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1
Estudo sobre as Séries de FourierIsabela Florindo Pinheiro1, Jaguarê Smith Gonzaga Filho2 e Douglas Kirk3
1UFF, Niterói – RJ, Brasil. isabelamusic@hotmail.com2UFF, Niterói – RJ, Brasil. jaguar_gonzaga @hotmail.com
3UFF, Niterói – RJ, Brasil. Kirkdoug89@yahoo.com
ResumoSérie é, em matemática, a soma dos termos que formam uma seqüência (conjunto de
números dispostos numa certa ordem). Uma série pode ser finita, se tem um número determinado de termos ou infinita quando é impossível contar seu número de termos. Costuma-se usar a letra sigma (∑) para indicar a soma dos termos da série. Por exemplo, a série a1 + a2 + a3 + ... + an
+ ... pode ser representada por ∑ ou simplesmente ∑ an .Algumas séries matemáticas que encontram vasta aplicação científica receberam o nome
dos matemáticos que as desenvolveram. É o caso das séries de Fourier, nomeadas em honra de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que dentro da tradição inaugurada por Galileu e Newton, usou a observação experimental e a matemática aplicada a problemas físicos. Em sua obra mais notável, Théorie analytique de la chaleur (1822; Teoria analítica do calor), demonstrou que a condução do calor em corpos sólidos pode ser expressa por séries matemáticas infinitas. As séries de Fourier assim obtidas aplicam-se a grande número de problemas físicos e matemáticos, inclusive como base das operações em mecânica quântica.
Sendo assim, as séries de Fourier ilustram como a solução de um problema físico acaba gerando novas fronteiras na matemática. Com o desenvolvimento dessas séries, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos.
Séries de Fourier
1– Funções Periódicas
Uma função f(x) é dita periódica com um período T se f(x + T) = f(x) para qualquer x. Do que decorre que f(x + nT) = f(x) para n inteiro n = 0, ±1, ±2, ±3, ...
Exemplos: a) Se f(x) = tan(x), temos que tan(x + π) = tan(x). Logo, T = π.
b) Achar o período da função f(x) = sen nx.Se a função for periódicasen n(x + T) = sen nxsennx.cosnT + sennT.cosnx = sen nx
cos nT = 1 cos nT = cos(2π) T = 2 πn
sen nT = 0 sen nT = sen(2π)
2
Logo ,T=2 πn
OBS: Se duas funções g(x) e h(x) possuírem período T, então a função f(x) = a.g(x) + b.h(x) é periódica com período T.
2- Série Trigonométrica
É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da Variável Independente (x) por coeficiente, que não dependem da variável (x) e são admitidos reais. Sendo a variável x real, sen(nx) e cos(nx) são então limitadas e a série convergirá sob condições bem fracas impostas a ane bn .
12
a0+a1cos (x )+a2 cos(2 x)+...+b1 sen(x )+b2 sen(2x )+...
Ou 12
a0+∑n=1
∞
an cos (nx )+bn sen (nx )
Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma função variável independente e como os termos da série são trigonométricas, funções periódicas de período (2π), a soma S(x) será uma função periódica de período (2π). De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento (2π), por exemplo: (-π, π) ou (0, 2π).
As funções periódicas de interesse podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica.
Se a série trigonométrica converge (uniformemente ou não), ela representa então uma certa função f(x), e podemos escrever:
f ( x )=12
a0+∑n=1
∞
ancos ( nx )+bn sen (nx )
Esta representação é possível se a f(x) satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet. Exemplos:
a¿a¿n=bn=1n2 n≠ 0a0=0
A série será:
cosx+senx+ 14
cos2 x+ 14
sen2 x+ 19
cos3 x+…
Que converge absoluta e uniformemente para todos os valores (reais) de x (por exemplo, pelo teste da razão e pelo teste M de Weierstrass).
b¿an=0 ( todos os n ) , bn=1n
.
A série será:
f(x)
x
3
senx+ 12
sen2 x+ 13
sen3 x+…
Que converge para todo x (digamos, pelo teste da integral), pois a integral ∫−∞
∞
sen txt
dt
converge para todo x. No entanto, a convergência não é absoluta; por exemplo, o ponto x=π2 ;
também não é uniforme (sobre todo o eixo real).
c ¿an=1, bn=0(todos os n)A série será:
12+cosx+cos2 x+cos3 x+…
Que diverge (pelo teste do n-ésimo termo) para quase todos os valores de x (com exceção de
pontos com x=π2 ).
3- Condições de Dirichlet
Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica, as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritas, asseguram a convergência da série para a função.
1ª) A função f(x) deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo (-π, π), com exceção, talvez, de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas).
Exemplo:
f ( x )={1 para−π<x<00 para 0<x<π e f(x + 2π) = f(x)
Esta função representa, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x = 0.
Contra-exemplo: f(x) = (9 - x²)-1 no intervalo (0, 2π)
Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto x = 3
2ª) Efetuando-se uma partição no intervalo (-π, π) em um número finito de sub-intervalos, a função f(x) em cada um deles será monótona. A função f(x) tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período.
Exemplo: Podemos considerar 3 sub-intervalos:
No 1º, f(x) é crescenteNo 2º, f(x) é decrescenteNo 3º, f(x) é crescente
Apresenta no período um ponto máximo e um mínimo.
π-π
f(x)
x
4
Contra-exemplo:
f ( x )=sen (1n ) ,−π<x<π
Esta função apresenta um número infinito de pontos máximos e mí-
nimos na vizinhança de x = 0.
4- Ortogonalidade – Integrais de Euler
Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período T = 2π, isto é, a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula.
Integrais de Euler:
1¿∫−π
π
cos (nx ) dx=0 ;n=1 ,2 , 3 ,…2¿∫−π
π
sen (nx )dx=0 ;n=0 ,1 , 2, …
3¿∫−π
π
cos ( px ) cos (qx)dx=0 ;(p ≠ q) inteiros
4 ¿∫−π
π
cos ² ( px ) dx=π ; p=1 ,2 , …
5¿∫−π
π
sen ( px ) sen (qx )dx=0 ;( p≠ q)inteiros
6¿∫−π
π
sen ² ( px )dx=π ; p=q≠ 0
7¿∫−π
π
sen ( px )cos (qx )dx=0 {p=qp≠ q
ou
Demonstrando:
5
1¿∫−π
π
cos (nx ) dx=sen (nx )¿−ππ
n=1
n[ sen(n π )– sen (−nπ )]=0¿
2¿∫−π
π
sen (nx )dx=[−cos (nx)n ]
−π
π
=−1n
[cos(nπ )– cos(−nπ)]=0
3) Como, cos[(p + q)x] = cos(px)cos(qx) – sen(px)sen(qx) (a)
cos[(p – q)x] = cos(px)cos(qx) + sen(px)sen(qx) (b)
Somando membro a membro (a) + (b):
cos(px)cos(qx) = 12 {cos[(p + q)x] + cos[(p –q)x]}
∫−π
π
cos ( px ) cos (qx)dx=12∫−π
π
{cos [ ( p+q ) x ]+cos [ ( p−q ) x ]}dx=0
4 ¿ Como, cos²(px) + sen²(px) = 1 (c) cos²(px) – sen²(px) = cos(2px) (d)
Somando membro a membro (c) + (d):2cos²(px) = 1 + cos(2px)
∫−π
π
cos ² ( px ) dx=12∫−π
π
(1+cos2 px )dx=12∫−π
π
dx+∫−π
π
cos (2 px )dx=12
(2 π )+0=π
5¿ Como,cos[(p + q)x] = cos(px)cos(qx) – sen(px)sen(qx) (e)cos[(p + q)x] = cos(px)cos(qx) + sen(px)sen(qx) (f)
Fazendo (f) – (e):
sen(px)sen(qx) = 12 {cos[(p - q)x] – cos[(p +q)x]}
∫−π
π
sen ( px ) sen ( qx ) dx=12∫−π
π
{cos [ ( p−q ) x ]−cos [ ( p+q ) x ]}dx=0
= 0 = 0
6
6¿∫−π
π
se n2 ( px )dx=∫−π
π 1−cos (2 px )2
dx=12∫−π
π
dx− 12∫−π
π
cos (2 px )dx=π
7¿ Como,sen(p + q)x = sem(px)cos(qx) + sen(qx)cos(px) (g)sen(p – q)x = sen(px)cos(qx) – sen(qx)cos(px) (h)
Fazendo(g) + (h):
sen(px)cos(qx) = 12{sen[(p + q)x] + sen[(p – q)x]}
∫−π
π
sen ( px ) cos (qx ) dx=12∫−π
π
sen ( p+q ) xdx+ 12∫−π
π
sen ( p−q ) xdx=0
5- Determinação dos Coeficientes de Fourier
Usando propriedades das funções trigonométricas podemos facilmente determinar an e bn em termos de f(x) de maneira que no intervalo (-π, π), a série trigonométrica (1) seja igual à função f(x), isto é:
f ( x )=12
an+∑n=1
∞
ancos ( nx )+bn sen (nx )(1)
Integramos os dois membros de (1) entre (-π, π):
∫−π
π
f ( x ) dx=∫− π
π 12
a0 dx+∑n=1
∞
∫−π
π
ancos ( nx ) dx+∫−π
π
bn sen (nx ) dx
∫−π
π
f ( x ) dx=12
an∫− π
π
dx=12
an (2 π )=a0 π
an=1π ∫
−π
π
f ( x ) dx
Cálculo de an:Multiplicando (1) por cos(px), sendo p um número fixo dado e integremos entre os limites –π
e π.
∫−π
π
f ( x ) cos ( px )dx=¿¿
¿∫− π
π 12
ancos ( px ) dx+∑n=1
∞
∫−π
π
ancos (nx )cox ( px )+bn sen (nx ) cos ( px )dx
Se n = p:
1
0 π-π
f(x)
7
∫−π
π
f ( x ) cos (nx ) dx=an∫− π
π
co s2 ( nx ) dx=an π
an=1π ∫
−π
π
f ( x ) cos (nx ) dx
Cálculo de bn:Multipliquemos (1) por sen(px) e integremos entre –π e π.
∫−π
π
f ( x ) sen ( px ) dx=¿¿
¿∫− π
π 12
a0 sen ( px )dx+∑n=1
∞
∫−π
π
an cos nx senpxdx+∫−π
π
bn sennxsenpxdx
Se n = p:
∫−π
π
f ( x ) sen (nx ) dx=∫−π
π
bn se n2 (nx )dx=bn π
bn=1π ∫
−π
π
f ( x ) sen (nx ) dx
Exemplo: 5.1- Determinar a série de Fourier de função f(x) que supomos possuir o período 2π e fazer o
esboço gráfico de f(x) das primeiras três somas parciais.
f(x) = { 1 ,0< x<π0 ,−π<x<0
an=∫−π
π
f ( x ) cos (nx ) dx= 1π
[∫−π
o
0 cos (nx ) dx+∫0
π
1cos (nx ) dx ]
an=1π [ 1
nsen(nx )]=0
12
π-π π
π
-π
-π
1
1
12
π2
−π2
8
a0=1π [∫
−π
0
0 dx+∫0
π
1 dx ]= 1π
( π )=1
bn=1π [∫
−π
0
0 sen (nx ) dx+∫0
π
sen (nx ) dx ]= 1nπ
¿
bn=−1nπ
¿
f ( x )=12+ 2
π (senx+ 13
sen3 x+…)As somas parciais são:
S1=12
S2=12+ 2
πsen x
S3=12+ 2
π (senx+ 13
sen3 x)
Vimos que para:
π-π -2π 2πx x
f 1(x) f 2(x)
12
−12
f(x)
9
f ( x )={ 1 ,0<x<π0 ,−π< x<0
nota-se que f(x+2π) = f(x)
A Série de Fourier representada é f ( x )=12+ 2
π (senx+ 13
sen3 x+…)5.2- Vamos determinar a série de Fourier para:
f 1 ( x )={ 12
,0<x<π
−12
,−π<x<0
f 2 ( x )={ 1 ,0< x<20 ,−2 π<x<0
A função f 1 ( x ) é a f(x) deslocada 12 unidade para baixo, logo:
f 1 ( x )= f ( x )−12= 2
π (senx+ 13
sen3 x+…)A função f 2(x) é a mesma f(x), exceto por uma alteração na escala do tempo:
f 2 ( x )= f ( x2 )=1
2+ 2
π (sen x2+ 1
3sen3 x
2+…)
Verificamos que alterar a escala de tempo, altera as freqüências angulares dos termos individuais, mas não altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente.
Exemplos:5.3- Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet.
a¿ f (t )= t−2t ²−t−2
, 0<t<2 π
Para t = 2, f(t) = 00
t
1
2
13
π-π
f(x)
x
10
f (t )=limn →2
12t−1
=13
Resposta: Sim, pois no ponto t = 2 onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de 1ª espécie.
b¿ f (t )=¿Resposta: Não, pois temos descontinuidade infinita para t = +2 e t = -2.
c ¿ f ( x )=2( 1x−1 ) , 0<x<2π
Resposta: Não, descontinuidade infinita na vizinhança de x = 1.
d ¿ f ( x )={0 ,−π<x<0x ² ,0< x<π
Resposta: Sim, as duas condições são satisfeitas.
e ¿ f ( z )=sen( 1z−1 ) , 0<z<2 π
Resposta: Não, pois na vizinhança de z = 1 temos um número infinito de pontos máximos e mínimos.
5.4- Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período 2π:
a¿ f (x )={−x ,−π<x<0x , 0<x<π
Resposta: A f(x) satisfaz as condições de Dirichlet.
Cálculo dos coeficientes de Fourier:
a0=1π ∫
−π
π
f ( x ) dx= 1π ∫
−π
0
−xdx+ 1π∫0
π
xdx=¿¿
¿−1π
x ²2 |
−π
0
+ 1π
x ²2 |
0
π
= π ²2 π
+ π ²2 π
=π
an=1π ∫
−π
π
f ( x ) cos (nx ) dx=1π ∫
−π
0
−xcos ( nx ) dx+∫0
π
xcos (nx ) dx
Fazendo a integração por partes:∫udv=uv−∫ vduu = x du = dx
11
dv = cox(nx)dx v= sen (nx)n
an=−1π {x sen(nx)
n |−π
0
−∫−π
0 sen(nx)n
dx }+ 1π {x sen (nx )
n |0
π
−∫0
π sen(nx)n
dx }an=
−1π
cos (nx )n ² |
−π
0
+ 1π
cos (nx)n ² |
0
π
an=+1π
cos (nx )n ² |
0
π
+ 1π
cos (nx)n ² |
0
π
an=−2π n2 [cos (nπ )−cos0 ]= 2
n ² π[(−1 )n−1]
an={ 0 paran par−4n ² π
paran ímpar
bn=−1π {x cos (nx )
n |−π
0
−∫− π
0−cos (nx)
ndx}+ 1
π {x (−cos ( nx ))n |
0
π
−∫0
π−cos(nx)
ndx}
bn=+1π {π cos (nπ )
n+ sen(nx)
n ² |−π
0 }+ 1π {−π cos (nπ )
n+ sen (nx )
n ² |0
π}=0
Logo,
f ( x )= π2−4
πcosx− 4
9 πcos3 x−…
b¿ f ( x )=x3 ,−π<x<π
f ( x )=2[( π ²1
−613 )senx−( π ²
2−
623 )sen 2 x+( π ²
3−
633 )sen3 x−…]
c ¿ f (t )=e t ,−π<x<πA f(t) satisfaz as condições de Dirichlet.
Cálculo dos Coeficientes:
a0=1π ∫
−π
π
f ( t ) dt=1π ∫
−π
π
e t dt=1π
et|−ππ
= 1π
(eπ−e−π )
an=1π ∫
−π
π
f (t ) cos (nt )dt= 1π ∫
−π
π
et cos (nt )dt
Sabemos que ∫udv=uv−∫ vdu :
12
u=e t∴du=e t dt ;dv=cos (nt )dt ∴v=−sen (nt)n
∫ et cos (nt ) dt=e t sen (nt)n
−1n∫e t sen (nt ) dt
u=e t∴du=e t dt ;dv=sen (nt ) dt ∴ v=−cos (nt)n
∫ et cos (nt ) dt=e t sen (nt)n
−1n [−et cos (nt)
n−∫−et cos (nt)
ndt ]
∫ et cos (nt ) dt=1n
et sen (nt )+ 1n ²
e t cos (nt )− 1n ²∫e t cos ( nt ) dt
∫ et cos (nt ) dt+ 1n ² ∫e t cos (nt ) dt=1
ne t sen (nt )+ 1
n ²e t cos ( nt )
(1+ 1n ² )∫et cos (nt ) dt=1
ne t sen ( nt )+ 1
n ²et cos (nt )
Multiplicando por n²:(n ²+1 )∫e t cos (nt ) dt=ne t sen (nt )+e t cos (nt )
∫−π
π
et cos (nt ) dt=ne t sen (nt )+et cos (nt )
n ²+1 |−π
π
Mas , sen (nπ )=sen¿nπ) = 0 cos(nπ) = cos(-nπ) = (−1)n
∫−π
π
et cos (nt ) dt= eπ(−1)n−e−π(−1)n
n ²+1=(−1)n eπ−e−π
n ²+1
an=1π
(−1)n eπ−e−π
n ²+1De modo análogo, calculamos bn:
bn=1π ∫
−π
π
f (t ) sen (nt ) dt=− (−1 )nn (eπ−e−π )π (n2+1)
Logo,
f ( t )=et= 12π
( eπ−e−π )+∑n=1
∞
¿¿
ou e t= eπ−e−π
π¿
d ¿ f (t )={k ,−π< t<0−k ,0<t <π
f ( t )=4 kπ (sent+ 1
3sen3 t+ 1
5sen5 t+…)
5.5- Mais Exemplos de Séries de Fourier
π-π
g(x)
x
h(x)
-π π x
13
Exemplo1: Considere a função f(x) = x². Seus coeficientes de Fourier são facilmente calculados:
a0=1π ∫
−π
+ π
x ² dx=2 π ²3
an=1π ∫
−π
+ π
x2cos (nx )dx=¿¿
bn=1π ∫
−π
+π
x ² sen(nx)dx=0
É fácil notar que a série de Fourier é uniformemente convergente para todos os valores de x e representa a função:
g ( x )=π2
3+∑
n=1
∞
¿¿
Fica evidente que a série de Fourier de f(x) = x² representa uma extensão periódica dos valores de f(x) no intervalo (-π,π).
6- Funções Pares e Ímpares
Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (-π, π). Diz-se que:g(x) é par se g(-x) = g(x), para todo x.h(x) é ímpar se h(-x) = - h(x), para todo x.
Observações: O gráfico da função par g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.O valor da função ímpar no ponto zero: h(0) = 0Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar
verifiquemos que:
14
I ¿∫−π
π
g ( x ) dx=2∫0
π
g (x ) dx
De fato:
∫−π
π
g ( x )dx=∫−π
0
g ( x ) dx+∫0
π
g ( x )dx
¿−∫0
−π
g ( x ) dx+∫0
π
g ( x ) dx
¿−∫0
π
g (−x ) d (−x )+∫0
π
g ( x ) dx
então :∫−π
π
g ( x )dx=−∫0
π
g (x )(−dx)+∫0
π
g ( x )dx
∫−π
π
g ( x )dx=∫0
π
g ( x ) dx+∫0
π
g ( x ) dx=2∫0
π
g (x ) dx
II ¿∫−π
π
h ( x )dx=0
De fato:
∫−π
π
h ( x ) dx=∫−π
0
h ( x ) dx+∫0
π
h ( x ) dx
¿−∫0
−π
h ( x ) dx+∫0
π
h ( x ) dx
¿−∫0
−π
h (−x ) d (−x)+∫0
π
h ( x ) dx
então :∫−π
π
h ( x ) dx=−∫0
π
−h ( x ) (−d (x ) )+∫0
π
h ( x ) dx=0
III) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x) é ímpar.q(x) = g(x).h(x)q(-x) = g(-x).h(-x)q(-x) = g(x).[-h(x)]q(-x) = [-g(x)].h(x)q(-x) = [-q(x)]
IV) O produto de uma função par por uma função par é função par.q(x) = g(x).g(x)q(-x) = g(-x).g(-x)q(-x) = g(x).g(x)q(-x) = q(x)
V) O produto de uma função ímpar por uma função ímpar é uma função par.q(x) = h(x).h(x)q(-x) = h(-x).h(-x)q(-x) = [-h(x)].[-h(x)]
15
q(-x) = h(x).h(x)q(-x) = q(x)
Conclusão: Se f(x) é uma função par, f(x) = sen(nx) é uma função ímpar e
bn=1π ∫
−π
π
f ( x ) sen (nx ) dx=0
Se f(x) é uma função ímpar, f(x)cos(nx) é ímpar e an=1π ∫
−π
π
f ( x ) cos (nx ) dx=0.
Teorema I: A série de Fourier de uma função periódica par f(x), que possui período 2π, é uma série de Fourier em cossenos.
f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞
an cos (nx )
Com coeficientes : a0=2π∫0
π
f ( x ) dx
an=2π∫0
π
f ( x )cos (nx )dx
A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x) que possui período 2π é uma série de Fourier em senos.
f ( x )=∑n=1
∞
bn sen ( nx )
Comcoeficientes : bn=2π∫0
π
f ( x ) sen (nx)dx
Consideremos f(x) par:
f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞
(ancos (nx )+bn sen (nx ))(1)
f (−x )=a0
2+∑
n=1
∞
(ancos (−nx )+bn sen (−nx ))
Mas, como f é par, f(-x) = f(x):
f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞
(ancos (nx )−bn sen ( nx ))(2)
(1) + (2):
2 f ( x )=a0+2∑n=1
∞
an cos (nx ) ou
f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞
an cos (nx )
Por outro lado,
an=1π ∫
−π
π
f ( x ) cos (nx ) dx
Como f(x) e cos(nx) são funções pares, temos:
f(x)
16
an=1π [∫
−π
0
f (x ) cos (nx ) dx+∫0
π
f ( x ) cos (nx ) dx]¿ 1
π [∫− π
0
f (−x )cos (−nx )d (−x )+∫0
π
f ( x ) cos (nx ) dx]¿ 1
π [∫− π
0
−f ( x )cos ( nx) dx+∫0
π
f ( x ) cos (nx ) dx]= 1π [2∫0
π
f ( x )cos (nx )dx ]Consideremos f(x) ímpar:
f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞
( an cos (nx )+bn sen (nx ) )(1)
f (−x )=a0
2+∑
n=1
∞
(an cos (−nx )+bn sen (−nx ) )Como f é ímpar, f(-x) = -f(x)
−f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞
(ancos ( nx )−bn sen (nx ))(2)
(1) – (2):
2 f ( x )=2∑n=1
∞
bn sen (nx )∴ f ( x )=∑n=1
∞
bn sen (nx )
Por outro lado:
bn=1π ∫
−π
π
f ( x ) sen (nx ) dx
Como f(x) e sen(nx) são funções ímpares:
bn=1π [∫
−π
0
f (x ) sen (nx )dx+∫0
π
f ( x ) sen ( nx ) dx ]¿ 1
π [∫− π
0
f (−x ) sen (−nx ) d (−x)+∫0
π
f ( x ) sen ( nx ) dx ]¿ 1
π¿
¿ 1π [∫0
π
f ( x ) sen (nx ) dx+∫0
π
f ( x ) sen (nx ) dx ]bn=
2π∫0
π
f ( x ) sen (nx ) dx
Logo, ao calcular os coeficientes nas Séries de Fourier para funções que tenham simetria, é conveniente integrar de –π a π ao invés de 0 a 2π.
Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de ondas simétricas.
Exemplos:6.1- Determinar a Série de Fourier da função:
xπ 2π 3π-π-2π-3π
-π π 2π-2π
1
1
f 1(t)
t
f 1(t)
17
f ( x )={ xπ
, 0<x<π
2− xπ
, π<x<2π
Como f(x) é uma função que apresenta simetria, é conveniente integrá-la no intervalo (-π, π).Cálculo dos Coeficientes:
Como f(x) é par ; bn=0.
a0=2π∫0
π
f ( x ) dx∴a0=2π∫0
π xπ
dx∴ a0=2π2
x2
2 |0
π
=1
an=2π∫0
π
f ( x )cos (nx )dx ∴an=2π∫0
π xπ
cos (nx )dx= 2π ²∫0
π
xcos (nx )dx
Integral que foi calculada anteriormente:
an={ 0 paran par−4
n ² π ²paran ímpar
Portanto,
f ( x )=12− 4
π ² (cosx+ 19
cos3 x+ 125
cos5 x+…)6.2- Determine a Série de Fourier para f(t).
Embora pudéssemos determinar a série de f(t) diretamente vamos relocalizar os eixos a fim de usar as relações de simetria, pois a f(t) não é nem par nem ímpar.
1º Caso: A subtração de uma constante de 12 produz uma função ímpar f 1 ( t ) .
-2π -π π 2π t
12
−12
f 2(t)
1
tπ2
3 π2
−π2
−3π2
18
Logo, a0=an=0
bn=2π∫0
π
f 1 (t ) sen (nt ) dt
bn=2π∫0
π 12
sen (nt ) dt= 1nπ
[cos (nt )]|0π= 1
nπ(1−cos (nπ ))
bn={ 0 para n par2
nπpara nímpar
f 1 ( t )= 2π (sent+ 1
3sen 3t + 1
5sen5t +…)
Portanto,
f ( t )=12+ 2
π (sent+ 13
sen3 t+ 15
sen5 t+…)2º Caso: Vamos mudar o eivo vertical para obter uma função par f 2 ( t ) .
Logo, bn=0
19
a0=2π∫0
π
f 2 (t )dt
an=2π∫0
π
f 2 (t ) cos (nt ) dt
an=2π
¿
an=2π
¿
an=¿
f 2 (t )=12+ 2
π (cost−13
cos 3t + 15
cos5 t−…)Portanto,
f (t )=12+ 2
π [cos(t− π2 )−1
3cos3(t− π
2 )+ 15
cos5( t−π2 )−…]
Como,
cos (t−π2 )=costcos ( π
2 )+sentsen( π2 )=sent
cos (3 t−3 π2 )=cos3 tcos( 3 π
2 )+sen3 tsen( 3π2 )=−sen3 t
Podemos reescrever f(t):
f ( t )=12+ 2
π (sent+ 13
sen3 t+ 15
sen5 t+…)Como no resultado anterior.
7- Funções com Período Arbitrário
Até agora consideramos as funções periódicas de período 2π. Por uma simples mudança de variável podemos encontrar a Série de Fourier de uma função f(t) de período T qualquer.
Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear.
20
Seja f(t) definida no intervalo [−T2
, T2 ].
t=ax+b onde {−π<x<π−T
2<t < T
2
T2=aπ+b (1 ) e−T
2=−aπ+b(2)
Somando membro a membro (1) e (2):
0=0+2b∴b=0
Substituindo em 1:
T2=aπ∴a= T
2 π
t= T2 π
x⟶x=2 πT
t
Vamos, pois, trocar a variável t por x, ondex=2πT
t, logo a f ( T2π
x ) é definida no intervalo (-
π,π).
Assim , f ( t )=f ( T2 π
x)=a0
2+∑
n=1
∞
[a¿¿n cos (nx )+bn¿sen (nx )]¿¿
Onde ,a0=1π ∫
−π
π
f ( T2π
x)dx ,
an=1π ∫
−π
π
f ( T2 π
x )cos (nx )dx , bn=1π ∫
−π
π
f ( T2 π
x)sen ( nx ) dx
Para simplificar os cálculos, façamos x=2πT
t ∴dx=2 πT
dt
f ( t )=a0
2+∑
n=1
∞ [an cos( 2 nπT
t )+bn sen ( 2 nπT
t )]Onde ,a0=
1π ∫
−T2
T2
f ( t ) 2πT
dt= 2T ∫
−T2
T2
f (t ) dt
21
an=2T ∫
−T2
T2
f ( t ) cos( 2 nπT
t )dt ebn=2T ∫
−T2
T2
f (t ) sen ( 2nπT
t)dt
O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por exemplo, 0 < t < T.
O Teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer.
Exemplos:
7.1- Determinar a Série de Fourier da função f(t), periódica de período T=4.
f ( t )={0quando−2<t ←1 ,K quando−1< t<1 ,
0 quando 1<t <2
Temos:
an=2T ∫
−T2
T2
f ( t ) cos( 2 nπT
t )dt
Como f(t) é par, bn = 0 e an = 2 2T ∫
0
T /2
f (t )cos ( 2 nπT
t)dt
a0=∫0
2
f ( t ) dt=∫0
1
kdt+∫1
2
0 dt=kt|0
1
=k
an=∫0
2
f ( t ) cos( nπ2
t)dt=∫0
1
k cos( nπ2
t)dt=2 knπ
se n( nπ2
t)|0
1
=2 knπ
sen( nπ2 )
an=¿
f ( t )=a0
2+∑
n=1
∞
ancos ( 2 nπT
t)= k2+ 2 k
π (cos ( π2
t )−13
cos ( 3π2
t)+15
cos(5 π2
t)−…)
8- Séries em Senos e Séries em Cossenos
Desenvolvimento de meio período
Seja f(t) de período T=2L. Se f(t) for par a série de Fourier fica:
f(t)
-2 -1 1 2 t
22
f ( t )=a0
2+∑
n=1
∞
ancos ( 2 nπT
t )ou f ( t )=a0
2+∑
n=1
∞
an cos( nπL
t )(1)Com coeficientes:
an=1L ∫
−L
L
f (t ) cos( nπL
t)dt=2L∫0
L
f ( t )cos ( nπL
t)dt (2)
a0=2L∫0
L
f (t )dt
Se f(t) for ímpar:
f (t )=∑n=1
∞
bn sen ( nπL
t)(3)
Com coeficientes:
bn=2L∫0
L
f (t )sen( nπL
t)dt(4)
f(t) prolongada como
função par
prolongamento periódico ímpar
OBS: Constatamos que 2 e 4 empregam unicamente os valores de f(t) do intervalo (0,L).
Para uma função definida neste intervalo, podemos formar as séries 1 e 3. Se a função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo (0,l). Fora
L -L L
L-L
23
deste intervalo, a série 1 representará o prolongamento periódico par da f(t), tendo período 2L, e a 3 o prolongamento ímpar de f(t).
Exemplos:
8.1- Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função f(t) definida no intervalo (0,L) e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente.
f ( x )={1 se 0<t< L/20 se L/2<t< L
a0=2L∫0
L
f (t )dt= 2L [∫0
L/2
1 dt +∫L /2
L
0dt ]= 2L
t|0
L/ 2
=1
an=2L∫0
L
f (t )cos ( nπL
t )dt= 2L [∫0
L/2
cos( nπL
t)dt+∫L /2
L
0cos ( nπL
t )dt ]=¿
¿ 2L
Lnπ
sen ( nπL
t)|0
L/2
= 2nπ (sen ( nπL
L 2 )−sen0)= 2nπ
sen( nπL )
an={ 0 sené par2
nπ(−1 )
n−12 paran ímpar
Logo,
f ( t )=12+ 2
π [cos( πL
t)−13
cos( 3 πL
t)+ 15
cos( 5πL
t)−…]8.2- Verificar se as funções são pares, ímpares, ou nem pares e nem ímpares.
a) f(x) = senx + cosx
f(-x) = sen(-x) + cos(x)= -senx + cosx
logo, função nem par e nem ímpar
b) f(x) = x2cos(nx)
f(-x) = (-x)2cos(-nx) = x2cos(nx) = f(x)
logo, função par
-L -L/2 L/2 L t
f(t)
24
c) f(x) = x|x|
f(-x) = -x|-x| = - x|x| = -f(x)
logo, função ímpar
d) f(x) = ex
f(-x) = e –x =1/e
logo, função nem par e nem ímpar
e) f(x) = x3senx
f(-x) = (-x3)sen(-x) = -x3[-sen(x)] = x3senx = f(x)
logo, função par
8.3- Determinar a série de Fourier das funções periódicas de período T:
a) f (t )={1 ,−1<t <00 , t=0
−1 ,0<t<1;T=2
Como f(t) é ímpar, a0 = an = 0.
bn=2T ∫
−T2
T2
f ( t ) sen (2 nπtT )dt= 4
T ∫0
T2
f ( t ) sen (2 nπtT )dt=4
2∫0
22
(−1 ) sen( 2nπt2 )dt=¿
¿2 ¿¿
Nota-se que:
bn={ 0 , se n é par−4nπ
, se né ímpar
Logo:
f (t )=∑n=1
+∞
bn sen (2 nπtT )
f (t )=−4π
¿
b) f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 2 , T = 2 2
f(x)
-1-1
1
1
x
25
a0=2T ∫
0
T
f ( x )dx=22∫0
2
xdx= x2
2 |0
2
=2
an=2T ∫
0
T
f ( x) cos ( 2nπxT )dx=2
2∫02
x cos( 2 nπx2 )dx=¿
¿ x sen (nπx )nπ |
0
2
−∫0
2 sen(nπx)nπ
dx= x sen(nπx)nπ |
0
2
+cos (nπx )
n2 π2 |0
2
=0
bn=2T ∫
0
T
f ( x) sen( 2nπxT )dx=2
2∫02
x sen (nπx )dx=¿¿
¿−x cos (nπx )nπ |
0
2
+∫0
2 cos (nπx )nπ
dx=−x cos (nπx )nπ |
0
2
+ sen (nπx)n2 π2 |
0
2
=−2nπ
Logo:
f ( x )=1− 2π (sen (πx )+ sen (2 πx )
2+
sen (3 πx)3
+…)8.4- Representar por meio da Série de Fourier em co-senos e senos as seguintes funções e
fazer o prolongamento periódico correspondente:
a¿ f (x )={ x , 0<x<2x−2 , 2<x<4 ; T = 4
Prolongamento periódico par
Como f(x) é par, bn = 0.
a0=2T ∫
0
T
f ( x )dx= 24∫0
4
f (x ) dx=12 [∫0
2
xdx+∫2
4
( x−2 ) dx ]=¿¿
x-6 -4 -2 0 2 4 6
f(x)
2
26
¿ 12 [ x2
2 |0
2
+( x2
2−2 x)|2
4]=12 [2−(−2)]=2
an=2T ∫
0
T
f ( x) cos ( nπxT )dx=2
4∫04
f ( x )cos ( nπx4 )dx=¿
¿ 12 [∫0
2
xcos ( nπx4 )dx+∫
2
4
( x−2 )cos ( nπx4 )dx]
Cálculo da integral:
∫ xcos ( nπ x4 )dx
{ u=x→ du=dx
dv=cos ( nπx4 )dx → v= 4
nπsen ( nπx
4 )∫ xcos ( nπx
4 )dx=4 xnπ
sen(nπx4 )−∫ 4
nπsen ( nπx
4 )dx=¿
¿ 4 xnπ
sen( nπx4 )+( 4
nπ )2
cos(nπx4 )
Logo:
an=12¿
−2 4nπ [sen ( nπx
4 )]|24}
an=12 {−16
n2 π 2 +16
n2 π2 (−1)n+8
nπ sen ( nπ2 )}= 8
n2 π2 [−1+(1)n ]+ 4nπ sen ( nπ
2 )Nota-se que:
{ an=0 paran par
an=−16n2 π2 +
4nπ
(−1)n−1
2 pa ranímpar , n=2k+1
27
Assim:
f ( x )=a0
2+∑
n=1
+∞
an cos( nπx4 )
f ( x )=1+∑k=1
+∞
( −16(2 k+1)2 π2 +
4 (−1)k
(2 k+1) π )cos( (2 k+1) πx2 )
b) f(x) = cos x , 0<x<π
Como f(x) é ímpar, a0 = an = 0.
bn=2T ∫
0
T
f ( x) sen( nπxT )dx= 2
π∫0π
cos x sen( nπxπ )dx= 2
π∫0π
cos x sen (nx ) dx
Lembrando que: senacosb=12 [sen ( a+b )+sen (a−b)]
bn=2π
12∫0
π
sen [ (n+1 ) x ]+sen [ (n−1 ) x ] dx=12 [−cos [ (n+1 ) x ]
n+1−¿
−cos [ (n−1 ) x ]n−1 ]|0
π
=12 [−cos [(n+1)π ]
n+1−
cos [(n−1)π ]n−1
+ 1n+1
+ 1n−1 ]=¿
¿ 1π [1−cos [(n+1)π ]
n+1+
1−cos [(n−1) π ]n−1 ]
Nota-se que:
cos [(n+1)π ]={1 , se n=2 k+1−1, sen=2 k
b2k=1π [ 2
2k+1+ 2
2 k−1 ]= 1π ( 8 k
4 k2−1 )Logo:
1
-1
π2
π
f(x)
x
28
f ( x )=∑k=1
+∞ 8π ( k
4 k 2−1 )sen (2 k x )
9- Mudança de intervalo
Até aqui, tratamos exclusivamente de funções nos intervalos [-π, π] e [0, π]. Para muitas finalidades, entretanto, esta colocação é muito restritiva, e agora nos propomos a generalizar nossos resultados para um intervalo arbitrário [a, b]. Mas, ao invés de começar imediatamente com o caso geral, será mais simples considerarmos primeiro os intervalos da forma [-p, p] e seus espaços euclidianos cp[-p,p]. Porque, aqui, a situação pode ser tratada com presteza.
Como efeito, é óbvio que as funções
1 ,cos( πxp ) , sen( πx
p ) ,cos (2 πxp ) , sen(2 πx
p ) ,…
são mutuamente ortogonais em cp[-p, p]. Além disso, justamente como n ocaso em que p = π, pode-se mostrar que essas funções formam uma base deste espaço, e, por conseguinte, que as suas séries ortogonais associadas (as quais, diga-se de passagem, denominam-se ainda séries de Fourier) convergem em média. E, finalmente, levando-se na devida consideração o comprimento do intervalo, todas as nossas observações concernentes à convergência pontual são válidas neste contexto.
Para obtermos as fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função de cp[-p, p], notemos que
∫−p
p
dx=2 p ,∫− p
p
cos2( nπxp )dx=¿∫
−p
p
sen2( nπxp )dx=p¿
Então pela fórmula,
f ( x )=a0
2+∑
k=1
∞ [an cos( nπxp )+bn sen( nπx
p ) ](média)
onde
an=1p ∫
− p
p
f (x ) cos ( nπxp )dx ,bn=¿ 1
p∫− p
p
f ( x ) sen( nπxp )dx ¿
para todo n. E, com isto, encerramos.
A discussão acima pode ser facilmente adaptada para tratar do espaço euclidiano cp[a,b]. Com efeito, se fizermos 2p = b – a de modo que [a, b] = [a, a + 2p], as funções formarão também uma base para cp[a, a + 2b]. Isto nos leva imediatamente às seguintes fórmulas para o cálculo do desenvolvimento em série de Fourier de uma função f em cp[a, b]:
f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞ [an cos( 2nπxb−a )+bn sen( 2nπx
b−a )](média)
29
em que
an=2
b−a∫ab
f ( x ) cos( 2 nπxb−a )dx ,bn=
2b−a∫a
b
f (x ) sen ( 2nπxb−a )dx ,
para todo n.
Exemplo:
9.1- Determine a série de Fourier da função f.
f ( x )={x−2 ,2≤ x ≤ 34−x ,3 ≤ x ≤ 4
As fórmulas dão:
an=2
b−a∫ab
f ( x ) cos( 2 nπxb−a )dx=2
2∫24
f ( x ) cos(2 nπx2 )dx=∫
2
4
f ( x ) cos (nπx ) dx
bn=2
b−a∫ab
f ( x ) sen ( 2nπxb−a )dx=2
2∫24
f (x ) sen ( 2nπx2 )dx=∫
2
4
f ( x ) sen (nπx ) dx
Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem ser simplificados consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio.
Designemos por F a extensão periódica de f a todo o eixo dos x. Então, as funções F(x)cos(nπx) e F(x)sen(nπx)são periódicas com período 2, e temos
∫a
a+2
F ( x )cos (nπx )dx=¿∫2
4
f ( x )cos (nπx ) dx ¿
∫a
a+2
F ( x ) sen (nπx ) dx=¿∫2
4
f ( x ) sen (nπx ) dx¿
para qualquer número real a. Neste ponto nos apoiamos no fato óbvio de f ser contínua por partes em ]-∞,∞[ com período 2p. Então,
∫a
a+2 p
f ( x ) dx= ∫b
b+2 p
f ( x )dx
para qualquer par de números reais a, b. Fazemos agora a = -1 para obter
an=∫−1
1
F ( x ) cos (nπx ) dx ,bn=∫−1
1
F ( x ) sen ( nπx ) dx
30
Mas, no intervalo [-1,1], F coincide com a função par |x|. Donde bn=0 para todo n, e
an=2∫0
1
xcos (nπx ) dx . Portanto,
a0=1 , ak={ −4n2 π2 ,n ímpar
0 , n par ,n ≠ 0
Assim,
f ( x )=12− 4
π ² (cosx+ 19
cos3 x+ 125
cos5 x+…)10- Forma complexa das séries de Fourier
O desenvolvimento da série de Fourier
f ( x )=a0
2+∑
n=1
∞ [an cos( nπxL )+bn sen( nπx
L ) ]onde – L ≤ x ≤ L
pode ser escrito sob forma complexa. Escreva:
cos ( nπxL )=1
2(e i nπx
L +e−i nπx
L )
sen(nπxL )=1
2(ei nπx
L −e−i nπx
L )
e introduza estas expressões na série. É conveniente definir:
cn={12 (an−i bn ) ,(n>0)
12 ( an+ibn ) ,(n<0)
12
a0 ,(n=0)
Então a série de Fourier pode ser escrita em sua forma complexa:
f ( x )= ∑n=−∞
+∞
cn ei nπx
L onde L≤ x≤ L
A conveniência desta forma é óbvia.
Das fórmulas para an e bn segue-se a fórmula para cn:
31
cn ¿1
2 L ∫−L
+ L
f (x )e−i nπx
L dx
Observação:
Embora a série de Fourier apareça agora sob forma complexa, sua soma f(x) é ainda suposta real. Neste caso, as propriedades seguintes são facilmente verificadas:
1) c0 é real; cn*,
2) Se f(x) é par, todos os cn são reais,3) Se f(x) é ímpar, c0 = 0 e todos os cn são imaginários puros.
Considere agora as funções complexas da variável real x. Elas podem também ser desenvolvidas em série de Fourier e agora a forma complexa da série torne-se mais natural. A fórmula para cn não se altera, mas as três propriedades acima não mais se verificam.
Pode-se mostrar, no entanto, que:a) Se f(x) for par, então c-n = cn eb) Se f(x) for ímpar, então c-n = -cn (e c0 = 0).
Exemplo:
10.1- A função f(x) pode ser representada por uma série de Fourier complexa.
f (x){0 ,−π<x≤ 01, 0<x ≤ π
Os coeficientes serão:
c0=1
2 π∫0π
dx= 12
cn=1
2π∫0π
e−inx dx=1−e−inπ
2 πni ={ 0 ,(n=par)1
πni,(n=ímpar )
Portanto:
f ( x )=12+ 1
πi ∑n=−∞
n=ímpar
+∞ 1n
einx
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