lavag 1 trigonometrija -...
Post on 18-Feb-2018
233 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Glava 1
Trigonometrija
1.1 Teorijski uvod
Neka su u ravni Oxy dati krug k = {(x, y) ∈ R×R : x2+y2 = 1} i pravap = {(x, y) ∈ R ×R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravojp, kao brojevnoj pravoj, tako da broju t odgovara taqka (1, t) (videti sliku1.1).
Slika 1.1:
1
2 1.1. Teorijski uvod
Namotajmo (bez isteza�a ili skupa�a) pravu p oko kruga k na slede�inaqin (videti sliku 1.2):
Taqka (1, 0) ostaje fiksirana. Polupravu qiji je poqetak taqka (1, 0)i qija je jedna taqka, taqka (1, 1) namotajmo u pozitivnom smeru (smerusuprotnom od kreta�a kazake na satu). Polupravu qiji je poqetak taqka(1, 0) i qija je jedna taqka, taqka (1,−1) namotajmo u negativnom smeru(smeru kreta�a kazake na satu).
Prethodnim postupkom (namotava�em prave p oko kruga k) smo svakomrealnom broju t pridru�ili taqno jednu taqku kruga k, taqku E(t). Ap-scisa taqke E(t) je kosinus realnog broja t (oznaqava se sa cos t). Ordinatataqke E(t) je sinus realnog broja t (oznaqava se sa sin t) (videti sliku 1.3).
Slika 1.2: Slika 1.3:
Navedimo neka svojstva funkcija sinus i kosinus.
1) Domen funkcija kosinus i sinus jeste R.
2) Za svaki realan broj t va�i −1 6 cos t 6 1 i −1 6 sin t 6 1.
3) Funkcije kosinus i sinus su 2π periodiqne.
4) Za svaki realan broj t va�i cos2 t+ sin2 t = 1.
5) Funkcija kosinus je parna tj. za svako t ∈ R va�i cos (−t) = cos t.Funkcija sinus je neparna tj. za svako t ∈ R va�i sin (−t) = − sin t.
1. Trigonometrija 3
6) Skup nula kosinusa jeste skup{π2+ kπ : k ∈ Z
}. Skup nula sinusa
jeste skup {kπ : k ∈ Z}.
7) Za svako t1, t2 ∈ R va�i:
cos (t1 + t2) = cos t1 cos t2 − sin t1 sin t2
sin (t1 + t2) = sin t1 cos t2 + cos t1 sin t2.
Grafici funkcija kosinus i sinus su prikazani na slikama 1.4 i 1.5.
Slika 1.4:
Slika 1.5:
4 1.1. Teorijski uvod
Koliqnik sinusa i kosinusa realnog broja t (u sluqaju kada je defini-san) se naziva tangens realnog broja t (oznaqava se sa tg t).
Koliqnik kosinusa i sinusa realnog broja t (u sluqaju kada je defini-san) se naziva kotangens realnog broja t (oznaqava se sa ctg t).
Navedimo neka svojstva funkcija tangens i kotangens.
1) Domen funkcije tangens jeste R\{π2+ kπ : k ∈ Z
}a domen funkcije
kotangens jeste R\ {kπ : k ∈ Z}.
2) Funkcije tangens i kotangens su π periodiqne.
3) Skup nula tangensa jeste skup {kπ : k ∈ Z}. Skup nula kotangensa
jeste skup{π2+ kπ : k ∈ Z
}.
Grafici funkcija tangens i kotangens su prikazani na slikama 1.6 i1.7.
Slika 1.6:
1. Trigonometrija 5
Slika 1.7:
Funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens nisu bijekcije na svomdomenu∗. Me�utim, ako restrikujemo domen i kodomen onda su funkcije:
cos : [0, π]→ [−1, 1],
sin :[−π2,π
2
]→ [−1, 1],
tg :(−π2,π
2
)→ R,
ctg : (0, π)→ R,
bijekcije. Otuda date funkcije imaju inverzne funkcije (arkus kosinus,arkus sinus, arkus tangens, arkus kotangens):
arccos : [−1, 1]→ [0, π],
arcsin : [−1, 1]→[−π2,π
2
],
arctg : R→(−π2,π
2
),
∗za kodomen uzimamo skup R
6 1.1. Teorijski uvod
arcctg : R→ (0, π).
Grafici funkcija arkus kosinus, arkus sinus, arkus tangens, arkus kotan-gens su prikazani na slikama 1.8, 1.9, 1.10 i 1.11.
Slika 1.8: Slika 1.9:
Slika 1.10:
1. Trigonometrija 7
Slika 1.11:
1.2 Rexeni zadaci
Vrednosti trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih
funkcija. Trigonometrijski identiteti
1.2.1. Izraqunati:
a) sinπ
2;
b) cos 7π;
v) cosπ
4;
g) sin7π
6.
Rexe�e.
a) Kako je du�ina qetvrtine kruga k† jednakaπ
2sledi da je E
(π2
)=
(0, 1) odnosno sinπ
2= 1;
b) Kako je du�ina kruga k jednaka 2π sledi da je E(7π) = E(3 ·2π+π) =E(π) = (−1, 0) odnosno cos 7π = −1;
v) Da bismo odredili cosπ
4potrebno je odrediti koordinate taqke M ,
M = E(π4
)(videti sliku ??). Neka je O = O(0, 0) i I = I(1, 0).
Kako je du�ina pozitivno orijentisanog luka IM jednakaπ
4sledi
da je ]IOM = 45◦. Neka su A i B normalne projekcije taqke M nakoordinatne ose Ox i Oy. Trougao OAM je pravougli jednakokrakitrougao. Du�ina osnovice OM trougla OAM je jednaka 1. Otuda
†Pogledati Teorijski uvod.
8 1.2. Rexeni zadaci
je du�ina krakova OA i OB trougla OAM jednaka1√2. Konaqno
E(π4
)=
(1√2,1√2
), odnosno cos
π
4=
1√2;
g) Da bismo odredili sin7π
6potrebno je odrediti ordinatu taqke M ,
M = E
(7π
6
)(videti sliku ??). Neka je O = O(0, 0) i J = J(−1, 0).
Kako je du�ina pozitivno orijentisanog luka JM jednakaπ
6sledi
da je ]JOM = 30◦. Neka je N taqka simetriqna taqki M u odnosuna Ox osu. Trougao NOM je jednakostraniqni, pri qemu je du�ina�egove stranice jednaka 1. Neka je B normalna projekcija taqkeM nakoordinatnu osu Oy. Du�ina du�i OB je jednaka polovini du�ine
stranice trougla NOM . tj. jednaka je1
2. Otuda je sin
7π
6= −1
2.
4
1.2.2. Da li postoji realan broj t takav da je:
a) cos t =4
5i sin t = −3
5;
b) cos t =1
3i sin t =
2
3?
Rexe�e.
a) Neka je x =4
5i y = −3
5. Tada je x2 + y2 =
(4
5
)2
+
(−3
5
)2
= 1. Na
osnovu definicije preslikava�a E za svako (x, y) takvo da je x2+y2 =1 postoji t ∈ R takvo da je cos t = x i sin t = y. Otuda postoji realan
broj t takav da je cos t =4
5i sin t = −3
5;
b) Pretpostavimo da postoji t ∈ R takvo da je cos t =1
3i sin t =
2
3.
Tada je cos2 t + sin2 t =
(1
3
)2
+
(2
3
)2
=5
9, xto je u suprotnosti sa
identitetom cos2 t + sin2 t = 1 koji va�i za svako t ∈ R. Dakle ne
postoji realan broj t takav da je cos t =1
3i sin t =
2
3.
4
1.2.3. Xta je ve�e:
a) cos 1 ili cos 2;
b) sin 3 ili sin 1;
1. Trigonometrija 9
v) sin 1 ili cos 1;
g) cos 4 ili sin 3 ?
Rexe�e.
a) Kako je cos 1 > 0, a cos 2 < 0 (videti sliku ??) sledi da je cos 1 > cos 2;
b) Kako je sin 3 < sin3π
4, sin
3π
4= sin
π
4i sin
π
4< sin 1, sledi da je
sin 3 < sin 1;
v) Kako je sin 1 > sinπ
4=
1√2i cos 1 < cos
π
4=
1√2, sledi da je sin 1 >
cos 1;
g) Kako je cos 4 < 0 i sin 3 > 0, sledi da je sin 3 > cos 4.
4
1.2.4. Ako je cosα = −40
41i α ∈
(π,
3π
2
)odrediti sinα, tgα i ctgα.
Rexe�e. Kako je poznata vrednost cosα, vrednost sinα mo�emo odreditiiz identiteta sin2 α+ cos2 α = 1. Naime,
sin2 α = 1− cos2 α = 1−(−40
41
)2
=
(9
41
)2
.
Otuda je sinα =9
41ili sinα = − 9
41. Dae, kako α ∈
(π,
3π
2
)zakuqujemo
(videti sliku ??) da jesinα < 0,
odnosno sinα = − 9
41. Na kraju dobijamo da je tgα =
sinα
cosα=
9
40i
ctgα =cosα
sinα=
40
9. 4
1.2.5. Ako je α ∈(π,
3π
2
)i tgα = 100 izraqunati
10 sinα− 11 cosα
10 cosα− 11 sinα.
Rexe�e. Kako je tgα = 100 sledi da je cosα 6= 0. Otuda je10 sinα− 11 cosα
10 cosα− 11 sinα=
(10 sinα− 11 cosα)/ cosα
(10 cosα− 11 sinα)/ cosα=
10 tgα− 11
10− 11 tgα=
10 · 100− 11
10− 11 · 100= − 989
1090. Prime-
timo da je podatak da α ∈(π,
3π
2
)suvixan u ovom zadatku. 4
1.2.6. Dokazati da za svako t ∈ R\({π
2+ kπ : k ∈ Z
}∪ {kπ : k ∈ Z}
)va�i: tg t · ctg t = 1.
10 1.2. Rexeni zadaci
Rexe�e. tg t · ctg t = sin t
cos t· cos tsin t
= 1. Napomenimo da je najxiri skup na
kome su istovremeno definisane i funkcija tangens i funkcija kotangens
skup R\({π
2+ kπ : k ∈ Z
}∪ {kπ : k ∈ Z}
). 4
1.2.7. Dokazati da za svako t ∈ R va�i:
a) sin(t+
π
2
)= cos t;
b) cos (t+ π) = − cos t.
Rexe�e.
a) sin(t+
π
2
)= sin t cos
π
2+ cos t sin
π
2= sin t · 0 + cos t · 1 = cos t;
b) cos (t+ π) = cos t cosπ − sin t sinπ = cos t · (−1)− sin t · 0 = − cos t.
4
1.2.8. Izraqunati:
a) arcsin
(−√3
2
);
b) arccos 1.
Rexe�e.
a) Da bismo izraqunali arcsin
(−√3
2
)potrebno je odrediti (jedinstven)
realan broj t ∈[−π2,π
2
]za koji je sin t = −
√3
2. Kako je sin
(−π3
)=
−√3
2, sledi da je arcsin
(−√3
2
)= −π
3;
b) Da bismo izraqunali arccos 1 potrebno je odrediti (jedinstven) rea-lan broj t ∈ [ 0, π] za koji je cos t = 1. Kako je cos 0 = 1, sledi da jearccos 1 = 0.
4
1.2.9. Izraqunati:
a) arctg 0;
b) arcctg
(− 1√
3
).
Rexe�e.
1. Trigonometrija 11
a) Da bismo izraqunali arctg 0 potrebno je odrediti (jedinstven) realan
broj t ∈(−π2,π
2
)za koji je tg t = 0. Kako je tg 0 = 0, sledi da je
arctg 0 = 0;
b) Da bismo izraqunali arcctg
(− 1√
3
)potrebno je odrediti (jedinstven)
realan broj t ∈ (0, π) za koji je ctg t = − 1√3. Kako je ctg
(2π
3
)= − 1√
3,
sledi da je arcctg
(− 1√
3
)=
2π
3.
4
1.2.10. Izraqunati:
a) sin
(arcsin
1
2
);
b) sin(arcsin (−1)).
Za koje t ∈ R va�i sin(arcsin t) = t?
Rexe�e.
a) sin
(arcsin
1
2
)= sin
π
6=
1
2;
b) sin(arcsin (−1)) = sin(−π2
)= −1.
Funkcija arcsin je definisana na intervalu [−1, 1]. Na osnovu defini-cije funkcije arcsin va�i s = arcsin t ako i samo ako t = sin s. Otudasin(arcsin t) = t za svako t ∈ [−1, 1]. 4
1.2.11. Izraqunati:
a) cos
(arccos
√2
2
);
b) cos
(arccos
(−√3
2
)).
Za koje t ∈ R va�i cos(arccos t) = t ?
Rexe�e.
a) cos
(arccos
√2
2
)= cos
π
4=
√2
2;
b) cos
(arccos
(−√3
2
))= cos
5π
6= −√3
2.
12 1.2. Rexeni zadaci
Funkcija arccos je definisana na intervalu [−1, 1]. Na osnovu defini-cije funkcije arccos va�i s = arccos t ako i samo ako t = cos s. Otudacos(arccos t) = t za svako t ∈ [−1, 1]. 4
1.2.12. Izraqunati:
a) arcsin(sin
π
6
);
b) arcsin (sinπ);
v) Da li za svako t ∈ R va�i arcsin(sin t) = t? Za koje t va�i datajednakost?
Rexe�e.
a) arcsin(sin
π
6
)= arcsin
1
2=π
6;
b) arcsin (sinπ) = arcsin 0 = 0;
v) Ne. Na primer arcsin (sinπ) = 0. Na osnovu definicije funkcije
arcsin va�i t = arcsin s ako i samo ako t ∈[−π2,π
2
]i sin t = s. Otuda
arcsin(sin t) = t ako i samo ako t ∈[−π2,π
2
].
4
1.2.13. Izraqunati:
a) arccos(cos(−π2
));
b) arccos(cos
π
3
);
v) Da li za svako t ∈ R va�i arccos(cos t) = t? Za koje t va�i datajednakost?
Rexe�e.
a) arccos(cos(−π2
))= arccos 0 =
π
2;
b) arccos(cos
π
3
)= arccos
1
2=π
3;
v) Ne. Na primer arccos(cos(−π2
))=π
2. Na osnovu definicije funk-
cije arccos va�i t = arccos s ako i samo ako t ∈ [0, π] i cos t = s. Otudaarccos(cos t) = t ako i samo ako t ∈ [0, π].
4
1.2.14. Izraqunati:
1. Trigonometrija 13
a) tg (arctg 1);
b) ctg (arcctg π).
Rexe�e.
a) tg (arctg 1) = tgπ
4= 1;
b) Neka je t = arcctg π. Tada je t ∈ (0, π) i ctg t = π. Otuda ctg (arcctg π) =π.
4
1.2.15. Izraqunati:
a) arctg(tgπ
4
);
b) arcctg
(ctg
2π
3
);
v) arctg
(tg
(−5π
3
));
g) arcctg
(ctg
5π
2
).
Rexe�e.
a) arctg(tgπ
4
)= arctg 1 =
π
4;
b) arcctg
(ctg
2π
3
)= arcctg
(− 1√
3
)=
2π
3;
v) arctg
(tg
(−5π
3
))= arctg
(−√3)= −π
3;
g) arcctg
(ctg
5π
2
)= arcctg 0 =
π
2.
4
1.2.16. Dokazati da za svako t ∈ R va�i:
a) sin 2t = 2 sin t cos t;
b) cos 2t = cos2 t− sin2 t;
v) sin2t
2=
1− cos t
2;
g) cos2t
2=
1 + cos t
2.
14 1.2. Rexeni zadaci
Rexe�e.
a) sin 2t = sin (t+ t) = sin t cos t+ cos t sin t = 2 sin t cos t;
b) cos 2t = cos (t+ t) = cos t cos t− sin t sin t = cos2 t− sin2 t;
v)1− cos t
2=
1− cos
(2t
2
)2
=
1−(cos2
t
2− sin2
t
2
)2
=2 sin2
t
22
= sin2t
2;
g)1 + cos t
2=
1 + cos
(2t
2
)2
=
1 +
(cos2
t
2− sin2
t
2
)2
=2 cos2
t
22
= cos2t
2.
4
1.2.17. Izraqunati:
a) sinπ
8;
b) cos7π
12.
Rexe�e.
a) sin2π
8=
1− cosπ
42
=2−√2
4.
Kako je sinπ
8> 0 sledi sin
π
8=
√2−√2
2;
b) cos27π
12=
1 + cos7π
62
=2−√3
4.
Kako je cos7π
12< 0 sledi cos
7π
12= −
√2−√3
2.
4
1.2.18. Dokazati da za svako t1, t2 ∈ R va�i:
a) sin t1 sin t2 =1
2(cos (t1 − t2)− cos (t1 + t2));
b) cos t1 cos t2 =1
2(cos (t1 − t2) + cos (t1 + t2));
v) sin t1 cos t2 =1
2(sin (t1 + t2) + sin (t1 − t2)).
Rexe�e.
a) cos (t1 − t2)−cos (t1 + t2) = cos t1 cos t2+sin t1 sin t2−(cos t1 cos t2 − sin t1 sin t2) =2 sin t1 sin t2;
1. Trigonometrija 15
b) cos (t1 − t2)+cos (t1 + t2) = cos t1 cos t2+sin t1 sin t2+(cos t1 cos t2 − sin t1 sin t2) =2 cos t1 cos t2;
v) sin (t1 + t2)+sin (t1 − t2) = sin t1 cos t2+cos t1 sin t2+(sin t1 cos t2 − cos t1 sin t2) =2 sin t1 cos t2.
4
1.2.19. Dokazati da za svako t1, t2 ∈ R va�i:
a) cos t1 + cos t2 = 2 cost1 + t2
2cos
t1 − t22
;
b) sin t1 − sin t2 = 2 cost1 + t2
2sin
t1 − t22
.
Rexe�e.
a) Neka je a =t1 + t2
2i b =
t1 − t22
. Tada je t1 = a+ b i t2 = a− b. Otuda
cos t1 + cos t2 = cos (a+ b) + cos (a− b)= cos a cos b− sin a sin b+ cos a cos b+ sin a sin b
= 2 cos a cos b
= 2 cost1 + t2
2cos
t1 − t22
;
b) Neka je a =t1 + t2
2i b =
t1 − t22
. Tada je t1 = a+ b i t2 = a− b. Otuda
sin t1 − sin t2 = sin (a+ b)− sin (a− b)= sin a cos b+ cos a sin b− (sin a cos b− cos a sin b)
= 2 cos a sin b
= 2 cost1 + t2
2sin
t1 − t22
;
4
1.2.20. Dokazati da za svako t ∈ R va�i:
cos t+ sin t =√2 sin
(t+
π
4
).
Rexe�e. Kako je sin t = cos(π2− t)dobijamo
cos t+ cos(π2− t)
= 2 cost+
π
2− t
2cos
t−(π2− t)
2
= 2 cosπ
4cos(t− π
4
)=√2 cos
(t− π
4
)=√2 sin
(t+
π
4
).
16 1.2. Rexeni zadaci
4
1.2.21. Dokazati da za svako t1, t2, t1 + t2 ∈ R\{π2+ kπ : k ∈ Z
}va�i:
tg (t1 + t2) =tg t1 + tg t21− tg t1 tg t2
.
Rexe�e.
tg (t1 + t2) =sin (t1 + t2)
cos (t1 + t2)=
sin t1 cos t2 + cos t1 sin t2cos t1 cos t2 − sin t1 sin t2
.
Ako i brojilac i imenilac posled�eg razlomka podelimo sa cos t1 cos t2dobijamo
tg (t1 + t2) =tg t1 + tg t21− tg t1 tg t2
.
Napomenimo da su svi izrazi u prethodnim formula definisani za svako
t1, t2, t1 + t2 ∈ R\{π2+ kπ : k ∈ Z
}. 4
1.2.22. Neka su t, s ∈ R. Dokazati da izraz cos (t+ s) cos (t− s) + sin2 sne zavisi od s.
Rexe�e. Neka je f(s, t) = cos (t+ s) cos (t− s) + sin2 s. Tada je
f(s, t) = (cos t cos s− sin t sin s)(cos t cos s+ sin t sin s)
= (cos t cos s)2 − (sin t sin s)2 + sin2 s
= (1− sin2 t)(1− sin2 s)− sin2 t sin2 s+ sin2 s
= 1− sin2 t− sin2 s+ sin2 t sin2 s− sin2 t sin2 s+ sin2 s
= 1− sin2 t = cos2 t.
4
1.2.23. Izraqunati1− tg
π
12
1 + tgπ
12
.
Rexe�e. Izraqunajmo prvo tgπ
12. Va�i
tgπ
12= tg
(π3+(−π4
))=
tgπ
3+ tg
(−π4
)1− tg
π
3tg(−π4
)=
√3− 1
1 +√3.
1. Trigonometrija 17
Konaqno,
1− tgπ
12
1 + tgπ
12
=1√3.
4
1.2.24. Dokazati da za svako t ∈ R\{π2+ kπ : k ∈ Z
}va�i tg2 t + 1 =
1
cos2 t.
Rexe�e. Kako je tg t =sin t
cos tsledi
tg2 t+ 1 =sin2 t
cos2 t+ 1 =
sin2 t+ cos2 t
cos2 t=
1
cos2 t.
4
1.2.25. Ako je α ∈(−π2,−π
4
)i tg
(α+
π
4
)= a izraqunati tgα, sinα i
cosα.
Rexe�e. Kako je
tg(α+
π
4
)=
tgα+ tgπ
4
1− tgα tgπ
4
=tgα+ 1
1− tgα
dobijamo1 + tgα
1− tgα= a. Otuda tgα =
a− 1
a+ 1.
Kako je cosα = ± 1√tg2 α+ 1
i kako je α ∈(−π2,−π
4
)dobijamo da je
cosα > 0 odnosno cosα =1√
tg2 α+ 1. Dakle, cosα =
a+ 1√2(a2 + 1)
.
Kako je sinα = tgα cosα dobijamo sinα =a− 1√2(a2 + 1)
. 4
1.2.26. Ako je sin 3 = a izraqunati sin (−6).
Rexe�e. Va�i
sin (−6) = − sin 6 = − sin 2 · 3 = −2 sin 3 cos 3.
Kako jeπ
2< 3 < π sledi da je cos 3 < 0. Otuda cos 3 = −
√1− sin2 3 =
−√1− a2. Konaqno,
sin (−6) = 2a√
1− a2.
4
18 1.2. Rexeni zadaci
1.2.27. Dokazati da va�i jednakost: cosπ
5cos
2π
5=
1
4.
Rexe�e. Va�i
cosπ
5cos
2π
5=
sinπ
5cos
π
5cos
2π
5
sinπ
5
=1
2
sin2π
5cos
2π
5
sinπ
5
=1
4
sin4π
5
sinπ
5
=1
4
sin
(π − 4π
5
)sin
π
5
=1
4
sinπ
5
sinπ
5
=1
4.
4
Ispitiva�e toka trigonometrijskih funkcija
1.2.28. Odrediti domen funkcije:
a) y = f(x) =| cosx|√1− sin2 x
;
b) y = f(x) =tg x
ctg x;
v) y = f(x) =1
sin3 x+ cos3 x;
g) y = f(x) =1√
cos 2x− cosx.
Rexe�e. Neka je Df domen funkcije f . Tada:
a) x ∈ Df ako i samo ako 1− sin2 x > 0 tj. ako i samo ako −1 < sinx < 1.
Otuda Df = R\{(2k + 1)
π
2: k ∈ Z
};
b) x ∈ Df ako i samo ako su definisani tg x i ctg x i ctg x 6= 0. Domen
funkcije tangens jeste R\{π2+ kπ : k ∈ Z
}, domen funkcije kotan-
gens jesteR\ {kπ : k ∈ Z} a ctg x = 0 ako i samo ako x ∈ R\{π2+ kπ : k ∈ Z
}.
Otuda Df = R\({π
2+ kπ : k ∈ Z
}∪ {kπ : k ∈ Z}
);
1. Trigonometrija 19
v) x ∈ Df ako i samo ako sin3 x+ cos3 x 6= 0. Primetimo da va�i:
sin3 x+ cos3 x = (sinx+ cosx)(sin2 x− sinx cosx+ cos2 x)
=√2 sin
(x+
π
4
)(1− sinx cosx)
=√2 sin
(x+
π
4
)(1− 1
2sin 2x
).
Otuda sin3 x + cos3 x = 0 ako i samo ako sin(x+
π
4
)= 0 odnosno
x ∈{π4+ kπ : k ∈ Z
}. Konaqno Df = R\
{π4+ kπ : k ∈ Z
};
g) x ∈ Df ako i samo ako cos 2x − cosx > 0. Kako je cos 2x − cosx =2 cos2 x− 1− cosx sledi x ∈ Df ako i samo ako 2 cos2 x− cosx− 1 > 0.Neka je t = cosx. Tada va�i
2 cos2 x− cosx− 1 > 0
ako i samo ako t ∈ [−1, 1 ] i
2t2 − t− 1 > 0.
Skup rexe�a posled�e nejednaqine jeste (−∞,−1/2)∪(1,+∞). Otudax ∈ Df ako i samo ako cosx ∈ [−1,−1/2), odnosno Df = {x ∈ R :2π/3 + 2kπ < x < 4π/3 + 2kπ, k ∈ Z}.
4
1.2.29. Odrediti minimum i maksimum funkcije:
a) y = f(x) = 3 sinx+ 4 cosx;
b) y = f(x) = sin (sinx);
v) y = f(x) =1
2− cosx;
g) y = f(x) = 7 sin2 x− 5 cos2 x.
Rexe�e. a) Domen funkcije f jeste R. Primetimo da va�i
f(x) = 3 sinx+ 4 cosx
= 5
(3
5sinx+
4
5cosx
).
Kako je
(3
5
)2
+
(4
5
)2
= 1 postoji ϕ ∈ R takvo da je cosϕ =3
5i
sinϕ =4
5. Otuda je
f(x) = 5(cosϕ sinx+ sinϕ cosx)
= 5 cos (x+ ϕ).
20 1.2. Rexeni zadaci
Kako je za svako x ∈ R va�i −5 6 5 cos (x+ ϕ) 6 5 i kako je f(π−ϕ) =−5 i f(−ϕ) = 5 sledi min
x∈Rf(x) = −5 i max
x∈Rf(x) = 5;
b) Domen funkcije f jeste R. Pri tome va�i
sin(R) = {sinx : x ∈ R} = [−1, 1 ].
Kako je [−1, 1 ] ⊂ [−π/2, π/2] i kako je funkcija sinus rastu�a na[−π/2, π/2] sledi
sin([−1, 1 ]) = {sinx : x ∈ [−1, 1 ]} = [sin (−1), sin 1] = [− sin 1, sin 1].
Konaqno
sin(sin(R)) = {sin (sinx) : x ∈ R} = [− sin 1, sin 1].
Otuda minx∈R
f(x) = − sin 1 i maxx∈R
f(x) = sin 1;
v) Domen funkcije f jesteR. Kako je −1 6 cosx 6 1 sledi 3 > 2−cosx >
1. Otuda za svako x ∈ R va�i1
36
1
2− cosx6 1. Konaqno, kako je
f(−π) = 1/3 i f(0) = 1 sledi minx∈R
f(x) = −1/3 i maxx∈R
f(x) = 1;
g) Domen funkcije f jeste R. Primetimo da va�i
f(x) = 7 sin2 x− 5 cos2 x
= 7 sin2 x− 5(1− sin2 x)
= 12 sin2 x− 5.
Kako je 0 6 sin2 x 6 1 sledi −5 6 f(x) 6 7. Konaqno, kako je f(0) = −5i f(π/2) = 7 sledi min
x∈Rf(x) = −5 i max
x∈Rf(x) = 7.
4
1.2.30. Skicirati grafik funkcije:
a) y = f(x) = −2 cosx;
b) y = f(x) = sin 3x;
v) y = f(x) = cos(x+
π
3
);
g) y = f(x) = −3 sin(2x− π
4
).
Rexe�e. 4
1.2.31. Skicirati grafik funkcije:
a) y = f(x) = sinx+√3 cosx;
1. Trigonometrija 21
b) y = f(x) = cosx+ | cosx|;
v) y = f(x) = tg |x|;
g) y = f(x) = sin4 x+ cos4 x.
Rexe�e. 4
Trigonometrijske jednaqine i nejednaqine
1.2.32. Neka je a ∈ R. Rexiti jednaqinu sinx = a.
Rexe�e. Kako je funkcija sinus 2π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala [−π/2, 3π/2). Naime, ako je S0 skup svih rexe�a datejednaqine u intervalu [−π/2, 3π/2) onda je skup svih realnih rexe�a datejednaqine skup S = {s+2kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a jednaqine u intervalu[−π/2, 3π/2) su svi x ∈ [−π/2, 3π/2) takvi da je x apscisa preseqne taqkeprave y = a i sinusoide y = sinx.
Ako je |a| > 1 onda takvo x ne postoji jer je | sinx| 6 1 za svako x ∈[−π/2, 3π/2) .
Ako je |a| < 1 onda je x = arcsin a ili x = π − arcsin a.
Ako je a = 1 onda je x =π
2.
Ako je a = −1 onda je x = −π2.
Za jednaqinu sinx = a va�i:
1◦ Ako je |a| > 1 onda jednaqina nema rexe�a;
2◦ Ako je |a| < 1 onda je x = arcsin a+ 2kπ, k ∈ Zili x = π − arcsin a+ 2lπ, l ∈ Z;
3◦ Ako je a = 1 onda je x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z;
4◦ Ako je a = −1 onda je x = −π2+ 2kπ, k ∈ Z.
4
1.2.33. Neka je a ∈ R. Rexiti jednaqinu cosx = a.
Rexe�e. Kako je funkcija kosinus 2π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala [ 0, 2π). Naime, ako je S0 skup svih rexe�a date jedna-qine u intervalu [ 0, 2π) onda je skup svih realnih rexe�a date jednaqineskup S = {s+2kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a jednaqine u intervalu [ 0, 2π) susvi x ∈ [ 0, 2π) takvi da je x apscisa preseqne taqke prave y = a i kosinu-soide y = cosx.
Ako je |a| > 1 onda takvo x ne postoji jer je | cosx| 6 1 za svako x ∈ [ 0, 2π).
22 1.2. Rexeni zadaci
Ako je |a| < 1 onda je x = arccos a ili x = 2π − arccos a.
Ako je a = 1 onda je x = 0.
Ako je a = −1 onda je x = π.
Za jednaqinu cosx = a va�i:
1◦ Ako je |a| > 1 onda jednaqina nema rexe�a;
2◦ Ako je |a| < 1 onda je x = arccos a+ 2kπ, k ∈ Zili x = 2π − arccos a+ 2lπ, l ∈ Z;
3◦ Ako je a = 1 onda je x = 2kπ, k ∈ Z;
4◦ Ako je a = −1 onda je x = π + 2kπ, k ∈ Z.
4
1.2.34. Neka je a ∈ R. Rexiti jednaqinu tg x = a.
Rexe�e. Kako je funkcija tangens π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala (−π/2, π/2). Naime, ako je S0 skup svih rexe�a datejednaqine u intervalu (−π/2, π/2) onda je skup svih realnih rexe�a datejednaqine skup S = {s + 2kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a jednaqine u inter-valu (−π/2, π/2) su svi x ∈ (−π/2, π/2) takvi da je x apscisa preseqnetaqke prave y = a i funkcije y = tg x.
Za svako a ∈ R postoji taqno jedno x ∈ (−π/2, π/2) takvo da je tg x = ai va�i x = arctg a. Dakle, rexe�a jednaqine tg x = a su x = arctg a + kπ,k ∈ Z. 4
1.2.35. Rexiti jednaqinu:
a) sin(2x− π
4
)= 1;
b) cos(x+
π
6
)=
1
5;
v) cos 2x =√2;
g) 2 sin |x| − 1 = 0.
Rexe�e.
a) Na osnovu zadatka 1.2.32 dobijamo 2x − π
4=π
2+ 2kπ, k ∈ Z. Otuda
x =3π
8+ kπ, k ∈ Z;
1. Trigonometrija 23
b) Na osnovu zadatka 1.2.33 dobijamo x+π
6= arccos
(1
5
)+2kπ, k ∈ Z ili
x+π
6= 2π−arccos
(1
5
)+2kπ, k ∈ Z. Otuda x = −π
6+arccos
(1
5
)+2kπ,
k ∈ Z ili x =11π
6− arccos
(1
5
)+ 2kπ, k ∈ Z ;
v) Kako je | cos 2x| 6 1 za svako x ∈ R i kako je√2 > 1 sledi da jednaqina
nema rexe�a;
g) Jednaqina 2 sin |x|−1 = 0 je ekvivalentna sa jednaqinom sin |x| = 1
2. Na
osnovu zadatka 1.2.32 i s obzirom da je |x| > 0 dobijamo |x| = π
6+2kπ,
k ∈ N0 ili |x| = 5π
6+ 2kπ, k ∈ N0. Konaqno, x =
π
6+ 2kπ ili
x = −π6− 2kπ ili x =
5π
6+ 2kπ ili x = −5π
6− 2kπ pri qemu je
k ∈ N0.
4
1.2.36. Rexiti jednaqinu cosx = sinx.
Rexe�e. Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom cosx − sinx = 0.
Kako je − sinx = cos(π2+ x), sledi da je jednaqina cosx− sinx = 0 ekviva-
lentna sa jednaqinom cosx+cos(π2+ x)= 0. Na osnovu zadatka 1.2.19 dobi-
jamo da je posled�a jednaqina ekvivalentna sa jednaqinom√2 cos
(x+
π
4
)=
0. Na osnovu zadatka 1.2.33 dobijamo x+π
4=π
2+2kπ ili x+
π
4=
3π
2+2kπ,
pri qemu je k ∈ Z. Konaqno, x =π
4+ 2kπ ili x =
5π
4+ 2kπ, pri qemu je
k ∈ Z. 4
1.2.37. Rexiti jednaqine:
a) tg π|x| = 1;
b) ctg(3x− π
6
)= − 1√
3.
Rexe�e.
a) Na osnovu zadatka 1.2.34 dobijamo π|x| = arctg 1+kπ =π
4+kπ, k ∈ N0.
Otuda x =1
4+ k, k ∈ N0 ili x = −1
4− k, k ∈ N0;
b) Sliqno kao u zadatku 1.2.34 dobijamo 3x− π
6= arcctg
(− 1√
3
)+ kπ =
2π
3+ kπ, k ∈ Z. Otuda x =
5π
18+kπ
3, k ∈ Z.
24 1.2. Rexeni zadaci
4
1.2.38. Rexiti jednaqine:
a) 2 sin2 x = 1;
b) cos3x
2= −3
√3
8;
v) ctg2 x = 3;
g) tg4 x = 1.
Rexe�e.
a) Data jednaqina je ekvivalentna sa sin2 x =1
2odnosno sa
sinx =1√2
ili sinx = − 1√2.
Iz jednaqine sinx =1√2, na osnovu zadatka 1.2.32, dobijamo
x =π
4+ 2kπ, k ∈ Z ili x =
3π
4+ 2lπ, l ∈ Z.
Iz jednaqine sinx = − 1√2, na osnovu zadatka 1.2.32, dobijamo
x = −π4+ 2mπ, m ∈ Z ili x =
5π
4+ 2nπ, n ∈ Z;
b) Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom
3
√cos3
x
2= − 3
√3√3
8,
to jest jednaqinom
cosx
2= −√3
2.
Iz posled�e jednaqine, na osnovu zadatka 1.2.33, dobijamo
x
2=
5π
6+ 2kπ, k ∈ Z ili
x
2=
7π
6+ 2lπ, l ∈ Z.
Konaqno,
x =5π
3+ kπ, k ∈ Z ili x =
7π
3+ lπ, l ∈ Z;
1. Trigonometrija 25
v) Data jednaqina je ekvivalentna sa
ctg x =√3 ili ctg x = −
√3.
Otuda
x = arcctg(√3) + kπ, k ∈ Z ili x = arcctg(−
√3) + lπ, l ∈ Z,
odnosno
x =π
6+ kπ, k ∈ Z ili x =
5π
6+ lπ, l ∈ Z;
g) Data jednaqina je ekvivalentna sa
tg2 x = 1 ili tg2 x = −1.
Jednaqina tg2 x = −1 nema rexe�a u skupu R a jednaqina tg2 x = 1 jeekvivalentna sa
tg x = 1 ili tg x = −1.Otuda
x = arctg 1 + kπ, k ∈ Z ili x = arctg(−1) + lπ, l ∈ Z.
Konaqno,
x =π
4+ kπ, k ∈ Z ili x = −π
4+ lπ, l ∈ Z.
4
1.2.39. Rexiti jednaqine:
a) 2 cos3 x− cosx = 0;
b) sinx
2=
1− cosx
2;
v) sin 2x− 2 sinx = 0;
g) cos 2x = −2 sin2 x.
Rexe�e.
a) Datu jednaqinu transformixmeo u slede�e ekvivalentne oblike:
cosx(4 cos2 x− 1) = 0
cosx(2 cosx− 1)(2 cosx+ 1) = 0.
Odnosno,
cosx = 0 ili 2 cosx− 1 = 0 ili 2 cosx+ 1 = 0
cosx = 0 ili cosx =1
2ili cosx = −1
2.
26 1.2. Rexeni zadaci
Iz jednaqine cosx = 0, na osnovu zadatka 1.2.33, dobijamo
x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z ili x =
3π
2+ 2lπ, l ∈ Z.
Iz jednaqine cosx =1
2, na osnovu zadatka 1.2.33, dobijamo
x =π
3+ 2mπ, m ∈ Z ili x =
5π
3+ 2nπ, n ∈ Z.
Iz jednaqine cosx = −1
2, na osnovu zadatka 1.2.33, dobijamo
x =2π
3+ 2pπ, p ∈ Z ili x =
4π
3+ 2qπ, q ∈ Z;
b) Datu jednaqinu transformixmeo u slede�e ekvivalentne oblike:
sinx
2= sin2
x
2
sinx
2− sin2
x
2= 0
sinx
2
(1− sin
x
2
)= 0.
Odnosno,
sinx
2= 0 ili sin
x
2= −1.
Iz jednaqine sinx
2= 0, na osnovu zadatka 1.2.32, dobijamo
x = 4kπ, k ∈ Z ili x = 2π + 4lπ, l ∈ Z.
Iz jednaqine sinx
2= −1, na osnovu zadatka 1.2.32, dobijamo
x = 3π + 4mπ, m ∈ Z;
v) Datu jednaqinu transformixmeo u slede�e ekvivalentne oblike:
2 sinx cosx− 2 sinx = 0
2 sinx(cosx− 1) = 0.
Odnosno,sinx = 0 ili cosx = 1.
Iz jednaqine sinx = 0, na osnovu zadatka 1.2.32, dobijamo
x = 2kπ, k ∈ Z ili x = π + 2lπ, l ∈ Z.
Iz jednaqine cosx = 1, na osnovu zadatka 1.2.33, dobijamo
x = 2mπ, m ∈ Z;
Primetimo da su sva rexe�a jednaqine cosx = 1 i rexe�a jednaqinesinx = 0.
1. Trigonometrija 27
g) Datu jednaqinu transformixmeo u slede�e ekvivalentne oblike:
cos2 x− sin2 x = −2 sin2 xcos2 x+ sin2 x = 1.
Kako za svako x ∈ R va�i cos2 x + sin2 x = 1 dobijamo da je skuprexe�a zadate jednaqine skup R.
4
1.2.40. Rexiti jednaqine:
a) 2 sin2 x+ 3 sinx = 2;
b) 2 cos2 x− 3 sinx− 3 = 0.‡.
Rexe�e.
a) Smenom t = sinx jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu 2t2+3t−2 = 0. Rexe�a te kvadratne jednaqine su t1 =
1
2i t2 = −2. Otuda je
polazna jednaqina ekvivalentna sa
sinx =1
2ili sinx = −2.
Iz jednaqine sinx =1
2dobijamo
x =π
6+ 2kπ, k ∈ Z ili x =
5π
6+ 2lπ, l ∈ Z.
Jednaqina sinx = −2 nema rexe�a;
b) Kako je cos2 x = 1−sin2 x data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom
2 sin2 x+ 3 sinx+ 1 = 0.
Smenom t = sinx posled�a jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu
2t2+3t+1 = 0. Rexe�a te kvadratne jednaqine su t1 = −1
2i t2 = −1.
Otuda je polazna jednaqina ekvivalentna sa
sinx = −1
2ili sinx = −1.
Iz jednaqine sinx = −1
2dobijamo
x = −π6+ 2kπ, k ∈ Z ili x =
7π
6+ 2lπ, l ∈ Z.
Iz jednaqine sinx = −1 dobijamo
x = −π2+ 2mπ, m ∈ Z.
‡Zadatak iz filma ,,Xexir profesora Koste Vuji�a"
28 1.2. Rexeni zadaci
4
1.2.41. Rexiti jednaqine:
a) sinx−√3 cosx− 2 = 0;
b) sinx+ sin
(x+
2π
3
)+ sin
(x+
4π
3
)= 0;
v) cos(x− π
3
)− cos
(x− π
6
)= sin
(x+
π
6
);
g) 5 sin2 x+ 2 sinx cosx+ cos2 x = 2;
Rexe�e.
a) Data jednaqina je ekvivalentna sa jednaqinom sinx−√3 cosx = 2. Ako
i levu i desnu stranu posled�e jednaqine podelimo brojem 2 dobijamojednaqinu
1
2sinx−
√3
2cosx = 1.
Kako je cos5π
3=
1
2i sin
5π
3= −√3
2posled�u jednaqinu transformi-
xemo u slede�e ekvivalentne oblike:
sinx cos5π
3+ cosx sin 5π3 = 1
sin
(x+
5π
3
)= 1.
Iz jednaqine sin
(x+
5π
3
)= 1 dobijamo
x = −7π
6+ 2kπ, k ∈ Z.
b) Kako je
sin
(x+
2π
3
)= sinx cos
2π
3+ sin
2π
3cosx
= sinx
(−1
2
)+
√3
2cosx
i
sin
(x+
4π
3
)= sinx cos
4π
3+ sin
4π
3cosx
= sinx
(−1
2
)+
(−√3
2
)cosx
dobijamo da je leva strana zadate jednaqine identiqki jednaka 0.Otuda je skup rexe�a zadate jednaqine skup R.
1. Trigonometrija 29
v) Kako je sin(x+
π
6
)= cos
(π2− x− π
6
)= cos
(x− π
3
)sledi da je za-
data jednaqina ekvivalentna sa jednaqinom
cos(x− π
6
)= 0.
Iz posled�e jednaqine dobijamo
x =2π
3+ 2kπ, k ∈ Z ili x =
5π
3+ 2lπ, l ∈ Z.
g) Kako je 2 = 2(cos2 x+ sin2 x) zadata jednaqina je ekvivalentna sa jed-naqinom
3 sin2 x+ 2 sinx cosx− cos2 x = 0.
Ako je x rexe�e posled�e jednaqine onda je cosx 6= 0. U suprotnom bibilo i sinx = 0, a to je nemogu�e). Otuda jednaqinu mo�emo podelitisa cos2 x. Nakon dee�a dobijamo jednaqinu
3 tg2 x+ 2 tg x− 1 = 0.
Smenom t = tg x posled�a jednaqina se svodi na kvadratnu jednaqinu
3t2 + 3t− 1 = 0. Rexe�a te kvadratne jednaqine su t1 =1
3i t2 = −1.
Otuda je polazna jednaqina ekvivalentna sa
tg x =1
3ili tg x = −1.
Konaqno,
x = arctg
(1
3
)+ kπ, k ∈ Z ili x = −π
4+ lπ, l ∈ Z.
4
1.2.42. Rexiti jednaqine:
a) cos 2x cos 3x = cos 5x;
b) sinx+ sin 2x+ sin 3x = 0.
Rexe�e.
a) Kako je cos 2x cos 3x =1
2(cos 5x+ cosx) zadatu jednaqinu transfor-
mixemo u slede�e ekvivalentne oblike:
cos 5x+ cosx = 2 cos 5x
cosx = cos 5x
0 = cos 5x− cosx.
30 1.2. Rexeni zadaci
Kako je cos 5x−cosx = −2 sin 3x sin 2x, dobijamo da je zadata jednaqinaekvivalentna sa jednaqinom
sin 3x = 0 ili sin 2x = 0.
Iz jednaqine sin 3x = 0 dobijamo
x =2kπ
3, k ∈ Z ili x =
π
3+
2lπ
3, l ∈ Z.
Iz jednaqine sin 2x = 0 dobijamo
x = mπ, m ∈ Z ili x =π
2+ nπ, n ∈ Z.
b) Kako je sinx+sin 3x = 2 sin 2x cosx zadatu jednaqinu transformixemou slede�e ekvivalentne oblike:
2 sin 2x cosx+ sin 2x = 0
sin 2x(2 cosx+ 1) = 0.
Odnosno,
sin 2x = 0 ili cos 2x = −1
2.
Iz jednaqine sin 2x = 0 dobijamo
x = kπ, k ∈ Z ili x =π
2+ lπ, l ∈ Z.
Iz jednaqine cos 2x = −1
2dobijamo
x =π
3+mπ, m ∈ Z ili x =
2π
3+ nπ, n ∈ Z.
4
1.2.43. Rexiti jednaqinu sin4 x+ cos4 x = 1.
Rexe�e. Kako je
sin4 x+ cos4 x = (sin2 x+ cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x
= 1− 2 sin2 x cos2 x.
sledi da je zadata jednaqina ekvivalentna sa sinx cosx = 0 odnosno sa
sinx = 0 ili cosx = 0.
Iz jednaqine sinx = 0 dobijamo
x = 2kπ, k ∈ Z ili x = π + 2lπ, l ∈ Z.
Iz jednaqine cosx = 0 dobijamo
x =π
2+ 2mπ, m ∈ Z ili x =
3π
2+ 2nπ, n ∈ Z.
4
1. Trigonometrija 31
1.2.44. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu sinx > a.
Rexe�e. Kako je funkcija sinus 2π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala [−π/2, 3π/2). Naime, ako je S0 skup svih rexe�adate nejednaqine u intervalu [−π/2, 3π/2) onda je skup svih realnih rexe-�a date nejednaqine skup S = {s+2kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a nejednaqineu intervalu [−π/2, 3π/2) su svi x ∈ [−π/2, 3π/2) takvi da je grafik funk-cije y = sinx ,,iznad" grafika funkcije y = a.
Ako je a > 1 onda takvo x ne postoji jer je sinx 6 1 za svako x ∈[−π/2, 3π/2) .
Ako je −1 6 a < 1 onda je x ∈ (arcsin a, π − arcsin a) (videti sliku ??).Ako je a < −1 onda je x ∈ [−π/2, 3π/2).
Dakle, skup rexe�a nejednaqine sinx > a jeste:
1◦ prazan skup, ako je a > 1;
2◦ unija svih intervala oblika (arcsin a+2kπ, π− arcsin a+2kπ), k ∈ Z,ako je −1 6 a < 1;
3◦ skup R, ako je a < −1.
4
1.2.45. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu cosx 6 a.
Rexe�e. Kako je funkcija kosinus 2π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala [ 0, 2π). Naime, ako je S0 skup svih rexe�a date ne-jednaqine u intervalu [ 0, 2π) onda je skup svih realnih rexe�a date nejed-naqine skup S = {s+2kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a nejednaqine u intervalu[ 0, 2π) su svi x ∈ [ 0, 2π) takvi da je grafik funkcije y = cosx ,,ispod"grafika funkcije y = a.
Ako je a > 1 onda takvo x ∈ [ 0, 2π).Ako je −1 6 a < 1 onda je x ∈ [ arccos a, 2π − arccos a ] (videti sliku ??).Ako je a < −1 onda takvo x ne postoji jer je cosx > −1 za svako x ∈ [ 0, 2π)
.
Dakle, skup rexe�a nejednaqine cosx 6 a jeste:
1◦ skup R, ako je a > 1;
2◦ unija svih intervala oblika [ arccos a+2kπ, 2π−arccos a+2kπ ], k ∈ Z,ako je −1 6 a < 1;
3◦ prazan skup, ako je a < −1.
4
32 1.2. Rexeni zadaci
1.2.46. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu tg x > a.
Rexe�e. Kako je funkcija tangens π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a iz intervala (−π/2, π/2). Naime ako je S0 skup svih rexe�a datenejednaqine u intervalu (−π/2, π/2) onda je skup svih realnih rexe�adate nejednaqine skup S = {s + kπ : s ∈ S0, k ∈ Z}. Rexe�a nejednaqineu intervalu (−π/2, π/2) su svi x ∈ (−π/2, π/2) takvi da je grafik funk-cije y = tg x ,,iznad" grafika funkcije y = a. Dakle x ∈ (arctg a, π/2).Otuda skup rexe�a nejednaqine tg x > a jeste unija svih intervala oblika(arctg a+ kπ, π/2 + kπ), k ∈ Z.
4
1.2.47. Rexiti nejednaqine:
a) sin
(3π
2− x)<
√3
2;
b) 2| sinx| > 1.
v) tg (π − x) > −1;
g) 2 cos2 x− 3 cosx+ 1 > 0.
Rexe�e. a) Kako je sin
(3π
2− x)
= − cosx zadata nejednaqina se svodi
na nejednaqinu
cosx > −√3
2.
Kako je funkcija kosinus 2π periodiqna dovono je odrediti svarexe�a posled�e jednaqine koja pripadaju intervalu [ 0, 2π). Ta re-xe�a su svi x ∈ [ 0, 2π) takvi da je grafik funkcije y = cosx ,,iznad"
grafika funkcije y = −√3
2. Otuda skup rexe�a zadate nejednaqine
koja pripadaju intervalu [ 0, 2π) jeste skup [ 0, 5π/6) ∪ (7π/6, 2π). Od-nosno skup svih rexe�a zadate nejednaqine jeste unija svih skupovaoblika [ 2kπ, 5π/6 + 2kπ) ∪ (7π/6 + 2kπ, 2π + 2kπ), k ∈ Z;
b) Data nejednaqina se svodi na nejednaqinu | sinx| > 1
2. Rexe�a date
nejednaqine su svi x ∈ R takvi da je grafik funkcije y = | sinx| ,,iz-nad" grafika funkcije y =
1
2(videti sliku ??). Skup svih rexe�a
zadate nejednaqine jeste unija svih intervala oblika (5π/6 + kπ, 7π/6 + kπ),k ∈ Z;
v) Kako je tg (π − x) = − tg x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu
tg x 6 1.
Otuda skup svih rexe�a zadate nejednaqine jeste unija svih inter-vala oblika (−π/2 + kπ, π/4 + kπ), k ∈ Z;
1. Trigonometrija 33
g) Smenom t = cosx zadata nejednaqina se svodi na kvadratnu nejedna-qinu 2t2−3t+1 > 0. Skup rexe�a te kvadratne nejednaqine jeste skup(−∞, 1/2) ∪ (1,+∞). Otuda je skup svih rexe�a polazne nejednaqineskup svih x ∈ R takvih da je cosx ∈ (−∞, 1/2)∪ (1,+∞). Dakle, skupsvih rexe�a polazne nejednaqine jeste unija svih intervala oblika(π/3 + 2kπ, 5π/3 + 2kπ), k ∈ Z.
4
1.2.48. Odrediti sva rexe�a nejednaqine
a) cosx > sinx;
b) 2 sinx cosx >
√2
2.
v) cosπ
6cosx+ sin
π
6sinx 6
√3
2;
g) cosx−√2 sin
x
2> 1.
koja pripadaju intervalu [−π, π).
Rexe�e. a) Skicirajmo grafike funkcija y = cosx i y = sinx na in-tervalu [−π, π] (videti sliku ??). Skup rexe�e zadate nejednaqinekoja pripadaju intervalu [−π, π) jeste skup svih x ∈ [−π, π) takvihda je grafik funkcije y = cosx ,,iznad" grafika funkcije y = sinxtj. interval (−3π/4, π/4);
b) Kako je 2 sinx cosx = sin 2x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu
sin 2x >
√2
2.
Skup svih rexe�a posled�e nejednaqine koja pripadaju intervalu[−π, π) jeste skup (−7π/8,−5π/8) ∪ (π/8, 3π/8) (videti sliku);
v) Kako je cosπ
6cosx + sin
π
6sinx = cos
(x− π
6
)zadata nejednaqina se
svodi na nejedna cinu
cos(x− π
6
)6
√3
2.
Smenom t = x − π
6jednaqina zadata nejednaqina se svodi na nejedna-
qinu cos t 6
√3
2a uslov x ∈ [−π, π) se svodi na uslov t ∈ [−7π/6, 5π/6).
Otuda t ∈ [−π/6, π/6] odnosno skup svih rexe�a polazne nejednaqinejeste interval [ 0, π/3];
34 1.2. Rexeni zadaci
g) Data nejednaqina se mo�e transformisati na slede�i naqin
cosx−√2 sin
x
2> 1
cos2x
2− sin2
x
2−√2 sin
x
2> 1
1− sin2x
2− sin2
x
2−√2 sin
x
2> 1
2 sin2x
2+√2 sin
x
2< 0.
Ako u posled�u nejednaqinu uvedemo smenu t = sin x2 dobijamo kva-
dratnu nejednaqinu t(2t+√2) < 0. Skup rexe�a te nejednaqine jeste(
−√2
2, 0
). Otuda je polazna nejednaqina ekvivalentna sa
sinx
2< 0 i sin
x
2> −√2
2.
Skup rexe�a nejednaqine sinx
2< 0 koja pripadaju intervalu [−π, π)
jeste (−π, 0). Skup rexe�a nejednaqine sinx
2> −
√2
2koja pripadaju
intervalu [−π, π) jeste (−π/2, π). Otuda skup svih rexe�a polaznenejednaqine koja pripadaju intervalu [−π, π) jeste (−π/2, 0).
4
1.2.49. Odrediti sva rexe�a nejednaqine:
a) sin2 x >1
2;
b) 2 sinx cosx >
√2
2;
koja pripadaju intervalu [0, 2π].
Rexe�e. a) Realan broj x zadovoava zadatu nejednaqinu sin2 x >1
2ako
i samo ako
sinx >1√2
ili sinx 6 − 1√2.
Otuda je skup rexe�a zadate nejednaqine unija skupova rexe�a ne-
jednaqina sinx >1√2i sinx 6 − 1√
2.
Skup rexe�a nejednaqine sinx >1√2koja pripadaju intervalu [ 0, 2π]
jeste skup [π/4, 3π/4].
Skup rexe�a nejednaqine sinx 6 − 1√2koja pripadaju intervalu
[ 0, 2π] jeste skup [ 5π/4, 7π/4].
1. Trigonometrija 35
Otuda je skup rexe�a polazne nejednaqine koja pripadaju intervalu[ 0, 2π] skup [π/4, 3π/4] ∪ [ 5π/4, 7π/4];
b) Kako je 2 sinx cosx = sin 2x zadata nejednaqina se svodi na nejednaqinu
sin 2x >
√2
2. Skup svih rexe�a posled�e nejednaqine koja pripadaju
intervalu [ 0, 2π] jeste skup (π/8, 3π/8)∪ (9π/8, 11π/8) (videti sliku);4
1.2.50. Dokazati da za svako t ∈ R va�i | cos t|+ | sin t| > 1.
Rexe�e. Kako za svako t ∈ R va�i | cos t| 6 1 i | sin t| 6 1 sledi da za svakot ∈ R va�i i cos2 t 6 | cos t| i sin2 t 6 | sin t|. Otuda je 1 6 cos2 t + sin2 t 6| cos t|+ | sin t|. 4
36 1.3. Zadaci za ve�bu
1.3 Zadaci za ve�bu
1.3.1. Izraqunati:
a) cos 0;
b) sin9π
4;
v) tgπ
3;
g) ctg13π
6.
Rexe�e. 4
1.3.2. Brojeve sin 2, sin 4, sin 6, sin 8 i sin 10 pore�ati od najma�eg donajve�eg.
Rexe�e. 4
1.3.3. Ako je α ∈(π2, π)i sinα =
3
5odrediti cosα, tgα i ctgα.
Rexe�e. 4
1.3.4. Ako je α ∈(3π
2, 2π
)i tgα = a odrediti sinα, cosα i ctgα.
Rexe�e. 4
1.3.5. Izraqunati:
a)sin
19π
6cos
13π
3ctg
9π
4
tg19π
3sin
17π
4cos
7π
6
;
b) cosπ
7cos
8π
7+ sin
π
7sin
8π
7;
Rexe�e. 4
1.3.6. Izraqunaticos2 t− 2 sin t cos t+ 1
5 + 3 sin t cos t+ sin2 t, ako je poznato da je tg t = 3.
Rexe�e. 4
1.3.7. Odrediti sinα i cosα, ako je cosα+ sinα =√2.
Rexe�e. 4
1.3.8. Izraqunati:
1. Trigonometrija 37
a) arccos1√2;
b) arcsin 0;
v) arcctg(−1);
g) arctg√3.
Rexe�e. 4
1.3.9. Izraqunati:
a) arcsin (sin(5π/4));
b) arccos (cos(−π/3));
v) arctg(tg π);
g) arcctg (ctg(−π/2)).
Rexe�e. 4
1.3.10. Dokazati da za svako s ∈ R va�i arcsin s+ arccos s =π
2.
Rexe�e. 4
1.3.11. Dokazati da za svako t ∈ [−1, 1] va�i sin (arccos t) =√1− t2.
Rexe�e. 4
1.3.12. Izraqunati arctg 2 + arctg1
2.
Rexe�e. 4
1.3.13. Dokazati da za svako x ∈ [−1, 1] va�i arcsin (−x) = − arcsinx.
Rexe�e. 4
1.3.14. Dokazati da za svako x ∈ R va�i cos (arctg x) =1√
1 + x2.
Rexe�e. 4
1.3.15. Izraqunati:
a) sin (arctg 3);
b) cos (2 arcsin(2/7)).
Rexe�e. 4
1.3.16. Ako je sinα = m i
38 1.3. Zadaci za ve�bu
a) α ∈ [9π/2, 11π/2];
b) α ∈ [11π/2, 13π/2]
izraziti α pomo�u arcsinm.
Rexe�e. 4
1.3.17. Izraqunati cos 2α, ako je sinα =3
5i α ∈
(π
2,3π
2
).
Rexe�e. 4
1.3.18. Izraqunati sin (α+ β), ako je sinα =4
5, cosβ = −12
13, α ∈
(0,π
2
)i β ∈
(π2, π).
Rexe�e. 4
1.3.19. Izraqunati sin(π6+ α
), ako je α ∈
(0,π
2
)i tgα = 2−
√3.
Rexe�e. 4
1.3.20. Izraqunati sinα, ako je sin(π4− α
)= − 1
5√2i π < α < 3π/2.
Rexe�e. 4
1.3.21. Izraqunati sinα i cosα, ako je α ∈(0,π
2
)i cos 2α = a.
Rexe�e. 4
1.3.22. Dokazati da za svako t1, t2 ∈ R va�i:
a) cos t1 − cos t2 = −2 sin t1 + t22
sint1 − t2
2;
b) sin t1 + sin t2 = 2 sint1 + t2
2cos
t1 − t22
.
Rexe�e. 4
1.3.23. Dokazati da za svako t ∈ R va�i
a) sin 3t = 3 sin t− 4 sin3 t;
b) cos 3t = 4 cos3 t− 3 cos t.
Rexe�e. 4
1.3.24. Dokazati da za svako t ∈ R\{(2k + 1)π : k ∈ Z} va�i
a) sin t =2 tg(t/2)
1 + tg2(t/2);
1. Trigonometrija 39
b) cos t =1− tg2(t/2)
1 + tg2(t/2).
Rexe�e. 4
1.3.25. Izraqunati cos2 3 + cos2 1− cos 4 cos 2.
Rexe�e. 4
1.3.26. Za koje sve α i β va�i sinα+ sinβ = sin (α+ β)?
Rexe�e. 4
1.3.27. Neka je α 6= π/8 + kπ/2, pri qemu je k ∈ Z. Dokazati da va�i
sin4 α+ 2 sinα cosα− cos4 α
tg 2α− 1= cos 2α.
Rexe�e. 4
1.3.28. Neka su α, β i γ realni brojevi koji pripadaju domenu funkcijetg takvi da je α + β + γ = π. Dokazati da tada va�i tgα + tg β + tg γ =tgα tg β tg γ.
Rexe�e. 4
1.3.29. Odrediti rexe�a jednaqine sin 2x = cosx u intervalu [0, 2π]
Rexe�e. x ∈{π6 ,
π2 ,
5π6 ,
3π2
}4
1.3.30. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu sinx 6 a.
Rexe�e. 4
1.3.31. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu cosx > a.
Rexe�e. 4
1.3.32. Neka je a ∈ R. Rexiti nejednaqinu ctg x < a.
Rexe�e. 4
1.3.33.
Rexe�e. 4
1.3.34. Odrediti sva rexe�a nejednaqine (1− cos 2x) sin 2x >√3 sin3 x
koja pripadaju intervalu
[−π, 3π
2
].
Rexe�e. 4
Glava 1
Primena trigonometrije
1.1 Teorijski uvod
Neka su date poluprave Op i Oq. Unija polupravih Op i Oq nazivase ugaona linija. Ugaona linija deli ravan kojoj pripada na dve oblasti.Unija svake od tih oblasti i ugaone linije naziva se ugao. Dakle, svakaugaona linija odre�uje dva ugla (videti sliku ??). Poluprave Op i Oqnazivaju se kraci ugla a taqka O naziva se teme ugla. Obiqno je iz kon-teksta jasno na koji se od tih uglova misli. Ugao qiji su kraci Op i Oqobele�ava se sa ∠pOq.
Radijanska mera ∠pOq jeste broj s koji je jednak du�ini kru�nog lukaqiji je centar taqka O, polupreqnik jednak 1 i qiji krajevi pripadajuugaonoj liniji (videti sliku ??).
Ugao qija je radijanska mera 1 se naziva radijan i obele�ava se sa rad.U tabeli 1.1 su date radijanske mere nekih uglova.
Tabela 1.1: Radijanske mere nekih uglova
ugao oxtar prav tup opru�en pun
mera (rad)(0,π
2
) π
2
(π2, π)
π 2π
Osim radijana za mere�e uglova koriste se i stepeni. Jedan stepen (uoznaci 1◦) jeste 180-ti deo opru�enog ugla. Va�i
1◦ =π
180rad .
Jedan stepen je jednak 60 minuta (1◦ = 60′) a jedan minut je jednak 60sekundi (1′ = 60′′).
1
2 1.1. Teorijski uvod
Sinus i kosinus ugla definixemo kao sinus i kosinus �ihove radi-janske mere. Dakle, ako za ugao α va�i α = t rad onda je sinα = sin t icosα = cos t. Analogno se definixu tangens i kotangens ugla. Osnovnasvojstva trigonometrijskih funkcija brojeva prenose se i na trigonome-trijske funkcije uglova (trigonometrijski identiteti, adicione formuleitd.).
Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C (videtisliku ??). Tada va�i
sinα =a
ccosα =
b
ctgα =
a
bctgα =
b
a.
Neka je ABC proizvoan trougao (videti sliku ??). Tada va�e sinusnateorema
a
sinα=
b
sinβ=
c
sin γ,
i kosinusna teorema
a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
1. Primena trigonometrije 3
1.2 Rexeni zadaci
1.2.1. Izraziti u radijanima uglove:
a) α = 30◦;
b) α = 225◦;
v) α = 22, 5◦;
g) α = 20◦7′30′′.
Rexe�e.
a) Kako je 1◦ =π
180rad sledi da je α = 30◦ = 30 · π
180rad =
π
6rad;
b) α = 225◦ = 225 · π
180rad =
5π
4rad;
v) α = 22, 5◦ = 22, 5 · π
180rad =
π
8rad;
g) Kako je 30′′ = 0, 5′ i kako je 7, 5′ = 0, 125◦ sledi da je α = 20◦7′30′′ =
20, 125◦ = 20, 125 · π
180rad =
161π
1440rad.
4
1.2.2. Izraziti u stepenima uglove:
a) α = 1 rad;
b) α =π
3rad;
v) α =8π
9rad;
g) α = 3, 14 rad.
Rexe�e.
a) Kako je 1◦ =π
180rad sledi da je 1 rad =
180◦
πodnosno α =
180◦
π;
b) Kako je 1 rad =180◦
πsledi α =
π
3· 180
◦
πrad = 60◦;
v) α =8π
9rad =
8π
9· 180
◦
π= 160◦;
g) α = 3, 14 rad = 3, 14 · 180◦
π=
5652◦
10π.
4
4 1.2. Rexeni zadaci
1.2.3. Izraziti u radijanima jedan minut.
Rexe�e. Kako je 1◦ =π
180rad i kako je 1◦ = 60′ sledi da je 1′ =
π
10800rad.
4
1.2.4. Izraqunati:
a) sin 300◦;
b) cos 67◦30′.
Rexe�e.
a) Kako je 300◦ =5π
3rad sledi sin 300◦ = sin
5π
3= −√3
2;
b) Kako je 67◦30′ =3π
8rad sledi cos 67◦30′ = cos
3π
8=
√√√√1 + cos3π
42
=√2−√2
2.
4
1.2.5. Izraqunati vrednost izraza cos2 18◦+cos2 72◦+sin2 27◦+sin2 63◦.
Rexe�e. Neka je S = cos2 18◦+cos2 72◦+sin2 27◦+sin2 63◦. Kako je cos (90◦ − α) = sinαi sin (90◦ − α) = cosα i kako je cos2 α+ sin2 α = 1 sledi
S = cos2 18◦ + sin2 (90◦ − 72◦) + sin2 27◦ + cos2 (90◦ − 63◦)
= cos2 18◦ + sin2 18◦ + sin2 27◦ + cos2 27◦
= 1 + 1 = 2.
4
1.2.6. Izraqunati vrednost izraza sin2 1◦ + sin2 2◦ + . . .+ sin2 89◦.
Rexe�e. Neka je S = sin2 1◦ + sin2 2◦ + . . . + sin2 89◦. Kako je sinα =cos (90◦ − α) sledi
S = (sin2 1◦ + sin2 89◦) + (sin2 2◦ + sin2 88◦) + . . .+ (sin2 44◦ + sin2 46◦) + sin2 45◦
= (sin2 1◦ + cos2 1◦) + (sin2 2◦ + cos2 2◦) + . . .+ (sin2 44◦ + cos2 44◦) + sin2 45◦
= 44 +1
2= 44, 5.
4
1.2.7. Izraqunati vrednost izraza4 cos 40◦
cos 130◦− tg 130◦.
1. Primena trigonometrije 5
Rexe�e. Neka je S =4 cos 40◦
cos 130◦− tg 130◦. Tada je
S =4 cos 40◦ − sin 130◦
cos 130◦
=4 cos 40◦ − sin (90◦ + 40◦)
cos 130◦
=4 cos 40◦ − (sin 90◦ cos 40◦ − cos 90◦ sin 40◦)
cos 130◦
=3 cos 40◦
cos 130◦
=3 cos 40◦
cos (90◦ + 40◦)
=3 cos 40◦
− sin 40◦= −3 ctg 40◦.
4
1.2.8. Izraqunati vrednost izrazasin 42◦ + sin 32◦ − sin 12◦ − sin 2◦
cos 42◦ + cos 32◦ + cos 12◦ + cos 2◦.
Tada je
Rexe�e. Neka je S =sin 42◦ + sin 32◦ − sin 12◦ − sin 2◦
cos 42◦ + cos 32◦ + cos 12◦ + cos 2◦.
S =(sin 42◦ − sin 12◦) + (sin 32◦ − sin 2◦)
(cos 42◦ + cos 12◦) + (cos 32◦) + cos 2◦
=2 sin 15◦ cos 27◦ + 2 sin 15◦ cos 17◦
2 cos 27◦ cos 15◦ + 2 cos 17◦ cos 15◦
=sin 15◦
cos 15◦· cos 27
◦ + cos 17◦
cos 27◦ + cos 17◦
=sin 15◦
cos 15◦=
1− cos 30◦
21 + cos 30◦
2
=2−√3
2 +√3.
4
1.2.9. Izraqunati vrednost izraza 4 sin2 70◦ −√3 sin 20◦ − cos 20◦.
6 1.2. Rexeni zadaci
Rexe�e. Neka je S = 4 sin2 70◦ −√3 sin 20◦ − cos 20◦. Tada je
S = 4 sin2 70◦ − 2
(√3
2sin 20◦ +
1
2cos 20◦
)= 4 sin2 70◦ − 2 (cos 30◦ sin 20◦ + sin 30◦ cos 20◦)
= 4 sin2 70◦ − 2 sin 50◦
= 2(1− cos2 140◦)− 2 sin 50◦
= 2− 2(cos 90◦ cos 50◦ − sin 90◦ sin 50◦)− 2 sin 50◦
= 2 + 2 sin 50◦ − 2 sin 50◦ = 2.
4
1.2.10. Izraqunati cos 10◦ cos 50◦ cos 70◦.
Rexe�e. Neka je S = cos 10◦ cos 50◦ cos 70◦. Tada je
S =1
2(cos 60◦ + cos 40◦) cos 70◦
=1
2
(1
2cos 70◦ + cos 40◦ cos 70◦
)=
1
2
(1
2cos 70◦ +
1
2(cos 110◦ + cos 30◦)
)=
1
4
(cos 70◦ + cos 110◦ +
√3
2
)
=1
4
(cos 70◦ − cos 70◦ +
√3
2
)=
√3
8.
4
1.2.11. Neka su α i β oxtri uglovi i α < β. Dokazati da va�i sinα <sinβ i cosα > cosβ.
Rexe�e. Kako su α i β oxtri uglovi, �ihova radijanska mera pripada
intervalu(0,π
2
). Funkcija sinus je rastu�a a funkcija kosinus opadaju�a
na intervalu(0,π
2
)pa va�i sinα < sinβ i cosα > cosβ. 4
1.2.12. Pore�ati brojeve a = sin 35◦, b = ctg 50◦ i c = cos 65◦ od najma-�eg do najve�eg.
Rexe�e.
Uporedimo brojeve a i c.Va�i cos 65◦ = sin (90◦ − 65◦) = sin 25◦.Kako je 25◦ < 35◦ sledi sin 25◦ < sin 35◦ tj. c < a.
1. Primena trigonometrije 7
Uporedimo brojeve b i c.
Va�i ctg 50◦ =cos 50◦
sin 50◦>
cos 65◦
sin 50◦> cos 65◦. Pri tome prva nejednakost
sledi iz nejednakosti 50◦ < 65◦ a druga iz nejednakosti sin 50◦ < 1. Dakleb > c.
Uporedimo brojeve a i b.
Va�i ctg 50◦ =cos 50◦
sin 50◦=
sin 40◦
sin 50◦> sin 40◦ > sin 35◦. Pri tome prva
nejednakost sledi iz nejednakosti sin 50◦ < 1 a druga iz nejednakosti 35◦ <40◦. Dakle b > a.
Konaqno c < a < b.4
1.2.13. Du�ine kateta pravouglog trougla su a = 16 i b, du�ina hipo-tenuze je c a veliqine odgovaraju�ih uglova su, redom, α, β i γ. Izraqunati
b, c, α, β i γ, ako je poznato da je sinα =1
2.
Rexe�e. Kako je sinα =a
csledi c =
a
sinαtj. c = 32. Iz Pitagorine
teoreme dobijamo b =√c2 − a2 = 16
√3. Kako je sinα =
1
2, sinβ =
a
c=
√3
2i γ prav ugao sledi α = 30◦, β = 60◦ i γ = 90◦. 4
1.2.14. Du�ine stranica oxtrouglog trougla su a = 39, b = 60 i c,
a veliqine odgovaraju�ih uglova su, redom, α, β i γ. Ako je sinα =3
5,
izraqunati sin γ.
Rexe�e. Kako je poznato sinα iz jednakosti cos2 α + sin2 α = 1 mo�emoizraqunati i cosα. Va�i
cosα = ±√1− sin2 α.
Kako je trougao oxtrougli bi�e cosα > 0. Odnosno
cosα =√1− sin2 α =
√1−
(3
5
)2
=4
5.
Otuda du�inu stranice c mo�emo izraqunati iz jednakosti
a2 = b2 + c2 − 2bc cosα,
odnosno du�ina stranice je rexe�e kvadratne jednaqine
c2 − 96c+ 2079 = 0.
Rexe�a te kvadratne jednaqine su 63 i 33. Pretpostavimo da je c = 33.Tada iz jednakosti
b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ
8 1.2. Rexeni zadaci
dobijamo da je cosβ < 0 a to je u suprotnosti sa pretpostavkom da je trougaooxtrougli. Dakle c = 63. Konaqno sin γ dobijamo iz jednakosti
a
sinα=
c
sin γ.
Va�i
sin γ =c
asinα =
63
65.
4
1.2.15. Neka su a, b i du�ine stranica trougla a γ ugao koji odre�uju
te stranice. Dokazati da je povrxina trougla P jednaka1
2ab sin γ.
Rexe�e. Posmatrajmo sliku ??. Va�i P =1
2bhb. Kako je
hba
= sin γ sledi
P =1
2ba sin γ. 4
1.2.16. Povrxina oxtrouglog trougla jeste P =12
13a dve stranice su
a = 1 i b = 2. Izraqunati du�inu tre�e stranice c.
Rexe�e. Kako je P =1
2ab sin γ sledi sin γ =
2P
ab=
12
13. Kako je trougao
oxtrougli cos γ =
√1− sin2 γ =
5
13. Otuda iz jednakosti c2 = a2 + b2 −
2ab cos γ dobijamo c2 =45
13tj. c = 3
√5
13.
4
1.2.17. Du�ine stranica trougla su a =√3, b = 1 i c, a veliqine
odgovaraju�ih uglova su, redom, α, β i γ. Ako je α = 2β, izraqunati obimi povrxinu trougla.
Rexe�e. Neka je O obim a P povrxina trougla. Kako je
O = a+ b+ c
P =1
2ab sin γ.
Dovono je da odredimo c i sin γ. Va�i γ = 180◦−(α+β), pa ugao γ mo�emo
odrediti ako znamo uglove α i β. Kako je α = 2β ia
sinα =
b
sinβdobijamo
a
sin 2β=
b
sinβ
a
2 sinβ cosβ=
b
sinβa
2 cosβ= b
1. Primena trigonometrije 9
odnosno cosβ =a
2b=
√3
2. Otuda je β = 30◦, α = 60◦ i γ = 90◦. Kako je
γ = 90◦ sledi c =√a2 + b2 = 2. Konaqno O = 3 +
√3 a P =
√3
2.
4
1.2.18. Neka je a du�ina jedne stranice, α ugao naspram te stranice i
R polupreqnik opisane kru�nice trougla. Dokazati da va�ia
sinα= 2R.
Rexe�e.
Prvi sluqaj (α = 90◦). Kako je u ovom sluqaju a hipotenuza trouglasledi
a
sin 90◦= a = 2R.
Drugi sluqaj (α < 90◦). Posmatrajmo sliku ??. Kako su α i ∠BOC pe-riferijski i centralni ugao nad tetivom BC i kako su taqke O i A saiste strane prave BC sledi ∠BOC = 2α. Primenom kosinusne teoreme natrougao BOC dobijamo
a2 = R2 +R2 − 2 ·R ·R · cos 2α= 2R2(1− cos 2α)
= 4R2 sin2 α.
Iz posled�e jednakosti neposredno sledia
sinα= 2R.
Drugi sluqaj (α > 90◦). Posmatrajmo sliku ??. Kako su trouglovi ACOi ABO jednakokraki sa vrhom O dobijamo ∠ACO = ∠CAO i ∠BAO =∠ABO. Kako je α = ∠CAO + ∠BAO i kako je zbir uglova u qetvorouglu360◦ sledi ∠BOC = 360◦ − 2α. Primenom kosinusne teoreme na trougaoBOC dobijamo
a2 = R2 +R2 − 2 ·R ·R · cos 360◦ − 2α
= 2R2(1− cos 2α)
= 4R2 sin2 α.
Iz posled�e jednakosti neposredno sledia
sinα= 2R. 4
1.2.19. Neka su a, b i c du�ine stranica a R polupreqnik opisane
kru�nice trougla. Dokazati da je povrxina trougla P jednakaabc
4R.
Rexe�e. Kako je P =1
2ab sin γ i kako je
c
sin γ= 2R sledi P =
abc
4R. 4
1.2.20. Du�ina stranice pravilnog osmougla je a. Izraqunati po-vrxinu pravilnog osmougla.
10 1.2. Rexeni zadaci
Rexe�e. Posmatrajmo sliku ??. Sa slike se vidi da je povrxina osmougla
P = d2 + 4 · 12a2 sinα. Primenom kosinusne teoreme dobijamo
d2 = a2 + a2 − 2 · a · a · sinα
Zbir unutrax�ih uglova osmougla je S8 = (8 − 2) · 180◦. Kako je osmougao
pravilan sledi α =S8
8= 135◦. Konaqno
P = 2a2(1 + sinα− cosα) = 2a2(1 +√2).
4
1.2.21. Za koje vrednosti x je trougao qije su stranice du�ine x, 5 i12 tupougli.
Rexe�e. Na osnovu nejednakosti trougla od du�i du�ine x, 5 i 12 se mo�ekonstruisati trougao ako i samo ako je x > 12 − 5 i x < 12 + 5, tj. ako isamo ako x ∈ (7, 17). Trougao je tupougli ako i samo ako je ugao naspramnajdu�e stranice tup.
Pretpostavimo da je najdu�a stranica trougla stranica du�ine 12 ineka je ϕ ugao naspram te stranice. Kako je ϕ tup ugao ako i samo ako jecosϕ < 0 iz jednakosti
122 = x2 + 52 − 2 · x · 5 · cosϕ
dobijamo da je ugao ϕ tup ako i samo ako je 122 > x2+52 i x ∈ (7, 12] odnosnoako i samo ako x ∈
(7,√119).
Pretpostavimo da je najdu�a stranica trougla stranica du�ine x ineka je ϕ ugao naspram te stranice. Kako je ϕ tup ugao ako i samo ako jecosϕ < 0, iz jednakosti
x2 = 122 + 52 − 2 · 12 · 5 · cosϕ
dobijamo da je ugao ϕ tup ako i samo ako je x2 > 122 + 52 i x ∈ (12, 17)odnosno ako i samo ako x ∈ (13, 17).
Konaqno, x ∈(7,√119)∪ (13, 17). 4
1.2.22. Dva ugla trougla su 45◦ i 30◦ obim trougla je 6(3 +√2 +√3).
Izraqunati povrxinu trougla.
Rexe�e. Neka je α = 45◦, β = 30◦ a γ nepoznati ugao trougla. Neka sua, b i c du�ine stranica trougla naspram uglova α, β i γ redom. Tada jeγ = 180◦ − (45◦ + 30◦) = 105◦. Iz jednakosti
a
sinα=
b
sinβ=
c
sin γ,
1. Primena trigonometrije 11
s obzirom da je sin 45◦ =1√2, sin 30◦ =
1
2i sin 75◦ = sin 45◦ + 30◦ =
√2(√3 + 1)
4dobijamo
a√2 = 2b =
4c√2(√3 + 1)
.
Otuda je b = a
√2
2i c = a
(√3 + 1)
2. Dae je
a+ b+ c =a
2(3 +
√2 +√3) = 6(3 +
√2 +√3)
odakle sledi a = 12, b = 6√2 i c = 6(
√3+1). Neka je P povrxina trougla.
Tada je
P =1
2ab sin γ = 18(
√3 + 1).
4
1.2.23. Zbir uglova pod kojim se sa 100, 200 i 300 metara udaenostividi tora� jeste 90◦. Odrediti visinu tor�a.
Rexe�e. Posmatrajmo sliku ??. Va�i α + β + γ = 90◦, tgα =x
300, tg β =
x
200i tg γ =
x
100. Otuda je
tg γ = tg (90◦ − (α+ β)) = tg (α+ β) =1− tgα tg β
tgα+ tg β,
odnosno
x
100=
1− x
300· x
200x
200+
x
300
.
Posled�a jednaqina se svodi na jednaqinu x2 = 10 000. Sledi da je visinator�a 100 metara. 4
12 1.3. Zadaci za ve�bu
1.3 Zadaci za ve�bu
1.3.1. Izraziti u radijanima uglove:
a) α = 100◦;
b) α = 63, 5◦;
v) α = 128◦15′;
g) α = 128◦23′20′′.
Rexe�e. 4
1.3.2. Izraziti u stepenima uglove:
a) α =π
8;
b) α =9π
7.
Rexe�e. 4
1.3.3. Odrediti konveksan ugao koji odre�uju mala i velika kazakana satu, ako sat pokazuje slede�e vreme:
a) 14h;
b) 18h30min;
v) 23h45min.
Rexe�e. 4
1.3.4. Neka je ϕ = 225◦. Izraqunati sinϕ, cosϕ, tgϕ i ctgϕ.
Rexe�e. 4
1.3.5. Izraqunati:
a)sin 47◦ + sin 61◦ − sin 11◦ − sin 25◦
cos 7◦;
b) cos 20◦ cos 40◦ cos 60◦ cos 80◦;
v)sin 160◦
sin 100◦(cos4 40◦ − sin4 40◦);
g) tg 9◦ + tg 81◦ + tg 117◦ + tg 153◦.
Rexe�e. 4
1.3.6. Poznato je da je α tup ugao i sinα =
√3
2. Odrediti ugao α u
stepenima i radijanima.
1. Primena trigonometrije 13
Rexe�e. 4
1.3.7. Poznato je da je α oxtar ugao i cos (2α− 45◦) = 1. Odrediti ugaoα.
Rexe�e. 4
1.3.8. Neka su α i β oxtri uglovi takvi da je tgα =
√2 + 1√2− 1
i tg β =1√2.
Izraqunati α− β.
Rexe�e. 4
1.3.9. Hipotenuza pravouglog trougla tri puta je ve�a od jedne katete.Izraqunati uglove tog trougla.
Rexe�e. 4
1.3.10. Dokazati da je trougao qije su stranice a = 11, b = 14 i c = 18tupougli.
Rexe�e. 4
1.3.11. Tora� koji je visok 20m i nalazi se na levoj obali reke jeod iste udaen 20m. Vrh tor�a se iz taqke na desnoj obali koja je taqnopreko puta taqke sa leve obale koja je najbli�a tor�u vidi pod uglom 30◦.Kolika je xirina reke na tom mestu?
Rexe�e. 4
1.3.12. Izraqunati povrxinu xrafirane figure na slici ??
Rexe�e. 4
1.3.13. Oko kruga polupreqnika√√
2 + 1 opisan je pravilan osmougao.Izraqunati povrxinu tog osmougla.
Rexe�e. 4
U zadacima ?? se razmatra trougao ABC u kome je a = BC, b = CA,c = AB, α = ]BAC, β = ]CBA i γ = ]ACB.
1.3.14. Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako je a =18, β = 60◦ i γ = 75◦.
Rexe�e. 4
1.3.15. Odrediti uglove trougla ABC ako je a = 6, b = 12 i c = 13.
Rexe�e. 4
1.3.16. Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako je:
14 1.3. Zadaci za ve�bu
a) a = 4√2, b = 2
√4− 2
√2 i β = 22◦30′;
b) a = 4√2, b = 4
√4− 2
√2 i β = 22◦30′;
v) a = 4√2, b =
√4− 2
√2 i β = 22◦30′.
Rexe�e. 4
1.3.17. Odrediti nepoznate stranice i uglove trougla ABC ako supoznati uglovi α i β i polupreqnik opisane kru�nice R.
Rexe�e. 4
1.3.18. Dat je trougao ABC. Ako je ]ACB = 70◦, du�ina visine iztemena A jednaka 4 i du�ina visine iz temena B jednaka 3 izraqunati du-�inu stranice AB, polupreqnik opisane kru�inice i povrxinu trouglaABC.
Rexe�e. 4
1.3.19. Ako su α, β i γ uglovi trougla, dokazati da va�i:
a) sinα+ sinβ + sin γ = 4 cosα
2cos
β
2cos
γ
2;
b) tgα+ tg β + tg γ = tgα tg β tg γ.
Rexe�e.
a) Iskoristiti da va�i γ = 180◦−(α+β), sinα+sinβ = 2 sinα+ β
2cos
α− β2
,
sin (α+ β) = 2 sinα+ β
2cos
α+ β
2i cos
α+ β
2+cos
α− β2
= 2 cosα
2cos
β
2;
b)
4
1.3.20. Dokazati da ako za uglove α, β i γ nekog trougla va�i jednakost
tg (α− β) + tg (β − γ) + tg (γ − α) = 0,
onda je taj trougao jednakokraki.
Rexe�e. 4
1.3.21. Neka su a, b i c du�ine stranica, α, β i γ uglovi i R polupre-qnik opisane kru�nice trougla. Dokazati da va�i
a cosα+ b cosβ + c cos γ = 4R sinα sinβ sin γ.
1.3.22. Dat je trougao ABC sa stranicama AB = 2 i AC = 3. Neka je Dtaqka na stranici BC takva da je ]BAD = 30◦ i ]CAD = 45◦. Izraqunatidu�inu du�i AD.
Rexe�e. 4
top related