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Insegnare le proporzioni e/o

il pensiero proporzionale

Andrea Maffia

Pistoia, 13-06-2017

Una riflessione su cosa insegnare

Che valore ha quello che insegniamo?

- Epistemologico

- Applicativo

- Culturale

Una riflessione su cosa insegnare

Come facciamo ad arrivare a scegliere quel che insegniamo (e quello che non)?

Trasposizione didattica

- Sapere sapiente

- Sapere da insegnare

- Sapere insegnato

- Sapere appreso

Quale numero inseriresti nel quadratino per rendere vera la seguente uguaglianza?

8+4 = +5

Risposta/Frequenza

Classi 7 12 17 12 e 17

Prime e

seconde 5 58 13 8

Terze e

quarte 9 49 25 10

Quinte e

1^ media 2 76 21 2

Tratto da Falkner, K., Levi, L., & Carpenter, T. (1999). Children's understanding of equality: A foundation for algebra. Teaching children mathematics 6(4), 232.

Skemp, R. R. (1987). The psychology of learning mathematics. Psychology Press.

Richard Skemp (psicologo – USA)

Comprensione relazionale

Comprensione strumentale

Abilità di utilizzare procedure di cui non si conosce il significato

Consapevolezza sia del come, sia del perché

Skemp, R. R. (1987). The psychology of learning mathematics. Psychology Press.

Richard Skemp (psicologo – USA)

Comprensione relazionale

Comprensione strumentale

5 + 6 = 11 + 4 = 15

5 + 6 = 11 = 15 - 4

Esempio: Mirko – III primaria

5×6 = 5×2 + 5×4

5×6 = 5×3 + 5×4

Lorenzo Zeno

5×4+5×3=5×2+5×5

EQUAZIONE

y = mx + q

x + 2 = 3x - 4

V = A · h

5a +3b = 18

ab + ac= a (b + c)

Kieran, C. (1992). The learning and teaching of algebra. Handbook of research on mathematics teaching and learning, 390-419.

Lettere come… Incognite x + 2 = x + 1, quanto vale x? Variabili y = 5x oppure A = b × h Parametri y = mx

Terza primaria Quinta primaria Terza secondaria 1°g

– Leggere e rappresentare relazioni e dati con diagrammi, schemi e tabelle.

–Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni. – Rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimono la struttura. – Riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o di figure.

– Interpretare, costruire e trasformare formule che contengono lettere per esprimere in forma generale relazioni e proprietà. – Esprimere la relazione di proporzionalità con un’uguaglianza di frazioni e viceversa. – Usare il piano cartesiano per rappresentare relazioni e funzioni empiriche o ricavate da tabelle, e per conoscere in particolare le funzioni del tipo y=ax, y=a/x, y=ax2, y=2n e i loro grafici e collegare le prime due al concetto di proporzionalità. – Esplorare e risolvere problemi utilizzando equazioni di primo grado.

Clara ha costruito dei braccialetti seguendo delle regole ben precise

Qual è la regola di Clara?

Qual è il numero minimo di perline che servono per costruire un braccialetto come quelli di Clara?

Clara può aver costruito un braccialetto che contenga 30 perline gialle? Se sì, quante saranno le perline celesti?

Clara può aver costruito un braccialetto che contenga 25 perline in tutto? Spiega perché

In quale classe?

Al lavoro!

Sto viaggiando a 100 km/h, quanto tempo mi servirà per percorrere 75 km?

Per fare una torta per 4 persone servono 5 uova. Quante uova servono per fare una torta per 10 persone?

Giulio e Cristina hanno svolto un lavoro insieme. Cristina ha svolto il quadruplo delle ore di Giulio. Guadagnano 200 euro, come dovranno dividerseli?

Un ingranaggio è costituito da due ruote dentate che hanno rispettivamente 15 e 20 denti. Se la seconda ruota fa 3 giri, quanti ne fa la prima?

Sto viaggiando a 100 km/h, quanto tempo mi servirà per percorrere 75 km?

100 : 75 = 1 : …

100 = 1 75 …

Esprimere la relazione di proporzionalità con un’uguaglianza di frazioni e viceversa.

Un ingranaggio è costituito da due ruote dentate che hanno rispettivamente 15 e 20 denti. Se la seconda ruota fa 3 giri, quanti ne fa la prima?

15 : 20 = 3 : …

oppure…

Per fare una torta per 4 persone servono 5 uova. Quante uova servono per fare una torta per 10 persone?

Per 1 persona servono 5/4 di uovo Per 9 persone servono 5/4 di uovo moltiplicato per 9

Giulio e Cristina hanno svolto un lavoro insieme. Cristina ha svolto il quadruplo delle ore di Giulio. Guadagnano 200 euro, come dovranno dividerseli?

Se seguo il libro di testo: “regola del comporre”

1:4 = x:y (1+4):4 = (x+y):y

5:4 = 200:y

Giulio e Cristina hanno svolto un lavoro insieme. Cristina ha svolto il quadruplo delle ore di Giulio. Guadagnano 200 euro, come dovranno dividerseli?

Ma che senso ha la “regola del comporre”? Primo principio di equivalenza:

a b

c d

= a b

c d

= +1 +1 a+b b

c+d d

=

Giulio e Cristina hanno svolto un lavoro insieme. Cristina ha svolto il quadruplo delle ore di Giulio. Guadagnano 200 euro, come dovranno dividerseli?

Giulio

Cristina Cristina

Per ogni ora di lavoro di Giulio, Cristina ne ha fatte 4. Quindi su 5 ore, Giulio ne ha fatta una e quindi ha diritto a un quinto del compenso.

Cristina Cristina

Per fare una torta per 4 persone servono 6 uova. Quante uova servono per fare una torta per 10 persone?

Quanti e quali modi utilizzerebbero gli studenti per risolvere questo problema se non gli venissero insegnate le proporzioni?

Per fare una torta per 4 persone servono 6 uova. Quante uova servono per fare una torta per 10 persone?

Alex: 4:6= 1,5 sono le uova che servono per una persona, quindi per 10 persone servono 15 uova

Per fare una torta per 4 persone servono 6 uova. Quante uova servono per fare una torta per 10 persone?

Sebastian: Se per 4 persone servono 6 uova, per 8 persone ne servono 12 mentre per 2 persone ne servono 3 quindi in tutto per 10 persone sono 15

Per fare una torta per 4 persone servono 6 uova. Quante uova servono per fare una torta per 10 persone?

Romina: 10:4= 2,5 quindi bisogna moltiplicare le uova per questo numero e quindi da 6 uova si passa a 15

Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. In L. Landau, Acquisition of mathematics concepts and processes (pp. 127-174). Academic Press.

Gerard Vergnaud (Francia)

Strutture moltiplicative

Per fare una torta per 4 persone servono 6 uova. Quante uova servono per fare una torta per 10 persone?

6-4=2 quindi per ogni persona servono 2 uova

Questo NON è pensiero proporzionale

- Costituisce un elemento di discontinuità forte nel curricolo

- Costituisce un vero e proprio ostacolo didattico alla costruzione del pensiero proporzionale

- Non è necessaria per la matematica del 21esimo secolo

La teoria delle proporzioni generalmente proposta:

Ma allora… perché?

Forse un perché c’è…

L’insegnamento di routine dà la sensazione di dare qualcosa che sia “fattibile” per tutti Così insegniamo a… Risolvere le equazioni in modo meccanico Imparare a memoria i prodotti notevoli Pensare alle somme algebriche come nuove operazioni (mele e pere?) Risolvere problemi di proporzionalità usando “proporzioni”

Ma quindi cosa facciamo?

Rivediamo l’insegnamento dell’aritmetica anche come occasione per avvicinarsi al pensiero algebrico (strutture sintattiche e funzioni) Proponiamo situazioni problematiche realistiche progettando soluzioni e interpretando il “significato” delle quantità in gioco Come si muove un insegnante?

Come si fa? Alcune idee…

Primo punto di riferimento: le Indicazioni Nazionali e la ricerca preesistente Pensare “in verticale” anche per i contenuti matematici Uguale relazionale vs uguale procedurale Pre-Algebra Valutare con cura documentando: in itinere e alla fine In ogni singola fase tenere sempre sott’occhio gli obiettivi prefissati

Progetto ArAl

Libri Sito internet

Blog Facebook

Per concludere

C’è ancora molto da fare per la diffusione della cultura matematica nel nostro Paese e la scuola non può non essere il primo agente di questo processo Come insegnanti possiamo partire da -Individuare “buoni problemi” Abbiamo visto alcune possibili risorse (Invalsi, ricerca, RMT) ma ce ne sono molte (Indire, M@t.abel, PQM, …) -Supportare i nostri allievi nell’affrontarli

- Valutare il processo di apprendimento e interrogarci su di esso

Andrea Maffia

andrea.maffia@unimore.it

Grazie per l’attenzione

Pistoia – 13/06/2017