kalkulus i - ocw.stikom.eduocw.stikom.edu/course/download/2012/11/pengenalan.pdfkalkulus i by: ira...

Kalkulus I

By: Ira Puspasari

MATERIFUNGSI:

Pengertian fungsi

Istilah dan lambang fungsi

Grafik fungsi

Jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi fungsi

Fungsi Komposisi

Fungsi Invers.

1. PENGERTIAN FUNGSIa. Relasi.

Hubungan antara 2 himpunan

Contoh :

Relasi antara negara dan ibu kota.

Relasi bilangan yang lebih besar dari.

Relasi kuadrat suatu bilangan, dsb

b. Fungsi

Relasi yang bersifat khusus.

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasiyang mengawankan setiap anggota himpunan A dengantepat satu anggota himpunan B.

c. Korespondensi satu-satu

Fungsi dari A ke B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika merupakan relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota himpunan B dan sebaliknya.

2. Istilah dan lambang fungsi Notasi Fungsi :Untuk memberi nama fungsi, biasanya digunakan

sebuah huruf tunggal, seperti f. Maka f(x) yang dibaca “f dari x” atau “f pada x”

menunjukkan nilai yang diberikan oleh f terhadapx, atau aturan yang harus dipenuhi oleh x

Contoh : Jika f(x) = x2 + 5, maka :f(2) =f(1) = f(a) =f(a+h) =

Contoh :1. Untuk f(x) = 3x2 – 4x, cari dan sederhanakan :

a. f(5)

b. f(5+h)

c. f(5+h) – f(5)

d. [f(5+h) – f(5)]/h

2. Untuk g(x) = 2/x, maka tentukan

[g(a+h)-g(a)]/h

VARIABEL BEBAS DAN TERIKAT

Jika aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaanberbentuk y = f(x), maka x disebut variabel bebas, dan y disebutvariabel tak bebas/terikat.

Contoh : y = f(x)= 2x + 10, maka x adalah variabel bebas, dan y variabel terikat.

DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL

Pada suatu fungsi, selain ditentukan notasi/aturan, jugadaerah asal fungsi (domain), yang merupakan sumber nilaidari suatu fungsi, dan daerah hasil fungsi (kodomain), yang merupakan nilai hasil dari aturan yang ada.

Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu dianggapbahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real.

Waspadai bilangan yang menyebabkan munculnyapembagian dengan nol atau akar kuadrat bilangan negatif.

Contoh :

Carilah daerah asal dan daerah hasil dari :

a. f(x) = 2 / x -8

b. f(w) = 1 / (9-w2)1/2

c. g(y) = (x-5)/x

3. Grafik fungsi

Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsimerupakan himpunan bilangan real, maka dapatdibayangkan fungsi itu dengan cara menggambarkangrafiknya pada bidang koordinat.

Contoh : Tentukan daerah asal, daerah hasil dan grafik fungsi :

i. f(x) = (x-2)/x

ii. g(x) = ( 4 – x)1/2

4. Jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi fungsi

Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan daerah asal masing-masing, maka :

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

(f.g)(x) = f(x) . g(x)

(f/g)(x) = f(x) / g(x)

Catatan : hati-hati dengan daerah asal!

Contoh : Jika f(x) = (x-1) /2 dan g(x) = (x)1/2, maka tentukan

jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.

Jika f(x) = 1/(x+2) dan g(x) = 2x-1, maka tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.

5. Fungsi Komposisi

Jika f adalah fungsi pada x untuk menghasilkan f(x) dan g adalah fungsi pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah dilakukan komposisi g dengan f.

Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g dengan f, yang dinyatakan oleh g ○ f.

Jadi : (g ○ f)(x) = g(f(x))

Komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g.

Jadi : (f o g)(x) = f(g(x))

Latihan (1):

Jika diketahui f(x) = (x-2)/1 dan g(x)= (x)1/2, makatentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)

Jika diketahui f(x) = 2x2 dan g(x)= x-5 maka tentukan(g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)

Jika f(x) =2x2+5x dan g (x) = 1/x maka tentukan (fog)(2)

Jika f(x) = x2+4 dan g(y)=2/(y)1/2 maka tentukan(gof)(t)

Latihan (2):

Jika f(x) = 2x+5 dan g(x) = (x-1)/(x+4). Jika (f o g) (a)= 5 maka tentukan a

Jika f(x) = -x+3 maka tentukan f(x2)+f2(x)-2f(x)

Jika f(x) = 2x , g(x) = x+1, dan h(x) = x3 maka tentukan (h o g o f)

Jika f(x) = 2x2+3x-5 dan g(x)=3x-2, agar (gof)(a)=-11 maka tentukan a

6. Fungsi Invers

Jika fungsi f : A B, maka fungsi

g : B A merupakan fungsi invers dari fungsi f, yang dilambangkan dengan f -1(x)

Contoh 1: Jika f(x) = (x-5)/10, maka tentukan f -1(x)

Contoh 2: Jika f(x) = 1/x2, maka tentukan f -1(x)

Latihan: Jika f(x)-1 = (x-1)/5 dan g(x)-1 = (3-x)/ 2 maka tentukan

(f 0 g)-1 (6)

Jika f (x) = ½ x -1 dan g (x) = 2x+4 maka tentukan (g o f)-1 (10)

Jika f(x) = 2x dan g(x) = 3 - 5x. Tentukan (g o f)-1 (x)

Jika (f o g)(x) = 4x2+8x-3 dan g(x)= 2x+4 maka tentukan f-1(x)

TERIMA KASIH