ma1201 matematika 2a - … · 11.5 fungsi bernilai vektor dan gerak sepanjang kurva 11.6 garis dan...

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

3 Maret 2017

Kuliah yang Lalu

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang

10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang

11.8 Permukaan di Ruang

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari Ini

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang

10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang

11.8 Permukaan di Ruang

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 3

11.1 SISTEM KOORDINATCARTESIUS DI R3

MA1201 MATEMATIKA 2A

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 4

• Memahami sistem koordinat Cartesiusdi R3

• Mengenali dan menggambar grafik per-samaan di R3

Apa yang Akan Dipelajari

Kelak kita akan membahas vektor di bidang(R2) dan di ruang (R3), dan setelah itu kitaakan membahas pula fungsi bernilai vektor.

Sistem koordinat Cartesius (dan polar) di R2

telah kita pelajari sebelumnya.

Sekarang kita akan mempelajari sistemkoordinat Cartesius di R3.

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 5

Sistem Koordinat Cartesius di R3

Sistem Koordinat Cartesiusdi R3 terdiri dari 3 sumbuyang saling tegak lurus danberpotongan di titik O, yang kemudian disebut sebagaititik asal. Ketiga sumbu tsbbiasanya disebut sebagaisumbu-x, sumbu-y, dansumbu-z, dan membagiruang menjadi 8 oktan.3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 6

x (pos.)

y (pos)

z (pos)

O

Sistem Koordinat Cartesius di R3

Setiap titik P di R3 dinyata-kan sebagai koordinatP(x,y,z), seperti pd gambar.

Jarak antara 2 titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) diberikanoleh rumus|PQ| =

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 7

x

y

z

O

P

.)()()( 2

12

2

12

2

12 zzyyxx

Persamaan Bola, Bidang, dan Garis

1. Persamaan bola yang berpusat di P(a,b,c) danberjari-jari R adalah

2. Persamaan umum bidang di R3 adalah

3. Persamaan

menyatakan garis lurus yang melalui T(a,b,c) dan searah dengan vektor (p,q,r).

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 8

.)()()( 2222 Rczbyax

.0, 222 CBADCzByAx

r

cz

q

by

p

ax

Contoh: Menggambar Bidang di R3

Gambarlah bidang yang memiliki persamaan

Jawab: Bidang melaluititik P(6,0,0), Q(0,3,0), dan R(0,0,2).

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 9

.632 zyx

x

y

z

O

P

Q

R

Soal

Gambarlah bidang di R3 yg memiliki persamaan

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 10

.1232 zx

11.2-4 VEKTOR, HASILKALI TITIK, DAN HASILKALI SILANG

MA1201 MATEMATIKA 2A

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 11

• Memahami sifat-sifat vektor di R2 dan R3

• Menghitung jumlah dua vektor, hasilkalivektor dengan skalar, dan besar vektor

• Menghitung hasilkali titik dan hasilkalisilang dua vektor, dan mengetahui sifat-sifatnya

Apa dan Mengapa Vektor

Kuantitas panjang, massa, dan waktumerupakan skalar, yang dapat dinyatakandengan sebuah bilangan.

Kuantitas fisis lainnya seperti kecepatan dangaya tidak hanya mempunyai panjang ataubesar (magnitude) tetapi juga arah.

Besaran atau kuantitas tsb dikenal sebagaivektor. Pemahaman tentang vektor jugadiperlukan untuk mempelajari fungsi denganbanyak peubah. 3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 12

Vektor: Pendekatan Geometri

Secara geometri, vektor dinyatakan sebagai anakpanah, yang mempunyai titik awal (ekor) dantitik akhir (kepala), dan dituliskan dengan huruftebal misalnya u atau v.

Dua vektor dikatakan sama atau setara apabilakedua vektor tsb mempunyai panjang dan arahyang sama. Sbg contoh, u dan v di atas setara.3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 13

ekor

kepala

u v

Penjumlahan Dua Vektor

Diberikan dua vektor, kita dapat menghitungjumlahnya dengan dua cara:

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 14

uv

u + v

Cara Segitiga

u

v

u + v

Cara Jajargenjang

Perkalian dengan Skalar

Kita juga dapat mengalikan vektor dgn skalar:

Selisih dua vektor, u – v, dimaknai sebagaihasil operasi u + (-1)v.

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 15

u 2u

Vektor: Pendekatan Aljabar

Di R2: vektor u dinyatakansebagai pasangan terurut(u1,u2). [Dalam hal ini, ekorvektor u adalah O(0,0) dankepalanya adalah (u1,u2).]

Di R3: vektor u dinyatakansebagai tripel (u1,u2,u3).

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 16

(u1,u2)

O

(u1,u2,u3)

O

Perkalian dengan Skalar danPenjumlahan

Di R2: Jika u = (u1,u2), v = (v1,v2), dan c ϵ R, maka

c u := (cu1,cu2)

u + v := (u1+v1,u2+v2)

Di R3: Jika u = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3), dan c ϵ R, maka

c u := (cu1,cu2,cu3)

u + v := (u1+v1,u2+v2,u3+v3)

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 17

Vektor Basis

Di R2: vektor i = (1,0) dan j = (0,1) disebutsebagai vektor basis (baku). Vektor u dapatdituliskan sebagai

u = (u1,u2) = u1i + u2j.

Di R3: vektor i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) merupakan vektor basis (baku).

u = (u1,u2,u3) = u1i + u2j + u3k.

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 18

Besar atau Panjang Vektor

Di R2:

Di R3:

Catatan. Vektor yang panjangnya sama dengan 1 disebut vektor satuan.

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 19

.2

3

2

2

2

1 uuuu

.2

2

2

1 uuu

Teorema (Sifat Aljabar Vektor)

1. u + v = v + u

2. (u + v) + w = u + (v + w)

3. u + 0 = 0 + u = u

4. u + (-u) = 0

9.

5. a(bu) = (ab)u

6. a(u + v) = au + av

7. (a + b)u = au + bu

8. 1u = u

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 20

.uaua

Hasilkali Titik

Di R2:

Di R3:

Catatan:

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 21

.: 2211 vuvuvu

.: 332211 vuvuvuvu

.2

uuu

Sifat Hasilkali Titik

1.

2.

3.

4.

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 22

uvvu

wuvuwvu )(

vucvuc )()(

00 v

Teorema

Jika θ adalah sudut tak negatif antara duavector tak nol u dan v, maka

Definisi: Dua vektor u dan v tegak lurus jika danhanya jika

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 23

.cosvuvu

.0vu

Hasilkali Silang di R3

Definisi: Hasil kali silang antara u dan v adalah

u x v := (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1)

Dapat diperiksa bahwa u x v = –(v x u).

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 24

.

321

321

vvv

uuu

kji

Sifat Hasilkali Silang

1.

yakni u x v tegak lurus pada u dan v.

2. u, v, dan u x v membentuk tripel tangankanan.

3.

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 25

).(0)( vuvvuu

.sinvuvu

Sifat Hasilkali Silang

1.

2.

3.

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 26

.)( wuvuwvu

).()()( vkuvukvuk

).()( wvuwvu

Soal

Buktikan bahwa: i x j = k, j x k = i, k x i = j.

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 27