harmonijsko oscilovanje 2

МЕХАНИЧКЕ МЕХАНИЧКЕ ОСЦИЛАЦИЈЕОСЦИЛАЦИЈЕ

Осцилаторно кретањеОсцилаторно кретање

Хармонијске осцилацијеХармонијске осцилације

Енергија осцилатораЕнергија осцилатора

Пригушене осцилацијеПригушене осцилације

Принудне осцилацијеПринудне осцилације

РезонанцијаРезонанција

ОсцилацијеОсцилације

Шта је заједничко следећим кретањима?

Осцилаторна кретања: кретања која се карактеришу одређеним степеном понављања

Према степену понављања: периодична и квазипериодична.

електрон око атомаелектрон око атома планете око сунцапланете око сунца звучна виљушказвучна виљушка клатноклатно мостовимостови жице код инструменатажице код инструмената

У зависности од природе осцилаторног процеса: механичке

електромагнетне, електромеханичке

Ако се ф. в. понавља после једнаких временских размака – периодично

Ако се ф. в. правилно мења (опада/расте)после једнаких временских интервала – квазипериодично

Ако понављања нема – апериодично

Осцилације 2Осцилације 2Најпростији облик периодичног кретања је хармонијско кретање/осциловање

У зависности од амплитуде• Неамортизоване, амплитуда константна• Амортизовано, амплитуда тежи нули

У зависности од присуства спољашњих сила осцилације су • Слободне (сопствене) – учестаност константна• Принудне – учестаност се мења у зависности од силе

Периодично кретање: f ( t + T ) = f ( t ), T- период-временски интервал понављања

Величина која се периодично мења са временом се може представити синусном или косинусном функцијом.

Фурије ( 1768-1830): Било које сложено периодично кретање може бити представљено као резултат суперпозиције неколико простих хармонијских осциловања/кретања

Хармонијске осцилацијеХармонијске осцилацијеОдвија се под дејством силе пропорционалне померању тела из равнотежног положаја (нпр. сила еластичности)

Најпростији пример, коцка закачена за крај спиралне опруге, креће се по правој (без трења и гравитације).

Та сила је увек усмерена ка равнотежном положају (реституциона сила)

ixkxkF

Знак “-” зато што је сила увек усмерена ка равнотежном положају

Када је опруга истегнута из равнотежног стања за x, сила која делује на коцку је

Када би било трења, кретање тело би временом престало. Ово је прост Линеарни Хармонијски Осцилатор - ЛХО.

Хармонијски осцилатор 2Хармонијски осцилатор 2Максималан отклон из равнотежног положаја је

Када тело поново дође у полазну тачку али тако да је прошло кроз све могуће тачке путање.

Једна пуна осцилација

Амплитуда

Период кретања T Време потребно за једну пуну осцилацију

Фреквенција кретања, Број пуних осцилација у секунди

Јединица

s-1=Hz (Херц)Јединица?

s

Веза између периода и фреквенције

1Tили

T

1

Хармонијски осцилатор 3Хармонијски осцилатор 3

Аплитуда A Када је сила највећа?Када је сила највећа? Када је брзина највећаКада је брзина највећа?? Када је убрзање највећеКада је убрзање највеће?? Када је потенцијална енергија Када је потенцијална енергија

највећанајвећа?? Када је кинетичка енергија највећаКада је кинетичка енергија највећа??

Једначина осциловањаЈедначина осциловањаОписивање осциловања мора бити засновано на II Њутновом закону

20m

k

Fam

ikxam

0 xm

ka

Синусоидално одвијање Синусоидално одвијање осцилаторног процесаосцилаторног процеса

Решења једначине осциловања Решења једначине осциловања за ЛХОза ЛХО

Решење једначине:

Елонгација, x, тела у тренутку t

Угао (rad)

Амплитуда - максимална елонгација

- почетна фаза (фаза у t = 0 s)

0max xx

)cos()( 00 txtx

- фаза осциловања

1)cos(1 0 t

0

t0

- кружна фреквенција

)cos( 0020 txa

Брзина и убрзање ЛХОБрзина и убрзање ЛХО

Амплитуда убрзања

Am

kxv 00max

)sin( 000 txv

Амплитуда брзине

Убрзање

Брзина осциловања

Период ЛХОПериод ЛХО

2)()( tTt

k – крутост опруге

Период косинусне функције?

k

mT

22

0

2

2][])([ 00 tTt

20m

k

20 T

m – маса осцилатора/тела

Приказ кинематичких Приказ кинематичких карактеристика ЛХОкарактеристика ЛХО

)cos()( 00 tata

)cos()( 00 txtx )sin()( 00 tvtv

Енергија ЛХОЕнергија ЛХО

Кинетичка енергија ЛХОПотенцијална енергија еластичне деформације (акумулирана у деформисаној опрузи)

Укупна енергија ЛХО

Укупна механичка енергија ЛХО пропорционална је квадрату амплитуде.

2

2

1mvEk

2

2

1kAE

2

2

1kxE p

22

2

1

2

1kxmvEEE pk

ЕнергијаЕнергија ЛХОЛХО 2 2Максимална Ek

за Ep = 0

)(cos2

1

2

10

220

20

20

txmkxFdxEx

p

2

2

1 k

constkA

kxmvE

2

22

2

12

1

2

1

Укупна енергија

A

m

kxv 00max 2

maxmax 2

1mvEk

Кинетичка енергија )(sin2

1

2

10

220

20

2 txmmvEk

Потенцијална енергија

- x

E = con st

kE

pE

0

E

x x

p

x 0

x

y

A

x

Веза ЛХО и ротационог Веза ЛХО и ротационог кретањакретањаТело се креће по кружници полупречника A константном угаоном брзином

Да ли може пројекција тренутног положаја, x, да се изрази преко познатих величина?

Како је

x

AtAx cos

t cosAx

Математичко клатноМатематичко клатноТело занемарљивих димензија, окачено о неистегљиву нит. Креће се у вертикалној равни у пољу земљине теже.Како је нит неистегљива, укупна сила дуж ње је нула

g

L

k

mT 22

Упореди ли се ово са Хуковим законом F = - k s, добија се

Одавде је период осциловања

Период математичког клатна, зависи само од дужине клатна и гравитационог убрзања.

0cos mgFT

mgmgF sin

Како за мале углове важи:

По тангенти делује сила

0 rF

Ls s

L

mgF Сила која делује на тело приликом овог кретања

L

mgk

ПримериПримериЗидни сат са клатном. (a) Одредити дужину клатна зидног сата тако да је његов период 1 секунда.

Како је период математичког клатна T

Дужона клатна у финкцији периода T је 2

2

4gT

L

Дужина клатна чији период износи T=1s је

2

24

T gL

g

L2

(b) Колики је период клатна чија је дужина 1m?

g

L2T1.0

2 2.09.8

s

2

1 9.80.25

4m

ПримериПримериКристијан Хајгенс (1629-1695), један од највећих часовничара, је сугерисао да се међународна јединица дужине дефинише као дужина математичког клатна периода 1s. Колико би била краћа наведена јединица дужине од данас прихваћене?

T

2

2

4gT

L

Дужина клатна за T=1s јеm

gTL 248.0

4

8.91

4 22

2

TОдавде је разлика усвојене јединице 1m и Хајгенсове L

2

g

L2

L1 m752.0248.01

Пригушене осцилацијеПригушене осцилацијеКада нема других процеса не троши се енергија осцилатора.

Осциловање може да се одржи бесконачно!Непригушене – неамортизоване осцилације

Ово међутим није реално.Реално је да се енергија губи. Како?

b- коефицијент отпора средине- зависи од особина средине и димензија и облика тела

vbF

а) Загревање опруге и трење услед кретања кроз ваздух

)sin( 00 txx

б) Вискозна средина (делује Стоксова сила)

Пригушене осцилације 2Пригушене осцилације 2Реалне су осцилације у којима тело које осцилује губи своју механичку енергију са временом услед савладавања нпр сила трења

Како би то кретање могло да изгледа?

Амплитуда постаје све мања са временом зато што се енергија троши.

2. Њутнов закон

Коефицијент пригушењаm

b2

bvkxma

02 20 xva m

k2

0Кружна фреквенца слободних осцилација

Пригушене осцилације 3Пригушене осцилације 3За мало пригушење решење ј-не зависи од величине

Овај период је већи од периода непригушених осцилација

Период пригушених осцилација

220

22

T

teAtAttAtx 0)(),sin()()(

- кружна фреквенца пригушених осцилација

о - кружна фреквенца пригушених осцилација

220

2

Решење(синусно) је

Амплитуда пригушених осцилација Вредност амплитуде у t = 0

Мере брзине заустављања Мере брзине заустављања осцилацијаосцилација

- Фактор доброте

Степен амортизације

22

TQ

),...2(),(),( TtATtAtA Узастопне амплитуде?

T ln

TTt

t

eeA

eA

TtA

tA

)(0

0

)(

)(

- Поређење двеју узастопних амплитуда.

Te

- Логаритамски декремент пригушења

Принудне осцилацијеПринудне осцилације; ; РезонанцаРезонанца

Овакве осцилације се реално пригушују/губи се енергија. Како их одржати?

На систем мора да се примени спољна сила одговарајуће фреквенце , која изазива принудне осцилације, тј. која надокнађује утрошену енергију.

Сила принудна, осцилације принудне

m

k

2

10

Када осцилатор осцилује, он то ради својом природном фреквенцом .

Принудне осцилацијеПринудне осцилацијеКакав је облик силе потребне да подржи осцилаторни процес?Мора да буде периодична функција времена

2. Њутнов закон

tFtFp 10 sin)(

tfxva 1020 sin2

tFbvkxma 10 sin

m

Ff 00 m

k2

0m

b2

Принудне осцилације 2Принудне осцилације 2Једначина описује два процеса:

)sin()( 12 tAtx

које се временом угасе

tfxva 1020 sin2

)sin()( 01 teAtx t

Остану само принудне осцилације са елонгацијом

Пригушене осцилације

Принудне осцилације и резонанцијаПринудне осцилације и резонанција

резонантна амплитуда Arez

(*)4)( 2

1222

120

0

m

FA

21

20

12

arctg

Тај пораст амплитуде принудних осцилација назива се резонанција

Након пригушења сопствених успоставља се режим принудних осцилација са амплитудом А

Што је имениоц израза (*) мањи то је амплитуда већа! Потребно је наћи фреквенцију принудне силе при којој израз под кореном има минимум! То је резонатна фреквенција а одговарајућа амплитуда је резонатна.

резонантна фреквенца 1rez

Амплитуда зависи од односа угаоних фреквенци (*)!За одређене вредности тих фреквенци има максимум.

)sin()( 12 tAtx

Услови за резонанцијуУслови за резонанцију

резонантна амплитуда Arez

Треба одредити 1 при коме израз под кореном има минимум

21

2221

20

0

4)(

m

FA

220

0

2

m

fArez22

01 2 rez

резонантна фреквенца 1rez

РезонанцијаРезонанција

Штетан – деструкција.

Примена резонанције:• грађевинарство (мостови)• телекомуникације (бирање радио станица)• акустика (тонови музичких инструмената)• оптика (пролаз ИЦ зрачења кроз кристал)• нуклеарна физика (емисија и апсорпц. зрач. НМР)

rez2

)(2 22

0

0

rezrez Am

fA

за Што је мање пригушење амплитуда је већа rezA0

21

rez1

1

2

Резонантна амплитуда зависи од пригушења

Биолошки системи? Велико пригушење које пригушује спољње изворе принудних сила у супротном би могли да се десе штетни ефекти.

Користан ефекат – резонатори.

Примери резонанцеПримери резонанце

принудна сила-ветар

• Музички инструменти• микроталасне пећи (микроталаси осцилују са природном фреквенцом молекула воде)• претраживање радио станица се своди на примену L-C кола која осцилују са фреквенцом радио талас који треба да буде детектован• Нуклеарна Магнетна Резонанца – Magnetic Resonance Imaging (молекули у телу имају природну фреквенцу која је реда величине радио талас. На тај начин апсорбују радо таласе и на основу те апсорпције се добија НМР “слика” тела.

Примене резонанцеПримене резонанце