kap 06 diskrete stokastiske variable
Post on 01-Feb-2016
65 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
11
Kap 06 Diskrete stokastiske variableKap 06 Diskrete stokastiske variableKap 06 Diskrete stokastiske variableKap 06 Diskrete stokastiske variable
22
Diskrete stokastiske variablerDiskrete stokastiske variabler
En stokastisk variabel X er en funksjonsom til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet tilordner et tall X(u).
ui
R
33
SannsynlighetsfordelingSannsynlighetsfordeling
Verdimengden VX til en stokastisk variabel Xer mengden av de verdier X kan anta.
En samlet oppstilling over verdiene i VX
med tilhørende sannsynligheter P(X=x) kalles sannsynlighetsfordelingen
ellerpunktsannsynligheten til X.
(X=x) = {u| X(u) = x}
44
Sannsynlighetsfordeling - To myntkastSannsynlighetsfordeling - To myntkast
MM
R
MK
KMKK
= {MM,MK,KM,KK}X(u) : 0 1 1 2 Antall kron
VX = { 0, 1, 2 }P(X=x) : 1/4 1/2 1/4
0 1 2 R0 1 2
1/2
1/4
P
55
Sannsynlighetsfordeling - To terningkastSannsynlighetsfordeling - To terningkast
= {11,12,13,14,15,16,
21,22,23,24,25,26,
31,32,33,34,35,36,
41,42,43,44,45,46,
51,52,53,54,55,56,
61,62,63,64,65,66 }
VX = {2,3,4,…,12}
R0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1 : )(
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 :
xXP
x
6/36
3/36
66
FordelingsfunksjonFordelingsfunksjon
Den kumulative fordelingsfunksjonen eller bare fordelingsfunksjonentil en stokastisk variabel X er definert ved:
)()( xXPxF
77
Fordelingsfunksjon - To myntkastFordelingsfunksjon - To myntkast
)()( xXPxF
4
1
2
1
4
1 : )(
kron Antall 2 1 0 :
xXP
x
R0 1 2
1/2
1/4
P
R0 1 2
1
1/2
F
88
Fordelingsfunksjon - To TerningkastFordelingsfunksjon - To Terningkast
)()( xXPxF
R0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1 : )(
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 :
xXP
x
6
3
R0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F 1
1/2
99
ForventningForventning
Forventningen til en stokastisk variabel Xer definert ved:
xx
u
xxpxXxP
uPuXXE
)()(
)()()(
= { u1, u2, …, un, }P : P(u1) P(u2) …P(un) X : X(u1) X(u2) …X(un)
DefDef
1010
ForventningForventning
u
N
iii
N
N
i
ii
N
iii
uPuXuPuXN
unuX
unuXN
X
)()()()()(
)(
)()(1
11
1
Gjennomsnitt
i det lange løp
Gjennomsnitt
i det lange løp
= { u1, u2, …, un, }n : n(u1) n(u2) …n(un) X : X(u1) X(u2) …X(un)
1111
Regneregler for forventning - BevisRegneregler for forventning - Bevis
iii
rr
Cur
CuCu
CuCuCu
CuCuCu
u
r
i
xXPx
xXPxxXPxxXPx
uPxuPxuPx
uPxuPxuPx
uPuXuPuXuPuX
uPuXXE
CCC
C
r
r
r
)(
)(...)()(
)(...)()(
)(...)()(
)()(...)()()()(
)()()(
unionDisjunkt ...
r1,2,..., i ien xantar verd Xat en begivenhet
2211
21
321
21
i
21
21
21
1212
Forventning - To myntkast Forventning - To myntkast
14
12
4
11
4
11
4
10
)()()()()()()()(
)()()(
KKPKKXKMPKMXMKPMKXMMPMMX
uPuXXEu
= {MM,MK,KM,KK}X(u) : 0 1 1 2 Antall kron
P(u): 1/4 1/4 1/4 1/4
VX = { 0, 1, 2 }P(X=x) : 1/4 1/2 1/4
14
12
2
11
4
10
)()()(
xx
xxpxXxPXE
Forventet antall kron ved kast med to myntervil i det lange løp være lik 1.
1313
Forventning - Ett terningkast Forventning - Ett terningkast
2
7
6
16
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11
)6()6(...)2()2()1()1(
)()()(
PXPXPX
uPuXXEu
2
7
6
16
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11
)()()(
xx
xxpxXxPXE
Forventet sum antall øyne ved kast med en terningervil i det lange løp være lik 7/2.
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1 : )(
6 5 4 3 2 1 :
xXP
x
u P(u) :
6
1
}6,5,4,3,2,1{
1414
Forventning - To terningkast Forventning - To terningkast
7
...36
18
36
17
...
...36
13
36
12
)62()62()61()61(
...
...)12()12()11()11(
)()()(
PXPX
PXPX
uPuXXEu
7 36
112...
36
34
36
23
36
12
)()()(
xx
xxpxXxPXE
Forventet sum antall øyne ved kast med to terningervil i det lange løp være lik 7.
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1 : )(
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 :
xXP
x
u P(u) :
36
1
}66,65,64,63,62,61
,56,55,54,53,52,51
,46,45,44,43,42,41
,36,35,34,33,32,31
,26,25,24,23,22,21
,16,15,14,13,12,11{
1515
Forventning - Tombola Forventning - Tombola
= {1 , 2 , 3 ,…, N}X(u) : v1, v2, v3,…, vN Verdien til hvert enkelt lodd
P(u): 1/N 1/N 1/N 1/N
vvNN
viPiX
xxpxXxPuPuXXE
N
ii
N
ii
N
i
xxu
111
11)()(
)()()()()(
Forventet verdi er lik gjennomsnittlig verdi av loddene i tombolaen.
1616
Forventning - Ett myntkastVentetid inntil første kron Forventning - Ett myntkastVentetid inntil første kron
= {K , MK , MMK , MMMK, … }N(u) : 1 , 2 , 3 , 4 , … Ventetid inntil første kron
22
1)(
)()()()(
11
n
nn
xu
nnnp
nNnPuPuNNE
Forventet antall kast med en mynt inntil første kron er lik 2
...2
1
2
1
2
1
2
1 )(
432
nNP 1
21
1
21
2
1
11
n
nn
n)P(N
1717
Forventning - Spill 1 Forventning - Spill 1
Ett kast med en myntInnsats : kr 10 pr kastKron : Vinner en gevinst lik innsatsenMynt : Taper innsatsen
02
1)10(
2
110
)()()()()(
xxu
xxpxGxPuPuGGE
= {K , M}P(u) : 1/2 , 1/2G(u) : 10 -10
Et spill hvor forventet gevinst er lik 0 kalles et rettferdig spill
x = { -10, 10 }P(G=x) : 1/2 1/2
1818
Forventning - Spill 2 Forventning - Spill 2
Kast med en terning Innsats : kr a6 : Utbetaling kr 105 : Utbetaling kr 51,2,3,4: Ingen utbetalingBestem a slik spillet skal balansere i det lange løp
= {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}P(u) : 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6G(u) : 0 0 0 0 5 10
x = { 0, 5, 10 }P(G=x) : 4/6 1/6 1/6
5,26
110
6
15
6
40
)()()()()(
xxu
xxpxGxPuPuGGE
1919
Forventning - Spill 3 Forventning - Spill 3
Kast med en mynt inntil kron, maks 3 ganger. Innsats a.Kron : Vinner en gevinst lik innsatsenMynt : Taper innsatsenSpill 1 : Innsatsen er kr 10 i hver omgangSpill 2 : Innsatsen er kr 10 i første omgang,
men dobles for hver ny omgang.
08
1)70(
8
110
4
110
2
110)()(2)2(2
08
1)30(
8
1)10(
4
10
2
110)()(1)1(1
u
u
uPuGGE
uPuGGE
= {K , MK , MMK , MMM}P(u) : 1/2 1/4 1/8 1/8G1(u) : 10 0 -10 -30G2(u) : 10 10 10 -70
x1 = { -30, -10, 0, 10 }P(G1=x1): 1/8 1/8 1/4 1/2x2 = { -70, 10 }P(G2=x2): 1/8 7/8
04
710
8
1)70()22(2)2(2
02
110
4
10
8
1)10(
8
1)30()11(1)1(1
2
1
x
x
xGPxGE
xGPxGE
2020
Regneregler for forventningRegneregler for forventning
)()()(
)()(
)(
YEXEYXE
XkEkXE
kkE
i
iiu
xXPxuPuXXE )()()()(
i
ii xXPxgXgE )()())((
2121
Regneregler for forventning - Bevis 2Regneregler for forventning - Bevis 2
)()()()()()()()()([)(
)()()()()()(
1)()()(
YEXEuPuYuPuXuPuYuXYXE
XkEuPuXkuPukXkXE
kkuPkukPkE
uuu
uu
uu
2222
Regneregler for forventning - Bevis 3Regneregler for forventning - Bevis 3
iii
rr
Cur
CuCu
CuCuCu
CuCuCu
u
r
i
xXPxg
xXPxgxXPxgxXPxg
uPxguPxguPxg
uPxguPxguPxg
uPuXguPuXguPuXg
uPuXgXgE
CCC
C
r
r
r
)()(
)()(...)()()()(
)()(...)()()()(
)()(...)()()()(
)())((...)())(()())((
)())(())((
unionDisjunkt ...
r1,2,..., i ien xantar verd Xat en begivenhet
2211
21
321
21
i
21
21
21
2323
Forventning - Tre myntkast Forventning - Tre myntkast
= { MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK }
x : 0 1 2 3 Antall kronP(u): 1/8 3/8 3/8 1/8
Spill 1 : Gevinst Y =2X + 1Spill 2 : Gevinst Z =X2
0.38
13
8
32
8
31
8
10
)()()(
0.415.121)(2)12()(
2222
222
1
x
xXPxXEZE
XExEYE
Forventet gevinst:
5.18
13
8
32
8
31
8
10)()(
x
xXxPXE
2424
Varians / StandardavvikVarians / Standardavvik
)(
)()()(])([
)()(22
22
XVar
xXPxXPuX
XEXVar
xu
2525
Regneregler for variansRegneregler for varians
variableruavhengigeer Y og X hvis 0),(
))]())(([(),(hvor
),(2)()()(
)()(
0)(
))(()(
))(()(
)()()(
)()()()(
2
22
22
2222
222
YXCov
YEYXEXEYXCov
YXCovYVarXVarYXVar
XVarabaXVar
kVar
XExXPx
XEXE
xXPxXE
xXPxXEXVar
x
iii
ii
2626
Regneregler for varians - BevisRegneregler for varians - Bevis
)()()(
)(])[(]))([(])))(([(]))([()(
)(])[(]))([(
]))(([])))(([(]))([(]))([()(
0)0(])[(]))([(])[()(
)()()(
2)(
)(2)(
]2[)()(
2
2222
22222
22222
222
2222
222
22
2222
XVaraaXVarbaXVar
XVarXEXEXEkXEkXEkXEkXEkXVar
XVarkXEkXEXEk
XEXkEXEXkEXkEkXEkXEkXEkXVar
EkkEkEkEkEkVar
xXPxXE
XE
XEXE
XXEXEXVar
iii
2727
Varians - To terningkastVarians - To terningkast
6
357
36
112...
36
23
36
12
)(])[()(
:eller6
35
36
1)712(...
36
2)73(
36
1)72(
)()7(])7[(])[()(
7)(
st terningka to vedøyne antall Sum
2222
222
222
222
XEXEXVar
xXPxXEXEXVar
XE
X
x
2828
Forventning/Varians - Uavhengige variablerForventning/Varians - Uavhengige variabler
222
1
22
1
2
1
1111
1
111)(
1)
1()(
11)(
1)(
1)
1()(
1
nn
nnXVar
nX
nVarXVar
nnn
XEn
XEn
Xn
EXE
Xn
X
n
i
n
ii
n
ii
n
i
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
Vi skal bestemme forventning og varians til gjennomsnittetav n uavhengige stokastiske variabler som alle har forventning og varians 2.
2929
VariansVarians Tsebysjevs ulikhetTsebysjevs ulikhet
Bevis:
2
11)|(|
kkXP
22
222222
22
22
11)|(| )|(|
1
)|(|)()(
)()()()(
)()(
kkXPkXP
k
kXPkxXPkxXPk
xXPxxXPx
xXPx
UxUx
IxUx
x
3030
Standardisert stokastisk variabelStandardisert stokastisk variabel
XX
Z1
Definisjon
1)(1
)1
()(
01
)(1
)1
()(
2
XVarXVarZVar
XEXEZE
Regneregler
3131
ENDENDENDEND
top related