introducciÓ a la fiabilitat i disponibilitat de sistemes · prof. lídia montero - notes curs...
Post on 20-Jan-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
FIB FIB MODELS DE LA INVESTIGACIO MODELS DE LA INVESTIGACIO OPERATIVA per lOPERATIVA per l’’ANANÀÀLISI DE LISI DE
SISTEMES (MIOAS)SISTEMES (MIOAS)
INTRODUCCIÓ A LA FIABILITAT I DISPONIBILITAT DE SISTEMES
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 2
Font: K.S. Trivedi
Panoràmica…
EinesEines AplicacionsAplicacions
TeoriaTeoria Métodes de Modelatge i resolució quantitativa: RBD,FTREE, CTMC, NHCTMC, etc.
SHARPE SPNP SREPT SRA
Sistemes Real-timeXarxes d’OrdinadorsXarxes WirelessEmpreses:GE, HP, Ericsson, IBM EMC,Lucent, Motorola,.
Llibres
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 3
Comportament de Falles en Components i InterfíciesLa Falla pot caracteritzar-se per:
Taxa constant de falles.
Taxa de falles dependent del temps.
Tipus, distribució de les arribades de falles, procediments de reparació/recuperació i distribucions de llurs demores.
Mesures: Fiabilitat (Reliability), Disponibilitat (Availability), MTTF, Downtime, etc.
Baix Nivell (chip level) Nivell de Sistema (CPU-I/O, multiprocés) Nivell de Xarxes de Comunicació.
Mesures o models (simulació o analítics) Models analítics : RBD, FTREE, CTMC,etc.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 4
Definició de Fiabilitat (Reliability)
Les recomanacions E.800 de la InternationalTelecommunications Union (ITU-T) defineix la Fiabilitat:
La habilitat d’una component per realitzar una funció requerida sota condicions prefixades per un cert interval de temps.
En la definició, una component pot ser una placa de circuits o element de la placa, una estació de transmissióamb varis moduls, etc. La definició inclou també la component de software dels sistemes.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 5
La Disponibilitat està molt lligada a la Fiabilitat i també es defineix en la recomanació ITU-T E.800 :
“La habilitat d’una component per trobar-se en un estat per realitzar una determinada funció en un instant concret del temps o dins d’un interval de temps, si els recursos externs li són subministrats."
Una important diferència entre fiabilitat i disponibilitat rauen que la fiabilitat es refereix a un estat operatiu lliure de falles durant un interval i disponibilitat es refereix a un estat operatiu lliure de falles en un instant concret, habitualment quan s’accedeix al dispositiu o sistema per primer cop.
Definició de Disponibilitat (Availability)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 6
Demandes d’Alta Fiabilitat/Disponibilitat
Aplicacions Tradicionals(llarga vida/vida crítica)
Missions espaials, control d’avions, defensa, plantes nuclears.
Noves Aplicacions(no de llarga vida/no vida crítica)
Operacions bancàries, reserves d’avions, comerçelectrònic, telecomunicacions, servidors webs, etc.
Aplicacions científiques(no-critica)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 7
Font: Trivedi (2003)
Motivació de Alta Fiabilitat/Disponibilitat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 8
Mesures lligades al bonFuncionament d’un Sistema
Probabilitat de sistema operatiu durant un interval sense requerir reparacions
Fracció del temps en que el sistema ésoperatiu
Capacitat del sistema per funcionar en situacions anormals
Funcionament del Sistema sota reparacions i falles
Fiabilitat
Disponibilitat
Survivability
Performability
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 9
Definicions BàsiquesFiabilitat R(t) :
X : V.a. Temps fins la fallida d’un sistema
F(t): : FunciFuncióó de de distribucidistribucióó del del tempstemps de vidade vida
Temps Mig fins a la fallida del sistema (MTTF-Mean Time To Failure)
f(t): FunciFuncióó densitatdensitat del del tempstemps de vidade vida
( ) ( ) ( )tFtXPtR −=>= 1 ( ) ( )tftR −=⇒ '
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∞∞∞∞∞
=+=−==Ε=00000
'' dttRdttRttRdtttRdtttfXMTTF
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 10
DisponibilitatDisponibilitat Instantània (puntual) A(t): A(t) = P (sistema operatiu a l’instant t) Sigui H(t) la convolució de F i G:
g(t): funció densitat del temps de reparació del sistema
Aleshores:
Disponibilitat Inst., , Fiabilitat
( ) dxxgxtFtHt
)()(0
−= ∫
∫ −+=t
xdHxtAtRtA0
)()()()(
)()( tRtA ≥
Definicions Bàsiques
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 11
Primera fallida i reparació a instant x<t OPERATIU al final interval (x,t), prob:
Disponibilitat
Primera reparació complertada aquí
Cap fallida a (0,t), prob: R(t)Sistema és operatiua l’instant t
∫ −t
xdHxtA0
)()(
0 x t
x + dx
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 12
MTTR: Temps Mig de Reparació (Mean Time toRepair)
Y: V.a. Temps de Reparació del Sistema
Disponibilitat i Fiabilitat estan relacionades, però són conceptes differents.
[ ] ∫∞
==0
)( dtttgYEMTTR
Disponibilitat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 13
Es pot demostrar que en règim estacionari la Disponibilitat és :
També: fracció de downtime = 1-Ass
MTTRMTTFMTTFASS +
=
Disponibilitat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 14
Dependability (terme genèric per Fiabilitat):
Fiabilitat (terme matemàtic): R(t), MTTF.Disponibilitat: Estacionari, Transitori.Downtime
És operatiu, i durant quant de temps?''
Rendiment-Performance:
Throughput, Temps de Resposta, etc. Donat que funciona, quant de bé treballa?''
MESURES A AVALUAR
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 15
Basades en mesures
Més acurades, més cares.
No sempre són possibles o efectives durant el disseny.
Tècniques estadístiques d’extraordinària importància.
Model-Based
METODOLOGIES PER AVALUAR
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 16
Cadenes de Markov
Métodes Combinatoris com RDBs són fàcils,
però per modelar interaccions complicades
entre components, cal usar altres models com
les Cadenes de Markov o més generals, els
state space models.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 17
Fiabilitat: Diagrames de Blocs
(RBDs)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 18
La necessitat de Modelització dels Fenòmens Aleatoris
Fenòmens Aleatoris en l’entorn informàtic:Arribades de processos (jobs). Temps d’execució dels processos (jobs). Requeriments de memòria Cache (jobs). Falles o reparacions de components o recursos.
Com es quantifica l’aleatorietat? Usant Models Probabilistes.
Com Estimar els Quantificadors? Usant tècniques estadístiques.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 19
Modelització de Fenòmens Aleatoris
Mesures: Dades
AnàlisiEstadístic
Model de Probabilitat
(PM)
Input Output Validation
Outputsdel Model
Parametresd’Entrada del Model
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 20
Fiabilitat: Diagrames de Blocs (RDB)Models de tipus Combinatori (non-state space model ).Cada component del sistema es representa com un bloc. Arquitectura del Sistema representada per la connexiódels blocs:
Blocs que són tots necessaris per funcionar es connecten en sèrie. Blocs en que només és necessari un per funcionar es connecten en paral.lel.Quan almenys k de n blocs han d’estar operatius perque el sistema sigui operatiu: estructura k-of-n.
Falles individuals de les components s’assumeixen independents. Són possibles els RBD serie-paral.lel amb independènciaestadística en la fiabilitat de les components.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 21
Fiabilitat: Diagrames de Blocs Sèrie-Paral.lel(RBDs)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 22
Sistemes en Sèrie
Sistemes en sèrie: n components estadísticamentindependents.
Succés “ Component i-èssima està operativa” : Ei .
Sigui, Ri= P(Ei), llavor la fiabilitat del sistema sèrie és :
Per simplificar la fiabilitat és simplement una probabilitat, posteriorment es tractarà com a funció del temps.
( )
ciaindependèn perEPEPEPEEEPoperatiuésSistemaPR
n
n
S
,
)()...()()...(
""
21
21
⋅=∩∩∩=
=
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 23
Simplement, LLEI DEL PRODUCTE DE FIABILITATS,aplicable a sistemes en sèrie de componentsindependents.
Si Rs< min {R1, , Rn}, i.e., el sistema és més feble que la seva component més feble.
∏=
=n
iis RR
1
R1 R2 Rn
Sistemes en Sèrie
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 24
Sistema amb n components independents en
paral.lel .
El Sistema falla (no és operatiu) sii totes les n components fallen.
Ei= "component i és operativa"
Ep= “sistema en paral.lel de n components és
operatiu”.
Rp= P(Ep).
Sistemes en Paral.lel
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 25
Aleshores,
"" fallencomponentsnTotes=____
2
__
1 ... nEEE III=
)...()(____
2
__
1
__
np EEEPEP III=
)( ...)()(____
2
__
1 nEPEPEP=
"." fallalelparalsistemaElEp =
Sistemes en Paral.lel
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 26
Sistema en paral.lel de componentsindependents segueix LA LLEI DEL PRODUCTE DE ‘NO FIABILITATS’ (UNRELIABILITIES)
R1
Rn
. . .
. . .
( )∏=
−−=n
iip RR
1
11
Sistemes en Paral.lel
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 27
Sistema serie-paral.lel : n etapes en serie, onl’etapa i té ni components en paral.lel.
Per i=1,...n, R ij= Rj, ni≥ j ≥ 1Fiabilitat del Sistema serie-paral.lel és:
( )( )∏=
−−=n
i
nisp
iRR1
11
Sistemes en Sèrie-Paral.lel
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 28
Exemple: 2 Controladors de Canal i 3 Canals de Veu
control
control
veu
veu
veu
Exemple: Sistema en Sèrie-Paral.lel
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 29
Cada canal de control té fiabilitat Rc
Cada canal de veu té fiabilitat Rv
El Sistema és operatiu si com a mínim un canal
de control i com a mínim un canal de veu són
operatius.
Fiabilitat del Sistema:
( )( ) ( )( )32 1111 vcp RRR −−−−=
Exemple: Sistema en Sèrie-Paral.lel
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 30
Exemple Sistema Sèrie-Paral.lel
El sistema és operatiu si hi ha com a mínim un camí amb components operatives entre a i b.
Ri= P ( Component i operativa )
R = P ( Sistema operatiu ) = 1 - (1 - R1R4) (1 - R3R5)
a
1 4
53
b
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 31
Trobeu la fiabilitat del següent sistema:
Assumir independència mútua entre els blocs
C
A BD
C
C
ED
( )( ) ( )( ) EDCBAsp RRRRRR 23 1111 −−−−=
Exemple: Sistema en Sèrie-Paral.lel
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 32
Sistemes mésGenerals:
Non-Series-Parallel Systems
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 33
1
5
4
3
2S T
Diagrames de Fiabilitat Pont:RBD-Bridge
Ex: Xarxa telefònicaamb routing alternatiuentre S i P.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 34
Enumeració dels estats (Taula booleana)
Diagrames Binaris de Decissió: BDD (Binary Decision
Diagram)
Factorització o condicionament : Si sistema és simple.
Veiem-ho en l’exemple.
Sistema funciona si totes les components d’almenys un camí ho
fan.
Sigui el succés Xi: “Component i operativa”. Ri =P(Xi).
Metodes d’Anàlisi per Non-Series-Parallel RBDs
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 35
En l’exemple: primer cal trobar els camins (routes):
Sigui el succés X: “Sistema és operatiu”, definit com a unió de
successos no disjunts, però pel TPT es pot factoritzar:
Metodes d’Anàlisi per Non-Series-Parallel RBDs
( ) ( ) ( ) ( )53524241 XXXXXXXXX ∩∪∩∪∩∪∩=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )53412
542
25341254
2222
2222
111|111|
11111111||||
RRRRXXPRRXXPOn
RRRRRRRRRXXPRXXP
XPXXPXPXXPXP
−−−=−−−=
−−−−+−−−=−+=
+=
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 36
Exemple de la Regla de Bayes
Diagrama d’un Canal de Transmissió Binari .
T0 = 0 es transmet T1= 1 es transmetR0= 0 es rep R1= 1 es rep
To
R1
Ro
T1
P(Ro|To)
P(Ro|T1)
P(R1|To)
P(R1|T1)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 37Copyright ? 2003 by K.S. Trivedi 37
Dades: P (To) = 0.45 P (Ro|To) = 0.92 P (R1|T1) = 0.95
Calculeu: P (Ro), P(R1) P (T1|R1), P(To|Ro) P (‘Error’)
Exemple de la Regla de Bayes
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 38
Canal de Comunicació Binari:P(R0|T0)
P(R1|T1)
P(R1|T
0)
P(R0|T1)T0
T1 R1
R0 Donat: P(R0|T0) = 0.92; P(R1|T1) = 0.95 P(T0) = 0.45; P(T1) = 0.55
P(R0) = P(R0|T0) P(T0) + P(R0|T1) P(T1) (TPT) = 0.92 x 0.45 + 0.05 x 0.55 = 0.4415
P(R1) = P(R1|T1) P(T1) + P(R1|T0) P(T0) (TPT) = 0.95 x 0.55 + 0.08 x 0.45 = 0.5585
O bé calculat com P(R1) =1- P(R0)
Exemple de la Regla de Bayes
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 39
P(“Error”) = P(T1∩R0) +P(T0∩R1)
=P(R0|T1) P(T1) + P(R1|T0) P(T0)
P (T1|R1) = (P (R1|T1). P (T1))/P (R1) = 0.95x0.55/0.5585 = 0.9355
P (T0|R0) = (P (R0|T0). P (T0))/P (R0) = 0.98x0.45/0.4415 = 0.9988
Exemple de la Regla de Bayes
P(R0|T0)
P(R1|T1)
P(R1|T
0)
P(R0|T1)
T0
T1 R1
R0
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 40
Sistemes k-de-n en RBDsSistema consistent en n components independents .
Sistema és operatiu quan k o més components són
operatives.
Sistema k-of-n Idèntic: Cada component té la
mateixa distribució de falles i/o temps de reparació. Si k=1 sistema amb redundància en paral.lel.
Si k=n sistema en sèrie.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 41
Exemple Sistema Triplex 2-de-3Sistema consistent en 3 components independents .
Sistem és operatiu quan 2 o més components són
operatives. Fiabilitat de cada component R.
Sigui RTMR, la fiabilitat del Triplex (model Bin(n=3,p=R)
( ) ( )( ) 32
3
2
333|2
13
1
RRR
RRRRi
iiiTMR
+−==
−== ∑=
−
K
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 42
Fiabilitat/Disponibilitat funció del temps
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 43
Fiabilitat com a Funció del Temps
Fiabilitat R(t): Prob. de no tenir cap falla en (0,t). Sigui X v.a. temps de vida d’una component.
Sigui N0= Nb.total de components (fix); Sigui Ns(t)= Nb.supervivents; Nf(t)= Nb.falles a t.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 44
Equivalència:
Fiabilitat.
Funció distribució de probabilitat complementària.
Funció de Supervivència:
R(t) = 1 -F(t)
Definicions
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 45
Taxa de Falles o Taxa de Risc(Failure Rate o Hazard Rate)
Risc instantani: h(t) (#falles/unitat_temps)
Cas particular exponencial X - EXP( λ). Aleshores taxa de falles (risc) és independent del temps:
És l’única distribució contínua amb taxa de falles (risc) constant (CFR) .
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 46
Funció de Risc (Hazard Rate) i fdp
h(t) ∆t = prob.condicional sistema falli a (t, t + ∆t] donat que ha sobreviscut fins l’instant t.
f(t) ∆t = prob.absoluta que sistema falli a (t, t + ∆t].Analogia amb el que seria:
Probabilitat que algú mori entre els 90 i 91, donat que ha viscut fins els 90 anys.Probabilitat que algú mori entre els 90 i 91 anys.
)(1)(
)()()(
tFtf
tRtfth
−==
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 47
Fiabilitat a partir de la Funció de Ris c
En general, la fiabilitat R(t) es pot relacionar sempre amb la funció de risc, només cal aplicar càlcul simple,
( )
−= ∫
tdxxhtR
0)(exp
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 48
Distribucions de Temps de Falla
Relacions
1)(log)(
)(1)(1)(
1)(11)(
)()(')('1
0
0
0
)(
)(
0
)(
tRdtd
duuf
tfetFduuf
etRduuf
ethtRtF
e
t
duuh
t
duuht
duuh
t
t
t
−
∫−
∫−−
∫−
∫
∫∫
∞
−∞
−
−
f(t) F(t)
f(t)
F(t)
R(t)
R(t)
h(t)
h(t) ))(1()('tF
tF−
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 49
DFR IFR
Decreasing failurerate
Increasing fail. rate
h(t)
t
CFR (useful life)
(burn-in-period) (wear-out-phase)
Fase DFR : RodatgeFase CFR: Operació Normal Fase IFR : Fatiga
Exemple de Corva de Risc
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 50
Usada per modelar la fatiga per envelliment de components (fdp amb cua molt llarga)
Fiabilitat: Distribució Weibull pot modelar comportaments DFR (α < 1), CFR (α = 1) i IFR (α >1).
α és el paràmetre de forma i λ és el paràmetre d’escala.
Distribució Weibull
( ) 0 ≥= − tetR tαλ
αλtetF −−=1)(
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 51
ExempleTemps de Vida, X : Distribuit Weibull ambObservació: 15% components duren 90 hrs, però fallen abans de les 100 hrs.,
Trobar el paràmetre d’escala λ per la distr. Weibull :
Resolent
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 52
Funció de risc amb temps de vida Weibullsegons valors de α i λ = 1
5.0
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 53
Distribució Weibull amb 3 paràmetres
Versió més complexe de la Weibull emprada per acotar el rang de valors de la v.a. (θ,+∞):
S’afegeix el paràmetre de posició θ.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 54
Funció de Risc en Posta en Marxa
Anomenada sovint fase de mortalitat infantil o fase d’increment de la fiabilitat o fase de decreixement del risc (Fase DFR). Causada per defectes no detectats de hardware/software a resoldre durant la posta en marxa del producte. Ex: Calderescalefacció. Cal considerar-las específicament, doncs si s’usan taxes de falles estacionàries pot conduir a important errors de predicció. Pot modelar-se amb una Weibull (DFR).
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 55
Taxa de falles inferior que en la Fase de posta en marxa. Taxa de falles constant (CFR) o potvariable.Temps entre falles exponencialmentdistribuït sol modelar-se habitualment.
Funció de Risc en Estacionari (SteadyState
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 56
Taxa de falles s’incrementa ràpidament amb l’edat (Fase IFR). Els equips electrònics ben qualificats no mostren fatiga durant el temps de vida indicatpel fabricant. ( Ex. Motorola). Aplicable a sistemes mecànics (coixinet). Model (IFR) Weibull pot usar-se per modelar el comportament.
Periode de Vellesa
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 57
Model Weibull truncat
Fase de Posta en Marxa modelada per WeibullDFR i Fase Estacionària per una exponencial.
0 2,190 4,380 6,570 8,760 10,950 13,140 15,330 17,520Operating Times (hrs)
Failu
re-R
ate
Mul
tiplie
r
7
6
5
4
Models per Taxes de Falles
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 58
La incorporació de taxes de falla variables amb el temps en els modelsde disponibilitat pot fer-se de diferents maneres. La manera més senzilla consisteix en aproximar la distribució contínuaper una funció decreixent esglaonada (discreta).
2,190 4,380 6,570 10,950 13,140 15,330 17,520Operating Times (hrs)
Failu
re-R
ate
Mul
tiplie
r
7
6
5
4
3
2
8,7600
h1
h2hSS
Models per Taxes de Falles
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 59
En l’exemple anterior:
L’aproximació pot refinar-se incrementant el nb d’etapes.
hhhth
ss
W
===
2
1)(
760,8760,8380,4380,40
≥<≤<≤
ttt
Models per Taxes de Falles
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 60
Model HipoExponencial (HIPOEXP)
HipoExp: Vàries fases Exponencials en sèrie. HipoExp de 2-fases notada com HiPO(λ1, λ2). Les funcions de densitat, distribució i risc són:
HipoExp és de tipus IFR.Temps de servei d’un disc pot modelar-se com una HipoExp de 3 Fases donat que el temps total és la suma del temps de cerca, latència i transferència.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 61
HipoExp(1,5)
HipoExp(1,5) F. Densitat HipoExp(1,5) F. Distribució
Model HipoExponencial (HIPOEXP)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 62
Distribució ErlangCas particular HIPOEXP: Totes les fases tenen idènticparàmetre.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 63
Distribució Erlang: funció densitat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 64
Distribució Erlang: funció distribució
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 65
Funció densitat de probabilitat és,
La distribució gamma pot modelar els 3 tipus de comportament en risc de falles DFR, CFR i IFR. α = 1: CFR
α <1 : DFR
α >1 : IFR
Gamma amb α = n/2 i λ = 1/2 és una v.a. chi-quadrat amb n graus de llibertat.El paràmetre de forma és α i d’escala és λ .
Distribució Gamma
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 66
α = 1: CFRα <1 : DFR α >1 : IFR
Distribució Gamma: funció de risc
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 67
Distribució Gamma: funció densitat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 68
Alternància d’etapes Exp( ) idèntiques : model Hiperexponencial.
Temps de CPU pot modelar-se per HiperExp.
Model HiperExponencial (HIPEREXP)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 69
Hiper Exponencial Vs. Exponencial CDF
Distribució del temps de CPU mesurat millormodelatge HiperExp( ) que EXP( ).
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 70
Modela taxes de falles més complexes que els casos simples CFR, IFR, DFR.
Per, κ > 1, la taxa de falles creix amb t ; després decreix amb el temps. Emprada en models d’increment de la fiabilitat del software.
Distribució Log-logistica
λ param. escala
Κ param.forma
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 71
Distribució Log-logistica: funció de risc
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 72
Forma de campana en la fdp. Teorema Central del Límit: suma de gran nombre de valors mútuament independents de distribucióqualsevol tendeix a una llei normal.
Funció de risc h(t) amb comportament IFR Distribució adecuada per modelar les falles al final de la vida útil, en presència de fatiga.
Distribució Normal (Gaussiana)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 73
h(t) ésIFR
Distribució Normal : Funció de Risc
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 74
Exemple distribució normal
X: V.a. Temps de vida en fase de fatiga d’un subsistem - N(m=105,s=106) (in hores)
Calculeu R9,000(500) i R11,000(500)
Doncs i
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 75
De manera semblant,
Exemple distr. normal (cont.)
Doncs i
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 76
Distribució Pareto
Coneguda com la llei de potència o long-tailed distribution. Molt emprada en la modelització de:
Temps de CPU consumit per una petició. Tamany d’arxius Web en els servidors internet. Nombre bytes de dades en els FTPs bursts. Thinking time d’un editor Web.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 77
Funció densitat de probabilitat:
Funció distribució de probabilitat
I funció de risc:
0,,,)( 1 >≥= −− kkxxkxf αα αα
Distribució Pareto
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 78
V.a. Pareto: F. Distribució
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 79
V.a. Pareto: F. Densitat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 80
Teorema: pdf per una transformació de X v.a. (font K.S.Trivedi)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 81
Distribució per Y = Φ(X) = eX, si X - N(µ, σ2)
V.a. Y té una distribució log-normal.
Exemple: pdf per una transformacióde X v.a.
llavors
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 82
Fiabilitat/Disponibilitatfunció del temps: estadístics d’ordre,
k de n i TMR
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 83
Definicions (estadístics d’ordre): k de n
X1,X2,..., Xn v.a. iid (independents i identicamentdistribuïdes) funció distribució F i densitat f.SiguinY1 ,Y2,...,Yn v.a. obtingudes per permutaciódel conjunt X1,X2,..., Xn de manera que responena una ordenació creixent.
És a dir:
Y1= min{X1,X2,..., Xn } i
Yn= max{X1,X2,..., Xn }
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 84
La v.a. Yk s’anomena ESTADÍSTIC D’ORDRE k-èssim.
Si Xi és el temps de vida de la i-èssimacomponent en un sistema de n components. Llavors:
Y1 és el temps total de vida del sistema sèrie.
Yn és el temps de vida del sistema paràl.lel.
Yn-k+1 és el temps de vida del sistema k de n.
Definicions (estadístics d’ordre): k de n
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 85
Per derivar la funció distribució de Yk, cal remarcar que
exactament j de les v.a. Xi's prenen valors a (-∞ ,y] i
(n-j) en (y, ∞) és (n Bernoulli proves, i.i.d. i p=F(y)):
∞<<∞−−
=
∞<<∞−−
∑=
−
−
yyFyFyF
yyFyF
n
kj
jnjn
jY
jnjn
j
k,)](1[)()(
hence
)](1[)(
Definicions (estadístics d’ordre): k de n
llavors
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 86
Fiabilitat de sistemes k de n .
Sistemes Sèrie :
Sistemes Paral.lel:
Mínim de n v.a. EXP és un cas particular de Y1 = min{X1,…,Xn} on Xi~EXP(λi) i per tant, Y1~EXP(Σ λi)
Aleshores la llei exponencial és tancada per la composició en sèrie, però no per la composició en paral.lel.
Aplicacions dels estadístics d’ordre
nparallel
i
n
i
nseries
jnjn
kj
njkofn
tRtR
tRortRtR
tRtRtR
)](1[1)(
)()]([)(
)](1[)]()[()(
1
−−=
Π=
−=
=
−
=∑
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 87
Distribució del Temps de Vida d’un Sistema serie on i th component té distribució temps de vida ~ EXP(λi)
És EXP(λs) amb
Aplicacions dels estadístics d’ordre
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 88
Llavors el sistema sèrie és CFR (constant failure rate). I el sistema paral.lel de n components i.i.d.:
Aplicacions dels estadístics d’ordre
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 89
Cas particular interessant d’estudiar és el sistema amb Redundància Modular Triple (n = 3 and k = 2).
Y2 modelitza el tempsfins que la 2a component falla i d’aquí:
)(2)(3)( 32 tRtRtRTMR −=
R(t)
R(t)
R(t)
Voter
Redundància Modular Triple (TMR)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 90
Si la fiabilidad d’una component individual varia segons la funció:
llavors: tt
TMR eetR λλ 32 23)( −− −=
tetR λ−=)(
Redundància Modular Triple (TMR) (cont.)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 91
RTMR(t) vs. t i R(t) vs. t.
Redundància Modular Triple (TMR) (cont.)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 92
Un sistema amb n workstations i m servidors de fitxers.
Sistema és Operatiu amb k workstations i l file serversoperatius. Assumiu independència entre falles.Fiabilitat WS és Rw(t) i Fiabilitat FS és Rf(t)
,
Exemple:
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 93
Exemples Modelització de la Fiabilitat de Sistemes Informàtics
Sumes de v.a. exponencials apareixen de manera natural en sistemes:
Redundància Cold-standbyRedundància Warm-standbyRedundància Hot-standbyTriple Modular Redundancy (TMR-2 de 3) TMR/Simplex (després 1ª falla, actua simple)Redundància k-de-n
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 94
Cold standby (Redundància standby)
Temps de vida
Activa EXP(λ)Temps de vidaPasiva EXP(λ)
Hipòtesis: Detecció i Switching perfecte; Unitat Pasiva (Spare Unit) no falla.
EXP(λ) EXP(λ)
Temps de vida total Erlang de 2-Fases:
tettR λλ −+= )1()(
X Y
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 95
X i Y són EXP(λ) i independents.
Llavors , la fdpde la suma es pot calcular perconvolució i surtfdp 2-Erlang.
0,
)(
20
2
0
)(
>=
=
=
−
−
−−−
∫
∫
tte
dxe
dxeetf
t
tt
txtx
Z
λ
λ
λλ
λ
λ
λλ
Cold standby (Redundància standby)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 96
Sistemes de 2 components
Amb temps de vida respectius modelatsper les v.a., X and Y, independents.
Sistema Sèrie (Z=min{X,Y}) Sistema Paral.lel (Z=max{X,Y}) Cold standby: Z=X+Y
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 97
Exemple de Sistema Standby
Sistema amb n-processadors: 2 modes1. Només 1 de n és actiu, els altres estan en cold
standby2. Tots n estan actius, treballen en paral.lel.
Llavors, Opció 2, treball paral.lel facilita méscapacitat, malgrat tot.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 98
Sigui X1, X2, …, Xn els temps fins la falla dels nprocesadors. Després de l’instant Y1=min {X1, X2, …, Xn}, un process. ha fallat i els (n-1) restants no. Capacitat de càlcul és redueix al suprimir-se 1 process. Fins (n-1),
Ex. Sist. Standby:derivació del resultat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 99
Pel diagrama, Cn és l’àrea sota la corba i es vol trobar la f.distribució per Cn.
Primer cal trobar la distribució per Yj+1-YjSi tots els temps de vida són EXP(λ), llavors, (Yj+1-Yj)~EXP[(n-j) λ]. Si Y0= 0,
Aleshores, després que j procs han fallat, les vides residuals són, W1, W2, …, Wn-j , cadascuna és EXP(λ) donat la propietat d’absència de memòria de les lleis exponencials.
(Yj+1-Yj)= min{X1, X2, …, Xn} )~EXP(nλ)
Ex. Sist. Standby:derivació del resultat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 100
(Yj+1-Yj) bé donat per, Yj+1-Yj) = min{W1, W2, ?, Wn-j}
(Yj+1-Yj) ~ EXP[(n-j) λ] Llavors, (n-j) (Yj+1-Yj) ~ EXP(λ)
Llavors, Cn és la suma de n v.a. i.i.d., és a dir, Cnés una Erlang de n-fases. I per tant, la capacitat de càlcul total fins la falla té la mateixa distribució en ambdòs modes d’operació.
Ex. Sist. Standby:derivació del resultat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 101
El primer event que pot succeir és que el proc. Actiu o
el Pasiu tinguin una falla. El temps fins l’event indicat és
min{EXP(λ),EXP(γ)} distribuït EXP(λ + γ).
Llavors degut a la propietat d’absència de memòria , el
temps de vida residual és també EXP(λ).
Aleshores, el temps de vida del sistema té una distr.
hipoexponencial amb paràmetres: λ1= λ + γ and λ2 = λ
.
Ex. Sist. Warmstart:derivació del resultat
Temps de vida Activa EXP(λ) Temps de vida Pasiva-Warm EXP(γ)
X Y
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 102
tt
txtx
Z
ee
dxeetf
12
21
12
21
21
21
0
)(21)(
λλ
λλ
λλλλ
λλλλ
λλ
−−
−−−
−+
−=
= ∫
X és EXP(λ1) i Y és EXP(λ2) i són independents λ1<> λ2
Llavors fZ(t) és,
Ex. Sist. Warmstart:derivació del resultat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 103
Warm standbyAmb un Warm Standby és té:
Time-to-failure de la unitat Activa: EXP(λ) Time-to-failure de la Passiva-Warm (Spare Unit ) : EXP(γ)
Distribució hipoexponencial de 2 fases
EXP(λ+ γ) EXP(λ)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 104
Hot standby
Amb Hot Spare es té:
Time-to-failure de la unitat Activa: EXP(λ) Time-to-failure de la unitat Passiva-Hot (Spare): EXP(λ)
Distribució hipoexponencial de 2 fases
EXP(2λ) EXP(λ)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 105
TMR i TMR/simplexcom a hipoexponencials
EXP(3λ) EXP(λ)
EXP(3λ) EXP(2λ)
TMR/Simplex
TMR
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 106
Hipoexponencial: Cas general
Z = , on X1,X2, … , Xr són mútuament
independents
i Xi està exponencialment distribuïda amb paràmetre λi on
Llavors Z és una v.a hipoexponencial de r-fases.
∑=
r
iiX
1
EXP(λ1) EXP(λ2) EXP(λr)
jiperji ≠≠ λλ
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 107
EXP((n-1)λ) EXP((k-1)λ)EXP(kλ)EXP(nλ)
YnYn-k+2Yn-k+1Y2Y1
... ... EXP(λ)
Mínim, k de n unitats han de ser operatives
perquè el sistema global sigui operatiu. Aquí la
taxa de falles de cada unitat és λ.
Hipoexponencial: Temps devida del sistema k de n
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 108
EXP(nλ+(s-1) µ) EXP(nλ)
EXP(nλ+ µ)
EXP(nλ
+sµ)... ... EXP(kλ)
Mínim, k de n + s unitats han d’estar operatives perquè el
sistema sigui operatiu. Initicialment n unitats estan actives
i s unitats són warm spares. La taxa de falles d’una unitat
activa és λ i la taxa de falles d’una unitat spare és µ.
Sistema k de n amb Warm spares
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 109
Temps de Vida Esperat
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 110
Funció Distribució :
Funció Densitat:
Fiabilitat:
Funció de Risc (CFR): Taxa de falles constant.
Mean Time to Failure:
( ) 0 1 ≥−= − tetF tλ
( ) 0 t ≥= − tetf λλ
( ) 0 ≥= − ttR e tλ
( ) ( )( ) λ==tRtfth
λ1
=MTTF
Distribució Exponencial
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 111
Funció de Risc (Failure Rate):
IFR para DFR para
Esperança (MTTF):
Paràmetre de forma α i d’escala λ
1 >α 1 <α
+Γ
=
αλα 1111
][XE
( ) 0 1
)(
)(≥== − ttth
tR
tf αλα
Distribució Weibull
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 112
Distribució Hipoexponencial
Si X1,X2, . . . , Xn són v.a. exponencials, independents i idènticament distribuïdesamb paràmetres,
llavors és hipoexponencialamb paràmetres
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 113
Per tant emprant la propietat lineal de l’operador esperança matemàtica es té,
Distribució Hipoexponencial
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 114
La funció densitat de probabilitat és,
Llavors l’esperança esdevé,
Distribució Hiperexponencial
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 115
Per què usar transformadesen estadística ?
Una transformada és una funció que canvia la forma d’una relació matemàtica a una altra que permetaplicar regles algebraïques més simples.
Una transformada és una funció definida en un domini de funcions de variable t i que produeixuna nova funció de nova variable s.
f*(s) g*(s)
f(t) g(t)
Transformació
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 116
Transformada Tipus d’Equacions
Fourier Sinus, Cosinus
Laplace,
Laplace-Stieltjes
Exponencials, Equacions diferencials i integrals.
Funció Generatriu Transformada z
Sèries geomètriques, Equacions diferencials
Propietats de les transformades
Les transformades són operadors lineals. (a f + b g)*(s) = af*(s)+ bg*(s) a, b : constant Tipus de Transformades
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 117
Transformada de LaplaceLa Transformada de Laplace (LT) aplica una funciócontínua f(t) sobre una funció de variable complexe s.
La Transformada de Laplace de la fdp v.a. EXP(λ) és( ) ( )∫
∞ −=0
* dtetfsf st
( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ]ss
es
dtess
dte
eEdteesf
ts
tsts
sXstt
+=−
+−
=⋅+
−=
+−+
−==
=⋅=
∞+−
∞ +−∞ +−
−−∞ −
∫∫
∫
λλ
λλ
λλ
λλ
λλ
λ
λ
λλ
λ
10
][*
0
00
0
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 118
Si f(x) és la fdp d’una distribució de temps de falla, llavors la transformada de Laplace F*(s) i R*(s) de les funcions distribució i fiabilitat respectivament són:
Exemple:s
sfsRιs
sfsF )(1)(,)()(*
**
* −==
sssssRι
sssF
ssfEXPX
+=
+=
+=
+=⇒
λλλλ
λλλ
1)(
)(*,)(
)(
)()(~
*
*
Transformada de Laplace
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 119
Càlcul del MTTF
R(t) = P(X > t), X: Temps de vida d’una component Temps de vida esperat o MTTF és
En general, moment kèssim és,
Es deriva usant integracion per parts i el fet que X és una v.a. no negativa.
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 120
Components en sèrie, component i téun temps de vida EXP(λi)
Aleshores el temps de vida del sistema és EXP amb paràmetreI per tant, la vida mitja del sistema és
MTTF =
Càlcul del MTTF d’un sistema sèrie
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 121
Sistema en paral.lel on Xi és v.a. temps de vida component iX = max{X1, X2, ..,Xn}
Si totes les Xis són EXP(λ), llavors,
Al creixer n, MTTF creix i la variança també.
Càlcul del MTTF d’un sistema en paral.lel
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 122
Variació de la vida esperada segonsel grau de redundància en paral.lel amb risc de falla constant de λ=10-6
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 123
Redundància Standby
Sistema amb 1 component i (n-1) cold spares. Temps de vida del sistema,
Si totes les Xis són EXP(λ)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 124
Redundància Modular Triple (TMR)
Si la fiabilidad individual d’una component ve donada perllavors:
Comparant amb la vida esperada per una component simple:
ttTMR eetR λλ 32 23)( −− −=
tetR λ−=)(
SimplexTMR MTTFMTTF =<=λλ1
65
TMR
tt
MTTF
dtedteXE
==
−= ∫∫∞
−∞
−
λ
λλ
65
23][0
3
0
2
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 125
TMR i TMR/simplexcom a hipoexponencials
EXP(3λ) EXP(λ)
EXP(3λ) EXP(2λ)
TMR/Simplex
TMR
λλλ 341
31
=+=MTTF
λλλ 65
21
31
=+=MTTF
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 126
Cold standby
Temps de Vida en estat Actiu
EXP(λ)
Temps de Vida en estat SpareEXP(λ)
Sota: Detecció & Switching perfectesSpare no falla
EXP(λ) EXP(λ)
Temps de Vida total és Erlang 2
,2 λ=MTTF
X Y
t
k
kt et
ktetR λλ λλ −
=
− +== ∑ )1(!)()(
1
0
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 127
Warm standby
λγλ11
++
=MTTF
tt
ttw
ee
eetR
λγλ
λγλ
γγλ
γλ
γλλγλ
γλλλ
−+−
−+−
++
−=
+−+
−+−
=
)(
)(
)()()(
∫∞
=0
)( dttRMTTF w
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 128
Warm standbyAmb un Warm de la unitat Passiva (Spare), és té:
Time-to-failure de la unitat Activa: EXP(λ) Time-to-failure de la unitat Spare EXP(γ)
Distribució hipoexponencial de 2 fases
EXP(λ+ γ) EXP(λ)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 129
Hot standby
Amb Hot de la unitat Passiva (Spare), es té:
Time-to-failure de la unitat Activa: EXP(λ) Time-to-failure de la unitat Spare EXP(λ)
Distribució hipoexponencial de 2 fases
EXP(2λ) EXP(λ)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 130
Hot standby
)2/(3212 λλλ
=−=MTTF
tt
ttw
ee
eetR
λλ
λλ
λλλ
λλλ
2
2
22
22
)(
−−
−−
−=−
−−
=
∫∞
=0
)( dttRMTTF w
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 131
Gràfics de Comparació:
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 132
Computer Network
Workstation 1 Workstation 2
File Server
Exemple: WFS (Trivedi)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 133Copyright ? 2003 by K.S. Trivedi 133
RBD pel Example WFS
Workstation 1
Workstation 2
File Server
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 134
Rw(t): Fiabilitat de la workstation
Rf (t): Fiabilitat del file-server
Fiabilitat del Sistema Rsys(t) :
Per qualsevol distribució el resultat és vàlid.
RBD for the WFS Example (cont.)
( ) ( )( ) ( )tRRwtR fsys t
−= −1 21
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 135
Assumint temps fins la falla exponencial: failure rate per workstationfailure rate per file-server
Temps de vida esperada pel sistema (MTTF) és
λλλλ fwfw
dttRMTTF+
−+
== ∫ ∞
20
12)(
tft eetR wλλ −−−−= ])1(1[)( 2
λw
λ f
RBD for the WFS Example (cont.)
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 136
Exercici 1
Per un sistema amb 2 componentsde redundància en paral.lel ambdistribució EXP( ) and EXP( ) cal determinar les expressions per:
Rp(t) MTTFp
1λ 2λ
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 137
Solució 1:
ttt eee
tRtRtRtRtR)(
2121
2121
)()()()()(λλλλ +−−− −+=
−+=
2121
111λλλλ +
−+=MTTF
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 138
Exercici 2 de Sistema Sèrie-Paral.lel
Exemple: 2 Canals de Control i 3 Canals de Veu
control
control
veu
veu
veu
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 139
Determineu la fòrmula pel cas que la fiabilitat del control i la veu siguin:
Deriveu expressions per la fiabilitat del sistema i pel temps mig fins la fallida del sistema.
Exercici 2 de Sistema Sèrie-Paral.lel
tv
tc
vc etRandetR λλ −− == )()( i
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 140
vcvcvc
vcvcvc
ttt
ttt
MTTF
eee
eeetRvcvcc
vvvc
λλλλλλ
λλλλλλ
λλλλλ
λλλλ
321
)(23
23
32
266
]33
266[)()2()(
2)(
+−
++
+−
++
+−
+=
−+−
+−=+−+−−
−−+−
Exercici 2 de Sistema Sèrie-Paral.lel: solució
Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 141
Fiabilitat pel Sistema S-P Exercici 2
Font: K.S. Trivedi
top related