male oscilacije ekstremi funkcije jedne - phy.pmf.unizg.hr · male oscilacije ekstremi funkcija...

Male oscilacije

Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

Ekstremi funkcije dvijevarijable

Ekstremi funkcije viševarijabli

Uvjeti ravnoteže

Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

Sustavi s više stupnjevaslobode

Ekstremi funkcije jednevarijable

• maksimum funkcije y = f (x) je vrijednost f (x0)za koju vrijedi

f (x0 + h) < f (x0) (1)

za po volji male vrijednosti h• minimum funkcije y = f (x) je vrijednost f (x0) za

koju vrijedif (x0 + h) > f (x0) (2)

za po volji male vrijednosti h

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• neprekinuta funkcija može imati ekstrem samo utockama u kojima prva derivacija išcezava iliuopce ne postoji

• kod traženja ekstrema funkcije prvo trebamonaci tocke x0 u kojima vrijedi

f ′(x0) = 0

• vrstu ekstrema možemo odrediti racunajuci višederivacije

• ako je f ′′(x0) < 0 tocka x0 je maksimum• ako je f ′′(x0) > 0 tocka x0 je minimum• ako je f ′′(x0) = 0 racunamo više derivacije• ako je red prve derivacije razlicite od nula

neparan funkcija nema ni minimum nimaksimum

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• ako je red prve derivacije razlicite od nula parani derivacija je pritom negativna funkcija imamaksimum

• ako je red prve derivacije razlicite od nulaneparan i derivacija je pritom pozitivna funkcijaima minimum

Primjer 1: f (x) = x2

yy = x2 • 1. derivacija: f ′(x) = 2x

• nultocka 1. derivacije:x0 = 0

• 2. derivacija: f ′′(x0) = 2 jepozitivna pa funkcija imaminimum

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

Primjer 2: f (x) = −x2

y = −x2

• 1. derivacija: f ′(x) = −2x• nultocka 1. derivacije:

x0 = 0• 2. derivacija: f ′′(x0) = −2 je

negativna pa funkcija imamaksimum

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

Primjer 3: f (x) = x3

y = x3

• 1. derivacija: f ′(x) = 3x2

• nultocka 1. derivacije:x0 = 0

• 2. derivacija: f ′′(x0) = 0• 3. derivacija: f ′′′(x0) = 6

• prva derivacija razlicita od nule ima neparni red(3. derivacija)

• funkcija nema ni minimum ni maksimum, negotocku infleksije

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• funkcija z = f (x , y) ima ekstrem u tockiP0 = (x0, y0) ako možemo naci ǫ takav dapodrucje

x0 − ǫ < x < x0 + ǫ i y0 − ǫ < y < y0 + ǫ

ulazi u podrucje definicije funkcije i pri tomevrijedi

f (x , y) < f (x0, y0) u slucaju maksimuma (3)

f (x , y) > f (x0, y0) u slucaju minimuma (4)

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• nužni uvjet postojanja ekstrema u tockiP0 = (x0, y0)

∂f∂x

= 0 i∂f∂y

= 0 (5)

• prvi korak u traženju ekstrema je rješavanjesustava jednadžbi (5)

• vrstu ekstrema možemo odrediti na sljedecinacin

• dobivena rješenja uvrstimo u Hessian

∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂y∂x

∂2f∂y2

• ako je Hessian negativan funkcija nema nimaksimum ni minimum

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• ako je Hessian pozitivan tada funkcija ima

• maksimum ako vrijedi∂2f∂x2 < 0

• minimum ako vrijedi∂2f∂x2 > 0

• ako je Hessian jednak nuli, moramo koristitisloženije metode provjere vrste ekstrema

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

Primjer 1: f (x , y) = x2 + y2

• prve derivacije išcezavaju u tocki (0, 0)

• Hessian u istoj tocki iznosi 4• osim toga vrijedi ∂2

x f∣

(0,0)= 2

• funkcija ima minimum

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

Primjer 2: f (x , y) = −x2 − y2

• Hessian u istoj tocki iznosi 4• osim toga vrijedi ∂2

x f∣

(0,0)= −2

• funkcija ima maksimum

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

Primjer 3: f (x , y) = x2 − y2

• Hessian u istoj tocki iznosi −4• funkcija nema ni minimum ni maksimum, nego

sedlenu tocku

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• da bi diferencijabilna funkcija f (x1, x2, . . . , xn)imala ekstrem u tocki T mora vrijediti

∂f∂x1

= 0 ,∂f∂x2

= 0 , . . . ,∂f∂xn

= 0 (7)

• tocku T zovemo stacionarna tocka• prirodu stacionarne tocke provjeravamo

racunajuci Hessian• elementi Hessiana

aij =∂2f

∂xi∂xj

, i , j = 1, . . . , n (8)

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• Hessian napisan u obliku matrice

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann

, aij =∂2f

∂xi∂xj

(9)• funkcija f ima minimum u tocki T ako vrijedi

a11 > 0,

a11 a12

a21 a22

> 0, . . . (10)

• sve minore moraju biti pozitivne∣

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k...

......

...ak1 ak2 · · · akk

> 0, k ≤ n (11)

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• funkcija f ima maksimum u tocki T ako vrijedi

a11 < 0,

a11 a12

a21 a22

> 0, . . . (12)

• minore naizmjenicno mijenjaju predznak

(−1)k

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k...

......

...ak1 ak2 · · · akk

> 0, k ≤ n (13)

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• promatramo sustav opisan Lagrangianom

aij(q1, . . . , qn)qi qj −U(q1, . . . , qn) (14)

• E-L jednadžba za k−ti stupanj slobode

∂L∂qk

−∂L∂qk

= 0 (15)

• koeficijenti aik su simetricni (aik = aki )

∂L∂qk

akj(q)qj +∑

aik (q)qi

akj(q)qj

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• deriviramo prethodni izraz po vremenu

∂L∂qk

akj(q)qj +∑

∂akj(q)

∂qiqi qj (16)

• druga derivacija potrebna za E-L jednadžbu

∂L∂qk

∂aij(q)

∂qkqi qj −

∂U(q)

∂qk(17)

• E-L jednadžba za k-ti stupanj slobode

akj qj +∑

∂akj

∂qiqj qi −

∂aij(q)

∂qkqi qj

+∂U(q)

∂qk= 0 (18)

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• da bi sistem mirovao u tocki konfiguracionogprostora

q(0) =(

q(0)1 , . . . q(0)

mora vrijediti

qi = q(0)i , qi = 0, qi = 0, ,

...q i = 0, . . . (20)

• uvrstimo uvjete (20) u E-L jednadžbu (18)

=⇒∂U(q1, . . . , qn)

q=q(0)

= 0 i = 1, . . . , n

(21)• tocke ravnoteže se poklapaju s ekstremima

potencijala

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

Linearizacija-sustavi sjednim stupnjem slobode

• promatramo mala odstupanja od tockeravnoteže q0

• Taylorov razvoj potencijala

U = U(q0)+∂U∂q

(q−q0)+12

∂2U∂q2

(q−q0)2+· · ·

(22)• prvi clan možemo ignorirati jer je potencijal

definiran do na konstantu• drugi clan išcezava jer smo u tocki ravnoteže

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• koristimo oznake

k ≡∂2U(q)

i x = q − q0 (23)

• potencijal možemo napisati u obliku

U(q) ≈ U(q0) +12

kx2 (24)

• kineticka energija sustava

a(q)q2 =12

a(q)x2 (25)

• x je mala velicina pa u Taylorovom razvojukoeficijenta a(q) trebamo zadržati samo nulticlan

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• kineticka energija u blizini tocke ravnoteže

a(q0)x2 =12

mx2 (26)

gdje je m ≡ a(q0)

• Lagrangian malih oscilacija

Ls.o. =12

mx2 −12

kx2 (27)

• E-L jednadžba

mx + kx = 0 =⇒ x + ω2x = 0 (28)

gdje je kutna frekvencija

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• jednadžba gibanja je linearna diferencijalnajednadžba drugog reda

• opce rješenje je linearna kombinacija dvalinearno nezavisna rješenja

x(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt (30)

• slobodni parametri C1 i C2 odredeni su pocetnimuvjetima

x(t = 0) = x0 i x(t = 0) = x0 (31)

• rješenje (30) možemo napisati u obliku

x = A cos (ωt + φ) (32)

A =√

C21 + C2

2 i φ = arctan(

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• koeficijent A odreduje amplitudu titranja, akoeficijent φ fazu

• ako promatramo gibanja u blizini tocke stabilneravnoteže (minimum potencijala) koeficijent k urazvoju je pozitivan

• kutna frekvencija ω je realna pa rješenje (30)zaista opisuje oscilacije

• ako promatramo gibanja u blizini tockenestabilne ravnoteže (maksimum potencijala)koeficijent k u razvoju je negativan

• kutna frekvencija ω je imaginarna pa rješenje(30) ne opisuje oscilacije, nego udaljavanje odtocke ravnoteže (hiperbolne funkcije)

• svojstvo nestabilne ravnoteže: po volji malipomak je dovoljan da se sustav sasvim udalji odte tocke

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

Primjer: matematicko njihalo• promatramo matematicko njihalo koje se giba u

ravnini

• kineticka energija

l2θ2 (34)

• potencijalna energija

U = −mgl cos θ (35)

• Lagrangian njihala

l2θ2 + mgl cos θ (36)

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• tocke ravnotež slijede iz

∂U∂θ

= 0 =⇒ sin θ = 0 (37)

• uvjet ravnoteže ispunjavaju dvije tocke

θst = 0 i θnest = π (38)

• stabilna tocka ravnoteže: θst = 0

Razvoj potencijala:

U(θ) = −mgl cos θ

= −mgl(

1 −12θ2

= −mgl +12

mglθ2 (39)

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• pomak njihala od tocke stabilne ravnoteže

lθ = x =⇒ l θ = x (40)

Lst. =12

mx2 −gml

• nestabilna tocka ravnoteže: θst = π

π − θ

Razvoj potencijala:

U(θ) = −mgl cos [π + (θ − π)]

= mgl cos [π − θ]

= mgl −12

mgl (π − θ)2

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• pomak njihala od tocke stabilne ravnoteže

l(π − θ) = x =⇒ −l θ = x (43)

Lnest. =12

mx2 +gml

• oba Lagrangiana se poklapaju s opcenitimLagrangianom malih oscilacija (27) akodefiniramo

kst. =gml

i knest. = −gml

• kutne frekvencije

ωst. =

i ωnest. =

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

stabilna tocka ravnoteže: θst. = 0• kutna frekvencija ωst. je realna pa njihalo uvijek

ostaje u blizini tocke ravnoteže• mali pomak sistema od stabilne tocke ravnoteže

uzrokuje male oscilacije oko tocke ravnoteže

nestabilna tocka ravnoteže: θnest. = π

• kutna frekvencija ωnest. je imaginarna pa surješenja zapravo hiperbolne, a ne oscilatornefunkcije

• mali pomak, pa makar i infinitezimalan, sistemaod nestabilne tocke ravnoteže nakon dovoljnodugo vremena vodi do potpunog udaljavanjasistema od te tocke

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

kineticka energija

• pretpostavimo da sustav s n stupnjeva slobodeopisan Lagrangianom

aik(q)qi qk − U(q) (47)

ima tocku ravnoteže

q01 , q0

2 , . . . , q0n

• generalizirani pomak za i − ti stupanj slobode

xi = qi − q0i (49)

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

razvoj potencijala

• potencijalna energija u blizini tocke ravnoteže

V (q) = V (q0) +12

kijxixj (50)

razvoj kineticke energije

• kineticka energija u blizini tocke ravnoteže

mij xi xj (51)

• koeficijenti u prethodne dvije jednadžbe susimetricni

kij = kji i mij = mji (52)

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• konstantni clan V (q0) u potencijalnoj energiji(50) možemo ignorirati

• Lagrangian sustava u blizini tocke ravnoteže

[mij xi xj − kijxixj ] (53)

• E-L jednadžba za k−ti stupanj slobode

∂L∂xk

−∂L∂xk

= 0 (54)

• racunamo derivacije potrebne za E-L jednadžbu

∂L∂xk

[mijδik xj + mij xiδjk ]

mkj xj +∑

mik xi

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• iskoristimo simetricnost koeficijenata mij = mji

∂L∂xk

mkj xj +∑

mkj xi

• indeks sumacije druge sume u jedn. (56)možemo preimenovati i → j

∂L∂xk

mkj xj (57)

• jednakim postupkom dolazimo do

∂L∂xk

kkjxj (58)

Male oscilacije

Uvjeti ravnoteže

• E-L jednadžba za k -ti stupanj slobode

[mkj xj + kkjxj ] = 0 , k = 1, . . . , n (59)

• došli smo do sustava od n linearnih homogenihjednadžbi drugog stupnja s konstantnimkoeficijentima

Male oscilacijepovratak

• kineticku energiju za sustav od p cestica uvijekmožemo napisati u Kartezijevom sustavu

x2i + y2

i + z2i

• pretpostavimo da cijeli sustav možemo opisati sn nezavisnih generaliziranih koordinata tako davrijedi

xi = xi(q1, . . . , qn) (61)

yi = yi(q1, . . . , qn) (62)

zi = zi(q1, . . . , qn) (63)

• pritom smo se ogranicili na transformacije kojene ovise eksplicitno o vremenu

Male oscilacije• komponente brzine u Kartezijevom sustavu

∂qkqk =⇒ x2

k ,j=1

∂qjqk qj (64)

∂qkqk =⇒ y2

k ,j=1

∂qjqk qj (65)

∂qkqk =⇒ z2

k ,j=1

∂qjqk qj (66)

• kineticka energija sustava

k ,j=1

∂qj+

+∂zi

Male oscilacije• promjenimo poredak sumacije u prethodnoj

jednadžbi

k ,j=1

∂qj+

+∂zi

• definiramo koeficijente

akj(q) =

∂qj+

(69)koji su simetricni

akj(q) = ajk(q) (70)

Male oscilacije• kineticka energija se svela na sljedecu

kvadratnu formu

i ,j=1

aij(q)qi qj (71)

• Taylorov razvoj funkcije od n varijabli oko tocke{q0

1 , . . . , q0n}

V (q1, . . . , qn) = V (q01 , . . . , q0

∂V∂qi

(qi − q0i )

i ,j=1

∂2V∂qi∂qj

(qi − q0i )(qj − q0

i ,j ,k=1

∂3V∂qi∂qj∂qk

× (qi − q0i )(qj − q0

j )(qk − q0k ) + · · ·

Male oscilacije• koristimo oznaku: xi ≡ qi − q0

• ako je q0 tocka ravnoteže linearni clanoviišcezavaju

∂V∂qi

= 0 (73)

• u harmonickoj aproksimaciji se zadržavamo nakvadraticnim clanovima

• definiramo koeficijente

kij ≡∂2V

∂qi∂qj

koji su ocito simetricni kij = kji

• potencijal možemo napisati u sljedecem obliku

V (q) = V (q0) +12

i ,j=1

kijxixj (75)

• kineticku energiju smo napisali u obliku

i ,j=1

aij(q)qi qj (76)

• tražimo razvoj kineticke energije oko tockeravnoteže {q0

1 , . . . , q0n}

• pomak od ravnoteže

xi ≡ qi − q0i =⇒ xi = qi (77)

• uvrstimo qi u kineticku energiju

i ,j=1

aij(q)xi xj (78)

Male oscilacije• u harmonickoj aproksimaciji se zadržavamo na

kvadraticnim clanovima malih velicina• xi su vec male velicine pa u Taylorovom razvoju

koeficijenata aij(q) stanemo na nultom clanu• definiramo koeficijente

mij = aij(q0) (79)

koji su ocito simetricni• kineticka energija blizu tocke ravnoteže

i ,j=1

mij xi xj (80)

male oscilacije ekstremi funkcije jedne - phy.pmf.unizg.hr · male oscilacije ekstremi funkcija...

Documents

utovarivac oscilacije

oscilacije dinamika

04 ekstremi funkcija dviju promjenjivih uslovni ekstremi...

ispitivanje funkcija racionalne funkcije eksponencijalne...

2.4. oscilacije

fizika oscilacije

oscilacije 2008

2. naraščanje in padanje, ekstremi -...

brojaČke funkcije ili statistiČke funkcije

bitrak.org i zadaci.pdf · 2012-10-18 · g co u...

dinamika i oscilacije-dolecek

oscilacije mehaničkih sustava

meteorološki i atmosferski fenomeni i ekstremi

funkcije · • osnovne elementarne funkcije su: a)...

oscilacije-i-talasi (1)

2. ekstremi - graficki...

meteorološki ekstremi u posljednja dva tjedna donijeli su...

oscilacije elasticnih tela

male oscilacije -...

oscilacije i talasi