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Grandezas e medidas e Estatística
Grandezas e medidas e EstatísticaRetomando e aprofundando o cálculo de perímetros
Perímetro de um polígonoVocê lembra como calcula o perímetro de um losango?E de um paralelogramo?
O perímetro é a medida do comprimento de um contorno. No caso dos polígonos, o perímetro é obtido com a soma das medidas do comprimento de seus lados.
Vamos relembrar:
Exemplo:
Uma praça tem uma forma triangular e seus lados medem: 30 m, 20 m e 12 m.Então, seu perímetro é: P = 30 + 20 + 12 = 62 m PAULO MANZI / A
RQUIVO DA EDITORA
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Grandezas e medidas e Estatística
ou C = . d ou ainda C = 2 r=
Perímetro de uma circunferênciaA fórmula que representa a relação entre a medida do comprimento da circunferência e a medida do diâmetro é:
É um número irracional, e para efetuar cálculos utilizamos aproximações como = 3,14.
Comprimento de um arco de uma circunferência
Se 360º : 90º = 4 então x = Se 360º : 180º = 2 então x = . r
x
90º
x
180º
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Grandezas e medidas e EstatísticaPerímetro de um setor circular
P = r + r + xComprimento do arco depende do ângulo do setor.
Raio do setor.
360º : 45º = 8 então x =
x
r
r
45º
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Grandezas e medidas e EstatísticaRetomando e aprofundando o cálculo de áreasÁrea de uma região quadradaPara calcular a área da região quadrada Q, podemos decompô-la em 9 regiões quadradas de 1 cm2 cada.Assim, a área da região é 9 cm2.
Área da região Q = 32 = 9 cm2
É possível fazer o mesmo procedimento para a região quadrada R?
Utilizando o quadrado de área 1 cm2 não é possível.Mas podemos fazer o mesmo com quadrados de área 0,25 cm2!
Assim, é possível dividir a região R em 49 regiões de 0,25 cm2 de área.A área da região R é 49 . 0,25 = 12,25 cm2 A = ℓ . ℓ ou A = ℓ2
3 cm
3 cm
Região Q
1 cm²
3,5 cm
3,5 cm
Região R
0,25 cm²
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Grandezas e medidas e Estatística
Vamos repetir o procedimento anterior para os dois exemplos abaixo:
Área da região S = 3 . 5 = 15 cm2
Relembrando o que concluímos sobre a área de uma região quadrada, a que conclusão podemos chegar?
A = a . b
Área de uma região retangular qualquer
Área da região T = 2,5 . 4,5 = 11,25 cm2
3 cm
5 cm
Região S
2,5 cm
4,5 cm
Região T
b
a
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Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um paralelogramo
Considerando o paralelogramo abaixo, com base b e altura h, podemos movero triângulo DAE para a posição CBF sem alterar a medida da base ou da altura.
Assim, “transformamos” o paralelogramo numa figura que sabemos calcular a área!
Logo, a área da região ABCD é igual a b . h.
A = b . h
A B
CD
E
h
b
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B
CD
E
b
F
h
Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região triangular
Para calcular a área da região triangular, podemos utilizar o mesmo procedimento e “transformar” em uma figura que sabemos calcular.
Já sabemos que a área do paralelogramo é bh.
Pelo caso de congruência LAL, sabemos que as regiões triangulares ABC e ADC são congruentes, então:
Área da região ABCD = 2 . Área da região triangular ABC
Ao traçar paralelas aos lados e , podemos determinar o ponto D e a região limitada pelo paralelogramo ABCD.
Área da região triangular ABC =
A
B C
D
E
h
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Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um trapézio
Podemos decompor o trapézio em duas regiões triangulares, pois sabemos calcular a área dessas regiões.
Denominando uma base B e altura h, e outra base b e altura h, temos:
Área de uma região limitada por um losango
Área do losango =
A =
B
hh
b
d
D
Área do trapézio = + = =
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Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de uma região limitada por um polígono regular
Para calcular a área de uma região limitada por um polígono regular de n lados, podemos decompor a figura em n regiões triangulares.
Assim, a área que procuramos é n vezes a área de cada região triangular.Vejamos um exemplo: a é o apótema do polígono.
ℓ é o lado do polígono.
A região hexagonal é composta de 6 regiões triangulares congruentes, então,
Esse é o valor do perímetro, logo:
A =
A = 6 . A = 6 . =
a
A B
O
ℓ
ℓℓ
A = ℓ
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Grandezas e medidas e EstatísticaCálculo aproximado de áreasComo calcular áreas de regiões não regulares como a figura abaixo?
Pode-se fazer isso utilizando papel quadriculado:1) Coloque a figura em uma malha quadriculada e conte a quantidade de quadrados inteiros que estão no interior da figura.
2) Conte agora o menor número possível de regiões inteiras que cobrem totalmente a região R.
Área por falta = 34
Área da região é maior que 34 e menor do que 67 .
Podemos aproximar fazendo a média aritmética entre os dois valores:
A área do = 0,25 cm2, então A = 12,63 cm2.
A A 50,5
R
Área por excesso = 67
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Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea de um círculo
Já vimos que a área de uma região determinada por um polígono regular é:
Observando a figura, podemos perceber que, à medida que aumentamos a quantidade de lados, o polígono se aproxima cada vez mais de uma circunferência.
A =
Na circunferência, o apótema passa a ser o raio (r), e o perímetro passa a ser o comprimento da circunferência (2 r). Assim,
A = = = r²
a aaa
aaaa
r
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Grandezas e medidas e EstatísticaÁrea lateral e área total de um sólido geométrico
A área lateral de um prisma é dada por produto do perímetro de uma das bases pela altura do prisma.
Um cilindro de altura h, cuja base é um círculo de raio r, tem como área lateral 2 rh.
A área total da superfície de um cilindro é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases.
A área total da superfície de um prisma é dada pela soma da área lateral com as áreas das duas bases.
r
h
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Grandezas e medidas e EstatísticaRetomando e aprofundando o cálculo da medida de volumeA medida do volume de um cubo cuja aresta mede a é dada por:
A medida do volume de um paralelepípedo é igual ao produto da área da base (a . b) pela medida da altura c.
A medida do volume de um prisma é dada multiplicando-se a área da base pela medida da altura desse prisma.
V = a³
V = abc
V = B . h
ab
c
h
área da base: B
aa
a
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Grandezas e medidas e EstatísticaA medida do volume de um cilindro (V) é igual à área da base (B) multiplicada pela altura h.
A medida do volume de um cone é igual a um terço do volume de um cilindro de mesma área da base e mesma altura.
A medida do volume de uma pirâmide é igual a um terço do volume de um prisma de mesma área da base e mesma altura.
V = B . h
V =
V =
h
B
h
B
h
B
h
B
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Grandezas e medidas e EstatísticaEstatísticaPesquisa estatística e termos relacionados a ela
Variável e valor da variávelVamos relembrar com exemplos!Na questão “Qual a sua disciplina favorita na escola?”, qual é a variável e qual é o valor da variável?
Matemática, História e Inglêssão alguns valores dessa variável.
“Disciplina da escola” é a variável.
Agora identifique a variável e o valor da variável na questão “Qual o seu grau de instrução?”.
A variável é “grau de instrução”.
Alguns possíveis de valores são: Ensino Fundamental, Ensino Médio e Ensino Superior.
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Grandezas e medidas e EstatísticaTipos de variável
Variável
Qualitativa Quantitativa
Ordinal Nominal Discreta Contínua
Expõe uma qualidade e seus valores seguem uma ordem.Ex.: “Grau de instrução”.
Expõe uma qualidade, mas seus valores não seguem uma ordem.Ex.: “Disciplina da escola”.
Expõe uma quantidade por meio de um número real, pois indica uma medida.Ex.: “Altura”.
Expõe uma quantidade por meio de um número natural, pois indica uma contagem.Ex.: “Idade” (em anos).
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Grandezas e medidas e EstatísticaFrequência absoluta e frequência relativa de uma variável
O número de vezes que cada valor da variável é citado é sua frequência absoluta (FA).
Em uma atividade, 20 alunos foram entrevistados sobre o sabor de sorvete preferido deles e os resultados foram:
ValorFrequência
absoluta
Chocolate 5Morango 4Abacaxi 10
Coco 1
Frequência relativa
5 : 20 = 0,25 ou 25% 4 : 20 = 0,20 ou 20%10 : 20 = 0,5 ou 50% 1 : 20 = 0,05 ou 5%
A frequência relativa também pode ser representada na forma de fração!
Podemos apresentar esses resultados também utilizando a frequência relativa (FR).
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Grandezas e medidas e EstatísticaTabela de frequências por intervalos
Há casos em que a variável apresenta muitos valores, tornando inviável montar uma tabela com um valor por linha.
Nesses casos, utilizamos o agrupamento de valores em intervalos ou classes.
Em uma pesquisa, 15 alunos disseram que suas alturas são:
1,73 m 1,70 m 1,80 m 1,62 m 1,74 m 1,70 m 1,74 m 1,81 m 1,68 m 1,76 m 1,62 m 1,63 m 1,75 m 1,65 m 1,66 m
1) Identificamos o menor e o maior valor.
2) Obtemos a amplitude total subtraindo o maior valor do menor: 1,81 – 1,62 = 0,19
Vamos aprender o procedimento de montagem da tabela com um exemplo.
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Grandezas e medidas e Estatística
Nesse caso, vamos escolher 5 intervalos e o valor 0,20:
Altura em m (em classes) Contagem FA FR (%)
1,62 1,66⊢ 4 26,7
1,66 1,70⊢ 2 13,3
1,70 1,74⊢ 3 20
1,74 1,78⊢ 4 26,7
1,78 1,82⊢ 2 13,3
Total 15 100
3) Escolhemos o número de intervalos, consideramos um valor conveniente (pouco acima da amplitude total) e determinamos a amplitude de cada intervalo.
Assim, elaboramos a tabela de frequências: 0,20 : 5 = 0,04
1,62 1,66 indica um intervalo fechado à esquerda e ⊢aberto a direito, ou seja, 1,66 não pertence ao intervalo.
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Grandezas e medidas e EstatísticaGráficosGráfico de segmentos ou gráfico de linhasA tabela e o gráfico abaixo tratam de dados sobre a retirada de livros em uma biblioteca.
Existe uma correspondência: para cada mês, temos um número de livros retirados. O par mês e livros forma um par ordenado e assim o marcamos no plano cartesiano.
Depois de colocar os pontos, podemos ligá-los com segmentos, mas lembre-se de que os segmentos só têm significado se a variável for contínua!
Mês Número de livros retiradosFevereiro 150
Março 300Abril 250Maio 250Junho 200
50
100
150
200250300
Fev. Mar. Abr. Maio Jun.
Número delivros retirados
Meses
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Grandezas e medidas e EstatísticaGráfico de barras ou colunasO gráfico de barras pode ser utilizado para representar as frequências dos valores de uma variável por meio de barras horizontais ou verticais.
A tabela abaixo mostra as frequências de vitórias, empates e derrotas de um time de futebol.
Jogos FA FR
Vitórias 10 50%
Empates 4 20%
Derrotas 6 30%
A partir da frequência absoluta podemos construir gráficos de barras verticais.
A partir da frequência relativa construímos gráficos de barras horizontais. Note que as barras têm a mesma
largura e comprimentos diferentes!
Números dos resultados
2
4
6
8
10
ResultadosV E D
V
E
D
Resultados
Porcentagem dos resultados
10% 20% 30% 40%50%
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Grandezas e medidas e EstatísticaGráfico de setoresNesse tipo de gráfico, as frequências dos valores das variáveis são associadas a setores circulares.
A maior vantagem do gráfico de setores é a possibilidade de comparar imediatamente a frequência do valor de uma variável com o universo do conjunto.
Vejamos um exemplo:
Em uma escola, foram oferecidas aos alunos três atividades extras: natação, dança e informática. A quantidade de alunos que escolheu cada uma foi 42, 48 e 30, respectivamente.
Atividade FA FRNatação 42 35%
Dança 48 40%
Informática 30 25%
Total 120
Vamos calcular o ângulo de cada um:Natação: 35% de 360º = 126ºDança: 40% de 360º = 144ºInformática: 25% de 360º = 90º
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Grandezas e medidas e Estatística
Construímos então o gráfico de setores:
Podemos também utilizar as frequências absolutas no gráfico:
Natação(35%)
Dança(40%) Informática
(25%)
Natação(42)
Dança(48) Informática
(30)
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Grandezas e medidas e EstatísticaHistogramaQuando os dados estão agrupados em classes podemos apresentá-los graficamente utilizando um histograma.
O histograma tem características diferentes:
• É formado por um conjunto de retângulos justapostos.
• Os pontos médios das bases dos retângulos devem coincidir com os pontos médios dos intervalos das classes.
Observe o exemplo:
Notas Frequência 0 2⊢ 12 4⊢ 24 6⊢ 76 8⊢ 12
8 10⊢ 8
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Grandezas e medidas e EstatísticaAo ligar os pontos médios das bases superiores de cada barra, sem sequência, obtemos uma linha (vermelha) conhecida como polígono do histograma.
Observe o exemplo:
Altura (cm) FA FR140 150⊢ 6 15%150 160⊢ 10 25%160 170⊢ 12 30%170 180⊢ 8 20%180 190⊢ 4 10%
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Grandezas e medidas e EstatísticaPictogramas ou gráficos pictóricosÉ comum encontrar em revistas e jornais gráficos ilustrados com figuras sobre o tema tratado. Essa é uma forma de torná-los mais atrativos.Veja o exemplo:
PLA
NE
TA S
US
TEN
TÁV
EL
/ DIV
ULG
AÇ
ÃO
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Grandezas e medidas e EstatísticaMedidas de dispersão
Você estudou as medidas de tendência central: a média aritmética, mediana e moda.
Quando os dados estão muito dispersos, essas medidas tornam-se insuficientes para representá-los.
Assim, é conveniente utilizar medidas que expressem o grau de dispersão dos dados.
Amplitude
Variância
A amplitude de um conjunto de dados numéricos mostra a faixa de variação entre os elementos desse conjunto.
A variância é determinada a partir das diferenças entre cada elemento e a média do conjunto. Por isso, é mais significativa que a amplitude.
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Grandezas e medidas e EstatísticaPara calcular a variância (V) seguimos as etapas:
1) Encontramos a média aritmética:
2) Determinamos as diferenças entre a média aritmética e cada elemento do conjunto:
Considere o conjunto de dados:
68, 58, 67, 63, 64, 64, 68, 63, 67, 63, 63, 63, 69, 56
4, –6,3, –1, 0, 0, 4, –1, 3, –1, –1, –1, 5, –8
3) Elevamos ao quadrado essas diferenças:
4) Somamos todos os quadrados:
5) Dividimos o resultado da soma pelo número de elementos do conjunto:
16, 36, 9, 1, 0, 0, 16, 1, 9, 1, 1, 1, 25, 64
16 + 36 + 9 + 1 + 0 + 0 + 16 + 1 + 9 + 1 + 1 + 1 + 25 + 64 = 180
= = 64
V = 12,9
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Grandezas e medidas e EstatísticaDesvio-padrão
Observe o exemplo a seguir, consistido em por 4 conjuntos de dados:
Conjunto Dados Amplitude
A 14, 11, 12, 10, 13 14 – 10 = 4
B 2, 5, 20, 7, 26 26 – 2 = 24
C 12, 12, 12, 12, 12 12 – 12 = 0
D 1, 13, 11, 10, 25 25 – 1 = 24
Amplitude nula significa que não há dispersão.
Os conjuntos B e D, possuem amplitudes iguais, mas dispersões diferentes.
Ou seja, não podemos adotar a amplitude como única medida de dispersão!
O desvio-padrão é obtido extraindo-se a raiz quadrada do valor encontrado para a variância. Ele é representado pela letra grega minúscula sigma ( ): 2: variância : desvio-padrão
No exemplo anterior 2 = 12,9, então, = 3,59.
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Grandezas e medidas e EstatísticaVariância e desvio-padrão
Continuando com o exemplo, vamos comparar as medidas de dispersão:
Conjunto Dados Amplitude Média Variância Desvio- -padrão
A 14, 11, 12, 10, 13 14 – 10 = 4 12 2 1,41B 2, 5, 20, 7, 26 26 – 2 = 24 12 86,8 9,32C 12, 12, 12, 12, 12 12 – 12 = 0 12 0 0D 1, 13, 11, 10, 25 25 – 1 = 24 12 59,2 7,69
O conjunto B é o de maior dispersão.
O que podemos concluir a partir da tabela?
O conjunto C é o mais homogêneo.
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Grandezas e medidas e EstatísticaCombinatória: métodos de contagemPrincípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagemLuciana tem 2 saias e 3 blusas de cores distintas enquanto Danilo tem 3 calças e 2 blusas também de cores diferentes. Qual deles tem mais opções de roupas?
Esse é um problema que pode ser resolvido montando uma tabela:
Ambos têm 6 combinações de roupas.
Note que pudemos enumerar todas as opções, mas como faríamos se a quantidade de peças de roupas fosse muito grande?
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Grandezas e medidas e EstatísticaPara solucionar esse problema, podemos utilizar o princípio multiplicativo também conhecido como princípio fundamental da contagem.
Se uma decisão D1 pode ser tomada de m modos e, qualquer que seja essa escolha, a decisão D2 pode ser tomada de n modos, então o número de maneiras distintas de se tomar
consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a m . n.
No exemplo anterior, Luciana tinha duas decisões D1 (escolher entre duas saias) e D2 (escolher entre três blusas), então o número de maneiras distintas de tomarmos consecutivamente as decisões D1 e D2 é 2 . 3 = 6.
Analogamente para Danilo:D1 (escolher entre três calças) D2 (escolher entre duas blusas) D1 . D2 é 3 . 2 = 6
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Grandezas e medidas e EstatísticaOutros problemas de contagem
Em muitas situações do dia a dia, é necessário criar senhas com letras e/ou números. Acompanhe o exemplo a seguir:
Quantas senhas de dois elementos podemos formar começando com uma das quatro primeiras letras do alfabeto e terminando com um número ímpar no intervalo de 0 a 10?
Começando com... Possibilidades
A A1, A3, A5, A7, A9B B1, B3, B5, B7, B9C C1, C3, C5, C7, C9D D1, D3, D5, D7, D9
Utilizando o princípio multiplicativo também podemos determinar a quantidade de senhas:
São 20 possibilidades de senha!
4 . 5 = 20
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Grandezas e medidas e EstatísticaProbabilidadeProbabilidade condicionalA probabilidade de ocorrer um evento A condicionado ao fato de um evento B que já ocorreu é denominada probabilidade condicional.Acompanhe o exemplo a seguir:Uma estrebaria possui 18 equinos em treinamento. Dos 9 que já estão com ferradura, 5 são éguas. Dos cavalos, 6 ainda não receberam ferraduras.a) Sorteando um equino do grupo, qual a probabilidade de ele estar sem ferradura?Para resolver podemos montar uma tabela:
Com ferradura
Sem ferradura Total
Cavalos 4 6 10Éguas 5 3 8Total 9 9 18
A probabilidade de, tomado ao acaso, um equino estar sem ferradura é:
P = =
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Grandezas e medidas e Estatísticab) No mesmo grupo, qual a probabilidade de ter uma égua com ferradura?
Com ferradura Sem ferradura Total
Cavalos 4 6 10
Éguas 5 3 8
Total 9 9 18
A probabilidade de esse equino, tomado ao acaso, ser égua, com ferradura, é condicionada. Assim:
total de éguas com ferradura
total de éguasP =
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Grandezas e medidas e EstatísticaEstatística e Probabilidade
Estimando probabilidades a partir de dados estatísticos
Muitos fenômenos são de natureza aleatória; assim, os estudos de Estatística e de Probabilidade complementam-se.
Considere o problema:Uma fábrica produz 1 milhão de canetas por mês. Só com essa informação, como saber a probabilidade de encontrar uma caneta defeituosa?Pode-se fazer então uma estimativa da probabilidade coletando uma amostra aleatória de canetas e verificando quantas são defeituosas:
Tamanho da amostra
Canetas defeituosas
FA FR
1 1 200 9 0,75%2 900 10 1,11%3 3 400 25 0,74%4 2 000 20 1,00%
Total
7 500 64
A probabilidade estimada de encontrar uma caneta defeituosa é:
P(A) = 0,85 %
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