geometria 2do ok.pdf
Post on 02-Mar-2018
254 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
1/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
1
Figuras geomtricas
Son las ideas obtenidas a partir de la forma de unobjeto.
Elementos geomtricos
Son las ideas geomtricas que no tienen medida.
A. El Punto
Es la idea geomtrica ms pequea. La marca
de un lpiz, un grano de azcar, un residuo de
tiza, etc., nos dan la idea de punto. Se nombra
con una letra mayscula.
B. La Recta
Los puntos sucesivos en una misma direccin
e ilimitadamente nos representa una recta. Se
nombra con una letra minscula.
C. El plano
Es la idea geomtrica obtenida a partir de la
mayora de superficies. Todo plano puede
obtener completamente figuras geomtricas. Se
le nombra con una letra mayscula.
Plano R
Rectngulo
Tringulo
Trapecio
Circunferencia
Cilindro
Prisma
A Punto A M Punto M
Recta l
l
GEOMETRA.
NOCIONES PRELIMINARES.
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
2/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
2
1. Cuntas rectas se pueden trazar que pasenpor A, B y C?
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
2. Cuntas rectas se pueden trazar por A, B,C y D?
a) 3 b) 8 c) 4d) 5 e) 6
3. Cuntas rectas se pueden trazar por lospuntos: A, B, C, D y E?
a) 8 b) 5 c) 6d) 12 e) 10
4. Cuntos tringulos hay en el grfico?
5. Cuntos cuadrilteros hay en el grfico?
6. Cuntos tringulos hay en el grfico?
7. Cuntos tringulos hay en el grfico?
8. Cuntos tringulos hay en el grfico?
9. Cuntos cuadrilteros hay en el grfico?
10. Cuntos cuadrilteros hay en el grfico?
A
B
C
AB
CD
A
B C
D
E
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 01
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
3/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
3
1. Cuntos tringulos hay en el grfico?
2. Cuntos cuadrilteros hay en el grfico?
3. En el grfico anterior, cuntos tringuloshay?
4. Cuntos tringulos hay en el grfico?
5. Graficar tres rectas que pasen por el puntoA.
A
6. Graficar las rectas que pasen por los puntosmostrados, y responde cuntas rectas hay.
B
CA
7. Graficar las rectas que pasen por los puntosP, Q, R y S, y responde cuntas rectas
hay.
S
P R
8. Graficar las rectas que pasen por los puntosmostrados y dar el nmero de rectas.
A F
B E
C D
9. Cuntos tringulos hay en el grfico?
10. Cuntos tringulos hay en el grfico?
11. Halle el nmero total de tringulos.
B
A
P
C
D
TAREA DOMICILIARIA N 01
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
4/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
4
1. Cuntos tringulos hay en el grfico?
2. Cuntas circunferencias hay en el grfico?
3. Cuntos cuadrilteros hay en el grfico?
4. Graficar un punto E y trazar todas las rectasque pasen por E. Cuntas rectas puedes
contar?
a) 1 b) 2 c) 3d) 10 e) infinitas
5. Graficar a los puntos A y B. Cuntasrectas se pueden trazar de tal manera quepasen a la vez por A y B?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6. Cuntos tringulos hay en el grfico?
B
A
P
C
D
TALLER DE APRENDIZAJE N 01
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
5/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
5
Rectas paralelas
Dos rectas paralelas son aquellas que no tienenpunto de corte.
Rectas secantes
Dos rectas son secantes si tienen un punto encomn.
Planos paralelos
Son aquellos que no tienen ni un punto encomn.
P y Q son planos paralelos (P // Q)
Planos secantes
Son aquellas que tienen una recta en comn.
R y Q son planos secantes
es la interseccin entre R y Q
Partes de una recta
a. Rayo.-Es la parte de una recta que tiene unpunto de origen y es ilimitado en un slosentido.
b. Segmento de recta.- Es la porcin de lnearecta que tiene por extremos a dos puntos. Sumedida se expresa en unidades de longitud.
AB = 24 cmSegmento AB:
MN = 36 cmSegmento MN:
a
b
a es paralela a b ( a // b)
m
n
P
P es el punto de interseccin
m y n son secantes
l
A B
24 cm
M
N
36 cm
MN
GEOMETRA.
IDENTIFICACIN DE LOS ELEMENTOS GEOMTRICOS
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
6/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
6
1. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre tres rectas secantes y una
circunferencia.a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 11
2. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre cinco rectas paralelas y unacircunferencia.a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
3. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre ocho rectas paralelas y unacircunferencia.a) 12 b) 16 c) 18d) 20 e) 22
4. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre un tringulo y una circunferencia.a) 6 b) 4 c) 9d) 8 e) 10
5. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre dos rectas secantes y un tringulo.a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
6. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre cinco rectas paralelas y cuatro rectas
secantes.
7. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre seis rectas secantes.
8. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre cinco circunferencias secantes.
9. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre dos tringulos y una circunferencia.
10. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre un tringulo, un cuadriltero y unacircunferencia.
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 02
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
7/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
7
1. Cuntos puntos de corte hay en elgrfico?
2. Cuntos puntos de corte hay?
3. Hallar el mximo nmero de puntos decorte de cuatro rectas secantes.
4. Hallar el mximo nmero de puntos decorte de tres rectas paralelas y dos rectassecantes.
5. Hallar el mximo nmero de puntos decorte entre cinco rectas paralelas y unacircunferencia.
6. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre seis rectas paralelas y un tringulo.
7. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre tres rectas secantes y un tringulo.
8. Hallar el nmero mximo de puntos de corteentre un cuadriltero y una circunferencia.
9. Cuntos puntos de corte hay?
10. Cuntos puntos de corte hay entre eltringulo, la circunferencia y las dos rectasparalelas?
B
A C
TAREA DOMICILIARIA N 02
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
8/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
8
1. Hallar el nmero de puntos de corte al graficarcuatro rectas paralelas y una recta secante a
ellas.
2. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre tres rectas secantes entre s.
3. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre cinco rectas paralelas y dos rectassecantes.
4. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre cuatro rectas secantes.
5. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre dos rectas paralelas y unacircunferencia.
6.- Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre seis rectas secantes y dos paralelas.a) 19 b) 21 c) 23d) 25 e) 27
TALLER DE APRENDIZAJE N 02
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
9/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
9
Puntos colineales
Son puntos que pertenecen a una lnea recta.
A, B y C son puntos colineales porquepertenecen a y se pueden contar tressegmentos de recta.
Segmentos consecutivos
Son segmentos que tienen un extremo comn y
son de 2 tipos:
Suma y resta entre longitudes de segmentos
consecutivos y colineales
Observacin:
I.
II. Punto medio de un segmento de recta.- Es
el punto que pertenece al segmento y lo divide
en medidas iguales.
A B C
L
L
A
B
C
A
BC
D
No colineales
A B C
DA B C
Colineales
E F H
EH = 8 + 14 = 22 cm
8 cm 14 cm
P Q R
PQ = 36 - 12 = 24 cm
12 cm
36 cm
AD = 6 + 10 + 14 = 30 cm
A B C D14 cm10 cm6 cm
LE = 23 - (13 + 7)LE = 3 cm
23 cm
A L E J7 cm13 cm
MP = a + b
M N P
ba
AN = x - y
yA N Q
x
13 cm
A M B
26 cm
13 cm
M es punto medio de AB
aP Q R
Q es punto medio de PR
a
GEOMETRA.
SEGMENTOS DE RECTA
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
10/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
10
1. De acuerdo a la figura, indicar si esverdadero (V) o falso (F) lo que acontinuacin se menciona.
a) AB BC = AC ( )
b) AB BC = AC ( )
c) AB BC = B ( )d) AB + BC = AC ( )
2. De acuerdo a la figura. Calcule BC. AD =10, AC = 8 y BD = 6
a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10
3. Hallar mBC . Si: AB = 10, BD = 24 y C es
punto medio de AD ?
a) 2b) 3c) 5d) 7
e) 8
4. Halle el valor de mBC . Si: AB = 14, BD =
18 y C es punto medio de AD .
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
5. Relacione de manera adecuada lo que a
continuacin se menciona
El postulado de la reunin, indica queeles igual a la suma de las
Dos segmentosson.. si tienen lamisma longitud.
La mnima distanciaentre.......es la longitud delsegmento que los une.
6. Si: A, B, C y D son puntos colineales. Halleel valor de BC cuando AC = BD = 3 y AD =
5
a) 1 b) 2 c) 3d) 0,5 e) 1,5
7. Halle el valor de BC. Si AD = 12, AC = 10y BD = 9
a) 5b) 4c) 6d) 8e) 7
8. Halle el valor de x. Si : PR = 30
a) 8b) 20c) 10d) 15e) 6
9.Si : AB = 12
a) 2
b) 4c) 6d) 8e) 10
10. Halle el valor del menor segmentodeterminado, Si : AD = 21
a) 12b) 2c) 6d) 3e) 4
11. Del problema anterior, halle el valor de:CDBCa) 1b) 2c) 3d) 4e) N.A.
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 03
A B C
A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
P Q R
x x + 10
A M B
A B C D
x+3 x+4 x+5
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
11/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
11
1. De acuerdo a la figura indicar. Si esverdadero (V) o falso (F) lo que a
continuacin se menciona.
PQ + QR = PR ( )PRQR = PQ ( )
PQ QR = PR ( )
PR PQ = PQ ( )
2. De la figura, indique el valor de BC
a) 3b) 5c) 7d) 9e) 4
3. De la figura, halle la longitud del menorsegmento. Si : AC = 10
a) 2b) 2,5
c) 3d) 3,5e) 4
4. Halle el valor de la longitud del menorsegmento. Si : AD = 27) 9b) 8c) 7d) 6e) 5
5. Calcule la mnima distancia entre los puntosA y D.
a) 5b) 10c) 7d) 8e) Imposible
6. De acuerdo a la figura. Halle el valor de : AB+ BD
a) 10b) 15c) 5d) 20e) 12
7. Del problema anterior, indique si esverdadero (V) o falso (F) lo que acontinuacin se menciona.
a) AB = BC ( )b) BCAB = 2 ( )
c) AD = 15 ( )d) AD BC = BC ( )8. Encuentre el valor de: ABBC
a) 0b) 5c) 7d) 2e) F.D.
9. De acuerdo a la figura relacionecorrectamente los datos de ambascolumnas.
a) x ( ) 12b) ABBM ( ) 5c) AB ( ) 2
d) BM MC ( ) BC
10. Calcular BC, si: AB = 10, BD = 16 y C espunto medio de AD.
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
11. Halle el valor del mayor segmento,determinado por los puntos A, B y C.
a) 2b) 8c) 10d) 6e) imposible
TAREA DOMICILIARIA N 03
P Q R
A B C D
12
10
15
A B C
x x + 3
A B C D
x - 1 x + 1x
3 + x 2 + x 52x
x + 3 x + 5 7 - 2x
A B C D
A B C D
x + 7 x
A B C
A B CM
x + 10 x + 5 9 - x
A B DC
A B C
x + 2 8 - x
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
12/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
12
1. Calcular BC, Si : AD = 12, AC = 9 yBD = 10
a) 5b) 6c) 7d) 8e) 4
2. Halle el valor de ABBC.
a) 9b) 12c) 15d) 3e) 5
3. Halle el valor de BCa) 10b) 20c) 30
d) 40e) 50
4. Del problema anterior. Hallar mACmBC.
a) 10
b) 20c) 15d) 13e) 12
5. Relacione de manera adecuada los datos deambas columnas.
a) ( ) MBMA = 5
( ) AM = MB
( ) AM MB
6. De acuerdo a la figura. Halle el valor de:BCABa) 5b) 10c) x50
d) 0e) F.D.
TALLER DE APRENDIZAJE N 03
A B C D
12 + x 3 +x
A B C
P2
A B C
2P2
30
A M B
A M B
a + 1 a
A M B
a a + 5
x50+ x50
C B A
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
13/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
13
El ngulo est formado por dos rayos con el mismo origen donde dicho punto representa el vrtice delngulo.
- ngulo AOB: ; AOB
- es la medida del ngulo
Clases de ngulos
A. ngulo agudo
Es el ngulo cuya medida es menor de 90.
O
A
B
Lados
Vrtice
0
180
90
70
1
80
70
0
TRANSPORTADOR
0
90
110110 0
TRANSPORTADOR
O
A
B
40
m AOB = 40 m Q = 60
Q
R
P
60
N
E
M
80
m MNE = 80
GEOMETRA.
NGULOS.
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
14/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
14
B. ngulo recto
Es el ngulo cuya medida es 90.
C. ngulo obtuso
Es el ngulo mayor de 90 y menor de 180.
D. ngulo llano
Es el ngulo que mide 180 y se grafica como una recta.
Observacin:Las rectas secantes que forman 90 se llaman rectas perpendiculares.
y son perpendiculares
m AOC = 90
O C
A
m EMN = 90
M
NE
m D = 90
DE
H
m AOB = 100
O
100
A
B
m PQT = 120
Q
120
P
T
m B = 160
B
160
mBOC
=180
O
180B
C m P = 180
P
180
l1 l2l1
l2
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
15/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
15
1. Graficar un ngulo de 138 y cmo seclasifica.
2. Graficar un ngulo de 64 y cmo se clasifica.
3. Graficar un ngulo de 47 y cmo se clasifica.
4. Medir los ngulos de vrtices A y B y cmose clasifica.
5. Medir los ngulos de vrtices P y R. Luegoclasificarlos.
6. Trazar dos rectas perpendiculares a la recta l.
7. Medir los ngulos de vrtices A, B y C,luego sumar los resultados.
8. Medir los ngulos de vrtices P, Q y R,luego sumar los resultados.
9. Medir los ngulos de vrtices A, B, C yD, luego sumar los resultados.
10. Calcular
A
B
C
P
Q
R
l
A
B
C
P
Q
R
A
B
C
D
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 04
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
16/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
16
Graficar los ngulos que se indican y decir su tipo.
1. 35
2. 65
3. 104
4. 170
5. 28
6. 126
7. 58
8. 46
9. 120
10. 10
TAREA DOMICILIARIA N 04
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
17/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
17
1. En el grfico, mide los ngulos de vrtices Ay B.
mA = .................
mB = .................
2. En el grfico, mide los ngulos de vrtices By C.
mB = .................
mC = .................
3. Graficar un ngulo de 85 y cmo se clasifica.
4. Graficar un ngulo de 125 y cmo seclasifica.
5. Graficar un ngulo de 172 y cmo seclasifica.
6. Graficar un ngulo de 185 y cmo seclasifica.
7. Graficar un ngulo de 135 y cmo seclasifica.
8. Graficar un ngulo de 152 y cmo seclasifica.
A
B
C
A
B
C
D
TALLER DE APRENDIZAJE N 04
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
18/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
18
ngulos opuestos por el vrtice
Son los ngulos que se forman al trazar dos rectassecantes.
ngulos consecutivos
Son dos; tres o ms ngulos que tienen el mismovrtice y un lado en comn respectivamente.
Suma y resta de ngulos consecutivos
Observacin
La bisectriz de un ngulo es el rayo que divide al nguloen dos nuevos ngulos de medidas iguales.
A
Vrtice
B
Vrtice
A
B
C
O
40 60
AOB y BOC son consecutivos
P
Q
R
S
50
7020
O
POQ; QOR y ROS son consecutivos
D
A
B
C
35
3025
O
AOB; BOC y COD son consecutivos
POQ; QOR y ROS son consecutivos
S
Q
R
3580
65
OP
Recta
A
B
y
O
C
y = +
A
B
x
O
C
x = -
OM es bisectriz del AOB
A B
O
M
OP es bisectriz del COD
C
D
O
P
GEOMETRA.
OPERACIONES CON NGULOS CONSECUTIVOS.
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
19/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
19
1. Si: es bisectriz del AOB, hallar .
a) 48 b) 96 c) 12d) 36 e) 24
2. Hallar
a) 72 b) 74 c) 59d) 68 e) 78
3. Si: mAOB = 30 y mBOC = 80
Adems es bisectriz del , hallarmBOM.
a) 35 b) 25 c) 15d) 45 e) 40
4. Hallar , si: mAOD = 80.
a) 15 b) 14 c) 16d) 18 e) 20
5. Hallar x
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 25
6. Se tienen los ngulos consecutivos AOB y
BOC de tal manera que el ngulo AOB mide
50. Calcular la medida del ngulo formadopor las bisectrices de los ngulos AOC y BOC.
7. Si: mBOC = 80; OM y ON son bisectrices de
los ngulos AOC y COD, calcular la mMON.
8. Calcular x, si: mAOC + mBOD = 130
9. Se tiene dos ngulos consecutivos POQ y
QOR. Se traza OM bisectriz del POQ.
Si: mPOR + mQOR =140, calcular la
mMOR
5
48A
MB
O
C
Recta
DOA
C
38 64
B
AOC
A
BM
O
C
3
D
A
B
O
C
Recta
DOA
C
x
4x
B
A
B
C
DO
N
M
x
B
C
DO
A
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 05
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
20/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
20
1. Si: mAOB = 20 y m AOC = 100, hallar:
mBOC.
2. Si: m AOD = 120, m BOC = 70 y m AOB .
3. Hallar
4. Hallar x
5. Hallar x, si: m AOD = 110.
6. Hallar x
7. Si: m AOC = 120, m BOC = 20 y esbisectriz del ngulo AOB, hallar: m MOC.
8. Si: m es bisectriz del POR, hallar: m MOQ.
9. Si: es bisectriz del y es bisectriz
del , hallar: m MON, si adems: m BOC = 40.
10. Si: m AOB = 36, y son bisectricesde los ngulos AOB y COD, hallar: m MON.
A
BC
O
A
B
C D
O
32
x
4x
A
B C
D
x2x
50
O
x1203x
OM
A
M B
C
O
OM
P
M Q
R
O
OM AOC ON
BOC
A
M B NC
O
OM ON
TAREA DOMICILIARIA N 05
A
M
B
C
N
DO
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
21/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
21
1. En el grfico, hallar .
2. Hallar x, si: mAOC = 158 y es
bisectriz del .
3. Hallar , si: mAOC = 80.
4. Hallar "x"
5. Hallar "x", si: mAOC = 84.
6. Si: m
AOB - m
BOC = 70; calcular lamMOB, si es bisectriz del AOC.
30
2
OM
BOC
C
O
Ax
64
B
M
4
C
O
A
B
COA
B
Recta3x
x
32 + x28
A
BC
O
TALLER DE APRENDIZAJE N 05
M
B
C
OA
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
22/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
22
Los ngulos de referencia son los de 90 y 180de tal manera que al conocer un ngulo agudo uobtuso se pueden relacionar con dichos ngulos.
Complemento de un ngulo
Es el ngulo que le falta a un ngulo dado paraser igual a 90.
Complemento de 30 = 90 - 30Complemento de 30 = 60
Complemento de 50 = 90 - 50Complemento de 50 = 40
Complemento de 62 = 90 - 62Complemento de 62 = 28Suplemento de un ngulo
Es el ngulo que le falta a un ngulo dado paraser 180
Suplemento de 40 = 180 - 40Suplemento de 40 = 140
Suplemento de 100 = 180 - 100Suplemento de 100 = 80
Suplemento de 60 = 180 - 60Suplemento de 60 = 120
Suplemento de 130 = 180 - 130Suplemento de 130 = 50
Observacin:
Dado un ngulo :- Complemento de = (90 - )
- Suplemento de = (180 - )
30
50
62
40
100
60
130
GEOMETRA.
SUPLEMENTO Y COMPLEMENTO DE UN NGULO
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
23/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
23
1. Calcular el complemento de 32.
2. Calcular el suplemento de 48.
3. Calcular el complemento de 53.
4. Calcular el suplemento de 116.
5. Calcular el complemento de 28 ms el suplementode 108.
6. Calcular el suplemento de 46 menos elcomplemento de 72.
7. Calcular el complemento de 74 y luego del
resultado su suplemento.
8. Calcular el suplemento de 134 y luego elcomplemento del resultado.
9. Calcular el complemento de 56 y luego elcomplemento del resultado.
10. Calcular el suplemento de 108 y luego elsuplemento del resultado.
11. Calcular la medida de un ngulo cuyo suplemento ycomplemento suman 200.
12. Si el complemento de un ngulo es el doble de lamedida de dicho ngulo, calcular la medida de dichongulo.
13. Calcular el suplemento del complemento de 70.
14.Si el complemento del suplemento de 3 y elcomplemento de suman 80, calcular el
suplemento de .
15. Si el suplemento de un ngulo es el cudruple de sucomplemento, calcular la medida de dicho ngulo.
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 06
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
24/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
24
1. Calcular el complemento de 26.
2. Calcular el suplemento de 83.
3. Calcular el complemento de 72.
4. Calcular el complemento de 54.
5. Calcular el suplemento de 114.
6. Calcular el suplemento de 123.
7. Calcular el complemento de 48.
8. Calcular el suplemento de 100 ms el complemento de 50.
9. Calcular el suplemento de 80 menos el complemento de 60.
10. Calcular el complemento de 70 ms el suplemento de 130.
11.En el grfico, hallar x y tambin el complemento de x.
12. Hallar "" y tambin el suplemento de .
13. Si: m
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
25/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
25
1. Hallar x
2. Hallar el complemento de .
3. Hallar el complemento de 16 ms elsuplemento de 128.
4. Hallar la suma del complemento de 44 y delcomplemento de 58.
5. En se ubica el punto B, tal que: AB - BC= 10. Calcular la distancia de B al puntomedio de .
6. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos G, O, K y U. Calcular
GU, si: GK = 20y GU + KU = 50.
x
3x2x
4x
A
B C
D
139
2 100
O
AC
AC
TALLER DE APRENDIZAJE N 06
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
26/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
26
I. NGULOS ALTERNOS INTERNOS
Son los pares de ngulos que se encuentranentre dos rectas y en lados diferentes de larecta secante.
A.
es secante a las rectas y
no es paralela a
Entonces:
B.
es secante a las rectas paralelas y
( // ).
Entonces:
Si:
Entonces:
II. NGULOS CORRESPONDIENTES
Son los pares de ngulos que se encuentrana un mismo lado de la recta secante y a unmismo lado de cada recta.A.
Las rectas y no son paralelas.
Entonces:
B.
Si: //
Entonces:
m
L1
L2
m L1 L2
L1 L2
es diferente a
y son medidas de ngulos alternos internos
n
x
y
L1
L2
n L1
L2
L1 L2
x = y
x e y son medidas de ngulos alternos internos
L1
L2
L1
L2
=
y son medidas de ngulos alternos internos
a
b
L
a b
no es igual a
y son medidas de ngulos correspondientes
m
n
L
m n
=
y son medidas de ngulos correspondientes
GEOMETRA.NGULOS DETERMINADOS ENTRE DOS RECTAS Y UNA SECANTE
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
27/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
27
1. Hallar , si: // .
2. Si: // , hallar x.
3. Si: // , hallar .
4. Hallar x, si: // .
5. Si: // , hallar .
6. Hallar , si: // .
7. Si: // , hallar x.
8. Hallar x
9. Hallar x
10. Si: // , hallar x.
a b
54
a
b
m n
115
x
m
n
L1 L2
L1
L2
48
2
a b
142
x + 30 a
b
m n
3 54
m n
m n
136
m
n
a b
x
44
a b
128
x
122
2x
L1 L2
L1
L2
148
4x
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 07
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
28/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
28
1. Hallar x, si: .
2. Hallar y, si: .
3. Hallar x, si: // .
4. Hallar y, si:
5. Hallar x, si: .
6. Si: // , calcular x
7. Calcular x, si: //
8. Si: // // , calcular x
9. Calcular x, si: //
10. Si: // , calcular x
11.Hallar x, si:
m // n
148
m
nx
a // b
46a
b
y
L1 L2
138
2x
L1
L2
a // b
111
3y
a
b
a // b
1562x+4
a
b
a b
2xa
b58
m n
x
50 m
n
110
a b c
x50b
c
a70
m n
x116
n
m
122
L1 L2
x
110L1
40
L2
m // n
71
3x - 1m
n
TAREA DOMICILIARIA N 07
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
29/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
29
1. Si: // , hallar x.
2. Hallar x, si: // .
3. Si: // , hallar x.
4. Si: // , hallar .
5. Si: // // , hallar x.
6. Si: // , calcular x
a b
144
3x
a
b
m n
126
9x
m
n
m n
x + 40
34
m
n
a b
4
20
a
b
L1 L2 L3
134
x
52
L1
L2
L3
m n
m
n2
2
x
TALLER DE APRENDIZAJE N 07
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
30/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
30
i) ngulos opuestos por el vrtice son de
medidas iguales
ii) ngulos consecutivos y suplementarios
iii) ngulos internos
iv) ngulos correspondientes
180 -
y
y
x x
GEOMETRA.
OPERACIONES CON NGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
31/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
31
1. Hallar x, si: // // .
2. Si: // // , hallar x.
3. Hallar x, si: // // .
4. Hallar x, si: // // .
5. Hallar , si: // //
6. Si: // , calcular x
7. Calcular x, si: //
8. Si: // , calcular x
9. Calcular x, si: //
a b c
148
156
x
a
b
c
m n L
33
47
x
m
n
L
L1 L2 L3
x
126
L1
L2
L3
L1 L2 L3
155
x
L1
L2
L3
60
m n L
131
72
m
n
L
L1 L2
L1
L2x
2 130
a b
a
b120
140
x
a b
a
b
80
130124
x
m n
m
n 22
58
x
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 08
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
32/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
32
1. Hallar x, si: // .
2. Si: // , hallar .
3. Si: // // , hallar y.
4. Si: // // .hallar .
5. Si: // // , hallar .
6. Si: // // , hallar .
7. Calcularx; si: 1L // 2L
a) 16
b) 32
c) 24
d) 18
e) 20
8. Si: // // , hallar .
9. Si: // // , hallar x e y.
10. Si: // // , hallar el complemento de.
11.Calcularx. Si : 1L // 2L a) 50
b) 100
c) 110
d) 55
e) 65
m n
46
2x
m
n
a b
123
a
b
a b c
154
34
y
a
b
c
L1 L2 L3
50
L1
80 L2
L3
m n L
64
m
n
L
a b c
105
25 a
b
c
m n L
m
L
28
20
n
a b c
a
b
c
y
37
130
x
m n L
26
m
n
L
86
TAREA DOMICILIARIA N 08
110 x
36
x
20
L1
L2
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
33/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
33
1. Si: // , hallar x.
2. Hallar x, si: // .
3. Si: // , hallar x.
4. Si: // , hallar .
5. Si: // // , hallar x.
6. Si: // , calcular x
a b
144
3x
a
b
m n
126
9x
m
n
m n
x + 40
34
m
n
a b
4
20
a
b
L1 L2 L3
134
x
52
L1
L2
L3
m n
m
n2
2
x
TALLER DE APRENDIZAJE N 08
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
34/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
34
I. DEFINICIN DE TRINGULOEs la figura geomtrica formada por tressegmentos consecutivos; no alineados y deextremos comunes.
Elementos:
Vrtices: A, B y C Lados: , y Medidas de ngulos internos: , y Permetro: a + b + c
(suma de los lados)
II. CLASIFICACIN
Se clasifica de acuerdo a las longitudes de loslados y de acuerdo a las medidas angulares.
A. De acuerdo a sus lados
Escaleno
Lados de diferentes medidas.
Issceles
Dos lados de igual medida.
Equiltero
Los tres lados son de iguales medidas.
B. De acuerdo a sus ngulos
Acutngulo
Los ngulos internos son agudos.
Obtusngulo
Un ngulo interno es obtuso.
Rectngulo
Un ngulo interno es recto.
III. PROPIEDAD FUNDAMENTALEn todo tringulo, la suma de las medidas desus ngulos internos es igual a 180.
A
B
C
a
b
c
AB BC AC
Base
60
60 60
+ + = 180
m + n = 90
m
n
GEOMETRA.
TRINGULOS
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
35/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
35
1. Hallar x y clasificar el tringulo REF.
2. Hallar el menor ngulo interno de un tringulorectngulo issceles.
3. Hallar el mayor ngulo de un tringuloissceles, si los ngulos iguales miden 56.
4. Hallar x y clasificar el tringulo AME.
5. Hallar y clasificar el tringulo PQR.
6. Calcular x
7. Calcular x
8. Si: AC = BC, calcular x
9. Calcular x
10. Si el tringulo ABC es equiltero, calcular supermetro.
R
E
Fx3x
80
A
M
E
452x
3x
80
I
x
A
B
C
70 50
xA
D
B
C
80
x
A
B
C
65 30
75
x
A B
D
C
A
2x-1 x+5
B
C
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 09
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
36/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
36
En cada ejercicio, calcular lo indicado yadems clasificar a los tringulos:
1. Hallar
2. Hallar el complemento de .
3. Hallar x
4. Hallar el suplemento de .
5. Calcular
6. Hallar
7. Hallar
8. Hallar
9. Hallar
10. Calcular x + y + z
a) 60b) 120c) 180
d) 90e) 360
11. Calcular x , Si : mCBE = mBEC
a) 108b) 72c) 36d) 24e) 12
104
46A
B
C
P T
Q
85
73
3x
5x
36E
I
L
A
E
L
63
59
W
A
L
20
15
2 118
18
P
Q
T
R
Q
T
32
83
5
N
L
M
28
A
E
L34
TAREA DOMICILIARIA N 09
x
y
z
36
2x
xB C
A E D
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
37/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
37
1. Hallar x y clasificar el tringulo AEF.
2. Hallar y clasificar el tringulo MNF.
3. Hallar y clasificar el tringulo PQN.
4. Hallar x y clasificar el tringulo AEF.
5. Hallar y clasificar el tringulo AEF.
6. Hallar el complemento de x.
A
E
Fx76
86
M
N
F
36 72
P
Q N32
E
A F
x
48
E
A F
60
3 cm
3 cm
54
4x 2x
L
E I
TALLER DE APRENDIZAJE N 09
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
38/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
38
I. ngulos exteriores en el tringulo:
.II. Propiedad del ngulo exterior
En todo tringulo la suma de dos ngulos internos es igual a la medida del tercer ngulo externo
30
80 Exterior
60
80 Exterior
2575
Exterior
5038
Exterior
92
54
78
Exterior
72
36
Exterior
y
y = +
n
m
= m + n
e
e
e = +
GEOMETRA.
OPERACIONES EN EL TRINGULO
En cada tringulo se dan como datos dos ngulos internos y por la propiedad fundamental, se
halla el tercer ngulo interno y luego el ngulo externo.
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
39/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
39
1. Hallar x
2. Hallar y
3. Hallar
4. Hallar x
5. Hallar x
6. Calcular x
7. Calcular x
8. Calcular x
9. Calcular x
10.Calcular x, si: //
38
24
x
4846
y
32
2
50
x
130
4x
5x
14x
A
E
B
C
50 60
30
D
x
x
35
140
130
2x
6x
5x
2x100
x125
L AC
A
B
C
70130
L
x
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 10
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
40/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
40
1. Hallar x
2. Hallar la medida del ngulo exterior de untringulo equiltero.
3. Hallar el mayor ngulo externo de un tringulorectngulo issceles.
4. Hallar x
5. Hallar
6. Hallar x
7. Hallar y
8. Hallar x
64
52
x
100
34
118 x
80
76
34
69x
2x
32
59
y
2x 3x
85
TAREA DOMICILIARIA N 10
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
41/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
41
1. Hallar
2. Hallar
3. Hallar
4. Si dos ngulos internos de un tringulo miden46 y 34, hallar la medida del ngulo externo
del tercer ngulo.
5. En un tringulo issceles, el mayor ngulointerno mide 100. Calcular el ngulo externode uno de los otros dos ngulos.
6. En un tringulo issceles, el mayor ngulointerno mide 100. Calcular el ngulo externode uno de los otros dos ngulos.
42
50
38
2644
4
63
51
28
TALLER DE APRENDIZAJE N 10
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
42/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
42
I. MEDIANA
Es el segmento de recta que tiene porextremos a un vrtice y al punto medio del
lado opuesto a dicho vrtice.
es mediana del tringulo ABC
es mediana del tringulo AEH
II. BISECTRIZ
A. Bisectriz interior
Es el segmento que divide a un ngulointerno en medidas iguales.
es bisectriz del tringulo APQ
es bisectriz del tringulo HNM
B. Bisectriz exterior
Es el segmento que divide a un ngulo
externo en medidas iguales.
es bisectriz exterior del tringulo AEF
es bisectriz exterior del tringulo MPQ
A
B
C
M
AM
A
E
HN
EN
A
P
QE
PE
R
M
N
H
NR
A
E
F R
ER
M
P
E
Q
QE
GEOMETRA.
LNEAS NOTABLES EN EL TRINGULO I
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
43/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
43
1. es bisectriz exterior del tringuloATM, hallar.
2. es mediana. Hallar y, si: NP = 18.
3. Si es mediana y AM + AC = 42 cm, hallarMC.
4. En un tringulo ABC: m
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
44/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
44
1. Graficar el tringulo ABC: mA = 60 y mB= 80, luego se traza la bisectriz interior .
Hallar: mAEC.
2. Graficar el tringulo PQR y trazar la mediana. Hallar QM, si: QR = 24 cm.
3. Si: es bisectriz, hallar x.
4. Hallar x, si: es bisectriz.
5. Si: es mediana, hallar x.
6. Si: es mediana y QR = 30 cm, hallar x.
7. Si: es bisectriz, hallar .
8. Hallar x, si: es bisectriz exterior.
CE
PM
AE
A
B
E
C
78
26
x
BF
A
B
F C
34 50
x
AM
A
B
M
13
3x+1
C
PN
P
Q
N
x+1
R
AE
A
B
E
C
31
BE
38
B
A C E60 x
TAREA DOMICILIARIA N 11
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
45/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
45
1. Si: es bisectriz, hallar x.
2. Hallar , si: es bisectriz.
3. En el grfico es bisectriz exterior deltringulo ARQ. Hallar .
4. Hallar , si: es bisectriz exterior.
5. Hallar x, si: es bisectriz exterior.
CE
A
E
B
C40
80
x
QF
P
Q
RF
35 85
RE
A
R
EQ
36 104
FD
35
F
ADE
115
CP
A
B
C
P
44
86
x
TALLER DE APRENDIZAJE N 11
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
46/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
46
I. ALTURA
Es el segmento trazado desde un vrtice enforma perpendicular al lado opuesto de untringulo.
es altura del tringulo ABC relativa a
es altura del tringulo ENF relativa a
es altura del tringulo AEL relativa a
es altura del tringulo PQR relativa al lado
II. MEDIATRIZ
Es la recta perpendicular y que pasa por elpunto medio de un segmento de recta.
es mediatriz de
es mediatriz del lado
n es mediatriz relativa a del tringuloPQR
es mediatriz relativa al lado deltringulo ABC.
AH
B
C
BH AC
EN
F
L
FLEN
A
N
L
E
EN AL
P
Q
H
R
RH PQ
E M F
L
L EF
A
B
M
C
L1
L 1 BC
Q n
P R
PQ
A
Bm
C
AC
GEOMETRA.
LNEAS NOTABLES EN EL TRINGULO II
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
47/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
47
1. Si: es altura, hallar .
2. Hallar x, si: es altura.
3. Hallar x, si es mediatriz de .
4. Hallar x, si es mediatriz de .
5. Si: es altura, hallar x - y.
6. Hallar x, si es mediatriz de .
7. Si: es altura, hallar x - y.
8. es mediatriz de , hallar .
9. es altura del AMN, hallar el suplemento
de x.
10.Hallar x, si es mediatriz de .
BN
80
70
AN C
B
FM
A
E
M
F36
x42
L AC
A
x
B
C
L
76
64
n AB
Ax
B
C
n 54
68
AH
A
x
y
E
N
H80
70
L BE
A
B
C E
L
x30
45
L
A
N
x
y
B
C46
54
L BE
AB P
38
22
E
L
AF
F
M
A N
x
23 27
L AB
B
24
E A
L
Cx28
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 12
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
48/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
48
1. Hallar x, si: es altura.
2. Hallar x, si es bisectriz.
3. Hallar x, si es bisectriz exterior deltringulo ALE.
4. En el grfico, es mediatriz de . Hallarx.
5. Hallar x, si: es mediana y BC = 22 cm.
6. Hallar x, si: es altura del tringulo ABC.
7. Hallar , si: es mediatriz de .
8. Hallar x, si: es bisectriz.
9. Si: es bisectriz del ABC, hallar x.
10. Si: es bisectriz, hallar x.
BH
36
84
x
A
B
CH
AE
A
B
C
E
x
92
44
EN
A
E
L N
x 2416
L AC
A
B
C
x
L
78
63
AM
A
B
C
M
x + 3
CN
A
BN
C
4628
x
L BC
AB
P
C
1622
L
QE
P E R6844
Q
x
BD
A
B
CD
x40
BF
A
B
CF
38 x 26
TAREA DOMICILIARIA N 12
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
49/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
49
1. Si: es altura, hallar x.
2. Si: es altura, hallar - .
3. es mediatriz de . Hallar x.
4. es mediatriz de y AB = 28 cm, hallar
"x".
5. En el grfico es altura del tringulo RMN,
hallar x.
6. Si y son alturas, calcular x.
EQ
A
E
Q L
50
x
42
LH
70
36
H
M L
N
L PF
100
50
x
P F
EL
L AB
A
B
C
P
L
x
NH
R N
H
M
28 42
x
AP CQ
A
B
C
50Q P
x
TALLER DE APRENDIZAJE N 12
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
50/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
50
DEFINICINSon figuras formadas por segmentos no alineados y de extremos comunes.
I. Se nombran de acuerdo al nmero de lados
Tringulo Cuadriltero Pentgono
# Lados: 3 # lados : 4 # lados : 5
Hexgono Heptgono# lados : 6 # lados : 7
Nombre # lados Nombre # lados
Octgono 8 lados dodecgono 12 ladosNongono 9 lados pentadecgono 15 lados
Decgono 10 lados icosgono 20 ladosEndecgono 11 lados
II. Elementos principalesEn el grfico se muestra como ejemplo al octgono ABCDEFGH.
A
B
C
D
E
FG
H
vrtices
diagonales
ngulosinteriores
lados
GEOMETRA.
POLIGONOS I
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
51/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
51
1. Graficar un octgono ABCDEFGH y trazar
todas las diagonales posibles desde el vrtice
"A". (Indicar el nmero de tringulos que seforman)
2. Graficar el pentgono ABCDE y trazar sus
diagonales sealando el nmero de vrtices y
diagonales.
3. Graficar el heptgono ABCDEFG y trazar
todas las diagonales posibles desde los
vrtices "A" y "C".
4. Cmo se llama el polgono mostrado?
Adems trazar cuatro de sus diagonales.
5. Graficar un nongono e indicar el nmero de
vrtices y trazar todas las diagonales desdeun solo vrtice. (Indicar el nmero de
tringulos que se forman)
6. Graficar un decgono.
7. Dar el nombre del polgono mostrado.
8. Dar el nombre del polgono, en el cul su
nmero de vrtices ms su nmero de lados
es 16.
9. Cuntas diagonales faltan trazar en el
polgono mostrado?
10. Graficar un pentgono convexo y desde uno
de sus vrtices trazar todas las diagonales
posibles.
11. Graficar un cuadriltero no convexo y sus
diagonales.
12. Graficar un hexgono convexo y trazar las
diagonales desde tres vrtices consecutivos.
13. Graficar un octgono convexo, trazar las
diagonales desde un solo vrtice y contar el
nmero de tringulos que se forman.
14. Graficar un nongono convexo y trazar desde
dos vrtices consecutivos todas las
diagonales posibles.
15. Graficar un endecgono convexo y trazar las
diagonales desde un solo vrtice.
16. Graficar un pentgono convexo donde tresngulos consecutivos miden 90.
17. Graficar un hexgono convexo donde tres
ngulos alternados miden 90.
18. Graficar un heptgono y trazar las diagonales
desde tres vrtices consecutivos.
19. Cmo se llama el polgono mostrado?
Adems trazar cinco de sus diagonales.
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 13
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
52/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
52
3x
2x
2x2x
x
E
F
A
B
C
D
1. La suma de los ngulos interiores de undodecgono es:
a) 1900 b) 1800 c)1950d) 1960 e) 2000
2. La suma de los ngulos exteriores de undodecgono es:
a) 270 b) 360 c) 230d) 200 e) 300
3. Si un ngulo interior es 108 Cunto mideel ngulo exterior del polgono?
a) 72 b) 108 c) 180d) 36 e) 18
4. Cmo se llama el polgono cuya suma dengulos interiores es 720?
a) Pentgonob) Hexgonoc) Octgonod) Heptgonoe) Nongono
5. Si tiene un hexgono equingulo, el nguloexterior mide:
a) 120 b) 60 c) 90d) 45 e) 75
6. Calcular el ngulo externo de un polgonoregular:
a) 90 b) 120 c) 132d) 108 e) 135
7. Calcular la suma de ngulos interiores de un
polgono de 8 vrtices:a) 1080 b) 900 c)1260d) 1440 e) 720
8. Si el ngulo interior es el quntuple delngulo exterior de un polgono regular.Cunto mide la diferencia de los ngulos?
a) 120 b) 30 c) 60d) 150 e) 90
9. En un polgono regular de 9 vrtices.Cunto mide uno de sus ngulos
externos?
a) 50 b) 60 c) 20d) 40 e) 30
10.Calcular ; si el polgono es equingulo:
a) 135b) 45c) 120d) 90e) 108
11.Calcular x, si los polgonos son regulares:
a) 90b) 120c) 150d) 130e) 160
12.Calcular x:
a) 27
b) 45c) 54d) 36e) 63
13.Calcular x, si el polgono es regular.
a) 10b) 108c) 9d) 12e) 30
14. Calcular el permetro del hexgono regularABCDEF.
a) 6b) 12c) 36d) 18e) 72
TAREA DOMICILIARIA N 13
x
6
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
53/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
53
1. Graficar al cuadriltero ABCD y trazar susdiagonales. (Indicar el nmero de vrtices y elnmero de diagonales)
2. Graficar el hexgono ABCDEF y trazar todaslas diagonales posibles desde los vrtices "A"y "B".
3. Cmo se llama el polgono mostrado?
Adems trazar cuatro de sus diagonales.
4. Graficar un octgono y trazar todas lasdiagonales posibles desde dos vrtices
consecutivos.
5. Cmo se llama el polgono mostrado?Adems trazar cuatro de sus diagonales.
6. Graficar el octgono ABCDEFGH y trazar
todas las diagonales posibles desde losvrtices A, B, C y D. Cuntasdiagonales se pudieron trazar?B C
A D
F E
TALLER DE APRENDIZAJE N 13
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
54/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
54
Luego de reconocer los elementos en cualquier polgono el alumno podr hallar la suma de ngulosinternos en cualquier polgono.
SUMA DE NGULOS INTERNOS (S
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
55/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
55
1. Calcular la suma de los ngulos internos delpolgono mostrado.
2. Calcular x
3. Calcular x
4. Si todos los ngulos internos del polgono soniguales, calcular la medida de uno de ellos.
5. Si todos los ngulos internos del polgono soniguales, calcular x.
6. Hallar la suma de ngulos internos de unicosgono.
7. Hallar el nmero de vrtices del polgono cuyasuma de ngulos internos es 1260.
8. Hallar el nmero de vrtices del polgono cuyasuma de ngulos internos es 2520.
9. Hallar el nmero de lados del polgono cuyasuma de ngulos internos es 2880.
10. Hallar el nmero de vrtices del polgono cuyasuma de ngulos internos es 7200.
11. Hallar la suma de ngulos internos de unhexgono.
12. Hallar la suma de ngulos internos de undecgono.
13. Hallar la suma de ngulos internos delpolgono mostrado.
14. Hallar el nmero de vrtices del polgono cuyasuma de ngulos internos es 2880.
15. Hallar el nmero de lados del polgono cuyasuma de ngulos internos es 4320.
16. Hallar el nmero de lados del polgono cuyasuma de ngulos internos es 5400.
17. Hallar la suma de ngulos internos del
polgono mostrado.
18. Hallar el nmero de tringulos que se formanal trazar las diagonales desde un solo vrticeen un icosgono convexo.
19. Hallar la suma de ngulos internos del
polgono mostrado.
20. Hallar el nmero de vrtices del polgono cuyasuma de ngulos internos es 7200.
x
x x
x+40 2x
x+70 x+30
x
A
E
C
B
D
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 14
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
56/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
56
1. La suma de los ngulos interiores de undodecgono es:
a) 1900b) 1800c) 1950d) 1960e) 2000
2. Si un ngulo interior es 108 Cunto mide elngulo exterior del polgono?
a) 72b) 108
c) 180d) 36e) 18
3. Cmo se llama el polgono cuya suma dengulos interiores es 720?
a) Pentgonob) Hexgonoc) Octgonod) Heptgonoe) Nongono
4. Calcular la suma de ngulos interiores de unpolgono de 8 vrtices:
a) 1080 b) 900 c) 1260d) 1440 e) 720
5. Calcular ; si el polgono es equingulo:
a) 135b) 45c) 120
d) 90e) 108
6. Calcular x, si los polgonos son regulares: a) 90b) 120c) 150d) 130e) 160
7. Calcular x:
a) 27b) 45c) 54d) 36e) 63
8. Calcular x, si el polgono es regular.
a) 10b) 108
c) 9d) 12e) 30
9. Calcular el permetro del hexgono regularABCDEF.
a) 6b) 12c) 36
d) 18e) 72
10. La suma de los ngulos interiores de unicosgono:a) 3240b) 3800c) 4000d) 3600e) 1800
11. Si el ngulo interior de un polgono equingulo es135 Cmo se llama el polgono?
a) Octgonob) Decgonoc) Hexgonod) Nongonoe) Heptgono
TAREA DOMICILIARIA N 14
x
3x
2x
2x
2x
x
E
F
A
B
C
D
6
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
57/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
57
1. Hallar el nmero de tringulos que se forman altrazar las diagonales desde un vrtice en unheptgono.
2. Hallar el nmero de tringulos que se forman altrazar las diagonales desde un vrtice en unoctgono.
3. Hallar la suma de ngulos internos de un nongono.
4. Hallar el nmero de lados del polgono cuya sumade ngulos internos es 900.
5. Hallar la suma de ngulos internos del polgonomostrado.
6. Hallar la suma de ngulos internos de un decgono.
TALLER DE APRENDIZAJE N 14
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
58/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
58
DEFINICINSon los polgonos que tienen cuatro lados.
Cuadriltero convexo
Cuadriltero no convexo
TIPOS DE CUADRILTEROS CONVEXOS
A. TrapezoideEs el cuadriltero convexo cuyos lados opuestos notienen que ser paralelos.
B. Trapecio
Es el cuadriltero convexo que tiene dos ladosparalelos.
Observacin:
Trapecio rectngulo
Trapecio issceles
A
B
C
D
+ + + = 360
A D
B C
b a
a + b = 180
Recuerda:
+ = 180 + = 180 BC // AD
a
+ = 180
+ = 180
GEOMETRA.
CUADRILTEROS I
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
59/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
59
1. Hallar: m C
2. Graficar el cuadriltero ABCD; tal que: m A = 100;m B = 70 y m C = 60. Hallar: m D.
3. Graficar el trapecio ABCD; tal que: y m
A = 56. Hallar: m B.
4. Graficar el trapezoideABCD: mA = 2b; m B = 5b;m m Hallar: m B.
5. Calcular x
6. Si: / /, calcular x
7. Calcular x
8. Si ABCD es un trapecio issceles ( // ), calcular
x.
9. Calcular x, si m
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
60/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
60
1. Graficar el cuadriltero convexo ABCD, talque: m A = m C = 90 y m B = 112.
Hallar: m D.
2. Graficar el cuadriltero no convexo ABCD, talque: m A = 30; m B = 60 y m C = 50.Hallar: m D.
3. Graficar el trapecio ABCD, tal que:
m A = 100; m D = 50.Hallar: m B y m C.
4. Graficar el trapecio ABCD, tal que: m A =
120; m B = 130 y Hallar: m B
y m C.
5. Hallar "x"
6. Hallar "" y "", si:
7. Graficar el trapecio issceles ABCD, tal que:
m A = 124 y Hallar: m C.
8. Hallar: m D
9. Hallar "x"
10. Graficar el cuadriltero convexo ABCD; talque: mA = 2; mB = 3; mC = + 70y mD = 50. Hallar: m C.
11. Calcular x
a) 12
b) 14c) 10d) 11e) 13
12. Calcular x
a) 5b) 6c) 7d) 8e) 4
13. Calcular x; BC // AD
a) 90b) 120c) 45d) 60
e) 150
14. Calcular x; si AB // CD
a) 28b) 32c) 30d) 34e) 26
AD // BC ,
AB // CD.
128
110
56
x
BC // AD.
B C
A D
4
118 140
2
AB // CD.
B
A
C
D3
5
82
28
40
x
TAREA DOMICILIARIA N 15
x
37
10
6
12
45
x
5
37
x
20
A
B C4
D45
A D
B C
x
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
61/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
61
1. Hallar "x"
2. Graficar el cuadriltero PQRS; tal que:m P = 68; m Q = 136 y m Hallar: m S.
3. Si: en el trapecio ABCD; hallar "x".
4. Graficar el trapecio issceles ABCD, tal que:
y m A = 118. Hallar: m C.
5. Hallar "x"
6. Graficar el trapecio rectngulo ABCD, tal que:m A = m B = 90 y m C = 129Hallar: m D.
4x
3x
2x
x
AB // CD
B
A
C
D76
x
AB // CD
78
36 32
x
TALLER DE APRENDIZAJE N 15
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
62/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
62
PARALELOGRAMOS
Son aquellos cuadrilteros cuyos lados opuestosson paralelos y congruentes respectivamente.
Clases de paralelogramos
I. Cuadrado
Es el paralelogramo de lados y ngulos de
medidas iguales.
II. Rombo
Es el paralelogramo cuyos lados son de
medidas iguales.
III. Rectngulo
Es el paralelogramo cuyos ngulosinternos miden 90.
IV. Romboide
Es el paralelogramo cuyos lados
consecutivos son diferentes y los ngulos
no miden 90.
B C
ADb
a
b
a
+ = 180
B C
A D
+ = 180
A
B
C
D
B C
A D
a
b
a
b
B C
A D
a
b
b
a
GEOMETRA.
CUADRILTEROS II
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
63/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
63
1. Utilizando regla y transportador graficar el
romboide ABCD tal que: CD = 4 cm; AD = 7cm y m D = 100. Hallar su permetro.
2. Graficar el rombo ABCD; tal que: BC = 5 cm ym C = 120. Luego trazar las diagonales
Medir el ngulo que forman susdiagonales.
3. Graficar un rombo cuyo lado mide 6 cm y unode sus ngulos 45. Hallar su permetro.
4. Graficar el cuadrado PQRS; tal que: PQ = 4cm. Luego trazar sus diagonales y compararsus longitudes.
5. Graficar el romboide ABCD; tal que: CD = 4cm; AD = 8 cm y m diagonales y comparar sus medidas.
6. Calcular x, si ABC es un tringulo equiltero
y CDEF es un rectngulo.
7. Calcular la medida del lado mayor de unromboide, si es el triple del lado menor,adems su permetro es 40 cm.
8. Calcular BP, si ABCD es un paralelogramo.
9. Calcular + , si ABCD es un rombo.
10. Graficar un rombo cuyo lado mide 8 cm y unode sus ngulos 50. Hallar su permetro.
11. Graficar un romboide ABCD; tal que: AB = 3,5cm;BC = 6 cm y m
12. Graficar un rombo ABCD; tal que: AB = 5 cmym
13. Graficar el rectngulo PQRS; tal que: PQ = 3cm yPS = 7 cm. Hallar su permetro.
14. Graficar el cuadrado cuyo lado mide 5 cm.Hallar su permetro.
15. Graficar el romboide ABCD; tal que: CD = 6
cm;AD = 8 cm y m permetro.
16. Grafique el rectngulo ABCD; tal que: AB =2,5 cm y BC = 4,5 cm. Hallar su permetro.
AC y BD.
A
B
C
D E
F
x
A
B P C
D
7
12
A
B
C
D
5502+30
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 16
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
64/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
64
1. Calcular x; si ABCD es romboide.
a) 18b) 72c) 36d)9e) 108
2. Calcular x; si ABCD es romboide.
a) 11b) 12c) 22d) 6e) 24
3. Calcular x; si ABCD esun rombo
a) 24b) 48c) 76d) 66
e) 12
4. Calcular el permetro del rombo ABCD.
a) 68b) 92c) 34d) 46e) 17
5. Calcular x
a) 100b) 50c) 25d) 40e) 80
6. Calcular OC.
a) 15b) 16c) 75d) 8e) 4
7. Calcular mPDB, si ABCD es un cuadrado.
a) 45b) 60c) 75d) 82e) 90
8. Calcular x
a) 6 2
b) 8 2
c) 6 3
d) 8 3
e) 8
9. Calcular x; ABCD es un romboide.
a) 7b) 10c) 14d) 21e) 15
10. Calcular x, si ABCD es un romboide.
a) 7b) 19c) 5d) 6e) 8
TAREA DOMICILIARIA N 16
B C
A D36
2x
B C
A D
17
2x5
Ax
D
C
B
24
A8
D
C
B
15
x
100
12
O
A
B C
D
9
53P
C
DA
B
x
53
10
PA
7
B C
D
x
A
7
B C
D
12
x
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
65/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
65
1. Graficar el romboide ABCD; tal que: AB = 3 cm; BC= 5 cm y m B = 60. (Utilizar regla ytransportador). Mencionar su permetro.
2. Graficar el rombo ABCD; tal que: AB = 4 cm ym A = 40. (Utilizar regla y transportador).Mencionar su permetro.
3. Graficar el rectngulo PQRS; tal que: PQ = 2cm y PS = 5 cm. (Utilizar regla ytransportador). Mencionar su permetro.
4. Utilizando regla y transportador, graficar elcuadrado cuyo lado mide 6 cm. Hallar su
permetro.
5. Graficar el rectngulo ABCD; tal que: AB = 4cm y BC = 6 cm. Luego trazar las diagonalesy comparar sus longitudes.
6. Calcular la medida del lado menor de unrectngulo, si es 5 cm menor que el lado
mayor, adems su permetro es 50 cm
TALLER DE APRENDIZAJE N 16
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
66/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
66
1. Hallar el permetro de un rectngulo, si dos desus lados miden 8 cm y 12 cm.
2. Hallar la longitud del lado de un rombo, si supermetro es igual a 52 m.
3. En el trapecio issceles ABCD, hallar "".
4. Si ABCD es un cuadrado y el CMDequiltero, hallar "".
5. Hallar el menor lado de un rectngulo, si ellado mayor es el cudruple del menor y elpermetro de dicho rectngulo es 80 cm.
6. S i ABCD es un trapecio ( // ), calcularPQ
7. Calcular x
8. Si ABCD es un cuadrado y CDE es untringulo equiltero, calcular x.
9. Calcular x+ y, siABCD es un romboide.
10. Si ABCD es un rombo y BCPQ es uncuadrado, calcular x.
11. Hallar "", si ELMN es un rombo.
12. Si ABCD es un cuadrado y CMD es untringulo equiltero, hallar "".
B
A
C
D
3
2
A
B C
D
M
BC AD
6 8
A
B C
DP Q16
A
B C
D
x
40
A
B C
D
E
x
A
B C
D
O
A
B
C
D
Q
P
x
20
E
L
M
N
5
B C
A D
M
GEOMETRA.
OPERACIONES EN CUADRILTEROS
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 17
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
67/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
67
1. Graficar un rectngulo ABCD, tal que:m
2. Graficar un rombo de lado 3 cm y de unngulo interno de 60.
3. En el grfico anterior, trazar las diagonales ymedir el ngulo que forman.
4. Hallar la longitud del lado de un rombo, si supermetro es 48 cm.
5. Si el permetro del romboide ABCD es 36 cm,hallar x.
6. Hallar "", si ABCD es un cuadrado.
7. Calcular x
8. Calcular el permetro del paralelogramoABCD, si: PC = 2 cm y CD = 4 cm.
9. Calcular el permetro de la figura:
10. Hallar el permetro de la regin sombreada.
11. Calcular el permetro del polgonoABCDEFGHI.
12. En el grfico, ABCDE es un pentgono noconvexo. Hallar su permetro, si ABCE es uncuadrado y CDE es un tringulo equiltero.
13. Hallar el permetro del octgono no convexomostrado.
A
B C
D
x
2x
A
B C
D
3
A
B
C
D
2x
2xx
A
B C
D
P
5 cm
25 cm
4 cm
8 cm 20 cm
11 cm 6 cm
5 cm
11 cm
A
B C
D E
F
G H
6 cm
8 cm
5 cm
10 cm
27 cmI
60 4 cm60
E C
A B35 cm
D
2 cm
14 cm
15 cm
3 cm10 cm
2 cm
TAREA DOMICILIARIA N 17
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
68/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
68
1. Si ABCD es un rectngulo, hallar "x" y elpermetro de dicho rectngulo.
2. Si ABCD es un cuadrado, hallar "".
3. En un romboide ABCD: AB = x; BC = 3x.Hallar "x", si el permetro del romboide es 48 cm.
4. Si ABCD es un rombo, hallar "".
5. Hallar "", siendo ABCD un cuadrado yAED equiltero.
A D
B C
3x
9 cm
6 cm
B C
A D
2
A
B
C
D
6
A
B C
D
E
TALLER DE APRENDIZAJE N 17
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
69/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
69
1. Calcular el permetro del hexgono regularABCDEF.Nota: Polgono regular es el que tiene suslados iguales y ngulos iguales.
2. Hallar el permetro del heptgono no convexoABCDEFG, si ABCDG es un pentgonoregular y DEFG es un cuadrado.
3. Hallar el permetro del polgono ABCDEF.
4. Calcular el lado de un pentadecgono regular,si su permetro es 90 cm.
5. Calcular la longitud del lado de un icosgonoregular, si su permetro es 220 cm.
6. Calcular el permetro de la figura:
7. Calcular el permetro de la figura:
8. Calcular el permetro:
9. Si O es centro, calcular el permetro.
10. Calcular el permetro de la regin sombreada.
B C
A D
F E
14 cm
A
B
C
G D
F E
12 cm
F
D C
E
BA42 cm
36 cm
4 cm
5 cm
7 cm
8 cm
3 cm
10
6
5
60 60 4
4 cm
6
O
A
B
6 cm
6 cm
A
B
D
C
GEOMETRA.
PERMETROS DE POLGONOS
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 18
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
70/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
70
1. Hallar el permetro de un rectngulo dondelos lados miden 13 cm y 18 cm.
2. En el grfico, ABCDE es un pentgono noconvexo. Hallar su permetro, si ABCE es uncuadrado y CDE es un tringulo equiltero.
3. Calcular el permetro del polgonoABCDEFGHI.
4. Calcular el permetro del paralelogramo
ABCD, si: PC = 2 cm y CD = 4 cm.
5. Calcular el permetro de la figura:
6. Hallar el permetro de un pentgono regularcuyo lado mide 4 cm. (Graficar)
7. Hallar el lado de un hexgono regular depermetro
18 cm. (Graficar)
8. Graficar el trapecio issceles de bases 7 cm y10 cm y uno de los lados laterales mide 6 cm.Hallar el permetro del trapecio.
9. Hallar el permetro de la regin sombreada.
10. Hallar el permetro de la regin sombreada, siABCDEH es un hexgono regular y EFGH esun cuadrado.
11. Hallar el permetro de un endecgono regularcuyo lado mide 6 cm.
12. Hallar el permetro de la regin sombreada, siABCDF es un pentgono regular y DEF esequiltero.
13. Hallar el permetro del octgono no convexomostrado.
E C
A B35 cm
D
A
B C
D E
F
G H
6 cm
8 cm
5 cm
10 cm
27 cmI
60 4 cm60
A
B C
D
P
5 cm
25 cm
4 cm
8 cm 20 cm
11 cm 6 cm
5 cm
11 cm
A
B C
D
H E
G F8cm
A
B
C
D
E
F
9cm
2 cm
14 cm
15 cm
3 cm10 cm
2 cm
TAREA DOMICILIARIA N 18
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
71/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
71
1. Hallar el permetro del pentgono ABCDE, siABDE es un cuadrado;BCD es equiltero yAE = 18 cm.
2. Si ABEF y EFDC son un rectngulo y uncuadrado respectivamente, hallar el permetrodel polgono ABCD.
3. Hallar el permetro del hexgono no convexo
ABCDEF, si ABCF es un cuadrado y EFCD untrapecio issceles.
4. Calcular el permetro de un dodecgonoregular cuyo lado mide 8 cm.
5. Hallar el permetro del hexgono no convexoABCDEF.
A B
E D
C
B C
A F D
E9 cm5 cm
A B
C
D
E
F6 cm
16 cm
8 cm
F
DC
E
BA
24 cm22 cm
6 cm
12 cm
TALLER DE APRENDIZAJE N 18
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
72/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
72
DEFINICIN
El rea de una regin es la medida de dicha regin y se expresa en unidades cuadradas de longitud.
I. rea de una regin cuadrada
II. rea de una regin rectangular
Conclusin:
1 cm
S
1 cm
1 cm1 cm S
2 cm
2 cm
2 cm2 cm
3 cm
3 cm
3 cm 3 cmS
S = 1 cm 1cm S = 2 cm 2 cm S = 3 cm 3 cm
S = 1 cm2
S = 4 cm2
S = 9 cm2
S
2 cm
1 cm S
3 cm
2 cm
4 cm
3 cm S
S = 1 cm 2 cm S = 2 cm 3 cm S = 3 cm cm 4
S = 2 cm2
S = 6 cm2
S = 12 cm2
b
a S
S = a bA = 2
A
GEOMETRA.
REAS DE REGIONES I
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
73/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
73
1. Calcular el rea de la regin sombreada.
2. Calcular el rea de la regin sombreada.
3. Calcular el rea de la regin rectangular,donde el largo es el triple del ancho y supermetro es 32 cm.
4. Calcular el rea de la regin sombreada.
5. Calcular el rea de la regin sombreada.
6. Si el rea de la regin rectangular ABCD es48m2, calcular su permetro. Adems un lado
es el triple del otro.
7. Si ABCD es un cuadrado de permetro 24 cm,calcular el rea de la regin sombreada.
8. Calcular el rea de la regin cuadrada CDEF,si ABCD es un trapecio issceles de
permetro igual a 34m.
9. Calcular el rea de la regin rectangularABCD.
10. Hallar el rea de la regin sombreada.
10 cm
20 cm
15 cm
30 cm
10 cm
10 cm
18 cm
10 cm
10 cm
18 cm
24 cm
6 cm
8 cm
20 cm
8 cm
6 cm
4 cm
8 cm
20 cm
48 cm6 cm 6 cm
4 cm
A
B C
D
A
B C
D
(BC //AD)
A
B C
D
E
F
5
13
A
B P C
D
102 152
24 cm
10 cm
18 cm 14 cm
10 cm
10 cm
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 19
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
74/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
74
1. Calcular el rea de una regin cuadrada, si supermetro es 48 cm.
2. Calcular el permetro de un cuadrado, si elrea de su regin es 169 cm2.
3. Calcular el rea de la regin de un rectngulo,si la base es el doble de la altura y supermetro es 72 cm.
4. Hallar "x"
5. Hallar "y"
6. Hallar "a"
7. Hallar el rea de la regin sombreada.
8. Los lados de un tringulo miden 13, 14 y 15.Calcular su rea.
a) 12 b) 84 c) 24d) 42 e) 21
9. Si las regiones poligonales son equivalentes.Calcular x.
a) 12b) 6c) 24d) 3e) 8
10. Calcular el rea del trapecio ABCD, siPBCD es un romboide de rea 24 m2.
f) 24g) 34h) 14
i) 44j) 30
11. Calcular el rea sombreada:
k) 60l) 40m) 100n) 50o) 20
12. Calcular el rea de un tringulo equilterocuyo lado mide 2 3 .
a) 3 3 b) 9 3 c) 6 3
d) 9 e) 27
13. Calcular el rea del ABC
p) 24 m2q) 8.r) 32s) 16
t) 48
14. Calcular el rea del ABC
u) 4,5 m2v) 9w) 18x) 36y) 27
x 48 cm2
16 cm
81 cm2y
y
a
17 cm
663 cm2
7 cm
24 cm
20 cm
10 cm
TAREA DOMICILIARIA N 19
24
x
12
12
PA
B C
D
5 6
17
10 15
A
B
C
24m2
K 3K
A
B
C
9m2
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
75/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
75
1. Calcular el rea de una regin cuadrada, si supermetro es igual a 28 cm.
2. Calcular el permetro de un cuadrado, si elrea de su regin es 64 cm2.
3. Calcular la longitud del lado de un cuadrado,si su permetro es numricamente igual alrea de su regin.
4. Calcular el rea de la regin de un rectngulo,si un lado es el doble del otro y su permetro
es 18 cm.
5. Calcular el rea de la regin sombreada.
6. Si el permetro del tringulo equiltero ABC es18 cm, calcular el rea de la regin cuadradaBCDE.
4 cm
13 cm
16 cm
9 cm
A
B
C
D
E
TALLER DE APRENDIZAJE N 19
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
76/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
76
I. REA DE LA REGIN DEL ROMBOIDE
Generalizando:
"El rea de la regin del romboide es igual al producto de uno de sus lados por la altura relativa a dicholado".
II. REA DE LA REGIN DE UN TRINGULO RECTNGULO
Generalizando:
"El rea de la regin de todo tringulorectngulo es igual a la mitad del producto de
sus catetos".
12 cm
4 cm S
12 cm
4 cm
S = 12 cm 4 cm
S = 48 cm2
10 cm
8 cm
S
S = 8 cm 10 cm
S = 80 cm2
a
h S = a hS
10 cm
S6 cm
S
16 cm
9 cm
S = 6 cm 10 cm
S = 30 cm2
S = 16 cm 9 cm
S = 72 cm2
2 2
S
b
a
S =a b
2
S
x
y
S =x y
2
GEOMETRA.
REAS DE REGIONES I
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
77/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
77
1. Calcular la altura relativa al lado de unromboide, si dicho lado mide 26 cm y el rea
de su regin es 260 cm2.
2. Calcular el rea de la regin sombreada.
3. Calcular el rea de la regin sombreada.
4. Calcular el rea de la regin sombreada.
5. Calcular el rea de la regin sombreada.
6. Los catetos de un tringulo rectngulo sonentre s como 2 es a 3. Si el rea de su regines 48 cm2, cunto mide el cateto mayor?
7. Si dos lados de un romboide miden 6 cm y 8cm y adems una altura mide 7 cm, calcular
su rea.
8. Si el rea de la regin sombreada es 80 cm2,calcular h.
9. Si ABCD es un romboide y b+h=16m, calcularsu rea.
10. El rea de la regin de un tringulo rectnguloes 30.cm2. Si un cateto se duplica y el otro se
triplica, cul ser su nueva rea?
11. Calcular el rea del romboide ABCD.
a) 32 m2b) 40c) 20d) 28e) 32
12. Calcular el rea del PQR
a) 51b) 85c) 102d) 170e) 36
16 cm 14 cm
6 cm
6 cm
B CE
A D
6 cm
14 cm
4 cm
10 cm
32 cm
4 cm
30 cm
15 cm
23 cm
10 cm
h
A
B C
D
h=3k
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 20
A
B C
D
8m2
2K 3K
P
F
Q
R
1
1
6
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
78/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
78
1. Calcular el rea de la regin sombreada.
2. Si ABCD es un cuadrado, hallar el rea de laregin sombreada.
3. Calcular el rea de la regin sombreada.
4. Hallar el rea de la regin sombreada.
5. Hallar el rea de la regin sombreada, si ABCDes un romboide.
6. Calcular el rea de una regin paralelogrmicade base 12 cm y altura relativa a dicha base 8cm. (Graficar)
7. Hallar el rea de la regin sombreada.
8. Calcular el rea de la regin sombreada.
9. El rea de la regin de un tringulo rectnguloes 112 cm2y uno de sus catetos mide 16 cm.Calcular la longitud del otro cateto. (Graficar)
10. El rea de la regin de un romboide ABCD es247 cm2y AD = 19 cm. Calcular la longitud dela altura relativa al lado AD. (Graficar)
11. Calcular x, si el rea del ABC es 60 m2
a) 10 m2b) 15c) 35d) 24e) 18
12. Calcular el rea del ABC.
a) 15 m2
b) 12c) 30d) 45e) 60
13. Calcular el rea del trapecio ABC.
a) 16 m2b) 18c) 14d) 20e) 12
12 cm
7 cm
10 cm
B E C
A
F
D
6 cm 5 cm
9 cm
10 cm 6 cm
2 cm
7 cm
15 cm
16 cm
24 cm
BC
A D13 cm11 cm P
8 cm
13 cm
13 cm
5 cm12 cm
13 cm
6 cm
10 cm
18 cm 8 cm
TAREA DOMICILIARIA N 20
A
B
CN2K 3K 7K
x
A
B
C
2m
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
79/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
79
1. Calcular el rea de la regin sombreada.
2. Calcular el rea de la regin sombreada.
3. Calcular el rea de la regin sombreada.
4. Calcular un cateto de un tringulo rectngulo,si el otro cateto mide 7 cm y el rea de la
regin de dicho tringulo es 28 cm2.
5. Calcular el rea de la regin sombreada.
6. Calcular el rea del rectngulo ABCD.
a) 16 m2b) 32c) 8d) 64e) 44
6 cm
4 cm
6 cm
8 cm
14 cm
15 cm
8 cm
6 cm 10 cm
8 cm
2 cm
5 cm
4 cm 8 cm
TALLER DE APRENDIZAJE N 20
2m
8m
6m
A
B C
D
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
80/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
80
Son los slidos geomtricos que estnformados por polgonos que tienen ladoscomunes y encierran un determinado espaciocuya medida representa el volumen delpoliedro.
I. Hexaedro regular o cubo
Es el poliedro formado por seis cuadradosiguales.
Si quieres construir un cubo con una cartulinao cartn se recomienda cortar la cartulina ocartn en la forma mostrada. Luego doblarsegn las lneas punteadas.
II. Paraleleppedo rectangular o rectoedroEs el poliedro formado por seis rectngulos.
Para construir un paraleleppedo rectangularse recomienda cortar la cartulina o cartn enla forma mostrada. Luego doblar por las lneaspunteadas.
Observacin:Un paraleleppedo es un poliedrocuyas caras son paralelogramos cualesquiera.
caras
Tetraedro
vrtices
aristas
Pentaedro
a
a
a
a
a a
a
a
a a
aa
a aa a
a a
a
b
c
c
a
b
c
c c
b
c c
b
c c
b
a
GEOMETRA.
SLIDOS GEOMTRICOS
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
81/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
81
1. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene elcubo?
2. Cuntas diagonales se pueden trazar en unparaleleppedo rectangular?
3. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene elpoliedro mostrado?
4. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene elpoliedro mostrado?
5. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene elpoliedro mostrado?
6. Hallar el nmero de caras (C), aristas (A) yvrtices (V), luego, calcular C + V -A.
7. Si la suma de las medidas de todas las aristasde un hexaedro regular es 48 cm, calcular lamedida de una arista.(Graficar)
8. Si la arista de un tetraedro regular mide 5calcular la suma de las medidas de todas susaristas (graficar).
9. En el rectoedro mostrado, calcular la suma delas medidas de sus aristas.
10. Cuntas aristas tiene el tetraedro mostrado?
11. Cuntas caras tiene el poliedro mostrado?
4
12
3
PROBLEMAS PARA LA CLASE N 21
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
82/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
82
1. En el poliedro mostrado, hallar el nmero decaras, vrtices y aristas.
2. En el poliedro mostrado, hallar el nmero decaras, vrtices y aristas.
3. En el poliedro mostrado, hallar el nmero decaras, vrtices y aristas.
4. En el poliedro mostrado, hallar el nmero decaras, vrtices y aristas.
5. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene elpoliedro mostrado?
6. Graficar un hexaedro regular de arista 2 cm.
7. Graficar un cubo de arista 3 cm.
8. Graficar un rectoedro de arista 2 cm; 3 cm y 4cm.
9. Graficar un paraleleppedo rectangular dearistas 5 cm; 6 cm y 1 cm.
10. Graficar un paraleleppedo rectangular dearista 4 cm; 8 cm y 3 cm.
TAREA DOMICILIARIA N 21
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
83/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
83
1. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene eltetraedro mostrado?
2. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene elpoliedro mostrado?
3. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene elpoliedro mostrado?
4. Cuntos vrtices, aristas y caras tiene unparaleleppedo rectangular?
5. Si la diagonal de un cubo es el segmento derecta que une dos vrtices opuestosentonces, cuntas diagonales tiene el cubo?
6. Si una diagonal de un cubo mide cm,calcular la suma de las medidas de todas sus
diagonales (graficar).
5 3
TALLER DE APRENDIZAJE N 21
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
84/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
84
I. EN EL CUBO O HEXAEDRO REGULAR
I. EN EL CUBO O HEXAEDRO REGULAR
Generalizando:
II. EN EL PARALELEPPEDO RECTANGULARLas caras opuestas son iguales.
Generalizando:
aa
a2
a
rea (A) Volumen (V)
A = 6 a2 V = a3
2 cm
12 cm2
8 cm2
24 cm2
4 cm
4 cm
6 cm
6 cm
2 cm
A = 2 8 cm + 2 24 cm + 2 12 cm
A = 16 cm + 48 cm + 24 cm
A = 88 cm
x22 2
2 2 2
2
x x
V = 6 cm 4 cm 2 cm
V = 48 cm
x x
3
c
ab
rea (A) Volumen (V)
A = 2(a.b + b.c + a.c) V = a b c
GEOMETRA.
REAS Y VOLUMENES
1 cm
1 cm2
1 cm
1 cm
2 cm 3 cm
2 cm 3 cm
4 cm2
4 cm
3 cm9 cm
2
A = 6 (1 cm )
A = 6 cm
2
2
A = 6 (4 cm )
A = 24 cm
2
2
A = 6 (9 cm )
A = 54 cm
2
2
V = 1 cm 1 cm 1 cm
V = 1 cm
3
V = 2 cm 2 cm cm
V = 8 cm
2
3
V = 3 cm 3 cm cm
V = 27 cm
3
3
* * *
2 cm
-
7/26/2019 GEOMETRIA 2DO OK.pdf
85/87
I.E.P. JAMES CLERK MAXWELLDel colegio a la Universidad Geometra
Alwa s a ste orward 2do Grado de Secundaria
85
1. Calcular el rea de un hexaedro regular cuyovolumen es 216 cm3.
2. Calcular el rea y el volumen de un rectoedrocuyas dimensiones son 8 cm; 12 cm y 6 cm.
3. Calcular el rea y el volumen de un rectoedrocuyas dimensiones son 5 cm; 10 cm y 3 cm.
4. Calcular el rea de un cubo cuya suma dearistas es96 cm.
5. Calcular el rea de un cubo, si su volumen es 1 728cm3.
6. Las reas de tres caras de un paraleleppedorectangular son: 122, 152 y 202. Calcularsu volumen.
7. Calcular el rea total del rectoedro mostrado,si las longitudes de sus aristas estn en larelacin de 2; 3 y 4. Adems su volumen es1923.
8. Calcular el rea total de un cubo que tiene elmismo volumen de un paraleleppedo
top related