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Geometria – Aula 11
Geometria de Posição Rosolem e Iuri
Conceitos Primitivos
• Ponto: Orientação;
• Retas: Infinitos pontos;
• Plano: Infinitas retas.
Postulados da geometria
• Propriedade primitiva que é aceita sem demonstração.
• Postulado da existência;
• Postulado da determinação;
• Postulado da inclusão;
• Postulado da separação.
Postulado da Existência
• Existem pontos, retas e planos;
• Em cada reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos;
• Em cada plano, bem como fora dele, existem infinitas retas, e consequentemente, infinitos pontos.
Postulado da determinação
• Dois pontos distintos determinam uma única reta;
• Três pontos não colineares determinam um único plano.
Postulado da inclusão
• Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida nesse plano.
Postulado da separação
• Uma reta r contida num plano α divide esse plano em duas regiões chamadas semiplanos.
• Um plano α divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.
Posições entre retas
• Concorrentes;
• Paralelas;
• Reversas.
Retas Concorrentes
• Se possuem um ponto em comum.
Retas Paralelas
• Todos os pontos de uma reta pertence a outra;
• Em qualquer ponto de qualquer reta, a menor distância até a outra se mantém constante.
Retas Reversas
• Duas retas são ditas reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha.
Determinação de um plano
• Uma reta e um ponta (três pontos)
• Duas retas paralelas não coincidentes.
• Duas retas concorrentes.
Posições relativas entre reta e plano
• Reta r contida no plano α.
• Reta r secante no plano α.
• Reta r paralela no plano α.
Posições relativas entre dois planos
• Coincidentes;
• Distintos;
• Secantes.
Perpendicularidade
Projeções Ortogonais
• Projeção ortogonal de um ponto P a um plano α é a intersecção do plano com a reta r que passa por P e é perpendicular a α.
• Projeção ortogonal de uma figura geométrica em um plano α é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre o plano.
Projeções Ortogonais
Distância
Distâncias
Geometria – Aula 12
Poliedros convexos / Teorema de Euler
Rosolem e Iuri
Poliedros Convexos
• Duas faces (polígonos) nunca estão no mesmo plano.
• Cada lado de um polígono (face) é comum a somente outro polígono.
• O plano de cada polígono (face) deixa os demais polígonos num mesmo semiespaço.
RB: Qualquer segmento formado por dois pontos pertencentes ao poliedro deve também pertencer ao poliedro.
Relação de Euler
V – A + F = 2
V + F = A + 2
V: Vértice
A: Arestas
F: Faces
Exemplos
Poliedro de Platão
• Todas as faces têm o mesmo número de arestas.
• Todos os seus ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas.
• Obedece a relação de Euler, ou seja:
V – A + F = 2
Todos Poliedro de Platão
• Tetraedro;
• Hexaedro;
• Octaedro;
• Dodecaedro;
• Icosaedro.
Tetraedro regular
• 3 arestas em cada face, 3 arestas em cada ângulo poliédrico, 6 arestas no total, 4 vértices e 4 faces.
Hexaedro regular (cubo)
• 4 arestas em cada face, 3 arestas em cada ângulo poliédrico, 12 arestas no total, 8 vértices e 6 faces.
Octaedro regular
• 3 arestas em cada face, 4 arestas em cada ângulo poliédrico, 12 arestas no total, 6 vértices e 8 faces.
Dodecaedro regular
• 5 arestas em cada face, 3 arestas em cada ângulo poliédrico, 30 arestas no total, 20 vértices e 12 faces.
Icosaedro regular
• 3 arestas em cada face, 5 arestas em cada ângulo poliédrico, 30 arestas no total, 12 vértices e 20 faces.
Exercício
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