geometría analítica plana

Geometría

Analítica Plana

I.Sistemas de coordenadasII. Gráfica de una ecuación y lugares

geométricosIII. La línea rectaIV. Ecuación de la circunferenciaV. Transformación de coordenadasVI. La parábolaVII. La elipseVIII. La hipérbola

Geometría Analítica Plana

http://www.licimep.org/MateFisica.htm

Problemas resueltos de Matemáticas y de

Física

•En particular, hay una sección dedicada a Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos•En esa sección hay problemas del Lehmann,. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos

http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/

Página del doctor Javier Baez. Donde

están las presentaciones

¿Qué es la Geometría Analítica?

Es el estudio de la geometríausando los principios delálgebra y viceversa.

Es la unión de la geometríay el álgebra

¿Qué es la Geometría Analítica?

Ecuaciones en dos

variables

Figuras

geométricas en el plan

Ecuaciones en x e

Figuras en el plano

Gracias al sistema

coordenado, al plano

cartesiano

Que establece una correspondencia biunívoca, uno a

uno, entre los puntos del plano y

los pares ordenados de

números reales

Abscisa

Ordenada

Plano cartesiano ,x y

Gráfica de una ecuación y lugares geométricosDos problemas

fundamentales de la Geometría Analítica

En este capítulo haremos un estudio preliminar de dosproblemas fundamentales de la Geometría Analítica.

I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;es decir, construir la gráfica correspondiente .

II. Dada una figura geométrica, o la condición quedeben cumplir los puntos de la misma, determinarsu ecuación.

Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica

Dada una ecuación,

interpretarla geométricam

Dada un figura geométrica,

determinar su ecuación

Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica

Gráfica de una ecuación y lugares geométricosPrimer problema

fundamental: La gráfica de una

ecuación

Supongamos que se nos da una ecuación en dos variables,

e , que podemos escribir en la forma

En general, hay un número infinito de pares de valores de

e que satisfacen esta ecuación. Cada un

x y o de tales pares

de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de

un punto en el plano.

Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

Definición 1: El conjunto de los puntos,y solamente de aquellos puntos, cuyascoordenadas s

gráfica de la e

atisfagan una ecuación

se llama o, bien,

cuación

lugar geométr co .i

Primer problema fundamental:

La gráfica de una ecuación

Definición 2: Cualquier punto cuyascoordenadas satisfacen la ecuación

pertenece a la gráfica de la ecuación.

Primer problema fundamental:

La gráfica de una ecuación

Características de la ecuación

El conjunto solución de la ecuación,formado por los puntos ordenados,debe pertenecer al conjunto de losnúmeros reales.

Intersección con los

Construcción de la

Extensión de la curva

Asíntotas

Simetría

Cálculo de

coordenadas

Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

Extensión de la curva

Extensión de una curva

La extensión de una curvason los intervalos de variaciónpara los cuales los valores de e son valores reales.x y

Extensión de una curvaLa extensión de una curva son los intervalos de variación

para los cuales los valores de e son valores reales.x y

Es útil, porque:

Da la localización general de la curva en el plano

Indica si la curva es cerrada o

si es de extensión indefinida.

Extensión de una curvaLos intervalos para los cuales

los valores de e son realesse determinan resolviendo laecuación dadapara en términos de ,y para en términos de .

y xx y

2 2 4 0x y

Extensión de una curva. Ejemplo 1

No existen números reales, y ,que satisfaga la ecuación.La extensión es el conjunto vacío.

2 2 0x y

La extensión de esta ecuación sereduce a un único punto, el 0,0 .

2 3 4 0x y

2 3 4 0x y Extensión de una curva.

Ejemplo 3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2 3 4 0x y

La extensión es todo el plano; es decir, puede tomar cualquier valor real, y también puede tomar cualquier valor real.xy

2y xExtensión de una curva.

Ejemplo 4

-1 1 2 3 4 5

y 2y x

Es claro que no puede ser negativo.Sólo puede ser positivo o cero.La extensión es el intervalo [0, ).

Es claro que puede tomar cualquier valor real.No hay ninguna restricción.La extensión en es toda la recta real, es , .

-1 1 2 3 4 5

y 2y x

2 29 4 36x y Extensión de una curva.

Ejemplo 5

2 29 4 36x y

9 4 36

4 36 99 99 44 4

Por tanto, 2,2

2 29 4 36 2,2x y x

2 29 4 36x y

9 4 36

9 36 44 44 99 9

3Por tanto, 3,3

2 29 4 36 3,3x y y

2 29 4 36; 2,2 , 3,3x y x y

2 3 0y x

Por t0anto

2 3 0y x

Por tan o

2 3 0y x

Extensión de una curva en x

1. Se despejan en función de 2. Se analiza qué valores de sonposibles en la ecuación.3. Esos valores de constituyenla extensión en de la curva.

Extensión de una curva en y

1. Se despejan en función de 2. Se analiza qué valores de sonposibles en la ecuación.3. Esos valores de constituyenla extensión en de la curva.

Asíntotas

Asíntotas Si para una curva dada, existe unarecta tal que, a medida que un puntode la curva se aleja indefinidamentedel origen, la distancia de ese puntoa la recta decrece continuamente ytiende a cero, dicha recta se llamaasíntota de la curva.

Asíntotas. Ejemplo 1 1

Asíntotas. Ejemplo 1

24 5 15=

2 3x x

24 5 15=2 3

2 5y x

24 5 15=2 3

2 5y x

24 5 15=2 3

2 5y x

Asíntotas Esta definición implica dos cosas:

1) Una curva que tiene una asíntota

no es cerrada o de extensión finita,

sino que se extiende indefinidamente.

2) Una curva se aproxima a la asíntota

más y más a medida que se extiende

más y más en el plano coordenado.

Asíntotas Siendo la asíntota una línea recta, puede teneruna cualquiera de tres posiciones particulares.

Si es asíntota horizo

paralela o coincide con el eje , se llama.

Si es paralela o coincide con el ejental

Si no es paralela a ninguno de los ejescoordenados,

asíntota vertical

asíntota obl .icua

Asíntotas Aquí consideraremos solamente ladeterminación de asíntotas verticalesy horizontales.Posteriormente veremos la determinaciónde asíntotas oblicuas para una curvaparticular conocida con el nombre dehipérbola.

Asíntotas Se debe tener presente que una curva no tiene

necesariamente una o más asíntotas. Hay

muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin

embargo , si una curva tiene asíntotas, su

determinación será, como veremos, una gran

ayuda para construir su gráfica.

Asíntotas En el capitulo siguiente haremos un estudio

detallado de la ecuación general de la recta.

Pero ahora tenemos necesidad de hallar

ecuaciones de asíntotas verticales y

horizontales.

Sea una rectacualquieraparalela a1 eje y que dista

unidades del eje.

Recta paralela al eje Y

Todo punto de ,cualquiera que sea el valorde su ordenada , tiene unaabscisa igual a .

Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera

paralela a1 eje y que dista unidades del eje.

Las coordenadas de todos lospuntos de satisfacen , por tantola ecuación es

Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera

paralela a1 eje y que dista unidades del eje. Todo punto

de , cualquiera que sea el valorde su ordenada , tiene unaabscisa igual a .

Recíprocamente, cualquier puntocuyas coordenadas satisfacen estaecuación es un punto cuya abscisaes y situado, por tanto, a unadistancia de unidades del eje ,y, en consecuencia , está sobrela rec

Recta paralela al eje Y

La ecuación de una rectaparalela al eje es:

donde es la distanciade la recta al eje .

Recta paralela al eje XLa ecuación de una recta

paralela al eje es:

donde es la distanciade la recta al eje .

Recta paralela al eje X

Asíntotas Vimos que se puede determinar la extensión

de una curva despejando en función de y en función de . Para obtener las asintotasverticales y horizontales, usaremos estasmismas ecuaciones en las que

y xx y

aparecendespejadas las variables.

Asíntotas verticales Para obtener las ecuaciones de las

asíntotas verticales, resuelvase la

ecuación dada para en función

de e igualese a cero cada uno de

los factores lineales del denominador.

Asíntotas horizontales Análogamente, para obtener las ecuaciones

de las asíntotas horizontales, resuelvase laecuación dada para en funcion de eigualese a cero cada uno de los factoreslineales del denominador.

Encontrar las asíntotas de lagráfica de la ecuación

1 0xy y

Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica

de la ecuación 1 0xy y

1) Despejar en función de 1 01

y xxy yxy yy x

1de la ecuación 1 0 ó 1

xy y yx

2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador; es decir,

1 0ó sea que la asíntota tiene como ecuación:

de la ecuación 1 0xy y

1) Despejar en función de 1 01

x yxy yxy y

xy y yx

2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador

0ó sea que la asíntota tiene como ecuaci

Encontrar las asíntotas de lagráfica de la ecuación

Asíntotas. Ejemplo 2 2

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación 1

1) Despejar en función de

Ya está despejada, entonces tenemos 1

pero debemos escribir el denominador comofactores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos

x xyx x x

1 0 y 1 0ó sea que tenemos dos asíntotas verticale

Encontrar las asíntotas de la gráfica

de la ecuación 1 1 1

x xyx x x

1 0 y 1 0ó sea que tenemos dos asíntotas verticale

2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación 1 1 1

x xyx x x

¡Hay dos

asíntotas!

yx x y

0 0 4 1 4 1 2 12 1 2 1 2 1

y y y y y yx

xy y yx

2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador

1 0ó sea que la asíntota tiene como ecuación

2 1xyx

Asíntotas. Ejemplo 3La tangente Mostrar las asíntotasde la tangente

Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente Las rectas

son asíntotas.

Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente

Una curva puede tener más de unaasintota vertical u horizontal.Asi, la curva cuya ecuación es

tiene dos asintotas verticales, 1 y 2.

Asíntotas. Notas

Para muchas ecuaciones en las variables e ,veremos que, frecuentemente es ventajosoinvestigar el comportamiento de una de lasvariables cuando a la otra se le dan valorescada vez mas grandes en valo

r absoluto.Esto es particularmente útil para ladeterminación de las asíntotas.

Asíntotas. Notas

1Así, para la ecuación , si damos valores

1a cada vez más grandes, en valor absoluto, elvalor de se aproxima a cero.Es decir, a medida que el punto sobre la curvase aleja indefinidamente del or

igen, ya sea haciala derecha o hacia la izquierda, la curva seaproxima a la recta 0 que, por lo tanto, esuna asintota horizontal.

Asíntotas. Notas

Análogamente, si escribimos laecuación en la forma

vemos que, a medida que tomavalores cada vez mayores en valorabsoluto se aproxima a 1.Por tanto, 1 es una asíntota vertícal.

Asíntotas. Notas

Es una gran ventaja usar las asintotasde una curva, cuando existen, en eltrazado de la misma. Las asíntotas actúan como lineasguía de la gráfica.

Asíntotas. Notas

Gráfica de una ecuación y lugares geométricosConstrucc

ión de curvas

La discusión de una ecuación ysu representación gráfica constituyen,en conjunto, un problema de tan granimportancia en todas las ramas de lasMatemáticas y sus aplicaciones,que se le ha dado el nombre especialde construcción de curvas.

Construcción de curvas

El trazado de una curva consta de los seis puntos siguientes :1 . Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados .2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a losejes coordenados y a1 origen .3. Deteminación de la extensión de la curva.4. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas verticales uhorizontales que la curva puede tener .5 . Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntospara obtener una gráfica adecuada .6. Trazado de la curva .

Construcción de curvas

Construir la curva cuya ecuación es

4 0x x y

Construcción de curvas. Ejemplo 1

Ejercicio 8, grupo 6, página 46

4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y

1 2 3 4

1. Intersecciones con los ejes.a) Con el

Hacemos 0 en la ecuación 4 0

lo que nos lleva a 4 0

que se factoriza como 4 2 2 0

Tenemos por tanto cuatro raices:2, 0, 0,

y x x y

x x x x x

x x x x

1. Intersecciones con los ejes.a) Con el La gráfica intersecta al eje en

2, 0 y 2

1. Intersecciones con los ejes.b) Con el

Hacemos 0 en la ecuación 4 0lo que nos lleva a 0Tenemos una raíz:

x x x yy

1. Intersecciones con los ejes.b) Con el La gráfica intersecta al eje en

2. Simetríasa) Con respecto al eje

La ecuación 4 0cambia a la ecuación

4 0cuando intercambiamos por .

Por lo t LA GRÁFICA NO ES

SIMÉTRI

CA RESPEC

.TO AL EJE

x x yy y

2. Simetríasb) Con respecto al eje

La ecuación 4 0cambia a la ecuación (que es la misma)

Por lo LA GRÁFICA SÍ ES

SIMÉTR

tanto,

ICA RE

SPECTO AL EJ .E

x xx x

2. Simetríasc) Con respecto al origen

4 0cuando intercambiamos por y por .

Por lo LA GRÁFICA NO ES

SIMÉT

A RESPECTO AL O .R

x x yx x

2. SimetríasLa única simetría que tiene esta gráficaes respecto al eje .No es simétrica ni respecto al eje ,ni respecto al origen.

cualquier valor de es posible

3. Extensióna) En el eje Despejando de la ecuación

4 0 tenemos

4Por ta .nto,

xy x x

3. Extensiónb) En el eje Despejando de la ecuación

4 0 tenemos 2 4 o bien

4 4 4 12 1

4 16 4 4 2 42 4

2 2Por lo tanto, necesariamente 4

x x y x y

3. ExtensiónLa variable puede tomar cualquiervalor real.La variable tiene que ser mayor oigual a menos 4.Es decir,

4. AsíntotasEsta curva no tiene asíntotas.

5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos

x y0.00 0.00

0.25 -0.25

0.50 -0.94

0.75 -1.93

1.00 -3.00

1.25 -3.81

1.50 -3.94

1.75 -2.87

2.00 0.00

2.25 5.38

2.50 14.06

4 26. Construcción de la curva 4 0x x y

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50

20.00 4 26. Construcción de la curva 4 0x x y

4 26. Construcción de la curva 4 0x x y

Construir la curvacuya ecuación es

3 2x y x xy x

Ejercicio 21, parágrafo 19, página 47

1. Intersecciones con los ejes.a) Con el

Hacemos 0 en la ecuación 3 2

lo que nos lleva a 3 2

ó bien 3 2 0que se factoriza como 2 1 0

Tenemos por tanto dos raices:1, 2

y x y x xy x

x xx x

2 2 3 2x y x xy x

1. Intersecciones con los ejes.a) Con el La gráfica intersecta al eje en 1 y 2

2 2 3 2x y x xy x

1. Intersecciones con los ejes.b) Con el

Hacemos 0 en la ecuación 3 2lo que nos lleva a 0 2 que no se satisface paraningún valor de .Por tanto, la gráfica no intersecta al eje .

x x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

1. Intersecciones con los ejes.b) Con el La gráfica no intersecta al eje .

2 2 3 2x y x xy x

2. Simetríasa) Con respecto al eje

Por LA GRÁFICA NO ES

SIMÉTRICA RESPECTO

lo tanto,

x y x xy x

x y x xy

2 2 3 2x y x xy x

2. Simetríasb) Con respecto al eje

Por LA GRÁFICA lo tanto NO ES

SIMÉTRICA RESPEC

.TO AL EJE

x y x xy x

x y x xx

2 2 3 2x y x xy x

2. Simetríasc) Con respecto al origen

3 2cuando intercambiamos por y por .

LA GRPor lo tant ÁFICA NO ES

SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN

x y x xy x

x y x xy xx x

2 2 3 2x y x xy x

2. SimetríasLa gráfica no tiene ninguna simetría.No es simétricani con respecto al eje ,ni con respecto al eje ,ni con respecto al origen .

2 2 3 2x y x xy x

3. Extensióna) En el eje

Despejando de la ecuación 3 2

3 2tenem

cualquier valor de es posible menos

0Por tanto, .y 1

y x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

3. Extensiónb) En el eje Despejando de la ecuación

3 2tenemos

3 14 1 si 1

x y x xy x

y y yx y

2 2 3 2x y x xy x

3. Extensiónb) En el eje

3 14 1Despejando tenemos

Así que sólo son posibles los valores de que hacen que

14 1 0.

Esos son lo , 7 4 3 7s 4 3, y

y y yx x

2 2 3 2x y x xy x

3. Extensiónb) En el eje En el caso de 1 tenemos que la ecuación

3 2se transforma en4 2

1ó sea y es posible el valor 1

x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

3. ExtensiónLa extensión de la curva es

, 7 4 3 7 4 3,

2 2 3 2x y x xy x

4. Asíntotasa) Asíntotas verticales

Despejando de la ecuación 3 2

3 2tenemos 1

Es claro de lo que ya hemos es tenemosdos asíntotas verticales 0

tudiado y

que .1

y x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

4. Asíntotasa) Asíntotas horizontales

Despejando de la ecuación 3 2tenemos

3 14 12 1

Por lo tanto, es claro que tenemosuna asíntota horizon l 1.ta

x x y x xy x

y y yx

2 2 3 2x y x xy x

5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos

x y x xy x

x xyx x

x y X Y x y x y-10.00 1.47 -5.00 2.10 0.00 NO 5.00 0.40-9.75 1.48 -4.75 2.18 0.25 4.20 5.25 0.42-9.50 1.50 -4.50 2.27 0.50 1.00 5.50 0.44-9.25 1.51 -4.25 2.38 0.75 0.24 5.75 0.46-9.00 1.53 -4.00 2.50 1.00 0.00 6.00 0.48-8.75 1.55 -3.75 2.65 1.25 -0.07 6.25 0.49-8.50 1.56 -3.50 2.83 1.50 -0.07 6.50 0.51-8.25 1.59 -3.25 3.05 1.75 -0.04 6.75 0.52-8.00 1.61 -3.00 3.33 2.00 0.00 7.00 0.54-7.75 1.63 -2.75 3.70 2.25 0.04 7.25 0.55-7.50 1.66 -2.50 4.20 2.50 0.09 7.50 0.56-7.25 1.68 -2.25 4.91 2.75 0.13 7.75 0.57-7.00 1.71 -2.00 6.00 3.00 0.17 8.00 0.58-6.75 1.75 -1.75 7.86 3.25 0.20 8.25 0.59-6.50 1.78 -1.50 11.67 3.50 0.24 8.50 0.60-6.25 1.82 -1.25 23.40 3.75 0.27 8.75 0.61-6.00 1.87 -1.00 NO 4.00 0.30 9.00 0.62-5.75 1.92 -0.75 -25.67 4.25 0.33 9.25 0.63-5.50 1.97 -0.50 -15.00 4.50 0.35 9.50 0.64-5.25 2.03 -0.25 -15.00 4.75 0.38 9.75 0.65

6. Construcción de la curva

3 2x y x xy x

2 2 3 2x y x xy x

Ecuaciones

factorizables

El trazado de curvas se puede simplificarconsiderablemente para ciertos tipos deecuaciones a las que llamaremos ecuacionesfactorizables; es decir , aquellas que puedenescribirse en forma del producto de dos omás factores variables igualado a cero .

Ecuaciones factorizables

En general, si la ecuación, =0

es factorizable; es decir, si , puedeescribirse como el producto de dos o másfactores variables, la gráfica de ,

constará de las gráficas de las ecuacionesobtenida

s a1 igualar a cero cada uno de estosfactores.

Ecuaciones factorizables

Trazar la gráfica correspondientea la ecuación

, 0f x y x y

Ecuaciones factorizables.

Ejemplo 1

3 3Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación ,f x y x y

Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1

La ecuación

se factoriza trivialmente como

Así que por lo que acabamos de ver, la gráfica

de será la grafica de las ecuaciones queresultan al hacer cada uno de los fact

f x y x y

f x y x y x xy y

ores igual

a cero.

3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y

La gráfica de0

es una recta que pasa por el origencon pendiente 1; es decir, es unarecta que pasa por el origen y quehace un ángulo de 135 grados conel eje .

La ecuación 0 no tiene una gráfica.En efecto, si analizamos su extensión, debemosdespejar ,

4 1 32 2

que es complejo para todo valor de ; es decir,no existe número real que ha

x xy y

x x xy x

ga que sea real.y

Por tanto, la gráfica de la ecuación

0es la de la línea recta

3 3 0x y

Trazar la gráfica correspondientea la ecuación

, 0f x y x y

Ecuaciones factorizables.

Ejemplo 2

2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y

La ecuación

se factoriza trivialmente como, 0

Así que por lo que acabamos de ver, la gráfica

de será la grafica de las ecuaciones queresultan al hacer cada uno de los factores

f x y x y

f x y x y x y

a cero.

2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y

La gráfica de0

es una recta que pasa por el origen conpendiente 1; es decir, es una rectaque pasa por el origen y que hace unángulo de 135 grados con el eje .

2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y

La gráfica de0

es una recta que pasa por el origen conpendiente 1; es decir, es una recta quepasa por el origen y que hace unángulo de 45 grados con el eje .

Por tanto, la gráfica de la ecuación

0son dos líneas rectas.Ambas pasan por el origen,una hace con el eje un ángulo de 135 gradosy la otra hace con el eje un ángulo de 45 grados

2 2Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación ,f x y x y

2 2 0x y

Gráfica de una ecuación y lugares geométricosIntersección de curvas

Considere un sistema de dosecuaciones independientes , 0 , 0f x y g x y

Intersección de curvas

Si sus gráficas se cortan en uno ó más puntos, cada uno de estos puntos se llama punto de intersección.

Considere un sistema de dos ecuaciones independientes

, 0 , 0f x y g x y

La interpretación analítica de un punto de intersección de las dos gráficas, es que es un punto cuyas coordenadas representan una solución común a las dos ecuaciones

Considere un sistema de dos ecuaciones independientes

, 0 , 0f x y g x y

2 13 9x yx y

2 13 9

x yx y

2 1 3 9

5 1010 25

x y x y

2 1 3 9

5 1010 25

2 1 2 2 1 3

x y x y

2 1 3 9

x y x y

Encontrar la intersección de las curvas y 3 92 1x y x y

Intersección de curvas. Ejemplo 1

Ejercicio 11, parágrafo 21, página 49.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2 1x y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

3 9x y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

9x yx y

Encontrar la intersección de las curvas

y 8 2y xx y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

y2 2 8x y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

y2 2y x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Hay dos puntos de intersección:2,2 y

y xx y

2 4 4 1 8 2 36 2 62 2 2

2 2 2Encontrar la intersección de las curvas

y 8 2y xx y

2 2 4 2

8 No existe

y 8 2y xx y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

2 2 22

y 1 4x yx y

Ejercicio 18,parágrafo 21,página 49

2 2 2 21 y 4x y x y

Para encontrar la intersección deestas dos curvas debemos resolverlas ecuaciones simultaneamente

2 2 2 2

1 y 4Sumando las dos ecuaciones, obtenemos

5y por tanto, 2

x y x y

2 2 2 21 y 4x y x y

2 2 2 2

5Sustituyendo en la primera2

5obtenemos 12

5 3que nos da 12 2

que no existe en los números reales.

x y x y

2 2 2 21 y 4x y x y

Las dos curvasno se intersectan,como es evidentede sus gráficas.

2 2 2 21 y 4x y x y

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