limesi pdf

Limes oblika u beskonačnosti Izračunajte:

(a)

, (b)

.

Rešenje.

(a)

Zadati limes je neodređenog oblika . Izdvojimo li iz brojioca i imenioca funkcije pod limesom, dobijamo

pri čemu koristimo

(b)

Zadani limes je neodređenog oblika . Izdvojimo li iz brojioca i imenioca funkcije pod limesom, dobijamo

jer je

Limes racionalne funkcije oblika Izračunajte

Rešenje. Zadani limes je neodređenog oblika , jer nakon zamene funkcija u brojiocu i funkcija u imeniocu dobijaju vrednost nula. Budući da su obe funkcije polinomi, njihovim rastavljanjem na činioce dobijamo i u brojiocu i u imeniocu (x-1). Tačnije

Limes racionalne funkcije oblika Izračunajte

Rešenje. S obzirom da je

limesi zdesna i sleva zadane funkcije u su neodređenog oblika . Svođenjem na zajednički imenilac dobijamo

Limes iracionalne funkcije oblika Izračunajte:

(a)

, (b)

.

Rešenje.

(a) Zadani limes je neodređenog oblika . Racionalizacijom funkcije u brojiocu dobijamo

(b) Zadani limes je neodređenog oblika . Supstitucijom se oslobađamo iracionalnih izraza u funkciji pod limesom i dobijamo

Limes iracionalne funkcije oblika Izračunajte:

(a)

, (b)

.

Rešenje.

(a) Odmah sledi

S druge strane je neodređenog oblika pa racionalizacijom funkcije pod limesom dobijamo

(b) S obzirom da je

zadani limesi su oblika . Racionalizacijom funkcije pod limesom dobijamo

Budući da je

iz dobivenog rezultata sledi

Primjena kada Izračunajte:

(a)

, (b)

, (c)

, (d)

.

Rešenje. Ideja u ovim zadacima je transformirati funkciju pod limesom tako da možemo primeniti formulu

(4.1)

koja se dobije iz [M1, primjer 4.6] supstitucijom . (a)

Supstitucijom dobijamo

(b)

Supstitucijom i primjenom [M1, teorem 4.3] dobijamo

(c)

Primjenom formula i dobijamo

Zbog neprekidnosti funkcije važi

Pa sada sledi

(d)

Racionalizacijom brojioca, primjenom formule te iz [M1, teorem 4.3] i [M1, teorem 4.7 (ii)] za neprekidnu funkciju , dobijamo

Primena kada Izračunajte

Rešenje. Izdvojimo li iz brojioca i imenioca funkcije pod limesom dobijamo

Budući da je , za svaki , za važi

Kako je

to je

Sada za zadani limes važi

Limes oblika Izračunajte

Rešenje. Budući da je

vrijedi

jer je

Još važi