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Lógica ProposicionalSintaxe e Semântica
Alfio Martini
FACULDADE DE INFORMATICA - PUCRS
PORTO ALEGRE - BRASIL
www.inf.pucrs.br/∼alfio
alfio@inf.pucrs.br
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 1/19
Objetivos
ENTENDER A CONSTRUÇÃO INDUTIVA DO CONJUNTO DEFÓRMULAS PROPOSICIONAIS.
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 2/19
Objetivos
ENTENDER A CONSTRUÇÃO INDUTIVA DO CONJUNTO DEFÓRMULAS PROPOSICIONAIS.
JUSTIFICAR, COM BASE NA CONSTRUÇÃO, SE UMAFÓRMULA É OU NÃO BEM FORMADA.
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 2/19
Objetivos
ENTENDER A CONSTRUÇÃO INDUTIVA DO CONJUNTO DEFÓRMULAS PROPOSICIONAIS.
JUSTIFICAR, COM BASE NA CONSTRUÇÃO, SE UMAFÓRMULA É OU NÃO BEM FORMADA.
APLICAR CORRETAMENTE A PRECEDÊNCIA DOSOPERADORES.
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 2/19
Objetivos
ENTENDER A CONSTRUÇÃO INDUTIVA DO CONJUNTO DEFÓRMULAS PROPOSICIONAIS.
JUSTIFICAR, COM BASE NA CONSTRUÇÃO, SE UMAFÓRMULA É OU NÃO BEM FORMADA.
APLICAR CORRETAMENTE A PRECEDÊNCIA DOSOPERADORES.
CONVERTER FÓRMULAS PARA ÁRVORES SINTÁTICAS EVICE-VERSA.
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 2/19
Objetivos
ENTENDER A CONSTRUÇÃO INDUTIVA DO CONJUNTO DEFÓRMULAS PROPOSICIONAIS.
JUSTIFICAR, COM BASE NA CONSTRUÇÃO, SE UMAFÓRMULA É OU NÃO BEM FORMADA.
APLICAR CORRETAMENTE A PRECEDÊNCIA DOSOPERADORES.
CONVERTER FÓRMULAS PARA ÁRVORES SINTÁTICAS EVICE-VERSA.
COMPUTAR CORRETAMENTE O VALOR LÓGICO DESENTENÇAS PROPOSICIONAIS MEDIANTE O USO DETABELAS VERDADE.
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 2/19
Assinaturas
DEFINICAO 1 (ASSINATURA) Uma assinatura Σ para a logicaproposicional consiste de um conjunto enumeravel (contavel) devariaveis proposicionais.
EXEMPLO 1
Σ = ∅.
Σ = {p, q, r, s}.
Σ = {p, q, r, . . .}.
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 3/19
Definição Indutiva dePΣ
DEFINICAO 2 (FORMULAS)
⊥ : PΣ
BOT⊤ : PΣ
TOP
v : PΣ
v ∈ Σ SIGA : PΣ
(¬A) : PΣ
NEG
A : PΣ B : PΣ
(A ∧ B) : PΣ
EA : PΣ B : PΣ
(A ∨ B) : PΣ
OU
A : PΣ B : PΣ
(A ⇒ B) : PΣ
IMPA : PΣ B : PΣ
(A ⇔ B) : PΣ
EQUIV
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 4/19
Construção Livre
Duas propriedades importante da construção anteriorsão:
Toda fórmula bem formada possui uma únicaconstrução, que pode ser demostrada através desua ÁRVORE DE PROVA.Toda fórmula bem formada possui um operadorprinicipal, chamado de construtor da fórmula.
EXEMPLO 2
Formula: (p ∨ ⊥) - Construtor: ∨.
Formula: ((p ⇒ r) ⇔ ((¬p) ∨ q)) - Construtor : ⇔.
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 5/19
Exemplo: Árvore de Prova
Σ = {p, q, r}
Formula : ((p ⇒ r) ⇔ ((¬p) ∨ q))
Prova:
p : PΣ
SIGr : PΣ
SIG
(p ⇒ r) : PΣ
IMP
p : PΣ
SIG
(¬p) : PΣ
NEGq : PΣ
SIG
((¬p) ∨ q) : PΣ
OU
((p ⇒ r) ⇔ ((¬p) ∨ q)) : PΣ
EQUIV
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 6/19
Prioridade dos Operadores
A tabela baixo mostra como utilizar as prioridades paraeliminar a necessidade do uso de parênteses.
¬ alta
∧
∨
⇒
⇔ baixa
Operadores com mesma prioridade são associados àdireita.
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 7/19
Prioridade - Exemplos
EXEMPLO 3
Com par enteses Sem par enteses
(p ∧ q) p ∧ q
(p ⇒ (q ∧ r)) p ⇒ q ∧ r
((p ⇒ q) ⇔ ((¬p) ∨ q)) p ⇒ q ⇔ ¬p ∨ q
(p ⇒ q) ∧ r (p ⇒ q) ∧ r
(p ⇒ (q ⇒ r)) p ⇒ q ⇒ r
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 8/19
Subfórmulas
DEFINICAO 3 Dada uma formula F em PΣ, podemos calcular oconjunto de subformulas de F de acordo com a seguinte funcao,definida por inducao estrutural:
[SIG] sub(x) = {x}.
[CON] sub(⊤) = {⊤} e sub(⊥) = {⊥}.
[NEG] sub(¬A) = {¬A} ∪ sub(A).
[E] sub(A ∧ B) = {A ∧ B} ∪ sub(A) ∪ sub(B).
[OU] sub(A ∨ B) = {A ∨ B} ∪ sub(A) ∪ sub(B).
[IMP] sub(A ⇒ B) = {A ⇒ B} ∪ sub(A) ∪ sub(B).
[EQUI] sub(A ⇔ B) = {A ⇔ B} ∪ sub(A) ∪ sub(B).
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 9/19
Avaliação de Subfórmulas
sub((¬p ⇒ q) ∨ r) =
= {(¬p ⇒ q) ∨ r} ∪ sub(¬p ⇒ q) ∪ sub(r)
= {(¬p ⇒ q) ∨ r} ∪ {¬p ⇒ q} ∪ sub(¬p) ∪ sub(q) ∪ {r}
= {(¬p ⇒ q) ∨ r} ∪ {¬p ⇒ q} ∪ {¬p} ∪ sub(p) ∪ {q} ∪ {r}
= {(¬p ⇒ q) ∨ r} ∪ {¬p ⇒ q} ∪ {¬p} ∪ {p} ∪ {q} ∪ {r}
= {(¬p ⇒ q) ∨ r,¬p ⇒ q,¬p, p, q, r}
= {p, q, r,¬p,¬p ⇒ q, (¬p ⇒ q) ∨ r}
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 10/19
Árvore Sintática de Fórmulas
DEFINICAO 4 Cada formula proposicional F em PΣ pode sercaracterizada de forma unica como uma arvore sintatica, da seguinteforma:
Se a formula F e uma variavel v ∈ Σ, entao v e uma arvore binariacom raiz
�
�
�
�v .
Se a formula F e uma constante c ∈ {⊥,⊤}, entao c e umaarvore binaria com raiz
�
�
�
�c .
Se a formula F e do tipo (A op B) com construtor binarioop ∈ {∧,∨,⇒,⇔}, entao a arvore binaria tem raiz
�
�
�
�op com
subarvore esquerda�
�
�
�A e subarvore direita�
�
�
�B .
Se a formula F e do tipo (¬A) entao a arvore binaria tem uma raiz�
�
�
�¬ e subarvore�
�
�
�A .
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 11/19
Árvores Sintáticas - Exemplos
EXEMPLO 4 Como exemplos, as formulas (p ∧ ⊥) e((p ⇒ q) ⇔ ((¬p) ∨ q)) podem ser representadas pelas seguintesarvores abaixo:
?>=<89:;∧
����
����
�
@@@@
@@@@
@
?>=<89:;p ?>=<89:;⊥
?>=<89:;⇔
{{{{
{{{{
{
BBBB
BBBB
B
?>=<89:;⇒
~~~~
~~~~
~
?>=<89:;∨
}}}}
}}}}
}
????
????
?
?>=<89:;p ?>=<89:;q ?>=<89:;¬ ?>=<89:;q
?>=<89:;p
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 12/19
Assinaturas e Interpretações
DEFINICAO 5 (INTERPRETACAO) Uma interpretacao I para umaassinatura proposicional Σ e uma funcao I : Σ → B, ondeB = {V, F} e o conjunto dos valores booleanos.
EXEMPLO 5
Se Σ = {p, q}, entao temos quatro interpretacoes possıveis:
I1 = {p 7→ F, q 7→ F}, i.e., I1(p) = F, I1(q) = F .
I2 = {p 7→ F, q 7→ V }.
I3 = {p 7→ V, q 7→ F}.
I4 = {p 7→ V, q 7→ V }.
Em geral, se |Σ| = n, entao temos 2n interpretacoes, onde | − | eo operador de cardinalidade de conjuntos.
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 13/19
Semântica dos Operadores
A B ¬A A ∧ B A ∨ B A ⇒ B A ⇔ B ⊤ ⊥
I1 V V F V V V V V F
I2 V F F F V F F V F
I3 F V V F V V F V F
I4 F F V F F V V V F
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 14/19
Fórmulas e Interpretações
DEFINICAO 6 (AVALIACAO DE FORMULAS) Dada uma interpretacaoI : Σ → B, a funcao de avaliacao de formulas [[ ]]I : PΣ → B edefinida por inducao estrutural:
[SIG] [[x]]I = I(x).
[CON] [[⊤]]I = V e [[⊥]]I = F
[NEG] [[(¬A)]]I = (¬[[A]]I).
[E] [[(A ∧ B)]]I = ([[A]]I ∧ [[B]]I).
[OU] [[(A ∨ B)]]I = ([[A]]I ∨ [[B]]I).
[IMP] [[(A ⇒ B)]]I = ([[A]]I ⇒ [[B]]I)
[EQUI] [[(A ⇔ B)]]I = ([[A]]I ⇔ [[B]]I)
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 15/19
Exemplo de Avaliação
Na avaliação abaixo note que temos
Σ = {p, q, r}, I = {p 7→ V, q 7→ F, r 7→ V }.
[[(¬p ⇒ q) ∨ r]]I =
= [[(¬p ⇒ q)]]I ∨ [[r]]I [OU]= ([[¬p]]I ⇒ [[q]]I) ∨ I(r) [IMP,SIG]= (¬[[p]]I ⇒ I(q)) ∨ V [NEG,DEF I ]= (¬I(p) ⇒ F ) ∨ V [SIG,DEF I ]= (¬V ⇒ F ) ∨ V [DEF I ]= (F ⇒ F ) ∨ V [DEF NEG]= V ∨ V [DEF IMP]= V [DEF OU]
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 16/19
Avaliação com Tabelas-Verdade
Σ = {p, q, r}, F = (¬p ⇒ q) ∨ r
2|Σ| = 8 (linhas) - Colunas = Subfórmulas.
p q r ¬p (¬p ⇒ q) (¬p ⇒ q) ∨ r
I1 F F F V F F
I2 F F V V F V
I3 F V F V V V
I4 F V V V V V
I5 V F F F V V
I6 V F V F V V
I7 V V F F V V
I8 V V V F V V
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 17/19
Resumo
A SINTAXE DA LÓGICA PROPOSICIONAL É UMACONSTRUÇÃO FORMAL, NO SENTIDO DE QUE DADO UMSTRING COM SIMBOLOS PROPOSICIONAIS(OPERADORES, PARÊNTESES E VARIÁVEIS) PODEMOSDEMONSTRAR SE ESTE É OU NÃO BEM FORMADO, ISTOÉ, SE ELE É OU NÃO UMA FÓRMULA.
FÓRMULAS PROPOSICIONAIS PODEM SERREPRESENTADAS COMO ÁRVORES (BINÁRIAS), ONDE ARAIZ É ROTULADA COM O OPERADOR PRINCIPAL(MENOR PRECEDÊNCIA), E AS FOLHAS SÃO ROTULADASCOM AS VARIÁVEIS E AS CONSTANTES (PARA FALSO EVERDADEIRO).
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 18/19
Resumo
OS OPERADORES PROPOSICIONAIS POSSUEM UMSIGNIFICADO FIXO, O QUAL PODE SER DEFINIDOATRAVÉS DE UMA TABELA.
A UTILIZAÇÃO DA TABELA DE PRIORIDADE NOS PERMITEELIMINAR OS PARÊNTESES DAS FÓRMULAS,TORNANDO-AS DE MAIS FÁCIL VISUALIZAÇÃO.
OS SÍMBOLOS QUE NÃO POSSUEM SIGNIFICADO FIXOSÃO CHAMADOS DE VARIÁVEIS.
SE n É O NÚMERO DE VARIÁVEIS EM UMA ASSINATURA,ENTÃO TEMOS 2n INTERPRETAÇÕES OU LINHAS NATABELA VERDADE PARA UMA FÓRMULA DESTAASSINATURA.
ALFIO MARTINI - PUCRS – p. 19/19
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