i.e. esther cÁceres salgado i.e. esther cÁceres salgado cuarto grado de secundaria
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I.E. “ESTHER CÁCERES SALGADOI.E. “ESTHER CÁCERES SALGADO””
CUARTO GRADO DE SECUNDARIA
ACTIVIDADEVALUACIÓN
¿Cómo inciden el estudio de las ¿Cómo inciden el estudio de las funciones en nuestras vidasfunciones en nuestras vidas??
• A mayor consumo de A mayor consumo de los de los Kilowat-los de los Kilowat-hora , mayor será el hora , mayor será el costo mensual de la costo mensual de la energía eléctricaenergía eléctrica
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5
10
15
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25
30
35
40
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50
55
60
65
70
75
x
y
Costo(S/.)
Energía(Kw-h)
1. Nos hace reflexionar y tomar conciencia1. Nos hace reflexionar y tomar conciencia
Debemos escuchar, ver , hablar o utilizar menos
2. Nos permite modelar y comprender 2. Nos permite modelar y comprender distintos hechos o fenómenosdistintos hechos o fenómenos
Caída de los cuerpos.Caída de los cuerpos. Movimiento (MRU, Movimiento (MRU,
MRUA).MRUA). Gravitación universal.Gravitación universal. El comportamiento en El comportamiento en
el mercado (La Oferta el mercado (La Oferta y la demanda.y la demanda.
El interés compuestoEl interés compuesto El crecimiento de la El crecimiento de la
poblaciónpoblación
¿Por qué es importante el estudio de ¿Por qué es importante el estudio de las funciones las funciones ??
• Nos permite modelar y comprender Nos permite modelar y comprender distintos hechos o fenómenosdistintos hechos o fenómenos
• Nos hace reflexionar y tomar Nos hace reflexionar y tomar conciencia de los hechos.conciencia de los hechos.
En nuestra vida real ocurren variadas situaciones donde una magnitud depende de la otra( funciones) y su estudio es importante porque:
¿En qué situaciones prácticas de ¿En qué situaciones prácticas de nuestra vida están presente las nuestra vida están presente las
funciones?funciones?
La tarifa mensual del agua potable y de la La tarifa mensual del agua potable y de la energía eléctrica están en función del consumo.energía eléctrica están en función del consumo.
El número de objetos que podemos comprar El número de objetos que podemos comprar dependen del dinero que dispongamosdependen del dinero que dispongamos
El salario de un vendedor está en dependencia El salario de un vendedor está en dependencia del número de ventas que realice del número de ventas que realice
La masa de un objeto varía según la gravedadLa masa de un objeto varía según la gravedad Si la velocidad de un móvil es constante, la Si la velocidad de un móvil es constante, la
distancia recorrida por él depende del tiempo distancia recorrida por él depende del tiempo empleadoempleado
..otras ..otras
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
10
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30
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50
60
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90
100
110
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130
140
x
y
Salario(S/.)
Clientes
SALARIO SEMANAL
El salario que percibe un mozo es es S, soles , este salario es el resultado de una asignación fija de S/.60 más 50 céntimos por cada uno de los n clientes que atiende
El salario esta en función del númerumero de clientes que atiende el mozo S= 60+ 0.50n
SUPERFICIE DE UN CUADRADO
La superficie S de un cuadrado está en función de su lado (l) al cuadrado
S =l2
l
f(x)=x*x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
4
6
8
10
12
14
16
18
x
y
Superficie(m2 )
longitud (m)
MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADOMOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO
El espacio (s) recorrido est-a en función del tiempo (t) empleadoEjemplo:Un móvil que parte con una velocidad inicial de 4 m/s y decelera uniformemente a razón de 2m/s2.
S= 4t - t2
INTERES BANCARIO
Los intereses I que produce un capital inicial de 1000 000 de soles depositado en un banco al 6% durante t años viene dado por :
I= 60 000t
Objetivos de aprendizajes previstos:Objetivos de aprendizajes previstos:
Que el alumno tenga bien claro el Que el alumno tenga bien claro el concepto de funciónconcepto de función
Que el estudiante abstraiga Que el estudiante abstraiga situaciones donde esté presente la situaciones donde esté presente la funciones lineales, cuadráticasfunciones lineales, cuadráticas
Que el alumno identifique las Que el alumno identifique las distintas funcionesdistintas funciones
Que el estudiante pueda predecir y Que el estudiante pueda predecir y evaluar una función en la vida diaria evaluar una función en la vida diaria
¿ Qué son las funciones ?
María fue de compras a una librería y compró cuadernos al precio unitario de S/.3.00
N. cuadernos 1 2 3 4 5 ... 40 ..... x
Pago S/. 3 6 9 15 y =3x
Distinguimos los siguientes elementos:
1.- Constante : Precio de cada cuaderno ( S/.3)
2.-Variables:
a) Independiente : número de cuadernos ‘’x’’ b) Dependiente : pago efectuado por los cuadernos “y”
c) Regla de correspondencia : y= 3x También podemos utilizar f(x) , en lugar de “y”
Es decir : y = f(x) =3x
Una función, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades
FUNCIÓN LINEAL
Es aquella función cuyo dominio y rango es el conjunto de los números reales y está definido por :
f: R ----------R x y= f(x) = ax + b , donde :a y b constantes reales y a ,diferente de ceroa , es la pendiente y b es el punto del eje y por donde pasa la la gráficaLa gráfica es una línea recta
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
b
y=ax +b
GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LINEALObserva
¿Cómo uso las computadoras en el ¿Cómo uso las computadoras en el aula?aula?
Para motivar a los alumnos a través Para motivar a los alumnos a través de una presentación agradable de una presentación agradable multimedia del tema a tratar multimedia del tema a tratar (animaciones)(animaciones)
Para reforzar un contenido Para reforzar un contenido (simulaciones)(simulaciones)
Para evaluar los aprendizajes de los Para evaluar los aprendizajes de los alumnosalumnos
Me gustaría aprenderMe gustaría aprender
Situaciones de la vida real donde se Situaciones de la vida real donde se pueda aplicar las funciones pueda aplicar las funciones matemáticas.matemáticas.
Actividades que motiven a los Actividades que motiven a los estudiantes en los diferentes tema estudiantes en los diferentes tema de matemáticade matemática
Crear animaciones interactivasCrear animaciones interactivas
Funciones reales de Funciones reales de variable realvariable real
José Manuel Reyes José Manuel Reyes BritoBrito
I.E.S. ‘Albert Einstein’I.E.S. ‘Albert Einstein’
SevillaSevilla
y = f(x)
x f(x)
x
Elementos básicos en el estudio de una función.
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
RECORRIDO o IMAGEN
GRÁFICA o GRAFO
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
Df = {x / f(x) }
Es el conjunto de valores que puede tomar x, de manera que f(x) sea un número real: Valores para los que se puede calcular f(x)
RECORRIDO o IMAGEN
Rf = {y / y = f(x), x Df}
Es el conjunto de valores que puede tomar y, como transformados mediante f(x) de los valores del dominio.
GRÁFICA o GRAFO
{(x, y) 2/ x Df, y Rf}
Es el conjunto de puntos del plano de manera que la segunda coordenada sea transformada de la primera mediante f(x). Representados estos puntos en un sistema de ejes cartesianos, nos proporcionarán información gráfica de la función.
Clasificación de las funciones de variable real
F. Lineal: y = mx + nF. Cuadrática: y = ax2+bx+cOtras funciones polinómicas
Enteras o Polinómicas
Pn(x)Qm(x)
Racionales fraccionarias
Irracionales o radicales: x aparece bajo una raíz
ALGEBRAICAS
TRASCENDENTES
ExponencialLogarítmicaTrigonométricas··· ··· ···
Funciones Lineales: y = Funciones Lineales: y = mx + nmx + n
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
Todas las funciones polinómicas tienen dominio
3ª) y = x - 21ª) y = x2ª) y = x + 3
3ª) y = (1/3)x +1
1ª) y = 2x +1
2ª) y = 5x +1D f =
A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal
Ordenada en el origen no cambia
D f = 1ª) y = -3x + 1
2ª) y = -3x + 5
3ª) y = -3x + 2
Igual pendiente: paralelas
Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen
RESUMEN:
Funciones lineales: y = mx + n
D f =
Gráfica: RECTA
R f =
D f =
R f =
¡Ojo! Si m=0, R f = {n}
R f = {-2}
Ejemplos de aplicaciones de la función lineal:
A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt
B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante)
C) Dilatación: L = L0(1 + kt)
D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura
E) Ley de Ohm: V = IR
F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)
Funciones cuadráticasFunciones cuadráticas
y = axy = ax22 + bx + c + bx + c
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
Como todas las funciones polinómicas
D f =
5
36x
5
32x
5
4y 2
Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es
significativo y que puede llamar a
confusiones
Cambiamos el rango de representación y observamos las
variaciones que se producen
Ahora observamos la gráfica con toda su
significación
Las claves están en los siguientes
elementos:
Cortes con el eje OX
Vértice
Funciones cuadráticas D f =
y = ax2 + bx + c
Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática:
1. Hallar los puntos de corte con el eje OX
ax2 + bx + c = 0 x1 y x2 (x1, 0) y (x2, 0)
2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv)
3. Completar, si es necesario, con una tabla
Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
1) y = x2 -8x - 9
Vértice (4, -25)
R f = [-25, +)
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX
Obsérvense los coeficientes de x2
9
100x
9
80x
9
20y
9
25x
9
20x
9
5y
5x4xy
2
2
2
V(2, -9) R f = [-9, +)
V(2, -5) R f = [-5, +)
V(2, -20) R f = [-20, +)
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
y = x2 - 3x + 2
y = 3x2 + 2x +1
y = 20x2 - 20x + 5
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo:
y = - 3x2 + x - 2
y = - 3x2 – x + 2
y = - x2 + 7x - 10
¡Ojo! En este caso:
Rf = (-∞, xv]
Ejemplos de aplicaciones de la
función cuadrática:
A) Movimiento uniformemente acelerado
s = s0 + v0t + ½·at2
B) Teorema de Torricelli
v2 = 2gh
ACTIVIDAD
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