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Introdução à Teoria Quântica do Espalhamento:do Espalhamento por um Potencial ao Problema
de Muitos Corpos
Márcio H. F. Bettega
Departamento de Física
Universidade Federal do Paraná
bettega@fisica.ufpr.br
Minicurso sobre Espalhamento - Aula 1/3 (Parte II)
Semana Acadêmica de Física 2017
Estrutura do minicurso
I Aula 1/3 (Parte II) (60 min):
X Definições básicas: descrição do espalhamento; tipos de colisões; canais; seçãode choque.
X Espalhamento por um potencial: equação de Schrödinger independente dotempo; condição de contorno para a função de onda de espalhamento; densidadede corrente de probabilidade; relação entre seção de choque diferencial(experimento) e amplitude de espalhamento (teoria); o teorema ótico.
X Equação de Lippmann-Schwinger; a função de Green da partícula livre;expressão para a amplitude de espalhamento; aproximação de Born; potencialcomplexo.
Definições Básicas: Descrição do Espalhamento
fonte (A) zθ
colimador
detetor
alvo (B)
I Vamos considerar o espalhamento das partículas do tipo A (partículas A) porpartículas do tipo B (partículas B):X o feixe de partículas A é colimado e monoenergético (pequena largura em tornode uma energia bem definida). A interação entre as partículas A pode serdesprezada (intensidade do feixe);X o alvo contém um grande número de partículas B (centros espalhadores), cujasdistâncias são maiores do que o comprimento de onda das partículas A (podemosignorar efeitos de coerência entre as ondas espalhadas pelos centrosespalhadores);X podemos considerar que cada partícula B atua como um centro espalhadorindependente. Neste caso podemos olhar o espalhamento de uma partícula A poruma partícula B;X queremos observar um certo número de eventos: contagem das partículas Aespalhadas, pelo detetor.
Definições Básicas: Tipos de Colisões
I Tipos de Colisões:
X espalhamento elástico: não há mudança na estrutura interna das partículas A eB,A + B→ A + B;
X espalhamento inelástico : ocorre mudança no estado interno das partículas Ae/ou B,A + B→ A∗ + B∗;
X reação: as partículas A e B se decompõe em n ≥ 2 partículas,A + B→ C + D ou A + B→ C1 + C2 + · · ·+ Cn.
I Ilustração: espalhamento de elétrons por moléculas de H2 (considerando apenas aestrutura eletrônica).
X espalhamento elástico: e− + H2 → e− + H2
X espalhamento inelástico: e− + H2 → e− + H∗2
X reação (ionização): e− + H2 → 2e− + H+2
X reação (“electron attachment” – possibilidade de ocorrer a dissociaçãomolecular): e− + H2 → H−2
Definições Básicas: Canais
I Um canal é um possível modo de fragmentação do sistema A+B (estado do sistemaA+B) durante a colisão.
I No caso do espalhamento de elétrons por moléculas de H2 discutido anteriormente,temos os seguintes canais possíveis:
X canal elástico: e− + H2 → e− + H2
X canal inelástico (cada estado excitado final possível é considerado um canalindependente): e− + H2 → e− + H∗2
X canal de reação (ionização): e− + H2 → 2e− + H+2
X canal de reação (“electron attachment”): e− + H2 → H−2
I Iremos considerar aqui apenas espalhamento elástico.
Definições Básicas: Seção de Choque
I Os resultados de um processo de colisão são dados em termos de seções dechoque (total, elástica, diferencial etc).
X seção de choque diferencial (distribuição angular), fornece informaçõesadicionais sobre a colisão (interações, ondas parciais etc) e a partir da qualobtemos as seções de choque integral e de transferência de momentum:
dσ
dΩ(E; θ, φ)
I Referencial do centro de massa (centro de massa do sistema A + B em repouso) ereferencial do laboratório (partícula B em repouso antes da colisão); em ambos z éo eixo de incidência.
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I Vamos considerar o espalhamento de uma partícula A por uma partícula B:X vamos utilizar a mecânica quântica (λA & d) não relativística (vA c),considerando que as partículas A e B, ambas sem spin, não possuem estruturainterna;X vamos assumir que a interação entre as partículas é do tipo VAB = V (rA − rB) (Vreal e de curto alcance).
I Com estas considerações, a equação de Schrödinger independente do tempo quedescreve a colisão (elástica) é
HΨ(rA, rB) = EΨ(rA, rB); H =p2
A
2mA+
p2B
2mB+ V (rA − rB); pα = −i~∇α, α = A,B
Definimos a coordenada relativa r e a coordenada do centro de massa R como
r = rA − rB; R =mArA +mBrB
mA +mB
onde
pα = mαrα, α = A,B→ P = MR,p = mr; M = mA +mB, m =mAmB
mA +mB
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I Fazendo as substituições, a equação de Schrödinger ficaP2
2M+
p2
2m+ V (r)
Ψ(rA, rB) = EΨ(rA, rB)
ou − ~2
2M∇2
R +− ~2
2m∇2
r + V (r)
Ψ(rA, rB) = EΨ(rA, rB)
onde agora é possível escrever
Ψ(rA, rB) = χ(R)ψ(r)
o que fornece
− ~2
2M∇2
Rχ(R) = Ecmχ(R);
− ~2
2m∇2
r + V (r)
ψ(r) = Erelψ(r); E = Ecm+Erel
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I Vamos discutir primeiro a solução da equação
− ~2
2M∇2
Rχ(R) = Ecmχ(R)
que descreve uma partícula livre e cuja solução é uma onda plana
χ(R) =eiK·R
(2π)32
onde
Ecm =~2K2
2M
X o centro de massa do sistema A+B move-se como uma partícula livre;X se mB mA → m ∼ mA e como consequência o centro de massa do sistemacoincide com a partícula B.
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I O interesse está na solução da equação que contem a interação V− ~2
2m∇2
r + V (r)
ψ(r) = Erelψ(r)
que representa o espalhamento de uma partícula de massa reduzida m pelopotencial V (r) (de “curto alcance”).
I Na ausência de interação (fazendo V = 0), a solução é
ψ(r) =eik·r
(2π)32
com
Erel =~2k2
2m
Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger
I Na presença de V (r), a solução não é mais uma onda plana. Neste caso, podemossugerir uma condição de contorno para a função de onda deste problema na forma
ψ(+)ki
(r) −−−−→|r|→∞
N
eiki·r + fk(θ, φ)
eikr
r
onde fizemos k = ki = kz (z define a direção de incidência). A interpretação decada termo nesta expressão é (como estamos considerando apenas colisãoelástica temos que |ki| = |kf | = k)
X N : “constante de normalização”
X eiki·r: onda plana incidente
X eikr/r: onda esférica emergindo do alvo (“outgoing”)
X fk(θ, φ): amplitude de espalhamento (depende da direção r = (θ, φ) e da energiak)
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
Ωd
zθ
|r|
fk
ki r
^
I Vamos obter a relação entre a amplitude de espalhamento e a seção de choquediferencial. Para isso, vamos considerar o esquema acima para o detetor colocadoa uma distância |r| → ∞ (fora do alcance de V ).
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I Definição de seção de choque diferencial [dσ/dΩ(k; θ, φ)]dΩ:
A seção de choque diferencial é igual ao número de partículas espalhadas, porunidade de tempo e por unidade de fluxo incidente, dentro do ângulo sólido dΩ emtorno da direção r = Ω(θ, φ). É portanto igual ao fluxo emergente (“outgoing") departículas espalhadas através da superfície esférica r2dΩ (considerando |r| → ∞)dividido pelo fluxo incidente.
X depende da direção de espalhamento (r = Ω(θ, φ)), da energia incidente (k ouE = ~k2/2m), mas não depende de r (devido a condição |r| → ∞).
X tem dimensões de área, o que permite uma interpretação geométrica: aspartículas do feixe incidente que atravessam a área igual a [dσ/dΩ(k; θ, φ)]dΩ,colocada perperdicularmente à direção de incidência, são espalhadas dentro doângulo sólido dΩ e são portanto registradas pelo detetor.
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I Associada à equação de Schrödinger (dependente do tempo), temos uma equaçãode continuidade dada por
∂ρ(r, t)
∂t+ ∇ · j(r, t) = 0
onde ρ(r, t) é a densidade de probabilidade e j(r, t) é a densidade de corrente deprobabilidade. ρ(r, t) e j(r, t) são definidos como
ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2; j(r, t) =~m
Im Ψ∗(r, t)∇Ψ(r, t)
I No caso estacionário (V = V (r)→ Ψ(r, t) = ψ(r) exp(−iωt); ω = E/~)
ρ(r) = |ψ(r)|2;∂ρ(r)
∂t= 0; ∇ · j(r) = 0; j(r) =
~m
Im ψ∗(r)∇ψ(r)
∇ · j = 0→∫dV∇ · j =
∮dS · j = 0
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I Considerando a condição assintótica de ψ(+)ki
(r) e lembrando que
∇ = r∂
∂r+ θ
1
r
∂
∂θ+
1
r sin θφ∂
∂φ
e que
eiki·r = eikz = eikr cos θ
temos
jout(r, t) · r =~m
Im
ψ
(+)∗ki
(r)∂ψ
(+)ki
(r)
∂r
=~m
ImN∗N
[e−ikr cos θ + f∗k (θ, φ)
e−ikr
r
]×
× ∂
∂r
[eikr cos θ + fk(θ, φ)
eikr
r
]
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I Temos então 3 termos: o termo incidente, associado à onda plana incidente, oespalhado, associado à onda esférica modulada pela amplitude de espalhamento, eo de interferência, envolvendo os termos cruzados entre as ondas plana e esférica.
X termo de incidência: jinc(r, t) · z, onde
Neiki·r = Neikz; ∇ = x∂
∂x+ y
∂
∂y+ z
∂
∂z
O fluxo através de uma área unitária perpendicular à direção de incidência ki é
jinc(r, t) · z =~m
ImN∗e−ikz
d[Ne(ikz)]
dz
= N∗N
~km
X termo espalhado (considerando apenas o termo da onda esférica)
jout(r, t) · r =~m
ImN∗f∗k (θ, φ)
e−ikr
r
∂
∂r
[Nfk(θ, φ)
eikr
r
]= N∗N
~km
1
r2|fk(θ, φ)|2
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I Por último, vamos considerar o termo de interferência jint(r) · r
jint(r) · r =~m
ImN∗e−ikr cos θ ∂
∂r
[Nfk(θ, φ)
eikr
r
]+
+ N∗f∗k (θ, φ)e−ikr
r
∂
∂r
[Neikr cos θ
]=
= N∗N~m
Imik
1
rfk(θ, φ)e[ikr(1−cos θ)] +
+ ik cos θ1
rf∗k (θ, φ)e[−ikr(1−cos θ)]
+ . . .
onde termos de ordem superior a 1/r foram desprezados.X pode-se mostrar que os termos jint(r) · θ e jint(r) · φ são de ordem 1/r3 eportanto podem ser desprezados no limite |r| → ∞.
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I Note que jint(r) difere dos dois termos anteriores (inc e out), contribuindo apenasquando θ = 0 (onde ocorre a interferência da onda plana com a onda esférica). Issopode ser visto analisando a seguinte integral, onde consideramos umasuperposição de ondas planas com vetores de onda em um intervalo ∆k em tornode ki. ∫ k+∆k
k
dke[ikr(1−cos θ)] =
1
ir(1− cos θ)e[ikr(1−cos θ)]
k+∆k
k
Para θ 6= 0 a integral acima oscila, e neste caso
limr→∞
∫ k+∆k
k
dke[ikr(1−cos θ)] = 0
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I A seção de choque diferencial pode ser escrita como
dσ
dΩ(k; θ, φ) =
|jout|r2dΩ
|jinc|= |fk(θ, φ)|2dΩ
ou
dσ
dΩ(k; θ, φ) = |fk(θ, φ)|2
Temos portanto uma relação entre a seção de choque diferencial (medida emlaboratório) e a amplitude de espalhamento (calculada, e que deve ser obtida apartir do comportamento assintótico da função de onda de espalhamento). A partirda seção de choque diferencial obtemosX seção de choque total:
σtot(k) =
∫dΩ
dσ
dΩ(k; θ, φ) =
∫dΩ|fk(θ, φ)|2
X seção de choque de transferência de momentum:
σmt(k) =
∫dΩ(1− cos θ)
dσ
dΩ(k; θ, φ) =
∫dΩ(1− cos θ)|fk(θ, φ)|2
Ilustração: Colisões e−–HCOOH
Estrutura do ácido fórmico.
Ilustração: Colisões e−–HCOOH
0 30 60 90 120 150 180
1
10
15 eV
Gianturco
Vizcaino et al.
SMCPP
0 30 60 90 120 150 180
1
10
20 eV
0 30 60 90 120 150 180
scattering angle (degrees)
0.1
1
10
cro
ss
se
cti
on
(1
0-1
6 c
m2/s
r)
30 eV
0 30 60 90 120 150 180
0.1
1
10
40 eV
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5energy (eV)
1
10
cro
ss
se
cti
on
(1
0-1
6c
m2/s
r)
SMCPPKohnAllan
1 10energy (eV)
0
20
40
60
mo
me
ntu
m t
ran
sfe
r c
ros
s s
ec
tio
n (
10
-16c
m2)
KohnSMCPP (SE)
expt.
SMCPP (SEP)
Seções de choque diferenciais (esquerda), de transferência de momentum (centro), ediferencial a 130 (direita).X M. H. F. Bettega, Phys. Rev. A 74, 054701 (2006)
Ilustração: Colisões e−–C3H7OH
Estrutura do isopropanol (direita), n-propanol (esquerda).
Ilustração: Colisões e−–C3H7OH
1
10
100
2 eV 5 eV 10 eV
0 60 120180
1
10
100
cro
ss s
ecti
on
(10
-16 c
m2/s
r)
15 eV
60 120180
scattering angle (degrees)
20 eV
60 120180
30 eV
0 5 10 15 20 25 30
energy (eV)
0
30
60
90
120
150
cro
ss
se
cti
on
(1
0-1
6 c
m2)
0 5 10 15 20 25 30
energy (eV)
0
10
20
30
40
50
cro
ss
se
cti
on
(1
0-1
6 c
m2)
X M. H. F. Bettega, C. Winstead, V. McKoy, A. Jo, A. Gauf, J. Tanner, L. R. Hargreaves, M. A. Khakoo,
Phys. Rev. A 84, 042702 (2011)
Espalhamento por um Potencial: O Teorema Ótico
I O teorema ótico diz que
σtot =4π
kImfk(θ = 0)
I Para demonstrar este teorema vamos considerar o arranjo ilustrado abaixo
z
δθr2
δ Ω
ki
Integrando o termo de interferência entre θ = 0 e δθ temos∫ 1
cos δθ
d(cos θ)e[ikr(1−cos θ)] =eikr
−ikr
e−ikr − e(−ikr cos δθ)
=
i
kr+ temos oscilantes
e portanto∫δΩ
dΩr2jint · r =
∫ 2π
0
dφ
∫ 1
cos δθ
d(cos θ)r2jint · r = −4πN∗N~m
Imfk(θ = 0)
onde fk independe de φ na direção de incidência.
Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento
I Lembrando que
∇ · j = 0→∮dS · j =
∫dΩr2j · r = 0
que é a relação que expressa a conservação do número de partículas (como V éreal, não há fontes nem sumidouros). Fazendo j = jinc + jout + jint, integrando econsiderando |r| → ∞ e
∫dΩjint · r = 0 temos
N∗N~m
k
∫dΩ|fk(θ, φ)|2 − 4πImfk(θ = 0)
= 0
ou, colocando em outra forma
σtot =
∫dΩ|fk(θ, φ)|2 =
4π
kImfk(θ = 0)
que é a expressão desejada.
A equação de Lippmann-Schwinger
I Vamos discutir a equação− ~2
2m∇2
r + V (r)
Ψ
(+)ki
(r) = EΨ(+)ki
(r)
(onde fizermos ψ → Ψ) utilizando a notação de Dirac. Desta forma temos
H|Ψ(+)ki〉 = E|Ψ(+)
ki〉
onde
H = H0 + V ; H0 =p2
2m
A equação homogênea para o mesmo autovalor de energia E é
H0|Ski〉 = E|Ski〉
onde
〈r|Ski〉 =eiki.r
(2π)32
X espalhamento elástico (V é real): |ki| = |kf | = k
A equação de Lippmann-Schwinger
I Lembrando da condição assintótica da função de onda de espalhamento . . .
Ψ(+)ki
(r) −−−−→|r|→∞
1
(2π)32
eiki.r +
eikr
rf(kf ,ki)
, N =
1
(2π)32
I A equação de Lippmann-Schwinger (solução da equação não homogênea) é
|Ψ(±)ki,f〉 = |Ski,f 〉+G
(±)0 V |Ψ(±)
ki,f〉
Os sinais (+) e (-) correspondem aos índices ki e kf respectivamente. O operadorde Green da partícula livre é
G(±)0 =
~2
2m(E −H0 ± iε)−1
Multiplicando a equação de Lippmann-Schwinger por V , obtemos uma outra formapara esta equação dada por
A(±)|Ψ(±)ki,f〉 = V |Ski,f 〉 ; A
(±) = V − V G(±)0 V
A equação de Lippmann-Schwinger
I As soluções |Ψ(+)ki〉 e |Ψ(−)
kf〉 possuem interpretações físicas diferentes (ambas são
soluções aceitáveis do problema). |Ψ(+)ki〉 representa a solução para o problema no
qual uma partícula com momento ki incide em um alvo representado pelo potencialV . Ondas esféricas saindo do alvo fazem parte da condição de contorno, a qualestá embutida em G
(+)0 a partícula é espalhada com momentum kf .
I Projetando |Ψ(±)ki,f〉 na base de coordenadas, onde
∫dr|r〉〈r| = 11
temos
〈r|Ψ(±)ki,f〉 = 〈r|Ski,f 〉+
∫dr ′〈r|G(±)
0 |r′〉〈r ′|V |Ψ(±)
ki,f〉
Nesta base é, o operador de Green fica
G(±)0 (r, r ′) = 〈r|G(±)
0 |r′〉
podendo ser escrito como
G(±)0 (r, r ′) =
~2
2m〈r| 1
E −H0 ± iε|r ′〉
A equação de Lippmann-Schwinger
I Na base de ondas planas:∫dk|k〉〈k| = 11
A solução de H0 é
H0|k〉 =~2k2
2m|k〉
Com isto, a função G(±)0 (r, r ′) é dada por
G(±)0 (r, r ′) =
~2
2m〈r| 1
E −H0 ± iε
∫dk ′|k ′〉〈k ′|
|r ′〉 =
=~2
2m
∫dk ′
〈r|k ′〉〈k ′|r ′〉~2k22m− ~2k ′2
2m± iε
=
=~2
2m
∫dk ′
(2π)3
eik′.(r−r ′)
~2k22m− ~2k ′2
2m± iε
=
= − 1
8π3
∫dk ′
eik′.(r−r ′)
k ′2 − k2 ∓ iε ′
A equação de Lippmann-Schwinger
θ
z
r − r
’k
’
k − i
x
xx
x
−
−
η
Im k
Re k
’
’
k + i
η
η
η
k + i
k − i
I Considerando a geometria na figura (a) acima temos
G(±)0 (r, r ′) = − 1
8π3
∫ ∞0
dk′k ′2∫ 2π
0
dφ
∫ +1
−1
d(cos θ)eik
′|r−r ′| cos θ
k ′2 − k2 ∓ iε ′=
= − 1
8π2
∫ +∞
−∞dk′
k ′
k ′2 − k2 ∓ iε ′eik
′|r−r ′| − e−ik′|r−r ′|
O integrando tem polos para k ′ ' ±(k ± iη), como mostra a figura (b) acima.Temos assim
G(+)0 (r, r ′) → +k ±+iη;−k − iη
G(−)0 (r, r ′) → +k ±−iη;−k + iη
A equação de Lippmann-SchwingerI A solução (por resíduos) é
G(±)0 (|r− r ′|) = − 1
4π
e±k|r−r ′|
|r− r ′|I Para potenciais locais: 〈r|V |r ′〉 = V (r ′)δ(r− r ′). Assim, a equação de
Lippmann-Schwinger na base de coordenadas fica
〈r|Ψ(±)ki,f〉 =
eiki,f .r
(2π)32
− 2m
~2
∫dr ′
e±ik|r−r ′|
4π|r− r ′|V (r ′)〈r ′|Ψ(±)ki,f〉
r
−
’
r ’
o
r
k iz
kf
r
I Estamos interessados no comportamento de 〈r|Ψ(+)ki〉 no limite em que |r| → ∞ ou,
de maneira equivalente, |r| >> |r′|. Considerando o arranjo acima, podemosescrever
|r− r ′| = r − r · r ′
A equação de Lippmann-Schwinger
I Definindo kf como kf = kr e utilizando |r− r ′| = r − r · r ′ (no denominadorfazemos |r− r ′| = r), a função de Green fica
G(±)0 = − 1
4π
e±ikre∓ikf .r′
r
Considerando apenas a solução |Ψ(+)ki〉, temos
〈r|Ψ(+)ki〉 =
eiki.r
(2π)32
− 1
4π
2m
~2
(eikr
r
)∫dr ′e−ikf .r
′V (r ′)〈r′|Ψ(+)
ki〉
I Vamos agora comparar a solução acima com o comportamento assintótico
〈r|Ψ(+)ki〉 = Ψ
(+)ki
(r) −−−−→|r|→∞
1
(2π)32
eiki·r +
eikr
rf(kf ,ki)
A amplitude de espalhamento
I Obtemos assim uma expressão para a amplitude de espalhamento f(kf ,ki)envolvendo |Skf 〉, o potencial de interação V e a função de onda de espalhamento|Ψ(+)
ki〉
f(kf ,ki) = − 1
4π
2m
~2(2π)3〈Skf |V |Ψ
(+)ki〉
com
〈Skf |r〉 =e−ikf .r
(2π)32
I Uma expressão alternativa para f(kf ,ki), correspondente à solução |Ψ(−)kf〉
(utilizando 〈Skf |V = 〈Ψ(−)kf|A(+) e A(+)|Ψ(+)
ki〉 = V |Ski〉) é
f(kf ,ki) = − 1
4π
2m
~2(2π)3〈Ψ(−)
kf|V |Ski〉
Da equação de Lippmann-Schwinger (escrita na forma V |Ski〉 = A(+)|Ψ(+)ki〉)
obtemos outra forma para f(kf ,ki)
f(kf ,ki) = − 1
4π
2m
~2(2π)3〈Ψ(−)
kf|A(+)|Ψ(+)
ki〉
Princípio Variacional de Schwinger
I Podemos combinar as 3 expressões para f(kf ,ki) obtidas anteriormente de formaa construir um funcional, que será o ponto de partida para desenvolvermos ummétodo variacional para a amplitude de espalhamento (o qual será discutido naaula 3/3). A forma deste funcional é
[f(kf ,ki)] = − 1
4π
2m
~2(2π)3
〈Skf |V |Ψ
(+)ki〉+ 〈Ψ(−)
kf|V |Ski〉 − 〈Ψ
(−)kf|A(+)|Ψ(+)
ki〉
onde
A(+) = V − V G(+)0 V
X J. Schwinger, Phys. Rev. 72, 742 (1947)
I Estados ligados:X Hartree-Fock: E[χ∗, χ]X DFT: E[ρ(r)]
Aproximação de Born
I O cálculo da amplitude de espalhamento f(kf ,ki) depende do conhecimento dafunção de onda de espalhamento (solução da equação de Lippmann-Schwinger).No caso de espalhamento “fraco", podemos aproximar Ψ
(+)ki
(r) por uma onda plana(neste caso Ski(r)). Dentro desta aproximação, a amplitude fica
f (B)(kf ,ki) = − 1
4π
2m
~2(2π)3〈Skf |V |Ski〉
que é conhecida como “Primeira Aproximação de Born". Na base de coordenadasf (B)(kf ,ki) fica
f (B)(kf ,ki) = − 1
4π
2m
~2
∫dr ′ ei(ki−kf )·r ′
V (r ′)
A expressão acima representa a transformada de Fourier do potencial (calculadadentro do alcance de V ).
Ilustração - Colisões e− – OCS
Estrutura do sulfeto de carbonila.
Ilustração - Colisões e− – OCS
X M. H. F. Bettega, M. A. P. Lima e L. G. Ferreira, Aust. J. Phys. 53, 399 (2000)
Potencial Complexo
I Potencial Complexo? V (r) = VR(r) + iVI(r)
X Utilizado como ferramenta para descrever processos de espalhamento incluindoefeitos de absorção, o que permite considerar outros canais além do canal elástico(há perda de fluxo do canal elástico para outros canais). Não leva em conta o tipode processos inelásticos ou de ionização específicos associados à absorção.X É empregado, por exemplo, no estudo de espalhamento de elétrons pormoléculas.
I A equação da continuidade com V (r) = VR(r) + iVI(r) fica
∂ρ
∂t+ ∇ · j =
2
~ρVI
e no caso estacionário
∇ · j =2
~ρVI
A seção de choque fica
σtot(k) = σel(k) + σreac(k)
onde σel(k) representa a seção de choque elástica e σreac(k) a seção de choquede reação, a qual inclui todos os processos “não elásticos".
Ilustração - Colisões e− – Si(CH3)4 (tetramethylsilane - TMS)
Estrutura do TMS.
Ilustração - Colisões e− – Si(CH3)4 (tetramethylsilane - TMS)
X R. T. Sugohara, M.-T. Lee, G. L. C. de Souza, M. G. P. Homem, e I. Iga, Phys. Rev. A. 84, 062709 (2011)
Referências
X H. J. Lipkin, Quantum Mechanics - New Approaches to Selected Topics, Dover (2007).X C. J. Joachain, Quantum Collision Theory, North-Holland, Terceira Edição (1983).
X L. S. Rodberg e R. M. Thaler, Introduction to the Quantum Theory of Scattering,Academic Press (1970).
X P. G. Burke e C. J. Joachain, Theory of Electron-Atom Collisions - Part 1 PotentialScattering, Plenum Press (1995).
X S. Geltman, Topics in Atomic Collision Theory, Krieger Publishing Company;Corrected edition (May 1, 1997).
X J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley, Revised Edition (1994).
X E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Wiley, Third Edition (1997).
X Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics ,Volume II,John Wiley & Sons (1977).
X Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics, Prentice Hall (1990).
X R. C. Greenhow, Am. J. Phys. 61, 23 (1993).
Agradecimentos
e ao Prof. Carlos de Carvalho pelo suporte computacional no DFis-UFPR e noLCPAD-UFPR.
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