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Lösung – 1. Übungsblatt
Fakultät Informatik, Technische Informatik, Lehrstuhl für Eingebettete Systeme
Konvertierung von Zahlendarstellungen verschiedener Alphabete und Darstellung negativer Zahlen
Übungsblatt 1 2
Stoffverteilung
1. Informationsdarstellung, Zahlensysteme und Konvertierung
2. Festkomma- und Gleitkommaformat, Rechnen mit Binärzahlen
3. Entwurf und Analyse einfacher kombinatorischer und squenzieller Schaltungen
4. Elementare Rechenwerke FK-Addition, -Multiplikation und -Division
5. Steuerwerke und Automaten
6. Befehlsformate, Addressierungsarten, Befehlszyklus und Hauptspeicher
7. MIPS-Instruction-Set, Basispipeline, Daten- und Steuer-Hazards
Übungsblatt 1 4
Aufgabe 1Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in Binärzahlen, Oktalzahlen und Hexadezimalzahlen um und überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Rückkonvertierung
a) 7310
26 25 24 23 22 21 20
73 : 2 = 36 Rest 136 : 2 = 18 Rest 018 : 2 = 9 Rest 0 9 : 2 = 4 Rest 1 4 : 2 = 2 Rest 0 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1
Z = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 Z = 64 + 8 + 1 = 73
10
Binärzahl: 10010012
Übungsblatt 1 5
Aufgabe 1
82 81 80
73 : 8 = 9 Rest 1 9 : 8 = 1 Rest 1 1 : 8 = 0 Rest 1
Binärzahl: 1 001 0012
Oktalzahl: 1 1 18
Berechnung:
Binärzahl: 100 10012
Hexadezimalzahl: 4 916
Berechnung: 161 160
73 : 16 = 4 Rest 9 4 : 16 = 0 Rest 4
Übungsblatt 1 6
Binäre Darstellung der Hexadezimalzahlen und Oktalzahlen
Stellenwert: Binär Oktal Binär Hexadezimal Wert Aufgabe 1a0 000 00001 001 00012 010 0010 0 0 1 0 0 1 0 0 13 011 00114 100 01005 101 0101 001 001 0016 110 01107 111 01118 - 1000 0 0100 10019 - 100110 = A - 101011 = B - 101112 = C - 110013 = D - 110114 = E - 111015 = F - 1111
Übungsblatt 1 8
Aufgabe 1
b) 24710
27 26 25 24 23 22 21 20
247 : 2 = 123 Rest 1123 : 2 = 61 Rest 1 61 : 2 = 30 Rest 1 30 : 2 = 15 Rest 0 15 : 2 = 7 Rest 1 7 : 2 = 3 Rest 1 3 : 2 = 1 Rest 1 1 : 2 = 0 Rest 1
Z = 1*27 + 1*26 + 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 Z = 128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 247
10
Binärzahl: 1111 01112
Übungsblatt 1 9
Aufgabe 1
82 81 80
247 : 8 = 30 Rest 7 30 : 8 = 3 Rest 6 3 : 8 = 0 Rest 3
Binärzahl: 11 110 1112
Oktalzahl: 3 6 78
Berechnung:
Binärzahl: 1111 01112
Hexadezimalzahl: F 716
Berechnung: 161 160
247 : 16 = 15 Rest 7 15 : 16 = 0 Rest F
Übungsblatt 1 11
Aufgabe 1
c) 140410
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
1404 : 2 = 702 Rest 0 702 : 2 = 351 Rest 0 351 : 2 = 175 Rest 1 175 : 2 = 87 Rest 1 87 : 2 = 43 Rest 1 43 : 2 = 21 Rest 1 21 : 2 = 10 Rest 1 10 : 2 = 5 Rest 0 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1
Z = 1*210 + 1*29 + 1*28 + 1*27 + 1*26 + 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 +
1*21 + 1*20 Z = 1024 + 256 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 = 1404
10
Binärzahl: 101 0111 11002
Übungsblatt 1 12
Aufgabe 1
83 82 81 80
1404 : 8 = 175 Rest 4 175 : 8 = 21 Rest 7 21 : 8 = 2 Rest 5 2 : 8 = 0 Rest 2
Binärzahl: 10 101 111 1002
Oktalzahl: 2 5 7 48
Berechnung:
Binärzahl: 101 0111 11002
Hexadezimalzahl: 5 7 C16
Berechnung: 162 161 160
1404 : 16 = 87 Rest C 87 : 16 = 5 Rest 7 5 : 16 = 0 Rest 5
Übungsblatt 1 14
Aufgabe 2
Konvertieren Sie in das Dezimal- und Oktalsystem:
a) AF1,2B16
10*162 + 15*161 + 1*160 + 2*16-1 + 11*16-2 = Z10
1010 1111 0001,0010 10112 → 101 011 110 001, 001 010 11
2
Z8 = 5361,126
8
2560 + 240 + 1 + 2/16 + 11/256 = Z10
2801 + 0,125 + 0,04296875 = 2801,16796875
Übungsblatt 1 16
Aufgabe 2
Konvertieren Sie in das Binär- und Hexadezimalsystem.
b) 224,62510
27 26 25 24 23 22 21 20
224 : 2 = 112 Rest 0 112 : 2 = 56 Rest 0 56 : 2 = 28 Rest 0 28 : 2 = 14 Rest 0 14 : 2 = 7 Rest 0 7 : 2 = 3 Rest 1 3 : 2 = 1 Rest 1 1 : 2 = 0 Rest 1
Berechnung des ganzzahligen Teils:
Übungsblatt 1 18
2-1 2-2 2-3
0,625 * 2 = 1,25 1 0,5 0,25 * 2 = 0,5 0 0,5 * 2 = 1 1 0,625
Berechnung der Nachkommastellen:
Binärzahl: 1110 0000,1012
Hexadezimalzahl: E 0 , A16
Aufgabe 2
Übungsblatt 1 21
Aufgabe 2
Konvertieren Sie in das Binär- und Hexadezimalsystem. Die Abweichung soll 0,01% nicht überschreiten:
c) 44,9210
25 24 23 22 21 20
44 : 2 = 22 Rest 0 22 : 2 = 11 Rest 0 11 : 2 = 5 Rest 1 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1
Mögliche Abweichung: 0,01% von 44,92 → ±0,004492
Berechnung des ganzzahligen Teils:
Übungsblatt 1 23
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8
0,92 * 2 = 1,84 1 0,5 0,84 * 2 = 1,68 1 0,75 0,68 * 2 = 1,36 1 0,875 0,36 * 2 = 0,72 0 0,72 * 2 = 1,44 1 0,90625 0,44 * 2 = 0,88 0 0,88 * 2 = 1,76 1 0,9140625 0,76 * 2 = 1,52 1 0,91796875
Berechnung der Nachkommastellen:
Binärzahl: 10 1100,1110 10112
Hexadezimalzahl: 2 C, E B16
Aufgabe 2
Gewünschte Genauigkeit erreicht.
Übungsblatt 1 25
Aufgabe 3
a)
910 → 1001
2 → 4 Stellen
9910 → 110 0011
2 → 7 Stellen
99910 → 11 1110 0111
2 → 10 Stellen
999910 → 10 0111 0000 1111
2 → 14 Stellen
Wieviele Stellen im Binärsystem benötigen Sie für die Konvertierung von 910
, 9910
, 99910
und 999910
.
Stellen Dez. 1 2 3 4
Stellen Binär 4 7 10 14
Übungsblatt 1 27
Aufgabe 3
b) Versuchen Sie anhand dieser Beispiele eine allgemeine Regel für die Anzahl benötigter Stellen bei der Konversion von Zahlen aus dem Dezimalsystem ins Binärsystem abzuleiten.
0 2500 5000 7500 100000
2
4
6
8
10
12
14
16
Dezimalzahl
Ste
llen
zah
l
Stellen n der Zahl z dezimal: n = log10(z+1) = lg(z+1) Stellen n der Zahl z binär: n = log2(z+1) = ld(z+1)
f(z) = ld(z+1)
f(z) = lg(z+1)
Übungsblatt 1 29
Aufgabe 3logbz = logaz : logab → (lg z)/(lg 2) pro Stelle (lg 10)/(lg 2) = 3,321928Umrechnungsformel:
Beispiel: 86410
3 Stellen 3 * 3,3→ = 9,9 → 10 Stellen 11 0110 00002
0 1 2 3 4 50
2
4
6
8
10
12
14
16
Stellen Dezimal
Ste
llen
Bin
är
f(z) ≈ 3,3 z
Die Anzahl der Stellen nach dem Komma ist nicht exakt bestimmbar.
z 9 99 999 9999
n= (lg(z+1))/(lg 2) 3,322 6,644 9,966 13,288
Übungsblatt 1 31
Aufgabe 4
|5710| → 11 1001
2
|15010| → 1001 0110
2
|-7110| → 100 0111
2
|-12810| → 1000 0000
2
Konvertieren sie die Zahlen 5710
, 15010
, -7110
und -12810
in ein 8 Bit Binarformat.
Verwenden Sie dabei jeweils die Vorzeichen-Betrag-Darstellung, die Offset-Darstellung und (B-1)-Komplement- und B-Komplement-Darstellung.
Ermitteln der Binär-Beträge:
Übungsblatt 1 33
Aufgabe 4
8 Bit Vorzeichen-Betrag-Darstellunga)
Höchstwertiges Bit wird als Vorzeichen interpretiert (0=positiv, 1=negativ)
|5710| → 11 1001
2
|15010| → 1001 0110
2
|-7110| → 100 0111
2
|-12810| → 1000 0000
2
5710 → 0011 1001
2→ 57
15010 → 1001 0110
2→ -22 Überlauf
-7110 → 1100 0111
2→ -71
-12810→ 1 1000 0000
2→ -0 Überlauf
Binär-Betrag(Vorzeichen-Betrag-Darstellung)
InterpretierteDezimalzahl
Wert mit Vorzeichen
Übungsblatt 1 35
Aufgabe 4
8 Bit Offset-Darstellung (Offset = 128)b)
5710 = 57 + 128 = 185 → 1011 1001
2 → 57
15010 = 150 + 128 = 278 → 1 0001 0110
2 → -106 Überlauf
-7110 = -71 + 128 = 57 → 0011 1001
2 → -71
-12810 = -128 + 128 = 0 → 0000 0000
2 → -128
(Offset-Darstellung)InterpretierteDezimalzahl
Addition des Binär-Betrags mit 128 (1000 00002) → 0 durch 128 kodiert
Wert mit Vorzeichen
Übungsblatt 1 37
Aufgabe 4
8 Bit (B-1)-Komplement-DarstellungDie Differenz zu 1111 1111 bilden entspricht bei binären Zahlen der
c)
|5710| → 11 1001
2
|15010| → 1001 0110
2
|-7110| → 100 0111
2
|-12810| → 1000 0000
2
5710→ 0011 1001
2→ 57
15010→ 1001 0110
2→ -105 Überlauf
-7110→ 1011 1000
2→ -71
-12810→ 0111 1111
2→ 127 Überlauf
Binär-Betrag(Komplement-Darstellung)
InterpretierteDezimalzahl
Negation aller Stellen für negativen Zahlen
Wert mit Vorzeichen
Übungsblatt 1 39
Aufgabe 4
8 Bit B-Komplement-Darstellung (Eliminierung der doppelten Null)c)
Binär-Betrag(B-Komplement-Darstellung)
InterpretierteDezimalzahl
|5710| → 11 1001
2 → 0011 1001
2 → 57
|15010| → 1001 0110
2 → 1001 0110
2 → -106 Überlauf
|-7110| → 100 0111
2 → 1011 1000
2
+ 0000 0001
2
1011 1001
2 → -71
|-12810| → 1000 0000
2 → 0111 1111
2
+ 0000 0001
2
1000 0000
2 → -128
Wert mit Vorzeichen
Übungsblatt 1 41
Aufgabe 48 Bit B-Komplement-Darstellung (Eliminierung der doppelten Null)d)
255 0
128 127
Alle Werte für 8 Bit ohne Vorzeichen am Zahlenkreis angetragen.
Mit Vorzeichen stehen die Werte links für negative Zahlen und rechts für positive Zahlen127 – 01111111 ….000 – 00000000-1 – 111111111 …..-128 – 10000000
-1 0
- 128 127
Übungsblatt 1 42
Das B-Komplement ist die Differenz zu dem in der vorgegebenen Stellenanzahl größtem darstellbarem Wert + 1.
4 Stellen Dezimal sind 9999 + 1 = 10000 Das B-Komplement von 4321 ist: 10000 – 4321 = 5679
oder man bildet das B-1 Komplement und addiert danach 1. Das B-1 Komplement ist: 9999 – 4321 = 5678 und nun noch +1
4 Stellen Binär sind 1111 + 0001 = 10000 Das B-Komplement von 0101 ist: 10000 – 0101 = 1011
oder man bildet das B-1 Komplement und addiert danach 1. Das B-1 Komplement ist: 1111 – 0101 = 1010 und nun noch +1
1010 ist die Negation jeder Stelle in der Binären Darstellung!
Übungsblatt 1 45
Aufgabe 5
-0101 0100 → 1 0 1 0 1 0 1 1 + 0 0 0 0 0 0 0 1
01 00 01 00 01 01 10 10 → kein Überlauf
Konvertieren Sie in B-Komplement-Darstellung ohne in ein anderes Zahlensystem umzurechnen. Achten Sie dabei auf den gegebenen Darstellungsbereich.
8 Bit B-Komplement-Darstellung (Differenz zu 1111 1111 und +1)a)
8 Bit B-Komplement-Darstellung (Differenz zu 1111 1111 und +1)b)
-1001 1000 → 0 1 1 0 0 1 1 1 + 0 0 0 0 0 0 0 1
00 01 01 00 01 10 10 10 → Überlauf
(Interpretation als positive Zahl)
Übungsblatt 1 48
Aufgabe 5
-32FA → C D 0 5 + 0 0 0 1
0C 0D 00 06
→ kein Überlauf
B-Komplement-Darstellung Hexadezimal (Differenz zu FFFF und +1)c)
B-Komplement-Darstellung Dezimal (Differenz zu 9999 und +1)d)
-0213 → 9 7 8 6 + 0 0 0 1
09 07 08 07
→ kein Überlauf
Negation: F-0 → F, F-1 → E, F-2 → D, F-3 → C, ... ,F-F → 0
Negation: 9-0 → 9, 9-1 → 8, 9-2 → 7, 9-3 → 6, ... ,9-9 → 0
oder: 1 0 0 0 0 - 0 3 2 F A
0 1C 1D 00 16
oder: 1 0 0 0 0 - 0 0 2 1 3
0 19 17 18 17
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