katedra za matematiku, fsb · pdf fileciljevi ucenjaˇ. ciljevi ucenja za predavanja i...

Matematika 1Vrste funkcija

Katedra za matematiku, FSB

Zagreb, 2015

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 1 / 38

Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcijeVeza grafa funkcije i grafa njoj invernze funkcijeNeki poznati grafovi koji nisu grafovi funkcija

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 2 / 38

Sadrzaj

Sadrzaj:

1 Vrste funkcijaPolinomiRacionalne funkcijeTrigonometrijske funkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcijeElementarne funkcije

2 Graf funkcijeGraf linearne funkcijeGraf kvadratne funkcijeGraf polinoma

3 Graf inverzne funkcije

4 Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 3 / 38

Vrste funkcija Polinomi

Polinomi

Polinom:

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

kazemo da je stupnja n ako je an 6= 0.

Primjer.1 y = x2 +x +12 y = x100−13 y =−3x4 +

√3x2−πx +5.25

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 4 / 38

Vrste funkcija Racionalne funkcije

Racionalne funkcije

Racionalna funkcija:

y =P(x)Q(x)

,

gdje su P(x) i Q(x) polinomi.

Primjer.

1 y =2x +5x−3

2 y =3x +2

x2 +x +3

3 y =5x4 +

√7x2−πx +5

x3−2x +1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 5 / 38

Vrste funkcija Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije:1 y = sinx2 y = cosx3 y = tgx4 y = ctgx

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 6 / 38

Vrste funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalne i logaritamske funkcije: neka je a > 0, a 6= 11 y = ax

2 y = loga x

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 7 / 38

Vrste funkcija Elementarne funkcije

Elementarne funkcije

Elementarne funkcije su sve funkcije koje su gore navedene i one kojesu dobivene iz njih konacnim brojem primjena racunskih operacijazbrajanja, oduzimanja, mnozenja, dijeljenja, komponiranja iinvertiranja.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 8 / 38

Graf funkcije

Graf funkcije

Graf funkcije y = f (x) u zadanom koordinatnom sustavu x ,y , cine svetocke (x ,y) za koje vrijedi y = f (x).Dakle sve tocke oblika (x , f (x)).

y

x0 x

f(x)(x, f(x))

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 9 / 38

Graf funkcije

Graf funkcije

Zadatak.Funkcija f je zadana grafom

y

x4

3

−1

Ocitajte vrijednosti: f (0), f (52), f (4), f (−1), f (−2).

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 10 / 38

Graf funkcije

Primjer 1.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest oznaci podrucje definicije tefunkcije.

Slika 1. Slika 2.

Slika 3. Slika 4.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 11 / 38

Graf funkcije

Zadatak.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest odredi podrucje definicije tefunkcije.

-1 1

Slika 1.

-1 1

Slika 3.

Slika 2. Slika 4.

Slika 5.

Slika 6.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 12 / 38

Graf funkcije Graf linearne funkcije

Graf linearne funkcije oblika y = ax +b (polinom 1. stupnja ) je pravac.

a < 0

y = ax+ b

a > 0

y = ax+ b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 13 / 38

Graf funkcije Graf linearne funkcije

Zadatak.Skicirajte sljedece pravce:

1 y = 2x−32 y = 3−2x3 y = 4

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 14 / 38

Graf funkcije Graf kvadratne funkcije

Graf kvadratne funkcije oblika y = ax2 +bx +c (polinom 2. stupnja ) jeparabola cija je os paralelna s osi y .

a > 0

a < 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 15 / 38

Graf funkcije Graf kvadratne funkcije

Zadatak.Skicirajte sljedece funkcije:

1 y = x−x2

2 y = (x−1)2

3 y = x2−3x−44 y = x2 +x +1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 16 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Polinom je funkcija oblika

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 17 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Polinom je funkcija oblika

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n paran broj, n = 2,4,6, . . .

an > 0 an < 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 17 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Polinom je funkcija oblika

y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,

an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n neparan broj, n = 1,3,5,7, . . .

an > 0 an < 0

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 17 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = 4x3 − 2x2 + 1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = −3x4 + x

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u

1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3

Rjesenje.

y = x− x2 − x3

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x2

1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x4

1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x6

1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x8

1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 2,4,6,8

y = x2

y = x4

y = x6

y = x8

1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 1,3,5,7

y = x

1

1

−1

−1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 1,3,5,7

y = x3

1

1

−1

−1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 1,3,5,7

y = x5

1

1

−1

−1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 1,3,5,7

y = x7

1

1

−1

−1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

SPECIJALNO: n = 1,3,5,7

y = xy = x3

y = x5

y = x7

1

1

−1

−1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Uocimo sljedece svojstvo prethodnih polinoma:

Funkcija y = xn za parne eksponente n ima svojstvo y(−x) = y(x);

Zato svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) = f (x) nazivamo parna.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 21 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Funkcija y = xn za neparne eksponente n ima svojstvo y(−x) =−y(x).

i svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) =−f (x) nazivamo neparna;

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 22 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?

Slika 1. Slika 2. Slika 3.

Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 23 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?

Slika 1. Slika 2. Slika 3.

Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 23 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Nadopunite graf funkcije f tako da:

Slika 1.

f je parna f je neparna

Slika 2.

f je parna

Slika 3.

f je neparna

Slika 4.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 24 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Rjesenje.Nadopunite graf funkcije f tako da:

Slika 1. Slika 2.

Slika 3. Slika 4.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 24 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1x

Rjesenje.

1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞

4 x → 0− onda y →−∞

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 25 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1x

Rjesenje.

1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞

4 x → 0− onda y →−∞

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 25 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1

1+x2

Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je

najveca za x = 0, onda jey = 1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 26 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Primjer.

Skicirajte graf funkcije y =1

1+x2

Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je

najveca za x = 0, onda jey = 1

1

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 26 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1

x−1 b) y = 1x2 .

Rjesenje.

a)b)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 27 / 38

Graf funkcije Graf polinoma

Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1

x−1 b) y = 1x2 .

Rjesenje.

a)b)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 27 / 38

Graf inverzne funkcije

Graf inverzne funkcije

y = f−1(x)

y = f(x)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 28 / 38

Graf inverzne funkcije

Graf inverzne funkcije

Ima li svaka funkcija y = f (x) inverz x = f−1(y)?NE, kako donja slika pokazuje.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 29 / 38

Graf inverzne funkcije

Primjer.

Pokusajmo invertirati funkciju f (x) = x2.

Rjesenje.

y = x2 =⇒ x =±√y . (2 funkcije)

yx = −√y x =

√y

y = x2

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 30 / 38

Graf inverzne funkcije

Suzavanje domene omogucava invertiranje:

Ako je f : [0,∞)→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =√

y .

Ako je f : (−∞,0]→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =−√y .

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 31 / 38

Graf inverzne funkcije

Zadatak.Nadite parove inverznih funkcija

Slika 1. Slika 3.

Slika 2. Slika 4.

Slika 5.

Slika 6.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 32 / 38

Graf inverzne funkcije

Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 33 / 38

Graf inverzne funkcije

Rjesenje.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 33 / 38

Graf inverzne funkcije

Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 34 / 38

Graf inverzne funkcije

Rjesenje.Nema inverznu jer

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 34 / 38

Graf inverzne funkcije

Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 35 / 38

Graf inverzne funkcije

Rjesenje.

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 35 / 38

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Kruznica radijusa r s centrom u ishodistu (x2 +y2 = r2):

r

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 36 / 38

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Elipsa s poluosima a i b(

x2

a2 +y2

b2 = 1)

:

a

b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 37 / 38

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija

Hiperbola s poluosima a i b(

x2

a2 −y2

b2 = 1)

:

a

b

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 38 / 38