kalkulus ii - pujiayanni.files.wordpress.com · substitusi tersebut digunakan untuk mentransformasi...
Post on 16-Mar-2019
232 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Dosen Pengampu :
Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS II - Puji Andayani 1
KALKULUS II TEKNIK INTEGRASI 3
3. Substitusi Trigonometri
KALKULUS II - Puji Andayani 2
Substitusi trigonometri digunakan dengan cara menukar
variabel integrasi dengan fungsi trigonometri.
Bentuk substitusi paling umum adalah
𝑥 = 𝑎 tan 𝜃 , 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 , dan 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃
Substitusi tersebut digunakan untuk mentransformasi integral
dengan melibatan bentuk berikut :
𝑎2 + 𝑥2, 𝑎2 − 𝑥2, dan 𝑥2 − 𝑎2.
Bentuk tersebut diperoleh dari kombinasi segitiga berikut :
KALKULUS II - Puji Andayani 3
3. Substitusi Trigonometri
KALKULUS II - Puji Andayani 4
Substitusi yang digunakan dalam integrasi tersebut dapat juga
dibalik.
Contoh :
Jika 𝑥 = 𝑎 tan 𝜃 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1𝑥
𝑎
KALKULUS II - Puji Andayani 5
KALKULUS II - Puji Andayani 6
KALKULUS II - Puji Andayani 7
KALKULUS II - Puji Andayani 8
KALKULUS II - Puji Andayani 9
KALKULUS II - Puji Andayani 10
KALKULUS II - Puji Andayani 11
Latihan Soal
KALKULUS II - Puji Andayani 12
1. 𝑑𝑥
9+𝑥2
2. 25 − 𝑡2𝑑𝑡
3. 𝑑𝑥
𝑥2 𝑥2−1
4. 3 𝑑𝑥
1+9𝑥2
5. 𝑥2−25
𝑥3𝑑𝑥
4. Integrasi Fungsi Rasional
KALKULUS II - Puji Andayani 13
Integran berbentuk fungsi rasional : ,
der (P)< der(Q)
Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut (Q(x)) yaitu :
1. Faktor linear tidak berulang.
2. Faktor linear berulang.
3. Faktor kuadratik tidak berulang.
4. Faktor kuadratik berulang.
f x
P x
Q x
KALKULUS II - Puji Andayani 14
Kasus 1 ( linier tidak berulang )
Misal
maka,
dengan konstanta yang dicari.
Q x a x b a x b a x bn n 1 1 2 2 ...
P x
Q x
A
a x b
A
a x b
A
a x b
n
n n
1
1 1
2
2 2...
A A An1 2, , ... ,
Contoh :
KALKULUS II - Puji Andayani 15
Hitung
dx
x
x
9
12
)3)(3(
)3()3(
339
12
xx
xBxA
x
B
x
A
x
x
331 xBxAx BAxBA 33
Faktorkan penyebut :
)3)(3(92 xxx
Jawab :
Contoh :
KALKULUS II - Puji Andayani 16
dx
xdx
xdx
x
x
3
32
3
31
9
12
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan
A +B =1 -3A+3B=1
x3 x1
3A +3B=3 -3A+3B=1
+
6B=4 B=2/3 ,A=1/3
Sehingga
Cxx |3|ln3
2|3|ln
3
1
KALKULUS II - Puji Andayani 17
Kasus 2 ( linier berulang )
Misal
maka,
dengan konstanta yang dicari.
pp AAAA ,,...,, 121
Q x a x bi ip
p
ii
p
p
ii
p
iiii bxa
A
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xP
1
1
2
21 ...
Contoh :
KALKULUS II - Puji Andayani 18
Hitung
Jawab :
dxxx 12
12
12212
122
x
C
x
B
x
A
xx
12
)2()1()1)(2(
12
12
2
2
xx
xCxBxxA
xx
Penyebut ruas kiri = penyebut ruas kanan
KALKULUS II - Puji Andayani 19
2)2()1()1)(2(1 xCxBxxA
)24()4()(1 2 BACxCBAxCA
dx
xdx
xdx
xdx
xx
1
1
9
1
2
1
3
1
2
1
9
1
12
122
A+C=0 A+B+4C=0 -2A-B+4C=1
A+B+4C=0 -2A-B+4C=1
+
-A+8C=1
A+C=0 -A+8C=1
+ 9C=1
C=1/9
A=-1/9
B=-1/3
Cxx
x
|1|ln9
1
)2(3
1|2|ln
9
1
KALKULUS II - Puji Andayani 20
Kasus 3 ( kuadratik tidak berulang )
Misal
maka,
dengan konstanta yang
dicari.
Q x a x b x c a x b x c a x b x cn n n 12
1 1 22
2 22...
P x
Q x
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
n n
n n n
1 1
12
1 1
2 2
22
2 22
...
nn BBBAAA ,...,,dan,,...,, 2121
Contoh :
KALKULUS II - Puji Andayani 21
Hitung 12xx
dx
11
122
x
CxB
x
A
xx
1
)(12
2
xx
xcBxxA
xcBxxA )(11 2
EM 1204 KALKULUS II 21
Jawab :
AcxxBA 2)(1
A+B=0 C=0 A=1
B=-1
Contoh :
KALKULUS II - Puji Andayani 22 EM 1204 KALKULUS II 22
dx
x
xdx
xdx
xx
1
1
1
122
x
xd
x
xdx
x
x
2
)1(
11
2
22
1
)1(
2
12
2
x
xd
Cxx )1ln(2
1||ln 2
KALKULUS II - Puji Andayani 23
Kasus 4 ( kuadratik berulang )
Misal
maka,
dengan konstanta yang
dicari.
nn BBBAAA ,...,,dan,,...,, 2121
piii cxbxaxQ 2
piii
pp
iiiiii cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xQ
xP
222
22
2
11 ...
Contoh :
KALKULUS II - Puji Andayani 24
Hitung
6 15 22
3 2
2
2 2
x x
x x
dx
22222
2
22323
22156
x
EDx
x
CxB
x
A
xx
xx
22
222
23
)3)((32)(2
xx
xEDxxxCxBxA
EM 1204 KALKULUS II 24
Jawab :
Contoh :
KALKULUS II - Puji Andayani 25
)3)((32)(222156 2222 xEDxxxCxBxAxx
EM 1204 KALKULUS II 25
2342 )324()3()(22156 xDCBAxCBxBAxx
)364()326( ECAxEDCB
Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh
A+B=0 3B+C=0 4A+2B+3C+D=1 6B+2C+3D+E=-15 4A+6C+3E=22
Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3 D=-5, E=0
KALKULUS II - Puji Andayani 26
Sehingga,
dx
x
x
x
dxdx
x
x
x
dx2222 )2(
2
2
5
23
2
2
2
1
3
dx
x
xdx
x
xdx
xdx
xx
xx22222
2
25
2
3
3
1
23
22156
.)2(2
5
2tan
2
3)2ln(
2
1|3|ln
2
12 Cx
xxx
KALKULUS II - Puji Andayani 27
Catatan jika , bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga
))(())(( xQderxPder
)(
)()(
)(
)(
xQ
xSxH
xQ
xP ))(())((, xQderxSder
Contoh Hitung
dxx
xxx
4
422
23Der(P(x))=3>der(Q(x))=2
Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x)
42 23 xxx42 x
x
xx 43
452 2 xx
+2
82 2 x
5x+4
4
452
4
4222
23
x
xx
x
xxx
KALKULUS II - Puji Andayani 28
dx
xdx
xdxxdx
x
xxx
2
1
2
3
2
1
2
7)2(
4
422
23
)2()2()2)(2(
45
4
452
x
B
x
A
xx
x
x
x
)2)(2(
)2()2(
xx
xBxA
)2()2(45 xBxAx ………………………..(*)
Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk Untuk x=2 dan x=-2
Untuk x = 2 5.2+4=A(2+2) A=7/2
Untuk x = -2 5.(-2)+4=B(-2-2) B=3/2
Dengan menggunakan hasil diatas :
Cxxxx |2|ln2
3|2|ln
2
72
2
1 2
KALKULUS II - Puji Andayani 29
Soal Latihan
2 1
6 182
x
x xdx
dxxx )1()5(
12
2 3 36
2 1 9
2
2
x x
x xdx
dxxx
xx
5
2
23
2
43
2
dx
xx
xx
652
23
1.
2.
5.
3.
4.
Hitung
KALKULUS II - Puji Andayani
30
謝謝
THANK YOU
top related