fundamentos del aprendizaje automático

Fundamentos del aprendizaje automático

(Machine learning)

Joaquín Luque

Contenido

1. Introducción2. Regresión

a) Regresión univariableb) Regresión multivariable

3. Clasificacióna) Regresión logísticab) Máquinas de vectores soporte (SVM)

• Forma dual de la optimización (regresión y SVM)

c) Funciones Kerneld) Clasificación multiclase

4. Segmentación5. Reducción de dimensionalidad6. Deep learning (introducción)

Deep LearningIntroducción

SVM (kernel gaussiano) SVM (kernel gaussiano)

Función kernel

Función demapeo

Productoescalar

Optimizadordual

𝜑 𝑥 𝑖 , 𝜑 𝑥 𝑗𝜑 𝑥𝑥 𝛼∗𝐾 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑗

𝑥1 𝑥2

φ 1 (𝑥) φ11

φ13 φ2

φ 2 (φ 1 (𝑥))

φ 3 φ 2 (φ 1 (𝑥))

𝑓 φ 3 φ 2 (φ 1 (𝑥)) 𝑓

φ 𝑥

𝑓 φ 𝑥

𝑓 𝝋 𝑲 𝐗

Rule-based systems 𝑦 = 𝑓 𝑋 Manual - - Manual

MachineLearning

Basic ML 𝑦 = 𝑓 𝑋 Automatic - - Manual

Feature-based ML 𝑦 = 𝑓 𝜑 𝑋 Automatic Manual - Raw

Kernel-based ML 𝑦 = 𝑓 𝐾 𝑋 Automatic Automatic Manual Raw

Deep Learning 𝑦 = 𝑓 𝜑 𝑋 Automatic Automatic - Raw

Los features 𝜑 𝑋 son construidos de manera automática (no explícita)mediante el uso de grafos computacionales (redes neuronales)

a partir de los datos originales disponibles 𝑋

𝑐𝑎𝑝𝑎𝑠 = 3𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠 = 300

Complejidad del problema

Complejidad

Número decoeficientes

Complejidad del modelo

Complejidad del problema

Número dedatos de

entrenamiento

Esfuerzocomputacional

RegLog RegLog2 RegLog4 SVM

Complejidad

3 6 15 1000 20601

Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deep learning. MIT press. Pag. 19

Evolución del tamaño de los datasets

Número de neuronas de la red

1. Perceptron (Rosenblatt, 1958, 1962)2. Adaptive linear element (Widrow and Hoff, 1960)3. Neocognitron (Fukushima, 1980)4. Early back-propagation network (Rumelhart et al., 1986b)5. Recurrent neural network for speech recognition (Robinson and Fallside, 1991)6. Multilayer perceptron for speech recognition (Bengio et al., 1991)7. Mean field sigmoid belief network (Saul et al., 1996)8. LeNet-5 (LeCun et al., 1998b)9. Echo state network (Jaeger and Haas, 2004)10. Deep belief network (Hinton et al., 2006)11. GPU-accelerated convolutional network (Chellapilla et al., 2006)12. Deep Boltzmann machine (Salakhutdinov and Hinton, 2009a)13. GPU-accelerated deep belief network (Raina et al., 2009)14. Unsupervised convolutional network (Jarrett et al., 2009)15. GPU-accelerated multilayer perceptron (Ciresan et al., 2010)16. OMP-1 network (Coates and Ng, 2011)17. Distributed autoencoder (Le et al., 2012)18. Multi-GPU convolutional network (Krizhevsky et al., 2012)19. COTS HPC unsupervised convolutional network (Coates et al., 2013)20. GoogLeNet (Szegedy et al., 2014a)

Número de conexiones de cada neurona

1. Adaptive linear element (Widrow and Hoff, 1960)2. Neocognitron (Fukushima, 1980)3. GPU-accelerated convolutional network (Chellapilla et al., 2006)4. Deep Boltzmann machine (Salakhutdinov and Hinton, 2009a)5. Unsupervised convolutional network (Jarrett et al., 2009)6. GPU-accelerated multilayer perceptron (Ciresan et al., 2010)7. Distributed autoencoder (Le et al., 2012)8. Multi-GPU convolutional network (Krizhevsky et al., 2012)9. COTS HPC unsupervised convolutional network (Coates et al.,

2013)10. GoogLeNet (Szegedy et al., 2014a)

Incremento de las prestaciones con la profundidad de la red

Incremento de las prestaciones con el número de parámetros

http://sqlml.azurewebsites.net/2017/09/12/convolutional-neural-network/

Evolución de las prestaciones (error de clasificación)ImageNet Large Scale Visual Recognition Challenge

150k imágenes de 1k categorías

https://www.gartner.com/smarterwithgartner/top-trends-on-the-gartner-hype-cycle-for-artificial-intelligence-2019/

Hype cycle 2019

https://www.researchgate.net/figure/Graph-illustrating-the-impact-of-data-available-on-performance-of-traditional-machine_fig1_324457640

http://makeyourownneuralnetwork.blogspot.com/2017/05/learning-mnist-with-gpu-acceleration.html

GPUs vs. CPUs

https://course.fast.ai/gpu_tutorial.html

Evolución de la potencia de cálculo (CPU y GPU)

Niveles de características (features)

Deep Learning

• Conceptos generales– Neurona y red neuronal– Aproximación universal de funciones– Influencia de la arquitectura de la red– Cálculo del gradiente

• Backpropagation• Desvanecimiento del gradiente

– Técnicas de regularización– Optimización del gradiente

• Redes convolucionales• Redes recurrentes

Neurona y red neuronalRegresión logística

ClienteIngresos (m€)

𝒙𝟏𝒊

Edad (años)

𝒙𝟐𝒊

Vehículo

𝒚(𝒊)

1 97.17 26.6 S

2 44.67 32.3 N

3 46.64 26.7 N

4 33.84 23.7 N

5 79.35 27.0 S

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

ℎ 𝑥 =1

1 + 𝑒−𝑧Función logística

𝑧 ≡ 𝑤1𝑥1 +𝑤2𝑥2 + 𝑏 = 𝑥𝑤𝑇 + 𝑏

𝑥1𝑖

𝑥2𝑖 ⋯ 𝑥𝑑

𝑖𝑋 =

𝑥11

𝑥21

⋯ 𝑥𝑑1

𝑥12

𝑥22

⋯ 𝑥𝑑2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑥1𝑖

𝑥2𝑖

⋯ 𝑥𝑑𝑖

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑥1𝑛

𝑥2𝑛

⋯ 𝑥𝑑𝑛

Regresión logística

ℎ 𝑖ℎ𝑤 =

1 + 𝑒−𝑧

𝑧 = 𝑥𝑤𝑇 + 𝑏 = 𝑤1𝑥1 +𝑤2𝑥2 +⋯+𝑤𝑑𝑥𝑑 + 𝑏

𝑎 𝑧 = ℎ 𝑧 =1

1 + 𝑒−𝑧

𝑧(𝑥) = 𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 +⋯+𝑤𝑑𝑥𝑑 + 𝑏

𝑎 𝑧

𝑥1 𝑥2 ⋯ 𝑥𝑑

𝑧 𝑥

ℎ 𝑥

𝑏 𝑤1𝑤2

𝑤𝑑

Neurona

Función de activación

Perceptrón si𝑎 𝑧 = step 𝑧

Neurona y red neuronalFunciones de activación

Neurona y red neuronalMúltiples capas

𝑎 𝑧

𝑧(𝜑)

ℎ(𝑥)

𝑥1 𝑥2 𝑥𝑑⋯

𝑎 𝑧

𝑧(𝜑)

ℎ(𝑥)

𝜑1 𝑥 𝜑2 𝑥 𝜑𝐻1 𝑥⋯

⋯𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎𝐻11

𝑧H1

𝑎1𝐿

𝑧1𝐿

ℎ(𝑥)

Capa entrada

Capa salida

Capaoculta

𝜑1 𝑥 𝜑2 𝑥 𝜑𝐻1 𝑥

Feedforward NNFully-connected NNSingle-layer NN

⋯𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎𝐻11

𝑧H1

𝑎1𝐿

𝑧1𝐿

ℎ(𝑥)

Capa entrada

Capa salida

Capaoculta

⋯𝑎12

𝑧12

𝑎22

𝑧22

𝑎𝐻22

𝑧H2

𝑎22

𝑧22

Feedforward NNFully-connected NNMulti-layer NN

Neurona y red neuronalNúmero de parámetros

𝑧𝑘1= 𝑤𝑘,1

1𝑥1 + 𝑤𝑘,1

1𝑥2 +⋯+𝑤𝑘,𝑑

1𝑥𝑑 + 𝑏𝑘

𝑧𝑘2= 𝑤𝑘,1

2𝑎11+𝑤𝑘,2

2𝑎21+⋯+𝑤𝑘,𝐻1

2𝑎𝐻11+ 𝑏𝑘

𝑧𝑘𝑙= 𝑤𝑘,1

𝑙𝑎1𝑙−1

+𝑤𝑘,2𝑙𝑎2𝑙−1

+⋯+𝑤𝑘,𝐻𝑙−1

𝑙𝑎𝐻𝑙−1

𝑙−1+ 𝑏𝑘

Número de parámetros de la neurona 𝑘 de la capa 𝑙: 𝑁𝑘,𝑙 = 𝐻𝑙−1 + 1

𝑘-ésimaneurona de

la capa 1

𝐻0 = 𝑑Número de neuronas de la capa 𝑙: 𝐻𝑙

Número de parámetros de la capa 𝑙: 𝑁𝑙 = 𝐻𝑙 · 𝑁𝑘,𝑙 = 𝐻𝑙 · 𝐻𝑙−1 + 1

Número de parámetrosde la red neuronal:

𝑁 =

𝑙=1

𝑁𝑙 =

𝑙=1

𝐻𝑙 · 𝐻𝑙−1 + 1

Neurona y red neuronalFunción de activación de la capa de salida

• Regresión

– Lineal: 𝑎1𝐿= 𝑧1

𝐿; ℎ = 𝑎1

• Clasificación binaria

– Sigmoide: 𝑎1𝐿= 𝜎 𝑧1

𝐿; ℎ = sign 𝑎1

𝐿− 0.5

• Clasificación multiclase

– Softmax:

𝑎𝑗𝐿= 𝜎 𝑎𝑗

𝐿−1=

𝑒𝑎𝑗𝐿−1

σ𝑘=1𝐾 𝑒𝑎𝑘

𝐿−1; ℎ = argmax 𝑎𝑗

Deep Learning

Aproximación universal de funcionesEjemplo en una dimensión

𝑎 𝑧

𝑧 𝑥

ℎ 𝑥

𝑤1 𝑤2 𝑤𝑑

𝑎 𝑧 =1

1 + 𝑒−𝑧

𝑎 𝑧

𝑧 𝑥

ℎ 𝑥

𝑏 𝑤

𝑧(𝑥) = 𝑤𝑥 + 𝑏

1 dimensión

http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap4.html

𝑎Σ

http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap4.html

𝑎Σ

𝜑1 𝑥 𝜑2 𝑥

𝑎Σ

𝑎 𝑧 =1

1 + 𝑒−𝑧

𝑧(𝑥) = 𝑤𝑥 + 𝑏

𝑎 𝑧 = 0.5 → 𝑒−𝑧 = 1 → 𝑧 = 0 → 𝑥 = −𝑏

𝑤= 𝑠

𝑠 = 0.4

𝜑 𝑥

0.4 𝑎Σ

𝑎 𝑧 =1

1 + 𝑒−𝑧

𝑧(𝑥) = 𝑤𝑥 + 𝑏

𝑎 𝑧 = 0.5 → 𝑒−𝑧 = 1 → 𝑧 = 0 → 𝑥 = −𝑏

𝑤= 𝑠

𝑠 = 0.4

𝜑 𝑥

0.4 𝑎Σ

𝑠 = 0.6

𝑤𝑏

𝜑 𝑥

𝑠 = 0.6

0.4 0.6

𝜑 𝑥

0.4 0.6

𝑤1 𝑤2 𝑤1 = 0.6

𝑤2 = 1.2

𝜑 𝑥

0.4 0.6

𝑤1 𝑤2

𝑤1 = 0.8

𝑤2 = −0.8

𝜑 𝑥

0.4 0.6

−1.2

0.7 0.9

𝜑 𝑥

0.4 0.61.4

0.6 0.80.3

0.8 1.0−0.7

0.0 0.20.7

0.2 0.41.1

𝜑 𝑥

𝑎Σ

𝑎 𝑧 = max 0, 𝑧

𝑧(𝑥) = 𝑤𝑥 + 𝑏

𝑧 𝑥 = 0 → 𝑥 = −𝑏

𝑤= 𝑠

𝑠 = 0.4

𝜑 𝑥

𝑠 = 0.4

𝑎 𝑧 = max 0, 𝑧

𝑧(𝑥) = 𝑤𝑥 + 𝑏

𝑧 𝑥 = 0 → 𝑥 = −𝑏

𝑤= 𝑠

0.4 𝑎Σ

𝜑 𝑥

0.4 𝑎Σ

𝑤𝑏

𝑠 = 0.6

𝜑 𝑥

𝑠 = 0.6

0.4 0.6

𝜑 𝑥

0.4 0.6

𝑤1 𝑤2

𝜑 𝑥

0.4 0.6

𝑤1 𝑤2

𝜑 𝑥

−3 −3

3 −3

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0 0.1

0.2 0.3

−4 −3 −3 −2 2 3 3 1

𝜑 𝑥

Una red neuronal puede aproximar cualquier función

Aunque no siempre lo hace de forma eficienteA partir de cierto punto aumentar el nº de nodos no disminuye el error

𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛 = 1000; 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠 = 500

La estructura multicapa mejora la aproximación

Deep Learning

Influencia de la arquitectura de la redEjemplo en 2 dimensiones

Influencia de la arquitectura de la redNúmero de nodos

𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛 = 1000𝑐𝑎𝑝𝑎𝑠 = 1

Influencia de la arquitectura de la redNúmero de capas

𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛 = 1000𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠 = 300

En muchas aplicaciones más de 2 capas ocultas no mejoran las prestacioneshttps://www.heatonresearch.com/2017/06/01/hidden-layers.html

Influencia de la arquitectura de la redNúmero de ejemplos

𝑐𝑎𝑝𝑎𝑠 = 3𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠 = 300

Deep Learning

Cálculo del gradienteBackpropagation

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

𝑏2𝐿−1

ℎ 𝑥 = 𝑎1𝐿

𝑏1𝐿−1

𝑤1,1𝐿

𝑎1𝐿−2

𝑎1𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑎1𝐿

𝑧1𝐿

𝐽(𝑥)

Capa 𝐿

Capa 𝐿 − 1

Capa 𝐿 − 2

𝛻𝐽 =

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,2𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿−1

¿Cálculo del gradiente?

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

𝑏2𝐿−1

𝐽(𝑥)

𝑧1𝐿

𝑏1𝐿−1

𝑤1,1𝐿

𝑎1𝐿−2

𝑎1𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑎1𝐿

𝑧1𝐿

𝜓1𝐿

𝑎2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

𝑏2𝐿−1

𝐽(𝑥)

𝑧1𝐿

𝑏1𝐿−1

𝑤1,1𝐿 · ·

𝑎1𝐿−2

𝑎1𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿

𝑤1,2𝐿

𝜓1𝐿

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

𝑏2𝐿−1

𝐽(𝑥)

𝑧1𝐿

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑤1,1𝐿

𝑎1𝐿−2

𝑎1𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝜓1𝐿

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

𝑏2𝐿−1

𝐽(𝑥)

𝑧1𝐿

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑤1,1𝐿

𝑎1𝐿−2

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝜓1𝐿

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

𝑏2𝐿−1

𝐽(𝑥)

𝑧1𝐿

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑤1,1𝐿

𝑎1𝐿−2

𝜓1𝐿

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

𝑏2𝐿−1

𝐽(𝑥)

𝑧1𝐿

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑤1,1𝐿

𝑎1𝐿−2

𝑢1𝐿−1

𝑢2𝐿−1

𝑢1𝐿−2

𝑢2𝐿−2

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝜓1𝐿

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

𝑏2𝐿−1

𝐽(𝑥)

𝑧1𝐿

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑤1,1𝐿

𝑎1𝐿−2

𝑢1𝐿−1

𝑢2𝐿−1

𝑢1𝐿−2

𝑢2𝐿−2

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝜓1𝐿

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1

ℒ′

𝜓𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝑑𝐽 =𝜕𝐽

𝜕ℎ𝑑ℎ +

𝜕𝐽

𝜕𝑦𝑑𝑦 =

𝜕𝐽

𝜕ℎ𝑑ℎ

𝐽 = ℒ ℎ, 𝑦

𝑎2𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿 Σ

𝑧1𝐿

𝑎1𝐿−1

𝑤1,1𝐿 · ·

𝑢1𝐿−1

𝑢2𝐿−1

𝐽(𝑥)

𝑎2𝐿−1

𝑏1𝐿 Σ

𝑧1𝐿

𝑎1𝐿−1

𝑢1𝐿−1

𝑢2𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑤1,1𝐿

𝜓1𝐿

𝜕𝐽

𝜕ℎ= ℒ′ · 1

𝜓′𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝑎2𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿 Σ

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝑎1𝐿−1

𝑤1,1𝐿 · ·

𝑢1𝐿−1

𝑢2𝐿−1

ℎ = 𝜓1𝐿

𝑧1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿=𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝜕𝑧1𝐿=𝜕𝐽

𝜕ℎ𝜓1′ 𝐿

ℒ′

𝐽(𝑥)

𝑎2𝐿−1

𝑏1𝐿 Σ

𝑧1𝐿

𝑎1𝐿−1

𝑢1𝐿−1

𝑢2𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑤1,1𝐿

𝜓1𝐿

𝜓′1𝐿

𝜓′𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝑎2𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝑎1𝐿−1

𝑤1,1𝐿 · ·

𝑧1𝐿= 𝑢1

𝐿−1+ 𝑢2

𝐿−1+ 𝑏1

𝑑𝐽 =𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿𝑑𝑧1

ℒ′

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿=

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝑑𝐽 =𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝑑𝑢1𝐿−1

+ 𝑑𝑢2𝐿−1

+ 𝑑𝑏1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝐽(𝑥)

𝑎2𝐿−1

𝑏1𝐿 Σ

𝑧1𝐿

𝑎1𝐿−1

𝑢1𝐿−1

𝑢2𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑤1,1𝐿

𝑑𝐽 =𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿𝑑𝑢1

𝐿−1+

𝜕𝐽

𝐿−1+

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿𝑑𝑏1

𝜕𝐽

𝜕𝑢1𝐿−1

𝑑𝑢1𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑢2𝐿−1

𝑑𝑢2𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿𝑑𝑏1

𝑑𝐽1 𝑑𝐽2 𝑑𝐽3

𝜓1𝐿

𝜓′1𝐿

𝜓′𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝑎2𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿= 𝑎1

𝐿−1 𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿 · ·

ℒ′

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿=

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝐽(𝑥)

𝑎2𝐿−1

𝑏1𝐿 Σ

𝑧1𝐿

𝑎1𝐿−1

𝑢1𝐿−1

𝑢2𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑤1,1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

= 𝑤1,1𝐿 𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝜓1𝐿

𝜓′1𝐿

𝑢1𝐿−1

= 𝑤1,1𝐿· 𝑎1

𝐿−1

𝑑𝐽 =𝜕𝐽

𝜕𝑢1𝐿−1

𝑑𝑢1𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑢2𝐿−1

𝑑𝑢2𝐿−1

+𝜕𝐽

𝑑𝐽 =𝜕𝐽

𝜕𝑢1𝐿−1

𝑤1,1𝐿· 𝑑𝑎1

𝐿−1+ 𝑎1

𝐿−1· 𝑑𝑤1,1

𝜕𝐽

𝜕𝑢2𝐿−1

𝑑𝑢2𝐿−1

+𝜕𝐽

𝑑𝐽 =𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿𝑤1,1

𝐿· 𝑑𝑎1

𝐿−1+

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿𝑎1𝐿−1

· 𝑑𝑤1,1𝐿+

𝜕𝐽

𝜕𝑢2𝐿−1

𝑑𝑢2𝐿−1

+𝜕𝐽

𝑑𝐽 =𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

𝑑𝑎1𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿𝑑𝑤1,1

𝜕𝐽

𝜕𝑢2𝐿−1

𝑑𝑢2𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

=𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿𝑤1,1

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿=

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿𝑎1𝐿−1

𝜓′𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝜕𝐽

𝜕𝑎2𝐿−1

= 𝑤1,2𝐿 𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿= 𝑎1

𝐿−1 𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿 · ·

ℒ′

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿=

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝐽(𝑥)

𝑎2𝐿−1

𝑏1𝐿 Σ

𝑧1𝐿

𝑎1𝐿−1

𝑢1𝐿−1

𝑢2𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑤1,1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,2𝐿= 𝑎2

𝐿−1 𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

= 𝑤1,1𝐿 𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿

𝜓1𝐿

𝜓′1𝐿

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

𝐽(𝑥)

𝑤1,1𝐿

𝑎1𝐿

𝑧1𝐿

𝑎2𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕ℎ

ℒ’

𝜓′1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,2𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑎2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿= 𝜓1

′ 𝐿· ℒ′ · 1

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿= 𝑎1

𝐿−1· 𝜓1

′ 𝐿· ℒ′ · 1

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

= 𝑤1,1𝐿· 𝜓1

′ 𝐿· ℒ′ · 1

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,2𝐿= 𝑎2

𝐿−1𝜓1′ 𝐿

ℒ′

𝜕𝐽

𝜕𝑎2𝐿−1

= 𝑤1,2𝐿𝜓1′ 𝐿

ℒ′

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

𝑏2𝐿−1

𝐽(𝑥)

𝑧1𝐿

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑤1,1𝐿

𝑎1𝐿−2

𝑢1𝐿−1

𝑢2𝐿−1

𝑢1𝐿−2

𝑢2𝐿−2

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝜓1𝐿

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑏2𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1 Σ

𝑎1𝐿−2

𝑢1𝐿−2

𝑢2𝐿−2

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑏2𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑎1𝐿−2

𝑢1𝐿−2

𝑢2𝐿−2

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1 𝜓1

𝐿−1𝜓2

𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑏2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1 Σ

𝜓′

𝑎1𝐿−2

𝑢1𝐿−2

𝑢2𝐿−2

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

= 𝜓1′ 𝐿−1 𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

= 𝜓1′ 𝐿−1 𝜕𝐽

𝜕𝑎2𝐿−1

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑏2𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑎1𝐿−2

𝑢1𝐿−2

𝑢2𝐿−2

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1

𝜓1′ 𝐿−1

𝜓′2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿−1

=𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜓′ 𝜓′

𝑎1𝐿−2

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏2𝐿−1

=𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑏2𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑎1𝐿−2

𝑢1𝐿−2

𝑢2𝐿−2

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1

𝜓1′ 𝐿−1

𝜓′2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿−1

= 𝑎1𝐿−2 𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿−1

=𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜓′ 𝜓′

𝑎1𝐿−2

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏2𝐿−1

=𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑤2,1𝐿−1

= 𝑎1𝐿−2 𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑣1𝐿−2

= 𝑤1,1𝐿−1 𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑣2𝐿−2

= 𝑤2,1𝐿−1 𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑏2𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑎1𝐿−2

𝑢1𝐿−2

𝑢2𝐿−2

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1

𝜓1′ 𝐿−1

𝜓′2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿−1

= 𝑎1𝐿−2 𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿−1

=𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜓′ 𝜓′

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−2

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏2𝐿−1

=𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑤2,1𝐿−1

= 𝑎1𝐿−2 𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑣1𝐿−2

= 𝑤1,1𝐿−1 𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑣2𝐿−2

= 𝑤2,1𝐿−1 𝜕𝐽

𝜕𝑧2𝐿−1

𝑑𝐽 =𝜕𝐽

𝐿−1+

𝜕𝐽

𝐿−1+

𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿𝑑𝑏1

𝜕𝐽

𝜕𝑢1𝐿−1

𝑑𝑢1𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑢2𝐿−1

𝑑𝑢2𝐿−1

+𝜕𝐽

𝑑𝐽1 𝑑𝐽2 𝑑𝐽3

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑏2𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑎1𝐿−2

𝑢1𝐿−2

𝑢2𝐿−2

𝑣1𝐿−2

𝑣2𝐿−2

𝜓1𝐿−1

𝜓2𝐿−1

𝜓1′ 𝐿−1

𝜓′2𝐿−1

𝑑𝐽1 =𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

𝑑𝑎1𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿𝑑𝑤1,1

𝑑𝐽1 =𝜕𝐽

𝜕𝑢1𝐿−1

𝑑𝑢1𝐿−1

𝑑𝐽1 =𝜕𝐽

𝜕𝑧1𝐿−1

𝑑𝑧1𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿𝑑𝑤1,1

𝑑𝐽1 =𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿−1

𝑑𝑤1,1𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑣1𝐿−2

𝑑𝑣1𝐿−2

+𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿𝑑𝑤1,1

𝑑𝐽1 =𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿−1

𝑑𝑤1,1𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑣1𝐿−2

𝑑𝑎1𝐿−2

+𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿𝑑𝑤1,1

𝑑𝐽1 =𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿−1

𝑑𝑤1,1𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑣1𝐿−2

𝑑𝑎1𝐿−2

+𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿𝑑𝑤1,1

𝑑𝐽2 =𝜕𝐽

𝜕𝑤1,2𝐿−1

𝑑𝑤1,2𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑣2𝐿−2

𝑑𝑎1𝐿−2

+𝜕𝐽

𝜕𝑤1,2𝐿𝑑𝑤1,2

𝑑𝐽 = 𝑑𝐽1 + 𝑑𝐽2 + 𝑑𝐽3 = 𝑑𝐽1 + 𝑑𝐽2 +𝜕𝐽

𝑑𝐽 =𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿−1

𝑑𝑤1,1𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑣1𝐿−2

𝑑𝑎1𝐿−2

+𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿𝑑𝑤1,1

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,2𝐿−1

𝑑𝑤1,2𝐿−1

+𝜕𝐽

𝜕𝑣2𝐿−2

𝑑𝑎1𝐿−2

+𝜕𝐽

𝜕𝑤1,2𝐿𝑑𝑤1,2

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−2

=𝜕𝐽

𝜕𝑣1𝐿−2

+𝜕𝐽

𝜕𝑣2𝐿−2

𝜓1′ 𝐿−1

Σ𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−2

𝜕𝐽

𝜕𝑤2,1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏2𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑎2𝐿−1

𝜓2′ 𝐿−1

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑏2𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑎1𝐿−2

𝑎1𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑎1𝐿−1

𝑤1,2𝐿

𝑏1𝐿

ℎ 𝑥

𝑤1,1𝐿

𝑤1,1𝐿−1

𝑤2,1𝐿−1

𝑏2𝐿−1

𝑏1𝐿−1

𝑎1𝐿−2

𝑎1𝐿−1

𝑧1𝐿−1

𝑎2𝐿−1

𝑧2𝐿−1

𝑎1𝐿

𝑧1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑎1𝐿−2

𝜓1′ 𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑤2,1𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏2𝐿−1𝜓2

′ 𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝜓′1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑏1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,1𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,2𝐿

Cálculo del gradienteBackpropagation (resumen)

Feedforward Backpropagation

Coste: 𝐽 Unidad: 1

Función de pérdida: ℒ Derivada f. de pérdida: ℒ′

Neurona Neurona inversa

Suma de entradas Punto de bifurcación

Función de activación: 𝜓 Derivada f. de activación: 𝜓′

Entrada ponderada: 𝑤 · 𝑎 Salida ponderada doble:

𝑤 · 𝜓′

𝑎 · 𝜓′ →𝜕𝐽

𝜕𝑤

Entrada constante: 𝑏 Salida constante: 𝜓′ →𝜕𝐽

𝜕𝑏

Punto de bifurcación Suma de salidas (sentido inverso)

Cálculo del gradienteBackpropagation (ejemplo)

𝑤1,22

𝑏12

𝑤1,12

𝑤11

𝑤21

𝑏21

𝑏11

𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎12

𝑧12

𝑎12= 𝑧1

𝑎11= 𝜎 𝑧1

2 𝑎21= 𝜎 𝑧2

𝐽 = ℎ − 𝑦 2ℒ

𝐽(𝑥)

Coste: 𝐽 →Unidad: 1

𝐽 = ℎ − 𝑦 2ℒ

𝐽(𝑥)

ℒ’𝑦

𝜕𝐽

𝜕ℎ

F. de pérdida: ℒ →Derivada f. de pérdida: ℒ′

𝑤1,22

𝑏12

𝑤1,12

𝑤11

𝑤21

𝑏21

𝑏11

𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎12

𝑧12

𝑎12= 𝑧1

𝑎11= 𝜎 𝑧1

2 𝑎21= 𝜎 𝑧2

𝜓1′ 1 𝜓2

𝜓′12

𝐽 = ℎ − 𝑦 2ℒ

𝐽(𝑥)

ℒ’𝑦

𝜕𝐽

𝜕ℎ

Neurona →Neurona inversa

𝑤1,22

𝑏12

𝑤1,12

𝑤11

𝑤21

𝑏21

𝑏11

𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎12

𝑧12

𝑎12= 𝑧1

𝑎11= 𝜎 𝑧1

2 𝑎21= 𝜎 𝑧2

𝜓1′ 1 𝜓2

𝜓′12

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,12

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,22

ℒ’

𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝜕𝐽

𝜕𝑤11

𝜕𝐽

𝜕𝑤21

Entrada ponderada →Salida ponderada doble

𝐽 = ℎ − 𝑦 2ℒ

𝐽(𝑥)

𝑤1,22

𝑏12

𝑤1,12

𝑤11

𝑤21

𝑏21

𝑏11

𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎12

𝑧12

𝑎12= 𝑧1

𝑎11= 𝜎 𝑧1

2 𝑎21= 𝜎 𝑧2

𝑤1,22

𝑏12

𝑤1,12

𝑤11

𝑤21

𝑏21

𝑏11

𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎12

𝑧12

𝜓1′ 1

𝜕𝐽

𝜕𝑏11

𝜕𝐽

𝜕𝑏21𝜓2

𝜓′12

𝜕𝐽

𝜕𝑏12

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,12

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,22

𝑎12= 𝑧1

𝑎11= 𝜎 𝑧1

2 𝑎21= 𝜎 𝑧2

𝐽 = ℎ − 𝑦 2ℒ

𝐽(𝑥)

ℒ’𝑦

𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝜕𝐽

𝜕𝑤11

𝜕𝐽

𝜕𝑤21

Entrada constante →Salida constante

𝑤1,22

𝑏12

𝑤1,12

𝑤11

𝑤21

𝑏21

𝑏11

𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎12

𝑧12

𝜓1′ 1

𝜕𝐽

𝜕𝑏11

𝜕𝐽

𝜕𝑏21𝜓2

𝜓′12

𝜕𝐽

𝜕𝑏12

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,12

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,22

𝑎12= 𝑧1

𝑎11= 𝜎 𝑧1

2 𝑎21= 𝜎 𝑧2

𝐽 = ℎ − 𝑦 2ℒ

𝐽(𝑥)

ℒ’𝑦

𝜕𝐽

𝜕ℎ

Σ𝜕𝐽

𝜕𝑤11

𝜕𝐽

𝜕𝑤21

𝜕𝐽

𝜕𝑥= 0

Punto de bifurcación →Suma de salidas

𝑤1,22

𝑏12

𝑤1,12

𝑤11

𝑤21

𝑏21

𝑏11

𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎12

𝑧12

𝜎′

𝜕𝐽

𝜕𝑤11

𝜕𝐽

𝜕𝑏11

𝜕𝐽

𝜕𝑤21

𝜕𝐽

𝜕𝑏21

𝜎′

1𝜕𝐽

𝜕𝑏12

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,12

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,22

𝑎12= 𝑧1

𝑎11= 𝜎 𝑧1

2 𝑎21= 𝜎 𝑧2

𝐽 = ℎ − 𝑦 2ℒ

𝐽(𝑥)

ℒ’𝑦

𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝜓′12= 1

𝜓′21= 𝜎′𝜓′1

1= 𝜎′

ℒ’ =𝑑

𝑑ℎℎ − 𝑦 2 = 2 ℎ − 𝑦

𝜎’ =𝑑

𝑑𝑧𝜎 𝑧 =

𝑑𝑧

1 + 𝑒−𝑧=

1 + 𝑒−𝑧 2−𝑒−𝑧

𝜎’ =1

1 + 𝑒−𝑧·

𝑒−𝑧

1 + 𝑒−𝑧=

1 + 𝑒−𝑧· 1 +

𝑒−𝑧

1 + 𝑒−𝑧− 1

𝜎’ =1

1 + 𝑒−𝑧· 1 +

𝑒−𝑧 − 1 − 𝑒−𝑧

1 + 𝑒−𝑧=

1 + 𝑒−𝑧· 1 +

1 + 𝑒−𝑧

𝜎’ = 𝜎 𝑧 · 1 − 𝜎 𝑧

𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎12

𝑧12

𝑥 𝑥

ℒ ℒ’

𝑤1,22= 0.7

𝑏12= 0.2

𝑤1,12= 0.4

𝑤11= 0.1 𝑤2

1= −0.1

𝑏21= 0.5𝑏1

1= −0.3

𝑦 = 0.84

ℎ = 0.80

𝑧11= −0.25

𝑎11= 0.44

𝑧21= 0.45

𝑎21= 0.80

𝑧12= 𝑎1

2= 0.80

𝐽 = 0.0016

𝜎′ 𝜎′

𝜕𝐽

𝜕𝑤11= 0.125

𝜕𝐽

𝜕𝑏11= 0.250

𝜕𝐽

𝜕𝑤21= 0.125

𝜕𝐽

𝜕𝑏21= 0.250

𝜕𝐽

𝜕𝑏12= −0.081

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,12= −0.035

𝜕𝐽

𝜕ℎ= −0.081

−0.032 𝜕𝐽

𝜕𝑤1,22= −0.049

−0.057

𝛻𝐽 =𝜕𝐽

𝜕𝑤=

𝜕𝐽

𝜕𝑤11

𝜕𝐽

𝜕𝑏11

𝜕𝐽

𝜕𝑤21

𝜕𝐽

𝜕𝑏21

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,12

𝜕𝐽

𝜕𝑤1,22

𝜕𝐽

𝜕𝑏12

𝛻𝐽 =𝜕𝐽

𝜕𝑤= 0.125 0.245 0.125 0.250 −0.035 −0.049 −0.081

𝑤 = 𝑤11

𝑏11

𝑤21

𝑏21

𝑤1,12

𝑤1,22

𝑏12

𝑤𝑡 = 0.1 −0.3 −0.1 0.5 0.4 0.7 0.2

𝑤𝑡+1 ← 𝑤𝑡 − 𝛼 𝛻𝐽

𝑤𝑡+1 = 0.088 −0.325 −0.112 0.475 0.404 0.705 0.208

𝛼 = 0.1

Cálculo del gradienteDesvanecimiento del gradiente

𝜓 1

𝑧 1

𝜓 2

𝑧 2

𝜓 𝐿−1

𝑧 𝐿−1

𝜓 𝐿

𝑧 𝐿

𝑤 1

𝑤 2

𝑤 𝐿−1

𝑤 𝐿

𝑏 𝐿

𝑏 𝐿−1

𝑏 2

𝑏 1 𝜓′ 1

𝜓′ 2

𝜓′ 𝐿−1

𝜓′ 𝐿

ℒ′

𝜕𝐽

𝜕ℎ=

𝜕𝐽

𝜕𝑎 𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑎 𝐿−1

𝑤 𝐿−1

𝑤 𝐿

𝑤 2

𝜕𝐽

𝜕𝑤 1

𝜕𝐽

𝜕𝑏 1

𝜕𝐽

𝜕𝑤 2

𝜕𝐽

𝜕𝑏 2

𝜕𝐽

𝜕𝑤 𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏 𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑤 𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑏 𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑎 1

𝜕𝐽

𝜕𝑎 2

∀𝑙, 𝜓′ 𝑙 < 1 → lim𝐿→∞

𝑙=1

𝜓′ 𝑙 = 0

∀𝑙, 𝜓′ 𝑙 > 1 → lim𝐿→∞

𝑙=1

𝜓′ 𝑙 = ∞

𝜓′ 1

𝜓′ 2

𝜓′ 𝐿−1

𝜓′ 𝐿

ℒ′

𝜕𝐽

𝜕ℎ=

𝜕𝐽

𝜕𝑎 𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑎 𝐿−1

𝑤 𝐿−1

𝑤 𝐿

𝑤 2

𝜕𝐽

𝜕𝑤 1

𝜕𝐽

𝜕𝑏 1

𝜕𝐽

𝜕𝑤 2

𝜕𝐽

𝜕𝑏 2

𝜕𝐽

𝜕𝑤 𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑏 𝐿−1

𝜕𝐽

𝜕𝑤 𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑏 𝐿

𝜕𝐽

𝜕𝑎 1

𝜕𝐽

𝜕𝑎 2

𝜕𝐽

𝜕𝑤 1= 𝑥 𝜓′ 1

𝜕𝐽

𝜕𝑎 1

𝜕𝐽

𝜕𝑤 1= 𝑥 𝜓′ 1 · 𝑤 2 𝜓′ 2

𝜕𝐽

𝜕𝑎 2

𝜕𝐽

𝜕𝑤 1= 𝑥 𝜓′ 1 · 𝑤 2 𝜓′ 2 ⋯𝑤 𝐿 𝜓′ 𝐿

𝜕𝐽

𝜕ℎ

𝜕𝐽

𝜕𝑤 1= 𝑥 𝜓′ 1 · 𝑤 2 𝜓′ 2 ⋯𝑤 𝐿 𝜓′ 𝐿 ℒ′

𝜕𝐽

𝜕𝑤 1= 𝑥ℒ′ ෑ

𝑙=2

𝑤 𝑙 ෑ

𝑙=1

𝜓′ 𝑙

Desvanecimiento

Explosión

Deep Learning

RegularizaciónEjemplo

Sin regularización Con regularización

RegularizaciónTécnicas

• Tikhonov

• Lasso

• Data augmentation

• Early stopping

• Drop-out

RegularizaciónTikhonov

𝐽 ℎ𝑤(𝑥), 𝑦 = 𝐽0 ℎ𝑤(𝑥), 𝑦 + 𝜆 𝑤 22

RegularizaciónLasso

𝐽 ℎ𝑤(𝑥), 𝑦 = 𝐽0 ℎ𝑤(𝑥), 𝑦 + 𝜆 𝑤 1

RegularizaciónData augmentation

RegularizaciónEarly stopping

RegularizaciónDropout

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑥3

En cada iteración cada nodo es “abandonado” con

probabilidad 𝑝

RegularizaciónDropout

Deep Learning

Optimización del gradienteTécnicas

• Gradient Descent

– Stochastic Gradient Descent

– Batch Gradient Descent

• Gradient Descent with Decay Rate

• Gradient Descent with Momentum

• RMSProp

• Adam

Optimización del gradiente Ejemplo

ℎ𝑤 𝑥 = 𝑤0 + 𝑤1𝑥 = 𝑤1𝑥 + 𝑏

𝑎 𝑧

𝑧 𝑥

ℎ 𝑥

𝑏 𝑤1

𝑎 𝑧 = 𝑧

𝑧 𝑥 = 𝑤1𝑥 + 𝑏

Optimización del gradienteGradient Descent

Datos normalizados

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 · 𝛻𝐽𝑤𝑡

𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 · 𝛻𝐽𝑏𝑡

Datos normalizados

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 · 𝛻𝐽𝑤𝑡

𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 · 𝛻𝐽𝑏𝑡

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 · 𝛻𝐽𝑤𝑡

𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 · 𝛻𝐽𝑏𝑡

Optimización del gradienteGradient Descent with Decay Rate

𝛼 =1

1 − 𝛾 · 𝑛𝑒𝑝𝑜𝑐𝑎𝛼0

𝛼: learning rate𝛾: decay rate

𝛼 =1

𝛼: learning rate𝛾: decay rate

𝛼 =1

𝛼0 = 1

Optimización del gradienteGradient Descent with Momentum

𝛻𝐽𝑤𝑡 𝛻𝐽𝑏

𝑚 𝑡 =1

𝑘=0

𝑥 𝑡−𝑘Media móvil simple

Media: Momento de orden 1 𝜇𝜉 = 𝐸 𝜉

𝛻𝐽𝑤𝑡 𝛻𝐽𝑏

𝑚 𝑡 = 𝛽1𝑚𝑡−1 − 1 − 𝛽1 𝑥 𝑡Media móvil

exponencial

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 · 𝑚𝐽𝑤

𝑡; 𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 · 𝑚𝐽𝑏

𝑚𝐽𝑤

𝑡= 𝛽1𝑚𝐽𝑤

𝑡−1+ 1 − 𝛽1 𝛻𝐽𝐽𝑤

𝑡; 𝑚𝐽𝑏

𝑡= 𝛽1𝑚𝐽𝑏

𝑡−1+ 1 − 𝛽1 𝛻𝐽𝑤

El cambio de los parámetros es proporcional a la media móvilexponencial (momento) del gradiente (𝑚𝑤, 𝑚𝑏).Al tener en cuenta el gradiente actual y los gradientesanteriores (con peso decreciente), La función de coste convergecon menos oscilaciones.

GD with Momentum

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 · 𝛻𝐽𝑤𝑡; 𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 · 𝛻𝐽𝑏

𝑡GD:

El cambio de los parámetros es proporcional al gradiente (𝛻𝐽𝑤 , 𝛻𝐽𝑏)

𝛼 = 0.001

Optimización del gradienteRMSprop

Datos sin normalizar

Cambios grandes en 𝑤 (vertical) y pequeños en 𝑏 (horizontal)

• GD: el cambio de los parámetros es constante en la direccióndel gradiente.

• RMSprop: el cambio de los parámetros es proporcional alcociente entre el gradiente y su módulo (o alguna variante).

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 ·𝛻𝐽𝑤

𝛻𝐽𝑤𝑡

; 𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 ·𝛻𝐽𝑏

𝛻𝐽𝑏𝑡

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 ·𝛻𝐽𝑤

𝛻𝐽𝑤𝑡

2; 𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 ·

𝛻𝐽𝑏𝑡

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 ·𝛻𝐽𝑤

𝛻𝐽𝑤𝑡

2; 𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 ·

𝛻𝐽𝑏𝑡

𝑣𝐽𝑤𝑡= 𝛽2𝑣𝐽𝑤

𝑡−1+ 1 − 𝛽2 𝛻𝐽𝑤

𝑣𝐽𝑏𝑡= 𝛽2𝑣𝐽𝑏

𝑡−1+ 1 − 𝛽2 𝛻𝐽𝑏

Media móvil exponencial del cuadrado del gradiente

Media del cuadrado: Momento de orden 2

𝑣𝜉 = 𝐸 𝜉2

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 ·𝛻𝐽𝑤

𝛻𝐽𝑤𝑡

2; 𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 ·

𝛻𝐽𝑏𝑡

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 ·𝛻𝐽𝑤

𝑣𝐽𝑤𝑡+ 𝜀

; 𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 ·𝛻𝐽𝑏

𝑣𝐽𝑏𝑡+ 𝜀

Se sustituye el cuadrado del gradiente porsu media móvil exponencial

𝜀 ≪ 1; 𝜀 ≈ 10−8Previene divisiones por 0:

Cambios similares en 𝑤 (vertical) y en 𝑏 (horizontal)

𝛼 = 0.005; 𝑛𝑖𝑡𝑒𝑟 = 100

Optimización del gradienteAdaptive Moment Estimation (Adam)

• Combinación del GD with Momentum y RMSprop

• El cambio de los parámetros es proporcional alcociente entre el gradiente y su módulo.– Módulo: raíz del cuadrado

• Se sustituye el gradiente por su media móvilexponencial (como en GD with momentum)– Momento de orden 1 del gradiente

• Se sustituye el cuadrado del gradiente por su mediamóvil exponencial (como en RMSprop)– Momento de orden 2 del gradiente

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 ·𝑚𝐽𝑤

𝑣𝐽𝑤𝑡+ 𝜀

; 𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 ·𝑚𝐽𝑏

𝑣𝐽𝑏𝑡+ 𝜀

𝑤 𝑡+1 ← 𝑤 𝑡 − 𝛼 ·𝛻𝐽𝑤

𝛻𝐽𝑤𝑡

2; 𝑏 𝑡+1 ← 𝑏 𝑡 − 𝛼 ·

𝛻𝐽𝑏𝑡

𝛼 = 0.005; 𝛽1 = 0.9

Optimización del gradienteValor inicial de los parámetros

𝑤1,11

𝑤2,11

𝑤1,22

𝑏12

𝑏21

ℎ 𝑥 = 𝑎12

𝑏11

𝑤1,12

𝑎11

𝑧11

𝑎21

𝑧21

𝑎12

𝑧12

La función de coste es no-convexaOptimización con diferentes valores iniciales de los parámetros

Optimización del gradienteHiperparámetros

• Number of epochs• Mini-batch size• Learning rate: 𝛼• Decay rate: 𝜂• Order-1 momentum coefficient: 𝛽1• Order-2 momentum coefficient: 𝛽2

• Number of nodes• Number of layers• Activation functions• Regularization method and coefficient

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