funktsiooni uurimine

Funktsiooni uurimine

Heldena Taperson

www.welovemath.ee

Seda, et arvule x vastab funktsiooniga f arv y, märgitakse tavaliselt võrdusena

Argumendi x kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on määratud, nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja tähistatakse tähega X . Muutuja y kõigi väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks ja tähistatakse tähega Y.

)(xfy

)(xfy

xy 21

X=R

Y=R

2

2

x

y

X = R\{2}Y = R\{0}

xy

442 xy

;4Y

RX X=R {0}

Y=R {0}

xy

43

3

Leia antud funktsiooni määramis- ja muutumispiirkonnad.

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

1,12

1,2

xkuix

xkuixy

Leia antud funktsiooni määramis- ja muutumispiirkonnad.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

3,3

3,32)(

2

xkuix

xkuixxxf

Leia antud funktsiooni määramis- ja muutumispiirkonnad.

Leia funktsioonide määramispiirkonnad.

y =-3x-5 xx

xy

4

52

24

5

xxy

f(x) = 2x²-3x+4

xx

xy

3

42

2

5)(x

xf 256

1)(

xx

xxf

2

3

xy

5

3

x

xy

24)( xxf

1

12

x

xy

12

2

x

xy

12

2

x

xy

12 x

xy

3

2

x

xy

1)

2)

3)

4)

5)

Funktsiooni nullkohad. Positiivsus- ja

negatiivsuspiirkonnad.

Argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus on 0, nimetatakse funktsiooni nullkohaks. Funktsiooni nullkohtade hulka tähistatakse sümboliga .Funktsiooni y = f(x) nullkohtade leidmiseks tuleb lahendada võrrand f(x)=0. Selle võrrandi kõik reaalarvulised lahendid moodustavad funktsiooni y = f(x) nullkohtade hulga. Funktsioonidel, millel on lõplik arv nullkohti, võivad esineda ka nn. kordsed nullkohad. Näiteks funktsioonil y = x2 on kahekordne nullkoht ja funktsioonil y = x3 on kolmekordne nullkoht.

oX

3xy

Argumendi kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on positiivsed (negatiivsed) nimetatakse vastavalt funktsiooni positiivsuspiirkonnaks (negatiivsuspiirkonnaks).

Positiivsuspiirkonda tähistatakse tavaliselt sümboliga ning negatiivsuspiirkonda .

Funktsiooni y = f(x) positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb lahendada võrratus y>0 ning negatiivsuspiirkonna leidmiseks lahendada võrratus y<0.

X X

Skitseeri järgmiste funktsioonide graafikud ning leia X, Y, X0, X+, X-.

165 2 xxy

4)( xxf

Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Ekstreemumid.

Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus kasvavaks, kui x 2 > x 1 f(x2) > f(x1). Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega vahemikku), milles eelnev seos kehtib, nimetatakse funktsiooni kasvamisvahemikuks ja seda tähistatakse sümboliga . Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus kahanevaks, kui x 2 > x 1 f(x2) < f(x1). Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega vahemikku), milles eelnev seos kehtib, nimetatakse funktsiooni kahanemisvahemikuks ja seda tähistatakse sümboliga .

Pea meeles, et , kui X on funktsiooni määramispiirkond, siis ja .

X

X

XX XX

Funktsiooni suurimat (vähimat) väärtust antud vahemikus nimetatakse funktsiooni ekstreemumiks.

a

y = f(x)a

y = f(x)

Funktsioonil f(x) on kohal a miinimum.

Funktsioonil f(x) on kohal a maksimum.

EKSTREEMUMPUNKTEmax(min)(x; y)

Ekstreemumkoht ehkxmax - ………………xmin - ………………

Ekstreemum ehkymax - ………………ymin - ………………

Leia funktsioonide kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumkoht ja ekstreemumpunkt. Skitseeri graafik.

322 xxy