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Magnetostatica 36 giugno 2011
Momento agente su un ago magneticoForza agente su una spiraMomento di forza agente su una spiraMomento magnetico di dipoloEnergia potenziale di una spiraTeorema di equivalenza di AmpèreFlusso del campo BSorgenti del campo B
Momento agente su un ago in un campo B
• Abbiamo visto che un ago magnetico in un campo B è soggetto ad una coppia il cui momento può essere misurato
• Abbiamo introdotto il momento magnetico m dell’ago• m è tale che quando l’ago è posto in un campo B, la
coppia risultante ha momento meccanico
• E l’energia dell’ago nel campo esterno è, analogamente al caso elettrico,
• Vediamo ora cosa accade per un a spira percorsa da corrente
Bm
BmE
2
Forza agente su una spira in un campo B uniforme
• Spira rettangolare (per semplicità) che possa ruotare intorno ad un asse (x) perp. a B, disposto lungo z
• Lati perp. all’asse di rotazione: – Sul lato AD (lunghezza h) agisce la forza
– Su BC la stessa forza con segno opposto– Le forze sui due lati sono uguali ed opposte
• Lati paralleli all’asse: – Sul lato AB (lunghezza b) agisce la forza
– Su DC la stessa forza con segno opposto– Le forze sui due lati sono uguali ed opposte
iBIhiIhBF ˆcosˆ2sin
jIbBF ˆ
z
y
n
x X
B
B
B
x
y
z
n
O
D
A
C
h
b
3
Momento agente su una spira in un campo B uniforme
• Lati perpendicolari all’asse di rotazione• Possiamo considerare il momento della forza
risultante invece che il risultante dei momenti• Le due forze sui lati AD, BC sono uguali,
opposte e hanno la stessa linea d’azione, quindi il momento totale è nullo
B
B
x
y
z
n
O
D
A
C
h
b 4
Momento agente su una spira in un campo B uniforme
• Lati paralleli all’asse di rotazione• Di nuovo possiamo considerare il momento
della forza risultante invece che il risultante dei momenti
• Le due forze risultanti sui lati AB, DC sono uguali, opposte e hanno braccio
• quindi hanno momento
sinh
BnIA
iIABiIbBh
ˆ
ˆsinˆsin
z
y
n
x X
B
5
Momento magnetico di una spira
• Definiamo momento magnetico di una spira piana di forma arbitraria (o momento di dipolo magnetico), il vettore– A: area della spira– I: corrente circolante– n: versore normale alla spira
• Il momento meccanico in un campo B può venir espresso nella stessa forma che per un ago magnetico
nIAm ˆ
Bm
6
Energia potenziale di una spira
• Scegliamo come zero dell’energia• U e` l’opposto del lavoro per andare da a
2
2LU
cos
sin222
mB
dmBdBmL
BmmBU cos
2
7
Sorgenti del campo B
• Ampère intui’ che il magnetismo di un magnete altro non e` che l’effetto di correnti microscopiche all’interno della materia
• Le sorgenti del campo magnetico non sono quindi le cariche magnetiche, ma le correnti elettriche
8
Teorema di equivalenza di Ampère
• Questa intuizione e` suffragata dal teorema di equivalenza tra un magnete ed una spira
1) le azioni meccaniche esercitate da un campo B su di un magnete o su di una spira di ugual momento magnetico, sono uguali
2) a grande distanza il campo B di dipolo generato da una spira è uguale a quello di un magnete
9
Teorema di equivalenza di Ampère
• Abbiamo dimostrato la prima parte: le azioni di un campo esterno B su un ago e una spira sono uguali, purché tra il momento dell’ago, la corrente e l’area della spira valga la relazione
• Procediamo ora con la seconda parte
agospira mnIAm ˆ
10
Teorema di equivalenza di Ampère
• Calcoliamo il campo magnetico prodotto da una spira (raggio R e corrente i) a grande distanza r0 mediante la formula di Laplace
11
r0 r
3r
rldkiB
R
r
r 0
R
Teorema di equivalenza di Ampère
• Scriviamo le componenti cartesiane dei vettori R, dl, r0 e r
12
R dl
R
RcosRsin0
dl
dlsindlcos0
r 0
r0 sincosr0 sinsin
r0 cos
r0
r
r0 sincos Rcosr0 sinsin Rsin
r0 cos
Teorema di equivalenza di Ampère
• Calcoliamo il prodotto esterno ed sviluppiamo r al denominatore al primo ordine in R/r0
• Posto che l’integrale del campo diviene13
dl
r dl
r0 cos cosr0 sin cos
r0 sincos R
1
r31
r03 1 3
R
r0sincos
O2
R
r0
dl Rd
Teorema di equivalenza di Ampère
•
14
B ki
1
r03 1 3
R
r0sincos
r0 cos cosr0 sin cos
r0 sincos R
Rd
0
2
kiR
r02 1 3
R
r0sincos
cos cossin cos
sincos R r0
d
0
2
Teorema di equivalenza di Ampère
• Componente x:
• Similmente per la componente y:
15
Bx kiR
r02 1 3
R
r0sincos
cos cosd
0
2
kiR
r02 cos cosd
0
2
3R
r0sincos cos cosd
0
2
kiR
r02 3
R
r0sincos coscos sinsin cosd
0
2
3kiR2
r03 sincoscos cos2 d
0
2
3kiR2
r03 sincoscos
By 3kiR2
r03 sincossin
Teorema di equivalenza di Ampère
• Componente z:
16
Bz kiR
r02 1 3
R
r0sincos
sincos
R
r0
d
0
2
kiR
r02 sincos
R
r0
d
0
2
3R
r0sin2cos2 d
0
2
kiR
r02 sin cos d
0
2
R
r0d
0
2
3R
r0sin2cos2 d
0
2
kiR2
r03 2 3sin2 cos2 d
0
2
kiR2
r03 2 3 sin2
kiR2
r03 3cos
2 1
Teorema di equivalenza di Ampère
• Posto m=iR2, momento magnetico della spira, in coordinate cartesiane il campo risulta
• In coordinate cilindriche
17
B k
m
r03
3sincoscos3sincossin3cos2 1
B k
m
r03
3sincos0
3cos2 1
04
m
r03
3sincos0
3cos2 1
Teorema di equivalenza di Ampère
• In coordinate sferiche, infine
• Che è esattamente uguale al campo magnetico di un magnete, e che è a sua volta uguale al campo elettrico di un dipolo elettrico a grandi distanze
18
0
sin
cos2
4 3
0
0
r
mB
0
sin
cos2
4
13
00 r
pE
Flusso del campo B• Per il principio di sovrapposizione il campo B si
può pensare come somma dei campi dovuti ai singoli portatori
• Il flusso sarà
• Basta quindi considerare il flusso di un singolo portatore, il cui campo è
30
4 r
rvqb
N
jjbB
1
N
jj
N
j S
j
S
SbAdbAdBSB11
||
19
Flusso del campo B• Per quanto detto sulla legge di Gauss,
possiamo limitarci a calcolare il flusso attraverso una sfera con centro nella carica in moto
• Le linee di b sono tangenti alla superficie sferica, quindi il flusso di b, e di conseguenza quello del campo totale B sono nulli
• Cioè abbiamo la 3° equazione dell’em
SS
Adr
rvqAdbSb
3
0
4|
0S
AdB
20
Sorgenti del campo B
• Se confrontiamo questo risultato con il caso elettrico possiamo affermare che l’annullamento del flusso di B stabilisce la non esistenza di cariche magnetiche
0
int
)|(
totQSE
0)|( SB
21
Forma differenziale della legge di assenza di carica magnetica
• L’annullamento del flusso e della divergenza sono due aspetti della stessa cosa
• Applichiamo il teorema della divergenza all’integrale del flusso
• Ne segue che l’integrando nell’ultimo membro dev’essere nullo ovunque
VS
dVBadB
0
0 B
22
Potenziale magnetico
• Abbiamo visto che ad un campo E si puo` associare un potenziale scalare V
• E` possibile fare una cosa analoga per il campo B?
• La risposta e` no
• E` invece possibile associare un potenziale vettore A
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Potenziali e.m.• Questo deriva formalmente dalle diverse proprieta` dei
campi• Per il campo E e` sempre verificato• Per cui si puo` scrivere• In quanto la rotazione di un gradiente e` identicamente
nulla• Per il campo B abbiamo invece• Non si puo` esprimere B come gradiente di un campo
scalare, in quanto la divergenza di un gradiente non e` necessariamente nulla
• E` pero` possibile esprimere B come rotazione di un campo vettoriale:
• in quanto la divergenza di una rotazione e` identicamente nulla
0 E
VE
0 B
AB
24
Potenziali e.m.
• Verifichiamo questa affermazione
0 AB
0222222
yz
A
xz
A
xy
A
zy
A
zx
A
yx
A
y
A
x
A
zx
A
z
A
yz
A
y
A
xz
B
y
B
x
B
xyzxyz
xyzxyzzyx
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