laboratorium manajemen dasarma-dasar.lab.gunadarma.ac.id/wp-content/uploads/2015/03/modul... ·...
Post on 13-Feb-2018
277 Views
Preview:
TRANSCRIPT
LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR
MODUL MATEMATIKA EKONOMI 2
ATA 2014/2015
NAMA :
NPM :
KELAS :
FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS GUNADARMA
DEPOK
Laboratorium Manajemen Dasar
Matematika Ekonomi 2 i ATA 14/15
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat, hidayah, dan
karunia yang diberikan-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini
tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini kepada
mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran dalam perkuliahan, maka modul
ini dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran.
Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum
sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat
meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman bagi
mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu modul ini
juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan
perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada.
Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perlu
disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya sangat
diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terima kasih kepada tim litbang Matematika
Ekonomi 2 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam
penulisan modul praktikum ini.
Akhir kata, penyusun mngucapkan terimakasih kepada semua pihak yang
telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.
Depok, Maret 2015
Tim Litbang
Laboratorium Manajemen Dasar
Matematika Ekonomi 2 ii ATA 14/15
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................. i
DAFTAR ISI ................................................................................................ ii
DAFTAR GAMBAR ................................................................................... iv
MATERI 1. DERIVATIF
1. Konsep Dasar Turunan ............................................................................ 1
2. Kaidah Diferensiasi ................................................................................ 1
3. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya ........................................... 5
3.1 Menentukan persamaan Garis Singgung dan Garis Normal 5
3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 6
4. Penerapan Ekonomi 7
4.1 Elastisitas 7
4.1.1 Elastisitas Harga 7
4.1.2 Elastisitas Permintaan 8
4.1.3 Elastisitas Penawaran 10
4.1.4 Elastisitas Produksi 12
4.2 Biaya 15
4.3 Penerimaan 18
4.4 Laba Maksimum 21
MATERI 2. INTEGRAL TAK TENTU
1. Konsep Dasar Integral Tak Tentu ........................................................... 24
2. Kaidah-Kaidah dalam Integral Tak Tentu............................................... 25
3. Penerapan Ekonomi ............................................................................... 26
3.1 Fungsi Biaya ............................................................................................ 26
3.2 Fungsi Penerimaan ........................................................................... 30
Laboratorium Manajemen Dasar
Matematika Ekonomi 2 iii ATA 14/15
3.3 Fungsi Produksi ................................................................................ 34
3.4 Fungsi Utilitas .................................................................................. 38
3.5 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan .......................................... 39
MATERI 3. INTEGRAL TERTENTU
1. Konsep Dasar Integral Tertentu .............................................................. 45
2. Penerapan Ekonomi ................................................................................ 45
2.1 Surplus Konsumen ........................................................................... 46
2.2 Surplus Produsen .............................................................................. 54
MATERI 4. TRANSEDENTAL
1. Konsep Dasar Transedental..................................................................... 61
1.1 Fungsi Eksponensial ........................................................................ 61
1.2 Fungsi Logaritmik ............................................................................ 63
2. Penerapan Ekonomi ................................................................................ 65
2.1 Model Bunga Majemuk .................................................................... 66
2.2 Model Pertumbuhan ......................................................................... 70
2.3 Kurva Gompertz ............................................................................... 74
2.4 Kurva Belajar (Learning Curve) ............................................................... 77
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 81
Laboratorium Manajemen Dasar
Matematika Ekonomi 2 iv ATA 14/15
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif ...................................................... 9
Gambar 1.2 Tampilan hasil output contoh kasus 1 ................................... 9
Gambar 1.3 Tampilan awal software EC-Math ........................................ 11
Gambar 1.4 Tampilan Awal Menu Derivatif ............................................ 11
Gambar 1.5 Tampilan Output Contoh Kasus 2 ......................................... 12
Gambar 1.6 Tampilan Awal Software EC-MATH ................................... 13
Gambar 1.7 Tampilan Awal Menu Derivatif ............................................ 14
Gambar 1.8 Tampilan Output Contoh Kasus 3 ......................................... 14
Gambar 1.9 Tampilan Awal Software EC-Math ...................................... 16
Gambar 1.10 Tampilan Awal Menu Derivatif ............................................ 17
Gambar 1.11 Tampilan Output Contoh Kasus ............................................ 17
Gambar 1.12 Tampilan Awal Software EC-Math ...................................... 19
Gambar 1.13 Tampilan Awal Menu Derivatif ............................................ 20
Gambar 1.14 Tampilan Output Contoh Kasus 5 ......................................... 20
Gambar 1.15 Tampilan Awal Software EC-Math ...................................... 22
Gambar 1.16 Tampilan Awal Menu Derivatif ............................................ 23
Gambar 1.17 Tampilan Output Contoh Kasus 6 ......................................... 23
Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ............................ 27
Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ............................ 28
Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya ................................. 28
Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya ............................. 29
Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya .......................... 29
Gambar 2.6 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ............................ 31
Gambar 2.7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ............................ 32
Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan ........................ 32
Laboratorium Manajemen Dasar
Matematika Ekonomi 2 v ATA 14/15
Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan ................... 33
Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan ................. 33
Gambar 2.11 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ............................ 35
Gambar 2.12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ............................ 36
Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi ............................ 36
Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi ........................ 37
Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi ..................... 37
Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ............................ 41
Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ............................ 42
Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi .......................... 42
Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi ...................... 43
Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi ................... 43
Gambar 2.21 Tampilan Menu Input Data Fungsi Saving ........................... 44
Gambar 2.22 Tampilan Menu Output Data Fungsi Saving ........................ 44
Gambar 3.1. Grafik Surplus Konsumen ..................................................... 46
Gambar 3.2. Tampilan Ec-Math ................................................................ 48
Gambar 3.3. Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 1 ................. 48
Gambar 3.4. Tampilan Rumus Ec-Math .................................................... 49
Gambar 3.5. Hasil Perhitungan Suplus Konsumen 1 ................................. 49
Gambar 3.6. Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 2 ................. 50
Gambar 3.7. Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen 2 ................. 51
Gambar 3.8. Tampilan Hasil Pengerjaan Surplus Konsumen 2 ................. 51
Gambar 3.9. Grafik Contoh Soal Surplus Konsumen ................................ 53
Gambar 3.10. Grafik Surplus Produsen ....................................................... 54
Laboratorium Manajemen Dasar
Matematika Ekonomi 2 vi ATA 14/15
Gambar 3.12. Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 1 ................... 57
Gambar 3.13. Tampilan Rumus Ec-Math .................................................... 57
Gambar 3.14. Hasil Output .......................................................................... 58
Gambar 3.15. Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 2 ................... 59
Gambar 3.16. Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Produsen 2 .................... 59
Gambar 3.17. Tampilan Hasil Pengerjaan Ec-Math Surplus Produsen 2 .... 60
Gambar 4.1. Tampilan Menu Awal Transedental ...................................... 69
Gambar 4.2. Tampilan Menu Model Bunga Majemuk .............................. 70
Gambar 4.3. Tampilan Hasil Output Kasus 1 ............................................ 70
Gambar 4.4. Tampilan Menu Awal Transedental ...................................... 72
Gambar 4.5. Tampilan Menu Model Pertumbuhan Majemuk ................... 73
Gambar 4.6. Tampilan Hasil Output Kasus 2 ............................................ 73
Gambar 4.7. Tampilan Awal Software Ec-Math ....................................... 75
Gambar 4.8. Tampilan awal menu Kurva Gompertz ................................. 76
Gambar 4.9. Tampilan output kasus kurva gompertz ................................ 76
Gambar 4.10. tampilan awal software ec-math............................................ 89
Gambar 4.11. Tampilan menu kurva belajar ............................................... 80
Gambar 4.12. Tampilan Output Kasus Kurva Belajar ................................. 80
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 1 ATA 14/15
DERIVATIF
1. KONSEP DASAR TURUNAN
Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan
dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan
diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensiasi, dimana : ∆x 0.
Kurva 1.1 Kurva Derivatif
Bentuk merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi
(difference quotient) yang menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat y
terhadap variabel bebas x.
2. KAIDAH DIFERENSIASI
Berikut ini adalah kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi:
1. Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0
Contoh : y = 4 maka y’ = 0
2. Diferensiasi fungsi linear
Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y’ = b
Contoh : y = 25 + 12x maka y’ = 12
3. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = axn, dimana a adalah konstanta, maka y’ = n.a x
n-1
Contoh : y = 4X5 maka y’ = 5.4X
5-1 = 20X
4
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 2 ATA 14/15
4. Diferensiasi penjumlahan atau pengurangan fungsi
Jika y = u + v dimana u = g(x) dan v = n(x), maka y’ = u’ + v’
Contoh : y = 5X4 – 4X
5
u = 5X4, u’ = 4.5X
4-1= 20X
3
v = -4X5, v’ = 5.-4X
5-1= -20X
4
karena y’ = u’ + v’
maka y’ = 20X3 – 20X
4
5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = k . u , dimana u = g(x), maka y’ = k . u’
Contoh : y = 4 . 5X5
u = 5X5
maka → u’ = 5 . 5X5-1
=25X4
karena y’ = k . u’ maka y’ = 4 . 25X4 = 100X
4
b. Perkalian fungsi
Jika y = u.v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’.v + u.v’
Contoh: y = (X4
– 5)(4X4 – 4)
u = (X4 – 5) maka → u’ = 4X
3
v = (4X4 – 4) maka → v’ = 16X
3
karena y’ = u’.v + u.v’ maka
y’ = (4X3) (4X
4 – 4) + (X
4 – 5)(16X
3)
y’ = 16X7
– 16X3 + 16X
7 – 80X
3
6. Difernsiasi hasil bagi fungsi
Jika y =
, dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ =
Contoh : y =
u = (X4 – 5) → u’ = (4X
3)
v = (X5 – 4) → v’ = (5X
4)
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 3 ATA 14/15
karena y’ =
, maka:
y’ = ( )
y’ =
y’ =
7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai)
Jika y = f(u) sedangkan u = g(x), dengan kata lain y = f[ g(x) ], maka:
Contoh : y = (6X2 + 4)
2
misalkan : u = 6X2+4, sehingga y = u
2
maka
8. Derivatif tingkat tinggi
Derivatif ke-n dari fungsi y = f(k) diperoleh dengan mendiferensiasikan
sebanyak n kali.
Derivatif ke-n dilambangkan dengan
atau f
n(x) atau
Contoh : y = 5X5 + 4X
4 + 3X
3 + X , maka
y' atau
y’’ atau
9. Diferensiasi implisif
Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0
suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari
persamaan tersebut ditentukan oleh dy/dx.
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 4 ATA 14/15
Contoh : xy4 – x
4 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :
1.y4 + x.4y
– 4x
3 +
= 0
(4xy + 1)
= 4x
3 – y
4
=
10. Derivatif fungsi logaritmik
y = ln x →
y = ln u, dimana u = g (x)
y = alog x →
contoh : jika y = ln (3 – 3x2) maka tentuka dy / dx
u = 3 – 3x2
11. Derivatif fungsi eksponensial
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 5 ATA 14/15
12. Derivatif fungsi trigonometrik
Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :
3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
3.1 Menentukan persamaan Garis Singgung dan Garis Normal
Langkah – langkah untuk mencari Garis Singgung dan Garis Normal adalah :
1. Tentukanlah titik singgung (xo, yo)
2. Cari koefisien arah m = f’ (x)
3. Cari Garis Singgung dengan rumus : y – yo = m (x – xo)
4. Cari Garis Normal dengan rumus : y – yo =
* Catatan :
Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis Singgung kurva
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 6 ATA 14/15
3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
1. Fungsi y = f (x) monton naik jika f’(x) > 0
2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f’(x) < 0
3. Nilai stasioner
Jika diketahui y = f(x), maka pada f (x) = 0, titik (x, y) merupakan Nilai
Stasioner.
Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :
Jika f(x) > 0, maka (x, y) merupakan titik balik minimum
Jika f(x) < 0, maka (x, y) merupakan titik balik maksimum
Jika f(x) = 0, maka (x, y) merupakan titik balik belok
CONTOH :
Diketahui TR = 15Q – 4Q2, tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari
fungsi tersebut!
Jawab :
TR’ = 0
15-8Q = 0
-8Q = -15
Q = -15/-8
= 1.875
TR” = -8 ( TR” < 0, merupakan titik balik maksimum)
Nilai maksimum TR = 15Q – 4Q2
= 15(1.875) – 4(1.875)2
= 28.125 – 14.0625
= 14.0625
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 7 ATA 14/15
4. PENERAPAN EKONOMI
4.1 ELASTISITAS
4.1.1 ELASTISITAS HARGA
Adalah perbandingan antara perubahan relative dari jumlah perubahan
relative dari harga.
Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam yang digunakan
yaitu:
1. ELASTISITAS TITIK (Point Elasticity)
2. ELASTISITAS BUSUR (Arc Elasticity)
Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.
Kelemahannya adalah timbulnya tafsiran ganda.
Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung :
a. Elastisitas harga permintaan, d < 0 (engatif)
b. Elastisitas harga penawaran, s > 0 (positif)
Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :
a. || > 1 → ELASTIS
b. || < 1 → INELASTIS
c. || = 1 → UNITARY ELASTIS
d. || = 0 → INELASTIS SEMPURNA
e. || = → ELASTIS TAK HINGGA
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 8 ATA 14/15
4.1.2 ELASTISITAS PERMINTAAN
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang
diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan
ditanyakan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya adalah :
d = Qd’
CONTOH KASUS 1 :
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 44 – 4P2.
Tentukanlah elastisitas permintaan pada saat P = 5/unit. Bagaimanakah sifat
elastisitasnya? Analisislah!
Diketahui : Qd = 44 – 4P2 → Qd’ = -8P
P = 5
Ditanya : d ?
Jawab :
d = Qd’ .
d = -8P .
d = -8(5) .
d = 3.57 > 1 ( elastis )
Analisis :
Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 3.57 pada saat harga produk sebesar
Rp 5. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang akan diminta akan
turun sebanyak 3.57%
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 9 ATA 14/15
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH:
1. Buka aplikasi EC – Math pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Elastisitas
Permintaan
Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif
2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2. Kemudian tekan enter.
Kemudian masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk
menampilkan hasilnya.
Gambar 1.2 Tampilan hasil output contoh kasus 1
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 10 ATA 14/15
4.1.3 ELASTISITAS PENAWARAN
Adalah suatu koefisen yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi
penawaran dinyatakan dengan Qs = f (P) , maka elastisitas
penawarannya:
s = Qs’
CONTOH KASUS 2 :
Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = -45 + 5P2.
Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 4/unit. Bagaimana sifat elastis
penawaran tersebut, analisislah!
Diketahui : Qs = -45 + 5P2
Qs’ = 10P
P = Rp 4/unit
Ditanya : s ?
Jawab :
s = Qs’ .
s= 10P .
s = 10(4) .
s = 4.57 → (elastis)
Analisis:
Jadi besarnya elastisitas penawaran adalah 4.57 pada saat harga produk sebesar
Rp.4. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang ditawarkan akan
bertambah sebanyak 4.57%.
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 11 ATA 14/15
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH:
1. Buka aplikasi EC – Math
Gambar 1.3 Tampilan awal software EC-Math
2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Elastisitas Penawaran
Gambar 1.4 Tampilan Awal Menu Derivatif
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 12 ATA 14/15
3. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2. Kemudian tekan enter.
Kemudian masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk
menampilkan hasilnya.
Gambar 1.5 Tampilan Output Contoh Kasus 2
4.1.4 ELASTISITAS PRODUKSI
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah
keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah
masukan (input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan
P = f(x), maka elastisitas produksinya:
p = P’
CONTOH KASUS 3 :
Diketahui fungsi produksi perusahaan PT. Coba Colek ditunjukkan oleh
persamaan P = 5X3 – 4X
2. Hitunglah elastisitas pada saat X = 4 unit dan
analisislah!
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 13 ATA 14/15
Diketahui : P = 5X3
– 4X2
P’ = 15X2 – 8X
X = 4
Ditanya : p ?
Jawab :
p = P’ .
p = (15X2 – 8X) .
p =
p =
p = 3.25
Analisis :
Jadi elastisitas produksi sebesar 3.25 pada saat jumlah masukan produk sebesar 4
unit.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH:
1. Buka aplikasi EC – Math
Gambar 1.6 Tampilan Awal Software EC-MATH
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 14 ATA 14/15
2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Elastisitas Produksi
Gambar 1.7 Tampilan Awal Menu Derivatif
3, Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3. Kemudian tekan enter.
Kemudian masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk
menampilkan hasilnya.
Gambar 1.8 Tampilan Output Contoh Kasus 3
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 15 ATA 14/15
4.2 BIAYA
a. BIAYA TOTAL (TC)
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau
memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap
atau biaya variabel.
TC = F(Q)
atau
TC = FC + VC
b. BIAYA RATA-RATA(AC)
Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang
atau jasa pada tingkat produksi total
AC =
c. BIAYA MARGINAL (MC)
Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat
pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu.
MC = TC’ =
CONTOH KASUS 4:
Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT Handok di tunjukkan oleh
persamaan TC = 4Q3 + 5Q
2 – Q + 4. Tentukanlah besarnya biaya total, biaya rata-
rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 4 unit? Berikan analisisnya!
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 16 ATA 14/15
Diketahui :TC = 4Q3 + 5Q
2 – Q + 4
Q = 4
Ditanya : TC, AC, dan MC pada Q = 4
Jawab :
TC = 4(4)3 + 5(4)
2 – 4 + 4
= 336
AC = TC/Q
= 336/4
= 84
MC = TC’
= 12Q2 + 10Q – 1
= 12(4)2 + 10(4) – 1
= 231
Analisis:
Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebanyak 4 unit maka biaya total yang
dikeluarkan sebesar Rp 336 dengan biaya rata – rata sebesar Rp 84 dan biaya
marginal Rp 231
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH:
1. Buka aplikasi EC – Math
Gambar 1.9 Tampilan Awal Software EC-Math
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 17 ATA 14/15
2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Fungsi Biaya
Gambar 1.10 Tampilan Awal Menu Derivatif
3. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 3. Lalu tekan enter. Kemudian
masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk
menampilkan hasilnya.
Gambar 1.11 Tampilan Output Contoh Kasus 4
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 18 ATA 14/15
4.3 PENERIMAAN
a. PENERIMAAN TOTAL (TR)
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.
TR = F (Q) = P Q
b. PENERIMAAN RATA-RATA (AR)
Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu
barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan
fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
AR =
=
= P
c. PENERIMAAN MARGINAL (MR)
Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan
penjualan atau unit barang/jasa pada suatu kuantitas tertentu.
MR = TR’ =
CONTOH KASUS 5 :
Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 54Q + 4.
Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Berapakah besarnya penerimaan
total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualan sebesar 5
unit? Berikan analisisnya!
Diketahui : P = 54Q + 4
Q = 5
Ditanya : TR, AR, dan MR pada saat Q = 5
Jawab :
TR = P x Q
= (54Q + 4)Q
= 54Q2 + 4Q
= 54(5)2 + 4 (5) = 1370
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 19 ATA 14/15
AR = TR / Q
= 1370 / 5
= 274
MR = TR’
= 108Q + 4
= 108 (5) + 4
= 544
Analisis :
Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan makanan ringan saat penjualan 5
unit sebesar Rp 1370 dengan penerimaan nata-rata Rp 274 dan penerimaan
marginal sebesar Rp 544.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH:
1. Buka aplikasi EC – Math
Gambar 1.12 Tampilan Awal Software EC-Math
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 20 ATA 14/15
2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Fungsi Penerimaan
Gambar 1.13 Tampilan Awal Menu Derivatif
3. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2. Lalu tekan enter. Kemudian
masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk
menampilkan hasilnya.
Gambar 1.14 Tampilan Output Contoh Kasus 5
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 21 ATA 14/15
4.3 LABA MAKSIMUM
Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum :
1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach)
2. Pendekatan Rata – Rata (Average Approach)
3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach)
Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum
dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba
dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan
Marginal (MR), laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.
Laba (π dibaca: phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila
turunan pertama fungsi TC (dTC/dQ atau MC) sehingga MR – MC = 0.
Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau
kerugian minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR =
MC.
CONTOH KASUS 6 :
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -455Q + 555.555
dengan biaya variabel VC = 45Q2 – 4.444Q. Biaya tetap yang dikeluarkan
perusahaan sebesar 5.444. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan
bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut?
Analisislah!
Diketahui : P = -455Q + 555.555
VC = 45Q2 – 4.444Q
FC = 5.444
Ditanya : Q pada saat laba max?
Jawab :
TR = P x Q
= (-455Q + 555.555 ).Q
= -455Q2 + 555.555Q
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 22 ATA 14/15
TC = VC + FC
= (45Q2 – 4.444Q)+5.444
= 45Q2 – 4.444Q + 5.444
Laba / rugi = TR – TC
= (-455Q2 + 555.555Q) – (45Q
2 – 4.444Q + 5.444)
= -500Q2 + 559.999Q – 5.444
Laba maksimum →laba’ = 0
-1.000Q + 559.999 = 0
1.000Q = 559.999
Q = 559,999 → 560
Saat Q = 560 →Laba = -500Q2 + 559.999Q – 5.444
= -500(560)2 + 559.999(560) – 5.444
= 156.793.996
Analisis:
Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual produknya
sebanyak 560 unit sehingga keuntungan yang ia dapat sebesar 156.793.996
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH:
1. Buka aplikasi EC – Math
Gambar 1.15 Tampilan Awal Software EC-Math
Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif
Matematika Ekonomi 2 23 ATA 14/15
2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Fungsi Laba
Gambar 1.16 Tampilan Awal Menu Derivatif
3. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 pada fungsi penerimaan total
dan fungsi biaya total kemudian masukkan angka – angka yang diketahui di soal
kemudian tekan enter.
Gambar 1.17 Tampilan Output Contoh Kasus 6
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 24 ATA 14/15
INTEGRAL TAK TENTU
1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu
integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).
Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang
berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau
derivatif dari fungsinya diketahui. Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x)
berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).
Bentuk umum integral dari f(x) adalah :
Keterangan :
∫ tanda integral
= diferensial dari F(x)
= integran
F(x) = integral particular
F(x)= intergal partikular
k = konstanta pengintegralan
Formula Integral
Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal
dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x)
maka:
Untuk fungsi asal : F(x)= + 5
Fungsi turunannya : =
= 2x
Jika prosesnya dibalik (fungsi turunan f(x) diintegralkan), maka:
∫𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 𝑘 = 𝑥 + k
∫ X dx 𝑋𝑛+
𝑛 + k
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 𝑘
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 25 ATA 14/15
Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita mengintegralkan
fungsi turunan konstanta c tetap dalam bentuk c. Nilai c tidak dapat diisi dengan
sembarang bilangan tertentu kecuali nilai c tersebut sudah ditentukan. Karena
ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan
kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.
2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRAL TAK TENTU
Berikut ini adalah beberapa kaidah dalam integral tak tentu, diantaranya:
1. Formula pangkat
∫
+ k
2. Formula logaritmis
∫
ln + k
3. Formula eksponensial
∫ + k
∫ + k u = ƒ(x)
4. Formula penjumlahan
{ }
5. Formula perkalian
∫ ∫
6. Formula subtitusi
∫
= ∫
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 26 ATA 14/15
3. PENERAPAN EKONOMI
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan
fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya
diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi
total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari
fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.
3.1 FUNGSI BIAYA
BIAYA TOTAL (TC) = ∫ MC dQ = ∫ f’ (Q)
BIAYA RATA-RATA(AC) =
CONTOH KASUS 1 :
Diketahui fungsi biaya marjinal pada suatu perusahaan Maju Cantik sebesar MC =
15Q²+ 4Q + 4. Bentuklah fungsi biaya total dan biaya rata-ratanya apabila
diketahui konstanta sebesar 5. Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata
jika kuantitasnya sebesar 55 unit? Analisislah!
Diketahui : MC = 15Q² + 4Q + 4
k = 5
Q = 55
Ditanya :Persamaan TC dan AC?
Besarnya TC & AC jika Q = 55?
Jawab :
TC = ∫MC dQ
= ∫ 15Q² + 4Q + 4 dQ
=
Q
3 +
Q
2 + 4Q + k
= 5Q³ + 2Q² + 4Q + 5
AC
=
= 5Q² + 2Q + 4 +
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 27 ATA 14/15
Jika Q=55, maka:
TC = 5Q³ + 2Q² + 4Q + 5
= 5(55)³ + 2(55)² + 4(55) + 5
= 831.875 + 6.050 + 220 + 5
= 838.150
AC =
=
= 15.239,09
Analisis :
Apabila MC = 15Q² + 4Q + 4 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya total
dan fungsi biaya rata-rata adalah TC = 5Q³ + 2Q² + 4Q + 5 dan AC = 5Q² + 2Q +
4 +
. Pada saat kuantitasnya sebesar 55 unit maka biaya total sebesar Rp
838.150,00 dan biaya rata-rata sebesar Rp15.239,09.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC – Math
Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 28 ATA 14/15
2. Pilih Integral Tak Tentu
Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
3. Pilih Fungsi Biaya
Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 29 ATA 14/15
4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya
Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan FC
sebesar c, yaitu 5, kemudian masukkan persamaan MC seperti yang diketahui di
soal. Klik Calculate.
Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya
5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal,
yaitu 55. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya contoh Kasus 1
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 30 ATA 14/15
3.2 FUNGSI PENERIMAAN
PENERIMAAN TOTAL (TR) = ∫ MR dQ = ∫ f’ (Q)
PENERIMAAN RATA-RATA (AR) =
CONTOH KASUS 2 :
Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan
MR = 45Q² + 4Q + 5 maka bentuklah fungsi TR dan AR jika k = 0?
Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas yang
terjual sebesar 15 unit? Analisislah!
Diketahui : MR = 45Q² + 4Q + 5
k = 0
Q = 15
Ditanya : Persamaan TR dan AR?
Besarnya TR dan AR jika Q = 15?
Jawab :
TR = ∫MR dQ
= ∫ 45Q² + 4Q + 5 dQ
=
Q
3 +
Q
2 + 5Q + k
= 15Q³ + 2Q² + 5Q
AR =
= 15Q3
+ 2Q2
+ 5Q
Q
= 15Q² + 2Q + 5
Jika Q=15, maka:
TR = 15Q³ + 2Q² + 5Q
= 15(15)³ + 2(15)² + 5(15)
= 50.625 + 450 + 75
= 51.150
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 31 ATA 14/15
AR =
=
= 3.410
Analisis :
Apabila MR = 45Q² + 4Q + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan
total dan fungsi penerimaan rata-ratanya adalah TR = 15Q³ + 2Q² + 5Q dan AR =
15Q² + 2Q + 5.
Jika pada saat kuantitasnya sebesar 15 unit, maka besarnya biaya penerimaan
yang masuk ke perusahaan tersebut adalah Rp 51.150,00. Sedangkan besarnya
penerimaan rata-rata adalah Rp 3.410.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC – Math
Gambar 2.6 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 32 ATA 14/15
2. Pilih Integral Tak Tentu
Gambar 2 .7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
3. Pilih Fungsi Penerimaan
Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 33 ATA 14/15
4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya
Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan
persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.
Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan
5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal,
yaitu 15. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan contoh kasus 2
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 34 ATA 14/15
3.3 FUNGSI PRODUKSI
PRODUK TOTAL (TP) = ∫ MP dX = ∫ f’ (X)
PRODUK RATA-RATA (AP) =
X = Masukan atau Input
CONTOH KASUS 3 :
Produk marjinal PT.RED ditunjukkan oleh persamaan 54X² + 1. Bentuklah fungsi
produk total dan fungsi produk rata-ratanya jika k = 0? Berapakah besarnya
produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 11 unit?
Analisislah!
Diketahui : MP = 54X² + 1
k = 0
X = 11
Ditanya : Persamaan TP dan AP?
Besarnya TP dan AP jika X = 11?
Jawab :
TP = ∫ MP dX
= ∫ 54X² + 1
=
X
3 + X + k
= 18X³ + X + k
= 18X³ + X + 0
= 18X³ + X
AP =
= X X
= 18X²
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 35 ATA 14/15
Jika X = 11, maka:
TP = 18X³ + X
= 18(11)³ + 11
= 23.969
AP =
=
= 2.179
Analisis :
Apabila MP = 54X² + 1 dan konstantan sebesar 0, maka fungsi Total Produksi TP
= 18X³ + X dan fungsi rata-rata produksi AP = 18X² .
Jika masukan yangdigunakan sebesar 11 unit, maka besarnya produk total adalah
23.969 unit. Sedangkan produk rata-ratanya sebesar 2.179 unit.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1.Buka aplikasi EC Math
Gambar 2.11 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 36 ATA 14/15
2. Pilih Integral Tak Tentu
Gambar 2.12 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
3. Pilih Fungsi Produksi
Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 37 ATA 14/15
4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya
Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 1. Masukkan
persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.
Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi
5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal,
yaitu 11. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi contoh kasus 3
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 38 ATA 14/15
3.4 FUNGSI UTILITAS
UTILITAS TOTAL (TU) = ∫ MU dQ = ∫ f’ (Q)
CONTOH KASUS 4:
Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas
marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 45Q² - 44Q +1 dan konstantanya
sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 14?
Diketahui : MU = 45Q² - 44Q +1
k = 0
Q = 14
Ditanya : Persamaan TU?
Besarnya TU jika Q = 14?
Jawab :
TU = ∫ MU dQ
= ∫ 45Q² - 44Q +1 dQ
=
Q
3 -
Q
2 + Q + k
= 15Q³ - 22Q2 + Q + k
= 15Q³ - 22Q2 + Q
Jika Q = 14 maka:
TU = 15Q³ - 22Q2 + Q
= 15(14)³ - 22(14)2 + 14
= 41.160 – 4.312 + 14
= 36.862
Analisis :
Apabila MU = 45Q² - 44Q +1 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitas
totalnya adalah TU = 15Q³ - 22Q + Q. Jika kuantitasnya sebesar 14 unit, maka
besarnya utilitas total konsumen sebesar 36.862
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 39 ATA 14/15
3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional
terhadap pendapatan nasional (Y). Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C)
adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.
Keterangan:
MPC (Marginal Propensity to Consume) = Perbandingan antara besarnya
perubahan konsumsi (ΔC) dengan perubahan Pendapatan Nasional (ΔY) yang
mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.
MPS (Marginal Propensity to Saving)= Perbandingan antara besarnya perubahan
saving (ΔS) dengan perubahan Pendapatan Nasional (ΔY) yang mengakibatkan
adanya perubahan konsumsi tersebut.
k = a = Autonomous Consumption = konsumsi otonom menunjukkan besarnya
konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol
k = -a = Autonomous Saving = Tabungan otonom menunjukkan besarnya
tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.
Dimana :
MPC < 1 = menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan
digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu
sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.
MPC > 0,5 = menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan
untuk konsumsi.
MPC selalu positif = karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.
C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k = +a
S = ∫ MPS dY = F(Y) + k k = -a
0,5 < MPC < 1
MPC + MPS = 1
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 40 ATA 14/15
CONTOH KASUS 5 :
Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negara
Juvedona jika diketahui bahwa MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 15
milyar? Berapa besar konsumsi dan tabungan masyarakat jika pendapatan
nasional negara Juvedona sebesar 445 Milyar?
Diketahui :MPC = 0,55
Konsumsi Otonomus = k = a= 15
Pendapatan Nasional = 445
Ditanya : f (C) & f(S)? Besar C & S?
Jawab :
MPC + MPS = 1
MPS = 1 – MPC
= 1 – 0,55
= 0,45
C = ∫ MPC dY
= ∫ 0,55 dY
= 0,55Y + k
= 0,55Y + 15
S = ∫ MPS dY
= ∫ 0,45 dY
= 0,45Y + k
= 0,45Y – 15
Jika (Y=445) maka,
C = 0,55Y + 15
= 0,55(445) + 15
= 259,75
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 41 ATA 14/15
S = 0,45Y – 15
= 0,45(445) – 15
= 185,25
Analisis :
Apabila MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 15; maka fungsi
konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,55Y + 15. Sedangkan fungsi tabungannya
adalah S = 0,45Y – 15. Jika pada saat Pendapatan Nasional sebesar 445 maka
konsumsi dan saving masyarakat negara Juvedona sebesar 259,75 & 185,25.
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE
EC-MATH
1. Buka aplikasi EC – Math
Gambar 2.16 Tampilan Menu Awal Software EC-Math
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 42 ATA 14/15
2. Pilih Integral Tak Tentu
Gambar 2.17 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu
3. Pilih Fungsi Konsumsi
Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 43 ATA 14/15
4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar 15,
kemudian masukkan nilai MPC yaitu 0,55. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi
5. Masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 445 pada kolom Y untuk
menghitung nilai konsumsinya, klik Calculate.
Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi Contoh Kasus 5
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu
Matematika Ekonomi 2 44 ATA 14/15
6. Setelah itu masuk ke menu Integral Tak Tentu. Lalu pilih Fungsi Tabungan.
Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar -15,
kemudian masukkan nilai MPS yaitu 0,45. Kemudian klik Calculate.
Gambar 2.21 Tampilan Menu Input Data Fungsi Saving
7. Masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 445 pada kolom Y untuk menghitung
nilai savingnya, klik Calculate.
Gambar 2.22 Tampilan Menu Output Data Fungsi Saving contoh kasus 5
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 45 ATA 14/15
INTEGRAL TERTENTU
1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU
Integral Tertentu (definisi) merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan
proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah
ditentukan.
Rumus Integral tertentu :
∫
=
a = batas bawah
b = batas atas
dimana a < b
Contoh:
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan nilai a = 1 dan nilai b =4
pada persamaan ∫5x2 + 4x + 1 dx !
Jawab :
∫5x2 + 4x + 1 dx = [5/3x
3 + 2x
2 + x
= [5/3 (4)3 + 2 (4)
2 + 4] – [5/3 (1)
3 + 2 (1)
2 + 1]
= [ 106,67 + 32 + 4 ] – [ 1,67 + 2 + 1 ]
= [ 142.67 ] – [ 4,67 ]
= 138
2. PENERAPAN EKONOMI
Integral Tertentu dapat digunakan untuk mencari besarnya keuntungan Konsumen
(Surplus Konsumen) dan besarnya keuntungan Produsen (Surplus Produsen).
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 46 ATA 14/15
2.1 SURPLUS KONSUMEN = SK (Consumer’s Surplus = CS)
Surplus konsumen merupakam cerminan suatu keuntungan lebih/surplus
yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar
suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area di
bawah kurva permintaan ( P = f(Q)) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe).
Catatan: Jika mencari SK/CS maka harus memakai fungsi permintaan
1. Jika fungsi permintaan/ demand berbentuk D = Maka Rumusnya:
CS =∫
= ∫
Keterangan :
Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar
Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar
= Tingkat harga pada saat Q=0
Gambar 3.1 Grafik Surplus Konsumen
CONTOH SOAL 1
Diketahui suatu fungsi permintaan barang Pd = 54 – 4Q dan fungsi penawaran Ps
= 4 + Q, tentukan surplus konsumen dengan dua cara? Analisi dan buat grafiknya!
Diketahui : Pd = 54 – 4Q
Ps = 4 + Q
Ditanya : Cs ?
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 47 ATA 14/15
Jawab :
Cara 1 : Pd = Ps P = 54 – 4Q
54 – 4Q = 4 + Q P = 54 – 4(10)
– 4Q - Q = 4 – 54 Pe = 14
- 5Q = - 50
Qe = 10
Analisis:
Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 200 karena konsumen
dapat membeli dengan harga Rp 14 padahal konsumen sanggup membayar lebih
tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 14.
Langkah membuat kurva:
1. Pd = 54 – 4Q
Misal P = 0, maka 0 = 54 – 4Q
4Q = 54
Q = 13,5
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 48 ATA 14/15
Misal Q = 0, maka P = 54 – 4 (0)
P = 54
2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 10) dan harga keseimbangan
pasar (Pe = 14).
3. Untuk area Cs dapat dihitung dengan rumus luas segitiga , L = (a x t) : 2. Dengan
a = 10 ; t = 40. Maka nilai Cs atau Luas segitiga yang diarsir adalah L = (10 x 40)
: 2 = 200
Gambar 3.2 Grafik Surplus Konsumen soal 1
LANGKAH–LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH :
1. Buka software EC-Math, Lalu pilih materi Integral tertentu, Surplus
Konsumen 1 (Rumus1)
Gambar 3.3 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 1
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 49 ATA 14/15
2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal ( Lihat fungsi permintaan
nya), pilih 1 variabel
Gambar 3.4 Tampilan Rumus Ec-Math
3. Masukan data-datanya sesuai soal. Jika sudah semua, Klik Hitung, maka akan
muncul jawabannya.
Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Suplus Konsumen 1
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 50 ATA 14/15
Cara 2
Pd = 54 – 4Q 4Qd = 54 – P
Qd = 13.5 – 0.25P
Jika : Q = 0 ; = 54
200
LANGKAH–LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH :
1. Pilih materi Integral tertentu, Surplus Konsumen 2 (Rumus2)
Gambar 3.6 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 2
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 51 ATA 14/15
2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal ( Lihat fungsi permintaan
nya), pilih 1 variabel
Gambar 3.7 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen 2
3. Masukan nilai konstanta dan nilai koefisien nya. Jika sudah lalu klik Hitung,
maka akan keluar jawabannya.
Gambar 3.8 Tampilan Hasil Pengerjaan Surplus Konsumen 2
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 52 ATA 14/15
CONTOH SOAL 2
Jika fungsi permintaan P= 45 – 4Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya
adalah 5. Hitunglah surplus konsumen nya dengan menggunakan 2 cara,
analisislah dan buat grafiknya !
Diketahui : P = 45 – 4Q
Qe = 5
Ditanya : Cs?
Jawab :
Qe = 5 Pe = 45 – 4(5) = 25
Cara 1
Analisi: Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 50 karena
konsumen dapat membeli dengan harga Rp 25 padahal konsumen sanggup
membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 25.
Langkah membuat kurva:
1. Pd = 45 – 4Q
Misal P = 0, maka 0 = 45 – 4Q
4Q = 45
Q = 11,25
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 53 ATA 14/15
Misal Q = 0, maka P = 45 – 4 (0)
P = 45
2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 5) dan harga keseimbangan
pasar (Pe = 25).
3. Untuk area Cs dapat dihitung dengan rumus luas segitiga , L = (a x t) : 2. Dengan
a = 5 ; t = 20. Maka nilai Cs atau Luas segitiga yang diarsir adalah L = (5 x 20) :
2 = 50
Gambar 3.9 Grafik Surplus Konsumen soal 2
Cara 2:
Pd = 45 – 4Q 4Qd = 45 – P
Qd = 11,25 – 0.25P
Jika : Q = 0 ; = 45
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 54 ATA 14/15
50
2.2 SURPLUS PRODUSEN = SP (Producer’s Surplus = PS)
Surplus produsen mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang
dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan harga pasar dari barang yang
ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas
kurva permintaan (P = f (Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe). Rentang
wilayah nya dibatasi oleh Q = sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.
Catatan: Jika mencari SP/PS maka harus memakai fungsi penawaran
Ps = ∫
= ∫
Keterangan :
Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar
Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar
= Tingkat harga pada saat Q=0
Gambar 3.10 Grafik Surplus Produsen
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 55 ATA 14/15
CONTOH SOAL 3
Diketahui fungsi penawaran suatu barang adalah Ps = 45 + Q dan fungsi
permintaan Pd = 51 – Q. hitunglah surplus produsen PT. OPQ, analisis dan buat
grafiknya!
Diketahui : Ps = 45 + Q
Pd = 51 – Q
Ditanya : Ps ?
Jawab :
Cara 1 Pd = Ps P = 45 + Q
51 – Q = 45 + Q P = 45 + 3
-Q – Q= 45 – 51 Pe = 48
- 2Q = - 6
Qe = 3
≈ 5
Analisis
Jadi produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp 5 dikarenakan perusahaan
dapat menjual barang dengan harga Rp 48 padahal sebenarnya ia bersedia menjual
dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan pasar dengan nilai Rp
48
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 56 ATA 14/15
Langkah membuat kurva:
1. Ps = 45 + Q
Misal P = 0, maka 0 = 45 + Q
Q = -45
Misal Q = 0, maka P = 45 + 0
P = 45
2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 3) dan harga keseimbangan
pasar (Pe = 48).
3. Untuk area Ps dapat dihitung dengan rumus luas segitiga , L = (a x t) : 2. Dengan
a =3 ; t =3 . Maka nilai Cs atau Luas segitiga yang diarsir adalah L = (3 x 3) : 2 =
4,5.
Gambar 3.11 Grafik Surplus produsen soal 1
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 57 ATA 14/15
LANGKAH–LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH :
1. Pilih materi Integral tertentu, Surplus Produsen 1 (Rumus1)
Gambar 3.12 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 1
2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal (Lihat fungsi
Penawarannya), pilih 1 variabel
Gambar 3.13 Tampilan Rumus Ec-Math
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 58 ATA 14/15
3. Masukan data-datanya sesuai soal, jika sudah klik Hitung, maka akan tampil
jawabannya,
Gambar 3.14 Tampilan Output Surplus Produsen soal 1
Cara 2
Ps = 45 + Q Qs = P – 45
Jika : Q = 0 ; = 45
≈ 5
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 59 ATA 14/15
LANGKAH–LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH
1. Pilih materi Integral tertentu, Surplus Produsen 2 (Rumus 2)
Gambar 3.15 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 2
2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal (Lihat fungsi
Penawarannya), pilih 1 variabel
Gambar 3.16 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Produsen 2
Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu
Matematika Ekonomi 2 60 ATA 14/15
3. Masukan data-datanya sesuai soal, jika sudah klik Hitung, maka akan tampil
jawabannya
Gambar 3.17 Tampilan Hasil Pengerjaan Ec-Math Surplus Produsen 2
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 61 ATA 14/15
TRANSEDENTAL
1. KONSEP DASAR TRANSEDENTAL
Transedental merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan
hubungan ketergantungan. Transedental digunakan untuk menentukan tingkat
pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yang termasuk dalam fungsi
transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik,
fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Namun pokok pembahasan
di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. Baik fungsi
eksponensial maupun fungsi logaritmik keduanya memiliki hubungan yang erat,
dikarenakan fungsi logaritma adalah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponen
tertentu, atau sebaliknya.
1.1 Fungsi Eksponensial
Fungsi Eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat
adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu
konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana
konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya.
Bentuk Fungsi Eksponens yang paling sederhana adalah:
di mana: n > 0
Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah:
di mana: n ≠ 0
e = 2,71828
k , c = konstanta
𝑦 𝑛𝑥
𝑦 𝑛𝑒𝑘𝑥 𝑐
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 62 ATA 14/15
Hukum-Hukum Eksponensial, antara lain:
1. a0 = 1
2. a-k
=1/(a)k
3. a1/q
= q√ a
4. am
an
5. am / an = a m-n
6. (am
)k
= amk
Contoh Soal:
Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e0,45x
- 1 , pada masing-masing
sumbu dan hitunglah f(4)!
Jawab :
Pada sumbu x ; y = 0
e0,45x
– 1 = 0
e0,45x
= 1
Ln e0,45x
= Ln 1
0,45x Ln e = Ln 1
0,45x = 0
x = 0
Titik potongnya (0 ; 0)
Ket :
Ln e = 1
Ln 1 = 0
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 63 ATA 14/15
Pada sumbu y ; x = 0
y = e0,45x
- 1
y = e0,45(0)
- 1
y = e0 - 1
y = 1 - 1
y = 0
Titik potongnya (0 ; 0)
Untuk x = 4
y = e0,45x
- 1
y = e0,45(4)
- 1
y = e1,8
– 1
y = 2,7181.8
– 1
y = 6,0496 – 1
y = 5,0496
Titik potongnya (4 ; 5,0496)
1.2 Fungsi Logaritmik
Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok
untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 52
= 25, ini berarti bahwa
eksponen 2 sebagai logaritma dari 25 dengan bilangan pokok 5. Sedangkan
fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan
logaritma, seperti y = a log x atau log y = a + b log x.
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 64 ATA 14/15
Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah :
di mana: n > 0
n ≠ 1
Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :
di mana: x > -1
Hukum-Hukum atau rumus-rumus logaritma
1. Log a.b = log a + log b
2. Log a/b = log a – log b
3. a log b = log b / log a
4. a log b = c maka a
c = b
5. a log a = 1
6. log xn = n log x
7. a log 1 = 0
8. a a log b
= b
Contoh:
Tentukan titik potong kurva logaritmik y = -4,5 Ln(1 + x) – 1, pada masing-
masing sumbu dan hitunglah f(4)!
Jawab :
Pada sumbu x ; y = 0
-4,5 Ln(1 + x) – 1 = 0
-4,5 Ln (1 + x) = 1
𝑦 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑥
y = a Ln(1+x) + b
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 65 ATA 14/15
Ln (1 + x) = -0,22
1 + x = e–0,22
1 + x = 0,8025
x = -0,1975
Titik potongnya (-0,1975; 0)
Pada sumbu y ; x = 0
y = -4,5 Ln (1 + x) – 1
y = -4,5 Ln (1 + 0) – 1
y = -4,5 Ln 1 – 1
y = -4,5 . 0 – 1
y = –1
Titik potongnya (0 ; -1)
Untuk x = 4
y = -4,5 Ln(1 + x) – 1
y = -4,5 Ln(1 + 4) – 1
y = -4,5 Ln 5 – 1
y = -7,242 – 1
y = -8,242
Titik potongnya (4 ; -8,242)
2. PENERAPAN EKONOMI
Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan
fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang
berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi
eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain:
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 66 ATA 14/15
2.1 MODEL BUNGA MAJEMUK
Modul bunga majemuk tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial.
Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa mendatang dari jumlah
sekarang suatu pinjaman atau tabungan.
Jika suatu modal awal P dibunga majemukkan secara tahunan pada suku
bunga i selama n tahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah:
Tetapi jika bunga dimajemukkan sebanyak m kali dalam setahun, maka
jumlah di masa mendatang Fn adalah :
di mana :
Fn = Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun.
P = Jumlah saldo sekarang (tahun ke-0).
i = Tingkat bunga per tahun.
m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.
n = Jumlah tahun
Dalam hal ini Fn merupakan variabel terikat (dependent variable) dan n
sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian, prinsipprinsip
penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan terhadap model ini.
Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu
tahun (m sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus atau sering),
maka jumlah di masa mendatang Fn adalah:
dimana e = 2,71828
𝐹𝑛 𝑃 𝑖 𝑛
𝐹𝑛 𝑃 𝑖
𝑚 𝑚 𝑛
𝐹𝑛 ≈ 𝑃 𝑒𝑖 𝑛
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 67 ATA 14/15
Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous
compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam meminjam
seringkali dipraktekkan oleh para “pelepas uang” atau “rentenir” atau “lintah
darat” yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang
yang dipinjamkannya secara harian (m = 360). Oleh karena itu, model ini dapat
pula disebut “model lintah darat”
CONTOH SOAL 1:
Aliando baru saja memenangkan kuis berhadiah Rp 155.555.555. Untuk itu
uangnya langsung ia tabung di Bank Gunadarma dengan bunga 5% pertahun.
Berapa jumlah tabungan Aliando setelah 5 tahun, jika bunga diperhitungkan :
a. Setiap triwulan
b. Setiap per jam
Diketahui :P = 155.555.555
i = 5% = 0,05
m = 4
n = 5
Ditanya : a. F5 per triwulan?
b. F5 per jam?
Jawab :
a. Per triwulan (dengan rumus bunga majemuk biasa)
1) Tanpa Menggunakan Logaritma
F5 = 155.555.555 (1,0125)20
F5 = 155.555.555 (1,2820)
F5 = 199.428.013,1
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 68 ATA 14/15
2) Dengan Menggunakan Logaritma
F5= 155.555.555 (1,0125)20
Log F5= log 155.555.555 + 20 log 1,0125
Log F5= 8,19188 + 0,1079
Log F5= 8,29978
F5 = 199.428.013,1
b. Per jam (dengan rumus bunga majemuk sinambung)
1) Tanpa Menggunakan Logaritma Natural
F5 ≈ 155.555.555 x e0,05 * 5
F5 ≈ 155.555.555 x e0,25
F5 ≈ 155.555.555 x 1,2840
F5 ≈ 199.737.286,3
2) Dengan Menggunakan Logaritma Natural
F5 ≈ 155.555.555 x e0,05 * 5
F5 ≈ 155.555.555 x e0,25
Ln F5 ≈Ln 155.555.555 + 0,25 Ln e
Ln F5 ≈ 18,8625 + 0,25
Ln F5 ≈ 19,1125
F5 ≈ 199.737.286,3
Analisis :
Jumlah uang tabungan Aliando setelah 5 tahun apabila pembayaran bunga
dihitung per triwulan adalah sebesar Rp 199.428.013,1 Sedangkan jika
pembayaran bunga dihitung per jam Rp 199.737.286,3
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 69 ATA 14/15
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klik
Transendental.
Gambar 4.1. Tampilan Menu Awal Transedental
2. Lalu pilih Model Bunga Majemuk
Gambar 4.2. Tampilan Menu Model Bunga Majemuk
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 70 ATA 14/15
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hasil maka akan muncul
jawaban dibawah data diketahui
Gambar 4.3 Tampilan Hasil Output Kasus 1
Catatan :
Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-Math
mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual menggunakan
pembulatan 4 angka dibelakang koma, sedangkan pada software EC-Math tidak
menggunakan pembulatan.
2.2 MODEL PERTUMBUHAN
Model pertumbuhan tak lain juga merupakan bentuk fungsi eksponensial.
Model ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga
dapat diterapkan untuk menaksir variabel-variabel lain yang berkenaan dengan
pertumbuhannya.
𝑃𝑡 𝑃 𝑅𝑡
R = 1 + r
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 71 ATA 14/15
Dimana :
Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t.
t = Jumlah tahun.
P1 = Jumlah penduduk pada tahun pertama (basis).
r = Tingkat pertumbuhan
Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variabel
dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka
persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi:
di mana:
N = Variabel yang sedang diamati.
r = Persentase pertumbuhan per satuan waktu.
t = Indeks tahun.
CONTOH SOAL 2:
Pada tahun 2010 jumlah mahasiswa fakultas ekonomi di World Class University
adalah 1.155 mahasiswa. Diperkirakan pertumbuhan mahasiswa fakultas ekonomi
setiap tahunnya sebesar 15% per tahun. Hitunglah berapa jumlah mahasiswa
fakultas ekonomi di World Class University pada tahun 2014? Analisislah!
Diketahui: N = 1.155
t = 5 tahun
r = 0,15
R = 1 + 0,15 = 1,15
Ditanya : N5 = ….. ?
𝑁𝑡 𝑁 𝑅𝑡 R = 1 + r
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 72 ATA 14/15
Jawab :
1) Tanpa Menggunakan Logaritma
Nt = N1 x R(t-1)
N5 = 1.155 x 1,15(5-1)
N5 = 1.155 x 1,154
N5 = 1.155 x 1,749
N5 = 2.020 mahasiswa
2) Dengan Menggunakan Logaritma
N5 = 1.155 x 1,15(5-1)
N5 = 1.155 x 1,154
Log N5 = log 1155 + 4 log 1,15
Log N5 = 3,0626 + 0,2428
Log N5 = 3,3054
N5 = 2.020 mahasiswa
Analisis :
Dalam kurun waktu 5 tahun ke depan diperkirakan jumlah mahasiswa fakultas
ekonomi di Worl Class University akan meningkat menjadi 2.020 mahasiswa,
dengan jumlah peningkatan sebesar 865 mahasiswa.
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental,
Gambar 4.4 Tampilan Menu Awal Transedental
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 73 ATA 14/15
2. Lalu pilih Model Pertumbuhan Majemuk.
Gambar 4.5 Tampilan Menu Model Pertumbuhan Majemuk
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul
jawaban dibawah data diketahui.
Gambar 4.6. Tampilan Hasil Output Kasus 2
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 74 ATA 14/15
2.3 KURVA GOMPERTZ
Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara
eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya
sangat kecil atau tidak berarti meskipun waktu terus berjalan.
Dimana:
N = Jumlah variabel tertentu yang sedang diamati
c = Batas jenuh pertumbuhan
a = Proporsi pertumbuhan awal
r = Tingkat pertumbuhan rata-rata
t = Indeks waktu
CONTOH SOAL 3
Diketahui PT.Valiant setiap bulannya selalu mengalami peningkatan jumlah
produksi sebesar 55% bulan, dengan produksi awal sebesar 541 unit. Jika batas
jenuh pertumbuhan sebesar 1.454, berapakah jumlah produk yang akan dihasilkan
oleh perusahaan pada bulan ke 4 ?
Diketahui :
Ditanya : ?
Jawab :
1) Tanpa menggunakan Logaritma
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 75 ATA 14/15
913486208
≈
2) Dengan meggunakan logaritma
-0,42945706)
(-0,039298005)
≈
Analisis : Jadi pada bulan ke-4 PT.Laksana jaya akan menghasilkan 1.328 unit
produk jika produksi awalnya sebesar 541 unit dengan tingkat pertumbuhan 55%
setiap bulan , dan batas jenuh pertumbuhan sebesar 1.454.
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental.
Gambar 4.7 Tampilan awal software ec-math
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 76 ATA 14/15
2. Pilih Kurva Gompertz
Gambar 4.8. Tampilan awal menu Kurva Gompertz
3. Klik mencari N, lalu isi sesuai dengan angka pada soal, lalu klik Hasil.
Gambar 4.9. Tampilan output kasus kurva gompertz
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 77 ATA 14/15
2.4 KURVA BELAJAR (Learning Curve)
Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk
menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel
waktu.
a. Bentuk Dasar
Dimana:
m = batas jenuh y atau y tertinggi yang dapat tercapai
k, m, s > 0
b. Perilaku Produksi
Dimana:
P = Produksi per satuan waktu setelah t satuan waktu
Pm = Kapasitas produksi maksimum per satuan waktu
Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada
t= 0)
t = Indeks waktu
r = Tingkat pertumbuhan produksi
c. Perilaku Biaya
Dimana:
C = Biaya total per satuan waktu
Cm = Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang
disediakan) per satuan waktu
Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0)
t = Indeks waktu
r = Persentase kenaikan biaya per satuan waktu
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 78 ATA 14/15
CONTOH SOAL 4
PT.Semakin Jaya mampu menghasilkan kapasitas produksi maksimum sebesar
44% pada awal produksi dari kapasitas yang telah ditentukan. Namun manager
produksi perusahaan yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sebesar 15% setiap
bulan. Jika kapasitas produksi maksimum perusahaan sebesar 1115 unit, maka:
a. Bentuklah persamaan perilaku produksi bulanan
b. Unit yang dihasilkan pada awal produksi
c. Berapa unit produksi setelah produksi berlangsung selama 4 bulan?
Diketahui : Pm = 1115
Ps = 56% (1115) = 624,4
r = 15% = 0,15
t = 4
Ditanya : a. persamaan P
b. produksi perdana
c. jumlah produksi setelah 5 bulan
Jawab :
1) Tanpa menggunakan Logaritma
P = Pm – Ps e – r.t
P = 1.115 – 624 e - 0,15 . 4
P = 1.115 – 624 e – 0,6
P = 1.115 – 624 0,5488
P = 1.115 – 324,458
P = 772,54 = 773
2) Dengan menggunakan Logaritma Natural
P = Pm – Ps e – r.t
P = 1.115 – 624 e - 0,15 . 4
P = 1.115 – 624 e – 0,6
P = 1.115 – 624 ( -0,6 ln e )
P = 1.115 – 624 ( -0,6 . 1 )
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 79 ATA 14/15
P = 1.115 – 624 ( anti ln -0,6 )
P = 1.115 – 624 (0,5488)
P = 1.115 – 342,458
P = 772,54 = 773
Analisis : Dengan kapasitas produksi maksimum sebesar 1.115 unit dan
peningkatan produksi 15% setiap bulannya, maka jumlah produksi yang
dihasilkan perusahaan setelah 4 bulan adalah 773 unit
Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math
1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klik
Transendental.
Gambar 4.10 tampilan awal software ec-math
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 80 ATA 14/15
2. Pilih Kurva Belajar (Learning Curve)
Gambar 4.11 Tampilan menu kurva belajar
3. Isi Angka sesuai soal, lalu klik Hasil.
4.12 Tampilan output kasus kurva belajar
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 81 ATA 14/15
DAFTAR PUSTAKA
Assauri, Sofjan. 1996. Matematika Ekonomi, Edisi Baru. Jakarta: PT Raja
Grafindo Persada.
Dumairy. 1995. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi Kedua.
Yogyakarta:
BPFE. Dumatubun, Pius Izak. 1999. Matematika Aplikasi Bisnis dan Ekonomi,
Edisi Pertama.
Yogyakarta: ANDI. H. Johanes dan Budiono, Sri Handoko. 1994. Pengantar
Matematika untuk
Ekonomi. Jakarta: LP3ES. Kalangi, Josep Bintang. 2006. Matematika Ekonomi &
Bisnis. Jakarta: Salemba Empat.
Modul Matematika Ekonomi 2. Lab. Manajemen Dasar Periode ATA 2012/2013.
Universitas Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi, 2002
Alpha C.Chiang , Kevin Wainwraight .Dasar-dasar Matematika Ekonomi .Jilid 1
Kalangi, Joseph Bintang. 2006. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta :
Salemba Empat.
Riyanti Esty, Hedwigis (2008). Matematika Ekonomi Bisnis 2, Penerbit: PT.
Grasindo, Jakarta.
Buku Diktat Matematika Ekonomi.2002.Universitas Gunadarma
Wibisono, Yusuf. 1999. Manual Matematika Ekonomi. Yogyakarta: UGM Press.
Laboratorium Manajemen Dasar Transedental
Matematika Ekonomi 2 82 ATA 14/15
top related