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INE0003
FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA DISCRETA
PARA A COMPUTAÇÃO
PROF. DANIEL S. FREITAS
UFSC - CTC - INE
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.1/3
6 - RELAÇÕES DE ORDENAMENTO
6.1) Conjuntos parcialmente ordenados (posets)
6.2) Extremos de posets
6.3) Reticulados
6.4) Álgebras Booleanas Finitas
6.5) Funções Booleanas
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.2/3
ORDENAMENTOS PARCIAIS
Algumas relações são usadas para ordenar elementos de conjuntos(alguns ou todos):
ordenamos palavras usando xRy, onde x vem antes de y nodicionário
fazemos a programação de um projeto com xRy, onde x e y sãotarefas tais que x deve ser concluída antes de y começar
Quando adicionamos todos os pares (x, x), obtemos uma relaçãoque é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.3/3
ORDENAMENTOS PARCIAIS
Ordenamento Parcial: relação R sobre um conjunto A que éreflexiva, antissimétrica e transitiva.
Reflexividade: (a, a) ∈ R, ∀a ∈ A
Antissimetria: (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R → a = b
para a 6= b : ou (a, b) /∈ R ou (b, a) /∈ R
Transitividade: (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R → (a, c) ∈ R
Um conjunto A, junto com seu Ordenamento Parcial R é chamadode conjunto parcialmente ordenado (poset).
Denotado por (A, R).
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.4/3
ORDENAMENTOS PARCIAIS
Exemplo1: A relação ≤ é um ordenamento parcial sobre oconjunto dos inteiros (assim como ≥).
≤ = { (n1, n2) ∈ Z × Z | n1 “é menor ou igual a” n2 }
a ≤ a para todo inteiro a ⇒ ≤ é reflexiva
se a ≤ b e b ≤ a, então a = b ⇒ ≤ é antissimétrica
se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c ⇒ ≤ é transitiva
conclui-se que ≤ é um ordenamento parcial sobre o conjuntodos inteiros e (Z,≤) é um poset �
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.5/3
POSETS - EXEMPLOS
Exemplo2: A relação de divisibilidade (a R b se e somente se a | b)é um ordenamento parcial sobre Z+.
Ela é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Conclui-se que (Z+, |) é um poset. �
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.6/3
POSETS - EXEMPLOS
Exemplo3: A relação de inclusão, ( ⊆ ) é um ordenamento parcialsobre o conjunto P (S) (= “todos os subconjuntos de S”).
⊆ = {(S1, S2) ∈ P (S) × P (S) | S1 ⊆ S2}
Seja S1 ∈ P (S):
como S1 ⊆ S1, ⊆ é reflexiva
⊆ é antissimétrica, pois:S1 ⊆ S2 e S2 ⊆ S1 → S1 = S2
⊆ é transitiva, pois:S1 ⊆ S2 e S2 ⊆ S3 → S1 ⊆ S3
Portanto, (P (S),⊆) é um poset. �
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.7/3
POSETS - EXEMPLOS
Exemplo4: Seja W o conjunto de todas as relações de equivalênciasobre um conjunto A.
W consiste de subconjuntos de A × A
Então W é um poset (sob o ordenamento parcial de inclusão)
Se R e S são relações de equivalência sobre A, o mesmo podeser expresso como:
R ⊆ S se e somente se x R y ⇒ x S y para todo x, y em A
Então (W,⊆) é um poset. �
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.8/3
POSETS - EXEMPLOS
Exemplo5: A relação < sobre Z+ não é um ordenamento parcial,pois não é reflexiva. �
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.9/3
INVERSAS E DUAIS
Exemplo6: A relação inversa R−1 de um ordenamento parcial R
sobre um conjunto A também é um ordenamento parcial.
Se R é reflexiva, simétrica e transitiva, então:∆ ⊆ R
R ∩ R−1 ⊆ ∆
R2 ⊆ R
R−1 também é um poset, pois, tomando inversas, vêm:∆−1 = ∆ ⊆ R−1
R−1 ∩ (R−1)−1 = R−1 ∩ R ⊆ ∆
(R−1)2 ⊆ R−1�
Nota: (A, R−1) é o poset dual de (A, R).
O ordenamento parcial R−1 é o dual de R.
Exemplo de posets duais: (Z,≤) e (Z,≥)
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.10/3
CONVENÇÃO
O símbolo “≤” vai denotar qualquer relação de ordem parcial.
Não apenas as do tipo “menor ou igual”.
Propriedades ficam mais familiares.
Mas, em geral, os posets não terão nada em comum entre si, oucom a relação “≤” usual.
Quando necessário, usaremos algo como “≤1” ou “≤′”
Sempre usaremos o símbolo ≥ para o ordenamento parcial ≤−1
A notação a < b significa “ a ≤ b, mas a 6= b ”.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.11/3
COMPARABILIDADE
Quando a e b são elementos do poset (A,≤), não é necessário queocorra sempre a ≤ b ou b ≤ a.
Exemplo: em (Z, |), 2 não está relacionado com 3 e nem 3 com 2.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.12/3
COMPARABILIDADE
Os elementos a e b de um poset (A,≤) são comparáveis se oua ≤ b ou b ≤ a.
Se nem a ≤ b nem b ≤ a, a e b são ditos incomparáveis.
Exemplo: No poset (Z+, |), 3 e 9 são comparáveis? E 5 e 7?
Os inteiros 3 e 9 são comparáveis, pois 3 | 9.
Já os inteiros 5 e 7 são incomparáveis, pois 5 |/7 e 7 |/5 .
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.13/3
ORDENAMENTOS PARCIAIS
O adjetivo “parcial” é usado porque pode haver pares de elementosincomparáveis.
Se todos os elementos em um poset (A,≤) são comparáveis, oconjunto A é dito totalmente ordenado.
E o ordenamento parcial é chamado de ordenamento linear.
Neste caso, diz-se também que A é uma cadeia.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.14/3
ORDENAMENTOS TOTAIS
Exemplo1: O poset (Z,≤) é totalmente ordenado, pois a ≤ b oub ≤ a sempre que a e b são inteiros.
Exemplo2: O poset (Z+, |) não é totalmente ordenado, pois elecontém elementos incomparáveis (por ex., 5 e 7).
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.15/3
TEOREMA (1/3)
Teorema: Se (A,≤1) e (B,≤2) são posets, então (A × B,≤3)
também é um poset, com ordenamento parcial definido por:
(a, b) ≤3 (a′, b′) se a ≤1 a′ em A e b ≤2 b′ em B
Prova: mostrar que ≤3 é reflexiva, antissimétrica e transitiva (1/3):
Reflexividade: se (a, b) ∈ A × B, então (a, b) ≤3 (a, b), poisa ≤1 a em A e b ≤2 b em B
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.16/3
TEOREMA (2/3)
≤3 é reflexiva, antissimétrica e transitiva (2/3):
Antissimetria: suponha que (a, b) ≤3 (a′, b′) e que(a′, b′) ≤3 (a, b), com a, a′ ∈ A e b, b′ ∈ B.Então:
em A: a ≤1 a′ e a′ ≤1 a ⇒ a = a′
em B: b ≤2 b′ e b′ ≤2 b ⇒ b = b′
ou seja, (a, b) ∈≤3 e (b, a) ∈≤3 ⇒ a = b
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.17/3
TEOREMA (3/3)
≤3 é reflexiva, antissimétrica e transitiva (2/3):
Transitividade: suponha (a, b) ≤3 (a′, b′) e (a′, b′) ≤3 (a′′, b′′).
Pela propriedade transitiva da ordem parcial em A:
a ≤1 a′ e a′ ≤1 a′′ ⇒ a ≤1 a′′
Pela propriedade transitiva em B:
b ≤2 b′ e b′ ≤2 b′′ ⇒ b ≤2 b′′
logo:
(a, b) ≤3 (a′, b′) e (a′, b′) ≤3 (a′′, b′′) ⇒ (a, b) ≤3 (a′′, b′′)
Conclusão: (A × B,≤3) é um poset. �
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.18/3
ORDENAMENTOS LEXICOGRÁFICOS
Uma ordem parcial ≤ definida sobre o produto cartesiano comoacima é chamada de ordem parcial produto.
Sejam os posets (A,≤1) e (B,≤2). Define-se a ordemlexicográfica (ou “dicionário”) sobre A × B, denotada por ≺ , como:
(a, b) ≺ (a′, b′) se: a <1 a′ em Aou se: a = a′ em A e b ≤2 b′ em B
“O ordenamento dos elementos na primeira variável domina,exceto no caso de coincidir, quando a atenção passa para a 2a.variável”.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.19/3
ORDENAMENTOS LEXICOGRÁFICOS
A ordem lexicográfica pode ser estendida para os produtoscartesianos A1 × A2 × ... × An como:
(a1, a2, ..., an) < (a′
1, a′
2, ..., a′
n) se e somente se:
a1 < a′
1 ou
a1 = a′
1 e a2 < a′
2 ou
a1 = a′
1 , a2 = a′
2 e a3 < a′
3 ou ...
...
a1 = a′
1 , a2 = a′
2 , . . . , an−1 < a′
n−1 e an ≤ a′
n
“A 1ra coordenada domina, exceto para igualdade, caso em quese considera a 2a coordenada - e assim por diante”.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.20/3
ORDENAMENTOS LEXICOGRÁFICOS
Exemplo: Seja S = {a, b, c, ..., z} o alfabeto comum, ordenado daforma usual.
Então Sn pode ser identificado como o conjunto de todas as palavrasde comprimento n.
Uma ordem lexicográfica sobre Sn tem a propriedade de que, sew1 ≺ w2, então w1 precederia w2 em uma listagem de dicionário.
Portanto:
livre ≺ livro
firma ≺ forma
carro ≺ carta.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.21/3
DIAGRAMAS DE HASSE DE POSETS
Posets são relações e pode-se sempre desenhar seus dígrafos.
No entanto, muitas arestas não precisam ser mostradas, já quedevem necessariamente estar presentes (dígrafo sempre reflexivo etransitivo).
Pode-se retirar as arestas que sempre devem estar presentes.
As estruturas obtidas desta forma são chamadas de Diagramas deHasse dos posets.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.22/3
DIAGRAMAS DE HASSE DE POSETS
Exemplo1: Considere o dígrafo da ordem parcial, sobre o conjuntoA = {1, 2, 3, 4}, dado por ≤= {(a, b) ∈ A × A | a ≤ b} :
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.23/3
DIAGRAMAS DE HASSE DE POSETS
Esta relação é uma ordem parcial ⇒ ≤ é automaticamentereflexiva ⇒ possui vértices em todos os loops ⇒ os loopspodem ser omitidos:
=⇒
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.24/3
DIAGRAMAS DE HASSE DE POSETS
Esta relação é uma ordem parcial ⇒ ≤ é automaticamentetransitiva ⇒ as arestas presentes por causa da transitividade nãoprecisam ser mostradas:
=⇒
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.25/3
DIAGRAMAS DE HASSE DE POSETS
Ainda, assumindo-se que se desenhe todas as arestas apontadaspara cima, pode-se omitir a sua orientação.
Finalmente, substitui-se os círculos por pontos:
=⇒ =⇒
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.26/3
DIAGRAMAS DE HASSE DE POSETS
Exemplo2: Seja A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}. A ordem parcial é a dedivisibilidade sobre A (ou seja, a ≤ b ⇔ a | b).
Desenhe o diagrama de Hasse do poset (A,≤).
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.27/3
POSETS - DEFINIÇÕES
Se (A,≤) é um poset e a, b ∈ A, então:
1. Se a ≤ b, diz-se que “a precede b”
2. Se a < b, diz-se que “a precede b estritamente”
3. Se a ≥ b, diz-se que “a sucede b”
4. Se a > b, diz-se que “a sucede b estritamente”
Seja (A,≤) um poset e a, b ∈ A. Diz-se que a é um predecessorimediato de b e b é um sucessor imediato de a se a < b masnão existe nenhum elemento c ∈ A tal que a < c < b
escreve-se: a ∠ b
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.28/3
POSETS - DEFINIÇÕES
Diz-se a < b se a ≤ b com a 6= b.
Se ≤ é uma ordem parcial, então “≥” denota a relação ≤−1
a ordem parcial inversa de ≤
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.29/3
DIAGRAMAS DE HASSE DE POSETS
Outra maneira de construir o Diagrama de Hasse de um poset:
O Diagrama de Hasse de um poset (A,≤) é o dígrafo no qual osvértices são elementos de A.
Existe aresta de um vértice a para um vértice b sempre que a∠b.
Então:
Ao invés de desenhar uma seta de a para b, coloca-se b maisalto do que a e desenha-se uma linha entre eles.
Fica subentendido que o movimento para cima indica sucessão.
No diagrama de Hasse existe um caminho orientado de umvértice x para um vértice y se e somente se x∠y.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.30/3
DIAGRAMAS DE HASSE DE POSETS
Exemplo1: Seja S = {a, b, c} e seja A = 2S (o conjunto de todasas partes de S). Desenhe o diagrama de Hasse do poset (A,⊆).
A = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.31/3
DIAGRAMAS DE HASSE DE POSETS
Procedimento:
Eliminar loops
Eliminar arestas ligadas à transitividade:
(∅, {a, b})
(∅, {a, c})
(∅, {b, c})
(∅, {a, b, c})
({a}, {a, b, c})
({b}, {a, b, c})
({c}, {a, b, c})
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.32/3
DIAGRAMAS DE HASSE DE POSETS
Exemplo2: Seja A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}. A ordem parcial é adivisibilidade sobre A (ou seja, a ≤ b ⇔ a | b).
Desenhe o diagrama de Hasse do poset (A,≤).
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.33/3
EXERCÍCIOS (1/3)
Exerc1: Determine o diagrama de Hasse do ordenamento parcialque tem o seguinte dígrafo:
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.34/3
EXERCÍCIOS (2/3)
Exerc2: Descreva os pares ordenados na relação determinada pelodiagrama de Hasse sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, dado abaixo:
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.35/3
EXERCÍCIOS (3/3)
Exerc3: Determine o diagrama de Hasse da relação sobre oconjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} cuja matriz é dada por:
MR =
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.36/3
OBSERVAÇÕES (1/2)
O diagrama de Hasse de um conjunto linearmente ordenado temsempre a forma de uma linha:
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.37/3
OBSERVAÇÕES (2/2)
O diagrama de Hasse de (A,≥) é o diagrama de Hasse do seu dual(A,≤) de cabeça para baixo:
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.38/3
ORDENAMENTO TOPOLÓGICO
Dado um poset (A,≤), às vezes é preciso encontrar uma ordemlinear ≺ para o conjunto A que seja simplesmente uma extensão daordem parcial dada:
se a ≤ b, então (na nova ordem) a ≺ b
O processo de construir uma ordem linear do tipo ≺ é chamado deordenamento topológico.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.39/3
ORDENAMENTO TOPOLÓGICO
Exemplo: suponha que um projeto seja composto de 20 tarefasdiferentes:
Algumas tarefas só podem ser completadas depois que outrastenham sido acabadas.
Como encontrar uma ordem para estas tarefas?
Para modelar este problema, monta-se uma ordem parcial sobre oconjunto de tarefas, de modo que:
“a < b” ⇔ “b é uma tarefa que não pode ser iniciada até que aesteja completa”
Para produzir uma programação para este projeto, é preciso umaordem para todas as 20 tarefas que seja compatível com estaordem parcial.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.40/3
ORDENAMENTO TOPOLÓGICO
Uma ordem linear total ≺ é dita ser compatível com uma ordemparcial ≤ se:
a ≺ b sempre que a ≤ b.
O problema de obter ordens lineares a partir de uma ordem parcial échamado de ordenamento topológico.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.41/3
ORDENAMENTO TOPOLÓGICO
Exemplo: Algumas ordens lineares compatíveis com um poset dado:
=⇒ =⇒
Questão: Como encontrar ordenamentos topológicos??
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.42/3
ISOMORFISMO EM POSETS
LEMBRETE: Uma função f : A → B é chamada de uma bijeção(correspondência um-para-um) entre A e B se:
f é uma função injetora: f(a) = f(b) ⇒ a = b
f é sobrejetora: Ran(f) = B
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.43/3
ISOMORFISMO EM POSETS
Sejam (A,≤) e (A′,≤′) posets e seja f : A → A′ uma bijeção:
esta função f é chamada de um isomorfismo de (A,≤) para(A′,≤′) se, para quaisquer elementos a, b ∈ A:
a ≤ b ⇒ f(a) ≤′ f(b).
Exemplo: Sejam:
A = Z+ (inteiros positivos) e seja ≤ a ordem usual sobre A.
A′ = inteiros pares e seja ≤′ a ordem usual sobre A′.
Mostre que a função f : A → A′ dada por f(a) = 2.a é umisomorfismo de (A,≤) para (A′,≤′).
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.44/3
ISOMORFISMO EM POSETS
Exemplo (cont.) ( f : A → A′ é isomorfismo):
1. a função f é uma bijeção, ou seja, f é injetora e sobrejetora:
f é injetora pois se f(a) = f(b), então pela definição de f
tem-se que 2a = 2b e segue daí que a = b
se c ∈ A′, então c é par e sempre pode ser escrito comoc = 2a para algum a ∈ A ⇒ c = f(a) ⇒ f é sobrejetora
logo, f é uma bijeção.
2. f preserva o ordenamento ≤′ :
se a, b ∈ A, é claro que a ≤ b ⇔ 2a ≤ 2b, isto é:
a ≤ b ⇔ f(a) ≤′ f(b) �
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.45/3
PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA
Seja f : A → A′ um isomorfismo entre os posets (A,≤) e (A′,≤′).
B ⊆ A e B′ = f(B) é o correspondente subconjunto de A′.
Então, a partir da definição de isomorfismo, vale o resultado geral:
Teorema (Princípio da Correspondência):
Se os elementos do conjunto B têm uma propriedade qualquer,relacionando-os uns aos outros ou a outros elementos de A;
e se esta propriedade pode ser definida inteiramente em termosda ordem parcial ≤;
Então: os elementos de B′ devem possuir exatamente a mesmapropriedade, definida em termos de ≤′.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.46/3
PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA
Exemplo: Seja (A,≤) um poset com o diagrama de Hasse:
suponha que exista um isomorfismo f de (A,≤) para algumoutro poset (A′,≤′)
observe que: d ≤ x, ∀x ∈ A
então o elemento correspondente f(d) ∈ A′ deverá satisfazer:
f(d) ≤′ y, ∀y ∈ A′
outro exemplo: note que a e b não são comparáveis em A
então f(a) e f(b) não serão comparáveis em A′. �
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.47/3
PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA
Para um poset finito, um dos objetos que é inteiramente definido emtermos do ordenamento parcial é o seu diagrama de Hasse.
Segue, então, do princípio da correspondência, que 2 posetsisomórficos têm os mesmos diagramas de Hasse.
Teorema: Sejam (A,≤) e (A′,≤′) dois posets finitos, sejaf : A → A′ uma bijeção e seja H um diagrama de Hasse de (A,≤).
Então:
se f é um isomorfismo e cada designação a de H for trocadapor f(a), então H torna-se um diagrama de Hasse de (A′,≤′).
Reciprocamente:
se H se torna um diagrama de Hasse de (A′,≤′) sempre quea é substituído por f(a) em H, então f é um isomorfismo.
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.48/3
ISOMORFISMO EM POSETS
Se f : A → B é uma bijeção do poset (A,≤) para o conjunto B,podemos usar a função f para definir uma ordem parcial ≤′ sobre B:
se b1 e b2 estão em B, então existe a1 ∈ A tal que b1 = f(a1)
e a2 ∈ A tal que b2 = f(a2)
defina b1 ≤′ b2 em B como significando que a1 ≤′ a2 em A
Se A e B são finitos, pode-se descrever este processogeometricamente como:
construa o diagrama de Hasse para (A,≤)
substitua cada elemento a pelo correspondente f(a) em B
o resultado é o diagrama de Hasse da ordem parcial ≤′ sobre B
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.49/3
ISOMORFISMO EM POSETS
Exemplo: Seja A = {1, 2, 3, 6} e seja ≤ a relação de divisibilidade“ | ” cujo diagrama de Hasse é dado por:
Por outro lado, sejam:A′ = P ({a, b}) = {∅, {a}, {b}.{a, b}}
≤′ a relação de inclusão de conjuntos ⊆
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.50/3
ISOMORFISMO EM POSETS
Exemplo (cont.):
Se f : A → A′ é definida por:f(1) = ∅ , f(2) = {a} , f(3) = {b} , f(6) = {a, b}
é fácil ver que f é uma bijeção.
Substituindo cada a por f(a) no diagrama de Hasse, obtemos:
que é o diagrama de Hasse de (A′,≤′)
portanto, f é um isomorfismo entre (A,≤) e (A′,≤′) �
Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 – p.51/3
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