es un operador.
2) El valor esperado es un número real, ya queˆel operador es un operador hermitiano.
3) El valor esperado no tiene porque coincidircon alguno de los valores pr
opios.
Si el sistema está en el estado propio ,entonces
, , ,, , ,
y
i i i i i i ii i
i i i i i i
i
i
,,
,,
*
,*
,
2* *
, ,* * 2
, ,
,,
,,
,
,
i k i ki i k ki ki k
i k i ki i k k i k
i k
i k k i k i k k ik i ii k i k i
i k i k i k ik ii k i k i
c cc c
c cc c
c c c c c
c c c c c
2
2
i ii
ii
c
c
222
Por lo tanto,
,i i i iw c
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