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LOIS DE PROBABILITE DISCRETES
Chapitre 5 Probabilités conditionnelles
Lois de probabilité discrètes P R O B A B I L I T E S C O N D I T I O N N E L L E S
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I. PROBABILITES CONDITIONNELLES
1. Définition Soient A et B deux événements. Alors la probabilité que A se réalise sachant que B est déjà réalisé vaut :
𝑷𝑩(𝑨) =𝑷(𝑨∩𝑩)𝑷(𝑩)
où 𝑷(𝑩) ≠ 𝟎
Remarque
𝑃𝐵(𝐴) se lit probabilité de A sachant B.
Exemple
On lance un dé non truqué. On considère deux événements suivants :
A : Obtenir un nombre plus grand où égal à 3.
B : Obtenir 4
2. Indépendance Soient A et B deux événements d’une expérience aléatoire. On dit que A et B sont indépendants si et seulement si :
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩)
Preuve
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Dans le cas général, on a :
3. Formules des probabilités totales Soient 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3,… , 𝐸𝑛 des événements qui forment une partition de E où E est l’univers d’une expérience aléatoire. Et soit A un événement de E, alors on a la représentation suivante :
Dans ces conditions, on a :
𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑬𝟏) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑬𝟏) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑬𝟏) +⋯+𝑷(𝑨 ∩ 𝑬𝒏)
Exemple :
𝐸1
𝐸4 𝐸5
𝐸2
𝐸3 𝐸𝑛
𝐸…
𝐴
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II. VARIABLE ALEATOIRE
1. Définition d’une variable aléatoire Une variable aléatoire, notée X, est une fonction mathématique qui associe à chaque événement élémentaire d’une expérience aléatoire un unique réel.
Exemple
2. Définition d’une loi de probabilité Donner la loi de probabilité d’une expérience aléatoire consiste à associer à chaque valeur de la variable aléatoire X une unique probabilité.
Une loi de probabilité est en présentée en général de la manière suivante :
Exemple
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3. Définition de l’espérance L’espérance d’une variable aléatoire X est donnée par :
𝑬(𝑿) =∑𝑷𝒊 × 𝑿𝒊
𝒏
𝒊=𝟎
Exemple
Propriété
L’espérance d’une variable aléatoire composée 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝐵 vaut :
𝑬(𝒀) = 𝑬(𝒂𝑿+ 𝒃) = 𝒂 × 𝑬(𝑿) + 𝒃
Démonstration
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4. Variance La variance d’une variable aléatoire se calcule ainsi :
𝑽(𝑿) =∑ 𝒊 × (𝑿𝒊 𝑬(𝑿))
𝒏
𝒊=𝟎
Exemple
Propriété
La variance d’une variable aléatoire composée se calcule ainsi :
𝑽(𝒂𝑿 + 𝒃) = 𝒂 × 𝑽(𝑿)
Démonstration
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5. Ecar t-type L’écart-type d’une variable aléatoire se calcule ainsi :
𝝈(𝑿) = √𝑽(𝑿)
III. EXERCICE DE BAC TYPIQUE
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