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Cours de maths en 4ème
Les puissances
LES PUISSANCES: …vers les exposants négatifs
Puissances de 2 Puissances de 10
2n définition résultat 10n définition résultat
26
2 2 2 2 2 2× × × × × 64 106
25 105
24 104
23 103
22 102
21 101
20 100
2-1 10-1
2-2 10-2
2-3 10-3
2-4 10-4
2-5 10-5
2-6 10-6
Complète la partie supérieure du tableau ; elle correspond aux puissances de 2 et de 10 d’exposants supérieurs ou égaux à 2 En examinant les calculs effectués, déduis-en, de proche en proche, les puissances de 2 et de 10 d’exposants inférieurs ou égaux à 1 (Trouve d’abord le résultat de chaque puissance puis essaie de trouver une définition avec des produits et des quotients ne comportant que les nombres 2 et 10). Conclusion:…………………………………………………………………………………………………………………………………………………...… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
LES PUISSANCES
- Puissances d’exposants positifs
a) Exemples
36 6 6 6 216= × × = ( ) ( ) ( )23 3 3 9− = − × − = +
( ) ( ) ( ) ( )35 5 5 5 1− = − × − × − = − 25 410 10 10 10 10 10000= × × × =
50 0 0 0 0 0 0= × × × × =3
3
1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 27
⎛ ⎞ = × × = =⎜ ⎟⎝ ⎠
24 4 45 5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − × − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1625
1 ( ) ( ) ( ) ( )10
10
1 1 1 ... 1facteurs
− = − × − × × − = +
b) Formule n est un nombre entier supérieur ou égal à 2
...n
n facteurs
a a a a= × × ×
c) Remarque
Si a est un nombre négatif Si l’exposant n est un entier pair
alors est un nombre positif Si a est un nombre négatif Si l’exposant n est un entier impair
( ) ( ) ( ) ( ) ( )45 5 5 5 5 62− = − × − × − × − = + 5
7
na
( ) ( ) ( ) ( )33 3 3 3 2− = − × − × − = −
alors est un nombre négatif
na
d) Attention !
L’exposant 2 est celui du nombre 3 et non du nombre (-3) 23 3 3− = − × = −9
- Puissances d’exposant égal à 1
a) Formule
1a a= quel que soit le nombre a b) Exemples
13 = 3 5( )15− = − 11 1
3 3⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
- Puissances d’exposant égal à 0
a) Formule
0 1a = quel que soit le nombre non nul a ( n’existe pas) 00
b) Exemples
010 1=02 1
5⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )03 1− =
c) Attention !
L’exposant 0 est celui de 4 et non de – 4
04 1− = −
- Puissances d’exposant entier négatif
a) Exemples
44
1 122 1
− = =6
77
1 11010 10000000
− = = 33
1 133 2
− = =7
( )( )
22
1 1393
−− = =−
11
1 144 4
− = = ( )( )
11
1 133 33
− 1− = = = −
−−
b) Remarque
est l’inverse de a car 1a− 11
1 1aa a
− = =
c) Formule
1n
naa
− = si a n’est pas égal à 0 et si n est un nombre entier naturel
d) Utilité
Les puissances de 10, d’exposants positifs ou négatifs, permettent d’écrire facilement de très grands et de très petits nombres.
910 1 000 000 000= 77
1 110 0,000 000 110 10 000 000
− = = =
- Calculs avec des puissances de 10
a) Écriture
5"
5 5 1−
3 4 3 4
"
10 000001zéros
=5
10 0,0000chiffres
=
b) Produit de deux puissances de 10
710 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 +× = × × × × × × = = 5
52 52− +× =5 32 2
1 10 10 10 10 10 1010 10 10 1000 10 1010 10 10 10
−× × × ×× = = = = =
×
2 13
3 3 2− 2 1 10 10 110 10 10 10 1010 10 10 10 10
−− +×× = = = =
× ×× =
52
2 3− −× =3 23 2 3 5
1 1 1 110 10 10 1010 10 10 10 10
−− −× = = = =×
10 10 10a b× =b a+ quels que soient les nombres entiers a et b
c) Quotient de deux puissances de 10
53
3−55 2310 10 10 10 10
10−= × = = 3
3
5−3 55 210 10 10 10 10
10− −= × = =
23
3
−
=22 3 510 10 10 10 1010
− − −−−= × = 2
( 3)3
−−
−2
22 3 2 3
3
10 10 10 10 10 10 1011010
−− − + − −= = × = = =
10 1010
aa b
b−
32 2 3×= × =
=
2 2 2 2 2 610 10 10 10 10 10 10++× = =
quels que soient les nombres entiers a et b
d) Puissance d’une puissance de 10
( ) 2
( )( )
( )62 3 2
23 − 3 263
1 1 110 10 1010 1010
−×
× −= = = = =
610 10 10 10 10 10− − − −= =
( ) 3 3 3 323 3 2−− − ×= × =
( )( )
( )63 2 3 6
32 2
2
31 1 110 10 1010 1010
− ×−
−× −
−= = = = =− −
)
(10 10ba a b×= quels que soient les nombres entiers a et b
- De grands et petits nombres
a) Exercice :
Quelle est la distance parcourue par la lumière en un an ? La vitesse de la lumière est environ 300 000 km/s Sachant qu’il y a 3600 s par heure, 24 h par jour et 365 jours par an, la distance parcourue par la lumière est :
La calculatrice n’affiche qu’une valeur approchée et en notation scientifique : La distance, appelée « année-lumière » est :
12
9.4608 12300000 3600 24 365
9.4608 10affichage calculatrice× × × ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
×
12 460 800 000 000virgule décalée de rangs
1 16
15èmeen
12
1 9, 4608 10 km 9 kma l− ≈ × =
1,15454 10 0,0000000000000001 454 position après la virgule
V m m−≈ × =
b) Exercice : Un globule rouge a approximativement la forme d’un cylindre dont le rayon de base est 0,0000035 m et la hauteur 0,000003 m. Quel est, en m3, le volume de ce globule ?
Ce volume est, environ :
Cette dernière écriture montre tout l’intérêt de la notation scientifique !
2 0,0000035 0,0000035 0,000003 1.15454 16affichageV r hπ π= = × × × ⎯⎯⎯⎯→ −
16 3 3
- La notation scientifique et la calculatrice
Si le résultat d’un calcul dépasse la capacité d’affichage de la calculatrice, la notation scientifique est automatiquement affichée. (Voir les exemples précédents)
L’obtention de l’écriture scientifique dépend des modèles de calculatrice :
Il faut employer la touche EE ou EXP ou 10x× selon le modèle. Exemples :
Pour entrer , taper : 845 10×
45 8
45 8
45 10 8x
EE
EXP
×
La calculatrice affiche : ce qui
représente :
9
4.5 94.5 10
94,5 10×On remarque que la notation scientifique s’écrit toujours avec un seul chiffre devant la virgule
Pour entrer , taper: 7234 10−×
234 7
234 7
234 10 7x
EE
EXP
−
−
× −
l’affichage est :5
2.34 52.34 10−
− ce qui représente : 52,34 10−×
Attention : la touche yx ou xy ne donne pas l’écriture scientifique :
45 8 1.68151 13afficheyx ⎯⎯⎯→ qui représente !!! 131,68151 10× Attention : pour entrer , taper : 610 1 6EE et non 10 6EE qui représente 107 !
- Calculs en notation scientifique : Exercice : On donne et 31,8 10x −= × 43 10y −= × 3 4 3 41,8 10 3 10 1,8 3 10 10 5,4 10xy − − − −= × × × = × × × = × 7−
3 3
3 ( 4)4 4
1,8 10 1,8 10 0,6 10 0,6 10 63 10 3 10
xy
− −− − −
− −
×= = × = × = ×
×=
( )3 4 3 3 3 31,8 10 3 10 1,8 10 0,3 10 1,8 0,3 10 2,1 10x y − − − − − −+ = × + × = × + × = + × = ×
ÉCRITURES DE LA FORME : 10pa×
Tu peux utiliser ce tableau pour écrire un même nombre avec différentes puissances de 10
Exemple : 85 760,00002458 ,458 ,58 ,82 10 24 5 10 8 100 42 2 51 −− −−= × = × = × = ×4
710 610 510 410 310 210 110 010 110− 210− 310− 410− 510− 610− 710− 810− 910−
0 0 0 0 0 2 4 5 8
LES PUISSANCES - Écris sous la forme de nombre entier ou de nombre à virgule : ......................................10 ......................................104 = 7 = − =104 ......................................− =103 .................................................
................................( )−10 3 = ( )−10 4 = .................................10 1− = ......................................10 ................................................... 2− =
......................................10 ......................................1010 3− = 4− = 5− = ......................................− =−10 2 ..............................................
................................................. ( )10 102 8− × = 10 3 3− −= ..................................................10 103 5− −× = ..........................................
........................................................ ....................................................10( )102 3−= ( ) =− 2410 102 3− −+ = ..........................................
- Calcule (exprime le résultat sous forme de nombre entier ou de nombre à virgule): ..............................................71 ..............................................71 ...................…………..............
71 427 103, × = = =
= =
427 102, × 427 10, ×
..............................................7171 427 10 3, × − 427 10 2, × −.............................................71 .......…………..................
427 10 1, × − =
........................................................40− × =−5 10 3 10 2× =−......................................................− × =−8 10 4 ................……………................
..............................................− × ...............................................7 1− ×205 43 104, = =−5 06 10 2, 0 8× =− ......................……………............
- Calcule : ........................……………....................4 143 = 03× = .....................…………….......................− × =4 103 ................…………........................
...............................……………............4 14 3− = 0 3× =− .......................………….......................− × =−4 10 3 ........................…………..............
...........................................................................2 5 4 73× + × 2 = ( ) ( )− + −5 72 2 = .........................................…………….................................
.......................................................................................( )− − =5 7 2 ( ) ( )3 5 3 52+ − − 2 =− −............................................…………….................
- Écris en notation scientifique : .................................……...........0172000000 = 0041, = .................……...........................− =0 00012, ....................………..........................
........................….....................−0 00000007, = =752000 .......................……….................351 109× = .....................…….........................
................................…….......0 ...................…….…................− × ................…..................... − ×500 1024 = = =
=
4 =−
2
0053 10 3, × − 0 089 1013,
....................................................................................……………….............................................................................. 3 5 10 4 2 1013 32, ,× × × −
...........................................................................……………….............................................................................................. 5 10 35 103× + ×−
- Donne une écriture décimale des expressions suivantes : 3 10 6 10 7 10 5 10 8 102 1 0 1× + × + × + × + × =− −
2 =
2
...............................…………...................................................................................
..........................................................................................................…...................................................................... 12 10 21 103× + × −
7 10 3 10 2 9 10 4 102 1 1× − × − + × − × =− − ..................................................................................................................................
Devoir 1 - Donne les notations scientifiques des nombres :
a = ×× −
15 101 2 10
3
4, b = × × ×−2 8 10 4 55 1013 9, , c = × − ×− −3 7 10 5 8 104 5, ,
- Combien de temps faut-il pour rembourser une somme de 170 milliards d’euros à raison de 1 € par seconde ?
- On considère les nombres : x = =56
49
et y
Exprime en fonction de x et de y, puis calculer :
a) la somme des inverses de x et de y.
b) l’inverse de la somme de x et de y.
c) le produit des opposés de x et de y.
d) l’opposé du produit de x et de y.
Devoir 2
- Écris en notation scientifique les nombres suivants:
0000000004651048
465000000000,010487
esmillionièm253milliards57
9
5
×
× −
- a) Écris les nombres suivants sous la forme: puis compare ces quatre nombres: 610a ×
8
5
7
1021,0
1930000010180
102
×
×
×
b) Écris les nombres suivants sous la forme: puis compare ces quatre nombres: 510a −×
000087,01075
107,0
10699
6
4
7
−
−
−
×
×
×
- Écris les nombres suivants sous leur forme la plus simple:
( nombre entier, nombre à virgule ou, à défaut, fraction irréductible)
5
4
8
5
105106103105
118
185
127
−
−
××××
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Devoir 3
- Écris en notation scientifique chacun des nombres suivants:
* 38 milliards
* 975 millionièmes
* 487 10 5× −
* 0,000 000 000 049
* 648 109×
* 76 800 000 000 000
- Donne les notations scientifiques des nombres a, b, c suivants :
a = ×× −
15 101 2 10
3
4, b = × × ×−2 8 10 4 55 1013 9, , c = × − ×− −3 7 10 5 8 104 5, ,
- Au cours d'un orage, un éclair zèbre le ciel lourd de nuages noirs.
Sa puissance atteint 3 000 milliards de Watts!
a) Écris cette puissance en notation scientifique.
b) Combien d'ampoules de 100 Watts pourrait-on allumer avec une telle puissance?
- On donne ci-dessous les masses (en gramme) de certains atomes de métaux.
Il s'agit de les comparer.
Pour cela, tu dois d'abord les écrire avec la même puissance de 10.
cuivre : 10 55 10 23, × −
fer : 928 10 25× −
plomb : 3 44 10 22, × −
aluminium : 4480 10 26× −
or : 328 10 24× −
Conseil: Tu peux choisir 10 -23
LES PUISSANCES: …vers les exposants négatifs
Puissances de 2 Puissances de 10
2n définition résultat 10n définition résultat
26
2 2 2 2 2 2× × × × × 64 106 10 10 10 10 10 10× × × × × 1000000
25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
× × × × ×= × × × × 32 105 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10× × × × ×
= × × × × 100000
24 2 2 2 2 2 2 2 2 22
× × × ×= × × × 16 104 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10× × × ×
= × × × 10000
23 2 2 2 2 2 2 22
× × ×= × × 8 103 10 10 10 10 10 10 10
10× × ×
= × × 1000
22 2 2 2 2 22
× ×= × 4 102 10 10 10 10 10
10× ×
= × 100
21 2 2 22×
= 2 101 10 10 1010×
= 10
20 2 12= 1 100 10 1
10= 1
12− 12
12
110− 110
0,1
2-22
1 1 1 12 2 2 2 2× = =
×
14
10-22
1 1 1 110 10 10 10 10
× = =×
0,01
2-33
1 1 1 12 2 2 2 2 2 2
× = =× × ×
18
10-33
1 1 1 110 10 10 10 10 10 10
× = =× × ×
0,001
2-44
1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2
× = =× × × × ×
1
16 10-4
4
1 1 110 10 10 10 10 10 10 10 10
× = =× × × × ×
1 0,0001
2-54 5
1 1 122 2
× = 1
32 10-5
4 5
1 1 11010 10
× = 0,00001
2-65 6
1 1 122 2
× = 1
64 10-6
5 6
1 1 11010 10
× = 0,000001
Complète la partie supérieure du tableau ; elle correspond aux puissances de 2 et de 10 d’exposants supérieurs ou égaux à 2 En examinant les calculs effectués, déduis-en, de proche en proche, les puissances de 2 et de 10 d’exposants inférieurs ou égaux à 1 (Trouve d’abord le résultat de chaque puissance puis essaie de trouver une définition avec des produits et des quotients ne comportant que les nombres 2 et 10). Conclusion : La puissance d’exposant négatif est l’inverse de la puissance d’exposant opposé.
Corrigé LES PUISSANCES
- Écris sous la forme de nombre entier ou de nombre à virgule : 4 10 01 000= 7 10 00010 000= 4 010 10 00−− = 3 010 1 00−− =
. ( )3 010 1 00−− = ( )4 010 10 00+− = 1 ,0 01 1− = − ................................................... 2 10 01 0,− =
3 0 00 11 ,0− = 4 0,0 11 000− = 5 0,0010 0 01− = 210 0,01−− = −
2 82 8 610 10 10 1 00010 000− +− = =× = ( ) ( )3 933 310 10 1 000 000 00010 − × −−− = = = 83 5 1010 1 0,000 00 10 0 0−− − =× =
( ) ( )2 62 3310 110 0 0,000 001× − −−
= == ( ) 4 2 824 10 10 0,000 000 10 01− × −− = == 2 3 0,01 0,010 1 01 0,0110− − + =+ =
- Calcule (exprime le résultat sous forme de nombre entier ou de nombre à virgule): 371,427 10 71427× = 271,427 10 7142,7× = 71, 427 10 714, 27× = 371, 042 ,07 10 71 427−× = 271,427 10 0,71427−× = 171,427 10 7,1427−× = 3 0,005 10 5−− × = − 2 00 44 10 ,−× = 4 0,0008 1 80−− × = − 4 2 054 30205,43 10 0− × = − 25,06 10 0,0506−− −× = 8 0,000 07 1 0 070 0−× =
- Calcule : 3 4 4 4 44 6= × × = 3 010 04 40× = 3 4004 10 0− × = −
33 1 1 0,015625
6444− = == 34 00 0 41 0,−× = 3 0,004 10 4−− × = −
3 2 2 125 4 492 250 15 4 7 96 446× + × = += =× + × ( ) ( )2 2 25 45 7 9 74++ − =− = ...........
( ) ( )2 2125 1447− − == − ( ) ( ) ( )( )
2 22 2
2 2 1 13 5 1 1 1 16 158 264 4 64 64 648 2
3 5− − −− − − = − = − = − = −+−
− − =
- Écris en notation scientifique : 8172000000 1,72 10= × 34,10,00 041 1 −= × 40,00012 1, 2 10−− ×− =
80,0000000 7 07 1 −= × 5752000 7,52 10− ×− = 9 113,51 0351 10 1×× =
24 265 10 1000 5− × = − × 3 60,00 553 10 ,3 10−−× = × 13 110 8,9 10,089 10− × = − ×
1313 32 13 9 123,5 10 4 3,5 4,2 10 10 14,7 10 1,47 1, 2 1 00− 8− − −× × × × × × = ×× = =
4 33 0,005 0,0035 0,5 10 3 0085 8,5 10 05 1− − −+ = = ×× + × =
- Donne une écriture décimale des expressions suivantes :
2 1 0 1 23 10 6 10 7 10 5 10 8 10 300 60 7 0,5 0,08 36 587,− − + + + + =× + × + × + × + × =
3 2 120001 0,21 12000,22 10 21 110− + =× + × =
2 1 1 2 77 10 003 10 2 9 10 4 10 30 2 0,9 0,04 668,86− − − − + − =× − × − + × − × =
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