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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
DA COMPUTAÇÃO
Notas de aula para o Curso de Tecnologia da Informação
Prof.a Paula Francis Benevides
2006
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Gerência de Ensino e Pesquisa
Departamento Acadêmico de Matemática
Conteúdo
AULA 1 ............................................................................................................................. 9
1 - FUNÇÕES ..................................................................................................................... 9
1.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO .................................................................................. 9
1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO .................................................................................................. 10
1.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO ................................................................................................... 11
1.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ..................................................... 12
1.5 FUNÇÃO COMPOSTA ..................................................................................................... 13
1.6 FUNÇÃO INVERSA ......................................................................................................... 14
1.6.1 Determinação da Função Inversa ........................................................................ 14
AULA 2 ........................................................................................................................... 16
2. FUNÇÃO POLINOMIAL............................................................................................. 16
2.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU ................................................................................... 16
2.1.1 Função linear........................................................................................................ 16
2.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1o grau ..................................................... 17
2.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico ............................................... 17
2.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau ................. 18
2.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau ................................................ 19 2.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1
o grau .................................................................................................. 19
2.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau ...................................................................................... 20
2.2 INEQUAÇÕES DO 1O GRAU .............................................................................................. 20
2.2.1 Resolução de inequações do 1o grau ................................................................... 21
2.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau ..................................................................... 21
2.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente......................................................... 22
AULA 3 ........................................................................................................................... 25
2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU ................................................................................... 25
2.3.1 Gráfico de uma função quadrática ...................................................................... 25
2.3.2 Concavidade ......................................................................................................... 25
2.3.3 Zeros de uma função quadrática ......................................................................... 26
2.3.4 Vértice da parábola ............................................................................................. 26
2.3.5 Gráfico de uma parábola ..................................................................................... 27
2.3.6 Estudo do sinal da função quadrática ................................................................. 28
2.4 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU .............................................................................................. 28
2.4.1 Resolução de inequações do 2o grau ................................................................... 29
2.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau ..................................................................... 30
2.4.3 Inequação-produto e inequação-quociente......................................................... 31
AULA 4 ........................................................................................................................... 34
3. FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................... 34
3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO ............................................................................................. 34
3.1.1 Potências com expoente natural ......................................................................... 34
3.1.2 Potências com expoente inteiro ........................................................................... 34
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3
3.1.3 Potências com expoente racional ........................................................................ 34
3.1.4 Potências com expoente real ............................................................................... 34 3.1.4.1 Propriedades ................................................................................................................................................. 34
3.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS .............................................................................................. 35
3.2.1 Resolução de equações exponenciais .................................................................. 36
3.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios ............................. 37
3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................... 37
3.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano ........................................... 37
3.3.2 Características da função exponencial ................................................................ 38
3.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS ............................................................................................ 39
3.4.1 Resolução de inequações exponenciais ............................................................... 39
AULA 5 ........................................................................................................................... 41
4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA........................................................................................... 41
4.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO ............................................................................................. 41
4.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO ....................................................................................... 41
4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS .................................................................................... 42
4.4 COLOGARITMO ............................................................................................................. 42
4.5 MUDANÇA DE BASE ....................................................................................................... 42
4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................................. 44
4.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano ............................................ 44
4.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ........................................................................................... 45
AULA 6 ........................................................................................................................... 47
5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 47
5.1 SENO E COSSENO DE UM ARCO: ....................................................................................... 47
5.1.1 Conseqüências: .................................................................................................... 47
5.1.2 Função seno e função cosseno ............................................................................. 47
5.1.3 Gráfico das funções seno e cosseno..................................................................... 47 5.1.3.1 Função seno: .................................................................................................................................................. 47 5.1.3.2 Conclusões ..................................................................................................................................................... 48 5.1.3.3 Seno é função ímpar ..................................................................................................................................... 48 5.1.3.4 Função cosseno ............................................................................................................................................. 48 5.1.3.5 Conclusões ..................................................................................................................................................... 48 5.1.3.6 Cosseno é função par .................................................................................................................................... 49
5.2 TANGENTE DE UM ARCO ................................................................................................. 49
5.2.1 Conseqüências ..................................................................................................... 50
5.2.2 Função tangente .................................................................................................. 50
5.2.3 Gráfico da função tangente ................................................................................. 50
5.2.4 Conclusões ........................................................................................................... 50
5.2.5 Tangente é uma função ímpar ............................................................................. 51
5.3 COTANGENTE DE UM ARCO ............................................................................................. 51
5.3.1 Conseqüências ..................................................................................................... 51
5.3.2 Função cotangente .............................................................................................. 51
5.3.3 Gráfico da função cotangente ............................................................................. 52
5.3.4 Conclusões ........................................................................................................... 52
5.3.5 Cotangente é uma função ímpar ......................................................................... 52
5.4 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO ............................................................................... 52
5.4.1 Função secante e cossecante ............................................................................... 53
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4
5.4.2 Gráfico da função secante ................................................................................... 53
5.4.3 Conclusões ........................................................................................................... 53
5.4.4 Gráfico da função cossecante .............................................................................. 54
5.4.5 Conclusões ........................................................................................................... 54
5.5 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................... 54
5.5.1 Usando o teorema de Pitágoras .......................................................................... 55
5.5.2 Usando semelhança entre triângulos .................................................................. 55
5.5.3 Identidades trigonométricas ................................................................................ 56 5.5.3.1 Processo para demonstrar identidades........................................................................................................ 57
AULA 7 ........................................................................................................................... 60
6. POLINÔMIOS .......................................................................................................... 60
6.1 FUNÇÃO POLINOMIAL: ................................................................................................... 60
6.2 POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO: .................................................... 61
6.3 POLINÔMIOS IDÊNTICOS: ................................................................................................ 61
6.4 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO: ............................................................................ 62
6.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:............................................................................ 62
6.5.1 Adição: ................................................................................................................. 62
6.5.2 Subtração: ............................................................................................................ 63
6.6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS: ................................................................................... 63
6.7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: .............................................................................................. 64
6.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes ......................... 64
6.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau: .................................................. 66 6.7.2.1 Teorema do Resto: ........................................................................................................................................ 66 6.7.2.2 Teorema de D’Alembert ................................................................................................................................ 66 6.7.2.3 Divisão de P(x) por (ax + b), a 0 ............................................................................................................... 67
AULA 8 ........................................................................................................................... 69
6.7.2.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: ............................................................................................................. 69
6.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS: .............................................................................................. 70
6.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau:..................................... 70
6.8.2 Raízes Múltiplas: .................................................................................................. 70
6.8.3 Teorema das Raízes Racionais: ............................................................................ 71
AULA 9 ........................................................................................................................... 73
7. MATRIZES ............................................................................................................... 73
7.1 DEFINIÇÃO: ................................................................................................................. 73
7.2 NOTAÇÃO DE UMA MATRIZ ............................................................................................. 73
7.3 ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS ........................................................................................ 74
7.3.1 Matriz Retangular: é a matriz onde m n. ........................................................ 74
7.3.2 Matriz Coluna: é toda matriz do tipo mx1. .......................................................... 74
7.3.3 Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1xn. ............................................................. 74
7.3.4 Matriz Quadrada: ................................................................................................ 74
7.3.5 Matriz Diagonal ................................................................................................... 75
7.3.6 Matriz Escalar: ..................................................................................................... 75
7.3.7 Matriz Identidade: ............................................................................................... 75
7.3.8 Matriz Zero ou Nula: ............................................................................................ 76
7.3.9 Matrizes Iguais ..................................................................................................... 76
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5
7.3.10 Matrizes Opostas: .............................................................................................. 76
7.3.11 Matriz Transposta: ............................................................................................. 76 7.3.11.1 Propriedades da matriz transposta ............................................................................................................ 76
7.3.12 Matriz Simétrica ................................................................................................. 76
7.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES: ........................................................................................... 77
7.4.1 Adição e Subtração de Matrizes .......................................................................... 77 7.4.1.1 Propriedades: ................................................................................................................................................ 77
7.4.2 Produto de uma matriz por um escalar: .............................................................. 77 7.4.2.1 Propriedades: ................................................................................................................................................ 77
7.4.3 Produto de uma matriz por outra: ....................................................................... 77 7.4.3.1 Propriedades: ................................................................................................................................................ 77 7.4.3.2 Comutatividade de Multiplicação de duas matrizes:................................................................................... 78 7.4.3.3 Matriz Involutiva............................................................................................................................................ 78 7.4.3.4 Matriz anti-simétrica: .................................................................................................................................... 78
7.5 MATRIZ INVERSA .......................................................................................................... 79
7.5.1 Definição .............................................................................................................. 79
7.5.2 Propriedades ........................................................................................................ 79
7.6 MATRIZ ORTOGONAL: ................................................................................................... 79
7.7 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: ..................................................................................... 79
7.8 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: ...................................................................................... 79
7.9 POTÊNCIA DE UMA MATRIZ: ............................................................................................ 80
7.10 MATRIZ PERIÓDICA: ...................................................................................................... 80
7.11 MATRIZ IDEMPOTENTE: ................................................................................................. 80
7.12 MATRIZ NIHILPOTENTE: ................................................................................................. 80
AULA 10.......................................................................................................................... 71
8. DETERMINANTES .................................................................................................... 71
8.1 NOÇÃO: ...................................................................................................................... 71
8.2 NOTAÇÃO: .................................................................................................................. 71
8.3 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE: .................................................................................... 71
8.4 ABAIXAMENTO DA ORDEM DE UMA MATRIZ QUADRADA: ...................................................... 72
8.4.1 Menor Complementar .......................................................................................... 72
8.4.2 Complemento Algébrico ou Cofator: ................................................................... 73
8.5 REGRA DE LAPLACE: ...................................................................................................... 73
8.6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: .............................................................................. 74
8.7 REGRA DE CHIO: ........................................................................................................... 75
8.8 PROCESSO DE TRIANGULAÇÃO: ........................................................................................ 75
8.9 MATRIZ INVERSA - COMPLEMENTOS ................................................................................. 77
8.9.1 Matriz Singular: ................................................................................................... 77
8.9.2 Matriz Não-Singular: ............................................................................................ 77
8.9.3 Propriedades da Matriz Inversa: .......................................................................... 77
8.9.4 Operações elementares: ...................................................................................... 77
AULA 11.......................................................................................................................... 83
9. SISTEMAS LINEARES ................................................................................................ 83
9.1 EQUAÇÕES LINEARES: .................................................................................................... 83
9.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................................... 83
9.3 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR: ................................................................................... 83
9.4 SISTEMA COMPATÍVEL: .................................................................................................. 83
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6
9.4.1 Sistema Determinado: ......................................................................................... 83
9.4.2 Sistema Indeterminado: ....................................................................................... 84
9.5 SISTEMA INCOMPATÍVEL................................................................................................. 84
9.6 CLASSIFICAÇÃO:............................................................................................................ 84
9.7 SISTEMAS EQUIVALENTES: .............................................................................................. 84
9.7.1 Operações elementares e Sistemas Equivalentes: ............................................... 85
9.8 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO:....................................................................................... 85
9.9 SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: ............................................................... 85
9.9.1 Regra de Cramer: ................................................................................................. 85
9.9.2 Resolução por escalonamento de matrizes: ........................................................ 87
AULA 12.......................................................................................................................... 71
10. LIMITES ................................................................................................................ 71
10.1 NOÇÃO INTUITIVA:........................................................................................................ 71
10.1.1 Propriedades: ..................................................................................................... 71
AULA 13.......................................................................................................................... 75
10.2 LIMITES INFINITOS: .................................................................................................. 75
10.2.1 Igualdades Simbólicas: ....................................................................................... 75 10.2.1.1 Tipo Soma: ................................................................................................................................................... 75 10.2.1.2 Tipo Produto: ............................................................................................................................................... 75 10.2.1.3 Tipo Quociente: ........................................................................................................................................... 75 10.2.1.4 Tipo Potência: .............................................................................................................................................. 75
AULA 14.......................................................................................................................... 78
10.3 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: .................................................................................. 78
AULA 15.......................................................................................................................... 81
10.4 LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: ........................................... 81
AULA 16.......................................................................................................................... 84
10.5 LIMITES LATERAIS: ................................................................................................... 84
AULA 17.......................................................................................................................... 86
11. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS .............................................................. 86
11.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 86
11.2 ASSÍNTOTA VERTICAL .............................................................................................. 86
11.3 ASSÍNTOTA HORIZONTAL ........................................................................................ 86
12. FUNÇÕES CONTÍNUAS.......................................................................................... 87
12.1 DEFINIÇÃO: .............................................................................................................. 87
AULA 18.......................................................................................................................... 90
13. DERIVADAS .......................................................................................................... 90
13.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 90
13.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE
UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: ................................................... 90
13.3 DEFINIÇÃO: .............................................................................................................. 92
13.3.1 Outras notações para a função derivada: ......................................................... 93
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7
13.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; ........................................................................ 93
13.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO: .......................................................................................... 95
13.5.1 Derivada de função Algébrica: ........................................................................... 96
AULA 19.......................................................................................................................... 98
13.5.2 Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas: .......................................... 98
AULA 20........................................................................................................................ 100
13.5.3 Derivada de Funções Trigonométricas: ........................................................... 100
AULA 21........................................................................................................................ 102
13.6 DERIVADAS SUCESSIVAS ........................................................................................ 102
13.7 REGRAS DE L’HOSPITAL ......................................................................................... 102
AULA 22........................................................................................................................ 105
13.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS.................................................................................. 105
13.8.1 Taxas de Variação Relacionadas ..................................................................... 105
13.8.2 Máximos e Mínimos ......................................................................................... 106 13.8.2.1 Introdução: ................................................................................................................................................ 106 13.8.2.2 Determinação dos Máximos e Mínimos locais: ....................................................................................... 108 13.8.2.3 Crescimento e Decrescimento de funções: .............................................................................................. 108 13.8.2.4 Teste da Derivada Primeira: ...................................................................................................................... 109 13.8.2.5 Concavidade e Teste da Derivada Segunda: ............................................................................................ 109
AULA 23........................................................................................................................ 112
14. INTEGRAIS ......................................................................................................... 112
14.1 INTRODUÇÃO: ....................................................................................................... 112
14.1.1 NOTAÇÃO: ........................................................................................................ 112
14.2 INTEGRAIS IMEDIATAS ........................................................................................... 112
AULA 24........................................................................................................................ 120
14.3 INTEGRAIS POR PARTES ......................................................................................... 120
AULA 25........................................................................................................................ 123
14.4 INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ................ 123
AULA 26........................................................................................................................ 128
14.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS ................................................................... 128
AULA 27........................................................................................................................ 133
14.6 INTEGRAL DEFINIDA: ............................................................................................. 133
14.6.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: ...................................................................... 134
14.6.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS .................................................... 135
AULA 28........................................................................................................................ 137
14.6.3 APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA............................................................... 137 14.6.3.1 CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA .......................................................................................... 137 14.6.3.2 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: ................................................................................. 140
AULA 29........................................................................................................................ 143
14.6.3.3 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: .............................................................................................. 143
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8
AULA 30........................................................................................................................ 145
15. VETORES ............................................................................................................ 145
15.1 NOÇÃO DE VETORES .................................................................................................... 145
15.1.1 Segmento orientado (A, A)............................................................................... 145
15.1.2 Propriedades: ................................................................................................... 145
15.2 ADIÇÃO DE VETORES .................................................................................................... 146 15.2.1.1 Regra do paralelogramo ............................................................................................................................ 146
15.3 EQUIPOLÊNCIA: .......................................................................................................... 146
15.3.1 Propriedades: ................................................................................................... 146
15.4 VETORES OPOSTOS ...................................................................................................... 147
15.5 VETORES NO PLANO CARTESIANO ................................................................................... 147
15.6 MÓDULO DE UM VETOR – NORMA - | V | ..................................................................... 147
15.7 OBSERVAÇÕES SOBRE ADIÇÃO DE VETORES ....................................................................... 148
15.8 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR ................................................................................. 148
15.8.1 Propriedades: ................................................................................................... 149
15.9 SOMA DE PONTO COM VETOR ....................................................................................... 149
15.9.1 Propriedades: ................................................................................................... 149
15.10 CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES: ................................................................... 149
15.11 PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO: U . V............................................................. 150
15.11.1 Propriedades: ................................................................................................. 150
15.12 PRODUTO VETORIAL: U X V .......................................................................................... 150
15.13 PARALELISMO ........................................................................................................... 150
15.14 ORTOGONALISMO ..................................................................................................... 150
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9
3210
1
2
3
4
5
6
y
x
7
8
9
10
AULA 1
1 - FUNÇÕES
1.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO
Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável
independente.
Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da
variável dependente.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos
numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a
linguagem da teoria dos conjuntos.
Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois
conjuntos.
Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se
produto cartesiano (indica-se: A B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .
A B {( x , y )/ x A e y B }.
Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em
B a qualquer subconjunto de A B .
r é relação de A em B r A B .
Exemplo:
Sejam os conjuntos A{0,1,2,3}, B {0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que y
2 x , x A e y B . Escrever os elementos dessa relação r .
Como x A :
x 0 y 0 (0,0) A B ;
x 1 y 2 (1,2) A B ;
x 2 y 4 (2,4) A B ;
x 3 y 6 (3,6) A B .
Então, r {(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.
Representação da relação por diagrama. Representação da relação por sistema cartesiano.
0
0A B
1
2
3
2
4
6
8
10
r
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10
0
A B
2
5
0
2
5
10
20
-2
Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos
pares ( x , y ) em que o elemento x A é associado ao elemento y B mediante uma lei de
associação (no caso, y 2 x ).
1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa
relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um
e apenas um elemento y do conjunto B .
Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique
sua resposta e apresente o diagrama da relação.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A{0,5,15} e B {0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B
expressa pela fórmula y x 5, com x A e y B .
x 0 y 5 (0,5) A B ;
x 5 y 10 (5,10) A B ;
x 15 y 20 (15,20) A B .
Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
A cada elemento de A está associado um único elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y x 5 é uma função de A em B .
2) Dados os conjuntos A{2,0,2,5} e B {0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B
expressa pela fórmula y x , com x A e y B .
x 0 y 0 (0,0) A B ;
x 2 y 2 (2,2) A B ;
x 5 y 5 (5,5) A B .
O elemento 2 de A não está associado a nenhum elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .
0
0A B
5
15
5
10
15
20
25
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11
3) Dados os conjuntos A{3,1,1,3} e B {1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa
pela fórmula 2xy , com Ax e By
x 3 y 9 (3,9) A B ;
x 1 y 1 (1,1) A B ;
x 1 y 1 (1,1) A B ;
x 3 y 9 (3,9) A B .
Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
A cada elemento de A está associado um único elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y 2x é uma função de A em B .
4) Dados os conjuntos A{16,81} e B {2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela
fórmula xy 4, com Ax e By .
x 16 y 2 ou y 2 (16,2) e (16,2) A B ;
x 81 y 3 (81,3) A B .
Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
O elemento 16 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B .
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .
1.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO
Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:
f : A B (lê-se: função de A em B )
x y (lê-se: a cada valor de x A associa-se um só valor y B )
A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc.
Numa função g : R R , dada pela fórmula y 2x 8, podemos também escrever g ( x )2x 8. Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x 2 , ou g ( 2 )6.
A B
1
3
1
3
6
9
-3
-1
A B
81
-2
2
3
16
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12
A B
0
2
0
1
2
3
4
-3
-1
-1
1.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:
f : A B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )
x y f ( x ) (a cada elemento x A corresponde um único y B )
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio da
função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir
em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x .
O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no
contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de
y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são
imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note que o
conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma.
f : A B
x y f ( x )
D A , CD B , Im { y CD / y é correspondente de algum valor de x }.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A{3,1,0,2} e B {1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem
da função f : A B definida por f ( x ) x 2.
f (3)(3)21
f (1)(1)21
f (0)(0)22
f (2)(2)24
Im {1,1,2,4}
2) Dada a função f : R R definida por f ( x ) a x b , com a ,b R , calcular a e b ,
sabendo que f (1)4 e f (1)2.
A lei de formação da função é f ( x ) a x b ou y a x b .
f (1)4 x 1 e y 4 4 a 1b (i)
f (1)2 x 1 e y 2 2 a (1)b (ii)
De (i) e (ii), temos:
b 1 e a 3
a 3 e b 1 f ( x )3 x 1.
a b 4
a b 2
2b 2
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13
A B C
g
h
f
xy z
1.5 FUNÇÃO COMPOSTA
Tome as funções f : A B , definida por f ( x )2 x , e g : B C , definida por g ( x ) 2x .
Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .
f : A B : a cada x A associa-se um único y B , tal que y 2 x .
g : B C : a cada y B associa-se um único z C , tal que z 2y .
Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : AC , que faz a composição entre
as funções f e g :
h : AC : a cada x A associa-se um único z C , tal que z 2y
22 )( x 4 2x .
Essa função h de A em C , dada por h ( x ) 4 2x , é denominada função composta de g e
f .
De um modo geral, para indicar como o elemento z C é determinado de modo único pelo
elemento x A , escrevemos:
z g ( y ) g ( f ( x ))
Notação:
A função composta de g e f será indicada por g f (lê-se: g círculo f )
( g f )( x ) g ( f ( x ))
Exemplos:
1) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por 1)( xxf e
32)( 2 xxg . Determine:
a) f ( g ( x )).
f ( g ( x )) f (2 2x 3)2 2x 312 2x 2
f ( g ( x )) 2 2x 2.
b) g ( f ( x )).
g ( f ( x )) g ( x 1)221)( x 32( 2x 2 x 1)32 2x 4 x 232 2x 4 x 1
g ( f ( x )) 2 2x 4 x 1.
c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x )) g ( f ( x )).
f ( g ( x )) g ( f ( x ))
2 2x 2=2 2x 4 x 1
2=4 x 1
4 x 12
x 4
1.
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14
3210
1
2
3
4y
x-1
-2
-1-2 4
f
f
-1
2) Sendo f ( x )3 x 1 e f ( g ( x ))6 x 8, determine g ( x ).
Como f ( x )3 x 1, então f ( g ( x ))3 g ( x )1.
Como f ( g ( x )) 6 x 8, então 3 g ( x )16 x 8.
3 g ( x )1 6 x 8
3 g ( x ) 6 x 81
g ( x ) 3
96 x
g ( x ) 2 x 3.
1.6 FUNÇÃO INVERSA
Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas
condições abaixo:
O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é
correspondente de algum elemento do domínio.
Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.
Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa 1f se for bijetora.
1.6.1 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO INVERSA
Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa.
Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida “isolamos” o y ,
obtendo a lei que define a função inversa.
É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.
Exemplo:
1) Obter a lei da função inversa 1f da função f dada por y x 2.
y x 2 função .
x y 2 trocando a variável x por y e y por x .
y x 2 isolando y .
Então, y x 2 é a lei da função inversa da função dada por y x 2.
Logo:
f ( x ) x 2 e 1f ( x ) x 2
2) Construir os gráficos das funções f e 1f do exercício anterior, num mesmo sistema de
coordenadas.
f
x f ( x ) x 1f ( x ) Note que os gráficos
das funções f e 1f
são simétricos em
relação à reta que
contém as bissetrizes
do 1o e 3
o quadrantes.
1 1 1 1
0 2 2 0
1 3 3 1
2 4 4 2
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15
3) Determinar a função inversa 1g da função g ( x )
32
5
x
x, cujo domínio é D R
2
3.
y 32
5
x
x função g .
x 32
5
y
y trocando a variável x por y e y por x .
(2 y 3) x y 5 isolando y .
2 x y 3 x y 5
y (2 x 1)3 x 5
y 12
53
x
x 2 x 10 x
2
1.
Logo, 1g : R
2
1 R
2
3 dada por y
12
53
x
x é a função inversa procurada.
AULA 1 - EXERCÍCIOS
1) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B = {0,
1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x2 – 4x +
3. Faça o diagrama de g e verifique se g é
uma função de A em B. Em caso
afirmativo escreva o conjunto imagem.
2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em R
definida por f(x) = (x – 2)(x – 4).
Determine o seu conjunto imagem.
3) Sejam f e g funções reais definidas, para
todo o número real não nulo, por:
25
83)(
x
xxxf e
233
13
5)( 2
xx
xxg
Se a e b são números reais distintos tais
que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + b
4) Considere a função f(x) real, definida por
f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. Determine
o valor de f(0)
5) Determine o domínio das seguintes
funções:
a) 54)( xxf
b) 1
3)(
2
xxf
c) xy 21
d) 2
7
4
1
3
1)(
x
x
xx
xxf
6) Sendo 1
1)(
xxf , x 1 e 42)( xxg ,
ache o valor de
2
1))2(( fggf .
7) Se 1
1)(
xxf , qual o valor de x para que
f(f(x)) = 1?
8) Dada a função 5
62)(
x
xxf com x 5.
calcule:
a) f-1
(x)
b) f-1
(4)
Respostas: 1) sim, Im{0, 3}
2) Im = {-1, 0, 3}
3) 3
4) 29
5) a) D = R
b) D = R – {-1, 1}
c)
2
1| xRxD
d) 2,,43| xexRxD
6) – 9
7) 2
3x
8) a) 2
65
x
x b) 13
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16
AULA 2
2. FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é
aquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.
2.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O
GRAU
A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por um polinômio
de grau 1.
Representação da função polinomial do 1o grau:
f ( x ) a b , com a ,b R ( a 0). a e b são os coeficientes e x a variável
independente.
Exemplo:
Em uma função polinomial do 1o grau, y f ( x ), sabe-se que f (1)4 e f (2)10. Escreva
a função e calcule f
2
1.
Se é polinomial do 1o grau, então podemos escrever: b . Usando os dados do
problema:
f (1)4 1 e 4. Então, a 1b 4 a b 4 (i).
f (2)10 2 e 10. Então, a (2)b 10 2 a b 10 (ii).
Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a 4 a b 4
(ii) 2 a b 10 (1) 2 a b 10
3 a 6 a 2
Se a 2, então 2b 4 b 6.
A função f é dada por f ( x )2 x 6.
Cálculo de f
2
1:
f
2
1 2
2
16 16 7
A função é f ( x ) 2 x 6 e f
2
17.
2.1.1 FUNÇÃO LINEAR
Seja a função polinomial do 1o grau f ( x )a x b . No caso de b 0, temos f ( x )a x , e
ela recebe o nome especial de função linear.
x
f
f y a x
x y
x y
b
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17
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
Obs.: Se, em uma função linear tivermos a 1, teremos f ( x ) x ou y x , que se dá o
nome de função identidade.
2.1.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O
GRAU
Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1o grau, atribuímos valores do
domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens.
Exemplo:
Construir o gráfico da função real f dada por y 2 x 1.
x y Par ordenado
2 5 (2,5)
1 3 (1,3)
0 1 (0,1)
1 1 (1,1)
2 3 (2,3)
3 5 (3,5)
Definição 9: O gráfico da função linear y a x ( a 0) é sempre uma reta que passa pela
origem do sistema cartesiano.
Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1o grau y a x b ( a 0) intercepta o eixo
das ordenadas no ponto (0,b ).
2.1.3 DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO A PARTIR DO GRÁFICO
Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x ) a x b .
Exemplo:
1) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
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18
Sabendo-se que y a x b , do gráfico, temos que:
x 1 e y 1 1 a (1)b a b 1 (i).
x 1 e y 3 3 a (1)b a b 3 (ii).
(i) a b 1
(ii) a b 3
2b 2 b 1
Se b 1, então a b 3 a 13 a 2
Logo:
A função é f ( x )2 x 1.
2) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
Sabendo-se que y a x b , do gráfico, temos que:
x 1 e y 1 1 a (1)b a b 1 (i).
x 2 e y 2 2a (2)b 2 a b 2 (ii).
(i) a b 1 (1) a b 1
(ii) 2 a b 2 2 a b 2
a 3 a 3
Se a 3, então 3b 1 b 4
Logo:
A função é f ( x )3 x 4.
2.1.4 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO
1O
GRAU
Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x ) a x b .
Podemos determinar que:
i) A função f é crescente se o coeficiente a 0;
ii) A função f é decrescente se o coeficiente a 0.
Exemplo:
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
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19
Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir:
i) f ( x )2 x 1 ii) g ( x )2 x 1
i) Aumentando os valores atribuídos a
x , aumentam também os valores
correspondentes da imagem f ( x ).
ii) Aumentando os valores atribuídos a x ,
diminuem os valores correspondentes da
imagem g ( x ).
2.1.5 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O
GRAU
Definição 11: Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x
temos f ( x )0, f ( x )0 ou f ( x )0.
2.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1o grau
Definição 12: Denomina-se zero ou raiz da função f ( x ) a x b o valor de x que anula a
função, isto é, torna f ( x )0.
Definição 13: Geometricamente, o zero da função polinomial do 1o grau f ( x )a x b , a
0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .
Exemplo:
Dada a lei de formação da função y 2 x 4, construir o gráfico e determinar os valores
reais de x para os quais: a) y 0; b) y 0 e c) y 0.
Podemos notar que a função é decrescente, pois a 0.
O zero da função é: 2 x 40 2 x 4 2 x 4
2x .
Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa
2x .
A solução do problema é:
a) f ( x )0 { xR ; x 2};
b) f ( x )0 { x R ; x 2};
c) f ( x )0 { xR ; x 2}.
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
5-3-4-5
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20
2.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau
f ( x ) a x b , a 0
Zero da função: a x b 0 x a
b
a 0 a 0
f ( x ) 0 x a
b f ( x ) 0 x
a
b
f ( x ) 0 x a
b f ( x ) 0 x
a
b
f ( x ) 0 x a
b f ( x ) 0 x
a
b
2.2 INEQUAÇÕES DO 1O
GRAU
Definição 14: Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode
ser reduzida a uma das formas:
a x b 0;
a x b 0;
a x b 0;
a x b 0.
com a , b R e a 0.
Exemplo:
Verificar se 4( x 1) 2x 3 x x ( x 1) é uma inequação do 1o grau.
4( x 1) 2x 3 x x ( x 1)
4 x 4 2x 3 x 2x x
4 x 3 x x 40
2 x 40
Logo, 2 x 4 é um polinômio do 1o grau, então 4( x 1) 2x 3 x x ( x 1) é uma inequação
do 1o grau.
x
xf ( )>0xf ( )<0x
ab
ab
axb
xf ( )<0xf ( )>0x
ab
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21
2.2.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1O
GRAU
Definição 15: Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exemplos:
1) Resolver a inequação seguinte: 4( x 1) 2x 3 x x ( x 1). Represente a solução na reta real.
4( x 1) 2x 3 x x ( x 1)
4 x 4 2x 3 x 2x x
4 x 3 x x 40
2 x 4
x 2
S{ x R ; x 2}
2) Resolver a inequação seguinte: 3
1x
2
14 )( x
4
x
6
2 x. Represente a solução na reta real.
3
1x
2
14 )( x
4
x
6
2 x
Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum:
12
242444 xx
12
243 xx
Simplificando:
20 x 20 x 4
20 x x 204
21 x 16
Multiplicando por (1):
21 x 16
x 21
16
S{ x R ; x 21
16}
2.2.2 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 1O
GRAU
Definição 16: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela
intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Exemplo:
Resolver a inequação 12 x 3 x . Apresente o conjunto solução S e represente na reta
real.
Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema:
(i) 1 2 x 3 (i) x 1
(ii) 2 x 3 x (ii) x 3
x2
x1621
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22
S{ x R ; 1 x 3}
2.2.3 INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE
Uma inequação do 2o grau do tipo 2x 2 x 80 pode ser expressa por um produto de
inequações do 1o grau, fatorando o 1
o membro da desigualdade:
2x 2 x 8 0 ( x 2)( x 4) 0.
Definição 17:
RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos
o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal
do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de
números reais.
Exemplos:
1) Resolver a inequação ( 2x x 2)( x 2) 0.
( 2x x 2)( x 2)0 ( x 2)( x 1)( x 2) 0
f(x) x 2 f(x) 0 x 2 a 0
g(x) x 1 g(x) 0 x 1 a 0
h(x) x 2 h(x) 0 x 2 a 0
S{ x R ; 2 x 1 ou x 2}
2) Resolver a inequação 2
13
x
x 0.
f(x) 3 x 1 f(x) 0 1/3 a < 0
g(x) x 2 g(x) 0 x 2 a < 0
x
x
x1 3
(i)
(ii)(i)
(ii)
x
-2 2
( )g
x( )f
x( )h
x( )x( )x( )f g h1
x
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23
S{ x R ; 3
1 x 2}
3) Resolver a inequação 2
92
x
x 0.
2
92
x
x 0
2
33
x
xx )()( 0
f(x) x 3 f(x) 0 x 3 a 0
g(x) x 3 g(x) 0 x 3 a 0
h(x) x 2 h(x) 0 x 2 a 0
S{ x R ; x 3 ou 2 x 3}
4) Determine o domínio da função y 5
322
x
xx.
5
322
x
xx 0
5
13
x
xx )()( 0
f(x) x 3 f(x) 0 x 3 a 0
g(x) x 1 g(x) 0 x 1 a 0
h(x) x 5 h(x) 0 x 5 a 0
D{ x R ; 3 x 1 ou x 5}
x
2
( )g
x( )f
x( )
x( )f
g 13
x
-3 3
( )g
x( )f
x( )h
x( )
x( )x( )f g
h 2
x
-3 5
( )g
x( )f
x( )h
x( )
x( )x( )f g
h 1
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24
AULA 02 – EXERCÍCIOS
1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine:
a) f(2)
b) o valor de x para que f(x) = 0
2) Em uma função polinomial do 1o grau, y =
f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. Escreva
a função f e calcule
2
1f
3) Um vendedor recebe mensalmente um
salário composto de duas partes: uma parte
fixa, no valor de R$900,00 e uma variável,
que corresponde a uma comissão de 8% do
total de vendas que ele fez durante o mês.
a) Expressar a lei da função que representa
seu salário mensal
b) Calcular o salário do vendedor que
durante um mês ele vendeu R$ 50.000,00 em
produtos
4) Num determinado país, o gasto
governamental com educação, por aluno em
escola pública, foi de 3.000 dólares no ano de
1985, e de 3.600 dólares em 1993. Admitindo
que o gráfico do gasto por aluno em função
do tempo seja constituído de pontos de uma
reta:
a) Obtenha a lei que descreve o gasto por
aluno (y) em função do tempo (x),
considerando x = 0 para o ano de 1985, x = 1
para o ano de 1986, x = 2 para o ano de 1987
e assim por diante.
b) Em que ano o gasto por aluno será o
dobro do que era em 1985?
5) Considere as funções f e g definidas em R
por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x
a) Ache as raízes das funções f e g
b) Sabendo que os gráficos de f e g são
retas concorrentes, calcule as coordenadas do
ponto de intersecção.
6) Resolver a inequação 0)31(214 xx
7) Determinar o conjunto verdade da
inequação: 6
2
42
)1(4
3
1 xxxx
8) Resolver o sistema
03
512
x
x
9) João possui um terreno de 1000m2, no qual
pretende construir uma casa. Ao engenheiro
responsável pela planta, ele impõe as
seguintes condições: a área destinada ao lazer
(piscina, churrasqueira, etc) deve ter 200m2, e
a área interna da casa mais a área de lazer
devem ultrapassar 50% da área total do
terreno; além disso, o custo para construir a
casa deverá ser de, no máximo, R$
200.000,00. Sabendo que o metro quadrado
construído nessa região custa R$ 500,00, qual
é a área interna da casa que o engenheiro
poderá projetar?
10) Determinar o domínio da função
3
1
x
xy
Respostas:
1) a) 8
b) 2/5
2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7
3) a) y = 900 + 0,08x
b) R$ 4900,00
4) a) y = 75x + 3000
b) 2025
5) a) 8 e 0
b) (2, 6)
6)
2
1| xRxS
7)
21
16| xRxS
8) 3| xRxS
9) entre 300m2 e 400m
2
10) 31| xRxD
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25
AULA 3
2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O
GRAU
Definição 18: A função f : R R dada por f ( x ) a 2x b x c , com a , b e c reais e a
0, denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por
a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a 0 temos uma função do 1o grau ou uma
função constante.
Exemplo:
Considere a função f do 2o grau, em que f (0)5, f (1)3 e f (1)1. Escreva a lei de
formação dessa função e calcule f (5).
Resolução
Tome f ( x ) a 2x b x c , com a 0.
f (0) 5 a (0)2b (0) c 5 c 5 5
f (1) 3 a (1)2b (1) c 3 a b 2 ( i)
f (1) 1 (1)2b (1) c 1 a b 4 ( ii)
Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i) a b 2
(ii) a b 4
(i)(ii) 2a
6 a 3 b 1
A lei de formação da função será f ( x ) 3 2x x 5
f (5)3(5)2(5)5
f (5)65.
2.3.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
O gráfico de uma função polinomial do 2o grau ou quadrática é uma curva aberta chamada
parábola.
Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa
representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função
quadrática:
(i) Concavidade (ii) Zeros ou raízes (iii) Vértice
2.3.2 CONCAVIDADE
A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f ( x )a 2x b x c
do 2o grau depende do sinal do coeficiente a :
c
a
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26
a 0: concavidade para CIMA a 0: concavidade para BAIXO
CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
2.3.3 ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição 19: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x ) a 2x b x c são as raízes da
equação do 2o grau a 2x b x c 0, ou seja:
Raízes: x a
acbb
2
42 .
Considerando 2b 4 a c , pode-se ocorrer três situações:
i) 0 as duas raízes são reais e diferentes: 1x a
b
2
e 2x
a
b
2
.
ii) 0 as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): 1x 2x a
b
2.
iii) 0 não há raízes reais.
Obs.: Em uma equação do 2o grau a 2x b x c 0, a soma das raízes é S e o produto é P tal
que: S 1x 2x a
b e P 1x 2x
a
c.
Definição 20: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2o grau
são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x .
2.3.4 VÉRTICE DA PARÁBOLA
Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( Vx , Vy ) em cada uma:
VÉRTICE DE PARÁBOLAS (0 PARA AS DUAS).
x
y
x
y
x2x1
x1 x2
V( ),xV yV
V( ),xV yV
Eixo de simetria
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27
Uma forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é:
Vx 2
21 xx , já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;
Vy a 2Vx b Vx c , já que o Vx foi obtido acima.
Outra forma de se obter o vértice V ( Vx , Vy ) é aplicando as fórmulas:
Vx a
b
2 e Vy
a4
.
2.3.5 GRÁFICO DE UMA PARÁBOLA
Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com
mais facilidade o gráfico de uma função quadrática.
Exemplos:
1) Construir o gráfico da função y 2x 2 x , determinando sua imagem.
a 10 concavidade voltada para cima.
Zeros da função: 2x 2 x 0 x ( x 2)0 1x 0 e 2x 2.
Ponto onde a
parábola corta o
eixo y : x 0 y 0 (0,0)
Vértice da
parábola: Vx a
b
2
2
21
V (1,1)
Vy a4
4
41
Imagem: y 1 para todo x Real Im { y R ; y 1}
2) Construir o gráfico da função y 2x 4 x 5, determinando sua imagem.
a 1 0 concavidade voltada para baixo.
Zeros da função: 2x 4 x 50 4. zeros reais. Ponto onde a
parábola corta o
eixo y : x 0 y 5 (0,5)
Vértice da
parábola: Vx a
b
2
2
4
2
V (2,1)
Vy a4
4
4
1
Imagem: y 1 para todo x Real Im { y R ; y 1}
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
5-3-4-5
V
3210
1
2
3
4
y
x-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
5-3-4-5
V
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28
2.3.6 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Os valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser
dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo.
f ( x ) a 2x b x c com ( a , b e c R e a 0)
a 0 a 0
f ( x )0 para x 1x ou x 2x f ( x )0 para x 1x ou x 2x
f ( x )0 para 1x x 2x f ( x )0 para 1x x 2x
f ( x )0 para x 1x ou x 2x ( x )0 para x 1x ou x 2x
f ( x )0 para x 1x f ( x )0 para x 1x
f ( x )0 x real f ( x )0 x real
f ( x )0 para x 1x 2x f ( x )0 para x 1x 2x
f ( x )0 x real f ( x )0 x real
f ( x )0 x real f ( x )0 x real
f ( x )0 x real f ( x )0 x real
2.4 INEQUAÇÕES DO 2O
GRAU
Definição 21: Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode
ser reduzida a uma das formas:
a 2x b x c 0;
a 2x b x c 0;
xx2x1
x
x1 x2
f
xx2x1
x
x2x1
x
x
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29
a 2x b x c 0;
a 2x b x c 0.
com a , b , c R e a 0.
2.4.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2O
GRAU
Definição 22: Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exemplo:
1) Resolver a inequação 2x 3 x 20.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x 3 x 2.
a 10 Concavidade para cima.
2x 3 x 20
10 Duas raízes reais diferentes.
x
2
13
1x 1
2x 2
S{ x R ; x 1 ou x 2}. Obs: somente valores positivos.
2) Resolver a inequação 2x 10 x 250.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x 10 x 25.
10 Concavidade para cima.
2x 10 x 250
0 Raiz dupla (única).
1x 2x
2
10
x 5
S R . Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero.
3) Resolver a inequação 2 2x 5 x 60.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x )2 2x 5 x 6.
a 20 Concavidade para
baixo.
2 2x 5 x 6 0
23 0 Não possui zeros reais.
x real
S. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero.
x21
a
x5
x
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30
2.4.2 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 2O
GRAU
Definição 23: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela
intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Exemplo:
1) Resolver o sistema de inequações
05
682 22
x
xxx.
Resolução
(i) 2 2x 8 2x 6 x 2 2x 8 2x 6 x 0 2x 6 x 80.
(ii) x 50.
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x 6 x 8.
a 1 0 Concavidade para cima.
2x 6 x 80
4 0 Duas raízes reais
diferentes.
x
2
26 1x 4
2x 2
S(i){ x R ; x 4 ou x 2}. Reta real:
Resolução de (ii): x 50 x 5.
S(ii){ x R ; x 5}. Reta real:
Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii):
S{ x R ; x 5}.
2) Resolver a inequação x 4 2x 4 x 2.
Resolução
(i) x 4 2x 4 x 4 2x 40 (1) 2x x 0.
(ii) 2x 4 x 2 2x 4 x 20 2x x 60.
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x ) 2x x .
a 1 0 Concavidade para cima.
2x x 0 x ( x 1)0 Zeros{0,1}.
1 0 Duas raízes reais diferentes.
x
2
11
1x 0
2x 1
S(i){ x R ; x 0 ou x 1}. Reta real:
x-2-4
x-2-4
x-5
x-5
x-5
x-2-4(i)
(ii)
(i) (ii)
x10
x10
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31
Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( x ) 2x x 6.
a 1 0 Concavidade para cima.
2x x 60
25 0 Duas raízes reais diferentes.
x
2
51
1x 2
2x 3
S(ii){ x R ; 2 x 3}. Reta real:
Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii):
S{ x R ; 2 x 0 ou 1 x 3}.
2.4.3 INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE
Definição 24:
RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos
o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto
ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números
reais.
Exemplos:
1) Resolver a inequação ( 2x 2 x 3)( 2x 3 x 4)0.
Resolução
S{ x R ; 4 x 1 ou 1 x 3}.
x3-2
x3-2
x-2
x
x10(i)
(ii)
(i) (ii)
3
-2 0 1 3
x
-4
( )g
x( )f
x( )x( )f g1 3-1
f(x) 2x 2 x 3 a 0 16 0 1x 1 e 2x = 3
g(x) 2x 3 x 4 a 0 25 0 1x 4 e 2x = 1
f(x) g(x)
x3-1x1-4
x3-1 x1-4
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32
2) Resolver a inequação 16
652
2
x
xx0.
Resolução
f(x) 2x 5 x 6 a 0 1 0 1x 2 e 2x 3
g(x) 2x 16 a 0 64 0 1x 4 e 2x 4
f(x) g(x)
S{ x R ; x 4 ou 2 x 3 ou x 4}.
3) Determine o domínio da função f ( x )6
1032
x
xx.
Resolução
f só representa um número real se 6
1032
x
xx0.
f(x) 2x 3 x 10 a 0 49 0 1x 2 e 2x 5
g(x) x 6 a 0 g(x) = 0 x 6
f(x) g(x)
D { x R ; 2 x 5 ou x 6}.
AULA 03 – EXERCÍCIOS
x32 x4-4
x32 x4-4
x
-4
( )g
x( )f
x( )
x( )f
g 3 42
x5-2 x6
x5-2 x6
x
-2
( )g
x( )f
x( )
x( )f
g 5 6
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33
1) Considere a função f do 20 grau, onde f(0)
= 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de
formação dessa função e calcule f(5).
2) Determine o valor de m para que a
parábola que representa graficamente a
função y = 3x2 – x + m passe pelo ponto
(1, 6).
3) Determinar os zeros da função y = x2 – 4x
– 5.
4) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 3k. Sabendo
que essa função possui dois zeros reais
iguais, determine o valor real de k.
5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas
raízes reais, m e n, de modo que
12
511
nm. Determine o valor de f(-1)
nessa função.
6) Determinar as coordenadas do vértice V da
parábola que representa a função
135)( 2 xxxf .
7) Determinar a e b de modo que o gráfico da
função definida por y = ax2 + bx – 9 tenha
o vértice no ponto (4, - 25).
8) Determinar o conjunto imagem da função
f(x) = x2 – 3x + 2.
9) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor
máximo ou valor mínimo? Qual é esse
valor?
10) Considerar todos os possíveis retângulos
que possuem perímetro igual a 80 cm.
Dentre esses retângulos, determinar aquele
que terá área máxima. Qual será essa área?
11) Determinar p de modo que a função
f(x)= px2 + (2p – 1)x + p assuma valores
positivos para todo x real.
12) Resolver a inequação –x2 + 1 0.
13) Determinar o conjunto solução da
inequação x2 – 10x + 25 0.
14) Resolver a inequação x – 4 <x2 – 4 x +
2.
15) Resolver a inequação 13
12
x
x
Respostas
1) f(x) = - 3x2 + x + 5
f(5) = - 65
2) 4
3) 5 e -1
4) 1/3
5) 52
6)
20
11,
10
3V
7) a = 1 e b = - 8
8)
4
1/Im yRy
9) O valor mínimo da função é y = - 25/4
10) O retângulo que terá a maior área será o
de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima será
de 400cm2.
11)
4
1/ pRp
12) 1,,1| xouxRxS
13) S = R
14) 02| xRxS ou }31 x
15) S = {x R| x < - 3 ou -1< x <2}
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34
AULA 4
3. FUNÇÃO EXPONENCIAL
3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO
3.1.1 POTÊNCIAS COM EXPOENTE NATURAL
Sendo a um número real e n um número natural, com n 2, definimos: na
fatores n
aaaa .
Para n 1 e n 0 são definidos: 1a a . 0a 1 ( a 0).
3.1.2 POTÊNCIAS COM EXPOENTE INTEIRO
Se a é um número real não-nulo ( a 0) e n um número inteiro e positivo, definimos:
na na
1.
3.1.3 POTÊNCIAS COM EXPOENTE RACIONAL
Se a é um número real positivo e n
m um número racional, com n inteiro positivo,
definimos:
nm
a n ma .
3.1.4 POTÊNCIAS COM EXPOENTE REAL
Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos
números reais. Temos, por exemplo: 210 25,954553519470080977981828375983.
3.1.4.1 Propriedades
Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias:
ma na nma .
ma na nma ( a 0).
nma )( nma .
nba )( na nb .
n
b
a
n
n
b
a (b 0).
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35
Exemplos
1) Dê o resultado mais simples de ( 35 65 ) 105 .
Resolução
Usando as propriedades, temos:
( 35 65 ) 105 ( 635 ) 105 95 105 1095 15 5
1.
2) Calcule o valor da expressão
2
3
2
3
2
1
06 .
Resolução 2
3
2
3
2
1
06
2
2
3
3
2
1
1
4
9
8
11
8
8118
8
11.
3) Simplifique x
xx
2
22 25 .
Resolução
x
xx
2
22 25
x
xx
2
2222 25
x
x
2
222 25 )( 52 22 28.
4) Calcule 34
8 .
Resolução
Primeira resolução: 34
8 3 48 3 4096 16.
Segunda resolução: 34
8 34
32 )( 343
2 42 16.
5) Determine o valor de 7081 , 2081 , .
Resolução 7081 , 2081 , 207081 ,, 5081 ,
5043 ,)( 23 9.
6) Qual o valor de 2210 )( 510 ),( ?
Resolução
2210 )( 510 ),(
2210
5110 )(
210 510 )( 5210 710 10000000.
3.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Definição 25: Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no
expoente.
Exemplo:
x2 16.
13 x 23 x 9.
13 x 27.
10 x22 5 x22 10.
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36
3.2.1 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências
de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e
propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato:
Definição 26: Se a 0, a 1 e x é a incógnita, a solução da equação xa pa é x p .
Exemplos:
1) Resolver a equação x4 512.
Resolução
Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1o e 2
o membros da equação em
potências de mesma base:
x4 512 x
)(22 92 x22 92 2 x 9 x
2
9.
S
2
9.
2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um
aumento anual de produção de 50%, pergunta-se:
a)Qual a produção P dessa empresa t anos depois?
b)Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?
Resolução
a) Obs: 50%100
500,5
Um ano depois: 80000,580008000(10,5)80001,5
Dois anos depois: (80001,5)1,58000251 ),(
Três anos depois: (8000251 ),( )1,58000
351 ),(
Produção P, t anos depois: P8000t
),( 51
b)Fazendo P40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:
405008000t
),( 51
Resolvendo a equação:
405008000t
),( 51
t
),( 51 8000
40500. Obs: 1,5
2
3.
t
2
3
16
81
t
2
3
4
4
2
3
t
2
3
4
2
3
t 4.
Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos.
3) Determine o conjunto solução da equação 281 x 1 no universo dos números reais.
Resolução
Sabendo que 081 1, temos: 281 x 1 281 x 081 x 20 x 2.
S{2}.
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37
3.2.2 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS COM O USO DE ARTIFÍCIOS
Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas
transformações e artifícios.
Exemplos:
1) Resolver a equação x4 5 x2 40.
Resolução
Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada: x4 5 x2 40
x)(
22 5 x2 40 22 )(
x5 x2 40.
Fazendo x2 y , temos a equação do 2o grau em y :
2y 5 y 40 y 2
16255 1y 4 e 2y 1.
Voltando à igualdade x2 y :
1y 4:
x2 y x2 4 x2 22 x 2.
2y 1:
x2 y x2 1 x2 02 x 0.
S{0,2}.
2) Determine o conjunto solução da equação x5 x25 24.
Resolução
Preparando a equação, temos:
x5 x25 24 x5 25 x5 24 x5 25x5
124 x5
x5
2524.
Fazendo x5 y , temos:
y y
2524
2y 2524 y 2y 24 y 250
1
25
2
1
y
y
Voltando à igualdade x5 y :
1y 25: x5 y x5 25 x5 25 x 2.
2y 1: x5 y x5 1 Esta equação não tem raiz em R , pois x5 0, para todo x real.
S{2}.
3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição 27: A função f : R R dada por f ( x ) xa (com a 0 e a 1) é denominada
função exponencial de base a .
3.3.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NO PLANO CARTESIANO
Dada a função f : R R , definida por f ( x ) xa (com a 0 e a 1), temos dois casos para
traçar seu gráfico: (i) a 1 e (ii) 0a 1.
(i) a 1.
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38
1) Traçar o gráfico de f ( x ) x2 .
x
f ( x ) x2
2 4
1
1 2
1
0 1
1 2
2 4
3 8
Obs.1: Quanto maior o expoente x , maior é a potência xa , ou seja, se a 1 a função xasf )( é crescente.
(ii) 0 a 1.
2) Traçar o gráfico de f ( x )
x
2
1.
x
f ( x )
x
2
1
3 8
2 4
1 2
0 1
1 2
1
2 4
1
Obs.2: Quanto maior o expoente x , menor é a potência xa , ou seja, se 0a 1 a função xaxf )( é decrescente.
Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:
3.3.2 CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Seja f : R R , definida por f ( x ) xa (com a 0 e a 1).
Domínio da função f são todos os números reais D R .
Imagem da função f são os números reais positivos Im R .
A curva da função passa pelo ponto (0,1).
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
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39
A função é crescente para a base a 1.
A função é decrescente para a base 0a 1.
3.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Definição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.
3.4.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:
Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
Verificar a base da exponencial, a 1 ou 0 a 1, aplicando as propriedades
abaixo.
Caso (i): a 1 Caso (ii): 0 a 1
ma na m n ma na m n
As desigualdades têm mesmo sentido As desigualdades têm sentidos diferentes
Exemplos:
1) Resolva a inequação x2 32.
Resolução
Como 52 32, a inequação pode ser escrita: x2 52 Caso (i): a 1.
x 5.
S{ x R ; x 5}.
2) Resolva a inequação xx 23 2
3 )( 1.
Resolução
xx 23 2
3 )( 1 xx 23 2
3 )(
03)( Caso (i): a 1.
3 2x 2 x 0
Tome f ( x )3 2x 2 x
f ( x )0 3 2x 2 x 0
0
3
2
2
1
x
x
S{ x R ; x 2/3 ou x 0}.
3) Resolva a inequação
3
2
1
x
72
2
1
x
.
Resolução 3
2
1
x
72
2
1
x
Caso (ii): 0 a 1.
x 32 x 7 x 10 (1) x 10.
S{ x R ; x 10}.
x023
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40
AULA 4 - EXERCÍCIOS
1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão
celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora.
a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias?
2) Resolva as equações:
a) 72821 x
b) 081
34 4
xx
3) Determine o conjunto solução das seguintes equações:
a) 0273.2832 xx
b) xx 2.123222
c) 14
5
6416 x
x
4) Se f(x) = x2 + x e g(x) = 3
x, determine x para que f(g(x)) = 2.
5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de 1 m3
e, inicialmente, esta cheio.
a) Após o 5o golpe, qual o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no
tanque?
b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n
golpes?
6) Resolva as inequações:
a) 43
552
xx
b)
513
3
1
3
1
xx
c) 1275,02 222 xX
7) Determine o domínio da função 12 2 xy
Respostas:
1) a) 800 bactérias
b) 9 horas
2) a) 3/2
b) 4
3) a) {0, 3}
b) {2, 3}
c) {1, 2}
4) x = 0
5) a) 0,59m3
b) f(n) = 1 . (0,9)n
6) a) }4,,1/{ xouxRx
b) }3/{ xRx
c) }0/{ xRx
7) }2/{ xRx
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41
AULA 5
4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
4.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
Definição 29: Dados dois números reais positivos, a e b , com a 1, existe um único
número real x de modo que xa b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e
indica-se balog .
Podemos então, escrever: xa b x balog (1 a 0 e b 0).
Na igualdade x balog , temos:
a é a base do logaritmo;
b é o logaritmando ou antilogaritmo;
x é o logaritmo.
Exemplos:
Calcular o valor de x nos exercícios seguintes:
1) 32log2 x .
x2 32 x2 52 x 5.
2) 16log4 x . x4 16 x4 24 x 2.
3) x8log 1.
18 x x 8.
4) 81log3 x .
x3 81 x3 43 x 4.
5) 1log5 x .
x5 1 x5 05 x 0.
Obs.1: blog significa b10log . Quando não se indica a base, fica subentendido que a base é 10.
4.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Tome 1 a 0, b 0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se
verificar que:
O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.
1loga 0, pois 0a 1.
O logaritmo da própria base é igual a 1.
aalog1, pois
1a a .
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42
O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. m
a alog m , pois ma ma .
O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b . baa
logb , pois xa b x balog .
4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Logaritmo de produto
)(log yxa xalog yalog (1 a 0, x 0 e y 0).
Logaritmo de quociente
y
xalog xalog yalog (1 a 0, x 0 e y 0).
Logaritmo de potência m
a xlog m xalog (1 a 0, x 0 e m R ).
4.4 COLOGARITMO
Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1 a 0) é o logaritmo do inverso
desse número b na base a .
bco alog
ba
1log bco alog balog (1 a 0 e b 0).
Exemplo:
Sabendo que log 3 a e log 5b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b .
log 15
log 15 log (35) log 3 log 5 a b .
log 675
log 675 log ( 33 25 ) log 33 log 25 3 log 32 log 53 a 2b .
log 2
log 2 log5
10 log 10 log 5 1b .
4.5 MUDANÇA DE BASE
As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em
muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única
base.
A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base.
Seja:
balog x xa b .
Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos:
x
c alog bclog x aclog bclog x a
b
c
c
log
log, mas x balog .
Então:
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43
balog a
b
c
c
log
log (1 a 0, 1 c 0 e b 0).
Exemplos:
1) Sendo log 20,3 e log 30,4, calcule 6log2.
6log2
2log
6log
2log
)32log(
2log
3log2log
30
4030
,
,,
30
70
,
,
3
7.
2) Resolva a equação x2log x4log x16log 7.
A condição de existência é x 0.
Transformando para a base 2:
x2log x4log x16log 7
x2log 4log
log
2
2 x
16log
log
2
2 x7
x2log 2
log2 x
4
log2 x7
4
loglog2log4 222 xxx
4
28
7 x2log 28
x2log 4 42 x
x 16 16 satisfaz a condição de existência.
Logo, o conjunto solução é:S{16}.
3) Resolva a equação 2log ( x 2) 2log ( x 2)5.
Condições de existência são: x 20 e x 20 x 2 e x 2. Então: x 2.
2log ( x 2) 2log ( x 2)5
2log [( x 2)( x 2)]5
( x 2)( x 2) 52 2x 432 2x 36 2x 6 6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz.
Logo, o conjunto solução é: S{6}.
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44
4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função exponencial g : R R definida por g ( x ) xa (com 1 a 0) é bijetora. Nesse
caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo.
Definição 30: A função f :R R definida por f ( x ) xalog (com 1a 0) é chamada
função logarítmica de base a .
4.6.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA NO PLANO CARTESIANO
Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes
ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico
da função exponencial.
Seja f :R R , tal que y xalog e
1f : R R , tal que y xa . Os gráficos de f e
1f
serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal.
(i) a 1.
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( a 1).
(ii) 0 a 1.
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0 a 1).
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
=y x
log xa=y
=y xa
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
=y xa
=y x
log xa=y
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45
4.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a
incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos:
1) Resolva a inequação 21log ( x 3)
21log 4.
Condição de existência:
x 30 x 3 (i).
Base: (0 a 1). Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e
o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos.
x 34 x 3 (ii).
A solução da inequação deve satisfazer as duas condições:
S{ x R ; 3 x 7}.
2) Resolva a inequação 4log ( 2x x ) 4log (2 x 10).
1a Condição de existência: 2x x 0 x 0 ou x 1 (i).
2a Condição de existência:
2 x 100 x 5 (ii).
Base: ( a 1). 2x x 2 x 10 2x x 2 x 100 2x 3 x 100 x 2 ou x 5 (iii).
A solução da inequação deve satisfazer as três condições:
S{ x R ; 5 x 2 ou x 5}.
3) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto
tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use
10log 20,3).
p 0p (10,2) t p 0p (0,8) t p 0p
t
10
8
Procura-se p 2
0p, logo:
x
x
x
7
3(i)
(ii)
(i) (ii)
73
x
x
x(i)
(ii)
(iii)
x(i) (ii)
-2
(iii)
-5 0 1
5
-5
-2
0 1
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46
2
0p 0p
t
10
8 ( 0p 0)
2
1
t
10
23
12 t32 t10
Aplicando 10log em ambos os membros, temos:
10log 12 10log ( t32 t10 )
10log 12 10log ( t32 t10 )
10log 12 10log t32 10log t10
10log 23 t 10log 2 t 10log 10
0,33 t 0,3 t
0,30,9 t t
0,30,1 t
t 3
O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de 3 anos.
AULA 05 – EXERCÍCIOS
1) Resolva as seguintes equações:
a) log2 (x – 4) = 3
b) logx (3x2 – x) = 2
c) (log3x)2 – log3x – 6 = 0
d) log5(log3x) = 1
2) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477,
calcule:
a) log 6 b) log 5
c) log 2,5 d) log 3
3) Qual o conjunto solução da equação
a) 2
1)1(log)13(log 42 xx
b) 2loglog 10010 xx
4) Determine o campo de existência da função
)2510(log)12(log)( 2
3
2
3 xxxxxf
5) Resolva as inequações:
a) log3(5x – 1) > log3 4
b) log2(x – 4) > 1
c) log12(x – 1) + log12(x – 2) 1
Respostas:
1) a) 12 b) ½
c) {1/9, 27} d) 243
2) a) 0,778 b) 0,699
c) 0,398 d) 0,2385
3) a) 1 b) 100
4) }5,,4,,3/{ xexouxRx
5) a) }1/{ xRxS
b) }6/{ xRxS
c) }52/{ xRxS
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47
AULA 6
5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
5.1 SENO E COSSENO DE UM ARCO:
Tome o arco dado na figura abaixo:
Arco para o conceito de seno e cosseno.
Seno de um arco é a ordenada do ponto P.
senON MP .
Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P.
cos OM NP .
5.1.1 CONSEQÜÊNCIAS:
Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que 1
nem maiores que 1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre 1 e
1, o que nos permite concluir:
1 sen 1 e 1 cos 1
5.1.2 FUNÇÃO SENO E FUNÇÃO COSSENO
Função seno é a função que associa a cada arco x R o número senx R , ou y senx.
Função cosseno é a função que associa a cada arco xR o número xcos R , ou y xcos .
5.1.3 GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
Para estudar a função seno ( y sen x ) e a função cosseno ( y cos x ) vamos variar x no
intervalo [0,2].
5.1.3.1 Função seno:
y sen x
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO.
A
P
O
N
M
AO O 2
3
4
6
2
32
1
1y
x
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48
5.1.3.2 Conclusões
O domínio da função y sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D R .
A imagem da função y sen x é o intervalo [1,1], isto é, 1sen x 1.
Toda vez que somamos 2 a um determinado valor de x , a função seno assume o mesmo valor.
Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y sen x é
p 2.
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o
arco x .
Quando adicionamos 2 k ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a
função seno é periódica de período 2.
sen x sen( x 2 k ), k Z (Inteiros).
5.1.3.3 Seno é função ímpar
No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e x têm imagens
simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o
mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen( x )sen x .
Quando uma função f é tal que f ( x ) f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que
f é uma função ímpar.
Como sen( x ) sen x , para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.
5.1.3.4 Função cosseno
y cos x
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO.
5.1.3.5 Conclusões
O domínio da função y cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D R .
A imagem da função y cos x é o intervalo [1,1], isto é, 1cos x 1.
O período da função y cos x é p 2.
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o
arco x .
Quando adicionamos 2 k ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a
função cosseno é periódica de período 2.
cos x cos ( x 2 k ), k Z (Inteiros).
AO O 2
3
4
6
2
32
1
1y
x
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49
5.1.3.6 Cosseno é função par
No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e x têm imagens
simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa.
Então, cos ( x ) cos x .
Quando uma função f é tal que f ( x ) f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que
f é uma função par.
Como cos ( x ) cos x , para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par.
Exemplos:
1) Construa o gráfico da função y 2 sen x , dando o domínio, a imagem e o período.
x sen x 2 sen x y
0 0 20 0
2
1 21 2
0 20 0
2
3 1 2(1) 2
2 0 20 0
Observando o gráfico, temos:
D R , Im [2,2], e p 2.
2) Construa o gráfico da função y cos2
x, dando o domínio, a imagem e o período.
2
x x cos
2
x y
0 0 1 1
2
0 0
2 1 1
2
3 3 0 0
2 4 1 1
Observando o gráfico, temos:
D R , Im[1,1], e p 4.
5.2 TANGENTE DE UM ARCO
Tome o arco dado na figura abaixo:
O 2
2
32
1
1
y
x
2
2
O
23 4
1
1y
x
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50
A
P
O
N
M
T
eixo das tangentes
ARCO PARA O CONCEITO DE TANGENTE.
Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT).
tan AT .
5.2.1 CONSEQÜÊNCIAS
O eixo vertical, suporte de AT , é chamado eixo das tangentes.
Podemos dizer que tan só é definida se R e 2
k ( k Z ).
5.2.2 FUNÇÃO TANGENTE
Função tangente é a função que associa a cada arco xR , com x 2
k ( k Z ), o
número Rxtan , ou xy tan .
5.2.3 GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
Para estudar a função tangente ( y tan x ) vamos variar x no intervalo [0,2].
Gráfico da função tangente.
5.2.4 CONCLUSÕES
O domínio da função y tan x é o conjunto dos números reais x R , com x 2
k ( k Z ),
isto é, D { x R / x 2
k , k Z }.
A imagem da função y tan x é o conjunto dos números reais.
AO O 2
3
4
6
2
32
1
1
y
x
0,58
1,73
1,73
0,58
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51
Toda vez que somamos k a um determinado valor de x , a função tangente assume o
mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
xy tan é p .
tan ( x k ) tan x , k Z .
5.2.5 TANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR
Como xx tan)tan( , para todo x real, com x 2
k ( k Z ), podemos afirmar que a
função tangente é ímpar.
5.3 COTANGENTE DE UM ARCO
Tome o arco dado na figura abaixo:
Arco para o conceito de cotangente.
Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC).
cot BC .
5.3.1 CONSEQÜÊNCIAS
O eixo horizontal, suporte de BC , é chamado eixo das cotangentes.
Podemos dizer que cot só é definida se R e k ( k Z ).
5.3.2 FUNÇÃO COTANGENTE
Função cotangente é a função que associa a cada arco x R , com x k ( k Z ), o número
cot x R , ou y cot x .
A
P
O
N
M
Ceixo dascotangentes
B
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52
5.3.3 GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE
Para estudar a função cotangente ( y cot x ) vamos variar x no intervalo [0,2].
GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE.
5.3.4 CONCLUSÕES
O domínio da função y cot x é o conjunto dos números reais x R , com x k ( k Z ), isto
é, D { x R / x k , k Z }.
A imagem da função y cot x é o conjunto dos números reais.
Toda vez que somamos k a um determinado valor de x , a função cotangente assume o mesmo
valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
xy cot é p .
cot ( x k ) cot x , k Z .
5.3.5 COTANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR
Como xx cot)cot( , para todo x real, com x k ( k Z ), podemos afirmar que a
função cotangente é ímpar.
5.4 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO
Tome o arco dado na figura abaixo:
Arco para o conceito de secante e cossecante.
AO O 2
3
4
6
2
3 2
1
1
y
x
0,58
1,73
1,73
0,58
A
P
O
N
M S
D
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53
Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das
abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.
sec OS .
seccos OD .
5.4.1 FUNÇÃO SECANTE E COSSECANTE
Função secante é a função que associa a cada arco x R , com x 2
k ( k Z ), o
número sec x R , ou y sec x
Função cossecante é a função que associa a cada arco xR , com x k ( k Z ), o número
seccos x R , ou y seccos x .
5.4.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE
Para estudar a função secante ( y sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2].
Gráfico da função secante.
5.4.3 CONCLUSÕES
O domínio da função y sec x é o conjunto dos números reais Rx , com
)(2
Zkkx
, isto é, D { x R / x 2
k , k Z }.
A imagem da função y sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou
menores ou iguais a 1, isto é, Im{ y R / y 1 ou y 1}.
Toda vez que somamos 2 k a um determinado valor de x , a função secante assume o
mesmo valor. Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
y sec x é p 2.
sec ( x 2 k ) sec x , k Z .
AO O
2
3
4
6
2
3
2
1
1
y
x
1,151,41
2
1,151,41
2
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54
5.4.4 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE
Para estudar a função cossecante ( y seccos x ) vamos variar x no intervalo [0,2].
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE.
5.4.5 CONCLUSÕES
O domínio da função y seccos x é o conjunto dos números reais x R , com x k ( k Z ),
isto é, D { x R / x k , k Z }.
A imagem da função y seccos x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou
menores ou iguais a 1, isto é, Im{ y R / y 1 ou y 1}.
Toda vez que somamos 2 k a um determinado valor de x , a função cossecante assume o
mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
y seccos x é p 2.
seccos ( x 2 k ) seccos x , k Z .
5.5 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas têm
muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como
base o ciclo trigonométrico e um ângulo dado.
Funções trigonométricas no ciclo.
Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo :
O 2
3
4
6
2
32
1
1
y
x
1,151,41
2
1,151,41
2
AO
A
P
O
N
M S
D
Ceixo dascotangentesB
T
eixo das tangentes
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55
senON ; cos OM ; tan AT ; cot BC ; sec OS e seccos OD .
Analisando as funções no ciclo e fixando inicialmente o ângulo , podemos fazer as seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas:
Funções adaptadas no ciclo.
Com as novas adaptações, temos as seguintes funções:
sen AB ; cos OA ; tanCD ; cot OE ; secOD e seccos OF .
Daí tiram-se três triângulos semelhantes:
OABOCDOEF .
Triângulos semelhantes.
5.5.1 USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS
sen2 cos 2
1;
tan 21 sec 2
;
cot 21 seccos 2
.
5.5.2 USANDO SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS
Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os
triângulos:
Razões do triângulo para :
1
sec
cos
1 sec
cos
1;
1
tan
cos
sen tan
cos
sen.
C
B
O
A E
F
D
cos
cot
tansen
sec
cosse
c
1unidade
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
cossec
1
21 3
2 1
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56
Razões do triângulo para :
1
seccos
sen
1 seccos
sen
1;
1
cot
sen
cos cot
sen
cos.
Razões do triângulo para :
1
seccos
tan
sec seccos
tan
sec;
1
cot
tan
1 cot
tan
1.
Exemplos:
Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que
seguem abaixo:
1) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo para .
sen
sec
tan;
cos sec
1.
2) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo para .
senseccos
1;
cos
seccos
cot.
3) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo para .
sec
cot
seccos;
tancot
1.
5.5.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
A igualdade sen2 cos 2
1 é verdadeira para qualquer pertencente aos domínios das
funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica.
Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova, ou
seja, após uma demonstração.
Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadas
acima, que são identidades.
3 1
3 2
1 2
1 3
2 3
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57
5.5.3.1 Processo para demonstrar identidades
Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão
equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma
mesma expressão.
Exemplos:
Nos exercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades:
1) tan2 sen
2 tan
2 sen
2
Levar do triângulo para :
tan2 sen
2 tan
2 sen
2
2
2
cos
sen sen
2
2
2
cos
sen sen
2
2
4
cos
sen
2
222
cos
cossensen
2
4
cos
sen
2
22
cos
)(sensen
2
4
cos
sen
2
4
cos
sen C.Q.D. (como queríamos demonstrar).
2) (1 cot )2(1 cot )
22 seccos 2
Todas as funções já se encontram no triângulo , basta desenvolver:
(1 cot )2(1 cot )
22 seccos 2
(1 cot )2(1 cot )
22 seccos 2
12 cot cot212 cot cot
22 seccos 2
22 cot22 seccos 2
2(1cot2)2 seccos 2
2 seccos 22 seccos 2
C.Q.D.
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
cossec
1
21 3
2 1
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
cossec
1
21 3
3
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58
3) sec2 seccos
2 sec
2 seccos
2
Levar do triângulo para :
sec2 seccos
2 sec
2 seccos
2
sec 2
2
2
tan
sec sec 2
2
2
tan
sec
2
222
tan
sectansec
2
4
tan
sec
2
22
tan
)1(tansec
2
4
tan
sec
2
22
tan
)(secsec
2
4
tan
sec
2
4
tan
sec
2
4
tan
sec C.Q.D.
4)
seccos
sen1
sec
cos
Levar dos triângulos e para :
seccos
sen1
sec
cos
sen
sen
11
cos
1
cos
sen21 cos 2
sen2 sen
2 C.Q.D.
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
cossec
1
21 3
3 2
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
cossec
1
21 3
3 2 1
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59
5)
cossec
seccos
sen cot
3
Levar dos triângulos e para :
cossec
seccos
sencot 3
seccos
cot
cot
seccosseccos
1seccos
cot 3
seccoscot
cotseccos
seccos
1seccos
22
2
cot 3 Obs: seccos 2
1 cot 2
seccos
cot 2
22 cotseccos
seccoscot
cot 3
seccos
seccoscot3
22 cotcot1
1
cot 3
cot 3
01
1
cot 3
cot 3 cot 3
C.Q.D.
AULA 6 – EXERCÍCIOS
1) Dado sen x = 3/4 , com 0<x< /2,
calcular cos x.
2) Para que valores de a temos,
simultaneamente, senx=a + 1 e cos x = a?
3) Dado 3
3cos x , com
x2
, calcule tg x.
4) Simplifique a expressão
g
gtg
cotsec
cot
.
5) Demonstre as seguintes identidades:
a) (1 + cotg2x)(1 – cos
2x) = 1
b) tg x + cotgx = tg x. Cossec2x
c) 2cos1
cos
2cos1
2 xtg
x
x
x
xsen
Respostas:
1) 4
7cos x
2) a = 0 ou a = -1
3) 2tgx
4) sec
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
cossec
1
21 3
1 2 3
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60
AULA 7
6. POLINÔMIOS
6.1 FUNÇÃO POLINOMIAL:
Definição: Dados os números reais na, a n – 1, ... , a2, a1, a0, chamamos de polinômio na
variável x toda expressão da forma:
NnaxaxaxaxaxP nnn ,...)( 01
2
2
11
0
onde anxn, an-1x
n-1,...,a2x
2, a1x e a0 são os termos e an, an-1, ..., a2, a1 e a0 são os coeficientes do
polinômio.
Observações:
Se an 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P) = n
Se P(x) = 0, não se define o grau do polinômio.
Exemplos:
1) Assinale as expressões que representam polinômios?
( ) 3x3 + x + 1
( ) x-1
+ x
1 + 3
( ) 53 23 xx
( ) x5 + 3x – 7
( ) xx 4
2) Em função das variáveis k, m ou a, determinar os graus dos seguintes polinômio:
a. P(x) = kx2 + 3x + 7
b. P(x) = kx3 + mx
2 + 6x + 4
c. P(x) = (a2 – 1)x
3 + (a – 1)x
2 + 3x
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61
6.2 POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO:
É qualquer polinômio 01
2
2
11
0 ...)( axaxaxaxaxP nnn em que todos os
coeficientes são nulos.
0,...,0,00)( 11 aaaxP nn e 00 a
Notação: 0)( xP
6.3 POLINÔMIOS IDÊNTICOS:
Dados os polinômios 01
2
2
11
01 ...)( axaxaxaxaxP nnn e
01
2
2
11
02 ...)( bxbxbxbxbxP nnn , dizemos que P1(x) é idêntico a P2(x) se, e somente se,
an = bn, an-1 = bn-1,..., a1 = b1 e a0 = b0.
Assim:
111121 ,...,,)()( bababaxPxP nnnn e 00 ba
Exemplos:
1) Determinar a e b para que o polinômio P(x) = (a2 – 1).x
2 + (a – 1)x + b – a seja identicamente
nulo.
2) Determinar m, n e p para que P(x) = (m + n – 3)x2 + (m – n -1)x + n – p seja identicamente nulo.
3) Calcular os valores de m e n, de modo que x2 + x – 3 (m – n)x
2 + x – (m + n)
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62
6.4 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO:
O valor numérico do polinômio 01
2
2
11
01 ...)( axaxaxaxaxP nnn , para x igual
a um número qualquer é: 01
2
2
1
1 ...)( aaaaaP n
n
n
n
.
Na prática, para obter )(P , basta substituir x por em P(x).
Observações:
Quando P( ) = 0 é raiz de P(x).
Exemplo: Verifique se os números 2 e 3 são raízes de P(x) = x2 – 5x + 6
Como (1)n = 1, n N, P(1) é a soma dos coeficientes de P(x).
Exemplo: Se P(x) = 5x4 + 3x
3 – 2x
2 – 4x + 1, então P(1) =_______________ é a
soma dos coeficientes de P(x).
P(0) é igual ao termo independente de P(x)
Exemplo: Sendo P(x) = ax3 + ax
2 + ax + c e P(0) = - 7, determine a para que 1 seja
raiz de P(x).
6.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:
6.5.1 ADIÇÃO:
Dados os polinômios 01
2
2
11
0 ...)( axaxaxaxaxP nnn e
01
2
2
11
0 ...)( bxbxbxbxbxQ nnn , a soma de P(x) com Q(x) é dada por:
)()(...)()()()( 0011
1
11 baxbaxbaxbaxQxP n
nn
n
nn
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63
6.5.2 SUBTRAÇÃO:
Dados os polinômios 01
2
2
11
0 ...)( axaxaxaxaxP nnn e
01
2
2
11
0 ...)( bxbxbxbxbxQ nnn , a diferença entre P(x) e Q(x) é dada por:
)()(...)()()()( 0011
1
11 baxbaxbaxbaxQxP n
nn
n
nn
Observação:
Os polinômios P(x) e Q(x) não precisam ser necessariamente do mesmo grau.
Exemplos:
1) Dado os poliômios P(x) = x3+ 3x
2 – 7x + 8 e Q(x) = 2x
3 – x
2 + 6x – 7, determine 2P(x)+3Q(x)
2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações:
( ) Se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau 5, então P(x) + Q(x) tem sempre grau 5.
( ) Se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau 3, então P(x) – Q(x) tem sempre grau 3
( ) Se P(x) tem grau 5 e Q(x) tem grau 3, então P(x) + Q(x) tem grau 5
6.6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS:
O produto dos polinômios P(x) e Q(x) é o polinômio P(x).Q(x), obtido multiplicando-se
cada termo de P(x) por todos os termos de Q(x) e efetuando a redução dos termos semelhantes.
Exemplos:
1) Se P(x) = x3 + x
2 + x + 1 e Q(x) = x – 1, então P(x).Q(x) =
2) Dados P(x)= x2 – x + 1 e Q(x) = ax + b, determine a e b para que P(x).Q(x)2x
3-x
2 +x+1
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64
3) Dados P(x) = x3 – 1 e Q(x) = ax
2 + b, determinar a e b, sendo P(0).Q(0) = 3 e Q(1) = 5.
6.7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
Dados os polinômios A(x) e B(x), não identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é obter
os polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:
A(x) | B(x) .
R(x) Q(x)
A(x) B(x).Q(x) + R(x) e R(x) 0 ou gr(R) < gr(B)
Observações:
A(x) é o dividendo
B(x) é o divisor
Q(x) é o quociente
R(x) é o resto
Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x), ou que a divisão é exata
Temos sempre gr(Q) = gr(A) – gr(B)
Exemplo: Usando o Método da Chave, determine o quociente e o resto da divisão de
43)( 23 xxxA por 1)( 2 xxB
6.7.1 MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR – MÉTODO DE DESCARTES
Já vimos que, na divisão A(x) por B(x):
A(x) | B(x) .
R(x) Q(x)
Temos:
)()(
)()()(
)()().()(
BgrRgr
BgrAgrQgr
xRxQxBxA
Essas relações podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes de um
polinômio em uma divisão.
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65
Exemplos:
1) Determinar o quociente e o resto da divisão de A(x)=x3 + 2x
2 – 3x + 2 por B(x)=x
2 + x + 1
Temos:
O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois:
gr(Q) = gr(A) – gr(B) = _________________________________
Logo:
Q(x) = _______________________________________________
Como gr(R) < gr(B), sendo o divisor B(x) = x2 + x + 1, então gr(B) = ______ e
gr(R)<____, isto é, o resto tem, no máximo, grau __________:
R(x) = __________________________
Como A(x) B(x).Q(x) + R(x), podemos escrever.
Comparando ambos os membros, temos:
Logo:
Q(x) =___________________________________ e R(x) = _______________________
2) Determinar k, de modo que x3 + kx + 3 seja divisível por x – 1
3) Determinar k e m de modo que x4 + 3x
3 + mx
2 + x + k seja divisível por x
2 + 3x
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66
6.7.2 DIVISÃO DE POLINÔMIO POR BINÔMIOS DO 1O
GRAU:
6.7.2.1 Teorema do Resto:
O resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a):
P(x) = (x – a).Q(x) + R
Fazendo x = a, vem:
P(a) = (a – a). Q(a) + R
P(a) R
6.7.2.2 Teorema de D’Alembert
Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0
P(x) = (x – a).Q(x) + 0
Fazendo x = a, vem:
P(a) = (a – a). Q(a) + o
P(a) = 0
Exemplos:
1) Determinar k, de modo que o resto da divisão de P(x) = x3 + 3x
2 – kx + 4 por x – 2 seja 10.
2) Calcular a e b, de modo que os polinômios P(x) = x2 + ax – 3b e Q(x) = - x
3 + 2ax – b sejam
divisíveis por x – 1
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67
6.7.2.3 Divisão de P(x) por (ax + b), a 0
Temos:
P(x) | ax + b
R Q(x)
Como ax + b é de grau 1, R é de grau 0, e, portanto, uma constante.
Fazendo a
bx em P(x) (ax + b).Q(x) + R, vem:
Ra
bQb
a
ba
a
bP
Ra
bP
Logo, o resto da divisão de P(x) por (ax + b) é
a
bPR
Exemplo:
Determinar k, de modo que P(x) = x3 + x
2 + kx – 2 seja divisível por 2x + 1
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68
AULA 07 – EXERCÍCIOS
1) Calcule m R de modo que o polinômio
P(x)=(m3 – 1)x
4 + (m
2 – 1)x
2 + 5x – 7 seja do 1
o
grau em relação a x.
2) Determine m R, para que o polinômio
P(x)=(m2 – 16)x
2 + (m + 4)x + 4 seja de grau 2.
3) Calcule os valores de m, n e l para os quais
P(x)=(2m- 1)x3 – (5n -2)x
2 + (3 – 2l) seja
identicamente nulo.
4) Dados A(x) = (a + 1)x2 + (b – 1)x + c e B(x) =
ax2 + bx – 3c, calcule a, b e c para que A(x) +
B(x) 0
5) Determine os valores de m, n e p, de modo que
sejam idênticos os polinômios: P1(x) = (m + n +
p)x4 – (p + 1)x
3 + mx
2 + (n – p)x + n e P2(x) =
2mx3 + (2p + 7)x
2 + 5mx + 2m.
6) Determine os valores de a, b, c e d para que o
polinômio a(x – c)3 + b(x + d) seja idêntico ao
polinômio x3 + 6x
2 + 15x + 14.
7) Dado o polinômio P(x)=4x3 – x
2 + x – 1,
calcule:
a) )2(P
b) )0(
)1()1(
P
PP
c)
2
12
)0(3
1
P
PP
8) Ache o polinômio P(x) do segundo grau em x,
sabendo que admite 2 como raiz e P(1) = - 2 e
P(3) = 4
9) Se P(x) = x6 – 12x
5 – 45x
4 + 2x
3 -32x
2 + 31x –
18, então P(15) é igual a :
10) Dados os polinômios P1(x) = 2x3 + mx
2 + nx +
3 e P2(x) = x2 + x – 3, se P1(x) é divisível por
P2(x), então m – n é igual a:
11) Dividindo um polinômio P(x) por (x – 3),
resulta um resto – 7 e um quociente de x – 4. Qual
é P(x)?
12) A divisão do polinômio P(x) por x – a fornece
quociente Q(x) = x3 + x
2 + x + 1 e resto P(a) = 1.
Sabendo-se que P(0) = - 15, o valor de a é:
13) Dados os polinômios P(x) = (m – 3)x3 + 3x –
2m e Q(x) = (m – 1)x3 + (m – 2)x
2 + (2m – 3)x,
determine P(x).Q(x) de modo que gr(P + Q) = 1.
14) Sabendo-se que 43
105
14 2
xx
x
x
B
x
A
, calcular A e B.
15) Se 64242
12
x
B
x
A
xx
x, então 2A
+ B é igual a:
16) Efetue a decomposição da fração, em soma de
frações com denominadores do 1o grau.
a) 65
132
xx
x
b) xxx
xx
23
416923
2
17) Um polinômio P(x) = x3 + ax
2 + bx + c que
satisfaz as condições: P(1) = 0; P(-x) + P(x) = 0,
qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)?
18) O resto da divisão do polinômio P(x) = x243
+
x81
+ x27
+ x9 + x
3 + x, por x – 1 é:
RESPOSTAS:
1) m = 1
2) m 4
3) 5
2;
2
1 nm e
2
3l
4) 2
1;
2
1 ba e c = 0
5) m = 1; n = 2 e p = - 3
6) a = 1, b = 3, c = - 2 e d = 2
7) a) 329
b) - 10
c) 27
140
8) P(x) = x2 – x – 2
9) – 3
10) 8
11) x2 – 7x + 5
12) 16
13) – x6 + 2x
4 – 4x
3 + 3x
2 – 4x
14) A = 2 e B = 3
15) 2
3
16) 3
10
2
7)
xxa
2
4
1
32)
xxxb
17) P(2) = 6
18) 6
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69
AULA 8
6.7.2.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini:
O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizado para determinar o quociente e o resto da
divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x – a)
Exemplos:
1) Obter o quociente e o resto da divisão de P(x) = 3x5 + 4x
4 + 3x
3 – 7x
2 – 2x + 3 por (x– 1)
Q(x)=_____________________________ e R(x)=________________________________
2) Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x4 + 5x
3 – 2x – 5 por (x + 3).
Obs.: Quando escrever os coeficientes de P(x), não esquecer dos coeficiente nulos.
Q(x) =_____________________________ e R(x) =________________________________
3) Dividir P(x) = - 2x3 – x
2 + 12x – 4 por (2x – 3)
Q(x) =_____________________________ e R(x) = _______________________________
R(x)
Repetir o primeiro coeficiente
valor de a
Coeficiente de P(x)
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70
6.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS:
Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível a forma:
0... 01
2
2
1
1
axaxaxaxa n
n
n
n
Chamamos de zero ou raiz de uma equação polinomial P(x) = 0 todo o número , tal que
P( )=0
6.8.1 DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM FATORES DO 1O
GRAU:
Se P(x) = 0 é de grau n (n 1) e tem raízes n ,...,, 21 , então P(x) pode ser decomposto
em n fatores do 1o grau, sendo an (an a1) o fator em evidência:
))...()((... 2101
2
2
1
1 nn
n
n
n
n xxxaaxaxaxaxa
6.8.2 RAÍZES MÚLTIPLAS:
As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não.
Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 2, isto é, será
uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla e
assim sucessivamente.
Se o número for uma só vez raiz de uma equação algébrica ele será chamado raiz
simples ou raiz de multiplicidade 1.
Exemplos:
1) Determinar a multiplicidade das raízes 1, 2 e – 3 na equação
01244593224 23456 xxxxxx
2) Mostrar que 1 é raiz de multiplicidade 3 da equação x4 – 5x
3 + 0x
2 – 7x + 2 = 0
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71
6.8.3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS:
Dada a equação polinomial com coeficientes inteiros
0... 01
2
2
1
1
axaxaxaxa n
n
n
n se o número racional q
p(com p Z e q Z
*, p e q primos
entre si), então p é diviso r de a0 e q é divisor de an
Exemplos:
1) Resolver a equação x3 + 4x
2 + x – 6 = 0
Na equação, temos: an = _______ e a0 = __________
Se p, é divisor de a0, então p {________________________________________}
Se q, é divisor de an, então q {________________________________________}
Os possíveis valores das raízes racionais são dados pela razão q
p, logo:
q
p{______________________________________________________________}
Se existirem raízes racionais na equação dada, elas pertencem ao conjunto acima.
2) Resolver a equação 043 23 xx .
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72
3) Resolver a equação 2x4 – 5x
3 – 4x
2 + 15x – 6 = 0
AULA 08 – EXERCÍCIOS
1) Dados os polinômios
A(x) = 2x3 + x
2 – 10x + 5, B(x) = x
3 – 4x + 4,
C(x) = x – 3 e D(x) = x – 2, determine o valor
de:
)(
)()(2)(
xC
xDxbxA
2) Determine o valor de a para que o resto da
divisão do polinômio P(x)=ax3-2x+1 por (x-
3) seja 4.
3) Qual é o número real que se deve adicionar
a P(x)= x3 – 2x
2 + x, para se obter um
polinômio divisível por x – 3?
4) Aplicando o dispositivo prático de Briot-
Ruffini, calcule o quociente e o resto da
divisão de:
a) P(x)=x4–5x
3 + 2x
2 + 3x – 1 por (x-2)
b) P(x) = 2x3 – x
2 – 1 por (x – 1)
c) P(x) = 5x2 – 3x + 2 por (x + 3)
d) P(x) = 4x5 – 5x
4 + 1 por (x – 1)
e) P(x) = 2x3 – 3x
2 + x + 2 por (2x – 1)
f) P(x) = x2 – 2x + 1 por (2x – 3)
5) No esquema abaixo, foi aplicado o
dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule
P(x):
6) Resolver as equações algébricas abaixo:
a) x3 + 2x
2 – 13x + 10 = 0
b) x4 – 7x
3 + 13x
2 + 3x – 18 = 0
c) x4 – 5x
2 + 4 = 0
d) 2x3 – x
2 – 2x + 1 = 0
e) 3x3 – 13x
2 + 13x – 3 = 0
f) x(x – 4)2 + 10x(x – 2) – 8 = 0
g) xxx
xx
4
822
2
h) x6 – 6x
5 + 11x
4 – 6x
3 = 0
7) Determine todas as raízes da equação
0)( xP , sendo P(x) = 9x3 – 36x
2 + 29x – 6.
Sabe-se que é divisível por (x – 3).
8) Uma raiz da equação x3 – 4x
2 + x + 6 = 0 é
igual a soma das outras duas. As raízes dessa
equação são:
9) Determine o produto das raízes da equação
x3 – 6x
2 + 11x – 6 = 0
Respostas: 1) x
2 – x - 2
2) 3
1
3) – 12
4) a) Q(x)= x3-3x
2-4x-5 e R(x)= - 11
b) Q(x)=2x2 + x + 1 e R(x) = 0
c) Q(x)= 5x – 18 e R(x) = 56
d) Q(x)= 4x4 – x
3 – x
2 – x – 1 e R(x) = 0
e) Q(x)= 2x2 – 2x e R(x) = 2
f) Q(x) = 2
1x e R(x) =
4
1
5) P(x) = 2x4 – 7x
3 + 4x
2 – 5x + 7
6) a) {-5; 1; 2}
b) {-1,; 2; 3}
c) {-2; -1; 1; 2}
d) {-1; ½; 1}
e) {1/3; 1; 3}
f) {-2; 2}
g) {2}
h) {0; 1; 2; 3}
7)
3;3
2;
3
1
8){2, 3, -1}
9) S = 6 e P = 6
a b c d e
2 -1 1 -2 1
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73
AULA 9
7. MATRIZES
7.1 DEFINIÇÃO:
São números dispostos em linhas (filas horizontais) e colunas (filas verticais), formando
uma tabela.
Matriz mxn é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n
colunas (filas verticais).
Gastos de uma família (aproximadamente) - Renda Familiar R$
Descrição Outubro Novembro Dezembro Média
Supermercado 350 360 640 450
Saúde 80 40 12 44
Transporte 200 244 300 248
Vestiário 50 60 400 170
Higiene Pessoal 40 50 30 40
Lazer 20 60 10 30
Poupança 120 30 0 50
Totais 860 844 1392 1032
A tabela que você acabou de ver, podemos transformá-la numa matriz: onde os nomes
supermercado, saúde, transporte, vestiário, higiene pessoal, lazer e poupança são as linhas (7) e
outubro, novembro, dezembro e Média são as colunas (4). Assim você terá a matriz
74737271
64636261
54535251
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
, de ordem 7x4, que forma uma matriz com 28 elementos. Veja também:
a32=244, isso significa que 244 está ocupando a posição na 3ª. Linha e 2ª. coluna ; a44=170,
podemos dizer que 170 está na 4ª. Linha e 4ª. Coluna, etc.
7.2 NOTAÇÃO DE UMA MATRIZ
1. Uma matriz de ordem 2x3:
232221
131211
aaa
aaaB .
Exemplo:
615
2
034D é uma matriz 2x3, com 6 elementos, onde a11=4, a12=-3, a21=2/5,
a13=0, a22=1, a23=6.
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74
2. Uma matriz genérica de ordem nxn:
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...............
...
...
...
321
3333231
22322`21`
1131211
A matriz A também pode ser indicada por mxnij )a(A
Exemplo:
Escreva a matriz 3x2ij )a(A tal que aij = 2i + j .
7.3 ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS
7.3.1 MATRIZ RETANGULAR: É A MATRIZ ONDE M N.
7.3.2 MATRIZ COLUNA: É TODA MATRIZ DO TIPO MX1.
Exemplo:
3
10M , matriz de ordem 2x1, isto é, 2 linhas e uma coluna.
7.3.3 MATRIZ LINHA: É TODA MATRIZ DO TIPO 1XN.
Exemplo:
8103C , matriz de ordem 1x4, isto é, uma linha e 4 colunas.
7.3.4 MATRIZ QUADRADA:
Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Assim, uma
matriz quadrada nxn é chamada de: matriz quadrada de ordem n
Diagonal Principal: seja a matriz quadrada )a(A ij de ordem n.
Os elementos aij com i = j, constituem a diagonal principal.
Diagonal Secundária - seja a matriz quadrada )a(A ij de ordem n.
Os elementos aij em que i + j = n + 1, constituem a diagonal secundária.
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75
Exemplo:
1.
20
71A é uma matriz quadrada de ordem 2x2;
2.
308
529
104
B é uma matriz quadrada de ordem 3x3.
7.3.5 MATRIZ DIAGONAL
É a matriz quadrada )a(A ij que tem os elementos aij = 0 quando i # j, ou seja, onde os
elementos fora da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
800
070
002
A ;
10000
0300
0040
0009
B e
000
000
000
C
7.3.6 MATRIZ ESCALAR:
A matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si para i = j é uma matriz escalar.
7.3.7 MATRIZ IDENTIDADE:
Matriz identidade ou matriz unidade é toda matriz quadrada de ordem n (indicada por In )
onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais, iguais a zero.
Exemplos:
10
012I , matriz identidade de ordem 2;
100
010
001
3I , matriz identidade de ordem 3;
1000
0100
0010
0001
4I , matriz identidade de ordem 4, e etc
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76
7.3.8 MATRIZ ZERO OU NULA:
Uma matriz zero é a matriz cujos elementos aij são todos nulos.
Exemplos:
00
00A e
000
000
000
B , etc.
7.3.9 MATRIZES IGUAIS
Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se, os elementos da mesma posição são
iguais, ou seja, os elementos correspondentes são iguais.
Exemplo:
30
15D e
30
15E logo D=E.
7.3.10 MATRIZES OPOSTAS:
Dada uma matriz A, chamamos de matriz oposta de A (indicamos por A) a matriz que é
obtida invertendo-se o sinal de cada um de seus elementos.
Exemplo:
13
07A a sua oposta é:
13
07A
7.3.11 MATRIZ TRANSPOSTA:
Dada uma matriz A de ordem m n , denominamos transposta de A (indicamos por At ) a
matriz de ordem n x m obtida trocando-se ordenadamente as linhas de A pelas coluna de A.
Exemplo:
0110
864
752
A a sua transposta é
087
165
1042tA .
Diz-se que uma matriz A de ordem n é matriz simétrica, se ela é igual a sua transposta.
7.3.11.1 Propriedades da matriz transposta
i. AAtt
ii. tttBABA
iii. ttAA ..
7.3.12 MATRIZ SIMÉTRICA
É uma matriz quadrada nxnijaA , diz-se simétrica quando jiij aa para todo i, ni 1 ,
para todo j, nj 1 .
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77
7.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES:
7.4.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
A soma de duas matrizes ijaA e
ijbB é a matriz ijij baBA , ambas do
mesmo tipo mxn .
7.4.1.1 Propriedades:
i. A + (B + C) = (A + B) + C
ii. A + 0 = 0 + A = A
iii. –A + A = A – A = 0
iv. A + B = B + A
7.4.2 PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR:
Dados um número real e uma matriz A, mxn, o produto de por A é uma matriz B,
mxn, obtida multiplicando-se todos os elementos de A por .
Então: B = A onde bij = aij, i, i{1, 2,...,m) e j, j {i, 2, ...,n}
7.4.2.1 Propriedades:
i. ( )A = ( A)
ii. ( + )A = A + A
iii. (A + B) = A + B
iv. 1 A = A
7.4.3 PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA:
Dada a matriz A = (aij)mxn e a matriz B = (bjk)nxp o produto A x B é a matriz (cik)mxp, tal que
o elemento cik é calculado multiplicando-se, ordenadamente, os elementos da linha i de A pelos
elementos da coluna k de B e somando-se os produtos assim obtidos.
Obs.: O produto de duas matrizes será compatível se o número de colunas da primeira for
igual ao número de linhas da segunda matriz. Na matriz produto, o número de linhas é igual ao
número de linhas da primeira matriz e o número de colunas é igual ao número de colunas da
segunda matriz, isto é: Se A é do tipo mxn e B é do tipo nxp, então AxB é do tipo mxp.
7.4.3.1 Propriedades:
i. A multiplicação de matrizes não é comutativa.
ii. A multiplicação de matrizes é associativa: (A.B).C=A.(B.C)
iii. A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição: A.(B+C)=A.B+A.C
iv. Multiplicação de um número real por uma matriz: BABA ....
v. Multiplicação pela matriz identidade: AAIIA nn ..
vi. nIA 0 , se A 0
vii. A1=A
viii. ,.1 AAA pp para pN
ix. AP=A.A.A.….A, p fatores
x. tttABBA ..
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78
7.4.3.2 Comutatividade de Multiplicação de duas matrizes:
Em geral a existência do produto AB não implica a existência do produto BA.
Exemplo:
A (3,5) X B (5,6)
Mesmo quando as multiplicações A x B e B x A são possíveis, os dois produtos são , em
geral, diferentes.
Existem matrizes A e B tais que AB = BA, porém essa não é a regra.
1º Caso:
75
23A e
10
01I
A.I = I.A = A
2º Caso:
27
311A e
117
32B
AB = BA = I
A matriz B é a inversa da matriz A e indicamos A -1
Assim, para saber se, dadas duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, uma é inversa
da outra, basta multiplicar uma pela outra e verificar se o produto é a matriz I.
7.4.3.3 Matriz Involutiva
Uma matriz A quadrada é involutiva quando IA 2
7.4.3.4 Matriz anti-simétrica:
É uma matriz quadrada nxnijaA , diz-se anti-simétrica quando jiij aa para todo i,
ni 1 , para todo j, nj 1 .
Obs: Se A é simétrica então tAA ; os elementos da diagonal principal são todos
nulos.
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79
7.5 MATRIZ INVERSA
7.5.1 DEFINIÇÃO
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma
inversa de A, se e somente se: nIABBA .. .
A inversa de uma matriz A existe se o 0det A .
7.5.2 PROPRIEDADES
i. 111..
ABBA
ii. tt AA 11
iii. 11.
1.
AA
iv. pp AA 11
7.6 MATRIZ ORTOGONAL:
Uma matriz M cuja inversa coincide com a transposta é denominada matriz ortogonal.
M-1
= M T , isto é, M . M
T = M
T . M = I
Exemplo:
2
1
2
32
3
2
1
M e
2
1
2
32
3
2
1
TM fazendo a multiplicação da matriz M pela sua
transposta, obtemos a matriz Identidade, portanto, M é uma matriz ortogonal.
7.7 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:
A matriz quadrada ijaA , que tem os elementos aij = 0 para i j, é uma matriz triangular
superior.
7.8 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:
A matriz quadrada ijaA , que tem os elementos aij = 0 para i j, é uma matriz triangular
inferior.
Exemplos:
300
750
212
A
242
051
003
B A é uma matriz triangular superior e B inferior.
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80
7.9 POTÊNCIA DE UMA MATRIZ:
Uma matriz quadrada ijaA , pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que
se resulta dessas operações, e que representa por An, é chamada potência n da matriz A.
7.10 MATRIZ PERIÓDICA:
Dada uma matriz quadrada A, diz-se que A é uma matriz periódica se An = A, sendo n 2.
Se n é o menor inteiro para o qual An = A, diz-se que o período de A é n – 1.
7.11 MATRIZ IDEMPOTENTE:
Dada uma matriz periódica A, tal que A2 = A, diz-se que A é uma matriz idempotente. O
período da matriz idempotente é 2 – 1 = 1.
7.12 MATRIZ NIHILPOTENTE:
Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e positivo, tal que Ap= 0,
diz-se que a é uma matriz nihilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tal que Ap= 0, diz que A é
uma matriz nihilpotente de “índice”p.
Exemplos:
1) Seja
455
343
112
A
455
343
112
455
343
112
455
343
1122 xA A matriz A é idempotente.
2) Seja
444
333
111
B
000
000
000
444
333
111
444
333
1112 xB B é nihilpotente de índice 2.
3) Seja
312
625
311
C
311
933
000
312
625
311
312
625
3112 xC
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81
000
000
000
312
625
311
311
933
00023 xxCCC C é nihilpotente de índice 3
AULA 09 – EXERCÍCIOS
1) Sendo as matrizes
nmyx
nmyxA
32
e
101
68B , achar os valores de x, y,
m e n para que se tenha A=B.
2) Determine x e y, sabendo que as matrizes
yx
yx 52=
1
9são iguais.
3) Se
bayx
bayx=
31
15 , determine x,
y, a e b.
4) Sendo as matrizes
112
52A e
152y
yxyxB , calcule x e y de
modo que tBA .
5) Sejam as matrizes
16
40
323
24
tz
yx
z
yx
A e
136
140
323
245
B .
Se tt BA , determine x, y, z e t.
6) Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem
mxn. Demonstre que: tttBABA .
7) Dadas as matrizes
108
62A ,
01
23B e
42
63C , calcular:
a) CBA b) CBA
8) Determinar x, y e z sabendo que:
31
42
y
x+
13
321 z=
42
3 z.
9) Sejam as matrizes
413
121A e
12
34
52
B , o produto determine
AxB.
10) Sejam as matrizes
10
11A e
11
00B , calcule as matrizes
produtos:
a) A.B b) B.A c) A.B=B.A?
11) Se
21
11A , determine a matriz X tal
que 2. IXA .
12) Seja a matriz
114
131
211
A , determine
a matriz polinomial, IAA .5.3.2 2 .
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71
13) Dadas as matrizes
4x9
24yA
2e
539
212B , calcular y e x de modo que
A seja igual a B.
14) Dadas as matrizes
47
59A e
9m
n4B calcular m e n para que a
matriz B seja inversa de A.
15) Uma matriz diagonal, de ordem 2, é
involutiva. Determine-a. (Sugestão: Faça
b
aA
0
0).
16) Determine o número bR, para que a
matriz
bb
bA
2
23, seja simétrica.
17) Seja a matriz 44xijaA , para a qual
4,1,
0
jisejia
a
ij
ii. Determine A e
At. A é simétrica?
18) Seja a matriz A, quadrada de ordem n.
Demonstre que A+At é simétrica.
19) Determine os números reais a, b, c, x, y e
z para que a matriz
cz
ybx
a
A
4
421
32
seja anti-
simétrica.
20 Dadas as matrizes:
147
695
832
A ,
490
524
173
B e
159
234
387
C ,
calcule:
a) A + B
b) C – A
c) 3A – 2B + 4C
21) Calcular o produto das matrizes:
a)
3752
1648A e
83
51
22
40
B .
b)
274
453
432
A e
z
y
x
X
22) Dadas as matrizes
311
110
011
A e
121
131
132
B , verificar se B é
inversa de A.
23) Calcule os valores de m e n para que as
matrizes A e B sejam iguais:
a)
312
158
m
nA e
36
758B
b)
36
440 22 nmA e
36
1341B
c)
24
87
xA e
25104
87
xB
24) Dadas as matrizes
614
832A ,
140
975B e
641
890C ,
calcular:
a) A + B
b) B + C
c) A + C
d) A – B
e) A – C
f) B – C
g) X = 4A – 3B + 5C
h) X = 2B – 3A – 6C
i) X = 4C + 2A – 6B
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72
25) Dadas as matrizes:
95
47
13
21
A ,
3826
7531B ,
53
42C e
3235
0914
3113
8371
D , calcular:
a) AB
b) (AB)D
c) A(BD)
d) BA
e) (BA)C
f) B (AC)
26) Verifique se a matriz B é inversa de A.:
a)
125,0
5,05,25,0
15,15,0
A e
422
202
14412
B
b)
244
664
642
A e
5,011
5,15,22
5,125,1
B
27) Determine a matriz inversa da matriz
03
21A .
28) Seja a matriz
00
11A . Determine A
-1,
se existir.
29) Para cada matriz a seguir, determine A-1
,
se existir:
a)
32
11A
b)
211
12B
30) Sejam as matrizes
11
12A e
43
21B . Resolva a equação matricial
BXA . .
31) Sejam as matrizes
121
012A
e
246
200B , determine as matrizes X e
Y, de ordem 2x3, tais que
Byx
AYX2
32) Sendo
b
aA
2
1 com a+b=4, a.b=3 e
,ba 1 AB ,
y
xX e
1
2C ,
é verdade que:
(01) detA=1
(02) B=
11
23
(04) detA.detB=1
(08) Se A.X=C, então
5
7X
(16) Se B.X=
0
0, então
3
2X
(32) det(A+5.B)t=96
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73
Respostas:
1) x=5; y=3; m=4 e n= -2
2) 4/7 e 11/7
3) 3, 2, 1 e –2
4) 7 e 5
5) x=2, y=3, z=1 e t=4
6) (A-B)t = (A + (-B))
t = A
t + (-1).B
t = A
t –
Bt .
7) a)
149
22 b)
65
142
8) 4, -1 e 4
9)
166
24
10)
11
11 e
21
00
11)
3
1
3
13
1
3
2
12)
281930
153619
161528
13) x = +/- 7 e y = 8
14) m = -7 e n = -5
15)
10
01,
10
01,
10
01,
10
01
16) 0 ou 2
17)
0765
7054
6503
5430
A , sim A é uma matriz
simétrica.
18) 19) a=b=c=0; x=-1 , y=0 e z=3
20) a)
3137
1119
9101
b)
292
8129
5115
c)
72657
20119
343740
21) a)
76
25, b)
zyx
zyx
zyx
274
453
432
22) Sim.
23) a) m = -6 e n = 5
b) m = +/- 9 e n = +/-3
c) x = 5
24) Verificar se houver dúvidas.
25) Verificar se houver dúvidas.
26) Se A.B = I, é inversa, caso contrário, não
é inversa.
27)
6
12
13
10
28) Não existe, pois a matriz é singular.
29)
12
131A , B
-1 não existe.
30)
65
22X
31)
123
13
23
13
2X
123
113
43
13
2Y
32) V, F,V,V,F,V, total: 45
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71
AULA 10
8. DETERMINANTES
8.1 NOÇÃO:
Determinante de uma matriz quadrada M é um número associado a esta matriz, obtido
seguindo-se regras previamente estabelecidas.
8.2 NOTAÇÃO:
Representa-se o determinante de uma matriz
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
M por
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
ou
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
ou ainda det M.
8.3 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE:
Neste estudo o determinante será calculado através de regra prática. Para o cálculo do
determinante de uma matriz M de ordem n, temos:
a) Se M for de ordem 1, ou seja, M = (a11), então det M = |a11| = a11
Exemplo:
M = [-5], então det M = | -5| = -5
b) Se M for de ordem 2, ou seja,
2221
1211
aa
aaM , então det M = a11.a22 - a12, a21 (produto
dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal
secundária)
Exemplo:
2345254
32det
54
32
MM
c) Se M for de ordem 3, calcula-se o determinante de terceira ordem através da regra de
Sarrus, que consiste em:
1) Repetir as duas primeira colunas à direita da matriz ou as duas primeiras linhas
abaixo da matriz;
2) Multiplicar os elementos da diagonal principal e os que aparecem dispostos
paralelamente em grupos de 3;
3) Multiplicar os elementos da diagonal secundária e os que aparecem dispostos
paralelamente em grupos de 3;
4) Determinar a diferença da soma dos produtos do item (2) pela soma dos produtos
do intem (3).
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72
Então, para:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
M , temos det M =
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
=
= a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 –
- a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
Exemplo:
Calcular o determinante da matriz
353
642
101
M
8.4 ABAIXAMENTO DA ORDEM DE UMA MATRIZ QUADRADA:
8.4.1 MENOR COMPLEMENTAR
Menor complementar de um elemento aij da matriz M, é o determinante que se obtém de
M eliminando a linha e a coluna que contém o elemento aij. Representa-se por: Dij.
Exemplo:
Determine o Menor Complementar, D22, D23 e D12 da matriz m, sendo:
534
213
421
M
Então: D32 =
23
41 2 + 12 = 14
D23 = 34
213 – 8 = - 5
D12 = 54
2315 – 8 = 7
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73
8.4.2 COMPLEMENTO ALGÉBRICO OU COFATOR:
Complemento algébrico ou Cofator de um elemento aij, é o número que se obtém
multiplicando-se o menor complementar pelo fator (- 1)i + j
ij
ji
ij DC )1(
Então,para:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
M , o cofator C23,, será: 3231
121132
23 )1(aa
aaC
Exemplo:
Determine o Complemento Algébrio, C23, C31 e C12 da matriz M, sendo:
312
523
321
M
Então: C23 = (-1)2 + 3
. 12
21-1(1 – 4) = 3
C31 = (-1)3 + 1
.
12
231.(3 + 4) = 7
C12 = (-1)1 + 2
. 32
53-1.(-9 -10) = 19
8.5 REGRA DE LAPLACE:
O determinante de uma matriz quadrada M é igual á soma dos produtos dos elementos de
qualquer linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores.
Exemplos:
1) Desenvolva o determinante da matriz M, aplicando a regra de Laplace à primeira coluna, sendo:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
M
Então:
Det M = a11.(-1)1+1
.3332
2322
aa
aa + a21.(-1)
2+1.
3332
1312
aa
aa + a31.(-1)
3+1.
2322
1312
aa
aa
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74
2) Calcular o determinante da matriz M, aplicando a regra de Laplace à segunda coluna, sendo:
1203
1435
3204
0321
M
8.6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:
O determinante de uma matriz A não se altera quando se trocam as linhas pelas
colunas; isto é, det M = det Mt
Exemplo:
2935
72 29
37
52
Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o
determinante é nulo.
Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo.
Se na matriz A duas linhas (ou colunas) tem seus elementos correspondentes
proporcionais, o determinante é nulo.
O determinante de uma matriz triangular A (superior ou inferior), é igual ao produto
dos elementos da diagonal principal.
Exemplo:
122116
2000
3100
5310
7456
det xxxA
Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de
sinal, isto é, fica multiplicado por –1.
Exemplo:
8
1240
200
531
det A 8
200
1240
531
det A
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75
Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha (ou uma
coluna) da matriz A, o determinante fica multiplicado por esse número.
8
200
1240
531
det A .
Dividindo a segunda linha por 4, temos:
2
200
620
531
det 1 A , o resultado do determinante também fica dividido por 4.
824
200
620
531
4det xxA
Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna)
da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente
multiplicados por um número real diferente de zero.
Exemplo:
34
975
12104
421
det A se multiplicarmos a 1ªL por –4 e somar com a 2ªL, temos:
34
975
420
421
det A o determinante de A continua o mesmo.
8.7 REGRA DE CHIO:
A Regra de Chio consiste em eliminar as filas que se interceptam no elemento aij = 1, caso
exista, e:
a) Fazemos a diferença de cada elemento restante na matriz pelo produto dos elementos que
se encontram nas “extremidades das perpendiculares” traçadas do elemento considerado à linha
e coluna elimidadas;
b) Obteremos assim uma nova matriz cujo determinante, multiplicado por (-1)i+j
, é igual ao
da matriz inicial.
Exemplo:
Calcule, aplicando a regra de Chio, o determinante:
D =
10153
692
241
= (-1)1+1
6101215
4689
= 2
43
21
8.8 PROCESSO DE TRIANGULAÇÃO:
Se M é uma matriz “Triangular”, isto é, quando todos os elementos acima ou abaixo da
diagonal principal são nulos, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, e
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76
das propriedades sabemos que um determinante não se altera quando se somam aos elementos de
uma linha (coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente
multiplicados por um número real diferente de zero. Então, podemos deixar a matriz de forma
“Triangular”
Exemplo:
1)
127
895
642
det A resposta: - 128
2)
1322
1413
2101
2132
det
A resposta: - 55
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77
8.9 MATRIZ INVERSA - COMPLEMENTOS
8.9.1 MATRIZ SINGULAR:
Uma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é nulo, é uma matriz singular.
A matriz singular não tem inversa.
8.9.2 MATRIZ NÃO-SINGULAR:
Uma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é diferente de zero, é uma matriz não-
singular ou regular.
A matriz não-singular ou regular sempre tem inversa.
8.9.3 PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA:
i. Se a matriz A admite inversa (det A 0), esta é única.
ii. Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-1
também é. A matriz inversa de A-1
é A.
iii. A matriz A é não-singular, sua transposta At também é. A matriz inversa de A
t é (A
-1)T.
iv. Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz
não-singular. A matriz inversa de AB é a matriz B-1
A-1
.
8.9.4 OPERAÇÕES ELEMENTARES:
i. Permutação de duas linhas (ou de duas colunas)
ii. Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real
diferente de zero.
iii. Substituição dos elementos de uma linha (coluna) pela soma deles com os elementos
correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente
de zero.
Exemplos:
1) Encontrar a matriz inversa A-1
da matriz
41
20A .
Solução:
10
01.
41
20
dc
ba
10
01
.4.14.1
.202.0
dbca
dbca
10
01
.4.1.4.1
.22
dbca
dc
resolvendo os sistemas:
04
12
ca
c e
14
02
db
d ,
encontramos a matriz inversa
02/1
121A .
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78
2) Determinação da matriz inversa usando o determinante e a matriz transposta dos cofatores:
Encontrar a matriz inversa A-1
da matriz
41
20A .
Solução:
Cálculo do determinante de A:
detA= 0.4-2.(-1)=2
Determinação da matriz dos cofatores da matriz A:
02
14
0.12.1
1.14.14
22
3
21
3
12
2
11
aa
aa
Dividir todos os elementos da matriz transposta formada pelos cofatores pelo detA:
2/02/1
2/22/4
Matriz inversa de A é:
02/1
121A
3) Usando o escalonamento: coloca-se à direita da matriz dada, a matriz identidade; faz-se o
escalonamento de modo que a matriz identidade passe a ocupar a posição da matriz dada.
A posição da matriz A será ocupada pela matriz identidade e na posição da matriz identidade
encontraremos a matriz inversa.
Exemplo:
352
224
312
A
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79
AULA 10 – EXERCÍCIOS
1) Resolva as equações:
a) 60
123
312
132
xxx
b) 12
131
15
23
x
x
c) 8
12
21
23
x
x
x
d) 56
513
431
122
x
x
x
2) Encontrar a matriz inversa da matriz,
usando a matriz transposta dos cofatores .
a)
42
21A
b)
60
24B
3) Determinar a matriz inversa das matrizes:
(usar o escalonamento)
a)
435
231
712
A
b)
063
102
201
B
4) Determine a matriz inversa das matrizes:
35
712A
121
131
132
B
2113
3214
2213
2012
C
d)
152
224
132
D
Respostas:
1) a) x = 10
b) x = 2 ou 3
c) x = 4
d) x = 8
2) a) A-1
não existe! Det A = 0
b)
6/10
12/14/11B
3) a)
66/566/166/12
22/122/911/1
66/1966/1766/61A
b)
05/15/2
6/115/110/1
05/25/11B
4) a)
125
731A
b)
311
110
0111B
c)
2101
1010
0221
2011
1C
d) 1D não existe! Just. det D = 0.
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83
AULA 11
9. SISTEMAS LINEARES
9.1 EQUAÇÕES LINEARES:
Entendemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a
equação da forma a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b , onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais
ou complexos. a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente.
Exemplos de equações lineares:
2x1 + 3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2, coeficientes 2 e 3,e termo independente 7)
3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)
2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)
2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo).
9.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
A um conjunto de equações lineares dá o nome de sistema de equações lineares:
mnmn3m32m21m1
3n3n333232131
2n2n323222121
1n1n313212111
b xa ... xa xa xa
.................................................................
.................................................................
b xa ... xa xa xa
b xa ... xa xa xa
b xa ... xa xa xa
9.3 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR:
Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema
linear em identidade, isto é, que satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua solução.
Esses valores são denominados raízes do sistema de equações lineares.
9.4 SISTEMA COMPATÍVEL:
Um sistema de equações lineares é compatível quando admite solução, isto é, quando tem
raízes.
9.4.1 SISTEMA DETERMINADO:
Um sistema compatível é determinado quando admite uma única solução.
Exemplo:
2543
1832
yx
yx, é compatível e determinado, pois tem como raízes x = 3 e y = 4.
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84
9.4.2 SISTEMA INDETERMINADO:
Um sistema compatível é indeterminado quando admite mais de uma solução (infinitas
soluções).
Exemplo:
20048
10024
yx
yx, é compatível e indeterminado, pois admite infinitas soluções.
(25,0), (24,2), (23,4), (22,6)...
9.5 SISTEMA INCOMPATÍVEL
Um sistema de equações lineares é incompatível quando não admite solução.
Exemplo:
1593
1293
yx
yx, é incompatível, pois a expressão 3x + 9y não pode ser simultaneamente
igual a 12 e igual a 15 para os mesmos valores de x e y.
9.6 CLASSIFICAÇÃO:
9.7 SISTEMAS EQUIVALENTES:
Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando admitem a mesma solução.
Exemplo:
1242
4263
yx
yx e
62
142
yx
yx
são equivalentes, pois admitem a mesma solução x = 10 e y =2
Sistema
Possível ou compatível, admite solução:
Determinado: admite um única
solução.
Indeterminado: admite mais de
uma solução
0.x = 0
Incompatível ou Impossível: não admite solução
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85
9.7.1 OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMAS EQUIVALENTES:
Existe um conjunto de operações que podemos realizar entre as equações de um sistema
linear para transformá-lo em um outro sistema equivalente.
i. Permuta de duas equações;
ii. Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero;
iii. Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por
um número real diferente de zero.
9.8 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO:
Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos, o
sistema é chamado homogêneo.
0839
0583
0427
0352
zyx
zyx
zyx
zyx
Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução; essa solução denominada
solução trivial, é, qualquer que seja o sistema, xi = 0, xi representando as variáveis e i = 1, 2, 3,...,
m.
9.9 SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES:
9.9.1 REGRA DE CRAMER:
Dado o sistema:
mnmn3m32m21m1
3n3n333232131
2n2n323222121
1n1n313212111
b xa ... xa xa xa
.................................................................
.................................................................
b xa ... xa xa xa
b xa ... xa xa xa
b xa ... xa xa xa
onde m é o número de equações e n o número de incógnitas.
A resolução desse sistema, quando m = n, se faz através da regra prática de Cramer, que
consiste em:
1o) Calcular o determinante D da matriz dos coeficientes.
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D
...
...............
...
...
...
321
3333231
22322`21`
1131211
2o) Se D 0, o sistema é determinado – admite uma única solução, dada por:
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86
D
Dxx 1
1 , D
Dxx 2
2 , D
Dxx 3
3 , . . . , D
Dxx n
n , onde
nnnnn
n
n
n
aaab
aaab
aaab
aaab
Dx
...
...............
...
...
...
32
333323
22322`2
113121
1 ;
nnnnn
n
n
n
aaba
aaba
aaba
aaba
Dx
...
...............
...
...
...
31
333331
223221`
113111
2 , . . .
ou seja, Dx é o determinante que se obtém substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a
coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes das respectivas equações.
3o) Se D = 0 e todos os Dx forem nulos, o sistema é indeterminado.
4o) Se d = 0 e existir pelo menos um Dx 0, o sistema é impossível
Exemplos:
1) Resolva, pela regra de Cramer
245
1223
yx
yx
2)
423
432
132
zyx
zyx
zyx
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87
9.9.2 RESOLUÇÃO POR ESCALONAMENTO DE MATRIZES:
Método de Gauss ou Escalonamento – aplicação a forma matricial. Ele consiste em:
a) Anular os coeficientes da 1a incógnita comparando a 1
a equação com as demais.
b) Anular os coeficientes da 2a incógnita comparando a 2
a equação com as restantes, exceto a
1a.
c) Anular os coeficientes da 3a incógnita comparando a 3
a equação com as restantes, exceto a
1a e 2
a.
E assim sucessivamente.
Exemplos:
1) Resolva o sistema
123
23
3232
zyx
zyx
zyx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
88
2) Resolva o sistema
622
623
4
zyx
zyx
zyx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
89
3) Resolver o sistema
123
922
32
zyx
zyx
zyx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
90
4) Resolver o sitema
1
5
0
3
zyx
zyx
yx
zyx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
91
AULA 11 – EXERCÍCIOS
1)
623
622
4
zyx
zyx
zyx
2)
02
2072
4754
zyx
zyx
zyx
3)
12
0
02
ty
yx
tx
4)
0652
088
023
zyx
zyx
zyx
5)
523
223
22
1
zyx
zyx
zyx
zyx
6)
82
1
5
yx
yx
yx
7)
12
32
2
zyx
yx
zyx
8)
33
62
12
0
tyx
tzy
tyx
tzyx
9)
243
52
0
zyx
zyx
zyx
10)
065
043
02
02
zyx
zyx
zyx
zyx
11)
13
5
0
3
zyx
zyx
yx
zyx
Respostas:
1) {3; 2; 1}
2)
12;3
32;
3
100
3)
5
2;
5
1;
5
1
4) indeterminado
5) impossível
6) {3;2}
7) {1;-1;2}
8) {2; -1; 1; -2}
9) impossível
10) {0; 0; 0}
11) {1; -1; 3}
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
71
AULA 12
10. LIMITES
10.1 NOÇÃO INTUITIVA:
Seja a função f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita
(valores maiores que 1) e pela sua esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor
correspondente de y.
x y = 2x + 1 x y = 2x + 1
1,01 0,6
1,02 0,7
1,03 0,9
1,04 0,95
1,1 0,98
1,2 0,99
Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de ______, ou seja, quando
x tende para 1 (x1), y tende para _____ (y_____), ou seja:
3)12(lim 1 xx
De forma geral, escrevemos:
bxfax )(lim
10.1.1 PROPRIEDADES:
1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax
2. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax
3. )(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
axax
4. *
0 ,)(lim)(lim Nnxfxfn
ax
n
ax
5. *,)(lim)(lim Nnxfxf nax
nax
6. )(lim))((lim xfsenxfsen axax
Exemplos:
1) )3(lim 32
1 xxx
2) )cos(lim 3 xxx
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72
3)
10
coslim
20x
xx
4)
22
1 )3(lim xx
5) 1lim 23
2 xxx
6) )3(lim 2
1 xxsenx
7) )432(lim 2
2 xxx
8)
2
4lim
2
2x
xx
9)
9
34lim
2
2
3x
xxx
10)
1
45lim
2
1x
xxx
11)
1
23lim
2
3
1x
xxx
12)
x
xx
33lim 0
13) )43(lim 3
1 xxx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
73
14) )(coslim 0 senxxx
15)
4
8lim
2
3
2x
xx
16)
1
1lim 1
h
hh
17)
t
tt
5325lim 0
18)
t
tt
16)4(lim
2
0
19)
1
23lim
2
2
1x
xxx
20)
x
xxx
11lim 0
21)
1
1lim
5
4
1x
xx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
74
AULA 12 – EXERCÍCIOS
1) )15(lim 23
1 xxxx
2) )342(lim 23
1 xxxx
3)
)1224(lim 23
2xxx
x
4)
5
45lim
2
2
2x
xxx
5)
2
107lim
2
2x
xxx
6)
3
32lim
2
3x
xxx
7)
12
34lim
5
3
1xx
xxx
8)
6
36lim
2
6x
xx
9)
2
32lim
5
2x
xx
10)
27543610
27188lim
234
234
3xxxx
xxxx
11)
42
2lim 2
x
xx
12)
2
4lim 4
x
xx
13)
x
xx
42lim 0
14)
1
32lim 1
x
xx
15)
11
lim 0x
xx
16)
2
321lim 4
x
xx
17)
1153
2232lim
2
2
2
xx
xxx
Respostas
1) 8
2) 4
3) 526
4) -10
5) -3
6) -4
7) 3
1
8) 12
9) 80
10) 2
11) 0
12) 4
13) 4
14) 4
1
15) 2
16) 3
4
17) 14
5
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
75
AULA 13
10.2 LIMITES INFINITOS:
Quando os valores assumidos pela variável x são tais que |x|> N, sendo N tão grande
quanto se queria, então se diz que o limite da variável x é infinito.
xxlim ou xxlim
10.2.1 IGUALDADES SIMBÓLICAS:
10.2.1.1 Tipo Soma:
a. (3) + ( ) =
b. (+ ) + (+ ) = +
c. - + (- ) = -
d. - = indeterminado
10.2.1.2 Tipo Produto:
a. 5 x ( ) =
b. (-5) x ( ) =
c. (+ )x(+ ) = +
d. (+ )x(- ) = -
e. x 0 = indeterminado
10.2.1.3 Tipo Quociente:
a. 0
c
b.
c
c. 00
d.0
0 e
indeterminado
10.2.1.4 Tipo Potência:
a. c (c>1)
b. 0c (0<c<1)
c. 00
d. 0c
e. )(
f. c)( (se c for ímpar)
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
76
g. c)( (se c for par)
h. 0)(
i. 0)( c
j. 00 = indeterminado
k. 0)( indeterminado
l. 1 indetermindado
Obs.: O limite de uma função polinomial quando x tende ao infinito, é o limite do termo de
maior grau.
Exemplos:
1) )13(lim 2 xxx
2)
432
1245lim
2
2
xx
xxxx
3)
3
543lim
2
2
xx
xxx
4) xlim
34
5
6
2
x
x
5)
132
18lim
4
4
xx
xxx
6) )11(lim 22 xxxxx
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77
AULA 13 – EXERCÍCIOS
1) )1235(lim 23 xxxx
2) )122(lim 245 xxxx
3) )123(lim 24 xxx
4) )853(lim 24 xxx
5) )235(lim 3 xxx
6) )23(lim 2 xxx
7)
3
132lim
2
23
xx
xxxx
8)
1
12lim
2
2
x
xx
9)
3
3lim
2x
xx
10)
359
1253lim
23
23
xxx
xxxx
11)
784
852lim
5
23
xx
xxx
12)
7
125lim
23
x
xxx
13)
33
2
)1(
1lim
xx
xxx
14)
1
1lim
2
x
xxx
15)
1
1lim
2
x
xxx
16)
1
532lim
4
2
x
xxx
17)
1
532lim
4
2
x
xxx
18) )43(lim 2 xxxx
19) )43(lim 2 xxxx
Respostas:
1) +
2) -
3) -
4) +
5) +
6) -
7) +
8) 2
9) 0
10) 3
1
11) 0
12) +
13) 3
1
14) 1
15) -1
16) 2
17) 2
18) 2
3
19) +
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78
AULA 14
10.3 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS:
1lim 0 x
senxx
Demonstrando o limite fundamental por tabela temos que:
Usando valores de x 0 em radianos, obtemos valores iguais ou muito próximos.
Exemplos:
1) x
xsenx
3lim 0
2)
20
cos1lim
x
xx
3) xsen
xsenx
2
5lim 0
4)
xsenxsen
senxxsenx
42
5lim 0
x Senx
0,008 0,008
0,006 0,006
0,004 0,004
0,002 0,002
0,001 0,001
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
79
5)
xsenx
xsenxx
9
23lim 0
6) x
tgxx 0lim
7)
x
xx
cos1lim 0
8) )(
)(lim 0
nxsen
mxsenx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
80
AULA 14 – EXERCÍCIOS
1) x
xsenx
2
3lim 0
2) x
senxx
4lim 0
3) x
xtgx
3
2lim 0
4) xsen
xsenx
3
4lim 0
5) xtg
xtgx
5
3lim 0
6)
xsenx
xx
cos1lim 0
7)
20
sec1lim
x
xx
8)
x
senxtgxx 0lim
9)
tgx
xsenxx
1
coslim 0
10)
xsen
senxtgxx 20lim
11)
senxx
senxxx 0lim
12)
xsen
xxx
4
3cos5coslim 0
13)
senx
xsenxsenx
23lim 0
14)
x
senaaxsenx
)(lim 0
15)
203
2cos1lim
x
xx
Respostas:
1) 3/2
2) ¼
3) 2/3
4) 4/3
5) 3/5
6) ½
7) – ½
8) 2
9) -1
10) 0
11) 0
12) 0
13) 1
14) cos a
15) 2/3
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81
AULA 15
10.4 LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS:
ex
x
x
11lim (1)
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número
irracional e, cujo valor aproximado é 2,7182818
Nota-se que a medida que x ,
x
x
11 e
De forma análoga, efetuando a substituição yx
1 e
yx
1
temos:
ey y
y
1
0 )1(lim (2)
Ainda de forma mais geral, temos:
(3) kly
l
y eky )1(lim 0
(4) kl
lx
x ex
k
1lim
(5) ax
a x
x ln1
lim 0
(6) 11
lim 0
x
e x
x
Exemplos:
1)
x
xx
43
1lim
X
x
x
11
1 2
2 2,25
3 2,3703
10 2,5937
100 2,7048
1000 2,7169
10000 2,7181
100000 2,7182
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
82
2) x
x x3
0 )21(lim
3)
x
x
x2
13lim 0
4)
xsen
e x
x2
1lim 0
5)
x
xx
25
1lim
6) x
x x2
0 21lim
7)
x
x
x
12lim 0
8)
1
3lim 0 xx
e
xsen
9)
xsen
e x
x4
1lim
3
0
10)
xsen
x
x2
13lim
5
0
11)
26
413loglim 2
x
xx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
83
AULA 15 - EXERCÍCIOS
1)
2
4
2
2
3lim x
x
x
2)
1
1
1lim x
x
x e
3)
2
45
4
2
1lim
x
xx
xe
4)
45
23loglim
2
2
31xx
xxx
5)
21
3lnlim 3
x
xx
6)
xx
xxx 2
3
0 loglim
7)
x
xx
21
1lim
8)
311lim
x
xx
9)
21
1lim
x
xx
10)
31
1lim
x
xx
11)
x
xx
41lim
12)
x
xx
32
1lim
13)
x
xx
32
1lim
14) x
x x1
0 )41(lim
15) x
x x2
0 )31(lim
16)
3
1
4lim
x
xx
x
17)
2
3
1lim
2
2x
xx
x
18)
x
xx
x
12
32lim
19)
x
xx
2
)1ln(lim 0
20)
x
xx
3
)21ln(lim 0
Respostas
1) 81
2) e2
3) e-12
4) -1
5) ln4
6) 0
7) e2
8) e1/3
9) e
10) e
11) e4
12) e6
13) e-6
14) e4
15) e-6
16) e-3
17) e4
18) e
19) ½
20) 2/3
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84
AULA 16
10.5 LIMITES LATERAIS:
Consideramos uma função y = f(x), da qual queremos achar os limites laterais para x
tendendo a a, ou seja, queremos calcular:
Limite lateral à direita
?)(lim xfax
Limite lateral à esquerda
Vejamos como proceder em cada caso:
Limite a direita (quando x a+)
Fazemos a seguinte troca de variável:
x = a + h, com h > 0
x a, devemos ter h 0
Exemplo:
)43(lim 2 xx
Limite a esquerda (quando x a-)
Fazemos a seguinte troca de variável:
x = a – h, com h > 0
x a devemos ter h 0
Exemplo:
)43(lim 2 xx
O Limite de uma função existe quando )(lim)(lim xfxf axax
?)(lim xfax
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
85
AULA 16 - EXERCÍCIOS
1) )13(lim 2
2xx
x
2)
2
43lim
3 x
xx
3)
13
235lim
2
1 x
xxx
4)
23
105lim
2
2
3 xx
xxx
5) )31(lim
3x
x
6)
2lim
2 x
xx
7) )3(lim 2
2xx
x
8) )3(lim 2
2xx
x
9)
2
3lim
2 x
xx
10)
2
3lim
2 x
xx
11)
x
x
1
02lim
12)
x
x
1
02lim
13)
x
x 10
21
4lim
14)
x
x 10
21
4lim
15) Calcule os limites laterais solicitados.
a)
1x se14x
1x se 2
x se x
xf
123
)(
)(lim1
xf x
, )(lim1
xf x
, )(lim1
xfx
b)
2 x se1-x
2x se 0
x se x
xf
21
)(
2
)(lim2
xf x
e )(lim2
xf x
c)
2 x se7-6xx-
2x se 1
x se 1-3x-x
xf
2
22
)(
2
)(lim2
xf x
e )(lim2
xf x
Respostas:
1) 9
2) 1
3) 2
4) 26
5) 1
6)
7) 10
8) 10
9) -
10) +
11) 0
12) +
13) 4
14) 0
15) a) 1 e 5
b) 1 e -3
c) 1 e 1
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86
AULA 17
11. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
11.1 INTRODUÇÃO:
Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas
horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.
Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a função,
onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não "toca " esta reta,
pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função
11.2 ASSÍNTOTA VERTICAL
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
i. )(lim xf
ax
ii. )(lim xf
ax
iii. )(lim xf
ax
iv. )(lim xf
ax
11.3 ASSÍNTOTA HORIZONTAL
Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
i. bxfx )(lim
ii. bxfx )(lim
Exemplos:
1) Seja a função)1(
2)(
xxf . Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela existirem.
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
87
2) Considere a função 2)2(
43)(
xxf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se
ela existirem.
12. FUNÇÕES CONTÍNUAS
12.1 DEFINIÇÃO:
Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes condições:
i. )(af
ii. )(lim xfax
iii. )()(lim afxfax
Exemplos:
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado:
1) xxxf 352)( em x = 4
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
88
2) 2
|2|)(
xxf em x = 2
3)
33
32
31
)(
2
xsex
xse
xsex
xf em x = 3
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
89
AULA 17 - EXERCÍCIOS
Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo, faça um esboço do gráfico da função:
1) 3
5
xy
2) 1
13
x
xy
3) x
y2
4) 2)1(
2
xy
5) 2
31
xy
Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados
6)
31
33
|3|
)(
xse
xsex
x
xf em x = 3
7) 3
9)(
2
x
xxf em x = 3
8) 53)( xxf em x = 2
9)
23
215)(
2
xsex
xsexxxf em x = 2
Respostas
1) x = 3 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assintota horizontal
2) x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 3 é a assintota horizontal
3) x = 0 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal
4) x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal
5) x = 2 é a equação da assíntota vertical e y = - 1 é a assíntota horizontal
6) a função não é contínua
7) a função é continua
8) a função é contínua
9) a função não é contínua
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
90
AULA 18
13. DERIVADAS
13.1 INTRODUÇÃO:
O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo
de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à
Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas ciências
naturais como humanas.
O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da
realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na resolução
de problemas cotidianos.
13.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO:
Seja f uma função representada no gráfico abaixo:
Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado
ponto, vamos supor P(x, f(x)).
Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim, devemos
encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (x, f(x)).
y
xx
f x( )
y
xx
f x( )
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91
Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença entre
as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os conceitos de
trigonometria no triângulo retângulo.
Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q.
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
R
Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado pr
PR
QRtgmm sPQ
h
xfhxfms
)()( (i) inclinação da reta secante
Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3, Q5,....Qn cada vez mais próximos de P, a reta
s(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero.
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
RQ3
Q2
Q1
Logo:
h
xfhxfm
mm
xt
sxt
)()(lim
lim
0
0
onde m representa o coeficiente angular da reta tangente.
Esse limite quando existe é chamado Derivada de t
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92
13.3 DEFINIÇÃO:
Seja uma função f: D R, e seja D’ o conjunto de todos os valores x tal que exista f’(x).
Chama-se função derivada de f a função f’ : D’ R tal que:
x
xfxxfxf x
)()(lim)(' 0
Exemplo:
1) Se f(x) = x2 determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa x = 2
2) Seja a função f: R R tal que f(x) = x2. Obter a função derivada de f:
3) Utilizando a definição calcule a derivada da função f(x)=x3
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93
13.3.1 OUTRAS NOTAÇÕES PARA A FUNÇÃO DERIVADA:
y’ (lê-se: derivada de y)
y’x (lê-se: derivada de y em relação a x)
dx
dy (derivada de y em relação a x)
Df (derivada de f)
13.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA;
A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um móvel em um
instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou seja, a expressão que nos dá o
espaço (posição) em função do tempo, s=f(t).
Quantitativamente a velocidade exprime em geral, a razão de variação do espaço em relação ao
tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou seja, se o móvel percorre um
espaço S em um intervalo de tempo t , a velocidade é dada pelo quociente t
Sv
, que é uma
razão constante.
Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaços diferentes em
tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média da velocidade instantânea.
Se um automóvel percorre 120 km em 2 horas, não podemos concluir deste fato que sua
velocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao velocímetro
constataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora para menos. Portanto a
velocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 120km pelo tempo de 2 horas gastos em percorrê-los
é o que chamamos de velocidade média. A velocidade que observamos a cada instante no velocímetro
do veículo denominamos velocidade instantânea.
Consideremos um móvel de equação horária s = f(t) que se desloca sobre uma trajetória
retilínea de origem O e que em um instante t1 ocupe uma posição S1 e num instante t2 ocupe uma
posição S2.
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94
Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é 12 SSS ou
)()( 12 tftfS e que o tempo gasto para percorrê-lo é 12 ttt .
Logo, sua velocidade média neste percurso é:
12
12
12
12 )()(
tt
tftf
tt
SS
t
SVm
Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo tendendo a zero
podemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t1, dada por:
12
120
)()(limlim
tt
tftf
t
SV t
Mas tttttt 1212 e considerando t1 um instante genérico t, temos ttt 2 ,
logo:
t
tfttfV t
)()(lim 0
que é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja:
Se S = f(t) então S’(t) = v
Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do móvel, v= f(t), o
que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração do móvel em um instante
qualquer, isto é:
Se v = f(t) então v’(t) = a
Onde a é a aceleração instantânea do móvel.
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95
13.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO:
Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo das derivadas.
1) f(x) = c f’(x) = 0
2) f(x) = xn f’(x) = n.x
n-1
3) f(x) = u.v f’(x) = u’v + uv’
4) f(x) = u.v.w f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’
5) v
uxf )(
2
'')('
v
uvvuxf
6) f(x) = un f’(x) = n.u
n-1.u’
7) f(x) = au f’(x) = a
u.ln a.u’
8) f(x) = eu f’(x) = e
u.u’
9) f(x) = ln u u
uxf
')('
10) f(x) = log a u au
uxf
ln.
')('
11) f(x) = cos u f’(x) = - u’.sen u
12) f(x) = sen u f’(x) = u’.cos u
13) f(x) = tg u f’(x) = u’.sec2 u
14) f(x) = cotg u f’(x) = - u’.cossec2u
15) f(x) = sec u f’(x) = u’.sec u. tg u
16) f(x) = cossec u f’(x) = - u’.cossec u. cotg u
17) f(x) = uv f’(x) = v.u
v-1.u’ + u
v.v’.ln u
)'.ln'()(' uu
vuvuxf v
18) f(x) = arc sen u 21
')('
u
uxf
19) f(x) = arc cos u 21
)('u
uxf
20) f(x) = arc tg u 21
')('
u
uxf
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96
13.5.1 DERIVADA DE FUNÇÃO ALGÉBRICA:
Exemplos:
1) y = 4x2 – 2x
2) 7
3
5
7 2
x
y
3) 3 2xy
4) 1
2
x
xy
5) )1)(32( 2xxxy
6) 52 )3( xy
7) 21 xy
8) 34
2
xy
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97
AULA 18 - EXERCÍCIOS
1) y = 5X4 – 3X
3 + 2X
2 + 3X + 5
2) y = 7x4 -2x
3 + 8x
3) xxx
y 42
5
3
2 23
4) 3
7
xy
5) 5
4
xy
6) xxy 2
7) 44 35 2 xxxy
8) xxy 612 3
9) 53
1
xy
10) 72
53
x
xy
11) 55
322
xx
xy
12) 2
232
2
xx
xxy
13) y = (1 + 4x3)(1 + 2x
2)
14) y = (x2 – 1)(1 – 2x)(1 – 3x
2)
15) y = (2x2 – 4x + 8)
8
16) y = (3a- 2bx)6
17) 3 3bxay
18) 3 22 )52( xy
19) xaxay )(
20) 45 xxy
21) 56
52
3
x
xy
22) 42
1
2
xx
xy
23) x
xy
1
1
24) xa
xay
Respostas:
1) y’ = 20x3 – 9x
2 + 4x + 3
2) y’ = 28x3 – 6x
2 + 8
3) y’ = 2x2 + 5x – 4
4) 4
21'
xy
5) 6
20'
xy
6) x
xxy
2
4'
2
7) 3
45 34
4
3
5
2' x
xxy
8) x
xy3
18'
9) 25309
3'
2
xxy
10) 2)72(
31'
xy
11) 22
2
)55(
2562'
xx
xxy
12) 22
2
)2(
42'
xx
xy
13) y’ = 40x4 + 12x
2 + 4x
14) y’ = 30x4 – 12x
3 – 24x
2 + 8x + 2
15) y’ = (32x – 32)(2x2 – 4x + 1)
7
16) y’ = -12b(3ª-2bx)5
17) 3 23
2
)('
bxa
bxy
18) 3 2523
20'
x
xy
19) xa
xay
2
3'
20) 452
815'
x
xy
21) 32
23
)56(
10456'
x
xxy
22) 32 )42(
3'
xxy
23) )1(1
1'
2 xxy
24) 2)(
'xax
ay
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98
AULA 19
13.5.2 DERIVADA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS:
Exemplos:
1) xy 3
2) xey
3) xxey 22
4) axexy 2
5) 1
1
x
x
e
ey
6) xy 3log
7) )1(log 2 xy a
8) xx
xx
ee
eey
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99
AULA 19 - EXERCÍCIOS
1) y = 3x
2) y = e – x
3) 8xey
4) 12 xxey
5) xxy 22
7
6) x
ey
x
7) xxy )1(
8) 13
)1( xxy
9) xy 3ln
10) 3log4 xy
11) 2
2
1ln
x
xy
12) x
xy
1
1ln
13) 229ln xy
14) xx
yln
1
15) xey x ln
16) 22 ln xxy
17) x
xy
ln
Respostas:
1) 3ln3' xy
2) xey '
3) 8
.8' 7 xexy
4) )12.(' 12
xey xx
5) )22.(7ln.7' 22
xy xx
6) 2
)1('
x
xey
x
7) )1ln()1()1(' 1 xxxxy xx
8) )1ln(.3.)1()1)(1(' 213 33
xxxxxy xx
9) x
xy
2ln3'
10) 10ln
12'
xy
11) )1(
2'
2xxy
12) 2)1(
2'
xy
13) 229
2'
x
xy
14) 2)ln(
1ln'
xx
xy
15)
xxey x 1
ln'
16) )1(ln2' 2 xxy
17) 2
ln1'
x
xy
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
100
AULA 20
13.5.3 DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
Exemplos:
1) y = sen 5x
2) y = 3cos 2x
3) y = tg 3x
4) y = sec 4x
5) y = tg x3
6) y = tg2 x
7) y = cotg(1 – 2x2)
8) y = x2cosx
9) y = sen2x.cosx
10) x
xy
cos
11) x
xy
2arccos
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
101
AULA20 - EXERCÍCIOS
1) y = cossec 7x
2) y = sen3x + cos2x
3) y = sen5x
4) y = 5sen3x
5) 3 3xtgy
6) 12 xseny
7) xxe
xy
cos
8) xxy )(cos
9) x
senxy
cos
10) 34xsenxey x
11) xy 3sec
12) xesenxxy .2
13) xarcseny 3
14) x
arctgy1
15) )23( xarcseny
16) 22xarctgy
17) )25( 3xarcseny
18) )1(cot 2xgarcy
19) 3sec xarcy
20) )1sec(arccos xy
21) arcsenxxy 2
22) arctgxxy .
23) xy arccosln
Respostas
1) y’ = -7cossec7x.cotg7x
2) y’ = 3cos3x-2sen2x
3) y’ = 5sen4x.cosx
4) y’ = 15sen2x.cosx
5) xsenx
xtgy
3.3cos
3'
3
6) 12
12cos'
x
xy
7) xex
xxsenxxy
2
cos)cos('
8) )cos(ln)(cos' xtgxxxy x
9) xy 2sec'
10) 212)cos(' xxsenxey x
11) xtgxx
y .sec2
3' 3
12) y’ = xex(2senx+xcosx+xsenx)
13) 291
3'
xy
14) 1
1'
2
xy
15) 3129
3'
2
xxy
16) 441
4'
x
xy
17) 24204
6'
36
2
xx
xy
18) 4222
2'
xx
xy
19) 1
3'
6
xxy
20) xxx
y2)1(
1'
2
21) 21
12'
xxy
22) 21
'x
xarctgxy
23) 21.arccos
1'
xxy
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
102
AULA 21
13.6 DERIVADAS SUCESSIVAS
Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A I. Vimos que
a derivada de f em A denotamos por f’ . Se f’ é derivável em um intervalo B, B A, a esta derivada
de f’ denotamos por f” denominamos derivada segunda de f.
Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas.
Exemplo:
1) Obtenha até a derivada de 5a ordem da função f(x) = 5x
5 – 3x
3
2) Dada a função f(x) = x4 – 2x
3 + 4x
2 – 1, pede-se calcular f”(-1) e f
(6)(15)
13.7 REGRAS DE L’HOSPITAL
Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo 0
0 ou
.
Esse método é dado pelas regras de L’Hospital.
Regras de L’Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I. Suponhamos
que g’(x) 0 para todo x a em I.
i). Se 0)(lim)(lim xgxf axax e Lxg
xfax
)('
)('lim então:
Lxg
xf
xg
xfaxax
)('
)('lim
0(
)(lim
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
103
ii). Se )(lim)(lim xgxf axax e Lxg
xfax
)('
)('lim então:
Lxg
xf
xg
xfaxax
)('
)('lim
)(
)(lim
Obs.: A regra de L’Hospital continua válida se )('
)('lim
xg
xfax ou
)('
)('lim
xg
xfax .
Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito.
Exemplos:
Determinar
1) 1
2lim 0
xx
e
x
2) x
senxx 0lim
3) x
xx
cos1lim 0
4) 4
2lim 4
x
xx
5) 23
6lim
2
2
2
xx
xxx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
104
AULA 21 – EXERCÍCIOS
1) 1
1lim
2
1
x
xx
2) 1
23lim
23
3
1
xxx
xxx
3) xx
e
x3
lim
4) 1
lnlim 1
x
xx
5) 20
3lim
x
senxxx
6) 32
1lim
x
ex x
x
7) 3
lim3
3
x
ee x
x
8) senxx
xtgxx
0lim
9) senxx
xee xx
x
2
lim2
0
10) xsen
xx
2
1
1lim
11) x
xsen
x
2
1
lim
12) 30lim
x
senxxx
13) x
ba xx
x
0lim
14)
2
1lim
3
2
x
xsenx
15) 1cos
1lim
2
0
x
e x
x
16) Obter a derivada terceira das seguintes
funções:
a) f(x) = x3 + 2x
2 + 1
b) f(x) = 5x2 – 3x +2
c) 12
1)(
xxf
d) f(x) = 2x-3
e) f(x) = sen3x
f) f(x) = e2x
17) Obter a derivada segunda das seguintes
funções:
a) xa
xy
2
b) y = ex.cosx
Respostas
1) 2
2) 2
3
3) 0
4) 1
5) 0
6) 0
7) e3
8) 2
9) 2
10)
2
11) 0
12) 6
1
13) b
aln
14) 0
15) -2
16) a) 6 b) 0 c) 0
d) -120x-6
e) -27cos3x f) 8e2x
17) a) 3
2
)(
2"
xa
ay
b) y” = -2exsenx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
105
AULA 22
13.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
13.8.1 TAXAS DE VARIAÇÃO RELACIONADAS
Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma
terceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem
também estarão.
Exemplo: Se y depende de x e x depende de t, temos: dt
dx
dx
dy
dt
dy
Exemplos:
1) Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa de variação
de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 15cm.
2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5cm/s. Achar a taxa de variação
de seu volume no instante em que sua aresta mede 10cm.
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
106
3) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base.
Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a
altura do monte é de 4m?
13.8.2 MÁXIMOS E MÍNIMOS
13.8.2.1 Introdução:
Suponha que o gráfico abaixo tenha sido feito por um instrumento registrador usado para
medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos x
representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x).
Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão,
corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de um produto
químico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc.
Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é
decrescente.
y
xa b c d e
M
N
P
A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c,
d[ e decrescente de ]d, e[.
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
107
Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade atingiu
seu máximo (maior valor) em d e seu mínimo em c.
Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos.
O ponto M da curva, de abscissa x = b, situa-se exatamente no ponto onde a função passa
de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x = b,
ou que f(b) é um máximo local da função. Isto é, o valor de f(b) é o maior valor que a função
assume para valores de x, próximos de b.
Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o ponto mais
alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo “local”.
Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O
ponto N da curva situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente
e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe são próximos.
Dizemos que a função apresenta ai um mínimo local, ou que f(c) é um mínimo local de f. O valor
de f(c) é o menor valor que a função assume para valores próximos de x, próximos de b.
Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais.
Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então:
i). f(x) é máximo de f em l se f(x) f(c) para todo x em l
ii). f(x) é mínimo em f em l se f(x) f(c) para todo x em l
Definição 2: Seja c um valor do domínio de uma função f
i). f(c) é máximo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) f(c)
para todo x em (a,b)
ii). f(c) é mínimo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) f(c)
para todo x em (a,b)
Teorema: Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f’(c) = 0 ou f’(c) não
existe.
Suponha que uma função f seja derivável, neste caso o seu gráfico admite tangente em
cada ponto, conforme o gráfico abaixo.
No ponto B, de máximo local, e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta
horizontal, paralela ao eixo x. Logo f’(a) = f’(b) = 0 pois o coeficiente angular da reta tangente é a
derivada da função no ponto.
Se f é uma função derivável e xo ponto tal que f’(xo) = 0 ou não exista, dizemos que x0 é
um ponto crítico da função f.
Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máximos e mínimos locais de uma
função ocorrem em pontos críticos da função.
A condição f’(x) = 0 é necessária para que haja máximo ou mínimo local no ponto x,
mas não é suficiente.
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
108
Seja por exemplo a função f(x) = x3. Derivando temos: f’(x) = 3x
2, logo f’(x) = 0 e o ponto
de abscissa x = 0 não é nem máximo local nem mínimo local da função.
Definição 3: Um ponto (número) c do domínio de uma função f é ponto crítico de f se, ou
f’(c)=0 ou f’(c) não exista.
Exemplo:
Determine os pontos críticos da função f(x) = 4x2 – 3x + 2
13.8.2.2 Determinação dos Máximos e Mínimos locais:
1o) Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f’(x)=0, cujas raízes são as
abscissas dos pontos críticos de f.
2o) Examinamos cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de extremo ou
não. Para isso, utilizaremos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda.
13.8.2.3 Crescimento e Decrescimento de funções:
Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no
intervalo aberto (a, b).
i). Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a, b]
ii). Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a, b]
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
109
13.8.2.4 Teste da Derivada Primeira:
Suponhamos que para x = x0 a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muito
próximos de x0 tais que a<x0<b, então:
i). Se tivermos que f’(a) > 0 e f’(b) < 0, então, nesse caso a função passa de crescente a
decrescente e podemos afiram que f(x0) é um máximo local da função.
ii). Se tivermos que f’(a) < 0 e f’(b) > 0, então, nesse caso a função passa de decrescente a
crescente e podemos afirmar que f(x0) é um mínimo local da função.
Exemplos:
1) Seja a função f(x) = x2 -4. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se
existirem.
2) Seja a função f(x) = - x3 + 8x
2 + 12x – 5. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de
inflexão se existirem.
13.8.2.5 Concavidade e Teste da Derivada Segunda:
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
110
Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c,
então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é:
i). Côncavo para cima se f”(c) > 0
ii). Côncavo para baixo se f”(c) <0
Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e
f’(c)=0.
i). Se f”(c) < 0, então f tem máximo local em c
ii). Se f”(c) > 0, então f tem mínimo local em c
Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja contínua
no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo.
Seja x0 a abscissa de um ponto crítico, se f”(x0) > 0, o gráfico de f côncavo para cima para x
próximo de x0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f(x0) é um mínimo local de f.
Se f”(x0) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo pra x próximo de x0, isto é, f tem
concavidade voltada pra baixo, e nesse caso, f(x0) é um máximo local de f.
Resumindo:
Mínimo Local:
0)("
0)('
0
0
xf
xf
Máximo Local:
0)("
0)('
0
0
xf
xf
Exemplo:
Determinar os pontos máximos ou mínimos da função f(x) = - x3 – 3x
2 + 9x – 5, se
existirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA.
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
111
AULA 22 - EXERCÍCIOS
1) Ao aquecer um disco circular de metal,
seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min.
Quando o diâmetro esta com 5 metros, a que
taxa esta variando a área de uma face?
2) Um tanque em forma de cone com vértice
para baixo mede 12 m de altura e tem no topo
um diâmetro de 12 m. Bombeia-se água à taxa
de 4m3/min. Ache a taxa com que o nível da
água sobe:
a) quando a água tem 2 m de
profundidade.
b) quando a água tem 8 m de
profundidade.
3) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca
uma série de ondulações concêntricas. Se o
raio r da onda exterior cresce uniformemente
à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que a
área de água perturbada está crescendo:
a) quando r = 3m
b) quando r = 6m
4) Determine as abscissas dos pontos críticos
das funções abaixo:
a) s(t) = 2t3 + t
2 – 20t +4
b) f(x) = 4x3 – 5x
2 – 42x + 7
c) g(w) = w4 – 32w
5) Determine os pontos de máximo, de
mínimo e de inflexão das seguintes funções se
existires, UTILIZANDO O TESTE DA
DERIVADA PRIMEIRA.
a) y = 6x3 + 15x
2 – 12x -5
b) 887
4)( 2 xxxf
c) f(x) = - 9x2 + 14x +15
6) Determine as abscissas dos pontos
máximos ou mínimos das seguintes funções,
UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA
SEGUNDA.
a) f(x) = x3 – 12x
2 + 45x +30
b) y = 8x3 – 51x
2 -90x +1
c) y = -x3 – 9x
2 + 81x – 6
7) Imagine que a trajetória de uma pedra
lançada ao ar seja um trecho da parábola dada
por y = 5x2 – 20x (x e y em metros),
determine o ponto máximo da função.
Respostas:
1) min/2
5 2cm
2)
min/4
1)
min/4
)
mb
ma
3) smb
sma
/6,21)
/8,10)
2
2
4)
2)
37
23)
23
5)
wc
exb
eta
5) a) máx x = -2 e min x = 1/3
b) máx x = 7
c) máx x = 7/9
6) a) máx x = 3 e min x = 5
b) máx x = -3/4 e min x = 5
c) máx x = 3 e min x = - 9
7) P(2,- 20)
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
112
AULA 23
14. INTEGRAIS
14.1 INTRODUÇÃO:
Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir de
agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada?
A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou
anti-derivada.
Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se
F’(x) = f(x) para todo x em l
Exemplo:
Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1. F(x) = x
4 + x
2 + x é a anti-derivada da função f, pois F’(x0 = f(x).
Mas não existe uma única integral, note por exemplo que: G(x) = x4 + x
2 + x + 5 também é uma
anti-derivada de f pois G’(x) = f9x0
Na verdade,qualquer função definida por H(x) = x4 + x
2 + x + c onde x é uma constante
qualquer, será uma integral de f.
14.1.1 NOTAÇÃO:
A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma
função encontrada. O símbolo denota a operação de integral, e escrevemos:
CxFdxxf )()( onde )()(' xfxF
A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a expressão
antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressão Integração
Indefinida.
Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos algumas
regras, que veremos a seguir.
14.2 INTEGRAIS IMEDIATAS
cn
xdxx
nn
1
1
1) dxx5
2) 2x
dx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
113
3) 3 2x
dx
4) dxxx)1(
5)
dx
xx
2
3
2 1
6)
dxx
xx2
23 )45(
cn
vdvv
nn
1
1
7) dxxx 223 3.)2(
8) xdxxba .222
cvv
dvln
9) )32( x
dx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
114
10) 3
2
21 x
dxx
ca
adva
vv
ln cedve vv
11) dxx
e x
2
1
12) dxexx3
13)
dx
ba
baxx
xx 2
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
115
cvdvtgv cosln. ou cvdvtgv secln.
14) xdxtg2
cgvvvdv )cotsecln(cosseccos
15) xdxseccos
ctgvvdv2sec
16) dxxx 322 sec
ctgvvvdv )ln(secsec
17) x
dxxsec
cxdxtgxx sec..sec
18) dxx
senx2cos
cgxxdx cotseccos 2
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
116
19) x
dx
cos1
ca
varcsen
va
dv
22
ou ca
v
va
dv
arccos
22
20) 2916 x
dx
ca
varctg
ava
dv
1
22 ou c
a
varc
ava
dv
cot1
22
21) 94 2x
dx
ca
varc
aavv
dv
sec
1
22 ou c
a
v
aavv
dv
secarccos
1
22
22) 94 2xx
dx
cva
va
ava
dv
ln
2
1
22
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
117
23) 19 2x
dx
c
av
av
aav
dvln
2
122
cavvav
dv)ln( 22
22
24) 743 2 xx
dx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
118
AULA 23 - EXERCÍCIOS
1) dx
x
x33
2
)2(
8
2)
dx
xx
x
31
2 )6(
)3(
3) dxxx 42 2
4) dxx
x
)ln2(
5)
dxx
x 2)1(
6) dxee xx .)1( 3
7) dxxxsen .2cos.2 2
8)
dx
tgx
x2
1
sec
9) dx
xcb
ax222
3
10) xx
dx
ln.
11) dxxtg .2
12) 22 )( xe
dx
13) dxx
xsenx
cos
cos
14) dxxsen
gx2
cot
15) dxx 2)14(sec
16) dx
xba
tgxx
sec
.sec
17) dxxsen
x4
3cos
18) dxxtg .4
19) dxxxtg 2)2sec2(
20) dxgxtgx 2)cot(
21) dx
bx
ax44
22) 294 t
dt
23)
24
.cos
sen
d
24) 14xx
dx
25)
dxx
x
2
2
1
arccos
26) dx
x
x6
2
5
27) arctgxx
dx
)1( 2
28) xx ee
dx
29) dx
x
tgxx2sec49
.sec
30) 522 xx
dx
31) 23 2xx
dx
32) 2)12(
3
2 xxx
dx
33)
dx
x
xx
21
arccos
34) dxxx
x
743
322
35) 2627 xx
xdx
36) 21 xx
dx
37)
dx
x
x
94
13
2
38)
dx
xx
x
8129
322
39)
dxxsen
xsen
21
2
40) x
x
e
dxe2
2
2
41) xx
dx
2ln1
42) xxsen
dx22 cos32
43) dxxx 3 23.
Respostas:
1) cx
23 )2(3
4
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
119
2) 4
)6(3 32
2 xx + c
3) cx
6
)21( 23
2
4) cx
2
)ln2( 2
5) cxx
x 5
2
3
42
25
23
21
6) cex
4
)1( 4
7) cx
6
)2(cos 3
8) ctgx
1
1
9) cxcbc
a
)ln(
2
3 222
2
10) ln(lnx) + c
11) cx )2ln(sec2
1
12) ce x
44
1
13) cxx )ln(sec l
14) cgx
2
)(cot 2
15) cxxtgxxtg )44ln(sec2
14
4
1
16) cxbab
)secln(1
17) csensenx x
33
11
18) cxtgxxtg
3
3
19) cxxxtg 2sec2
20) ctgxgx cot
21) cb
xarctg
b
a
2
2
22
22) ct
t
32
32ln
12
1
23) csen
sen
2
2ln
4
1
24) cxarc 2sec2
1
25) cx
3
arccos3
26) cx
x
3
3
5
5ln
56
1
27) carctgx )ln(
28) carctgex
29) cx
arctg
3
sec2
6
1
30) cx
arctg
2
1
2
1
31) cxarcsen )32(
32)
cx
arc
3
12sec
33) cxx
22
12
arccos
34) cx
xxx
73
33ln
30
13)743ln(
3
1 2
35)
cx
arcsenxx
6
33627 2
36) cxxx )12
1ln( 2
37) cxxx )942ln(2
194
4
3 22
38) cx
arctgxx
2
23
2
1.
9
13)8129ln(
9
1 2
39) cxsen 212
40) ce
arctgx
22
1
41) cx
arcsen 1
ln
42) ctgxarctg
3
2
6
1
43) 34
37
236
1)23(
21
1 xx
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
120
AULA 24
14.3 INTEGRAIS POR PARTES
duvvudvu ...
1) dxex x.
2) dxxx .ln.2
3) dxxx3 23
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
121
4) dxxx )1ln( 2
5) xdxsenesenx 2
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
122
AULA 24 - EXERCICIOS
1) arcsenxdx
2) xdxsen2
3) xdx3sec
4) dxsenxx ..2
5) dxex x ..23
6) dxex x.. 23
7) dxarctgxx ..
8)
321
.
x
xdxarcsenx
9) dxxxtg .sec. 32
10) dxxarctgx 1. 2
11) 2)1(
.ln
x
dxx
12)
dxx
xarcsen
1
Respostas:
1) cxarcsenxx 21.
2) cxsenx
4
2
2
3) ctgxxtgxx )ln(sec2
1.sec
2
1
4) cxxsenxxx cos22cos.2
5) cxex )1(2
1 22
6) cxxxe x
122
3
4..
8
3 232
7) cxxarctgx )1( 2
8) cx
x
x
arcsenx
1
1ln
2
1
1 2
9) ctgxxxtgxxtgx )ln(sec8
1sec
8
1sec
4
1 3
10) cxxarctgx 12
11
2
1 222
11) cx
x
x
x
1ln
)1(
ln
12) cx
arctgxx
xxarcsen
1
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
123
AULA 25
14.4 INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais trigonométricas do
presente capítulo:
i). 1cos22 xxsen
ii). xxtg 22 sec1
iii). xxg 22 seccoscot1
iv). )2cos1(2
12 xxsen
v). )2cos1(2
1cos 2 xx
vi). xsenxsenx 22
1cos
vii). )()(2
1cos yxsenyxsenysenx
viii). )cos()cos(2
1yxyxsenysenx
ix). )cos()cos(2
1coscos yxyxyx
x). xsenx2
12cos1 2
xi). xx2
1cos2cos1 2
xii).
xsenx
2
1cos11
Exemplos:
1) xdxsen2
2) xdx3cos 2
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
124
3) xdxsen3
4) xdx6cos
5) xdxxsen 22 cos
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
125
6) xdxsenxsen 2.3
7) dxxxsen .5cos.3
8) dxxx .2cos.4cos
9) dxx .3cos1 23
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
126
10) dxxcos1
11) xsen
dx
21
12) dxxtg .4
13) xdxg 2cot 3
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
127
AULA 25 - EXERCÍCIOS
1) xdx5cos
2) xdxsen4
3) dxxsenx .2.2cos 34
4) xdxxsen 3cos.3 53
5) xdxxsen 44 cos.
6) dxx
xsen
3 4
3
cos
7) xdxtg 5
8) xdx2sec4
9) xdxtgx 34 .sec
10) xdxxtg 2sec.2 33
11) xdxxtg 44 sec.
12) xdxg 3cot 4
Respostas:
1) Cxsenxsensenx 53
5
1
3
2
2) Cxsenxsenx 432
12
4
1
8
3
3) Cxx 2cos10
12cos
14
1 57
4) Cxx 3cos18
13cos
24
1 68
5)
C
xsenxsenx
8
843
128
1
6) Cxx
35
31
cos5
3cos3
7) Cxxtgxtg
secln24
24
8) Cxtgxtg 22
12
6
1 3
9) Cxtgxtg
64
64
ou Cxx
4
sec
6
sec 46
10) Cxx 2sec6
12sec
10
1 35
11) Cxtgxtg
75
75
12) Cxxgxg 3cot3
13cot
9
1 3
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
128
AULA 26
14.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma
)(
)()(
xq
xpxR , onde p e q são polinomiais e o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A ídéia é
desdobrar o integrando R(x) em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser
integradas.
É fácil verificar que:
1
1
1
1
1
22
xxx
A expressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de 1
22 x
.
Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de 1
22 x
.
Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo:
dx
xdx
xdx
x 1
1
1
1
1
22
O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes:
CASO 1: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores distintos do 1o grau.
Neste caso, a cada fator da forma (ax + b), *a e , b , que aparece no denominador,
corresponde uma fração da forma )( bax
A
.
Exemplos:
)1)(1(
2
)1(
22
xxxxx
)1()1()1(
22
x
C
x
B
x
A
xx
Calcule
dx
xxx
xx
32
913423
2
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
129
CASO 2: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores repetidos do 1o grau. A
cada fator da forma (ax + b) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n
frações da forma:
n
n
bax
A
bax
A
bax
A
)(...
)( 2
21
Exemplos:
22222 ])1)[(1)(1(
1
)12()1(
1
xxx
x
xxx
x
4222 )1)(1(
1
)12()1(
1
xxxxx
x
4
5
3
4
2
321
222 )1()1()1()1()1()12()1(
1
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
xxx
x
Calcule
dx
xx
xxx3
23
)2)(1(
429183
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
130
CASO 3: O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da
forma q(x) = ax2 +bx + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1
o grau. A
cada fator q(x) que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma )(xq
BAx
Exemplo:
)1()1()1)(1(
12
22
2
11
22
x
BxA
xx
BxA
xxx
Calcule
dx
xxx
xx
482
2123
2
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
131
CASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da
forma q(x) = ax2 + bx + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1
o grau. A
cada fator de q(x) que aparece repetido no denominador, corresponde uma soma de frações da
forma n
nn
xq
BxA
xq
BxA
xq
BxA
)]([...
)]([)( 2
2211
Calcule
dx
x
xxx22
23
)1(
3735
Fundamentos Matemáticos da Computação Profa Paula F. Benevides
132
AULA 26 - EXERCICIOS
1)
dx
xx
x
)4(
125
2)
dx
xxx
x
)3)(2)(1(
1137
3)
dx
x
x2)1(
116
4)
dx
xx
x
82
162
5)
dx
xx
xx
4
81053
2
6)
dx
xx
xx
)5()1(
332522
2
Respostas:
1) Cxx |4|ln2||ln3
2) Cxxx |3|ln|2|ln5|1|ln4
3) Cx
x
1
5|1|ln6
4) Cxx |2|ln3|4|ln2
5) Cxxx |2|ln4|2|ln||ln2
6) Cxx
x
|5|ln31
1|1|ln5
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133
AULA 27
14.6 INTEGRAL DEFINIDA:
Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma função tal
que g’(x) = f(x) para todo x [a, b]. Então b
aagbgdxxf )()()( .
A expressão b
adxxf )( é chamada de Integral Definida de f de a até b.
Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f, então a
integral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) – g(a).
Os valores de a e b são chamados de limites de integração.
Exemplos:
1) Calcule 3
1
2dxx
2) Calcule 3
15dx
3) Calcule 7
0xdx
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134
x=1 x=3
14.6.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA:
Vamos agora interpretar geometricamente os exemplos 2 e 3.
1) Seja f(x) = 5 (exemplo 2). Tomemos a região delimitada por (x), o eixo x e as retas x = 1 e x = 3.
Temos um retângulo de base 2 e altura 5, cuja área é dada por:
A1 = b.h = 2x5 = 10u.a (como no exemplo 2)
2) Seja f(x) = x (exemplo 3). Tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x) = x e as retas
x = 0 e x = 7.
Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por auA .2
49
2
772
.
Os fatos observados nestes exemplos não são mera coincidência. Na verdade, se f(x)>0
para x [a,b], então b
adxxf )( nos fornece a área limitada por f(x) pelas retas x =a e x = b e o eixo
x.
1 3 7 x
y
1
f(x)=x
7
3
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135
3) Tomemos agora um exemplo em que f(x) < 0 em [a, b]
1
3)1( dxx
2)3(
2
3)1(
2
1
2
221
3
2
x
x
A região delimitada por y = (x+1), pelo eixo x e as retas x = - 3 e x = - 1 é apresentada
abaixo:
Note que A3 é um triângulo de base 2 e altura 2, assim, ..2
223 auA
Assim, vemos que
1
33 )( dxxfA .
Em geral se f(x)<0 em [a, b] a área delimitada por f(x), o eixo x e as retas x = a e x=b é
dada por b
adxxfA )( .
14.6.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS
1. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma constante qualquer,
então:
b
a
b
adxxfkdxxfk )()(.
Exemplo:
Calcule o valor da integral 3
05xdx
1
-1
-
- 2
-
- 3 1
x
y
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136
2. Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f + g é
integrável em [a, b] e:
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
Exemplo:
Calcule o valor da integral
5
3
2 1dx
xx
3. Se a função f é integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então:
b
a
c
a
b
cdxxfdxxfdxxf )()()(
Exemplo:
Calcule o valor da integral 3
2xdx
AULA 27 - Exercícios
Encontre o valor das integrais definidas
abaixo:
1) 2
0
2dxx
2) 2
1
3dxx
3) 4
1
2 )54( dxxx
4) 2
2
3 )1( dxx
5)
1
1
31
34
4 dxxx
6) 4
3)2( dxx
7)
5
1 13x
dx
8) 3
3
6 )3( dttt
9)
4
0 2 9x
xdx
10) 5
04dxx
11) 1
0
3 78 dxx
Respostas:
1) 3
8
2) 4
15
3) 66
4) 4
5) 7
6
6) 2
35
7) 173
22
8) 7
4374
9) 2
10) 3
38
11) 5
3
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137
AULA 28
14.6.3 APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA
14.6.3.1 CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA
Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f(x) 0 para todo x em [a,
b], então temos que o número que expressa a área da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e
as retas x = a e x = b é dada por, em unidades quadradas:
b
adxxfA )(
Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até b.
y
x
a b
Exemplos:
1) Encontre a área limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.
x x=1 x=2
y
Área = R
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138
4
x
y
-2 2
2) Encontre a área limitada pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas y = - 2 e x = 2
3) Calcule a área limitada pelas curvas y = x2 + 1, y = - x2 - 1 e as retas x = -1 e x = 3.
- 10
10
3 -1
A1
A2
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139
4) Calcule a área da região definida pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas x = - 4 e x = 2
y
2
4
- 2 -4
12
x
A2
A1
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140
a b
g(x)
14.6.3.2 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES:
Nesta seção, consideraremos a região que esta entre os gráficos de duas funções.
Se f e g são contínuas em f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b], então a área A da região R,
limitada pelos gráficos de f, g, x =a e x = b, pode ser calculada subtraindo-se a área da região sob o
gráfico de g (fronteira inferior de R) da área da região sob o gráfico de f (fronteira superior de R):
b
a
b
adxxgxdxxfA )()(
ou
b
adxxgxf )]()([
Suponha que desejamos calcular a área A delimitada por duas curvas f(x) e g(x) e as retas
x = a e x = b, como ilustra a figura abaixo:
Note que a área pode ser obtida pela diferença das áreas A1 – A2
Sendo b
adxxfA )(1 e
b
adxxgA )(2
A = A1 – A2
A b
adxxf )(
b
adxxg )(
b
adxxgxfA )]()([
Assim verificamos que é válido o teorema a seguir:
a b
f(x)
g(x)
f(x)
a b
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141
Teorema: se f e g são contínuas e f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b], então a área A da
região delimitada pelos gráficos de f, g, x = a e x = b é:
b
adxxgxfA )]()([
Diretrizes pra encontrar a área de uma região R limitada por duas funções:
Esboçar a região, designando por y = f(x) a fronteira superior e por y = g(x) a fronteira
inferior.
Encontrar os pontos de intersecção (a e b) entre as duas funções (sistema de equações)
Calcular a integral b
adxxgxfA )]()([
Exemplos:
1) Encontre a área A limitada pela curva f(x) = x2 + 2 e g(x) = 1 no intervalo de [-2, 3]
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142
2) Encontre a área A da região limitada pelas curvas y = x2 e y = -x
2 + 4x.
AULA 28 – Exercícios
Encontre a área delimitada pelas
curvas e as retas dadas.
1) y = 4x – x2, o eixo x, as retas x
= 1 e x=3.
2) y = 8x-x2, o eixo x, as retas x=
0 e x=4.
3) y = x2 + 1 e y =5
4) y = x2 e y = 4x
5) y = 1 – x2 e y = x – 1
6) y = senx, o eixo x, x = 0 e
radx2
7) y = senx, o eixo x, x = 0 e x =
2 rad
8) y = cosx, o eixo x, x = 0 e x =
2 rad
9) y = x e y = x2 com 0 2 x
10) y = x2 e y = x
Respostas:
1) au.3
22 2) ...
3
128au
3) au.3
32 4) au.
3
32
5) au.2
9 6) 1 u.a.
7) 4 u. a 8) 4 u. a
9) 1 u. a. 10) ..3
1au
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143
AULA 29
14.6.3.3 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO:
Definição 1: Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região do
plano em torno de uma reta no plano, chamada de eixo de revolução.
Exemplo: Ao girarmos o triângulo abaixo em torno do eixo y, obtemos um cone de
revolução.
Definição 2: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se S for o sólido obtido
pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x
= b e se V for o número de unidades cúbicas do volume de S, então:
b
adxxfV 2)]([
Exemplo:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região plana limitada pela curva 2xy
e as retas x = 2 e x = 3 em torno do eixo x.
y
x
y
x
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144
Definição 3: Seja uma região R do plano limitada pelos gráficos de x = a, x = b e pelos
gráficos de duas funções contínuas f e g, com f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b]. Então o
volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x é dado por:
b
adxxgxfV 22 )()(
Exemplo:
Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada
pela parábola y = x2 + 1 e a reta y = x + 3
AULA 29 – Exercícios
1) Seja f(x) = x2 + 1, determine o volume do
sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,
da região do plano limitada por f(x), pelo eixo
x e as retas x = -1 e x = 1.
2) Seja x
xf1
)( , determine o volume do
sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,
da região limitada por f(x), pelo eixo x e as
retas x = 1 e x = 3.
3) Seja f(x) = x2 – 4x, determine o volume
do sólido gerado pela rotação em torno do
eixo x, da região do plano limitada por f(x) e
pelo eixo x.
4) Em cada um dos exercícios abaixo esboce
a região R delimitada pelos gráficos das
equações dadas e determine o volume do
sólido gerado pela rotação de r em torno do
eixo x.
a) y = x2, y = 4 – x
2
b) y = 2x, y = 6, x = 0
c) 2
xy , y = 4, x = 1
Respostas:
1) ..15
56vu
2) ..3
2vu
3) ..15
512vu
4) a) ..3
264vu
b) 72 u.v.
c) ..12
833vu
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145
AULA 30
15. VETORES
15.1 NOÇÃO DE VETORES
- módulo A = origem
- direção B= extremo
- sentido
Representante (A, B)
OBS: (A, B) # (B, A)
15.1.1 SEGMENTO ORIENTADO (A, A)
A segmento nulo
15.1.2 PROPRIEDADES:
1) Dois segmentos têm o mesmo comprimento, se os módulos forem iguais.
2) Dois segmentos têm a mesma direção se forem paralelos
3) Dois segmentos têm o mesmo sentido se:
AC BD = Ø
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146
4) Dois segmentos têm sentidos opostos se:
AC BD # Ø
15.2 ADIÇÃO DE VETORES
CBBA
CA
Quando ocorrer coincidência de extremo com extremo, é necessário fazer algumas
mudanças:
15.2.1.1 Regra do paralelogramo
Propriedades:
i. Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w)
ii. Comutativa: u + v = v + u
iii. Elemento Neutro: v + 0 = 0 + v = v
iv. Qualquer que seja o vetor v, existe só um vetor –v (vetor oposto de v) tal
que: v + (-v) = -v + v = 0
15.3 EQUIPOLÊNCIA:
( A, B) e (C, D) são eqüipolentes se tem o mesmo módulo, direção e sentido.
Indicamos ( A, B) ~ (C, D)
15.3.1 PROPRIEDADES:
Reflexiva: ( A, B) ~ (A, B)
Simétrica: ( A, B) ~ (C, D) ( C, D) ~ (A, B)
Transitiva: ( A, B) ~ (C, D) e ( C, D) ~ (E, F) (A, B) ~(E, F)
B
A C
u
v
u + v
A B
C
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147
15.4 VETORES OPOSTOS
BA
é oposto de AB
BA
anula AB
15.5 VETORES NO PLANO CARTESIANO
15.6 MÓDULO DE UM VETOR – NORMA - | V |
| v | = vv.
| v | = ),).(,( yxyx
| v | = 22 yx
A partir de cada vetor v # 0, é possível obter um vetor unitário fazendo u = || v
v
.
Exemplo: v = ( 3, -4 ):
A A
B B
x
y Seja A (1, -1) e B ( 5,1)
O vetor u , tem origem em A e extremo em B.
A coordenada (4,2) nos mostra a
posição do vetor u se transferirmos a origem
do plano para a origem do vetor.
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148
Obs: dado um vetor BA
com extremidades nos pontos a (xa, ya) e B (xb, yb), o
módulo desse vetor será:
| BA
|= 2
)()( 2 yaybxaxb
15.7 OBSERVAÇÕES SOBRE ADIÇÃO DE VETORES
Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto, verifica-se que:
i. a soma u + v ou v + u tem origem no ponto u (u + v) ou v (v + u)
ii. a diferença u – v tem por origem na extremidade de v.
15.8 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
Dado um vetor v # 0 e um número real k 3 0, chama-se produto do número real
k pelo vetor v o vetor p = kv, tal que:
i. módulo: p = |kv| = |k|.|v|
ii. direção: a mesma de v
iii. sentido: o mesmo de v, se k > 0; e contrário ao de v, se k < 0.
OBS:
1) se k = 0 ou v = 0, o vetor kv é o vetor 0;
2) se k = -1, o vetor (-1)v é o oposto de v, isto é, (-1)v = -v.
kv
A C
B D
u
v
u + v
v + u A
C
B D
u
- v
u
v
u - v
v
- kv
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149
15.8.1 PROPRIEDADES:
i. a ( bu ) = ( ab )u
ii. ( a + b ) u = au + bu
iii. a ( u + v ) = au + av
iv. 1u = u
15.9 SOMA DE PONTO COM VETOR
P
15.9.1 PROPRIEDADES:
i. Elemento Neutro: P + 0
= P
ii. Cancelamento do Ponto: P + u = P + v u = v
iii. Associativa: (P + u) + v = P + ( u + v)
iv. Cancelamento do Vetor: A + u = b + u A = B
v. Soma com o oposto: (P – v) + v = P P = P
15.10 CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES:
Lei do cosseno:
||.||
.cos
vu
vu
Exemplo: Calcular o ângulo entre os vetores u = ( -2, -2 ) e v = ( 0, -2 ).
Q
Seja P E3 e v V
3
P + v = Q
V =
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150
15.11 PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO: U . V
Seja u
= ( x1, y1, z1) e v
= (x2, y2, z2). O produto escalar de dois vetores , onde
representamos por vu
. , é o número real:
vu
. = x1.x2 + y1.y2+z1.z2
Ex. Se u = (3, 2 , -4)
v
= (5, 0, 1)
15.11.1 PROPRIEDADES:
i. u . u 0 e u . u = 0 se, e somente se, u = 0 = (0,0)
ii. u . v = v . u ( comutativa )
iii. u . ( v + w ) = u .v + u . w ( distributiva )
iv. (mu) . v = m (u.v) = u . (m.v)
v. u . u = |u2|
vi. | u + v |2 = |u
2 |+ 2uv + |v
2|
vii. | u - v |2 = |u
2 | - 2uv + |v
2|
15.12 PRODUTO VETORIAL: U X V
Seja u
= ( x1, y1, z1) e v
= (x2, y2, z2). O produto vetorial de dois vetores , é o
vetor w = ( i, j, k):
222
111
zyx
zyx
kji
Exemplo: u = (1,3,2) e v = (2,4,5)
u x v =
15.13 PARALELISMO
u
// v
se e somente se 2
1
x
x=
2
1
y
y=
2
1
z
z = k
15.14 ORTOGONALISMO
u v
se, e somente se, vu
. =0
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151
AULA 30 - EXERCÍCIOS
1) Calcule a adição dos vetores abaixo:
a.
b.
c.
d.
e.
C
A B
D E
F O
B C
D
E F
O A G
H
B
C
E F
A
C D
G H
B C
D
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152
2) Se u
é representado por (A, B) e u
= - v
, então qual é a origem de v
? (origem em B) 3) Se v é representado por (A, B) e w por (B, C), como é representado o vetor (v + w)? (AC)
4) Dados os segmentos orientados (A, B) e (C, D), quais as condições para que tenham:
a. Mesmo módulo –
b. Mesma direção –
c. Mesmo sentido –
5) Resolver o sistema nas incógnitas x
e y
vuyx
uyx
23
2
6) Mostre que BCCABA
7) Resolva o produto interno sendo u
=(4, 7 , 3), v
=(2 , 2 , 1) e w
=(0 ,-5, 2)
a. u.v
b. v.w
c. (u + v) .w
d. u ( v – 2w )
8) Ache x de modo que u v
nos casos:
a. u
= (x, 0 , 3) e v
= (1, x, 3)
b. u
= (x, x , 4) e v
= (4, x, 1)
c. u
= (-1, 1, x) e v
= (1, 1, 1)
9) Ache u
tal que || u
|| = 33 e u
é ortogonal a v
= (2, 3 ,-1) e a w
(2, -4, 6).
10) Ache u
ortogonal a v
= (4, -1, 5) e a w
(1, -2, 3) e que satisfaz u
. (1, 1, 1) =
11) Ache a medida do ângulo entre os vetores:
a. u
= (1,0,1) e v
= (-2, 10, 2)
b. u
= (3, 3, 0) e v
= (2, 1, -2)
c. u
= (-1, 1, 1) e v
= (1, 1, 1)
12) Ache u
tal que || u
|| = 2 , a medida em graus do ângulo entre u
e (1, -1, 0) seja 45º
e u (1, 1, 0)
13) Dados u
= (1, 1, 2), v
= (3, 1, -1) e w
(0, 2, 1), calcular:
a. u
x w
B
x= 5/7 u +2/7 v y = 1/7 u – 1/7 v
A
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153
b. w
x v
c. v
x ( w
- u
)
d. ( u
+ v
) x ( v
- w
)
14) Dados A(1 , 0, 0), B(0, 1, 0) e C (0, 0, 1), calcular BA
x CA
15) Determine o vetor BA
e seu módulo nos casos:
a. A (2,1) B (4,6)
b. A (-2,0) B(3,-1)
c. A(4,3) B (4,5)
d. A(3,-1) B(10,-1)
16) Dados A (2,1) B(5,-1) e C ( -4,0) calcular o vetor soma dos vetores BA
e CA
.
17) Se v
= BA
; A (3,2) e v
(5,8), determine o ponto B.
18) Dados A (3,7) e B (11,19). Determine o ponto C tal que BACA
4
1
19) Os vetores u
(3,4) , v
(2a, 7) e w
(1, 3b), satisfazem a equação 2 u
- v
+ 3 w
= 0
Calcule a e b.
20) Ache a medida em graus do ângulo entre os vetores u
= (1 , 10 , 200) e v
= ( -10 , 1,
0 )
21) Sabe-se que o vetor u
é ortogonal a ( 1, 1 , 0 ) e a ( -1 , 0 , 1) e tem norma 3 .
Calcule o vetor u
.
22) Sejam os vetores do R3 u
= ( -1 , 0 , -5), v
= ( -1, 4 , 3 ) e w
= ( -3, 2 , -1). Ache:
a. 3 u
– 4 v
b. 2 w
– u
c. ( u
+ 2 w
) x v
d. ( u
+ v
+ w
) . u
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154
REFERÊNCIAS
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Vol. 1 e 2. Porto Alegre: Ed.Bookman, 2000.
COELHO, F.U. Curso Básico de Cálculo. Editora Saraiva, 2005.
GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R.; GIOVANNI JR, J.R. Mátematica Fundamental, Uma
Nova Abordagem. Volume Único. Editora FTD, 2001
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. Vol1 e Vol 2. 5a ed. Editora LTC, 2001.
KOLMAN, B. Introdução à álgrebra linear: com aplicações. 6 ed. Rio de Janeiro: Prentice-
Hall do Brasil, 1998.
MEDEIROS, V.Z.M; CALDEIRA, A.M; SILVA, L.M.O; MACHADO, M.A.S. Pré-Cálculo.
Editora Thomson, 2006
PAIVA, M.R. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. 1 ed. Vol. 1, 2 e 3. São Paulo:
Moderna, 2002.
STEWART, James. Cálculo. 4 ed. Vol. 1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2005.
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